MF I - apostila

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APOSTILA 
DE 
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Prof. Dr. EDUARDO MANFREDINI FERREIRA
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Programa
	Conteúdo
	Página
	Fundamentos e propriedades dos fluidos. 
	3
	Estática dos fluidos (tensão e hidrostática). 
	11
	Cinemática dos fluidos (escoamento laminar, turbulento e N° de Reynolds).
	8
	Equações fundamentais em regime permanente (conservação da massa, energia e Q.D.M). 
	
	Equações integrais para regime variado (volume de controle). 
	
	Análise diferencial do movimento dos fluidos. 
	
	Escoamento incompressível de fluidos não-viscosos e viscosos. 
	
	Perda de carga em tubulações, válvulas e conexões (singular e distribuída). 
	
	Análise dimensional
	
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INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS
1- Definição de um fluido
O fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento, não importando quão pequena ela seja. De modo geral, os fluidos compreendem os líquidos e os gases (ou vapor) das substâncias.
2- Objetivo da Mecânica dos Fluidos 
Conhecer e compreender seus princípios, para a análise de sistemas nos quais um fluido é o meio operante, como ocorre em aeronaves, automóveis, navios, etc... (abordar a ponte de Tacoma Narrows). É essencial no projeto de máquinas de fluxo (bombas, ventiladores, sopradores, turbinas e compressores), sistemas de aquecimento e ventilação de residências e de edifícios, bem como do sistema circulatório do corpo humano.
3- Sistema e Volume de Controle
Define-se um sistema como uma quantidade de massa fixa e identificável, sendo separado do ambiente pelas fronteiras do sistema, as quais podem ser fixas ou móveis. A massa presente no sistema não cruza a fronteira. (Exemplificar conjunto pistão-cilindro; o gás no cilindro é o sistema. Se o gás é aquecido o pistão levanta o peso, movendo a fronteira. Calor e trabalho podem cruzar a fronteira do sistema, mas não a massa, que permanece a mesma).
Figura 3.1 – Sistema pistão-cilindro
Um volume de controle é o volume arbitrário pelo qual o fluido escoa, o qual é delimitado pela superfície de controle, podendo ser real ou imaginária. 
Figura 3.2 – Sistema junção de tubos.
4- Conceitos básicos 
As equações que regem os princípios da mecânica dos fluidos são:
- a lei de conservação de massa;
- a 2ª lei do movimento de Newton;
- o princípio da quantidade de movimento angular;
- a primeira lei da termodinâmica e 
- a segunda lei da termodinâmica
Nem todos os princípios serão utilizados para a resolução de um problema. Mas, em muitos casos, são necessárias relações adicionais, como a equação do gás ideal, por exemplo.
					(4.1)
com R a constante do gás e Ru a constante universal dos gases.
4.1- A lei de conservação de massa
Como, por definição, um sistema contém uma quantidade fixa e identificável de matéria, a conservação de massa exige que a massa M do sistema seja constante. Em termos de taxa, tem-se
							(4.2a)
				 (4.2b)
4.2- a 2ª lei de Newton
Esta lei estabelece que a soma de todas as forças externas agindo sobre o sistema é igual à taxa de variação da quantidade de movimento linear do sistema.
				(4.3)
4.3- o princípio da quantidade de movimento angular
Este princípio estabelece que a taxa de variação da quantidade de movimento angular é igual a soma de todos os torques atuando sobre o sistema. 
			(4.4)
4.4- a primeira lei da termodinâmica
	A primeira lei da termodinâmica é estabelecida como uma lei de conservação de energia para um sistema.
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	(4.5)�
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	Alguns esclarecimentos sobre a relação acima são necessários.
 – taxa de transferência de calor:	+ quando se adiciona calor ao sistema, por sua vizinhança.
Ẇ – taxa de trabalho: + quando trabalho é realizado pelo sistema, sobre sua vizinhança.
u – energia interna específica
v – velocidade
z – altura
4.5- a segunda lei da termodinâmica
Esta lei assegura que a variação de entropia do sistema, quando uma quantidade de calor Q a uma temperatura T é transferida a um sistema, deve satisfazer a relação:
Em termos de taxa, pode-se escrever:
e a entropia total do sistema é dada por:
				(4.6)
Pode-se notar que as equações de taxa descritas nos itens 4.1-4.5 podem assumir a forma:
				(4.7)
sendo N o símbolo para representar as propriedades extensivas do sistema e  as propriedades intensivas (propriedade extensiva por unidade de massa) 
Ao se trabalhar as equações anteriores, com os devidos algebrismos, chega-se em uma equação genérica dada por:
			(4.8)
5- Aplicação da lei de conservação de massa
Este princípio garante que a massa de um sistema permanece constante. Assim:
		
com N = M e  = 1		
Associando as equações 4.2a, 4.2b e 4.8, chega-se a:
					(4.9)
Deve-se tomar cuidado ao usar o produto escalar 
, cujos valores podem ser positivos (< /2), negativos (> /2) ou, mesmo, zero (=/2), conforme mostrado nas figuras a seguir.
�� EMBED Word.Picture.8 �� EMBED Word.Picture.8 
Figura 4.1 – Avaliação dos produtos escalares.
Há casos nos quais a equação 4.9 pode ser simplificada. Se o escoamento é incompressível, a massa específica é constante e se  é constante, passa para fora do integrando. Como a integral de dV sobre o volume de controle é o volume total do volume de controle, sua derivada é igual a zero. 
						(4.10)
Assim, obtém-se a taxa de fluxo de volume, ou vazão em volume, através de uma seção de superfície de controle de área A:
						(4.11)
Finalmente, considere o caso de escoamento permanente, compressível, em um volume de controle fixo. Como em escoamento permanente nenhuma propriedade do fluido varia com o tempo, o primeiro termo da equação 4.9 será zero e, assim, o enunciado da conservação de massa se reduz a:
						(4.12)
Com isto a vazão em massa dentro do volume de controle deve ser igual a vazão mássica para fora do volume de controle.
Como exemplo, considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos, conforme a figura a seguir. As áreas das seções são: A1= 0,2 m2, A2= 0,2 m2 e A3= 0,15 m2. O fluido também vaza para fora do tubo, através de um orifício em 4, com uma vazão volumétrica estimada em 0,1 m3/s. As velocidades médias nas seções 1 e 3 são 5 m/s e 12 m/s, respectivamente. Determine a velocidade de escoamento na seção 2.
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Dados: 
A1 = 0,2 m2		V1 = 5 m/s
A2 = 0,2 m2		V2 = ???? 
A3 = 0,15 m2		V3 = 12 m/s
 = 999 kg/m3		Q4 = 0,1 m3/s
�
Estratégia de resolução:
- escolher um volume de controle fixo;
- considerar o escoamento em 2 para fora, sinalizando no diagrama;
- a equação geral para um volume de controle é a equação 4.9, mas pode ser escrita sob a forma da equação 4.10, devido à consideração número 2, a seguir.
Considerações:
(1) Escoamento permanente.
(2) Escoamento incompressível.
(3) Propriedades uniformes em cada seção.
Analisando os termos da velocidade da equação anterior, utilizando as figuras 4.1, tem-se:
�
				
