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mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 1/59 EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS CCCAAAPPP444 SSSOOOLLLIIICCCIIITTTAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS NNNAAASSS BBBAAARRRRRRAAASSS DDDAAASSS EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS DDDEEE MMMAAADDDEEEIIIRRRAAA EEExxxeeerrrcccíííccciiiooosss rrreeesssooolllvvviiidddooosss ::: Exercício 4.1 : Elemento tracionado : Verificar a condição de segurança da barra tracionada de uma tesoura de madeira indicada nas figuras : 1- Conífera pertencente à classe de resistência C-30. 2- Parafusos = 3/8”, com furo prévio de 10 mm de diâmetro. 3- Dimensões indicadas em centímetros. 4- Critério da NBR-7190 / 1997. 5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk ; NGk = 3 kN (permanente), e NQk = 8 kN (sobrecarga). Solução a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = ft0,d = 1,2 kN/cm2. b) Combinação de ações : E.L.U.: Td = 1,4 x (TGk + TQk) = 1,4 x (3 + 8) = 15,4 kN Determinação da área livre : Aliv = 2cm400,1.210.5,2.2 c) Verificação da condição de segurança : d,0t * livre d d,0t f5,1.A T ; 2d,0t * d,0t cm kN2,1f58,05,1. 40 4,15 Verifica ! * Considera-se, na prática, em casos correntes, uma majoração de 50% no valor do esforço normal, ao invés de considerar a excentricidade atuante, por conta do fato de Seção Elevação 5 2,5 2,5 4 3 3 Nk Nk Planta 10 Elevação 10 1 1 2,5 2,5 5 mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 2/59 que a peça é dupla. A consideração da excentricidade levaria a verificação para o caso de flexo-tração. Isto é desnecessário nas aplicações correntes, visto que os efeitos da mesma são de pequena intensidade. Se, no entanto, ao fazer a verificação da condição de segurança, são atingidos valores próximos do limite, convém refazê-la, através do critério de flexo-tração. Exercício 4.2 : Elemento comprimido (peça curta) e Compressão normal às fibras : Verificar a condição de segurança da peça comprimida de madeira, indicada nas figuras : 1- Dicotiledônea, pertencente à classe de resistência C-30. 2- Dimensões indicadas em centímetros. 3- Critério da NBR-7190 / 1997. 4- Reação de apoio : R ; Rk = RGk + RQk ; RGk = 2 kN (permanente), e RQk = 15 kN (sobrecarga). Solução a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = 1,2 kN/cm2 ; fc90,d = 0,25 . fc0,d = 0,25 . 1,2 = 0,3 kN/cm2 ; b) Combinação de ações : E.L.U.: Rd = Nd = 1,4 x (RGk + RQk) = 1,4 x (2 + 15) = 23,8 kN ; c) Verificação da peça vertical (elemento comprimido : peça curta) : c.1) grau de esbeltez : imin = iX = iY = cm44,15.5 12 5.5 A I 3 X ; 35 44,1 50 i L MIN 0 MAX ; a peça é curta : 40 . c.2) verificação da segurança : d,0c d Ndd,0c fA N (equação 4.3) : R peça 5x5 50 5 10 mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 3/59 2 d,0c 2 d,0c cm/kN2,1fcm/kN95,05.5 8,23 verifica ! d) Verificação da peça horizontal (compressão normal às fibras) : d,90c d d,90c fA N e nd,0cd90,c .f.25,0f (equações 4.17 e 4.18) : n = 1,3 para c = 5 cm (tabela 19) 2d d,90c cm/kN39,03,1.2,1.25,095,0A R Não verifica ! Solução : aumentar a seção da peça vertical para diminuir as tensões de contato. (ver exercício proposto 4.29. Exercício 4.3 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) : Verificar a condição de segurança da peça comprimida de madeira, indicada nas figuras, submetida ao esforço de compressão “Nk” : 1- Madeira dicotiledônea, Eucalipto Dunnii. 2- Dimensões indicadas em centímetros. 3- Critério da NBR-7190 / 1997. 4- Esforço Normal : Nk = NGk + NQk ; NGk = 8 kN (permanente), e NQk = 20 kN (sobrecarga). Solução a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = 1,37 kN/cm2 , e Ec0,ef = 1.009,6 kN/cm2 . b) Combinação de ações : E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (8 + 20) = 39,2 kN . c) Grau de esbeltez : IX = 12 10.5,7 3 = 625 cm4 ; Y X Seção Transversal 10 7,5 S S Nk Nk L = L0 = 150 cm c = 5 R mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 4/59 IY = 12 5,7.10 3 = 352 cm4 ; IMIN = IY ; imin = iY = cm17,210.5,7 352 A IY ; 69 17,2 150 i L MIN 0 MAX a peça é medianamente esbelta : 8040 . d) Determinação de Md (equações 4.6 a 4.11) : cm25,0 30 5,7 30 h0 2,39 0 N Me Y d d1 i ; cm5,0 300 150 300 Le 0a ; e1 = ei + ea = 0,25 + 0,50 = 0,75 cm ; kN156 150 352.6,1009. L I.E. F 2 2 2 0 eixoef,0c 2 E ; 002,1 2,39156 156.75,0 NF F.ee dE E 1d ; Md = Nd . ed = 39,2 . 1,002 = 39,3 kN.cm . e) Determinação das tensões MdNd e : 2d Nd cm/kN52,010.5,7 2,39 A N ; 2 22 d Md cm/kN42,0 6 5,7.10 3,39 6 h.bW M . f) Verificação da segurança (equação 4.4) : 0,169,0 37,1 42,0 37,1 52,0 ff d,0c Md d,0c Nd Verifica ! mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 5/59 Exercício 4.4 : Elemento comprimido (peça esbelta) : Verificar a condição de segurança do pilar de madeira indicado nas figuras, submetido ao esforço de compressão “Nk” : 1- Madeira dicotiledônea, de Itaúba. 2- Dimensões indicadas em centímetros. 3- Critério da NBR-7190 / 1997. 4- Nk = NGk + NQk ; NGk = 5 kN (permanente), e NQk = 15 kN (sobrecarga). Solução a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = 2,21 kN/cm2 , e Ec0,ef = 1.266,3 kN/cm2 . b) Combinação de ações : E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 15) = 28 kN . c) Grau de esbeltez : c.1) considerando o eixo X (L0 = 280 cm) : IX = 12 10.5 3 = 417 cm4 ; iX = cm89,210.5 417 A IX ; 97 89,2 280 i L X X X . c.2) considerando o eixo Y (L0 = 160 cm) : IY = 12 5.10 3 = 104 cm4 ; iY = cm44,110.5 104 A IY ; 111 44,1 160 i L Y Y Y . c.3) grau de esbeltez máximo : 111YMAX ; a peça é esbelta : 14080 . Apesar de que relativamente ao eixo Y, o comprimento de referência é menor (160 cm), seu grau de esbeltez é superior. d) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : 10 5 160 120 Y X Seção Transversal 10 5 Nk L = 280 mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 6/59 cm17,0 30 5 30 h0 28 0 N Me Y d d1 i ; cm53,0300 160 300 Le 0a ; kN8,50 160 104.3,1266. L I.E. F 2 2 2 0 Yef,0c 2 E ; = 0,8 (tabela 18) ; NGk = 5 kN ; NQk = 15 kN ; 1 = 0,3 ; 2 = 0,2 qk21gkE qk21gk N.NF N.N. c = 261,015.2,03,058,50 15.2,03,05.8,0 ; 1e.eee caigc cm21,01e.53,017,0 261,0 ; e1ef = ei + ea + ec= 0,17 + 0,53 + 0,21 = 0,91 cm ; cm.kN8,56 288,50 8,50.91,0.28 NF F.e.NM dE E ef,1dd . e) Determinação das tensões MdNd e : 2d Nd cm/kN56,010.5 28 A N ; 2 22 Y d Md cm/kN36,1 6 5.10 8,56 6 h.bW M . f) Verificação da segurança (equação 4.4) : 0,187,0 21,2 36,1 21,2 56,0 ff d,0c Md d,0c Nd Verifica ! Exercício 4.5 : (5o. TE/2005) - Para a barra comprimida indicada nas figuras, verificar a condição de segurança. Dados : 1) critério da NBR-7190/1997. 2) dimensões em centímetros. 3) madeira = CEDRO DOCE : 2a. Categoria = qualidade estrutural , fc,0,m = 31,5 MPa.; Ec,0,m = 8.058 MPa. 4) ELU = Combinação Normal. 7,5 10 Seção Transversal L= 150 7,5 Elevação Nk Nk 1 2 X Y mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 7/59 5) esforço normal : Nk = Ngk + Nqk ; Ngk = 5 kN (permanente) ; Nqk = 8 kN (vento de sobrepressão). 6) vinculação das extremidades da peça : ponto 1 : indeslocável no plano vertical , deslocável no plano horizontal . ponto 2 : indeslocável no plano vertical , indeslocável no plano horizontal . Solução : a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : fcom = 31,5 MPa = 3,15 kN/cm2 ; fcok = 0,7. fcom = 0,7. 3,15 MPa = 2,21 kN/cm2 ; 2 c k0c modd0c cm/kN88,04,1 21,2.56,0f.kf ; Ecom = 8058 MPa = 805,8 kN/cm2 ; Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 805,8 = 451,2 kN/cm2 . b) Combinação de ações : E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 0,75. 