MECANICA DOS FLUIDOS LIVRO 1

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Autor: Prof. Eduardo Mikio Konigame
Colaboradores: Prof. Ariathemis Moreno Bizuti
 Prof. José Carlos Morilla
Mecânica dos Fluidos
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Professor conteudista: Eduardo Mikio Konigame
Eduardo Mikio Konigame possui graduação em Engenharia de Controle e Automação (Mecatrônica) pela 
Universidade Paulista (2002) e mestrado em Engenharia Aeronáutica e Mecânica pelo Instituto Tecnológico de 
Aeronáutica (2006). Ministra aulas em disciplinas de Engenharia na Unip desde 2005, como: Estática dos Fluidos, 
Fenômenos dos Transportes, Mecânica dos Fluidos e Mecânica dos Fluidos Aplicada. É também coordenador do curso 
de Engenharia da Unip no campus de São José dos Campos desde 2009.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
K82m Konigame, Eduardo Mikio.
Mecânica dos Fluidos. / Eduardo Mikio Konigame. - São Paulo: 
Editora Sol, 2018.
216 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXIV, n. 2-030/18, ISSN 1517-9230.
1. Regimes de escoamento. 2. Perda de carga. 3. Instalações de 
recalque. I. Título.
CDU 532
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
Material Didático – EaD
Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
Revisão:
 Talita Lo Ré
 Juliana Mendes
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Sumário
Mecânica dos Fluidos
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 REGIMES DE ESCOAMENTO ...........................................................................................................................9
1.1 Escoamento laminar ou turbulento.................................................................................................9
1.2 Escoamento interno ou externo .................................................................................................... 11
2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE ....................................................... 18
2.1 Velocidade média na seção .............................................................................................................. 19
2.2 Equação da Continuidade ................................................................................................................. 24
3 EQUAÇÃO DE BERNOULLI ............................................................................................................................ 42
4 EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA UM FLUIDO REAL EM REGIME PERMANENTE ........................ 56
4.1 Equação da Energia com presença de máquinas .................................................................... 61
4.2 Equação da Energia para problemas com várias entradas e/ou saídas .......................... 79
Unidade II
5 ESTUDO DA PERDA DE CARGA ................................................................................................................101
5.1 Perda de carga distribuída ou contínua (Hf) ............................................................................106
6 PERDA DE CARGA SINGULAR OU LOCALIZADA (HS) .......................................................................128
7 INSTALAÇÕES DE RECALQUE ....................................................................................................................157
8 LINHA DA ENERGIA E LINHA PIEZOMÉTRICA ....................................................................................177
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APRESENTAÇÃO
A disciplina de Mecânica dos Fluidos é de suma importância para a formação do aluno do curso de 
Engenharia. Essa disciplina propõe-se apresentar ao estudante de Engenharia os principais conceitos 
e fundamentos de fenômenos relacionados à fluidodinâmica, permitindo, dessa forma, sua aplicação 
correta em situações reais da vida profissional. 
Assim, o objetivo geral é prover ao aluno o desenvolvimento da habilidade de análise dos fenômenos 
e capacitá-lo para o uso e o emprego das equações fundamentais que regem o escoamento de fluidos. 
Quanto aos objetivos específicos, são eles: analisar as propriedades e o comportamento dos fluidos, 
complementar os conceitos da Equação da Continuidade e da Equação da Energia, e apresentar os 
conceitos para o cálculo de perdas de carga distribuída e singular.
Na primeira parte do livro-texto, faz-se uma revisão de alguns tópicos, com uma ênfase mais 
aprofundada nos seguintes temas:
• regimes de escoamento;
• Equação da Continuidade;
• Equação de Bernoulli;
• Equação da Energia com a presença de máquina.
Na segunda parte do livro-texto, são apresentados novos conceitos, como:
• estudo da perda de carga (cálculo da perda de carga distribuída);
• cálculo da perda de carga singular;
• instalações de recalque;
• linha piezométrica e linha da energia.