				
				
�
Desta forma, a equação fica:
– V1A1 + V2A2 + V3A3 + Q4 = 0
Aplicando os valores fornecidos, tem-se:
Deve ser observado que V2 representa o módulo da velocidade em 2, que foi assumido apontar para fora do volume de controle. Como o sinal está na forma negativa, a suposição foi contrária ao que deveria ser efetivada. Logo, o fluxo em 2 é de entrada, não de saída.
6- Propriedades básicas dos fluidos
Massa específica () 
Define-se a massa específica como sendo a massa do fluido em relação ao volume que ocupa. Suas unidades são, comumente, kg/m3 e g/cm3.
Classificação dos fluidos
Os fluidos, em relação a sua massa específica, originam:
Fluidos incompressíveis – os quais, para qualquer variação de pressão, não ocorre variação de seu volume ( = cte).
Fluidos compressíveis - os quais, para qualquer variação de pressão, ocorre variação de seu volume ( ≠ cte). 
Escoamentos incompressíveis – são aqueles provocados por uma variação de pressão que geram tanto uma variação tanto de temperatura, quanto de volume, desprezível.
Peso específico () – é a relação entre o peso do fluido (G), porunidade de volume (V). Suas unidades são, comumente, N/m3, dyn/cm3 e kgf/m3.
Relação entre peso e massa específica – fazendo-se as relações matemáticas pertinentes, chega-se em:
Massa específica e peso específico relativo – define-se a massa específica relativa como sendo a relação da massa específica do fluido considerado e a massa específica padrão da água, para líquidos, e do ar, para gases.
O peso específico relativo define-se analogamente à massa específica relativa, mas relacionado o peso específico do fluido e o peso específico padrão da água, para líquidos, e do ar, para gases.
Viscosidade cinemática – a viscosidade cinemática é, geralmente, obtida em laboratórios através de viscosímetros e é definida como sendo a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa específica do fluido, à mesma pressão e temperatura.
A viscosidade cinemática foi desenvolvida a partir da equação de Poiseuille, para escoamentos laminares e fluidos incompressíveis.
Sua equação relaciona o tempo (t) necessário para que um volume (V) padrão de um dado fluido, a uma certa pressão (P), escoe em um capilar de comprimento L e raio R.
Número de Reynolds – este número é um critério pelo qual o tipo de regime de escoamento pode ser determinado. 
Em função do número de Reynolds, os escoamentos incompressíveis são classificados em: 
Escoamento Laminar – deslocamento transversal de massa desprezível, o que implica no deslocamento por lâminas, com predominância das forças viscosas. De acordo com o número de Reynolds, o escoamento laminar é dado por:
Re ≤ 2000
Escoamento Turbulento – deslocamento de massa predominante, formando-se turbilhões. A força viscosa é desprezível. De acordo com o número de Reynolds, o escoamento turbulento é dado por:
Re ≥ 2400
Transição – na faixa de Reynolds entre 2000 e 2400, o escoamento apresenta uma faixa de transição entre laminar e turbulento.
Vazão
O conceito de vazão é fundamental para todos os estudos dos fluidos, como:
- instalações hidráulicas de abastecimento;
- estudos de drenagem;
- estudo para geração de energia através de turbinas, etc...
Vazão é a quantidade de fluido que atravessa uma dada seção de escoamento por unidade de tempo. Esta quantidade pode ser em volume (V), sendo chamada de vazão volumétrica (Q), ou em massa (m), sendo chamada de vazão mássica (Qm). 
					
