Dada uma função f assuma que a derivada direcional Dv f (1, 1) = 3 √ 5 56 e Dw f (1, 1) = 5 √ 5, sendo v = ( 1 √ 5 , 2 √ 5 ) e w = ( 2 √ 5 , 1...

Dada uma função f assuma que a derivada direcional

Dv f (1, 1) = 3
√
5
56

e
Dw f (1, 1) = 5
√
5,
sendo v =

(
1
√
5
,
2
√
5
)
e w =

(
2
√
5
,
1
√
5
)
. Encontre ∇ f (1, 1).

Solução: Sejam P = (1, 1) e ∇ f (P) = (a, b). Suponha f de classe C1. Essa suposição é
necessária para que com apenas as hipóteses fornecidas possamos de fato encontrar ∇ f (P). Já
que a existência da derivada de f no ponto não garante a diferenciabilidade da mesma, logo não
poderiámos ter necessariamente

Dv f (P) = v · ∇ f (P).

De posse dessa hipótese, podemos fazer

Dv f (P) = v · ∇ f (P) =

(
1
√
5
,
2
√
5
)
· (a, b)
e
Dw f (P) = w · ∇ f (P) =

(
2
√
5
,
1
√
5
)
· (a, b).

Resolvendo o sistema




a
√
5
+
2b
√
5
= 3
√
5

2a
√
5
+
b
√
5
= 5
√
5
teremos
∇ f (P) = (a, b) =

(
35
3
,
5
3
)
.