8) = 15,4 kN . c) Grau de esbeltez : c.1) considerando o eixo X (L0 = L = 150 cm = dois extremos indeslocáveis) : IX = 12 5,7.10 3 = 351,6 cm4 ; A = 10 . 7,5 = 75 cm2 ; iX = cm17,2 75 6,351 A IX ; 69 17,2 150 i L X X X (peça medianamente esbelta). c.2) considerando o eixo Y (L0 = 2 L = 2. 150 = 300 cm ; um extremo deslocável) : IY = 12 10.5,7 3 = 625 cm4 ; iY = cm89,275 625 A IY ; mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 8/59 104 89,2 300 i L Y Y Y (peça esbelta). c.3) grau de esbeltez máximo : 104YMAX ; a peça é esbelta : 14080 . d) Verificação da segurança : Será verificado apenas o eixo Y (MAX = 104) , pois trata-se de compressão simples. d.1 Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : cm33,0 30 10 30 h0 4,15 0 N Me Y d d1 i ; cm0,1 300 300 300 Le 0a ; kN9,30 300 625.2,451. L I.E. F 2 2 2 0 Yef,0c 2 E ; = 0,8 (tabela 18) ; NGk = 5 kN ; NQk = 8 kN ; 1 = 0,2 ; 2 = 0 qk21gkE qk21gk N.NF N.N. c = 217,08.02,059,30 8.02,05.8,0 ; 1e.eee caigc cm32,01e.0,133,0 217,0 ; e1ef = ei + ea + ec= 0,33 + 1,0 + 0,32 = 1,65 cm ; cm.kN6,50 4,159,30 9,30.65,1.4,15 NF F.e.NM dE E ef,1dd . d.2 Determinação das tensões MdNd e : 2d Nd cm/kN21,075 4,15 A N ; 2 Y d Md cm/kN41,0125 6,50 W M . d.3 Verificação da segurança (equação 4.4) : 0,171,0 88,0 41,0 88,0 21,0 ff d,0c Md d,0c Nd Verifica ! mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 9/59 Exercício 4.6 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) (1oTE/2006) : Verificar a condição de segurança da barra de madeira comprimida, indicadas nas figuras. Dados : 1) E.L.U. = Combinação normal. 2) Critério da NBR-7190/1997. 3) Dimensões em centímetros. 4) Madeira TATAJUBA, 2a. categoria ; qualidade estrutural. 5) Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk ; NGk = 20 kN (permanente) ; NQk = 75 kN (sobrecarga). 6) Vinculos dos extremos da barra : Indeslocáveis nos dois planos. Solução : a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : fcom = 79,5 MPa = 7,95 kN/cm2 ; fcok = 0,7. fcom = 0,7. 7,95 MPa = 5,57 kN/cm2 ; 2 c k0c modd0c cm/kN23,24,1 57,5.56,0f.kf ; Ecom = 19.583 MPa = 1958,3 kN/cm2 ; Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 1958,3 = 1.096,6 kN/cm2. b) Combinação de ações : E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (20 + 75) = 133 kN . c) Grau de esbeltez : c.1) considerando o eixo X : IX = 12 10.15 3 = 1250 cm4 ; A = 15 . 10 = 150 cm2 ; iX = cm89,2150 1250 A IX ; 7,7989,2 230 i L X X,0 X (peça medianamente esbelta) ; WX = 6 10.15 6 h.b 22 = 250 cm3. c.2) considerando o eixo Y : IY = 12 15.10 3 = 2.812,5 cm4 ; 15 X Y 10 L = 23 0 Nk Nk Seção Elevação mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 10/59 iY = cm33,4150 5,2812 A IY ; 1,5333,4 230 i L Y Y,0 Y (peça medianamente esbelta). c.3) grau de esbeltez máximo : 7,79XMAX ; a peça é medianamente esbelta : 8040 . d) Verificação da segurança : Será verificado apenas o eixo X (MAX = 79,7) , pois trata-se de compressão simples. d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : cm33,0 30 10 30 h0 133 0 N Me X d d1 i ; cm77,0 300 230 300 Le 0a ; e1 = ei + ea = 0,33 + 0,77 = 1,10 cm ; kN7,255 230 1250.6,1096. L I.E. F 2 2 2 0 Xef,0c 2 E ; ed = dE E 1 NF F.e = 1337,255 7,255.1,10 = 2,29 cm ; cm.kN8,30429,2.133e.NM ddd . d.2) Determinação das tensões MdNd e : 2d Nd cm/kN89,0150 133 A N ; 2 X d Md cm/kN22,1250 8,304 W M . d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 0,195,0 23,2 22,1 23,2 89,0 ff d,0c Md d,0c Nd Verifica ! Exercício 4.7 : Elemento comprimido (peça esbelta) (1oTE/2006) : Verificar a condição de segurança da barra de madeira comprimida, indicadas nas figuras. Dados : 1) E.L.U. = Combinação normal. 2) Critério da NBR-7190/1997. 3) Dimensões em centímetros. 4) Madeira DICOTILEDÔNEA-CLASSE C- 40, 2a. categoria ; qualidade estrutural. 5) Esforços atuantes : L = 24 0 Nk Nk Elevação 1 2 15 X Y Seção mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 11/59 Nk = NGk + NQk ; NGk = 10 kN (permanente) ; NQk = 30 kN (sobrecarga). 6) Vinculos dos extremos da barra : ponto : indeslocável nos dois planos (X e Y). ponto : deslocável no plano Y. Solução : a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : fcok = 40 MPa = 4,0 kN/cm2 ; 2 c k0c modd0c cm/kN60,14,1 0,4.56,0f.kf ; Ecom = 19.500 MPa = 1950 kN/cm2 ; Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 1950 = 1.092 kN/cm2. b) Combinação de ações : E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (10 + 30) = 56 kN . c) Grau de esbeltez : c.1) considerando o eixo X (L0 = L = 240 cm ; dois extremos indeslocáveis) : IX = IY = 64 15. 4 = 2.485 cm4 ; A = 4 15. 2 = 176,6 cm2 ;WY= 3Y cm3,3315,7 2485 x I ; iX = iY = cm75,36,176 2485 A IX ; 6475,3 240 i L X X,0 X (peça medianamente esbelta). c.2) considerando o eixo Y (L0 = 2 L = 2. 240 = 480 cm ; um extremo deslocável) : 12875,3 480 i L Y Y,0 Y (peça esbelta). c.3) 128YMAX ; a peça é esbelta : 14080 . d) Verificação da segurança : Será verificado apenas o eixo Y (MAX = 104) , pois trata-se de compressão simples. d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : cm5,0 30 15 30 h056 0 N Me Y d d1 i ; 1 2 mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 12/59 cm6,1 300 480 300 Le 0a ; 2 0 Yef,0c 2 E L I.E. F ; kN3,116 480 2485.1092.F 2 2 E ; = 0,8(tabela 18) ; NGk = 10 kN ; NQk = 30kN ; 1 = 0,3 ; 2 = 0,2 ; qk21gkE qk21gk N.NF N.N. c = 219,030.2,03,0103,116 30.2,03,010.8,0 ; 1e.eee caigc cm51,01e.6,15,0 219,0 ; e1ef = ei + ea + ec ; e1ef = 0,5+1,6+0,51 = 2,61 cm ; cm.kN0,282 563,116 3,116.61,2.56 NF F.e.NM dE E ef,1dd d.2) Determinação das tensões MdNd e : 2d Nd cm/kN32,07,176 56 A N ; 2 Y d Md cm/kN85,05,331 282 W M . d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 0,173,0 6,1 85,0 6,1 32,0 ff d,0c Md d,0c Nd Verifica ! Exercício 4.8 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) (1oTE/2007) : Verificar a condição de segurança da barra de madeira maciça, submetida à compressão simples, indicada nas figuras. Considerar : 1- Critério da NBR-7190/1997. 2- Dimensões indicadas em cm. 3- ELU - Combinação normal. 4- Madeira CONÍFERA classe C-25, 2a. categoria, qualidade estrutural. 5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk . NGk = 20 kN (permanente); NQk = 60 kN (sobrecarga). 6- Vinculação dos extremos da barra : Eixo X : 2 extremos indeslocáveis. Eixo Y : 1 extremo indeslocável. ELEVAÇÃO SEÇÃO 20 Nk L= 1 80 Y 20 5 X 10 5 5 5 10 mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 13/59 Solução : a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : fcok = 25 MPa = 2,5 kN/cm2 ; 2 c k0c modd0c cm/kN00,14,1 5,2.56,0f.kf ; Ecom = 8.500 MPa = 850 kN/cm2 ; Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 850 = 476 kN/cm2. b) Combinação de ações : E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (20 + 60) = 112 kN . c) Grau de esbeltez : c.1) considerando o eixo X (L0 = L = 180 cm ; dois extremos indeslocáveis) : IX = IY = 12 10.5.2 12 20.10 33 = 7.500 cm4 ; A = (20. 20) – 4. (5. 5) = 300 cm2 ; WY= 3Y cm750)2/20( 7500 x I ; iX = iY = cm0,5300 7500 A IX ; 360,5 180 i L X X,0 X (peça curta). c.2) considerando o eixo Y (L0 = 2 L = 2. 