Recomenda-se uma leitura atenta do texto, quantas vezes se fizerem necessárias, a fim de que o 
conceito apresentado seja bem compreendido. Além disso, os fundamentos apresentados são mais bem 
assimilados quando associados à prática; por isso, recomenda-se que o aluno resolva problemas.
INTRODUÇÃO
Na Física existem três estados da matéria bem definidos: sólido, líquido e gasoso. Alguns estudos, no 
entanto, consideram ainda (e demonstram) a existência, em altas temperaturas, de um quarto estado, o 
plasma. Com base nas definições da área de Mecânica dos Fluidos, uma substância no estado líquido ou 
gasoso recebe o nome de fluido. 
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Na literatura, Brunetti (2008) define um fluido como uma substância que se deforma continuamente 
quando submetida a uma força tangencial constante qualquer; em outras palavras, pode-se dizer 
que fluido é uma substância que, submetida a uma força tangencial constante, não atinge uma nova 
configuração de equilíbrio estático.
Para exemplificar a presença ou a aplicação de um fluido e a importância dessa disciplina, podem-se 
citar: a água que escoa em um tubo de PVC em uma residência, o óleo utilizado para fritar uma porção 
de batatas em uma panela, o sangue que corre no interior de uma artéria no corpo humano, a gasolina 
ou o álcool utilizado como combustível em veículos, o ar atmosférico, o oxigênio utilizado em sistemas 
hospitalares, o dióxido de carbono emitido em escapamentos de veículos, o gás GLP utilizado em fogões 
de cozinha, o deslocamento de uma aeronave no ar, a navegação de uma embarcação em alto-mar etc. 
Vale lembrar ainda que praticamente em toda indústriasão encontrados escoamentos de fluidos no 
interior de tubos, válvulas, cotovelos, entre outros acessórios.
Ao longo deste livro-texto serão utilizados termos como tubos, dutos ou condutos, todos com o 
mesmo sentido. Em muitas aplicações, as seções circulares transversais ao escoamento são chamadas 
de tubos (geralmente quando escoam líquidos). Isso ocorre porque essa forma geométrica é capaz de 
suportar elevadas diferenças de pressão entre o meio interno e externo sem sofrer alterações em sua 
estrutura. Já as seções transversais não circulares são chamadas de dutos (geralmente escoam gases) e 
não apresentam grandes diferenças de pressões.
A solução de problemas em mecânica dos fluidos demanda conhecimento, intuição física e 
experiência (tanto as vividas no dia a dia como aquelas em situações experimentais). Busca-se ainda 
relacionar o conteúdo abordado ao cotidiano dos alunos, a fim de que haja uma melhor assimilação dos 
conceitos estudados. Supõe-se que o leitor deste material possua conhecimentos apropriados nas áreas 
de cálculo e física, porém o conteúdo aqui exposto pode ser assimilado confortavelmente pelo aluno de 
graduação em engenharia.
Ao longo do livro-texto serão apresentados conceitos e numerosos exercícios de aplicação com base 
em situações reais para consolidar a teoria. A abordagem do assunto parte de conceitos mais simples, 
aumentando-se gradativamente a complexidade ao longo dos capítulos. Figuras, esboços e ilustrações 
são utilizados para que os estudantes de fato compreendam e assimilem o conteúdo abordado. 
Para que o conteúdo seja mais claro e fique, de fato, ilustrada sua aplicação, todos os capítulos 
apresentam exercícios resolvidos. Buscou-se desenvolver uma abordagem sistemática na solução, 
com a identificação de objetivos e a enumeração de propriedades envolvidas, conceitos e hipóteses 
consideradas. Ao final, buscou-se, ainda, discutir o resultado obtido. 
Espero que este livro-texto o auxilie em sua jornada. Bons estudos!
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Unidade I
1 REGIMES DE ESCOAMENTO
A existência de praticamente dois tipos distintos e bem definidos de escoamento, separados 
por um escoamento de transição, foi descoberta em meio a ensaios experimentais nos anos de 
1880 por Osborn Reynolds.
1.1 Escoamento laminar ou turbulento
Para uma melhor compreensão desses conceitos, observe o Experimento de Reynolds, na figura 
a seguir.
