Buscar

Apostila Cálculo III - Prof. Cristina Cerri

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 3, do total de 158 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 6, do total de 158 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 9, do total de 158 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Prévia do material em texto

�
�
�
���������	�
������
�
	��	
�������
�
������������������
���
������	��������	�����
�
�
�
	�
���������������	�������
���������������������������
�
������
�
���� �
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� � 	
���
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� � 	
���
����������������������������
������������������������������������������������������������������������ � 	
���
����� �!"���#���������$����	���������������������������������������������������������������������������� � 	
�%�
����&��������'(����!)�������������������������������������������������������������������������������������������� 	
�*�
�!"�#��$%��&' �%�
������+!)������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � 	
�,�
-+�!"�������
��(������
)������
��(��������������������������������������������������������������������� 	
�.�
�� ������+��������
�����$+	����������������������������������������������������������������������������� � 	
/��
����
����������������-+������������������������������������������������������������������������������������������ 	
/0�
1�����	��������(�������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/��
����
��������������2��3� 	����������������������������������������������������������������������������������� 	
/*�
����
�����$+	������������
�"�������������������������������������������������������������������������������� 	
/,�
-+�!"�������
��(����2�4�������������������������������������������������������������������������������������� 	
���
����+����������
�����$+	�������������������������������������������������������������������������������������� 	
�/�
����+����������
�����$+	����2��3� 	������������������������������������������������������������������	
�0�
����+����������
�����$+	����2�1��	������������������������������������������������������������������ 	
���
5+���!�����6����(����� �����
�����$+	����2�������������1���������������������������	
�%�
����
�����$+	����� �������������1�������2��3� 	��������������������������������������������	
�*�
5+���!�����6����(����� �����
�����$+	����2������#�����������������������������������������	
�.�
5+���!�����6����(����� �����
�����$+	����2��3� 	������������������������������������������	
0/�
'	����!)���������
����$+	�������������������������������������������������������������������������������������	
0���
�!"�#��$%���$' �%�
����
�����4��	�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
0��
-+�!"���
)�7����
��(������������������������������������������������������������������������������������������ 	
0%�
����
��������	������������
�"���������������������������������������������������������������������������������� 	
0*�
����+����������
��������	��������������������������������������������������������������������������������������� 	
0.�
����+����������
��������	����2���������
�"������������������������������������������������������������� 	
���
5+���!�����6����(����������������������������������������������������������������������������������������������� 	
�0�
����
�����4��	����7����������������8����������������������������������������������������������������� 	
���
����
�����4��	����7����������������&������������������������������������������������������������������ 	
�,�
���������������&������2��3� 	��������������������������������������������������������������������������	
���
'	����!"����������
�����4��	���������������������������������������������������������������������������������	
���
�!"�#��$%�(���$!)������*��+��(������!� �
�+�(�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
���
����
�������9��:������� 	�������������������������������������������������������������������������������	
�%�
����
�������9��:��7��3� 	������'	����!"������������������������������������������������������������� 	
�.�
�� 	���6����������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
%/�
�� 	���
����������������������������������������������������������������������������������������������������������	
%��
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 	
%0�
$�(��
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 	
%��
����
��������9��:������� 	���6������������������������������������������������������������������������ 	
%��
����
��������9��:��2��3���8���������������������������������������������������������������������������������� 	
%*�
;�4���� �����#�������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
%.�
4���� �����#�����2��3���8���������������������������������������������������������������������������������	
*/�
�� 	���������(���(���2�$�����!)������������������������������������������������������������������������	
*��
�� 	���������(���(���2����������<�!"����������������������������������������������������������������	
*%�
�� 	���������(���(���2��3���8��������������������������������������������������������������������������	
*,�
�
�!"�#��$%�(���&'��,-.$�%�����*��+��(����&%%����"*/�%�
=+	���8�����1��� ����<���������������������������������������������������������������������������������������� 	
*.�
>�������+ ��=+	���8��������������������������������������������������������������������������������������������� 	
,��
�3� 	�����������+������'�������=+	���8�����	��� ����<����������������������������������� 	
,��
����
��������=+	���8���������� 	��������������������������������������������������������������������� 	
,*�
=+	���8�����;������(��������������������������������������������������������������������������������������������� 	
.��
����
��������=+	���8��������� 	���6����������������������������������������������������������������� 	
.0�
4���� �����#�+���������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
.%�
4���� �����#�+���2��3���8��������������������������������������������������������������������������������� 	
.,�
;�4���� �����=��?����������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/���
;������!)�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/�*�
�3��������������(������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/�.�
���0� )*%�����0��$"*%�
4�����:��/�������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
//0�
4�����:��/�
��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
//��
4�����:����������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
//*�
4�����:����
��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
//,�
4�����:��0�������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/���
4�����:��0�
��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/�0�
4�����:����������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/�*�
4�����:����
��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/�,�
4�����:�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������/0/�
4�����:����
��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/0��
4�����:��%�������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/0��
4�����:��%�
��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/0%�
4�����:��*�������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/�/�
4�����:��*�
��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/���
4�����:��,�������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/���
4�����:��,�
��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/�,�
4�����:��.�������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 	
/�/�
��0� �%�
4��
��� �����@�����
����@�$���(�����-A� +����������������������������������������������������� 	
/���
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�����������	��
�
�
����������	
���
��������������������������	
����������
�������������������
�	����
��
���	��������
��������
�
��
���������� �	������������!"#���
������
����
��
�������
��$	���
	%�������������
�������	
�����
���
	�	�����&�����
	�'����
����(����� �	�����
������$	���
	%�����
�����������
�
���������
	�
�(�$�
	���#���	��������	��	�
	���� �)����������
���������*�	�������������+��������
���
)��	����	�
	��
 �	���#��
(�������
���,����������
�������������	$�
����
	$
��#���������
���
�	�*�	
�����
���	
�������������-�
$�%���*����
���*��	������
��
�$���������	��	�
	����
�
.�
���������
����
�
��	�	����	
�����������
��.
��/��0������ $�
������
��#��
���������	��
��
�����������
	�
���	���
12	�������2	�	��������
�$����3�	��	��
��	$����������
1�
	���
	$
���
	��	���������
���
)��	�������
����
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4�$�
��#��
��������
�������5���������������
�
��
6����
19/04/12 Ementa
1/1mac2166.ime.usp.br/pluginfile.php?file=%2F4788%2Fmod_resource%2F…
Conteúdo e Bibliografia
Objetivos da Disciplina: Estudar integrais de funções de duas e três variáveis, aplicações e interpretações
na física e em outras áreas..
Conteúdo: Integrais duplas e triplas. Mudanças de variáveis em integrais (polares, cilindricas e
esféricas). Integrais de linha - Teorema de Green. Integrais de superfícies.Teoremas de Gauss e
Stokes. Aplicações.
Bibliografia:
 [S] J. Stewart, "Calculo", Ed. Pioneira-Thomson Learning, São Paulo, 2001;
 [BCHS] J. Bouchara, V. Carrara, A.C. Hellmeister e R. Salvitti, "Cálculo Integral Avançado", Ed.
Edusp, 1996. 
 [G] H. Guidorizzi, "Um Curso de Cálculo", Vol. 3, Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 5a
edição, 2002. 
 
 Software Gráfico Winplot http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
Outros textos: APOSTOL, Tom M. Cálculo. Rio de Janeiro: Editora Reverté, 1979; BOULOS,
Paulo. Introdução ao Cálculo. (vários volumes) São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1974; BOYER, Carl
B. Cálculo. São Paulo: Atual, 1996; CORANT, Richard. Differential and integral calculus. V. I.
Translation E. J. McShane. New York: Nordeman Publishing Company, Inc., 1945. KAPLAN, W.
"Cáculo Avançado", vol 1, Ed. Edgard Blücher Ltda, 1972, LEITHOLD, Louis. Cálculo com
geometria analítica. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. São Paulo: Harbra, 1994. PISKUNOV, N.
Differential and integral calculus. Moscou: Éditions de la Paix, s.d. SIMMONS, George F. Cálculo
com Geometria Analítica. Tradução: Seiji Hariki. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. SWOKOWSKI,
Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução Alfredo Alves de Faria. São Paulo: Makron
Books, 1994. THOMAS, George B. Cálculo - Volume 1. Tradução: Paulo Boschcov. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2002. 
Textos sobre história da Matemática: EVES, Howard W. Introdução à história da matemática.
Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 1995. BOYER, Carl B. História da
matemática. Tradução: Elza Gomide. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1974
Sites na Internet: The MacTutor History of Mathematics archive (http://www-groups.dcs.st-
andrews.ac.uk/~history) , Cálculo - Thomas
(http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/medialib/indexb.html), Visual Calculus
(http://archives.math.utk.edu/visual.calculus) The Calculus Page (http://www.calculus.org), S.O.S.
mathematics - Calculus (http://www.sosmath.com/calculus/calculus.html), Gacetilla Matemática
(http://www.arrakis.es/~mcj ), Historia de Matemáticos Famosos
(http://www.mat.usach.cl/histmat/html/indice.html) History of Mathematics at the School of
Mathematics (http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/RBallHist.html)
19/04/12 Informações Gerais 1
1/1mac2166.ime.usp.br/pluginfile.php?file=%2F5537%2Fmod_resource%2F…
MAT 2455 Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III
Turma Especial Ministrada à Distância pela WEB
1o semestre 2010
 Caro(a) aluno(a).
 Uma das experiências pioneiras no ensino "não presencial" ou "a distância" na USP foi o oferecimento de
turmas de MAT 2455 para alunos dependentes dessa disciplina da POLI. Desde o primeiro oferecimento,
no 2o semestre de 2000, essa experiência vem sendo analisada e aprimorada. O(a) aluno(a) matriculado(a)
nestas turmas tem a oportunidade de estudar o conteúdo destas disciplinas de forma autônoma, dentro do
seu ritmo e da sua disponibilidade, com textos e atividades feitas especialmente para a turma. Somente para
estes alunos estão à disposição ferramentas para comunicação (Forum e Chat) que propiciam um
atendimento mais personalizado e frequente (mesmo a distância). Além disso, são disponibilizadas atividades
periódicas para que cada aluno possa estudar e se preparar melhor para as avaliações.
 É importante que você saiba que nesta modalidade de oferecimento "a distância" não há pouco trabalho.
Num curso desse tipo o aluno desempenha um papel ativo e sua participação é fundamental. Afinal "a aula"
só acontece se o aluno tomar a decisão de entrar no site e participar. É importante que você se organize e
tenha disciplina para estudar sozinho e com frequência, acessar o site regularmente e fazer as tarefas pedidas.
 Nesse semestre utilizaremos o ambiente Moodle. Na área da disciplina haverá textos com resumos dos
diversos conteúdos tratados em Cálculo III, listas de exercícios, gabaritos etc. Mas atenção: os textos são
apenas um resumo e um roteiro de estudo. Para que seu aproveitamento seja bom você deve
completementar os estudos lendo os livros indicados na Bibliografia. 
 Estarão também disponíveis Fóruns para discussão de temas relacionados a disciplina, como dúvidas da
matéria ou de exercícios. Monitores darão atendimento diariamente na sala de monitoria do Biênio.
 Lembre-se que seu aproveitamento será avaliado periodicamente no decorrer do semestre, através de
tarefas programadas, trabalhos, provas e de sua participação nas atividades propostas. Para maiores
detalhes veja os Critério de Avaliação.
 