Equação da continuidade para regime permanente
Suponhamos o escoamento de um fluido por um tubo, como na figura a seguir:
Para que o regime seja permanente, é necessário não haver variações de propriedades em nenhum ponto do fluido com o tempo. 
Se, por algum motivo, Qm1≠ Qm2, então em algum ponto da tubulação há falta ou acúmulo de massa, devido a vazamentos ou incrustações. 
Assim, para regime não permanente, tem-se:
Se o fluido for incompressível, então não sofrerá variações em sua massa específica e  = constante.
A equação acima é denominada de equação da continuidade para fluido incompressível. E, desta forma, fica garantido que a vazão em volume de fluido incompressível será a mesma em qualquer seção do escoamento.
Além disto, a equação demonstra que, no mesmo escoamento, velocidades e áreas são inversamente proporcionais, acarretando um aumento da vazão em detrimento de uma diminuição da área correspondente.
Exemplo: O tubo Venturi�, a seguir, é um tubo convergente – divergente. Pede-se determinar a velocidade na seção mínima (garganta), cuja área é de 5 cm2, se na seção de entrada de área 20 cm2, a velocidade seja de 2 m/s.
Pela equação da continuidade:
Caso haja diversas entradas e saídas de fluidos em uma tubulação sob análise, pode-se generalizar este conceito por um somatório, baseado na lei de conservação de massa, das vazões de entrada (e) e de saída (s).
EXERCÍCIOS
No tubo da figura a seguir, determine (a) a vazão volumétrica e (b) a velocidade na seção 2 sabendo-se que o fluido é a água e que A1 = 10 cm2 e que A2 = 5 cm2.
2- Ar escoa num tubo convergente, sendo que a área da maior seção do tubo é 20 cm2 e a da menor é 10 cm2. A massa específica do ar na seção 1 é 1,2 kg/m3, cuja velocidade é de 10 m/s, enquanto que na seção 2 é de 0,9 kg/m3. Determinar a velocidade na seção 2, bem como sua vazão mássica.
3- Um tubo admite água ( = 1000 kg/m3) num reservatório com uma vazão de 20 l/s. No mesmo reservatório é admitido óleo ( = 800 kg/m3) por outro tubo, com vazão de 10 l/s. A mistura homogênea formada é descarregada por um tubo cuja seção tem área de 30 cm2. Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga, bem como sua velocidade.
4- Os reservatórios da figura a seguir são cúbicos, sendo preenchidos pelos tubos (1) e (2), respectivamente, em 100 s e 500 s. Determinar a velocidade da água na seção A, sabendo-se que o diâmetro do duto nesta seção é de 1 m.
Teorema de Stevin
Considerando-se a figura a seguir, na qual o fluido é incompressível, contínuo e está em repouso, podem ser calculadas as pressões nos pontos (1) e (2), dadas pelas equações abaixo, que refletem o Teorema de Stevin, o qual diz que “a diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao produto do peso específico do fluido pela diferença de cotas dos dois pontos”:
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e, como 
, tem-se: 
�
O que é importante notarmos deste teorema é que:
a- na diferença de pressão entre dois pontos não interessa a distância (horizontal) entre eles e, sim, a diferença de cotas.
b- a pressão dos pontos num mesmo nível são iguais.
c- o formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão em ponto algum do reservatório.
De acordo com a figura, em qualquer ponto do nível A tem-se a mesma pressão PA e, em qualquer ponto do nível B tem-se a mesma pressão PB.
d- Nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cotas entre dois pontos é pequena, pode-se desprezar a diferença de pressão entre os mesmos.
A altura h, da expressão do Teorema de Stevin, é também chamada de carga de pressão, a qual indica a carga de fluido que este está exercendo no ponto em estudo.
Lei de Pascal
“A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso, transmite-se integramente a todos os pontos do fluido”.
Esta lei fica clara quando observamos o exemplo a seguir, no qual são analisados dois pontos do reservatório. Suponhamos que no ponto 1 a pressão seja P1 = 0,1 kgf/cm2 e, no ponto 2, P2 = 0,2 kgf/cm2. 
					
Ao se aplicar uma força de 10 kgf por meio de um êmbolo de 5 cm2, haverá um acréscimo de pressão em todos os pontos do fluido. Tal acréscimo será determinado como:
Desta forma, os pontos 1 e 2 passam a ter, respectivamente, pressões de 2,1 e 2,2 kgf/cm2.
Escalas de Pressão
Basicamente, 3 escalas de pressão são normalmente utilizadas, a saber: pressão atmosférica, absoluta e efetiva. Para uma melhor compreensão, seja a figura a seguir:
Pressão efetiva – quando a pressão de referência utilizada é a pressão atmosférica.
Pressão absoluta – quando a pressão de referência utilizada é o zero absoluto. Caso a pressão seja menor que a atmosférica será chamada de depressão. 
Desta forma, tem-se:
Pabs = Patm + Pef						(10.1)
As unidades de pressão normalmente utilizadas são o kgf/cm2, o kgf/m2, o psi (libras por polegadas quadradas, ou pounds per square inches), atmosfera, milímetros de mercúrio, o Pascal (ou N/m2) e metros de coluna d’água. As relações entre elas são:
1 atm = 10.332 kgf/m2 = 1,0332 kgf/cm2 = 760 mmHg = 14,7 psi = 101.325 Pa = 10,33 mca 
Tipos de energia mecânica
Os tipos de energia mecânica observadas em uma seção de escoamento unidirecional, incompressível e em regime permanente, e considerando-se que o escoamento é praticamente isotérmico, estas variações térmicas são consideras desprezíveis, justificando-se o estudo das energias mecânicas. 
Consideremos um trecho sem derivações, em uma instalação hidráulica, como representado na figura 11.1.
Figura 11.1 – Trecho de instalação hidráulica.
Sendo: 
PHR – plano horizontal de referência.
Zi – cota da seção “i”, tomando-se como base o eixodo conduto em relação ao PHR.
Vi – velocidade média do escoamento da seção “i”.
Pi – pressão estática da seção “i”.
Pela condição de escoamento em regime permanente, pode-se afirmar que entre as seções (1) e (2) não ocorre nem acúmulo nem falta de massa. Ou seja, a mesma massa “m” que atravessa a seção (1) atravessa a seção (2).
Energia Cinética (Ec) – a energia cinética pode ser calculada pela equação:
Energia potencial (Ep) – pode ser em relação à posição, gerando a Energia Potencial de Posição (Eppo), ou à pressão, gerando a Energia Potencial de Pressão (Eppr). 
A primeira pode ser calculada como: 
Eppoi= mgzi
Para o segundo tipo, seja a figura a seguir, na qual  representa o peso específico do fluido e hi a carga de pressão na seção i.
A energia mecânica total (Ei) em uma seção de escoamento unidirecional, incompressível, em regime permanente representa o somatório das energias cinética e potencial, sendo dada por:
A carga mecânica total (Hi) em uma seção de escoamento unidirecional, incompressível, em regime permanente representa a relação de energia pelo peso do fluido, sendo que a massa e o peso fluido que atravessa uma seção de escoamento são constantes.
Com Zi = carga potencial 
	Pi/ = carga de pressão
	Vi/2g = carga cinética
Equação manométrica 
A equação manométrica é a expressão que permite, por meio de um manômetro, determinar a pressão de um reservatório ou a diferença de pressão entre dois reservatórios.
Dada a figura a seguir, calcule a pressão no fundo do ramo esquerdo, de acordo com a Lei de Stevin.
Pressão no fundo do ramo esquerdo:
Pressão no fundo do ramo direito:
Como o fluido está em equilíbrio então a pressão no mesmo nível deve ser a mesma. Logo Pfe=Pfd e:
Equação de Bernoulli
É um caso particular da equação da energia aplicada ao escoamento, onde são adotadas as seguintes hipóteses.
Escoamento em regime permanente;
Escoamento incompressível;
Viscosidade nula, ou seja, não apresenta dissipação de energia ao longo do escoamento;
Escoamento sem a presença de máquina hidráulica, que forneçam ou retirem energia do fluido;
Escoamento sem troca de calor.
Para a obtenção da equação de Bernoulli, consideremos as seções 1 e 2 da figura 11.1. A equação de Bernoulli é obtida efetuando-se o balanço de cargas entre as seções (1) e (2) e observando-se as hipóteses mencionadas anteriormente.
H1 = H2
 