180 = 360 cm ; um extremo deslocável) : 720,5 360 i L Y Y,0 Y (peça medianamente esbelta). c.3) 72YMAX ; a peça é medianamente esbelta : 8040 . d) Verificação da segurança : Será verificado apenas o eixo Y (MAX = 72) , pois se trata de compressão simples. d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : cm67,0 30 20 30 h0112 0 N Me Y d d1 i ; cm2,1 300 360 300 Le 0a ; 2 0 Yef,0c 2 E L I.E. F ; kN9,271 360 7500.476.F 2 2 E ; e1 = ei + ea = 0,67+1,2 = 1,87 cm ; mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 14/59 cm18,3 1129,271 9,271.87,1 NF F.ee dE E 1d ; ddd e.NM 112. 3,18 = 356,1 kN.cm . d.2) Determinação das tensões MdNd e : 2d Nd cm/kN37,0300 112 A N ; 2 Y d Md cm/kN48,0750 1,356 W M . d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 0,185,0 0,1 48,0 0,1 37,0 ff d,0c Md d,0c Nd Verifica ! Exercício 4.9 : Elemento comprimido (peça esbelta) (1oTE/2007) : Verificar a condição de segurança da barra de madeira maciça, submetida à compressão simples, indicada nas figuras. Considerar : 1- Critério da NBR-7190/1997. 2- Dimensões indicadas em cm. 3- Critério da NBR-7190/1997. 4- ELU - Combinação normal. 5- Madeira CANELA, 2a. categoria, qualidade estrutural. 6- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk ; NGk = 40 kN (permanente); NQk = 120 kN (sobrecarga). 7- Vinculação dos extremos da barra : Eixo X e Y : 2 extremos indeslocáveis. Solução : a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : fc0m = 48,7 MPa = 4,87 kN/cm2 ; fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 4,87 = 3,41 kN/cm2 ; 2 c k0c modd0c cm/kN36,14,1 41,3.56,0f.kf ; Ec0m = 17.592 MPa = 1759,2 kN/cm2 ; Ec0ef = kmod. Ecom = 0,56. 1759,2 = 985,1 kN/cm2. b) Combinação de ações : E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (40 + 120) = 224 kN . Nk L = L o = 60 0 20 X Y 5 5 10 Y 30 10 10 10 ELEVAÇÃO SEÇÃO mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 15/59 c) Grau de esbeltez : A = (20. 30) – (10. 10) = 500 cm2; c.1) eixo X : L0 = L = 600 cm : dois extremos indeslocáveis ; IX = 12 10.10 12 30.20 33 = 44166,7 cm4 ; iX = cm44,9500 7,44166 A IX ; 64~44,9 600 i L X X,0 X (peça medianamente esbelta). c.2) eixo Y : L0 = L = 600 cm ; dois extremos deslocáveis ; IY = 12 10.10 12 20.30 33 = 19166,7 cm4 ; IY = cm19,6500 7,19166 A IY ; 9719,6 600 i L Y Y,0 Y (peça esbelta). WY= 3Y cm7,1916)2/20( 7,19166 x I ; c.3) 97YMAX ; a peça é esbelta : 14080 . d) Verificação da segurança : Será verificado apenas o eixo Y (MAX = 97) , pois se trata de compressão simples. d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : cm67,0 30 20 30 h0224 0 N Me Y d d1 i ; cm0,2 300 600 300 Le 0a ; 2 0 Yef,0c 2 E L I.E. F ; kN6,517 600 7,191666.1,985.F 2 2 E ; = 0,8 (tabela 18) ; NGk = 40 kN ; NQk = 120 kN ; 1 = 0,3 ; 2 = 0,2 ; qk21gkE qk21gk N.NF N.N. c = 192,0120.2,03,0406,517 120.2,03,040.8,0 ; 1e.eee caigc cm57,01e.0,267,0 192,0 ; mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 16/59 e1ef = ei + ea + ec ; e1ef = 0,67+ 2,0+ 0,57 = 3,24 cm ; cm.kN5,1279 2246,517 6,517.24,3.224 NF F.e.NM dE E ef,1dd . d.2) Determinação das tensões MdNd e : 2d Nd cm/kN45,0500 224 A N ; 2 Y d Md cm/kN67,07,1916 5,1279 W M . d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 0,182,0 36,1 67,0 36,1 45,0 ff d,0c Md d,0c Nd Verifica ! Exercício 4.10 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) (1º.TE-2008) - Verificar a condição de segurança da barra de madeira maciça, submetida à compressão simples, indicada nas figuras :Considerar : 1- Critério da NBR-7190/1997. 2- Dimensões indicadas em cm. 3- ELU - Combinação normal. 4- Madeira Dicotiledônea – CLASSE C-40, 2a. categoria, qualidade estrutural. 5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk , NGk = 30 kN (permanente), NQk = 100 kN (sobrecarga). 6- Vinculação dos extremos da barra : Eixo X e Y : 2 extremos indeslocáveis. Solução : a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : fcok = 40 MPa = 4,0 kN/cm2 ; 2 c k0c modd0c cm/kN6,14,1 0,4.56,0f.kf ; Ecom = 19.500 MPa = 1950,0 kN/cm2 ; Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 1950,0 = 1.092,0 kN/cm2. b) Combinação de ações : E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (30 + 100) = 182 kN . ELEVAÇÃO SEÇÃO 21,2 Nk L= 2 80 2 1, 2 mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 17/59 c) Grau de esbeltez : considerando o eixo X = eixo Y ; lados do quadrado = 21,2. sen 45o = 15 cm ; IX = IY = 12 15.15 3 = 4218,8 cm4 ; A = 15. 15 = 225 cm2 ; iX = iY = cm33,4225 8,4218 A IX ; 7,6433,4 280 i L X X,0 YX (peça medianamente esbelta) ; WX = 6 15.15 6 h.b 22 = 562,5 cm3. d) Verificação da segurança : Será verificado apenas um eixo (X) (MAX = 64,7) , pois trata-se de compressão simples. d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : cm5,0 30 15 30 h0 182 0 N Me X d d1 i ; cm93,0 300 280 300 Le 0a ; e1 = ei + ea = 0,5 + 0,93 = 1,43 cm ; kN0,580 280 8,4218.0,1092. L I.E.F 2 2 2 0 Xef,0c 2 E ; ed = dE E 1 NF F.e = 1820,580 0,580.1,43 = 2,09 cm ; cm.kN2,38009,2.182e.NM ddd . d.2) Determinação das tensões MdNd e : 2d Nd cm/kN81,0225 182 A N ; 2 X d Md cm/kN68,05,562 2,380 W M . d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 0,193,0 60,1 68,0 60,1 81,0 ff d,0c Md d,0c Nd Verifica ! mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 18/59 Exercício 4.11: Elemento comprimido (peça esbelta) (1º.TE-2008)- Verificar a segurança da barra de madeira maciça, submetida à compressão simples, indicada nas figuras : Considerar : 1- Critério da NBR-7190/1997. 2- Dimensões indicadas em cm. 3- ELU - Combinação normal. 4- Madeira Dicotiledônea – CLASSE C-40, 2a. categoria, qualidade estrutural. 5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk , NGk = 15 kN (permanente), NQk = 80 kN (sobrecarga). 6- Vinculação dos extremos da barra : Eixo X e Y : 2 extremos indeslocáveis. Solução : a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : fcok = 40 MPa = 4,0 kN/cm2 ; 2 c k0c modd0c cm/kN6,14,1 0,4.56,0f.kf ; Ecom = 19.500 MPa = 1950,0 kN/cm2 ; Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 1950,0 = 1.092,0 kN/cm2. b) Combinação de ações : E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (15 + 80) = 133 kN . c) Grau de esbeltez : considerando o eixo X = eixo Y ; IX = IY = 12 15.15 3 = 4218,8 cm4 ; A = 15. 15 = 225 cm2 ; iX = iY = cm33,4225 8,4218 A IX ; 8,8733,4 380 i L X X,0 YX (peça esbelta) ; WX = 6 15.15 6 h.b 22 = 562,5 cm3. d) Verificação da segurança : Será verificado apenas um eixo (X) (MAX = 87,8) , pois trata-se de compressão simples. ELEVAÇÃO SEÇÃO 15 Nk L= 3 80 1 5 mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 19/59 d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) : cm5,0 30 15 30 h0133 0 N Me X d d1 i ; cm27,1 300 380 300 Le 0a ; kN9,314 380 8,4218.0,1092. L I.E.F 2 2 2 0 Xef,0c 2 E ; = 0,8 (tabela 18) ; NGk = 15 kN ; NQk = 80 kN ; 1 = 0,3 ; 2 = 0,2 ; qk21gkE qk21gk N.NF N.N. c = 169,080.2,03,0159,314 80.2,03,015.8,0 ; 1e.eee caigc cm33,01e.27,15,0 169,0 ; e1ef = ei + ea + ec ; e1ef = 0,5+ 1,27+ 0,33 = 2,1 cm ; cm.kN82,481 1339,314 9,314.1,2.133 NF F.e.NM dE E ef,1dd . d.2) Determinação das tensões MdNd e : 2d Nd cm/kN59,0225 133 A N ; 2 Y d Md cm/kN86,05,562 8,481 W M . d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) : 0,190,0 60,1 86,0 60,1 59,0 ff d,0c Md d,0c Nd Verifica ! Exercício 4.12 : Encaixe entre peças de madeira : Projetar o nó de extremidade da tesoura de madeira, indicada no exercício 4.3, cuja barra inclinada (asna) é solicitada por um esforço de compressão “Nk” : 1- Madeira dicotiledônea, Eucalipto Dunnii. 2- Dimensões indicadas em centímetros. 3- Critério da NBR-7190 / 1997. 