 Estamos empenhados em fazer o melhor, mas esta iniciativa só poderá ter êxito com seu envolvimento e
participação. Temos certeza que você vai levar a sério esta proposta e colaborar para tudo dar certo. Um
bom semestre a todos! 
 
Profa Cristina Cerri
Ramal : 6278
e-mail: cerri@ime.usp.br 
19/04/12 Criterio de Avaliacao
1/1mac2166.ime.usp.br/pluginfile.php?file=%2F5557%2Fmod_resource%2F…
Critério de Avaliação
 A média final dos alunos desta Turma 13 - Web será calculada da seguinte forma:
MF = K (P1 + P2 + P3 + T)/4
 
sendo que 
Pi são as notas das provas, i = 1,2,3;T é a média das nota dos trabalhos realizados durante o semestre que tiveram uma nota atribuída. Os
trabalhos devem ser redigidos e entregues até a data limite estabelecida conforme cronograma. Serão
propostos 9 trabalhos durante o semestre que somarão no máximo 30 pontos. Sendo S é a
soma das notas dos trabalhos então T será igual a S/3.
Ao longo do semestre serão propostas várias atividades dentro do ambiente Moodle. Cada uma
dessas Atividade deverá ser feita on-line. Cada atividade realizada pelo aluno conta
participação e não vale nota. Essas atividades terão prazos pré-estabelecidos conforme
cronograma. 
K é o fator de participação que varia de 0 a 1, tendo em vista a participação do aluno, ou seja, a
quantidade de atividades realizadas. Será atribuído K = 1 para o aluno que fizer 70% das
atividades propostas (Atividades e Trabalhos). O fator K também fornecerá a porcentagem de
frequência que será atribuída a cada aluno no final do semestre. 
 Atenção: o aluno que só fizer as provas tradicionais terá K = 0 e assim estará automaticamente
reprovado. Este é um ponto fundamental e o diferencial desta proposta, que teve o apoio total das
Comissões de Graduação da POLI e do IME.
Datas das Provas: todas às 13h10
P1: 06 de abril
P2: 18 de maio 
P3: 22 de junho
PSUB: 29 de junho - SEMI ABERTA ( a nota da PSUB entra obrigatoriamente no lugar da
menor das Pi)
Professora responsável pela Turma-Web: Profa.Cristina Cerri
Coordenador da disciplina: Prof. Luiz Augusto Fernandez de Oliveira
20/04/12 Integrais Duplas - uma introdução
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-1-intdupla-intro.htm
Integrais Duplas - Introdução
 Como calcular o volume de sólidos? Para certos sólidos, como
pirâmides, cilindros, esferas, temos fórmulas que permitem
calcular seus volumes. Mas por que valem tais fórmulas? 
 Matemáticos gregos, como Arquimedes (287-212 a.C.)
dedicaram muita atenção a problemas relacionados com o cálculo
de áreas e volumes. Há mais de dois milênios atrás esses
matemáticos calculavam áreas e volumes de figuras geométricas
por procedimentos como os do Cálculo Integral. Usava-se o
processo de "exaustão". Por exemplo, para se obter a área de um
círculo inscreve-se nele polígonos regulares cuja área é facilmente calculável; aumentando-se o
número de lados obtém-se aproximações cada vez melhores. Obtém-se então a área do círculo por
um processo de limite das áreas dos polígonos. Esse processo era também usado para calcular área
de outras regiões, como a região interior a um arco de parábola. Com as mesmas idéias do cálculo
de áreas os matemáticos gregos também tratavam do volume de sólidos. 
 As idéias básicas do Cálculo Integral estavam lá presentes. Contudo essas idéias ficaram
escondidas ou perdidas, pois os matemáticos gregos descreviam tudo geometricamente e não por
meio de fórmulas numéricas como fazemos hoje. Além disso, esse método funcionava para
particulares regiões e uma generalização só poderia ser possível com uma nova formulação do
problema. Somente muito mais tarde, no século XVII, com uma simblogia mais desenvolvida e com
o surgimento da moderna notação da Geometria Analítica, foi possível criar métodos sistemáticos
para o tratamento de áreas e volumes. 
 Por volta de 1820, o matemático francês Augustin-Louis Cauchy definiu integral em termos de
somas, mas ainda de forma incompleta. Na época problemas de Física como o da propagação do
calor motivaram o desenvolvimento de teorias matemáticas. Por volta de 1854 o matemático alemão
Bernhard Riemann fez um estudo aprofundado da integral e contribuiu de forma decisiva para o
desenvolvimento da teoria. tanto que até hoje as somas usadas para definir a integral são chamadas
de Somas de Riemann, bem como a própria integral leva seu nome. 
 Lembremos que para funções de uma variável a integral é definida como o limite de somas:
 A idéia básica da integral, como limite de somas, pode ser estendida para funções definidas em
regiões do plano e do espaço: surgem assim as integrais duplas e triplas, respectivamente. E tais
integrais estão associadas a cálculos de volume, massa etc. 
Nos textos trataremos, primeiramente, de definir a integral dupla de funções de duas variáveis,
utilizando como motivação o cálculo de volume. Veremos a seguir propriedades e resultados
básicos. E, é claro, métodos para o cálculo de integrais duplas. Leia o texto Integrais Duplas -
definição
istina Cerri -2010
20/04/12 Funções Integráveis e Não Integráveis
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-3-intdupla-integraveis.htm
Funções integráveis e não-integráveis 
Alguns Resultados e Exemplos
 Que funções são integráveis? Existem funções não-integráveis?
 Da maneira como foi dada a definição pode-se pensar que sempre existe a integral dupla de uma função.
Afinal pode parecer que se f é positiva então sempre se pode calcular o volume do sólido que se forma
abaixo do gráfico de f e acima do plano z = 0. Mas você viu que existem funções de uma váriável que não
são integráveis. Com duas váriáveis isto também ocorre. 
 
 Um exemplo de função não integrável: Considere a função f definida em R = [0,1]x[0,1] (quadrado
de lado 1) da seguinte forma: f(x,y) = 1 se x e y são racionais e 0 caso contrário. Tome uma partição
qualquer de R e em cada Ri . Escolha primeramente (xi ,yi) tal que se xi e yi são racionais. Assim um cálculo
simples mostra que
Entretanto podemos escolher (xi ,yi) de forma ambos xi e yi não são racionais. Dessa forma 
Portanto o limite dessa somas dependerá da escolha de (xi ,yi) . Portanto f não é integrável. 
 
 Agora enunciaremos um resultado útil. 
 PROPOSIÇÃO. Se f é uma função integrável em R , retângulo, então f é limitada em R, isto é,
existe M > 0 tal que |f(x,y)| < M, para todo (x,y) em R .(veja a demonstração, que não é difícil, em
Teorema III.1.2 de [BCHS] ). 
 Outro exemplo: O resultado acima é útil no seguinte sentido: se uma função de duas variáveis não é
limitada em R então ela não é integrável em R. Por exemplo, a função 
não é limitada em [0,1]x[0,1] (prove isso!), logo não é integrável. 
 Exercício: Obtenha um outro exemplo de função não integrável usando o resultado anterior. 
 Já temos exemplos de funções não integráveis. Ótimo! Mas que funções são integráveis? Será sempre
necessário encontrar a integral dupla de uma função usando a definição e tendo que calcular aquele
limite. Como para funções de uma variável, as funções "bem comportadas" são integráveis. Vale que 
 
TEOREMA. Toda função contínua definida em um retângulo R é integrável em R.
 Muito bem, mas como se calcula a integral dupla de uma função? Para isso vamos ver as Integrais
Iteradas.
Cristina Cerri - 2010
20/04/12 Integrais Duplas - Como calcular?
2/4www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-intdupla-iterada-intro.htm
Integrais Duplas - Como calcular? 
 Cálculos de áreas e volumes de regiões são problemas antigos. A idéia de fazer aproximações por regiões
com áreas e volumes conhecidos já era utilizada pelos gregos. 
 Outra forma de tentar calcular volume de sólidos usa a idéia de "fatiar" o sólido. Por exemplo, fatiando um
paralelepípedo ele pode ser visto como "uma pilha de retângulos"; um cilindro pode ser visto como um
"monte de discos empilhados". Como cada fatia tem a mesma área, "somamos" as áreas e temos o volume.
Então é razoável que o volume desses sólidos sejam Area da base x Altura. Tal argumento pode ser
aplicado aos prismas também.
 A idéia de "fatiar" um sólido para obter seu volume, basea-se na sua teoria de que toda figura geométrica
pode ser considerada como uma totalidade de elementos primordiais, chamados "indivisiveis". Um princípio
bem natural baseado nessa idéia e que estabelece um fato útil sobre volumes foiestabelecido pelo
matemático italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647), no século XVII. É conhecido como o Príncípio
de Cavalieri.
 