(1)
(2)
(3)
(5)
(4)

v
(1) Água
(2) Líquido colorido
(3) Tubo de vidro (diâmetro D)
(4) Filete de líquido colorido
(5) Válvula para regulagem da velocidade (v)
Figura 1 – Experimento de Reynolds 
O aparato experimental consiste basicamente em: um reservatório com água (1), um tubo 
transparente de vidro (3) e uma válvula (5). Na seção de saída do reservatório é acoplado o 
tubo transparente de vidro, após o qual está a válvula que controla a variação da velocidade de 
descarga de água. No centro do tubo é injetado um líquido colorido (2) que permite acompanhar 
o comportamento das partículas durante o escoamento.
Ao manipular a válvula, permitindo uma pequena velocidade de descarga, nota-se através do 
tubo de vidro a presença de um filete de líquido colorido (4) reto e contínuo bem ao centro do tubo. 
Esse escoamento ocorre de forma organizada e suave, como se fossem lâminas individualizadas: 
as partículas viajam sem agitações transversais e sem troca de massa entre as camadas. Trata-se 
do chamado escoamento laminar, no qual se pode observar o seguinte comportamento através 
do tubo de vidro:
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Unidade I
Tubo de vidro
Filete de coranteÁgua
Figura 2 – Filete de líquido colorido injetado no centro de um tubo em escoamento laminar
Um outro exemplo típico desse tipo de escoamento seria um óleo com alta viscosidade em baixa 
velocidade no interior de um tubo.
Novamente ao manipular a válvula, aumentando a velocidade de descarga, o filete de líquido 
colorido (4) começa a apresentar oscilações e tende a desaparecer. Como o nível do líquido colorido (2) 
continua descendo, conclui-se que ele continua sendo injetado, porém diluído na água que escoa ao 
longo do tubo de vidro.
Nesse segundo caso, ocorre o escoamento caótico das moléculas de um fluido, de forma desorganizada, 
com velocidades transversais significativas, o que nos leva a classificar o escoamento como turbulento. 
Geralmente, fluidos com baixa viscosidade em altas velocidades são classificados como turbulentos.
Para melhor compreensão, a figura a seguir ilustra o que se observa através do tubo de vidro 
nessa situação.
Tubo de vidro
Água
Figura 3 – Comportamento do líquido colorido no centro de um tubo em escoamento turbulento
Na natureza, a maioria dos escoamentos é turbulenta, no entanto podemos citar alguns exemplos de 
escoamento laminar naturais: um filete de água escoando por uma torneira pouco aberta ou até mesmo 
a fumaça que sai através de uma ponta de cigarro em uma sala fechada.
A realização desse experimento resultou na criação do número adimensional (ou seja, sem unidades) 
batizado com o nome de Reynolds (Re), o qual classifica o regime de escoamento no interior de condutos 
de seção transversal circular.
.v.D v.D
Re
ρ= =
µ υ
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Onde:
ρ: massa específica do fluido;
v : velocidade média do escoamento;
D: diâmetro da tubulação;
µ: viscosidade dinâmica ou absoluta;
υ: viscosidade cinemática.
Fisicamente, o Número de Reynolds apresenta uma razão entre as forças de inércia e as forças 
viscosas do fluido. Em outras palavras, se o Número de Reynolds para uma determinada aplicação for um 
valor grande ou alto, os efeitos da viscosidade serão desprezíveis, ainda que não devam ser ignorados. 
Caso o Número de Reynolds seja pequeno ou baixo, os efeitos da viscosidade serão dominantes. Se o 
Número de Reynolds não for nem alto nem baixo, nenhuma conclusão poderá ser extraída. 
 Observação
Segundo Brunetti (2008), um escoamento interno em um conduto de 
seção circular classifica-se como laminar quando Re < 2000, de transição 
quando 2000 < Re < 2400 e turbulento quando Re > 2400.
1.2 Escoamento interno ou externo
Um escoamento pode ser classificado como interno ou externo. Diz-se que o escoamento é interno 
quando o fluido é envolvido por um conduto, por exemplo, no escoamento de água no interior de um 
tubo, no escoamento de sangue no interior de veias ou artérias etc. 