4- Esforço Normal Nk = NGk + NQk ; NGk = 5 kN (permanente), e NQk = 8 kN (sobrecarga). Elevação Seção 10 7,5 Nk 400 10 15 S S Nk mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 20/59 Solução a) Soluções para o encaixe : a.1) solução clássica : Esta solução é teoricamente a mais indicada : a seção crítica para a compressão é a pequena área de contato AB, em que a resistência à compressão fc(90-β),d é igual nas peças horizontal e inclinada. a.2) solução corrente : Esta solução é mais prática, do ponto de vista executivo. É menos econômica porque a resistência de calculo na área AB (a mais crítica), é menor na peça inclinada. Esta solução será adotada no presente exercício. a.3) construção do encaixe : A confecção do encaixe não deve aprofundar o recorte na peça além de 25% de sua altura. Além de enfraquecer muito a peça recortada, cria-se uma excentricidade alta para o esforço de tração na mesma (a força de tração na barra horizontal faz parte do equilíbrio estático entre os esforços Nk e a reação de apoio). b) Combinação de ações : E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 8) = 18,2 kN ; c) Esforços gerados nas áreas respectivas criadas com a confecção do encaixe : A força Nd , aplicada na barra inclinada do banzo superior (asna) da tesoura, transmite-se ao nó de extremidade através das áreas de contato AB e BC. O ângulo é diferente, mas parecido com 90o. Por simplicidade de calculo, adota-se : .kN1,17 2 40cos.2,18 2 40cos.NN oo dd,AB β = (180 - α) / 2 C B A β β α 3,75 C B A 500 900 40o NAB,d NBC,d Nd 40o = (90 - α) C B A 900 α β Nd x 3,75 C B A Rd mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 21/59 A componente da força NBC,d , é desconsiderada no calculo : sua intensidade é pequena, e a área de contato BC é muito grande, gerando tensões muito baixas, absorvidas com facilidade pelas peças de madeira. Por outro lado, o apoio da tesoura no pilar indicado, gera tensões de contato que solicitarão normalmente as fibras da peça horizontal : .kN7,1140sen.2,1840sen.NR oodd .kN0,1440cos.2,1840cos.NH oodd d) Características mecânicas do Eucalipto Dunnii : Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = 1,37 kN/cm2 ; fV0,d = 0,17 kN/cm2 ; fc90,d= 0,34 kN/cm2 ; 2 222 d,90,c 2 d,0,c d,90,cd,0,c d,40,c cm/kN61,040cos.34,040sen.37,1 34,0.37,1 40cos.f40sen.f f.f f . e) Verificação das tensões de contato na área AB : 2 d,40,c AB d,AB AB cm/kN61,0f60,05,7.75,3 1,17 A N . Verifica ! A verificação ao esmagamento por compressão será feita pela peça menos resistente, no caso, a peça inclinada, pois as tensões formam um ângulo de 40o com as fibras, ao contrário da peça horizontal, cujas tensões são paralelas às fibras. f) Verificação do encaixe ao cisalhamento horizontal : d,0v* d vd fx.5,7 H cm11~ 17,0.5,7 0,14 f.5,7 Hx d,0V d * largura das peças = 7,5 cm. g) Verificação das tensões de compressão no apoio da tesoura sobre o pilar : 2 nd,90cd90,c cm/kN37,010,1.34,0.ff ; n = 1,1 para c = 10 cm (tabela 19) ; d,90c PILARCONTATO d d,90c f16,010.5,7 7,11 A R = 0,37 kN/cm2 . Verifica ! Hd 90o Rd Nd 40o Hd Nd x mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 22/59 Observação : Se não houvessem sido verificadas as tensões atuantes na face AB, poder-se-ia lançar mão do recurso de executar dentes duplos. Com esta providência, as tensões de contato caem pela metade, por dispor-se de duas áreas AB. A técnica para realização do encaixe segue o critério anterior : A componente de força NAB é absorvida nas duas áreas AB, e a componente Hd é absorvida na área b.x . Quando se optar pelos dois encaixes, há a possibilidade de reduzir a profundidade do encaixe e. Exercício 4.13 : Encaixe entre peças de madeira (2oTE/2006) : Determinar, pela condição de segurança, o máximo valor do esforço “NQk” que pode ser aplicado ao nó de extremidade da tesoura de madeira, indicado nas figuras. Em seguida, para este máximo valor de “NQk”,determinar o mínimo valor de “x”. 1- Madeira : CANELA – 2a. categoria – qualidade estrutural. 2- Dimensões indicadas em centímetros. 3- Critério da NBR-7190 / 1997. 4- Esforço Atuante : Nk = NGk + NQk ; NGk = 10 kN (permanente), e NQk = ? kN (sobrecarga). 5- Estado Limite Último : Combinação Normal. Solução a) Características mecânicas da Canela : fc0,m = 48,7 MPa = 4,87 kN/cm2, fc0,k = 0,7 x 4,87 = 3,41 kN/cm2, 2 c k0c modd0c cm/kN36,14,1 41,3.56,0f.kf ; 2 d0cd,90,c cm/kN34,036,1.25,0f.25,0f ; 2 222 d,90,c 2 d,0,c d,90,cd,0,c d,30,c cm/kN78,030cos.34,030sen.36,1 34,0.36,1 30cos.f30sen.f f.f f ; 10 Nk 5 300 15 Nk 10 Elevação Seção S S A B C x = ? mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 23/59 fV0,m = 9,6 MPa = 0,96 kN/cm2, fV0,k = 0,54 x 0,96 = 0,52 kN/cm2, 2 V k0V modd0V cm/kN16,08,1 52,0.56,0f.kf . b) Combinação das ações : E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (10 + NQk). c) Esforços gerados em AB : o d o dd,AB 15cos.N2 30cos.NN dd,AB N.9659,0N d o dd N.8666,030cos.NH d) Verificação das tensões de contato na área AB : 2 d,30,c dd AB d,AB AB cm/kN78,0f765,51 N 10.5 N.9659,0 A N Nd = 40,3 kN. e) Valor máximo de NQk : Nd = 40,3 = 1,4 x (10 + NQk) NQk = 18,8 kN. f) Valor mínimo de “x” : d,0v d vd fx.10 H cm22~8,21 16,0.10 3,40.8666,0 f.10 Hx d,0V d Exercício 4.14 : Encaixes (2o. TE 2007) : Determinar o máximo valor característico (Gk) do esforço permanente aplicado à barra inclinada do nó indicado nas figuras : a) em função do cisalhamento na barra horizontal. NAB,d NBC,d Nd 30o Hd 90o Rd Nd 30o mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 24/59 b) Em função das tensões de contato no encaixe (área AB). Considerar : 1- Critério da NBR-7190/1997. 2- Dimensões indicadas em cm. 3- ELU - Combinação normal. 4- Madeira de CEDRO DOCE, 2a. categoria, qualidade estrutural. 5- Esforço atuante : Gk = ? kN (permanente). Solução a) Características mecânicas do CEDRO DOCE : fc0,m = 31,5 MPa = 3,15 kN/cm2, fc0,k = 0,7 x 3,15 = 2,21 kN/cm2, 2 c k0c modd0c cm/kN88,04,1 21,2.56,0f.kf ; 2 d0cd,90,c cm/kN22,088,0.25,0f.25,0f ; 2 222 d,90,c 2 d,0,c d,90,cd,0,c d,35,c cm/kN44,035cos.22,035sen.88,0 22,0.88,0 35cos.f35sen.f f.f f ; fV0,m = 5,6 MPa = 0,56 kN/cm2, fV0,k = 0,54 x 0,56 = 0,30 kN/cm2, 2 V k0V modd0V cm/kN09,08,1 30,0.56,0f.kf . b) Combinação de ações : E.L.U.: Gd = 1,4 x Gk . c) Esforços gerados nos encaixes : o k o dd,AB 5,17cos.G.4,12 35cos.GG = 1,335. Gk , .G147,135cos.G.4,135cos.GH k o k o dd d) Verificação das tensões de contato na área AB : S Seção 7,5 Gk 7,5 2,5 Elevação 7,5 350 10 Gk 10 Gd 10 2,5 C B A GAB,d Hd Gd 35o mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 25/59 2 d,35,c kd,AB AB d,AB AB cm/kN44,0f5,7.5,2 G.335,1 5,7.5,2 G A G Gk = 6,18 kN. e) Verificação do encaixe ao cisalhamento horizontal : 2 d,0v kd vd cm/kN09,0f10.5,7 G.147,1 10.5,7 H ; .kN89,5 147,1 10.5,7.09,0Gk Resposta : Gk = 5,89 kN. Exercício 4.15 : Encaixe entre peças de madeira (2oTE/2008) : Projetar a ligação (por encaixe) entre as peças 1 e 2, indicada nas figuras, estabelecendo o valor do encaixe (e), pelas tensões decorrentes do contato entre elas. Considerar : 1- Critério da NBR-7190/1997. 2- Dimensões indicadas em cm. 3- ELU - Combinação normal. 4- Madeira : PINUS ELLIOTTII, 2a. categoria, qualidade estrutural. 5- Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk , NGk = 5 kN (permanente), NQk = 3 kN (sobrecarga). Solução a) Características mecânicas do PINUS ELIOTTII : fc0,m = 40,4 MPa = 4,04 kN/cm2 ; fc0,k = 0,7 x 4,04 = 2,83 kN/cm2 ; 2 c k0c modd0c cm/kN13,14,1 41,3.56,0f.kf ; 2 d0cd,90,c cm/kN28,013,1.25,0f.25,0f ; 2 222 d,90,c 2 d,0,c d,90,cd,0,c d,60,c cm/kN35,0 60cos.28,060sen.13,1 28,0.13,1 60cos.f60sen.f f.ff ; fV0,m = 7,4 MPa = 0,74 kN/cm2 ; fV0,k = 0,54 x 0,74 = 0,40 kN/cm2 ; Hd Gd 10 15 750 Nk 450 600 e=? Elevação Seção 2, 5 Nk 2, 5 7, 5 1 2 mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 26/59 2 V k0V modd0V cm/kN12,08,1 40,0.56,0f.kf . b) Combinação das ações : E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 3) = 11,2 kN. c) Esforços gerados em AB : o d o dd,AB 30cos.N2 60cos.NN kN7,92,11.866,0N d,AB . d) Verificação das tensões de contato na área AB : 2 d,60,c AB d,AB AB cm/kN35,0f5,7.e 7,9 A N e ≥ 3,7 cm ; Considerando que o máximo valor indicado para o recorte da peça (e) é h/4 = 15/4 = 3,75 cm, um encaixe simples pode resolver a ligação com segurança. Exercício 4.16 : Flexão simples : Determinar o valor mínimo da altura “h” da viga de madeira indicada nas figuras, para que sejam respeitadas as condições de segurança. 1- Madeira conífera,Classe de Resistência C-30. 2- Dimensões indicadas em centímetros. 3- Critério da NBR-7190 / 1997. 4- Cargas aplicadas : gk = 1,0 kN/m (permanente), e Qk = 2,0 kN (sobrecarga). Solução A solução deste exercício pode ser dada calculando-se teoricamente a altura “h” em função dos critérios da NBR-7190 / 1997. É uma solução matematicamente trabalhosa, razão pela qual, na prática, e neste exemplo, será feita por tentativa, arbitrando-se uma altura inicial h h=? 5 gk Qk L/2 L 400 20 20 NAB,d NBC,d Nd 60o 15 750 450 600 Detalhe e A B C mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 27/59 “h” e fazendo-se as verificações. Em caso de fracasso, novas tentativas serão feitas sucessivamente, até uma solução adequada. O valor adotado para a primeira tentativa é h = 25 cm. a) Vão de cálculo : L = cm420 2 20400 2 20 , ou L = 400 + 25 ( cm10 ) = 400 + 10 L = 410 cm. b) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = ft0,d = 1,2 kN/cm2 ; fv0,d = 0,18 kN/cm2 ; Ec0,ef = 812 kN/cm2 ; c) Combinações de Ações : E.L.U.: Fd = .kN8,2cm kN014,00,2.4,101,0.4,1FFF.F. QdGdQQGG ; E.L.Uti.: Fd = .kN0,2.2,0cm kN01,00,2.01,0F.FF.F 2Qd2GdQ2G d) Tensões normais de flexão (ELU) : d.1) momentos fletores : Md = cm.kN2,5814 410.8,2 8 410.014,0 4 L.Q 8 L.g 2 d 2 d d.2) Verificação das tensões de flexão (equações 4.23 a 4.26) : W = 3 22 cm8,520 6 25.5 6 h.b ; 2 d d,t/c cm kN20,112,1 8,520 2,581 W M , verifica! Considerou-se que a viga não tem possibilidade de flambagem da região comprimida. e) Tensões tangenciais de cisalhamento (ELU) : e.1) esforços cortantes : Vd = kN27,42 8,2 2 410.014,0 2 Q 2 L.g dd Md Vd mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 28/59 e.2) Verificação das tensões de cisalhamento (equações 4.20 e 4.32) : 2 d vd cm kN18,0051,0 25.5 27,4. 2 3 h.b V. 2 3 , verifica! e.3) Observação : Não foi necessário, mas a NBR-7190 permite a redução do valor de Vd nas regiões próximas aos apoios diretos (equação 4.33): Vred = 4,27 – 50. 0,014 = 3,57 kN. f) Flecha máxima (ELUti) (equações 4.35 e 4.36) : 200 L I.E.48 L.Q. I.E.384 L.g.5u Xef,0c 3 k 2 Xef,0c 4 k d ; sendo IX = 4 3 cm6510 12 25.5 , cm05,2 200 410cm81,0 6510.812.48 410.0,2.2,0 6510.812.384 410.010,0.5u 34 d verifica! g) Conclusão : Foram verificadas as duas condições de segurança : Estados Limites Últimos, com as respectivas Tensões Normais de Flexão e Tensões Tangenciais de Cisalhamento, e Estados Limites de Utilização, com as deformações. Todas as três verificações ocorreram com uma certa distância dos valores limites de calculo, exceto pela verificação da flexão. Como o processo de verificação foi o de tentativas, caberia uma segunda tentativa, tomando-se h = 20 cm, se não houvesse uma proximidade tão grande na verificação da flexão. h) Verificação da Instabilidade Lateral (equações 4.27 a 4.31) : Caso não houvesse o travamento da região comprimida da viga, deveríamos verificar a instabilidade lateral, considerando travamento apenas nas duas extremidades, isto é : L1 = L = 410 cm ; h/b = 25/5 = 5 ; L1/b = 410/5 = 82. Vred 2.h = 50 cm Vd mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 29/59 7,18 63,05 5.5,3 63,0b h b h .5,3 2 1 2 3 2 1 2 3 M ; 36 2,1.7,18 812 f. E d,0cM ef,0c ; L1/b = 82 > 36 ; M 1 ef,0c d,1c .b L E ou seja : 53,0 7,18.82 81212,1 não verifica ! Exercício 4.17 : (EF-2005) Flexão simples reta : Determinar o valor mínimo de “h” (múltiplo de 2,5 cm), na seção transversal da viga de madeira indicada nas figuras, atendendo às condições de segurança previstas na NBR-7190. 1) Critério da NBR-7190/1997. 2) Dimensões em centímetros. 3) Madeira MOGNO, de 2a. categoria : fc,0,m = 53,6 MPa , fv,0,m = 10,0 MPa , Ec,0,m = 14.487 MPa . 4) ELU = Combinação Normal. 5) Cargas aplicadas : gk = 1 kN/m (permanente), Qk = 2 kN (sobrecarga). Solução a) combinação das ações : E.L.U.: m/kN4,1kN8,21.4,12.4,1Q.4,1g.4,1F kkd ; E.L.Uti.: Fd = .kN4,0cm/kN01,0m/kN0,2.2,0cm/kN01,0F.F Q2G b) propriedades mecânicas do MOGNO : fcom = 53,6 MPa = 5,36 kN/cm2 ; fcok = 0,7. fcom = 0,7. 5,36 MPa = 3,75 kN/cm2 ; 2 c k0c modd0c cm/kN5,14,1 75,3.56,0f.kf . fvom = 10,0 MPa = 1,0 kN/cm2 ; fvok = 0,54. fvom = 0,54. 1,0 = 0,54 kN/cm2 ; gk Qk 300 Qk 100 100 100 Esquema 5 h=? Seção mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 30/59 2 c vok modd0v cm/kN17,08,1 54,0.56,0f.kf . c) altura “h” determinada pela condição de segurança à flexão : c.1) determinação do máximo momento fletor : Mgd = (1,4. 10-2 . 3002) / 8 = 157,5 kN.cm MQd = (2,8. 100. 200 / 300) / 8 = 186,7 kN.cm MQ1d = MQ2d = MQd. 150 / 200 = 140,0 kN.cm Md,MAX = Mgd + MQ1d + MQ2d Md,MAX = 157,5 + 140 + 140 = 437,5 kN.cm c.2) verificação da condição de segurança à flexão : 2 d d,t/c cm kN50,1 W 5,437 W M , W 437,5 / 1,5 = 291,7 cm3 , W = 6 h.5 6 h.b 22 291,7 h 18,7 cm. d) altura “h” determinada pela condição de segurança ao cisalhamento : d.1) determinação do máximo esforço cortante : Vd = kN9,48,22 300.10.4,1Q 2 L.g 2 d d d.2) verificação da condição de segurança ao esforço cortante : 17,0 h.5 9,4. 2 3 h.b V. 2 3 d vd h 8,75 cm. e) altura “h” determinada pela deformação : cm5,1 200 300 200 L I.3,811.2,28 300.0,2.2,0 I.3,811.384 300.01,0.5* I.E.2,28 L.Q. I.E.384 L.g.5u X 3 X 4 Xef 3 k 2 Xef 4 k * Esta expressão refere-se à máxima flecha proporcionada por um par de cargas concentradas aplicadas nos terços do vão da viga. IX,MIN = 1181 cm4 1181,4 12 h.5 12 h.b 33 h 14,2 cm. h (18,7 ; 8,75 ; 14,2) Resposta : h = 20 cm. gd Qd Mgd Qd 100 50 + 50 MQ1d MQ2d MQd 100 M d, M A X + = Vgd + VQ2d V d ,M A X = mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 31/59 Exercício 4.18 : (2O.TE-2006) : Flexão simples reta : Determinar, para a viga de madeira indicada nas figuras, o máximo valor da carga uniforme distribuída “qk” que pode ser aplicada, em função das condições de segurança (flexão, cisalhamento e deformação). Considerar travamento lateral da região comprimida da seção, ao longo de todo o vão (sem instabilidade lateral). Considerar : 1) Madeira DICOTILEDÔNEA, classe de resistência C-60, 2a. categoria ; qualidade estrutural. 2) Dimensões indicadas em centímetros. 3) Critério da NBR-7190/1997. 4) Cargas aplicadas : gk = 2 kN/m (permanente); qk = ? kN/m (sobrecarga). 5) E.L.U. = Combinação Normal. E.L.Uti.=Combinação de Longa Duração. Solução : a) Características mecânicas da Dicotiledônea C-60 : fc0,k = 60 MPa = 6,0 kN/cm2, 2 d0c cm/kN4,24,1 0,6.56,0f ; fV0,k = 8 MPa = 0,8 kN/cm2, 2 d0V cm/kN25,08,1 8,0.56,0f ; Ec0,m = 24.500 MPa = 2.450 kN/cm2, 2 ef,0c cm/kN13722450.56,0E . b) ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS : b.1) Tensões de Flexão : Md = 8 400.)q02,0(.4,1 8 L.q 8 L.g 2 k 2 d 2 d = 28.000 . )q02,0( k ; W = 3 22 cm67,666 6 20.10 6 h.b ; 67,666 )q02,0.