 Vamos usar essa idéia de fatiar para chegar num resultado que permita calcular volume de certos sólidos. 
 Considere uma função de duas variáveis f definida num retângulo fechado R=[a,b]x[c,d] e suponha que
f(x,y) é positiva e contínua para (x,y) em R. O gráfico desta função é um subconjunto do R3 . Considere o
sólido limitado pelo gráfico de f e o plano xy com (x,y) em R, isto é,
Nosso objetivo é o de calcular o volume de S . Por exemplo tome a função f(x,y) = x (1-y4) e R =
[0,2]x[0,1] . O gráfico de f está representado na figura abaixo.
Poderiamos pensar em calcular o volume de S (sólido delimitado pelo gráfico de f) “fatiando” o sólido com
planos paralelos ao plano yz.
20/04/12 Integrais Duplas - Como calcular?
3/4www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-intdupla-iterada-intro.htm
 Para cada x fixo entre 0 e 2 temos uma região onde a área se calcula facilmente usando integral de uma
variável
 Vamos denotá-la por A(x). Então
20/04/12 Integrais Duplas - Como calcular?
4/4www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-intdupla-iterada-intro.htm
 Assim, como fizemos no caso do cilindro, o volume do sólido poderia ser definido como sendo a “soma”
de todos os A(x). Somar em x é integrar. Então uma boa definição do volume de S parece ser
 Poderiamos ter feito outro tipo de “fatiamento”, por exemplo com planos paralelos ao plano xz. Teriamos
obtido o mesmo valor? Podemos usar esta idéia para qualquer tipo de função? Leia Integrais Duplas
Iteradas.
Cristina Cerri - 2010
20/04/12 Integrais Iteradas
1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-0-intdupla-iterada.htm
Integrais Duplas Iteradas
Teorema de Fubini 
 
 A definição de integral dupla é consequência natural da idéia de calcular o volume de determinado tipo de
sólido. Porém é difícil obter o valor de uma integral dupla diretamente da definição. Vamos aqui ver uma
forma de calcular tal integral. 
 Tomemos, em particular, uma função f(x,y) positiva e definida num retângulo R=[a,b]x[c,d] e considere a
região 
 Para se calcular o volume do sólido S poderíamos pensar em “fatiá-lo” paralelamente ao plano x = 0 ou
ao plano y = 0. 
 Fixe um x entre a e b e considere a intersecção do plano paralelo a x = 0 passando por x e o sólido S.
 
 A área da fatia pode ser calculada com a integral
Intuitivamente o volume é a "soma" de todas as áreas. Então o volume de S deve ser
Entretanto, fixando y entre c e d, poderíamos também calcular a área de cada fatia e depois o volume
fazendo
20/04/12 Integrais Iteradas
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-0-intdupla-iterada.htm
 Estas integrais são chamadas de integrais iteradas e usualmente se escreve apenas
ou 
 Exemplos:
 
 Teria sido mera coincidência as duas integrais acima terem dado o mesmo valor? 
 Não é coincidência, e o que vale é o seguinte: 
 
Teorema de Fubini. Se é integrável em =[a,b]x[c,d] então
 Ou seja se é integrável não importa a ordem que fazemos a integração. Assim temos uma forma
de cálcular integrais. 
 OBS: É comum denotar a integral dupla de f em R por , lembrando que isso não
significa que estamos indicando integrais iteradas. Na hora de calcular pode-se fazer de duas maneiras.
Para estudar: leia o parágrafo 2 do capítulo 15 (15.2) de [S] 
Curiosidade: O teorema acima foi provado em 1907 pelo matemático italiano Guido Fubini (1879-
1943), entretanto a versão para funções contínuas era conhecida pelo matemático francês Augustin-
Louis Cauchy, quase um século antes.
Cristina Cerri - 2010
20/04/12 Principio de Cavalieri - Fórmula do Volume da Esfera - aplicando principio…
1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-1-intdupla-cavalieri.htm
O Princípio de Cavalieri
 
 Bonaventura Cavalieri (1598-1647)
 Matemático italiano nascido em Milão e falecido em Bolonha. Foi discípulo de
Galileo e escreveu sobre diversos temas como geometría, trigonometría, astronomia,
óptica, etc. Foi o primeiro matemático italiano que apreciou em todo seu valor os
logarítimos. Também figurou entre os primeiros que ensinaram a teoria copérrnica dos
planetas. Outros trabalhos seus são o desenvolvimento dado a trigonometria esférica,
assim como o descobrimento das fórmulas relativas aos focos dos espelhos e de las
lentes. Mas sua obra fundamental é a "Geometría dos indivisiveis", pela qual é
considerado como um dos precursores do cálculo infinitesimal. A base da nova teoria é que toda figura
geométrica pode ser considerada como uma totalidade de elementos primordiais, chamados "indivisiveis". Deste
modo, o cálculo de longitudes, áreas e volumes foi levado por Cavalieri ao cálculo da soma de infinitos
indivisiveis". 
 
O Principio de Cavalieri nos diz que se dois
corpos têm a mesma altura e os cortes por planos
paralelos a suas bases são figuras com a mesma
área, então eles têm o mesmo volume.
Com esse princípio se pode obter o volume da esfera, por exemplo. A idéia é comparar o volume da esfera
com os volumes do cilindro e do cone. 
Tome uma esfera de raio R. Considere o sólido X que é cone dentro de um cilindro de altura 2R e raio R,
como mostra a figura. Corte por um plano horizontal B (perpendicular ao eixo do cilindro), que dista h do
centro da esfera. Vamos calcular as áreas das secções planas. Na esfera a secção plana dá um cículo. Já no
cilindro temos um anel.
20/04/12 Principio de Cavalieri - Fórmula do Volume da Esfera - aplicando principio…
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-1-intdupla-cavalieri.htm
 Aplicando o Principio de Cavalieri temos que o volume da esfera é igual ao volume do sólido X. Mas 
Vol(X) = Volume de cilindro - 2x Volume do cone = 
= pi R2 (2R) - 2 pi R2 (R)/3 = 4 pi R3 / 3
Portanto volume da esfera é 4 pi R3/3.
Extraído de 
http://www.members.tripod.com/caraipora/cavprin.htm
Outros sitios (mas só usar o "Google" e pesquisar)
http://www.youtube.com/watch?v=vtsWUjk-CtY
http://pt.wikipedia.org/wiki/Bonaventura_Cavalieri
http://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle
 
20/04/12 Integrais Iteradas - Exemplos
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-2-intdupla-exemploA1.html
Integrais Iteradas - Exemplos
 Como já foi visto, o cálculo de integrais duplas pode ser feito utilizando a integração iterada. Veja esse
exemplo 
Exemplo A1. Sejam f(x,y) = 2 – x2 + y2/3 e D = [-1,1] x [-1,2] (um retângulo). Então podemos calcular a
integral dupla de duas maneiras, pois
Então
 Nesse caso o valor da integral dupla é o volume do sólido que está abaixo do gráfico de f e acima do
plano z = 0 (pois f é positiva). 
Clicando no ícone ao lado você poderá ver o gráfico dessa função e de
outras do tipo f(x,y) = A – x2 + B y2 . Na animação você poderá
interagir: variando x e y dentro do domínio você poderá visualizar o
sólido sendo formado. Explore!
Cristina Cerri - 2010
20/04/12 Integrais Duplas sobre Regiões
2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-5-intdupla-regiao.htm
Integrais Duplas em Regiões - definição
 
 No texto Integrais Duplas em Retângulos definimos integrais duplas sobre retângulos. 
 Contudo são várias as funções definidas em regiões que não são retângulos. Seja f uma função definida
numa região D do plano . 
 Se f é positiva desejamos que o volume do sólido esteja
relacionado com integral dupla. 
 Nesse texto vamos definir a integral dupla sobre regiões planas D limitadas, isto é, regiões contidas em
algum retângulo R. 
 Vamos utilizar um pequeno "truque". Como só temos a definição de integral dupla para funções definidas
num retângulo, vamos estenderf para um retângulo R que contém D de forma conveniente. Defina F(x,y) em
R de forma que 
chamada de "função característica do conjunto D". Dizemos que f é integrável em D quando F é
integrável em R. E definimos a integral dupla de f em D por 
 
 Observe o desenho. Primeiramente como F é 0 fora de D região de R-D (complementar de D) a definição
acima não depende do particular retângulo R. Assim sempre podemos considerar um retângulo de lados
paralelos aos eixos. E perceba também que R-D não interfere no cálculo da integral. 
 