Tal escoamento ainda pode ser definido como livre ou forçado. Chama-se de forçado quando o fluido 
preenche totalmente a seção transversal e está em contato com toda a parede interna do conduto. 
Quando o fluido não preenche toda a seção transversal, temos o chamado escoamento livre. A figura a 
seguir ilustra os dois casos.
Seção transversal
totalmente preenchida
Forçado
Seção transversal
parcialmente preenchida
Livre ou canal aberto
Figura 4 – Escoamento forçado e escoamento livre
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Unidade I
O escoamento externo pode ser exemplificado pelo ar que escoa ao redor de uma aeronave ou 
veículo, pela água que escoa ao redor do pilar de uma ponte etc.
Tanto o escoamento interno como o externo podem ser classificados como laminar ou turbulento.
Dependendo da aplicação, deseja-se um tipo de escoamento específico. Por exemplo, em um trocador 
de calor utilizado em aplicações domésticas, como uma geladeira ou aparelho de ar condicionado, o 
fato de o fluido apresentar um escoamento laminar ou turbulento altera a eficiência da troca térmica 
realizada. Em algumas aplicações de escoamento de líquidos no interior de tubos, a turbulência é 
indesejada, porém inevitável. Em outras, como o deslocamento de uma bola de golfe no ar, é desejável 
que o arescoe ao redor da bola de modo turbulento para reduzir os efeitos da força de arrasto. Vale 
destacar que em escoamentos externos o Número de Reynolds é, geralmente, da ordem de 106 ou 107.
Exemplo de aplicação
Em uma determinada indústria, um engenheiro analisa o escoamento de óleo de soja no interior 
de um conduto de seção circular com diâmetro de 3 centímetros. Sabendo-se que, por requisitos de 
projeto, o escoamento deve ser laminar com Número de Reynolds igual a 1900, determine o valor da 
velocidade de escoamento do óleo. Dado: 
2
6 m35.10
s
−υ = .
Solução
Do enunciado do problema, extrai-se:
D = 3 cm = 0,03 m
Re 1900 (adimensional)=
Sabe-se que:
.v.D v.D
Re
ρ= =
µ υ
Como não foi informado o valor da massa específica do óleo nem a viscosidade dinâmica, utiliza-se 
a equação:
v.D
Re =
υ
Reorganizando seus termos, obtém-se:
Re.
v
D
υ=
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Substituindo os valores na equação, temos:
2
6 m1900 x 35.10 msv 2,21 
0,03 m s
−
= =
Discussão: nas condições impostas pelo projeto, para que o escoamento seja laminar, a maior 
velocidade permitida é de 2,21 m/s. É extremamente importante realizar as devidas conversões de 
unidades, a fim de que o exercício apresente resultados compatíveis. Cabe ressaltar, mais uma vez, que 
o Número de Reynolds (Re) é adimensional, ou seja, as unidades envolvidas se cancelam, resultando em 
um valor numérico que classifica o tipo de escoamento.
Exemplo de aplicação
Em uma residência existe uma instalação hidráulica que conduz água fria com velocidade de 
3 m/s no interior de um tubo de PVC com diâmetro de 20 mm. Sabe-se que a massa específica da 
água é ρ = 1000 3
kg
m
 e a viscosidade dinâmica vale 3 2
N.s
10
m
−µ =
 . Determine se o escoamento é 
laminar ou turbulento.
Solução
Do enunciado, extrai-se:
D = 20mm = 0,020m
v = 3 m/s
Dado que 
.v.D
Re
ρ=
µ
, usamos os valores fornecidos pelo problema:
3
3
2
kg m
1000 x 3 x 0,02 m
smRe 60000 
N.s
10
m
−
= =
Como Re > 2400, o escoamento é classificado como turbulento.
Discussão: em condutos de seção circular, o escoamento de água é, na maior parte das vezes, 
naturalmente turbulento. Raras vezes o escoamento está dentro da faixa de transição (a faixa de transição, 
isto é, a passagem de laminar para turbulento, ocorre no intervalo 2000 < Re < 2400), e para ser laminar, é 
necessário manipular os valores das propriedades para que seja satisfeita a condição Re < 2000.