Exemplo: Água escoa em regime permanente no tubo Venturi da figura. No trecho considerado supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas seções. A área 1 é de 20 cm2 enquanto que a área da garganta é de 10 cm2. Um manômetro de mercúrio ( = 13600 kgf/m3) é ligado entre as seções 1 e 2 e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão de água que escoa pelo Venturi (água = 1000 kgf/m3).
Utilizando a equação de Bernoulli, e como o centro geométrico das seções 1 e 2 tem a mesma cota z, temos:
Nota-se que como A2<A1 tem-se que V2>V1, com a energia cinética aumentando de 1 para 2 e a energia de pressão diminuindo, para que sua soma seja constante. Isto explica o desnível do manômetro, uma vez que P1>P2.
	Partindo-se do centro geométrico da seção 1, e desprezando o trecho comum aos dois ramos do manômetro e considerando-se os conceitos da hidrostática, a equação manométrica obtida fica:
Então:
mas, pela equação da continuidade:
obtendo-se:
Equação da energia e presença de uma máquina
Uma máquina será qualquer dispositivo introduzido no escoamento que forneça ou tire energia do mesmo, na forma de trabalho.
Chamaremos de Bomba qualquer máquina que forneça energia ao fluido e turbina qualquer máquina que retire energia do fluido.
Ao se introduzir uma máquina ao sistema, há a alteração da equação de energia, de tal forma que esta precisa ser reescrita.
Se a máquina for uma bomba, o fluido receberá um acréscimo de energia tal que H1<H2. 
Para que a igualdade seja refeita, deve-se somar ao primeiro termo da equação a energia recebida pela unidade de peso do fluido na máquina. Logo:
H1 + Hb = H2
A parcela Hb é chamada de carga manométrica da bomba e representa a energia fornecida ao fluido por unidade de peso do fluido.
Contudo, se a máquina for uma turbina, tem-se que H1>H2 e o raciocínio se inverte, pois por definição, a turbina retira energia do fluido. Para restabelecer a igualdade:
H1 – Ht = H2
A parcela Ht é chamada de carga manométrica da turbina e representa a energia retirada do fluido por unidade de peso do fluido.
Generalizando, obtém-se que:
H1 + Hm = H2
Com Hm = – Ht para turbina e + Hb para bombas.
Reescrevendo a equação de Bernoulli, temos que:
Esta equação demonstra que a presença de uma máquina pode acarretar variações de carga de pressão, de carga potencial e/ou de carga cinética.
Potência de máquina e rendimento
A potência de um fluido é definida como trabalho por unidade de tempo. Desta forma:
Exemplo: Calcular a potência do jato de um fluido descarregado no ambiente por um bocal, sendo Vj a velocidade do jato e Aj a área do jato.
A carga do jato, por unidade de peso é dada por:
Passando o PHR no centro do bocal, Zj = 0. 
Como o jato é descarregado à pressão atmosférica, sua pressão efetiva será nula, pois Pj = 0. Logo:
Como
No caso da presença de uma máquina, sabe-se que a energia fornecida ou retirada do fluido é indicada por Hm. Logo, a potência referente ao fluido será dada por:
Quando se transmite potência sempre ocorrem perdas. A potência de uma bomba será indicada por Nb. A figura a seguir ilustra a transmissão de potência em uma bomba.
O rendimento de uma bomba (B) é definido como a relação entre a potência recebida e a fornecida pelo eixo.
Uma relação útil para a determinação da potência da bomba pode ser deduzida a partir da equação de Bernoulli, a qual fornece, após as devidas deduções matemáticas:
E a eficiência como:
No caso de turbinas, NT < N:
O rendimento de uma turbina (T) é definido como a relação entre a potência da turbina e a potência cedida pelo fluido.
As unidades de potência são relativas ao trabalho por unidade de tempo.
SI: 		N.m/s = J/s = W
MK*S:		kgf.m/s = kgm/s	sendo: 1 kgm/s = 9,8 W
Outras unidades são o cv (cavalo vapor) e o hp (horsepower)�.
1 hp = 746 W
1 cv = 736 W
Para estas equações, as unidades são expressas em kgm/s, de forma que dividi-las por 75 permite obter a potência diretamente em cv.
Exemplo: O reservatório de grandes dimensões da figura fornece água para o tanque indicado com uma vazão de 10 l/s. Verificar se a máquina instalada é uma bomba ou uma turbina e determinar sua potência, sabendo-se que seu rendimento é de 75%. Supor fluido ideal. Dados água = 1000 kgf/m3; Atubos = 10 cm2 e g = 10 m/s2.
Podemos escrever:
H1 + Hm = H2 
adotando o plano horizontal de referência na base do reservatório 1, teremos z1= 20 m e z2= 5 m. A pressão tanto na seção 1 quanto na seção 2 é igual a pressão atmosférica, anulando-se. Além disso, a velocidade na seção 1 é nula, devido à grande área do reservatório, que é muito maior que a área das tubulações.
Mas:
Logo:
Como, no sentido do escoamento, Hm forneceu um valor negativo, conclui-se que a máquina é uma turbina. A potência fornecida pelo fluido a turbina é:
Considerando-se o rendimento, a potência da turbina fica:
Equação da energia para fluido real
Neste tópico a análise será feita considerando-se um fluido real, não mais ideal, levando-se em conta os atritos internos no escoamento. 
Serão mantidas as hipóteses de regime permanente, fluido incompressível, propriedades uniformes da seção e sem trocas de calor induzidas.
De acordo com a equação de Bernoulli, sabe-se que quando o fluido é perfeito H1=H2.
Se, no entanto, houver atritos no transporte do fluido, entre as seções 1 e 2, haverá uma dissipação de energia, de forma que H1>H2.
Se quisermos restabelecer a igualdade, é necessário somar no segundo termo a energia dissipada no transporte.
H1 = H2 + Hp1,2
sendoHp1,2 energia perdida entre 1 e 2, por unidade de peso do fluido
Como H1 e H2 são chamadas cargas totais, o termo Hp1,2 passa a ser chamado de perda de carga.