 DEFINIÇÃO. Se f(x,y) é positiva e integrável em D definimos o volume do sólido 
 como sendo 
 
 Suponha que f seja contínua em D. É razoável esperar que f seja integrável em D. Mesmo f sendo
contínua em D não temos necessariamente a continuidade de F em R. Observe que as descontinuidades
ocorrem no bordo (ou fronteira) de D (veja a figura acima), que denotamos por ∂D. De fato, nesse caso, o
conjunto dos pontos de descontinuidade de f está contido em ∂D. A integrabilidade de f dependerá do tipo
20/04/12 Integrais Duplas sobre Regiões
3/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-5-intdupla-regiao.htm
do bordo de D: de uma forma informal, ele tem que ser "magrinho" para não interferir no cálculo da integral.
 Mas o que significa isso? Que tipos de conjuntos são esses? O conceito que desejamos introduzir agora é o
de conteúdo nulo. 
 Um conjunto A do plano tem conteúdo nulo se, dado ε > 0 arbitrário, existem retângulos R1 , R2 , ... Rn
, de lados paralelos aos eixos coordenados, tais que e . 
 Não é difícil mostrar que um segmento no plano tem conteúdo nulo. Um fato importante é que 
 
 PROPOSIÇÃO. O gráfico de uma função contínua definida num intervalo [a,b] tem conteúdo
nulo. 
 Esse resultado já é mais difícil de provar. Contudo em [BCHS] (capítulo 3) você encontrará a
demostração para o caso de função de classe C1. 
 Finalmente temos um resultado esperado:
 TEOREMA. Seja D um subconjunto limitado do plano e seja f uma função contínua e limitada
em D. Se o bordo de D tem conteúdo nulo então f é integrável em D.
 
 A prova desse resultado pode ser encontrada no Apêndice 2 de [G]. Para ver um pouco mais sobre essa
teoria veja o texto Funções Integráveis - teoria.
Cristina Cerri - 2010
20/04/12 Funções Integráveis - teoria
2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-5-1-intdupla-integraveis.htm
Funções Integráveis - teoria
 
 Já sabemos que temos funções que não são integráveis. Será que existe alguma caracterização das
funções integráveis? 
 Seja D um subconjunto limitado do plano. E seja o sólido .
Como temos altura constante é razoável pensar que o volume de S é igual a área de D, pois espera-se que
V(S) = 1.A(D). Mas a integral dupla de f(x,y) = 1 sobre D é, caso exista, o volume deste sólido. 
 Dizemos que D tem área se f(x,y) = 1 é integrável em D e define-se a área de D por 
 Lembre que para definir a integral de f sobre D defininimos uma função F como sendo f em D e 0 em R-
D onde é um retângulo qualquer. Então nesse caso F é 1 em D e 0 em R-D. A descontinuidade de F 
ocorre na fronteira, ou bordo, de D. Para que tenhamos F integrável será preciso que o bordo de D não
atrapalhe, seja "desprezível".
 O bordo ou fronteira de um subconjunto D, que é denotado por ∂D, é o conjuntos dos pontos (x,y)
tais que qualquer retângulo (ou disco) centrada em (x,y) contém pontos de D e do complementar de D.
 As regiões que nos interessam são as regiões cujo bordo tem conteúdo nulo. 
 Formalmente, um conjunto A tem conteúdo nulo se para todo ε > 0 εξιστεµ ρετνγυλοσ Ρ1, Ρ2,...,
Rn cuja união contem A e que a soma das suas áreas é menor que ε..
 As regiões que nos interessam são as regiões que tem área, As regiões que tem área são aquelas que o
bordo tem conteúdo nulo. 
 Note que felizmente os retângulos tem área. Pode parecer estranha mas existem regiões do plano que não
tem área. Por exemplo, se D = Q x Q em [0,1]x[0,1] seu bordo é todo o quadrado [0,1]x[0,1]. Estranho,
não é? Mas isso acontece pois perto de todo o par de números racionais tem sempre pares de racionais e de
irracionais. Então a função constante 1 em D não é integrável. (Veja o texto Funções integráveis e não-
integráveis.) O problema aqui é com o conjunto D . 
 
 Queremos evitar isso e tratar de conjuntos D “bem comportados”, ou seja, que tenham área. 
 
 Assim afirmamos que D tem área se, e somente se, ∂D tem conteúdo nulo. 
 Conjuntos de área nula representam papel importante na Teoria de Integração. Esses são conjuntos que
não interferem na integração.
 TEOREMA. Seja uma região D com área e limitada do plano e seja f uma função limitada em
D. Se f é contínua, exceto num conjunto de área nula, então f é integrável em D.
 O resultado acima vale em contextos mais gerais e não apenas para funções de duas variáveis. Foi
o matemático Henri Lebesgue (1875-1941) que estabeleceu a conexão entre a integrabilidade segundo
Riemann e o conjunto dos pontos de descontinuidade da função. Resumidamente, Lebesgue provou que uma
condição necessária e suficiente para que uma função seja Riemann integrável é que o conjunto dos pontos
de descontinuidade tem área (ou medida) nula. Ele criou toda uma teoria nova para integração, que hoje leva
seu nome: integral de Lebesgue. 
20/04/12 Cálculo de Integrais Duplas
2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-6-intdupla-calculo.htm
Cálculo de Integrais Duplas
 Depois de definida a Integral Dupla sobre Regiões planas D temos que saber como calculá-la. 
 Sabemos que se f é contínua em D e se o bordo da região D tem conteúdo nulo então f é
integrável em D.
 Mas afinal quais regiões são desse tipo e como calcular a integral dupla nessas regiões? 
 Vamos ver dois tipos de regiões cujo calculo da integral dupla pode ser feito.
 Região do Tipo I: região do plano entre gráficos de funções contínuas de x definidas num intervalo
[a,b]. Mais explicitamente são regiões do tipo
onde g1 e g2 são funções contínuas em [a,b]. Graficamente:
Nesse caso D é limitada e se tomamos um retângulo R=[a,b]x[c,d] que contém D então
Região do Tipo II: região plano entre gráficos de funções contínuas de y definidas em [c,d]. Mais
explicitamente, são regiões do tipo
onde h1 e h2 são funções contínuas em [c,d]
20/04/12 Cálculo de Integrais Duplas
3/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-6-intdupla-calculo.htm
Também podemos calcular a integral dupla fazendo
Cristina Cerri - 2010.
20/04/12 Cálculo de Integrais Duplas - Exemplos
1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-6-1-intdupla-exemplos.htm
Cálculo de Integrais Duplas - Exemplos
1. Calcular a onde é a região limitada pelas parábolas = 2 2 e = 1 + 2 .
2. Encontre o volume do sólido que fica abaixo do parabolóide = 2 + 2 e acima da região no plano e delimitada
pelas superfícies = 2 e = 2 .
 
Temos neste caso a região de integração (no plano ) é
 
e o volume é dado pela integral dupla de ( ) = 2 + 2 logo
3. Calcule .
Se tentarmos calcular da forma que a integral aparece teremos problemas. Mas a integral acima é igual a integral dupla de
( ) sen( 2) em
20/04/12 Cálculo de Integrais Duplas - Exemplos
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-6-1-intdupla-exemplos.htm
Desenhe a região e perceba que também podemos escrevê-la na forma
Então, usando o Teorema de Fubini, 
Explore mais exemplos clicando aqui. 
Leia a teoria e veja mais exemplos em 15.3 de [S] e III.4 de [BCHS].Pratique fazendo exercícios do livro [S] e da
Lista 1.
Dica: O livro de J. Stewart [S] traz muitos exercícios resolvidos e muitos gráficos e figuras. Consulte pois para um
melhor aproveitamento visualizar os gráficos e as regiões de integração é fundamental. Usepara isso programas gráficos
como Winplot .
2010
20/04/12 Integrais Duplas - propriedades
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-8-intdupla-propriedades.html
Integrais Duplas - Propriedades
As seguintes propriedades básicas são válidas para integrais duplas.
 Proposição. Se f e g são funções integrais em D, região limitada do plano e com área, e c é constante
então
 Uma outra propriedade muito útil para o cálculo de integrais duplas é a seguinte.
 Proposição. Suponha que f(x,y) seja integrável em D1 e em D2 , que são regiões limitadas do plano. Se
D1 ∩ D2 tem área nula então f é integrável em D1 U D2 e vale
 Por exemplo, seja f(x,y) = 1, se (x,y) pertence a [0,3]x[0,1] e f(x,y) = 2, se (x,y) pertence a
[3,5]x[0,1] . Claramente essa função não é contínua em R = [0,5]x[0,1], mas é descontínua apenas no
conjunto {( 3,y ) : 0 ≤ y ≤ 1} que tem área nula no plano.
Então f é integrável em R e
Cristina Cerri - 2010
20/04/12 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-9-intdupla-mudapolares.html
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 
Coordenadas Polares
 
 Nas integrais de funções de uma variável real muitas vezes uma mudança de variável conveniente permite seu cálculo
mais facilmente. A fórmula nesse caso é
onde g (c) = a e g (d) = b , sendo g estritamente crescente. É comum escrevermos que “dx = g'(u) du”.
 Para integrais duplas também é possível fazer mudanças de variáveis. Nesse caso temos que fazer mudanças do
sistema de coordenadas Oxy para outro sistemas de coordenadas Ouv. E como fica a integral dupla quando mudamos
de coordenadas? O que irá substituir o fator “g'(u) du” nesse caso?
 Antes de tratar do caso geral veremos como fica a integral dupla quando mudamos do sistema de coordenadas
cartesianos Oxy para o sistemas de coordenadas polares Orθ.
 Sabemos que x = x(r,θ) = r cos(θ) e y = y(r,θ) = r sen(θ), onde r representa a distância do ponto P de coordenadas
(x,y) e θ é o ângulo formado pelo segmento OP e o eixo Ox no sentido anti-horário.
 Suponha que f(x,y) é integrável numa região D do plano Oxy. Como a integral dupla é o limite das somas de Riemann
vamos avaliar a soma para uma partição qualquer de D. Para cada retângulo da partição sua área é aproximadamente a
área de um setor circular. Mas a área de um setor circular pode ser calculada usando as variações de r e de θ . (Veja o
texto sobre Coordenadas Polares ) Logo
Fazendo o limite temos que
onde Dxy denota a região D descrita em coordenadas cartesianas Oxy e Drθ denota a região descrita em coordenadas
polares.
Atenção: nunca se esqueça de multiplicar pelo fator r !
Para ver mais exemplos clique aqui!
Cristina Cerri - 2010 
20/04/12 Integral Dupla em Coordenadas Polares - Exemplos
2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-9-2-intdupla-mudapolar-ex.html
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 
Coordenadas Polares - Exemplos
 Exemplo 1. Queremos calcular o volume do sólido que está sob o parabolóide z = x2 + y2 , acima do
plano xy e dentro do cilindro x2 + y2 = 2x.
Então
onde 
E então nas coordenadas cartesianas
Não é uma integral muito simples. Mudando para coordenadas polares a região D passa a ser
pois substituindo x(r,θ) = r cos(θ) e y(r,θ) = r sen(θ) na equação x2 + y2 = 2x temos que r2= 2 r cos(θ),
logo na circunferência r = 2cos(θ). Como θ é o ângulo entre o segmento do ponto a origem e o eixo x, a
variação do ângulo é de −pi/2 a pi/2.
Região em coordenadas cartesianas
Região em coordenadas polares
20/04/12 Integral Dupla em Coordenadas Polares - Exemplos
3/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-9-2-intdupla-mudapolar-ex.html
E então
 Exemplo 2. Desejamos calcular o volume do sólido que está sob o parabolóide z = 4 - x2 - y2 , acima do
plano xy e dentro do cilindro x2 + y2 = 1.
 