(28000 W M kd d,t/c = 2,4 gk 400 10 20 Esquema Seção qk = ? Md mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 32/59 qk = 0,0371 kN/cm = 3,71 kN/m. b.2) Tensões de Cisalhamento : Vd = 2 400.)q02,0(.4,1 2 L.q 2 L.g kdd = 280. )q02,0( k ; 25,0 20.10 )q(0,02280.. 2 3 h.b V. 2 3 kd vd ; qk = 0,099 kN/cm = 9,90 kN/m. c) ESTADO LIMITE de UTILIZAÇÃO : IX = 4 3 cm7,6666 12 20.10 ; cm0,2 200 400 200 L 7,6666.1372.384 400.q.5.20,0 7,6666.1372.384 400.02,0.5u 4 k 4 d ; qk = 0,1744 kN/cm = 17,44 kN/m. d) RESPOSTA : qk,MAX = 3,71 kN/m. Exercício 4.19 : (2o. TE - 2007) : Flexão simples reta - Determinar o diâmetro mínimo “d” da escora de madeira roliça sujeita à flexão simples, conforme indicado nas figuras. Considerar apenas o critério das tensões de flexão e deformações (omitir o cálculo pelo cisalhamento). Considerar : 1- Critério da NBR-7190/1997. 2- Dimensões indicadas em cm. 3- ELU - combinação normal, e ELUTI – combinação de longa duração. 4- Madeira de EUCALIPTO CITRIODORA, 2a. categoria, qualidade estrutural. 5- Esforços atuantes : Pk = 5 kN (sobrecarga), e gk = 3 kN/m (permanente). Vd gk d =? Pk H = 3 00 15 0 SEÇÃO ELEVAÇÃO mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 33/59 Solução a) Propriedades mecânicas do EUCALIPTO CITRIODORA : fc0m = 62,0 MPa = 6,20 kN/cm2 ; fc0k = 0,7. fc0m = 0,7. 6,20 = 4,34 kN/cm2 ; 2 c k0c modd0c cm/kN74,14,1 34,4.56,0f.kf ; fv0m = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 ; fv0k = 0,54. fv0m = 0,54. 1,07 = 0,58 kN/cm2 ; 2 V k0V modd0V cm/kN18,08,1 58,0.56,0f.kf ; Ec,0,m = 18421 MPa = 1842,1 kN/cm2 ; Ec,0,ef = .kmod Ec,0,m = 0,56. 1842,1 = 1031,6 kN/cm 2 . b) combinação das ações : b.1) E.L.U.: kN7m/kN042,05.4,103,0.4,1Q.4,1g.4,1F kkd b.2) E.L.Uti.: Fd = .kN0,1cm/kN03,00,5.2,003,0F.F Q2G c) Esforços atuantes : Md = cm.kN5,9974 300.7 8 300.042,0 4 L.P 8 L.g 2d 2 d . d) Tensões normais de flexão (ELU) : ;f W M d0c d Md 32 d. 2 d 64 d. y IW 3 4 X ; ;74,1f 32 d. 5,997 d0c3Md d 18 cm a) Deformações : uef = ug + uP ; cm5,1 200 300 I.6,1031.48 300.0,5.2,0 I.6,1031.384 300.03,0.5u 34 ef ; I ≥ 2408,27 cm4 ; mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 34/59 I = 64 d. 4 = 2408,27 ; d 15 cm Resposta : d = 18 cm. Exercício 4.20 : (2O.TE-2008) : Flexão simples reta : Determinar o máximo valor do vão “L” da viga de madeira indicada nas figuras, sujeita à flexão simples reta, para que sejam respeitadas as condições de segurança. Considerar : 1- Critério da NBR-7190/1997. 2- Dimensões indicadas em cm. 3- ELU - Combinação normal. 4- Madeira Dicotiledônea – CLASSE C-40, 2a. categoria, qualidade estrutural. 5- Esforços atuantes : gk = 0,4 kN/m (permanente), qk = 2,4 kN/m (sobrecarga). Solução : a) Características mecânicas da Dicotiledônea C-60 : fc0,k = 40 MPa = 4,0 kN/cm2, 2 d0c cm/kN6,14,1 0,4.56,0f ; fV0,k = 6 MPa = 0,6 kN/cm2 ; 2 d0V cm/kN19,08,1 6,0.56,0f ; Ec0,m = 19.500 MPa = 1.950 kN/cm2 ; 2 ef,0c cm/kN10921950.56,0E . b) Propriedades Geométricas da Seção Transversal : IX = 4 3 cm4,2109 12 15.5,7 ; WX = 3 22 cm25,281 6 15.5,7 6 h.b . c) ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS : gk = 0,4 kN/m = 0,004 kN/cm ; qk = 2,4 kN/m = 0,024 kN/cm. c.1) Verificação da segurança pelas Tensões de Flexão : gk L=? 7,5 15 qk SEÇÃO ELEVAÇÃO mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 35/59 Md = 8 L.)024,0004,0(.4,1 8 L.q 8 L.g 22d2d = 0,0049. L2 (kN. cm) 6,1f 25,281 L.0049,0 W M d0c 2 d d,t/c L ≤ 303 cm. c.2) Verificação da segurança pelas Tensões de Cisalhamento : Vd = 2 L.)024,0004,0(.4,1 2 L.q 2 L.g dd = 0,020 . L ; 19,0 15.5,7 L). ( 0,020. 2 3 h.b V. 2 3 d vd L ≤ 712 cm. d) ESTADO LIMITE de UTILIZAÇÃO : gd = gk ; qd = 2 . qk d.1) Verificação da flecha : 200 L 4,2109.1092.384 L.024,0.5.20,0 4,2109.1092.384 L.04,0.5u 44 d L ≤ 462 cm. e) RESPOSTA : LMAX = 300 cm. Exercício 4.21 : (Nv.Av. - 2008) Flexão simples reta : Verificar as condições de segurança da viga de madeira indicadas nas figuras. 1) E.L.U. = Combinação normal. 2) Critério da NBR-7190/1997. 3) Dimensões em centímetros. 4) Madeira DICOTILEDÔNEA C-40, 2a. categoria, qualidade estrutural. 5) Esforços atuantes : gk = 1,5 kN/m (permanente), Pk = 1 kN (sobrecarga). Solução Md Vd 20 7,5 SEÇÃO X ELEVAÇÃO gk Pk 450 Pk 150 150 150 mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 36/59 a) propriedades mecânicas da DICOTILEDÔNEA C-40 : fcok = 40 MPa = 4,0 kN/cm2 ; 2 c k0c modd0c cm/kN6,14,1 0,4.56,0f.kf . fvok = 6 MPa = 0,6 kN/cm2 ; 2 c vok modd0v cm/kN19,08,1 6,0.56,0f.kf ; Ec,0,m = 19500 MPa = 1950 kN/cm2 ; Ec,0,ef = .kmod Ec,0,m = 0,56. 1950 = 1092kN/cm 2 . b) Propriedades Geométricas da Seção Transversal : IX = 4 3 cm5000 12 20.5,7 ; WX = 3 22 cm500 6 20.5,7 6 h.b . c) Determinação dos esforços solicitantes de cálculo : c.1) determinação do máximo esforço cortante : Vd,MAX = 1 2 450. 100 5,1.4,1 ; Vd,MAX = 6,13 kN. c.1) determinação do máximo momento fletor : Md,MAX = 6,13. 150 - 2 150. 100 5,1.4,1 2 + 8 150. 100 5,1.4,1 2 ; Md,MAX = 742,3 kN.cm . d) Verificação das condições de segurança : d.1) verificação da condição de segurança à flexão : 2d0c X d d,M cm kN60,1f48,1 500 6,741 W M . Verifica! d.2) verificação da condição de segurança ao cisalhamento : 2d0v d vd cm kN19,0f06,0 20.5,7 13,6. 2 3 h.b V. 2 3 . Verifica! d.3) verificação das deformações : gd Pd Mgd Pd 150 75 + 75 150 Vgd + VP2d = MP2d MP1d = M d, M A X V d ,M A X + mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 37/59 ; 5000.1092.2,28 450.0,1.2,0 5000.1092.384 450.015,0.5* I.E.2,28 L.P. I.E.384 L.g.5u 34 Xef 3 k 2 Xef 4 k d cm25,2 200 450 200 Lcm59,112,047,1ud . Verifica! * Esta expressão refere-se à máxima flecha proporcionada por um par de cargas concentradas aplicadas nos terços do vão da viga. Conclusão : a viga suporta com segurança as cargas previstas. Exercício 4.22 : Flexão oblíqua : Verificar as condições de segurança da terça de madeira indicada nas figuras. 1- Madeira dicotiledônea, Classe de Resistência C-30. 2- Dimensões indicadas em centímetros. 3- Critério da NBR-7190 / 1997. 4- Cargas atuantes : gk = 0,80 kN/m2 (permanente= peso próprio + telhas), qk = 0,50 kN/m2 (sobrecarga). Solução a) Combinações de Ações : a.1) cargas atuantes na terça : gk = 0,8 kN/m2 . 1,13 m = 0,904 kN/m = 0,00904 kN/cm ; qk = 0,5 kN/m2 . 1,13 m = 0,565 kN/m = 0,00565 kN/cm . a.2) decomposição das ações nas direções X e Y : gk,X = 0,00904 . cos 200 = 0,0085 kN/cm ; gk,Y = 0,00904 . sen 200 = 0,0031 kN/cm ; qk,X = 0,00565 . cos 200 = 0,0053 kN/cm ; qk,Y = 0,00565 . sen 200 = 0,0020 kN/cm ; a.3) combinações de ações : ELU : M + V : QQGGd F.F.F 15 120 113 113 20o 7,5 113 113 Planta telhado qk gk L = 200 mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 38/59 ELUti : f : Q2Gd F.FF ; onde 2,02 . b) Características geométricas da seção transversal : A = 7,5 . 15 = 112,5 cm2 ; IX = 12 15.5,7 3 = 2109 cm4 ; IY = 12 5,7.15 3 = 527 cm4 ; WX = b.h2 / 6 = 7,5.152/6 = 281 cm3 ; WY= h.b2 / 6 = 15.7,52/6 = 141 cm3 . c) Valores de cálculo das propriedades mecânicas : Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fco,d = 1,2 kN/cm2 ; fvo,d = 0,16 kN/cm2 ; Ec0,ef = 812 kN/cm2 . d) Verificação das tensões de flexão (ELU) : d.1) Eixo X : cm.kN6,96 8 200 . 0,0053 . 1,4 8 200 . 0,0085 . 1,4 M 22 Xd, . d.2) Eixo Y : cm.kN7,35 8 200 . 0,0020 . 1,4 8 200 . 0,0031 . 1,4 M 22 Yd, . d.3) Verificação : 2 X d,X d,X,M cm/kN35,0281 6,96 W M ; 2 Y d,Y d,Y,M cm/kN25,0141 7,35 W M ; 140,0 20,1 25,0.5,0 20,1 35,0 f .k f wd d,MY M wd d,Mx verifica ! 