Se levarmos em conta a presença de uma máquina entre 1 e 2, a equação da energia fica:
H1 + Hm= H2 + Hp1,2
Ou					
Deve-se notar que no escoamento de um fluido real entre duas seções onde não existe uma máquina a energia é sempre decrescente no sentido do escoamento, isto é, a carga total a montante é sempre maior que a jusante.
A potência dissipada pelos atritos é facilmente calculável, utilizando-se os mesmos princípios que o utilizado para o cálculo de potência do fluido.
Nat = QH1,2
EXERCÍCIOS
1- Na instalação da figura, verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar sua potência, sabendo-se que seu rendimento é de 75%. Sabe-se, ainda, que a pressão indicada por um manômetro instalado na seção 2 é de 1,6 kgf/cm2, a vazão é 10 l/s, a área da seção dos tubos é 10 cm2 e a perda de carga entre a seção 1 e 4 é de 2 m. Não é dado o sentido do escoamento. H2O = 1000 kgf/m3.
Resolução: 
V = Q/A = (10.103)/(10.10-4) = 10m/s
10=1,6.104 + 102 + -10 + HP1,2
 102 2.10
HP1,2 = -16 - 5 + 20 = -1m
Escoamento 4	--->1
H4 +Hm = H1 + HP4-1
Hm + z4 = z1 + Hp4-1
Hm - 14 = 10 + 2
Hm = 26 m .....................(bomba)
NB = (103.10.10-3.26) / (0,75.0,75) = 4,6cv
2- Na instalação da figura, há o bombeamento da água. A bomba tem uma potência de 5 cv e seu rendimento é de 80%. A água é descarregada na atmosfera, com velocidade de 5 m/s, por um tubo cuja seção é de 10 cm2. Determinar a perda de carga do fluido entre 1 e 2 e a potência ao longo da tubulação. H2O = 1000 kgf/m3.
Diagrama de velocidades não uniformes na seção
Como, na realidade, ocorre uma variação na velocidade do fluxo do fluido dentro de uma tubulação, isto afetará o termo v2/2g da equação da energia, que fora obtido com a hipótese de escoamento uniforme na seção.
Obviamente, se a velocidade não for uniforme, teremos em cada ponto da seção uma velocidade distinta. Com isto existe a necessidade de se inserir um coeficiente no termo da energia cinética, denominado e representado pela letra .
Equação da energia para diversas entradas e saídas, em regime permanente de fluido incompressível
Mantidas as hipóteses da equação de Bernoulli, a energia que penetra no sistema pelas entradas deve coincidir com a que abandona o mesmo pelas saídas no mesmo intervalo de tempo (t), para que o regime seja permanente. 
sendo e = entrada e s = saída.
Dividindo a equação anterior pelo tempo, temos:
e, lembrando-se que a energia do fluido pela unidade de tempo representa a potência do fluido, tem-se:
sendo 
No caso da presença de máquinas e perdas por atrito, obter-se-á:
sendo N maior ou menor que zero, dependendo da máquina ser uma bomba ou uma turbina. 
Exemplo: No sistema da figura, os reservatórios são de grandes dimensões. O reservatório X alimenta o sistema com 20 l/s e o reservatório Y é alimentado pelo sistema com 7,5 l/s. A potência da bomba é de 2,5 cv e seu rendimento de 80 %. Todas as tubulações tem 62 mm de diâmetro e as perdas de carga são Hp0,1 = 2 m, Hp1,2 = 1 m e Hp1,3 = 4 m. O fluido utilizado é a água. ( = 1000 kgf/m3). Pede-se:
a potência dissipada na instalação;
a cota da seção 3 em relação ao centro da bomba.
a) pela equação da continuidade Qe = Qs. Logo:
b) Para a cota 0:
sendo:
�
V0 = 0;
P0 = 0;
Z0 = 2 m (adotando-se o PHR no nível da bomba)
�
Logo: H0 = 2 m
Para a cota 2:
sendo:
�
P2 = 0
Z2 = 0 
�
Para a cota 3:
sendo:
�
V3 = 0
P3 = 0
Z3 = h 
�
Determinando-se a potência da bomba:
N = NB.B = 2,5.0,8 = 2 cv = 150 kgm/s
Portanto, na equação da energia:
Equação da quantidade de movimento
Esta equação nada mais é que a 2ª Lei de Newton da dinâmica modificada para uma forma mais útil para o estudo da Mecânica dos Fluidos.
A aceleração de certa massa implica na existência de uma força resultante sobre a mesma que tem em cada instante a direção e o sentido da aceleração. Então:
Para um sistema de massa constante:
Como 
 é a quantidade de movimento, então se pode dizer que “a força resultante que age sobre o sistema em estudo é igual a variação com o tempo da quantidade de movimento do sistema”.
Fixando-se a hipótese de escoamento em regime permanente e adotando-se um tubo de corrente:
No intervalo de tempo dt, a massa de fluido que atravessa a seção (1) com velocidade 
 será dm1, provocando um incremento da quantidade de movimento do fluido entre as seções 1 e 2, de 
.
No mesmo intervalo de tempo através da seção (2), existe a saída de uma quantidade de movimento 
. Logo, a quantidade de movimento entre as seções 1 e 2 será;
Pelo teorema da quantidade de movimento, a força resultante que age no fluido entre as seções 1 e 2 será:
ou 
Considerando-se regime permanente, Qm2 = Qm1 = Qm. Portanto:
Condutos
Conduto é tido como qualquer estrutura sólida, destinada ao transporte de fluidos. Os condutos são classificados, quanto ao comportamento dos fluidos em seu interior, em forçados e livres.
O conduto será forçado quando o fluido que nele escoa está em contato com toda a parede interna do mesmo, não apresentando nenhuma superfície livre. 
O conduto será livre quando o fluido em movimento apresenta uma superfície livre. 
Raio e Diâmetro Hidráulico
O raio hidráulico (RH) é definido como relação entre a seção (área) transversal molhada A e o perímetro molhado (o perímetro da seção em contato com o fluido):
sendo:
A = área transversal do escoamento do fluido.
 = perímetro “molhado” ou trecho do perímetro, de seção de área A, no qual o fluido está em contato com a parte interna do conduto.
O diâmetro hidráulico é definido, em função do raio hidráulico, como:
DH = 4RH
Alguns exemplos de raios e diâmetros hidráulicos são indicados pela tabela a seguir:
	Seção
	A
	