 Sabemos que onde D é o
disco de centro (0,0) e raio 1. Logo
 
 Então
Contudo o cálculo dessa integral é elaborado. A região D pode
ser facilmente descrita em coordenadas polares.
Assim usando que x = x(r,θ) = r cos(θ) e y = y(r,θ) = r sen(θ)
então o disco pode ser representado por
Portanto
 Exemplo A3. Se a função está definida na regão
então
Clique e veja a região acima para diferentes raios. Explore!
 Cristina Cerri - 2010
20/04/12 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-10-intdupla-mudavar.html
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 
Caso Geral
 Para o cálculo de funções de uma variável temos que, às vezes, fazer uma mudança de variável de
integração. Quando fazemos isso temos que fazer uma "correção" e multiplicar pela derivada:
 No cálculo de integrais duplas também precisamos as vezes mudar de variáveis. Uma mudança de
coordenadas em R2 é uma transformação ϕ contínua e injetora no interior da região. Escrevemos ϕ(u,v) =
(x(u,v),y(u,v)).
 Assim para funções de duas variáveis devemos ter uma fórmula do tipo
 O que viria no lugar do ?????? ? 
 Antes de dar a fórmula vamos ver um exemplo de mudança de variável. Seja 
ϕ(u,v) = (x(u,v),y(u,v)) onde x(u,v) = (u - v)/2 e y(u,v)=(u + v)/2, ou seja, u = x + y e v = y - x . 
 Seja Dxy a região limitada pelas retas x + y = 4 , x + y = 3, y - x = 3 e y - x = 1. Note que uma reta y +
x = a no plano Oxy corresponde a reta u = a no plano Ouv e que uma reta y - x = b no plano Oxy
corresponde a reta v = b no plano Ouv.
 Com esta aplicação transformamos o retângulo Dxy (amarelo) no retângulo Duv = [3,4]x[1,3] (verde).
Note que as áreas dos retângulos são diferentes!!! Veja que a área de Duv é 2, mas a área de Dxy é 1.
Note que todo retângulo de lados paralelos aos eixos Ou e Ov se transforma pela ϕ em outro retângulo e
que A(Dxy) = A(Duv)/2. Esta transformação não preserva áreas, mas há uma relação entre elas. Para
calcularmos uma integral dupla teremos que levar isso em conta.
 Se queremos calcular a integral
onde D = Dxy diretamente com as variáveis x e y vamos ter algum trabalho. Entretanto se rodamos a figura,
ou seja, fazemos uma mudança de variáveis, passaremos a ter um retângulo paralelo aos eixos e assim a
integração ficará mais simples. Se u = x + y e v = y - x, ou x = (u - v)/2 e y = (u + v)/2 transformamos Dxy
em Duv = [3,4]x[1,3]. Como A(Dxy) = A(Duv)/2 
20/04/12 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-10-intdupla-mudavar.html
 Mas esse foi um caso muito particular. Em geral dada uma mudança de variáveis o fator de correção da
área não é constante. Esse fator é o Jacobiano da transformação. Em geral, dada uma transformação
ϕ(u,v) = (x(u,v),y(u,v)) do plano o Jacobiano é 
 O que vale é o seguinte resultado:
 TEOREMA. Seja ϕ uma transformação de uma aberto Ω de R2 em R2 de classe C1 onde ϕ(u,v) =
(x(u,v),y(u,v)). Seja Duv subconjunto de Ω limitado, com bordo de conteúdo nulo também em Ω, e Dxy =
ϕ(Duv). Suponha que ϕ é injetora e Jϕ(u,v) não é nulo o interior de Duv. Se f é contínua em Dxy então 
 
 Note que na fórmula aparece o módulo do Jacobiano!
 Voltando ao exemplo e calculando o Jacobiano temos Jϕ(u,v)= 1/2 . Logo
Agora é com você: calcule a integral! 
Mais exemplos e muito mais você verá em Mudança de Variáveis em Integrais Duplas -
Exemplos
 Como você deve se lembrar, as coordenadas polares x(r,θ) = r cos(θ) e y(r,θ) = r sen(θ) são úteis e
de grande importância. Várias integrais duplas ficam mais fáceis de serem calculadas se usamos a mudança
de coordenadas polares, cujo Jacobiano é r. 
Referências: 15.9 de [S] e III.5 e IV.5 de [BCHS] ou 4,2 de [G].
Cristina Cerri -2010 
20/04/12 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas - Exemplos
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-10-1-intdupla-mudavar-ex.htmlMudança de Variáveis em Integrais Duplas 
Exemplos
Vimos que nas condições do enunciado do Teorema a fórmula de mudança de variáveis é
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1. Para calcular uma integral sobre uma região D = { (x,y) : (x-p)2 + (y-q)2 ≤ a2 }, com a > 0, que
é a região interior a circunferência de raio a, podemos, para facilitar, fazer uma mudança de variável do tipo
polar, tal que x-p = r cos(θ) e y-q = r sen(θ), ou seja, x(r,θ) = r cos(θ) + p e y(r,θ) = r sen(θ) + q .
Verifique que nesse caso o Jacobiano é também r.
Exemplo 2. Para calcular uma integral sobre uma região D = { (x,y) : x2/a2 + y2 /b2 ≤ 1 }, com a, b > 0,
que é a região interior a uma elipse, podemos, para facilitar, fazer uma mudança de variável do tipo polar, tal
que x/a = r cos(θ) e y/b = r sen(θ), ou seja, x(r,θ) = a r cos(θ) e y(r,θ) = b r sen(θ) . Verifique que nesse
caso o Jacobiano é abr.
Compondo essas transformações podemos resolver o seguinte exercício (extraído da prova de 1999).
Exemplo 3. Determine o volume do sólido limitada pelas superfícies: ; z = x2 + y2 e z =
0.
Solução. Note que desejamos calcular o volume do sólido dado por
Mas isso pode ser feito com integrais duplas.
onde D é a região interior a elipse . Portanto fazendo a mudança de variável
 
Então e o Jacobiano é ,
não nulo no interior.
Portanto
.
Cristina Cerri - 2010
20/04/12 Aplicações da Integral Dupla
1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-11-intdupla-aplica.html
Aplicações da Integral Dupla
 Algumas aplicações das Integrais Duplas já foram discutidas. O cálculo de volume, por exemplo, foi
inclusive motivação para a definição dessas integrais. Algumas outras aplicações apresentamos aqui, porém
ainda mais podem ser encontradas em física, biologia, ecomonia etc. 
1. Cálculo de volume. 
 Dada f e g são contínuas em D, região limitada do plano Oxy com área, e então o volume da
região entre os gráficos de f e g é dado por
2. Área de uma região plana 
 Seja D uma região limitada do plano Oxy, com área. Se criamos um "prisma" B de base D e altura 1 é
esperado que o volume de B seja area da base vezes a altura, que é 1. Logo devemos ter Vol(B) = Area (D)
x 1. Então 
3. Massa e Centro de Massa
 Recordamos que a massa total de um sistema de k partículas cuja massa de cada partícula é mi , i =
1,...,k, é a soma m = m1+m2+...+mk . Considere uma lâmina ou placa fina plana (sem volume) cujo formato
é uma região D, região limitada do plano Oxy, com bordo de conteúdo nulo. Se ρ(x,y) é uma função
contínua positiva em D que representa a densidade superficial de massa, então a massa total de D deve ser
“a soma das massas em cada ponto (x,y) de D”.
 Pensando assim faz sentido definir a massa de D como sendo
já que ρ(x,y) dA pode ser interpretado como a massa do elemento de área dA.
 Fazendo também a analogia com um sistema finito de partículas temos que o centro de massa da lâmina
é o ponto onde
 2. Momento de inércia
 O momento de inércia de uma partícula de massa m com relação a uma reta é dado por md2 onde d é
a distância da partícula a esta reta. Estendendo esse conceito a uma placa de formato D, região limitada do
plano Oxy, com bordo de conteúdo nulo, com densidade pontual de massa dada por uma funçao contínua
positiva ρ(x,y), temos as seguintes definições:
 O momento de inércia com relação ao eixo x é
20/04/12 Aplicações da Integral Dupla
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-11-intdupla-aplica.html
 O momento de inércia com relação ao eixo y é
 O momento de inércia polar (ou com relação à origem) é definido por
Um exemplo. A densidade de cada ponto de uma placa semicircular é proporcional a distância ao centro do
círculo. Encontre o centro de massa da placa.
Vamos colocar a placa na parte superior do circulo de raio a. A distância de (x,y)
ao centro (origem) é portanto a densidade ρ(x,y) é
para alguma constante K. Calculemos primeiramente a massa M
Como a região é simétrica com relação ao eixo y temos que . E
Logo o centro de massa é o ponto (0,(3a)/2pi). Localize-o no desenho.
Observação: se a densidade for constante então o centro de massa será o ponto (0, (4a)/2pi).
Leia mais e veja mais exemplos em III.6 de [BCHS] e 15.5 de [S] e faça exercícios da Lista 1.
Cristina Cerri -2010
 
20/04/12 Integrais Triplas
1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-1-inttripla-def.html
Integrais Triplas em Paralelepípedos
Definição
 Vamos agora considerar funções de três variáveis , isto é, f é uma função que a cada terna (x,y,z) de um
subconjunto do R3 associa-se um valor f(x,y,z) em R. Já não podemos visualizar o gráfico desse tipo de
função pois é um subconjunto do R4, mas podemos definir uma integral, que será a integral tripla de f. 
 