136,0 20,1 25,0 20,1 35,0.5,0 ff .k wd d,MY wd d,Mx M verifica ! e) Verificação das tensões de cisalhamento (ELU) : mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 39/59 e.1) Eixo X : kN93,1 2 002 . 0,0053 . 1,4 2 002 . 0,0085 . 1,4 V Xd, ; e.2) Eixo Y : kN72,0 2 002 . 0,0020 . 1,4 2 002 . 0,0031 . 1,4 V Yd, ; e.3) Verificação : 2 d,0V d,X d,X cm/kN16,0f03,015.5,7 93,1. 2 3 h.b V . 2 3 verifica ! 2 d,0V d,Y d,Y cm/kN16,0f01,05,7.15 72,0. 2 3 b.h V . 2 3 verifica ! f) Verificação das flechas (ELUti) : f.1) Eixo X : .cm1 200 200 200 Lcm12,0 2109.812.384 002 . 0,0053 . 5.2,0 2109.812.384 002 . 0,0085 . 5 U 44 X verifica ! f.2) Eixo Y : .cm1 200 200 200 Lcm17,0 527.812.384 002 . 0,0020 . 5.2,0 527.812.384 002 . 0,0031 . 5 U 44 Y verifica ! g) Observação final : A norma NBR-6120, especifica, no item 2.2.1.4, que todo elemento isolado de coberturas (ripas, terças, barras de banzo superior de treliças), deve ser projetado, para receber, na posição mais desfavorável, uma carga vertical de 1 kN, além da carga permanente : g.1) Verificação das tensões de flexão (ELU) : g.1.1) Eixo X : cm.kN3,125 4 200. )20 cos . (1 . 1,4 8 200 . 0,0085 . 1,4 M 02 Xd, . 100 Qk=1 kN L = 200 gk mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 40/59 g.1.2) Eixo Y : cm.kN7,45 4 002 . )20sen.(1 . 1,4 8 200 . 0,0031 . 1,4 M 02 Yd, . g.1.3) Verificação : 2 X d,X d,X,M cm/kN45,0281 3,125 W M ; 2 Y d,Y d,Y,M cm/kN32,0141 7,45 W M 151,0 20,1 32,0.5,0 20,1 45,0 f .k f wd d,MY M wd d,Mx verifica ! 145,0 20,1 32,0 20,1 45,0.5,0 ff .k wd d,MY wd d,Mx M verifica ! g.2) Verificação das tensões de cisalhamento (ELU) : g.2.1) Eixo X : kN66,1 2 20 cos . 1 2 002 . 0,0085 . 1,4 V 0 Xd, . g.2.2) Eixo Y : kN61,0 2 02 sen . 1 2 002 . 0,0031 . 1,4 V 0 Yd, . g.2.3) Verificação : 2d,0V d,X d,X cm/kN16,0f02,015.5,7 66,1. 2 3 h.b V . 2 3 verifica ! 2d,0V d,Y d,Y cm/kN16,0f01,05,7.15 61,0. 2 3 b.h V . 2 3 verifica ! g.3) Verificação das flechas (ELUti) : g.3.1) Eixo X : .cm1 200 200 200 Lcm12,0 2109.812.48 002 . 20 cos . 1.2,0 2109.812.384 002 . 0,0085 . 5 U 304 X verifica ! g.3.2) Eixo Y : .cm1 200 200 200 Lcm18,0 527.812.48 002 .20 sen . 1.2,0 527.812.384 002 . 0,0031 . 5 U 304 Y verifica ! mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 41/59 Exercício 4.23 : Flexo-tração: Verificar a condição de segurança da barra horizontal da tesoura de madeira, indicada no exercício 4.3, supondo-se que não é possível apoiar o respectivo nó diretamente sobre o pilar. 1- Madeira dicotiledônea, Eucalipto Dunnii. 2- Dimensões indicadas em centímetros. 3- Critério da NBR-7190 / 1997. 4- Esforço normal no banzo superior : Nd = 18,2 kN (exercício 4.12) Solução a) Esforços gerados na barra : a.1) equilíbrio do nó : Nd = 18,2 kN ; Rd = 18,2.sen 400 = 11,7 kN ; Td = 18,2.cos 400 = 14,0 kN . a.2) momento fletor gerado na barra horizontal : a.2.1) apoio deslocado : Md,1 = Rd.10 = 11,7 . 10 = 117 kN.cm ; a.2.2) excentricidade gerada pelo encaixe : Md,2 = Td. 2 75,3 = 14,0 . 1,875 = 26,25 kN.cm ; Md = Md,1 + Md,2 = 117,0 + 26,25 =143,25 kN.cm a.3) esforços gerados na barra horizontal : Td = 14,0 kN ; Md = 143,25 kN.cm : Observar que a seção sujeita ao momento fletor máximo, corresponde ao ponto onde se realizou o encaixe do banzo superior, ou seja, está enfraquecida em 25% de sua altura. b) Características mecânicas do Eucalipto Dunnii : Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : ft0,d = 1,37 kN/cm2 ; Ec0,ef = 1009,6 kN/cm2 . 15 115 Td Elevação Seção 10 7,5 Nd 400 10 S S Nd 90o Td Rd Nd 40o Md 10 Rd 115 e/2 Td e mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 42/59 c) Verificação da segurança (equações 4.44 e 4.45) : Não há momento fletor em torno do eixo Y, razão pela qual, as expressões de verificação da segurança referidas ficam reduzidas à equação 4.44 : 2 livre d d,Nt cm/kN17,025,11.5,7 0,14 A T ; 22 X d,X d,X,M cm/kN91,0 6 25,11.5,7 25,143 W M ; 178,0 37,1 91,0 37,1 17,0 f 0 .)5,0k( ff d,0t d,MY M d,0t d,Mx d,0t d,Nt verifica ! Exercício 4.24 : Flexo-compressão: Verificar a condição de segurança do pilar de madeira, indicado nas figuras, sujeito ao esforço de compressão concentrado excêntrico Gk e à carga transversal distribuída do vento qwYk. 1- Madeira dicotiledônea, Itaúba. 2- Dimensões indicadas em centímetros.3- Critério da NBR-7190 / 1997. 4- Esforço atuantes : Gk = 80,0 kN (permanente); eX = 5 cm ; qwYk = 5 kN/m = 0,05 kN/cm (vento). Solução a) Combinação de ações (ELU) : QQGGd F.F.F = wGwGwQGGd F.05,1F.4,1F.4,1.75,0F.4,1F..75,0F.F b) Esforços gerados no pilar : b.1) ação permanente (carga concentrada excêntrica Gk) : Gd = 1,4 . Gk = 1,4 . 80 = 112 kN. MG,X,d = Gd . eX = 112 . 5 = 560 kN.cm qwYk 15 Elevação eX L=L0 = 300 Gk qwYk Gk 20 eX Y Seção X Gd= 112 kN MYd = 590,6 kN.cm X MXd = 560 kN.cm 15 20 Y Seção mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 43/59 b.2) ação variável (carga distribuída qwYk) : qwYd = 1,05 . 0,05 = 0,053 kN/cm ; Mw,y,d = qwYd . L2 / 8 = 0,053 . 3002 / 8 = 590,6 kN.cm . c) Propriedades mecânicas da Itaúba : fc0,d = 2,21 kN/cm2 ; Ec0,ef = 1266,3 kN/cm2 . d) Características geométricas do pilar : d.1) Eixo X : A = 20 . 15 = 300 cm2 ; IX = 12 15.20 3 = 5625 cm4 ; cm33,4 300 5625 A Ii XX ; 69 33,4 300 i L X 0 X ; 3 22 X cm7506 15.20 6 h.bW . d.2) Eixo Y : IY = 12 20.15 3 = 10000 cm4 ; cm77,5 300 10000 A Ii YY ; 52 77,5 300 i L Y 0 Y ; 3 22 Y cm10006 20.15 6 h.bW . e) 1A. verificação : Verificação da resistência : e.1) determinação das tensões atuantes : mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 44/59 2dNcd cm/kN37,0300 112 A G ; 2 X Xd MXd cm/kN75,0750 560 W M ; 2 Y Yd MYd cm/kN59,01000 3,596 W M ; e.2) Verificação (equações 4.48 e 4.49) : d,0c d,MY M d,0c d,MX 2 d,0c d,Nc f .k ff 150,0 21,2 59,0.5,0 21,2 75,0 21,2 37,0 2 verifica ! d,0c d,MY d,0c d,MX M 2 d,0c d,Nc ff .k f 146,0 21,2 59,0 21,2 75,0.5,0 21,2 37,0 2 verifica ! f) 2A. verificação : Verificação da estabilidade (equações 4.4 a 4.11) : f.1) eixo X : X = 69 (peça medianamente esbelta) : f.1.1) determinação de Md : cm5,0 30 15 30 h5 112 560 N Me d d1 i ; cm1 300 300 300 Le 0a ; e1 = ei + ea = 5 + 1 = 6 cm ; kN2,781 300 5625.3,1266. L I.E. F 2 2 2 0 eixoef,0c 2 E ; cm7 1122,781 2,781.6 NF F.ee dE E 1d ; Md = Nd . ed = 112 . 7 = 784,5 kN.cm f.1.2) determinação das tensões Nd e Md : 2dNd cm/kN37,0300 112 A N ; 2 X d Md cm/kN05,1750 5,784 W M . mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 45/59 f.1.3) verificação : 0,164,0 21,2 05,1 21,2 37,0 ff d,0c Md d,0c Nd verifica ! f.2) eixo Y : Y = 52 (peça medianamente esbelta) : f.2.1) determinação de Md : !cm67,0 30 20 30 h3,5 112 6,590 N Me d d1 i cm1 300 300 300 Le 0a ; e1 = ei + ea = 5,3 + 1 = 6,3 cm ; kN7,1388 300 10000.3,1266. L I.E. F 2 2 2 0 eixoef,0c 2 E ; cm8,6 1126,1388 6,1388.3,6 NF F.ee dE E 1d ; Md = Nd . ed = 112 . 6,8 = 764,3 kN.cm . f.2.2) determinação das tensões Nd e Md : 2dNd cm/kN37,0300 112 A N ; 2 Y d Md cm/kN76,01000 8,772 W M . f.2.3) verificação : 0,151,0 21,2 76,0 21,2 37,0 ff d,0c Md d,0c Nd verifica ! Exercício 4.25 : (5o. TE/2005) Flexo-compressão: Para o elemento flexo-comprimido indicado nas figuras, verificar a condição de segurança. Dados : 1) critério da NBR-7190/1997. 2) dimensões em centímetros. 3) madeira = CONÍFERA C-25 : 2a. Categoria = qualidade estrutural fc,0,k = 25 MPa.; Ec,0,m = 8.500 MPa. 10 Y 15 Seção Transversal gkY Elevação L= L o X= L oY =2 20 Nk gkY Nk X mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 46/59 4) ELU = Combinação Normal. 