	RH
	DH
	
D
	
	D
	D/4
	D
	
	a2
	4a
	a/4
	A
	
	ab
	2a + b
	
	
	
	ab
	2a + b
	
	
	
	
	
	
	
					
Rugosidade
Os condutos apresentam asperezas internas que influem nas perdas dos fluidos em escoamento. Chama-se de rugosidade uniforme () a altura uniforme das asperezas. 
Para efeito do estudo das perdas no escoamento de fluidos, verifica-se que estas não dependem diretamente de , mas do quociente DH/, que é chamado de “rugosidade relativa”.
Classificação das perdas de carga
Existem dois tipos de perdas de carga em um sistema. 
O primeiro tipo é chamado de perda de carga distribuída (hf). Tal perda se dá ao longo de tubos retos, de seção constante, devido aos atritos das próprias partículas do fluido entre ou com as paredes. Neste caso a perda só é considerada se houver trechos longos.
O segundo tipo refere-se às chamadas perdas de carga locais, localizadas ou singulares (hs). Estas acontecem em locais da tubulação nos quais os fluidos sofrem perturbações bruscas no seu escoamento.
Estas perdas podem, diferentemente das anteriores, ser grandes em trechos relativamente curtos da instalação, isto devido a presença de válvulas, mudanças de direção, alongamentos bruscos, obstruções parciais, etc...
Esses locais nas instalações costumam chamar-se de singularidades. 
Então, em uma instalação completa, o termo perda de carga total será dado pela somatória das perdas de cargas distribuídas e localizadas.
23.1- Estudo da perda de carga distribuída (hf)
Para que este estudo seja válido, algumas hipóteses devem ser estabelecidas, como:
o regime ser permanente;
condutos longos, para que o trecho considerado possa se estabelecer;
condutos cilíndricos. Se a área da seção variar de local a local, será necessário calcular a perda de carga em cada trecho;
rugosidade uniforme;
o trecho considerado esteja sem máquinas.
Dentro destas hipóteses, aplicaremos entre as seções 1 e 2 de um conduto as equações.
23.1.a- Equação da continuidade
Dentro da hipótese de fluido incompressível, a equaçãoda continuidade nos dá:
Q1 = Q2
A1V1 = A2V2
Como o conduto é cilindro, então A1 = A2 e V1 = V2 = constante.
Logo, a velocidade é constante em cada trecho escolhido para o cálculo da perda de carga distribuída. 
23.1.b- Equação da energia
Carga Piezométrica
A equação da energia entre as seções 1 e 2, sem a presença de máquinas, fica:
H1 = H2 + Hp1,2
Como Hp1,2 = hf
Hf = H1 – H2 = H
Pode-se concluir que a perda de carga distribuída entre duas seções de um conduto é igual à diferença entre as cargas totais das duas seções. Assim:
Rearranjando-se a equação, tem-se:
Sendo que o termo 
 passa a ser chamado de carga piezométrica.
Tal conceito permite estabelecer um método experimental para a perda de carga. 
Se entre as seções 1 e 2 forem instalados muitos piezômetros, o nível superior do líquido em cada um deles indicará a carga piezométrica na seção, isto é, o valor de 
Define-se linha de energia como sendo o lugar geométrico dos pontos
Esta linha é obtida ao somar a quantidade 
 na carga piezométrica e nos dará o andamento da energia ao longo da instalação, sendo sempre decrescente no sentido do escoamento, menos entre seções de entrada e saída de uma bomba. A linha de energia será uma reta paralela à linha piezométrica, já que 
 é constante no trecho considerado.
Perda de carga distribuída
Nota-se que, pela equação de perda de carga distribuída, dada a seguir, com os valores de L, DH e a vazão, ou a velocidade, pode-se determinar o valor de hf, se conhecer o valor do fator de atrito f, que se apresenta em função do número de Reynolds ou da rugosidade relativa. 
Lembrando que:
A obtenção do coeficiente f, em função de Re e DH/ deve ser feita experimentalmente, pela construção de um diagrama universal, já que f, Re e DH/ são todos adimensionais.
Experiência de Nikuradse
Nikuradse realizou uma experiência na qual procurou determinar a função f=f(Re, DH/) para condutos com rugosidade uniforme. Para isto, colou na parte interna de diversos condutos areia de granulometria uniforme, fixando os valores de e, L, DH,  e .
Para diversas aberturas de válvula e, portanto, diversas velocidades do fluido, foram obtidos os valores de P1 e P2 nos manômetros indicados.
 Pela equação da energia:
Logo, fixado o DH/ obteve uma tabela de hf em função de Re, já que calculou a velocidade em cada caso e , DH e  eram conhecidos.
Efetuando esta experiência para diversos DH/, construiu um gráfico de f = f(Re, DH/).
Fonte: Adaptado de Sevilla, Universidade de. Disponível em: http://ocwus.us.es/ingenieria-agroforestal/hidraulica-y-riegos/temario/Tema%202.Conducciones%20forzadas/tutorial_09.htm
As regiões marcadas no gráfico são interpretadas da seguinte forma:
A) Re ≤ 2000. Neste trecho o diagrama é uma reta e nota-se que f é somente função de Re, com uma reta única para todos os /DH testados, com o regime em modo laminar, devido ao fato da relação f= Re/64. 
B) 2000Re2400. Zona crítica ou instável de transição do regime laminar para turbulento, definida pela curva BC. Sabe-se que a espessura d da subcamada é função do número de Reynolds. Dependendo da rugosidade do conduto, podem ocorrer duas situações:
i-  >  – a subcamada cobre as asperezas e, sendo o regime do tipo laminar, as asperezas não participam das perdas;
ii-  <  – as asperezas influem nas perdas;
C) Re > 4000. Zona de regime turbulento liso, o qual corresponde a reta CD, chamada reta de Von Karman (1930), cuja equação é: 
. Nota-se que todas as curvas para as quais DH >  é grande DH/ é crescente para baixo, com o trecho inicial coincidindo com a reta CD, pois quanto menor o número de Reynolds, mais espessa é a camada que pode cobrir as asperezas.
D) Zona de transição do regime turbulento, sendo que f = f(Re, /DH). Todas as curvas /DH emergem das subcamada. É uma região de transição entre o regime turbulento para tubos lisos (reta CD) e para os rugosos (reta FG). Para os tubos comerciais, nesta zona se utiliza a fórmula de White-Colebrook (1938):
E) Zona de fluxo turbulento rugoso, localizada após a reta FG, na qual se verifica a expressão proposta por Nikuradse (1933):
em que f e independente de Re, sendo f = f(/D). Graficamente se observa esta independência do número de Reynolds, já que nesta zona as retas são paralelas ao eixo de Re e este não afetará as perdas.
Valores de  para condutos novos
	Material
	Rugosidade absoluta (mm), 
	Aço comercial
	0,0450
	Aço galvanizado
	0,1500
	Aço laminado novo
	0,0015
	Aço laminado usado
	0,0460
	Aço ou ferro galvanizado
	0,1500
	Aço rebitado novo
	1 a 3
	Aço soldado limpo
	0,15 – 0,20
	Aço soldado liso
	0,1000
	Aço soldado moderadamente oxidado 
	0,4000
	Aço soldado novo
	0,05 – 0,10
	Alvenaria de pedra fina
	1 – 2,5
	Alvenaria de pedra grosseira
	8 – 15
	Alvenaria de tijolo
	5,0000
	Cobre
	0,0015
	Cobre, latão, aço revestido de epóxi, PVC
	0,0015
	Concreto alisado
	0,30 – 0,80
	Concreto armando liso, vários anos de uso 
	0,20 – 0,30
	Concreto centrifugado
	0,0700
	Concreto centrifugado novo
	0,1600
	Concreto com acabamento normal
	1 – 3
	Concreto protendido Freyssinet
	0,0400
	Ferro forjado
	0,0460
	Ferro fundido c/ incrustação
	1,5 – 3
	Ferro fundido com leve oxidação
	0,3000
	Ferro fundido com revestimento asfáltico
	0,12 – 0,20
	Ferro fundido enferrujado
	1 – 1,5
	Ferro fundido novo
	0,2600
	Ferro fundido oxidado
	1,00 – 1,50
	Ferro fundido revestido c/ asfalto
	0,12 – 0,26
	Ferro fundido velho
	3 – 5
	Ferro galvanizado
	0,15
	Madeira aplainada
	0,20 – 0,90
	Madeira bruta
	1,00 – 2,50
	Polietileno
	0,0010
	PVC rígido
	0,0050
	Trefilado
	0,0015
	Vidro
	0,0015
Problemas típicos envolvendo perda de carga distribuída
Seja a análise de três problemas ligados a instalações longas, com poucas singularidades, considerando-se envolvidas as variáveis L, D, Q, , e  hf. Nesta situação, 3 casos são considerados importantes, dados a seguir. Esta análise somente é valida se hs = 0.
26.1- Dados L, D e Q procura-se determinar P – problema de determinação direta, devido a equação de energia possuir apenas uma variável desconhecida.
Um tubo liso horizontal, de 100 m de comprimento, está conectado a um grande reservatório. Que profundidade, d, deve ser mantida no reservatório para produzir uma vazão volumétrica de água de 0,01 m3/s? O diâmetro interno do tubo liso é 75 mm. A entrada é de borda viva e a água descarrega para a atmosfera.
Solução: 
Para o problema, P1 = P2 = Patm, V1 = 0, V2 = V. Se z2 = 0, então z1 = d. Assim, tem-se: 
sendo K o coeficiente de perda localizada do dispositivo.
Pela equação da continuidade, torna-se:
Considerando-se água a 20 ºC, com r = 999 kg/m3 e m = 1.10–3 kg/(m.s).
Para um escoamento em tubo liso, conforme o diagrama de Moody-Rouse, f = 0,0162 e da tabela de perda localizada, no anexo, K = 0,5.
26.2- Dados Q, D, P procura-se determinar L – problemas de resolução direta, determinando-se o fator de atrito pelo número de Reynolds.
Petróleo cru escoa através de um trecho horizontal do oleoduto a uma taxa de 1,6 milhão de barris por dia (1 barril = 42 galões = 158,9873 l). O diâmetro interno do tubo é 48 in; a rugosidade do tubo é equivalente a do ferro galvanizado. A pressão máxima admissível é 1200 psi (8273708,4 Pa); a pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução no petróleo cru é de 50 psi (344737,85 Pa). O petróleo cru tem peso específico 0,93.103 kg/m3. Sua viscosidade à temperatura de bombeamento de 140 ºF é  = 3,5.10–4 lbf.s/ft2 (0,0167581 Pa.s). Para estas condições, determine o espaçamento máximo possível entre estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é de 85%, determine a potência que deve ser fornecida a cada estação de bombeamento.
Solução:
Uma consideração inicial a ser feita é que o oleoduto é feito de trechos bomba-tubo repetidos. Pode-se haver, então, 2 volumes de controle: (1) no escoamento do tubo e (2) na bomba. 
Analisando-se a tubulação, inicialmente, tem-se:
sendo que:
Considerações:V3 = V2.
Z3 = Z2.
Perdas menores desprezíveis.
Viscosidade constante.
						26.2.a
Q = 1,6.106. 158,9873.10-3/(24.3600) = 2,945 m3/s
Da tabela de rugosidades,  = 0,15.10–3 m e, então, /D = 0,00012. Pela equação apresentada na seção 25, seção “D”, tem-se que f ( 0,017. 