 Vamos motivar a definição usando o cálculo de massa de um paralelepídedo. 
 Seja P um paralelepípedo feito de um material com densidade de massa constante ρ. Então a massa total
de P é ρ.V(P), onde V(P) denota o volume de P. Se tivessemos um conjuto de Pi parelelepípedos, i =
1,..,n com densidade de massa ρi então Massa Total é a soma das massas Mi = ρi .V(Pi) .
 Agora suponha que o paralelepípedo P não é feito de um material com densidade de massa constante .
Como calcular sua massa total? Vamos tentar obter esse valor por aproximações. 
 Num sestema de coordenadas Oxyz o paralelepípedo P é o produto cartesiano de segmentos
[a,b]×[c,d]×[p,q], ou seja, 
Suponha que a densidade de massa depende de cada ponto de P , ou seja, e a densidade pontual de massa
é uma função ρ(x,y,z), contínua e positiva, definida em P. 
 Particione P em pequenos paralelepípedos P1 , P2 ,..., Pn, dividindo
os intervalos [a,b] , [c,d] e [p,q] . Para cada i =1,...,n escolha um
ponto (xi , yi , zi) de Pi . Como estes Pi são pequenos podemos dizer
que a massa de Pi é aproximadamente ρ(xi , yi , zi).V(Pi) . Portanto
a massa de P é aproximadamente a soma das massas de cada Pi
 Como no caso das funções de duas variáveis, estas somas são conhecidas como Somas de Riemann. 
 Intuitivamente a aproximação deve melhorar quanto menores forem os retângulos Pi . Assim é natural
pensarmos que a Massa Total de P deve ser o LIMITE destas somas, quando as dimensões de Pi vão para
zero. Isto é, se o limite existir, a massa total deve ser
 
onde d(Pi) denota a diagonal de Pi. 
 Podemos generalizar e temos assim a seguinte definição
DEFINIÇÃO: Seja f uma função definida em P. A integral tripla de f sobre P é 
se tal limite existe, e é o mesmo para qualquer escolha de (xi , yi , zi) em P. Neste caso se diz que
20/04/12 Integrais Triplas
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-1-inttripla-def.html
f é integrável em P.
 As mesmas propriedades operatórias que valem para integrais duplas valem para integrais triplas.
Propriedades: Se f e g são funções integráveis em P então
sempre que
 Como no caso de integrais duplas, existem funções que não são integráveis. Contudo as funções "bem
comportadas" são integráveis. Temos que
 TEOREMA Se f é contínua em P então f é integrável em P.
 Portanto, se f(x,y,z) for uma função contínua e positiva e representar a densidade de massa de cada ponto
(x,y,z) de P, a massa total de P deverá ser a integral tripla acima (caso existir).
 
 Como no caso de integrais duplas existem funções que não são integráveis. Veja aqui um exemplo.
 Mas como calcular integrais triplas? Usaremos também as integrais iteradas, que podem ser feitas em
qualquer ordem. Veja como nos próximos textos da disciplina. 
 É claro que os domínios das funções não são sempre paralelepípedos. Também veremos como definir e
calcular a integral tripla em diferentes regiões do espaço.
Cristina Cerri - 2010
20/04/12 FunçõesIntegráveis e Não Integráveis
1/1www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-1-1-inttripla-naointegra.html
Exemplos de funções não-integráveis
 Existem funções de três variáveis que não são integráveis.
 
 Um exemplo de função não integrável: Considere a função f definida em R=[0,1]x[0,1]x[0,1] (cubo
de lado 1) da seguinte forma: f(x,y,z) = 1, se x, y e z são racionais e 0 caso contrário. Basta calcular a soma
de Riemann para convenientes escolhas de (xi , yi, zi ) que teremos somas com valor 1 e outras que valem 0.
Portanto o limite não existe. (Lembre-se do exemplo que demos para integrais duplas.)
 Um resultado útil: Usando a definição pode-se mostrar que se ! é uma função integrável em " então
! é limitada em " , isto é, existe M > 0 tal que |! (# $ % $ & )| < M, para todo (# $ % $ & ) em " . Para a
demonstração veja Teorema IV.1.4 de [BCHS].
 Como para funções de duas variáveis o resultado acima é útil para encontrar exemplos. Se uma função
não é limitada em " então ela não é integrável em " .
 Desafio: encontre um exemplo de função não é limitada em [0,1]x[0,1]X[0,1], e assim você terá um
exemplo de função não integrável.
Cristina Cerri - 2010
 
 
 
 
20/04/12 Integrais triplas sobre regiões
1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-2-inttripla-regiao.html
Integrais Triplas sobre Regiões
 Considere uma região limitada S do R3, isto é, S está contida num paralelepípedo P, e seja f(x,y,z)
uma função definida em S. Como fizemos para integrais duplas vamos definir a integral tripla de f em S
usando a integral tripla de uma função auxiliar F(x,y,z) em P.
 Defina F(x,y,z) = f(x,y,z) em S e F(x,y,z) = 0 nos pontos que estão em P, mas não em S.
 Dizemos que f é integrável em S, se F é integrável em P e definimos a integral tripla de f(x,y,z) sobre S
como sendo
.
 Como no caso das integrais duplas, como F é nula nos pontos de P-S, a definição acima não depende da
escolha do paralelepípedo P. As mesmas propriedades válidas para integrais duplas são também válidas
para integrais triplas (veja Integrais Duplas sobre Regiões). 
 Como você sabe existem funções que não são integráveis. Contudo, assim como para funções de duas
variáveis, a integrabilidade da f pode ser garantida quando f é contínua em S e a região S é de um tipo
especial. Note que se f é contínua em S a função F definida acima será descontínua num conjunto que
contém o bordo de S. Logo para existir a integral esse bordo deve ser "magrinho", ou seja, não pode ter
volume em R3. Estes são os tais conjuntos de conteúdo nulo. Por exemplo, um segmento de reta ou um
pedaço de plano são conjuntos com volume nulo. Formalmente um conjunto A tem conteúdo nulo, se dado
ε > 0 arbitrário, existem paralelepípedos P1 , P2 , ... Pn , de arestas paralelas aos planos coordenados, tais
que A está contido na união P1 U P2 U ...U Pn e a soma dos volumes . 
 Temos então o seguinte resultado.
TEOREMA. 
 O próximo resultado nos dá varios exemplos de conjuntos desse tipo.
PROPOSIÇÃO. Seja D um subconjunto limitado do plano, com bordo de conteúdo nulo. Se g é uma
função contínua e limitada em D, então seu gráfico é um subconjunto de conteúdo nulo no R3. 
 Superfícies parametrizadas também são exemplos de conjuntos de volume nulo.
 
 Por isso trabalharemos com regiões S cujo bordo é formado por gráficos de funções contínuas. Vamos
destacar alguns tipos dessas regiões que aparecem com mais frequência.
20/04/12 Integrais triplas sobre regiões
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-2-inttripla-regiao.html
1. Região do Tipo I. São regiões do espaço da forma
 
onde u1 e u2 são funções contínuas em D. Um exemplo:
 2. Regiões Tipo II. São regiões do tipo
onde v1 e v2 são funções contínuas em D. Um exemplo:
3. Região Tipo III. São regiões do tipo
onde w1e w2 são funções contínuas em D onde D é a projeção de S no plano xz. (exercício: faça um
desenho deste tipo de região).
 
Observação importante: O bordo de S é contituído da união dos dois gráficos e das superfícoes que
constituem as "laterias" pois S é um sólido no espaço.
Veja no texto sobre Cálculo de Integrais Triplas como calcular integrais deste tipo.
Cristina Cerri - 2010 
20/04/12 Cálculo de Integrais Triplas
1/1www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-3-inttripla-calculo.html
Cálculo de Integrais Triplas
 Como calcular integrais triplas? 
 Como no caso de Integrais Duplas, se f está definida num paralalelepípedo temos as integrais iteradas. E
como antes não importa a ordem que fazemos o cálculo. Só que neste caso como temos três variáveis teremos 6
combinações possíveis. Este resultado também é devido a Fubini.
Teorema de Fubini. Se f é uma função integrável em P = [a,b]×[c,d]×[p,q] então
Exemplo 1: Se P = [0,1]× [-1,2] × [0,3] e f(x,y,z) = xyz2 então
Exemplo 2: A integral tripla da função f(x,y,z) = x sen(y+z) em P, onde P é o cubo de arestas os segmentos
[0,1] nos eixos x,y e z é 
.
 E como podemos calcular a integral tripla em regiões dos tipos I, II e III? Veja clicando aqui.
Cristina Cerri - 2010
20/04/12 Cálculo de Integrais Triplas sobre Regiões
1/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-3-1-inttripla-calculo-regiao.html
Cálculo de Integrais Triplas sobre Regiões
 Como no caso de integrias duplas para calcular integrais triplas usamos as integrais iteradas e o Teorema
de Fubini. Vamos ver como fica a integral tripla no caso de S ser do tipo I, II ou III.
1. Região Tipo I. Seja S do tipo
onde u1 e u2 são funções contínuas em D (D é a projeção de S no plano xy), e D é como as regiões vistas
anteriormente em Integrais Duplas. Então
Assim usando integração iterada, dependendo da região D podemos ter 
ou
2. Regiões Tipo II. Seja S do tipo
onde v1 e v2 são funções contínuas em D ( D é a projeção de S no plano yz) e D é como as regiões vistas
anteriormente em Integrais Duplas. Então
Da mesma forma que antes, podemos ter dois tipos de integração, dependendo da forma da região D.
ou
3. Regiões Tipo III. Seja S do tipo
onde w1e w2 são funções contínuas em D onde D é a projeção de S no plano xz. Também nesse caso
E pode-se ter dois tipos de integração, dependendo da forma da região D.
20/04/12 Cálculo de Integrais Triplas sobre Regiões
2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-3-1-inttripla-calculo-regiao.html
ou
Melhor mesmo é ver um exemplo.
 