5) Esforços aplicados : Nk = Ngk + Nqk; Ngk = 4 kN (permanente) ; Nqk = 8 kN (sobrecarga) ; gkY = 3,0 kN/m (permanente). Solução : a) Combinação de ações (ELU) : MgdY = 1,4. 3,0. 10-2. 2202 / 8 = 254,1 kN.cm ; Nd = 1,4. (4 + 8) = 16,8 kN. b) Propriedades mecânicas da CONÍFERA C-25 : fco,k = 25 MPa = 2,5 kN/cm2 ; fco,d = 4,1 5,2.56,0f.k c cok mod = 1,0 kN/cm2 ; Eco,m = 8500 Mpa = 850 kN/cm2 ; Ec0,ef = 850.56,0E.k commod = 476 kN/cm 2 . c) Características geométricas do pilar : c.1) Eixo X : A = 10 . 15 = 150 cm2 ; IX = 12 10.15 3 = 1250 cm4 ; cm89,2 150 1250 A Ii XX ; 76 89,2 220 i L X 0 X ; 3 22 X cm2506 10.15 6 h.bW . c.2) Eixo Y : IY = 12 15.10 3 = 2812,5 cm4 ; cm33,4 150 5,2812 A Ii YY ; Nd= 16,8 kN MgYd = 254,1 kN.cm X 10 15 Y Seção 22 0 mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 47/59 51 33,4 220 i L Y 0 Y ; 3 22 Y cm3756 15.10 6 h.bW . Obs.: os dois eixos deverão ser verificados, pois somente um deles tem Momento fletor aplicado. d) 1A. verificação : Verificação da resistência : d.1) determinação das tensões atuantes : 2dNcd cm/kN11,0150 8,16 A N ; 0MXd ; 2 Y Yd MYd cm/kN68,0375 1,254 W M . d.2) Verificação (equações 4.46 e 4.47) : d,0c d,MY d,0c d,MX M 2 d,0c d,Nc ff .k f 169,0 0,1 68,00.5,0 0,1 11,0 2 verifica ! e) 2A. verificação : Verificação da estabilidade (equações 4.4 a 4.11) : e.1) eixo X : X = 76 (peça medianamente esbelta) : e.1.1) determinação de Md : cm33,0 30 10 30 h0 8,16 0 N Me d d1 i ; cm73,0 300 220 300 Le 0a ; e1 = ei + ea = 0,33 + 0,73 = 1,06 cm ; kN3,121 220 1250.476. L I.E. F 2 2 2 0 eixoef,0c 2 E ; mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 48/59 cm23,1 8,163,121 3,121.06,1 NF F.ee dE E 1d ; Md = Nd . ed = 16,8. 1,23 = 20,7 kN.cm . e.1.2) determinação das tensões Nd e Md : 2d Nd cm/kN11,0150 8,16 A N ; 2 X dX Md cm/kN08,0250 7,20 W M . e.1.3) verificação : 0,119,0 0,1 08,0 0,1 11,0 ff d,0c Md d,0c Nd verifica ! e.2) eixo Y : Y = 51 (peça medianamente esbelta) : e.2.1) determinação de Md : cm5,0 30 15 30 h13,15 8,16 1,254 N Me d d1 i ; cm73,0 300 220 300 Le 0a ; e1 = ei + ea = 15,13 + 0,73 = 15,86 cm ; kN0,273 220 5,2812.476. L I.E. F 2 2 2 0 eixoef,0c 2 E ; cm9,16 8,16273 273.86,15 NF F.ee dE E 1d ; Md = Nd . ed = 16,8. 16,9 = 283,9 kN.cm e.2.2) determinação das tensões Nd e Md : 2dNd cm/kN11,0150 8,16 A N ; 2 Y d Md cm/kN76,0375 9,283 W M . e.2.3) verificação : 0,187,0 0,1 76,0 0,1 11,0 ff d,0c Md d,0c Nd verifica ! mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 49/59 Exercício 4.26 : (Nova Avaliação/2005) Verificar a condição de segurança da barra de madeira, flexo-comprimida, indicadas nas figuras. 1) E.L.U. = Combinação normal. 2) Critério da NBR-7190/1997. 3) Dimensões em centímetros. 4) Madeira DICOTILEDÔNEA C-60, 2a. categoria : 5) Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk ; NGk = 40 kN (permanente), eXG= 3 cm ; NQk = 50 kN (sobrecarga), eYQ= 2 cm ; e = excentricidades das cargas normais Solução : a) Combinação de ações (ELU) : Nd = 1,4. (40+50) = 126 kN , MGXd = 1,4. 40. 3 = 168 kN.cm , MQYd = 1,4. 50. 2 = 140 kN.cm . b) Propriedades mecânicas da dicotiledônea C-60 : fco,k = 60 MPa = 6,0 kN/cm2 ; fco,d = 4,1 0,6.56,0f.k c cok mod = 2,4 kN/cm2 ; Eco,m = 24500 MPa = 2450 kN/cm2 ; Ec0,ef = 2450.56,0E.k commod = 1372 kN/cm 2. c) Características geométricas da barra : A = 20. 15 = 300 cm2 . c.1) Eixo X : IX = 12 15.20 3 = 5625 cm4 ; cm33,4 300 5625 A Ii XX ; 69 33,4 300 i L X 0 X ; 3 22 X cm7506 15.20 6 h.bW . c.2) Eixo Y : 20 eYQ=2 X Y 15 eXG=3 L= L o =3 00 Nk Nk Seção Elevação mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 50/59 IY = 12 20.15 3 = 10000 cm4 ; cm77,5 300 10000 A Ii YY ; 52 77,5 300 i L Y 0 Y ; 3 22 Y cm10006 20.15 6 h.bW . d) 1A. verificação : Verificação da resistência : d.1) determinação das tensões atuantes : 2dNd cm/kN42,0300 126 A N ; 2 X Xd MXd cm/kN22,0750 168 W M ; 2 Y Yd MYd cm/kN14,01000 140 W M . d.2) Verificação: d,0c d,MY M d,0c d,MX 2 d,0c d,Nc f .k ff 115,0 4,2 14,0.5,0 4,2 22,0 4,2 42,0 2 verifica ! d,0c d,MY d,0c d,MX M 2 d,0c d,Nc ff .k f 114,0 4,2 14,0 4,2 22,0.5,0 4,2 42,0 2 verifica ! e) 2A. verificação : Verificação da estabilidade : e.1) eixo X : X = 69 (peça medianamente esbelta) : e.1.1) determinação de Md : cm5,0 30 15 30 h33,1 126 168 N Me d d1 i ; cm1 300 300 300 Le 0a ; e1 = e i+ ea = 1,33 + 1 = 2,33 cm; kN3,846 300 5625.1372. L I.E. F 2 2 2 0 eixoef,0c 2 E ; cm74,2 1263,846 3,846.33,2 NF F.ee dE E 1d ; mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 51/59 Md = Nd . ed = 126. 2,74 = 345 kN.cm . e.1.2) determinação das tensões Nd e Md : 2dNd cm/kN42,0300 126 A N ; 2 X d Md cm/kN46,0750 345 W M . e.1.3) verificação : 0,137,0 4,2 46,0 4,2 42,0 ff d,0c Md d,0c Nd verifica ! e.2) eixo Y : Y = 52 (peça medianamente esbelta) : e.2.1) determinação de Md : cm67,0 30 20 30 h11,1 126 140 N Me d d1 i ; cm1 300 300 300 Le 0a ; e1 = ei + ea = 1,11 + 1 = 2,11 cm; kN5,1504 300 10000.1372. L I.E. F 2 2 2 0 eixoef,0c 2 E ; cm3,2 1265,1504 5,1504.11,2 NF F.ee dE E 1d ; Md = Nd . ed = 126. 2,3 = 290 kN.cm . e.2.2) determinação das tensões Nd e Md : 2dNd cm/kN42,0300 126 A N ; 2 Y d Md cm/kN29,01000 290 W M . e.2.3) verificação : 0,130,0 4,2 29,0 4,2 42,0 ff d,0c Md d,0c Nd verifica ! Exercício 4.27 : (3o. TE/2008) Flexo-compressão: Verificar a condição de segurança da barra de madeira, flexo-comprimida, indicadas nas figuras. Considerar : 1- Critério da NBR-7190/1997. 2- Dimensões indicadas em cm. mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 52/59 3- ELU - Combinação normal. 4- Madeira : CONÍFERA-C20, 2a. categoria, qualidade estrutural. 5- Esforços atuantes : NGk = 20 kN (permanente), eYG = 7,5 cm (Esforço Normal); MQk = 250 kN.cm (sobrecarga) (Momento Fletor). Solução a) Combinação de ações (ELU) : GGd F.N = 1,4. 20 = 28 kN ; MQXd = Q . MXk = 1,4. 250 = 350 kN. cm ; MGYd = Nd. eYG = 28. 7,5= 210 kN. cm . b) Propriedades mecânicas da CONÍFERA C-20 : fco,k = 20 MPa = 2,0 kN/cm2 ; fco,d = 4,1 0,2.56,0f.k c cok mod = 0,8 kN/cm2 ; Eco,m = 3500 MPa = 350 kN/cm2 ; Ec0,ef = 350.56,0E.k commod = 196 kN/cm 2. c) Características geométricas do pilar : c.1) Eixo X : A = 15 . 20 = 300 cm2 ; IX = 12 20.15 3 = 10000 cm4 ; cm77,5 300 10000 A Ii XX ; 66 77,5 380 i L X 0 X ; 3 22 X cm10006 20.15 6 h.bW . c.2) Eixo Y : Nd= 28 kN MGYd = 210 kN.cm X MQXd = 350 kN.cm 20 15 Y SEÇÃO L= L o =3 80 c m Nk Nk 7,5 MQX k ELEVAÇÃO X Y eYG= 7,5cm 15 20 MQXk SEÇÃO Nk mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 53/59 IY = 12 15.20 3 = 5625 cm4 ; cm33,4 300 5625 A Ii YY ; 88 33,4 380 i L Y 0 Y ; 3 22 Y cm7506 15.20 6 h.bW . d) 1A. verificação : Verificação da resistência : d.1) determinação das tensões atuantes : 2d Nd cm/kN09,0300 28 A N ; 2 X Xd MXd cm/kN35,01000 350 W M ; 2 Y Yd MYd cm/kN28,0750 210 W M ; d.2) Verificação (equações 4.48 e 4.49) : d,0c d,MY M d,0c d,MX 2 d,0c d,Nc f .k ff 163,0 80,0 28,0.5,0 80,0 35,0 80,0 09,0 2 verifica ! d,0c d,MY d,0c d,MX M 2 d,0c d,Nc ff .k f 158,0 08,0 28,0 80,0 35,0.5,0 80,0 09,0 2 verifica ! e) 2A. verificação : Verificação da estabilidade (equações 4.4 a 4.11) : e.1) eixo X : X = 66 (peça medianamente esbelta) : e.1.1) determinação de Md : cm67,0 30 20 30 h5,12 28 350 N Me d d1 i ; cm27,1 300 380 300 Le 0a ; mfhneto@hotmail.com UFPR-2012 Estruturas de Madeira CAP.4 pg. 54/59 e1 = ei + ea = 12,5 + 1,27 = 13,77 cm ; kN8,133 380 10000.196. L I.E.F 2 2 2 0 eixoef,0c 2 E ; cm4,17 288,133 8,133.77,13 NF F.ee dE E 1d ; Md = Nd . ed = 28. 17,4 = 487,3 kN.cm e.1.2) determinação das tensões Nd e Md : 2d Nd cm/kN09,0300 28 A N ; 2 X d
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