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Unidade I
Exemplo de aplicação
De acordo com a NBR 5626:1998, “As tubulações devem ser dimensionadas de modo que a velocidade 
da água, em qualquer trecho de tubulação, não atinja valores superiores a 3 m/s”. (ABNT, 1998, p. 12)
Em uma instalação hidráulica, a água fria escoa no interior de um tubo com diâmetro de 20 mm e 
Número de Reynolds igual a 40000. Considerando a massa específica da água igual a 3
kg
1000 
m
 e sua 
viscosidade dinâmica (ou absoluta) como 3
2
N.s
10
m
− , verifique se a velocidade média nessa instalação 
satisfaz a norma.
Solução
Extraindo as informações do enunciado e realizando as devidas conversões de unidades, temos:
D = 19 mm = 0,019 m
Re= 40000
ρ = 1000 3
kg
m
3
2
N.s
10
m
.v.D v.D
Re
−µ =
ρ= =
µ υ
Como não foi informado o valor da viscosidade cinemática, utiliza-se a equação:
.v.D
Re
ρ=
µ
Reorganizando os termos, temos:
Re.
v
.D
µ=
ρ
Por fim, substituindo os valores na equação, tem-se:
3
2
3
N.s
40000 x1 0 
mmv 2,1 
kg s1000 x 0,019 m
m
−
= =
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Discussão: nesse exemplo, partindo das condições impostas pelo enunciado e utilizando a equação 
do Número de Reynolds, encontra-se a velocidade média de 2,1 m/s para o escoamento turbulento, 
valor inferior à velocidade máxima de 3 m/s determinada pela norma.
Exemplo de aplicação
Um grupo de alunos de um curso de Engenharia realiza um experimento em laboratório baseado 
na experiência de Reynolds. Para isso, constrói um aparato semelhante ao de Reynolds, utilizando água 
com massa específica de 1000 kg/m3 e viscosidade cinemática de 10-6 m2/s. A água escoa através de um 
tubo de vidro com diâmetro de 12 mm. Os valores obtidos em relação à velocidade de escoamento são 
apresentados na tabela a seguir.
Tabela 1 – Velocidades obtidas nos experimentos
Experimento Velocidade (m/s)
1 0,05
2 0,12
3 0,23
Os regimes de escoamento obtidos nos experimentos 1, 2 e 3 são:
a) laminar, laminar e laminar, respectivamente.
b) laminar, laminar e turbulento, respectivamente.
c) laminar, transição e turbulento, respectivamente.
d) turbulento, turbulento e turbulento, respectivamente.
e) turbulento, laminar e turbulento, respectivamente.
Solução
Nesse problema, devem ser calculados os números de Reynolds para cada experimento. 
Extraindo as informações disponibilizadas no enunciado e realizando as devidas conversões de 
unidades, temos:
Diâmetro = 12 mm = 0,012 m
Viscosidade cinemática υ = 10-6 m2/s
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Unidade I
Substituindo as incógnitas pelos valores dados na equação do Número de Reynolds, obtém-se:
v.D
Re =
υ
Experimento 1:
1 2
6
m
0,05 x 0,012 m
sRe 600
m
10
s
−
= =
Experimento 2:
2 2
6
m
0,12 x 0,012 m
sRe 1440
m
10
s
−
= =
Experimento 3:
3 2
6
m
0,23 x 0,012 m
sRe 2760
m
10
s
−
= =
Conforme os cálculos apresentados e a classificação quanto ao tipo de escoamento, conclui-se que:
Experimento 1: Re1 < 2000; portanto, trata-se de escoamento laminar;
Experimento 2: Re2 < 2000; portanto, trata-se de escoamento laminar;
Experimento 3: Re3 > 2400; portanto, trata-se de escoamento turbulento.
Alternativa correta: letra B.