Exemplo. Calcule onde S é a região limitada pela parábola y = x2 + z2 e pelo plano y =
4.
Lembre sempre que S é o sólido “cheio”.
Pode-se descrever esta região de várias formas.
Projetando S no plano xy temos a região D
limitada pela parábola y = x2 (z = 0) e a reta y =
4.
E se (x,y) está nesta região D então
E assim
Entretanto a integral que temos que calcular é um pouco complicada (vai ter que fazer mudança de variável).
Vamos tentar escapar disto vendo S de outra maneira. Projetando S no plano xz temos um disco D de raio
2 e centro na origem (pois encontramos a intersecção fazendo x2 + z2 = 4). Para (x,z) em D temos que y
varia entre v1(x,z) = x
2 + z2 e v2(x,z) = 4.
20/04/12 Cálculo de Integrais Triplas sobre Regiões
3/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-3-1-inttripla-calculo-regiao.html
 Então fazendo a mudança para coordenadas polares temos 
Importante: Na integração dupla ou tripla cada vez que se integra com relação a uma determinada
variável ela deve "desaparecer", pois estamos fazendo uma integral definida, e o que sobra é
apenas função das variáveis restantes. O resultado de integração dupla ou tripla é sempre um
número.
Crisitna Cerri-2010
20/04/12 Mudança de Variável
1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-4-inttripla-mudavar.html
Mudança de Variáveisem Integrais Triplas
 Como nas integrais duplas, podemos fazer mudança de variáveis em integrais triplas para facilitar os
cálculos. 
 Uma mudança de coordenadas em R3 é uma transformação ϕ de um aberto do R3 em R3 , que é
contínua e injetora. Por exemplo, ϕ(u,v,w) = (x(u,v,w), y(u,v,w), z(x,y,w)) = (u + w, v - w , u - v ) é uma
mudança de coordenadas. O Jacobiano de ϕ é
 Numa transformação o volume de sólidos nem sempre é presenvado. Por isso quando fazemos uma
mudança de variáveis temos que fazer uma correção para manter a ingualdade na integração. Vale o seguinte
TEOREMA. Seja ϕ uma transformação de uma aberto Ω de R3 em R3 de classe C1 onde ϕ(u,v, w) =
(x(u,v,w), y(u,v,w), z(x,y,w)). Seja Duvw subconjunto de Ω limitado, com bordo de conteúdo nulo
também em Ω, e Dxyz = ϕ(Duvw). Suponha que ϕ é injetora e o Jacobiano Jϕ(u,v,w) não é nulo o
interior de Duvw. Se f é contínua em Dxy então 
onde Dxyz é a região de integração descrita nas variáveis x,y e z, Duvw, a mesma região descrita com as
variávies u,v e w .
Atenção: na fórmula aparece o módulo do Jacobiano!
 
Exemplo. Calcule
 
para D limitada por: x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y - z = 0, x + y - z = 2, x - y - z = 1, x - y - z = 2.
Solição. Note que D é uma região limitada por planos. Fazendo u = x + y + z, v = x + y - z e w = x - y - z
transformamos a região D no paralelepípedo [1,2] × [0,2] × [1,2] no sistema de coordenadas Ouvw. 
 
20/04/12 Mudança de Variável
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-4-inttripla-mudavar.html
Então
 
Como usamos o módulo do Jacobiano temos 
As mudanças de variáveis mais comuns são as mudanças por coordenadas cilíndricas e
coordenadas esféricas. Veja em outros textos detalhes sobre essas mudanças de coordenadas .
Leia mais em 15.9 de [S] e III.5 e IV.5 de [BCHS].
Cristina Cerri - 2010 
20/04/12 Integrais Tripla - Coordenadas Cilindricas
1/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-5-inttripla-cilindrica.html
Mudança de Variáveis em Integrais Triplas 
Coordenadas Cilíndricas
 Um ponto P do espaço pode ser descrito em coordenadas cartesianas (x,y,z), mas também pode ser
descrito com coordenadas chamadas cilíndricas. 
 Dado um sistema de coordenadas cartesiano e um ponto P de coordenadas (x,y,z) , podemos descrever
(x,y) em coordenadas polares, no plano Oxy. Então temos uma terna (r, θ, z) onde x = r cos θ e y = r
sen θ e z = z. 
Para obter todos os ponto do espaço basta variar θ entre 0 e 2pi, tomar r real positivo e z qualquer número
real. 
 Nesse caso, se fazemos essa mudança de variáveis, como Jϕ (r,θ, z) = r (verifique! ) então da fórmula
geral de mudança de variável em integral tripla temos 
 
Exemplo 1: Calcule onde S é a região interior ao cone z2 = x2 + y2 para z entre 0 e
2.
Note que
20/04/12 Integrais Tripla - Coordenadas Cilindricas
2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-5-inttripla-cilindrica.html
onde D é o disco de centro 0 e raio 2. Em coordenadas cilíndricas temos
Exemplo 2 (questão da 1ª prova de 2000). Seja D a região do espaço interior ao cilindro x2 + y2 = 16 e
exterior ao cilindro x2 + y2 - 4x = 0 , compreendida entre os planos z = 0 e z = y + 6. Calcule
Solução: A região D é 
Para calcular a integral percebemos que a região D é mais facilmente descrita em coordenadas cilindricas.
Contudo temos que separá-la em duas regiões. Considere D1 a região compreendida entre os planos e
interior ao cilindro maior e D2 a região compreendida entre os planos e interior ao cilindro menor. Usando
coordenadas cilíndricas temos as seguintes parametrizações (em r, θ , z)
Então
 
 
 = 0 
 
20/04/12 Integrais Tripla - Coordenadas Cilindricas
3/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-5-inttripla-cilindrica.html
 
 
 
 
 
 
Portanto 
OBS: O nome coordenadas cilindricas vem do fato de que um retângulo em 0rθ z é transformado em um
setor de cilindro. Verifique que se 0 < r < a, 0 < θ < 2pi e 0 < z < b , então temos um cilindro de raio a
e altura h.
Não esqueça: na mudança de coordenadas cilíndricas o Jacobiano é r.
Cristina Cerri-2010 
20/04/12 Integrais Triplas - Coordenadas Esfericas
1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-6-inttripla-esferica.html
Mudança de Variáveis em Integrais Triplas 
Coordenadas Esféricas
 Um ponto P do espaço pode ser descrito em coordenadas cartesianas ( ), mas também pode ser descrito com
coordenadas chamadas esféricas. 
 Dado um sistema de coordenadas cartesiano e um ponto P de coordenadas ( ) , podemos descrever ( ,z)
usando variáveis ρ , θ , φ , onde ρ é o comprimento do segmento OP, φ é o ângulo que este forma com o eixo 
e θ representa o ângulo que a projeção de OP forma com o eixo . Então
 