Retornando a equação 26.2.a;
A potência do bombeamento pode ser determinada com base na primeira lei da termodinâmica, que se reduz a:
e a potência requerida na bomba é:
26.3- Dados L, P, Q procura-se determinar D – são problemas de maior dificuldade, uma vez que requerem o uso de iterações manuais ou computacionais para sua resolução. A vazão, ou a velocidade, desconhecida é necessária para a determinação de Re, para poder determinar o fator de atrito. O processo inicial é realizado com a determinação da velocidade em função do fator de atrito. Após, faz-se uma estimativa para f, obtendo-se um valor para V. Recalcula-se Re e um novo valor para f. Repete-se o processo iterativo f ( V ( Re ( f até uma convergência ou erro desprezível.
Um sistema de proteção contra incêndio é suprido por um tubo vertical de altura h = 24,38 m, a partir de uma torre de água. O tubo mais longo no sistema tem L = 182,88 m, e é feito de ferro fundido, contando com cerca de 20 anos de uso. O tubo contém uma válvula de gaveta; outras perdas menores podem ser desprezadas. O diâmetro do tubo é de 10,16 cm. Determine a vazão máxima de água através deste tubo.
Solução:
com
Considerações:
P1 = P2 = Patm
V1 ( 0
Da tabela de comprimentos equivalentes, surge que Le/D = 8. Isolando-se o termo da velocidade:
Rearranjando
Considerando-se os diâmetros dos tubos horizontal e vertical idênticos, tem-se:
e que z1 – z2 = 24,38 m, resultando em:
Para a resolução de V2, são necessárias iterações, faz-se uma estimativa do valor para f, admitindo-se que o escoamento é turbulento. Inicialmente, para um grande valor de Re e uma razão de rugosidade /D = 0,005 ( = 0,2591 mm é do ferro fundido; considerando-se a idade do tubo, duplica-se o valor de ), chega-se a f = 0,03. Logo, a primeira iteração para V2 irá fornecer:
De posse do valor da velocidade, inicia-se a procura por um novo, e mais correto, valor de f.
Adotando-se o procedimento anterior, para a resolução de f, obtém-se um novo valor, da ordem de 0,0309. Recalculando a velocidade:
Como os valores obtidos para V2 diferem em menos de 2%, tais valores podem ser aceitos como corretos, haja vista a precisão ser aceitável.
Calculando-se Q:
�
�
Entre (1 e 2), (2 e 3), (3 e 4), (4 e 5) e (5 e 6) teremos perdas distribuídas.
Em:
- (1) estreitamento brusco;
- (2) e (3) cotovelos;
- (4) estreitamento;
- (5) válvula.
� O Tubo de Venturi é um aparato para a medição da velocidade de escoamento de fluidos incompressíveis, através de diferença de pressão (fonte: http://vazoesemedicoes.blogspot.com/2008/10/tubo-de-venturi.html).
� O cavalo vapor equivale a uma potência de 75 kg·m·s-1, onde 1 kg m corresponde ao trabalho gasto para erguer 1 kg a um metro de altura. O Horse Power se define como a potência necessária para elevar verticalmente a uma velocidade de 1 pé/min (0,3048 m/min) uma massa de 33.000 libras (14968,55 kg). Fonte: � HYPERLINK "http://www.motokando.com/index.php/curiosidades/42-curiosidades/110-entenda-as-diferencas-entre-cv-e-hp-cavalo-vapor-e-horse-power" ��http://www.motokando.com/index.php/curiosidades/42-curiosidades/110-entenda-as-diferencas-entre-cv-e-hp-cavalo-vapor-e-horse-power� 
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Conduto forçado
Conduto livre
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 d
L = 100 m
D = 75 mm
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Z1
CP1
�EMBED Equation.DSMT4���P1
hp1,2
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P2/
Z2
CP2
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Linha piezométrica – mostra geometricamente o andamento da pressão do fluido ao longo do conduto
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X
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Motor
NB – potência da bomba ou no eixo da bomba
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Gerador
NT – potência da turbina ou no eixo da turbina
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Vj
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H2O
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P1 e V1
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V=1 m/s
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1
2
 h1
 h2
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dA
V
�EMBED Equation.DSMT4���
Entrada normal à superfície
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A2
V2
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A3
V3
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V1
A1
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dA
V

�EMBED Equation.DSMT4���
Saída / entrada geral
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dA
V
�EMBED Equation.DSMT4���
Saída normal à superfície
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2
1
30º
3
4
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PESO
Fronteira do sistema
Cilindro
Pistão
GÁS
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Volume de controle
�EMBED Word.Picture.8���
Superfície de controle
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�
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