Discussão: esse exercício exige apenas uma análise simples do tipo de escoamento com base no uso 
do Número de Reynolds. Nota-se que há uma alteração quanto ao tipo de escoamento quando sua 
velocidade é alterada (uma vez que não foram alterados nem o fluido, água, nem o tubo de vidro, ou 
seja, é o mesmo diâmetro). 
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Exemplo de aplicação
Através de uma tubulação com diâmetro de 3 cm, um determinado líquido (ρ = 800 kg/m³) escoa 
com uma velocidade de 10 cm/s. Sabendo-se que o Número de Reynolds é 10000, determine o valor da 
viscosidade dinâmica do líquido no Sistema Internacional de unidades.
Solução
Do enunciado, extrai-se:
D = 3 cm = 0,03 m
ρ = 800 kg/m³
v = 10 cm/s = 0,1 m/s
Re = 10000
Partindo da equação do Número de Reynolds, podemos isolar a viscosidade dinâmica:
.v.D
Re
.v.D
Re
ρ=
µ
ρµ =
Substituindo as incógnitas pelos valores dados, temos:
3 4
kg m
800 x 0,1 x 0,03 m
kgsm 2,4 x1 0 
10000 m.s
−µ = =
Discussão: o valor da viscosidade dinâmica pode ser determinado por meio da Equação do Número 
de Reynolds. No exercício em questão, o valor encontrado equivale a 4 2
N.s
2,4x1 0
m
− no Sistema 
Internacional (SI). Demonstra-se a seguir a compatibilidade das unidades.
2
kg N.s
m.s m
=
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Unidade I
Como 2
m
N kg.
s
= , substituímos na equação:
2
2 2
m
kg. .s
N.s s
m m
=
Simplificando o numerador:
2
m
kg.
s
m
Primeiramente, mantém-se o numerador. Passando o denominador para o numerador (invertendo 
a razão), temos:
2
m 1
kg. . 
s m
Simplificando, obtemos por fim:
kg
 
m.s
Conforme queríamos demonstrar.
O Número de Reynolds tem outras aplicações além da caracterização do tipo do escoamento. Pode 
ser utilizado, por exemplo, como parâmetro na calibração de instrumentos de medição de vazão como 
placas de orifício e tubos de Venturi. A Teoria dos Modelostambém faz uso do Número de Reynolds, 
assim como de outros adimensionais, para estudar a correlação entre um protótipo e um modelo em 
escala (por exemplo, aeromodelo e aeronave, automodelo e automóvel etc.), assunto que será abordado 
ao longo do curso.
2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE
Um escoamento pode ser classificado como de regime permanente, ou estacionário, quando, apesar 
de o fluido estar em movimento, o valor das suas propriedades não varia com o tempo. 
Segundo Fox (2014), se as propriedades de cada ponto em um campo do escoamento não variam 
com o tempo, o escoamento é dito permanente. Ele ressalta ainda que qualquer propriedade pode variar 
de ponto para ponto no campo, porém todas as propriedades permanecem constantes com o tempo em 
cada ponto.
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7
MECÂNICA DOS FLUIDOS
 Lembrete
Apesar de escoar em regime permanente, o valor das propriedades em 
pontos distintos do escoamento pode ser diferente, desde que não varie 
com o tempo.
2.1 Velocidade média na seção
Sabe-se que a vazão volumétrica (Q) pode ser determinada por um volume de fluido que escoa 
através de uma seção por um determinado instante de tempo. Matematicamente, a vazão volumétrica 
é representada da seguinte forma:
Volume
Q
tempo
=
Podemos observar o conceito de vazão volumétrica em uma ação cotidiana: ao abrir a torneira 
para encher uma jarra com água, para fazer um suco, por 20 segundos, coletou-se 1L de água. A vazão 
volumétrica envolvida nesse caso pode ser obtida lançando-se mão da equação dada anteriormente.