 x = ρ senφ cosθ
 y = ρ senφ senθ
 z = ρ cosφ .
 Um ponto P do espaço pode ser escrito tanto em coordenadas cartesianas ( ) como em coordenadas esféricas
(ρ,θ, φ) . Para representar todos os pontos fazemos ρ qualquer real positivo, θ variando de 0 a 2pi e φ de 0 a pi . 
 Note que no sistema de coordenadas cartesianas uma esfera de raio é o conjunto
que em coordenadas esféricas passa a ser o paralelepípedo [0,a]×[0,pi]×[0,2pi]. Por isso essas coordenadas são
chamadas de esféricas. Note que um retângulo no sistema Ορθφ se transforma num setor esférico em ..
 Se queremos calcular uma integral tripla sobre uma região que é mais facilmente descrita em coordenadas esféricas
devemos fazer uma mudança de variável. Como vimos, no caso geral temos que
No caso de coordenadas esféricas temos que o Jacobiano é ρ2senφ . 
20/04/12 Integrais Triplas - Coordenadas Esfericas
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-6-inttripla-esferica.html
E então
 Como no caso das integrais duplas o Jacobiano fará a correçào necessária para manter a igualdade das integrais, já
que o volume por esta mudança não é preservado. Uma esfera de raio é o conjunto
que em coordenadas esféricas passa a ser o paralelepípedo [0,a]×[0,pi]×[0,2pi]. Sabemos que o volume da esfera é
4pia3/3, mas o volume do paralelepípedo é 2pi2a . Logo o volume não é preservado através da mudança de
coordenadas esféricas. Quando definimos integral fizemos partições do domínio de integração. Vamos particionar o
domínio em pequenos setores esféricos. Gostariamos de estabelecer alguma relação entre o volume de um “pedaço” da
esfera, onde
Considerando que ∆ρ ∆φ ∆θ são as variações das respectivas coordenadas e supondo que são pequenos temos que o
volume da região é aproximadamente ρ2senφ∆ρ∆θ∆φ (e não apenas ∆ρ∆θ∆φ). Portanto é razoável que este seja o
fator de correção quando se passa de coordenadas cartesianas para esféricas numa integração.
Veja exemplos e aplicações clicando aqui. 
 - 2010 
20/04/12 Coordenadas Esfericas - Exemplos
1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/…/2-6-inttripla-esferica-exemplos.html
Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas 
Exemplos
Exemplo 1. Calcule sendo S a região interior ao cone 2 = 2 + 2 , com positivo, e limitada
pela esfera 2 + 2 + 2 = 2 (esfera de centro (0,0,1) e raio 1).
Solução:
A equação 2 + 2 + 2 = 2 em polares fica ρ= 2cosφ. A intersecção do cone com a esfera é quando z = 1 e
x2 + y2 = 1. O ângulo φ varia de 0 até o encontro da esfera com o cone que é quando z = 1 e daí temos que o
ângulo φ é pi/4. Então nossa região que é o interior do “sorvete” é
Logo
Exemplo 2. (questão da 1ª prova de 2000) Seja a região do primeiro octante limitada pela esfera x2 + y2 +
z2 = 4 e pelos planos y = 0 e . Calcule 
Solução:
20/04/12 Coordenadas Esfericas - Exemplos
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/…/2-6-inttripla-esferica-exemplos.html
Em coordenadas esféricas a parametrização de é
PortantoNão se esqueça o Jacobiano é ρ2senφ nas mudança para coordenadas esféricas.
- 2010
20/04/12 Aplicações de Integrais Triplas
1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-7-inttripla-aplica.html
Aplicações de Integrais Triplas
 1. Massa e Volume
 De forma análoga ao que fizemos para lâminas planas podemos calcular a massa de sólidos usando integrais
triplas. Considere um sólido S que pode ser descrito como uma região S limitada do R3 cujo bordo tem conteúdo
nulo (do Tipo I, II ou III, por exemplo), e tal que a densidade de massa do material é uma função ρ(x,y,z) positiva
e contínua em S. Então a massa de S é definida por
 Se a densidade é constantemente 1, então a massa coincide com o volume de S, que é definido por
 
 Note que em particular se D é uma região plana com bordo de conteúdo nulo e se f (x,y) é uma funçào contínua
e positiva em D, e se
então
ou seja
como já tinhamos anteriormente.
 2. Centro de Massa
 De forma análoga ao que fizemos para lâminas planas podemos calcular o centro de massa de sólidos usando
integrais triplas. Se S é como antes e ρ(x,y,z) é uma função positiva e contínua em S que representa a densidade do
material então o centro de massa de S é um ponto de coordenadas
 onde
 3. Momento de Inércia
 Também podemos definir os momentos de inércia de um sólido S com relação aos eixos coordenados. As
fórmulas de cada momento de inércia em relação aos eixos x, y e z , respectivamente são
 
Exercício: Seja S o sólido limitado pela "calha" x = y2 e pelos planos x = z, z = 0 e x = 1.
20/04/12 Aplicações de Integrais Triplas
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-7-inttripla-aplica.html
(a) Calcule o volume de S
(b) Encontre o centro de massa de S considerando que a densidade é constante.
Solução: A região S é 
Projetando S no plano xy temos a região
Então
(a) O volume de S é
(b) Como a densidade é constante k em S (isto é, ρ(x,y,z) = k) a massa de S será simplesmente k.V(S). Como a
região e a função ρ(x,y,z) são simétricas com relação ao plano xz então a segunda coordenada do centro de massa
é 0. Calculado as outras temos que
que não dependem de k.
 OBS: Veja mais sobre isso em 15.7 de [S] e IV.6 de [BCHS]. E faça os exercícios da Lista 1. 
Cristina Cerri - 2010
20/04/12 Curvas
1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-1-intlinha-curva.html
Curvas
 Seja γ uma aplicação de um intervalo I da reta em R2 ou R3. Então para cada valor de t em I temos
vetores γ(t) = (x(t),y(t)) ou γ(t) = (x(t),y(t), z(t)). A imagem de γ (traço de γ ), que é o conjunto dos
pontos γ(t) = (x(t),y(t)) ou γ(t) = (x(t),y(t), z(t)), onde t pertence a I, é chamado de curva. As funções
x(t), y(t) e z(t) são as chamadas de parametrizações de γ. 
 Uma curva pode ser vista como a trajetória de uma partícula no plano ou no espaço num intervalo de
tempo I. Nesse caso, γ(t) = (x(t),y(t), z(t)) é a posição da partícula no instante t.
 Uma curva pode ter várias parametrizações. Por exemplo, a curva plana formada pelos pontos (x,y) tais
que x2 + y2 = 1 pode ser parametizada de várias maneiras: 
(1) x(t) = cos(t) e y(t) = sen(t), onde t varia de 0 a 2pi ; 
(2) x(t) = sen(2t) , y(t) = cos(2t), onde t varia de 0 a pi .
 Se as funções x(t),y(t) e z(t) são contínuas, dizemos que γ é contínua; se x(t),y(t) e z(t) são deriváveis,
dizemos que γ é derivável. Nesse caso, γ '(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) é chamado de vetor tangente a curva no
ponto γ(t). Dizemos que uma curva é “lisa”, se γ ' é contínua e se γ '(t) é diferente do vetor nulo no
interior de I. Se o intervalo I é união finita de intervalos I1 , I2 ,...In e se a curva γ é contínua e lisa em cada
intervalo Ik , então dizemos que é lisa por partes. 
Exemplos. 
1. Uma parametrização da curva dada pela intersecção do cilindro x2 + y2 = 1 e o plano y + z = 2 é 
x(t) = cos(t) , y(t) = sen(t) e z(t) = 2-sen(t) onde t varia de 0 a 2pi. 
2. A curva dada por x(t) = t cos(t) , y(t) = t sen(t) e z(t) = t está contida no cone z2 = x2 + y2 
20/04/12 Curvas
2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-1-intlinha-curva.html
Cristina Cerri - 2010
20/04/12 Integral de Linha de Campo Escalar
1/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-2-intlinha-escalar.html
Integral de Linha de Campo Escalar
 Definiremos aqui a chamada Integral de Linha de uma função f a valores reais. Esta integral é semelhante
a integral de Riemann de funções que foi vista no Cálculo 1. A diferença é que em vez de fazermos a
integração sobre um intervalo faremos a integração sobre uma curva γ . Este tipo de integral foi desenvolvida
no início do século 19 para resolver problemas envolvendo escoamento de fluidos, eletricidade, magnetismo
etc.
 Vamos começar tomando uma curva γ(t) = (x(t),y(t)) onde t pertence ao intervalo [a,b]. Vamos assumir
que a curva é “lisa”, isto é, que γ' é contínua e que γ'(t) é diferente do vetor nulo.
 Particionando o intervalo [a,b] em k subintervalos [ti -1 , ti] temos os correspondentes pontos na curva Pi
= γ (x(ti),y(ti)). A imagem do intervalo [ti -1 , ti] é o pedaço da curva (arco) que vai de Pi-1 a Pi . Vamos
denotar por ∆si o comprimento de cada um desses arcos. A curva γ fica dividida em sub-arcos de
comprimentos ∆s1, ∆s2, ... ∆sn . 
 Mas com arcos bem pequenos podemos dizer que . Portanto para obter o comprimento
da curva basta somar todos os comprimentos dos arcos. fazendo o limite para ∆ti vai a zero temos uma
integral. O comprimento da curva é então dado por
 Vamos generalizar. Suponha que γ representa um arame fino com densidade de massa variável dada por
uma função f positiva e contínua definida num aberto que contem o traço de γ . Desejamos calcular a massa
total do arame. 
 Considere a função , n = 2 ou 3, isto é, o domínio D de f é um subconjunto do plano ou
do espaço e a imagem de f é um subconjunto da reta real. Suponha que o domínio D contém a curva γ
(lembre que isto quer dizer que a imagem γ(t)=(x(t),y(t)) está contido em D, para todo t em [a,b]). 
20/04/12 Integral de Linha de Campo Escalar
2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-2-intlinha-escalar.html
 Calculando f em Pi , multiplicando pelos comprimentos do arco ∆si e somando tudo temos uma
aproximação da massa total.
 Fazendo o limite para partições de forma que os intervalos [ti -1 , ti] sejam de tamanho cada vez menores
devemos melhorar a aproximação. Note que a soma acima é tipo uma Soma de Riemann. Então a massa
procurada deve ser esse limite (quando existir). Temos então a seguinte definição.
Definição: A integral de linha de ao longo de γ é
quando tal limite existe. Chamada de integral de linha de um campo escalar (que é a função ).
 Mas o comprimento de um pequeno arco da curva é aproximadamente o tamanho do vetor tangente,
assim
lembrando que 
 ouu
Se f for uma função contínua o limite acima sempre existe. Então a integral de linha de sobre γ é
 Se f representa a densidade de massa, a integral acima nos dá a massa total do arame. 
Exercício importante: Aparentemente a definição acima depende da particular parametrização da curva.
Mas seria estranho já que a massa total não deve depender na parametrização, mas apenas do formato da
curva. Prove que a integral de linha não depende da parametrização de γ .
20/04/12 Integral de Linha de Campo Escalar
3/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-2-intlinha-escalar.html
 Note que comprimento de uma curva é que uma integral de linha pois
 Se temos uma curva “lisa por partes”, isto é, se γ é a união finita de curvas lisas γ1 , γ2 , ... γn onde o
ponto inicial de γι+1 coincide com o ponto final de γι , então definimos a integral de f ao longo de γ por
Exercício. Denota-se por -γ a curva que tem os mesmo pontos de γ mas com orientação contrária. Mostre
que

Continue navegando