1L L ml
Q 0,05 50
20 s s s
= = =
Outra maneira de se obter a vazão volumétrica se dá por meio do produto da velocidade média pela 
área da seção transversal.
m Q v . A=
Esse cálculo é válido quando a velocidade se mantém uniforme em toda a seção transversal ao 
escoamento. Em casos reais, isso não ocorre, porém é possível obter uma expressão equivalente definindo 
o conceito de velocidade média na seção. Imagine que cada partícula de fluido apresente uma certa 
velocidade no escoamento interno; admitindo um dA (diferencial de área) no entorno de uma partícula, 
cuja velocidade seja genérica v, escreve-se:
dQ v.dA=
Para obter a vazão total na seção de área A, integram-se os dois lados da equação:
dQ v.dA
Q v.dA
=
=
∫ ∫
∫
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Unidade I
A velocidade média seria uma velocidade uniforme que, substituindo a velocidade real, produz a 
mesma vazão. Logo:
m
m
Q v .dA
Q v . A
=
=
∫
A velocidade média na seção pode ser obtida por meio da equação:
m
1
v . v.dA
A
= ∫
A figura a seguir ilustra a relação existente entre as velocidades.
(1) (2)
vmédia
vreal
Figura 5 – Diagrama de velocidades
Exemplo de aplicação
Tem-se um canal artificial retangular cujas dimensões da seção transversal são 1 metro de profundidade 
por 3 metros de largura, conforme ilustra a figura a seguir. Admita que o perfil de velocidade seja dado 
por 2v 4y= (S.I.), com y = 0 no fundo do canal. Determine a vazão volumétrica em L/s.
b = 3m
Seção transversal
y = 1m
dy
y
dA
Figura 6 – Seção transversal canal artificial retangular
Solução
Considerando as informações disponibilizadas no enunciado:
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
y = 1 m (profundidade)
b = 3 m (largura)
A área da seção transversal é determinada por:
A = b x y
A = 3 m x 1 m = 3 m2
O diferencial de área (dA) para essa seção retangular é dado por:
dA = b.dy
dA = 3.dy
A velocidade genérica das partículas corresponde a uma equação do segundo grau: 2v 4y= (S.I.)
Desejamos obter a vazão volumétrica. Sabe-se que:
mQ v . A=
Porém, o valor da velocidade média é desconhecido. Para isso:
m
1
v . v.dA
A
= ∫
Substituindo na equação da velocidade média:
2
m
1
v . 4y .3.dy
3
= ∫
Resolvendo a integral:
2
m
1x4x3
v . y .dy
3
= ∫
Lembre-se de que os limites são y = 0 para o fundo e y = 1 na profundidade máxima. Logo:
1
2
m
0
m
v 4. y .dy
v 1,33 m / s
=
=
∫
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Unidade I
Determinando a vazão volumétrica:
m
2
3
Q v . A
m
Q 1,33 .3m
s
m
Q 3,99 
s
=
=
=
Discussão: esse exercício ilustra a aplicação da equação para o cálculo da velocidade média quando a 
velocidade das partículas não é uniforme na seção. Considera-se em exercícios posteriores a velocidade 
média uniforme na seção transversal de escoamento. 
Exemplo de aplicação
Um aluno universitário foi estagiar em uma empresa de instalações hidráulicas. O supervisor decidiu 
testar os conhecimentos do estagiário e, para isso, pediu a ele que calculasse a velocidade média do 
escoamento de uma determinada tubulação. O estagiário, muito sabiamente, perguntou ao supervisor se 
o escoamento era laminar ou turbulento, e o supervisor o informou de que o escoamento era turbulento. 
O aluno, então, respondeu que a velocidade média era:
m máx
49 
v v
60
=
O supervisor, desconfiado dos conhecimentos do estagiário, pediu que ele provasse o que havia 
dito. O aluno disse ao supervisor que, no escoamento laminar de um fluido em condutos circulares, o 
diagrama de velocidades é representado pela equação:
1
7
máx
r
v v 1
R
 = −  
Onde vmáx é a velocidade no eixo do conduto, R é o raio do conduto e r é um raio genérico para o 
qual a velocidade v é genérica.
O aluno ainda acrescentou que a fórmula da velocidade média é dada por:
m
A
1
v vdA
A
= ∫
Com base no que foi estudado até aqui e nos dados descritos, justifique com cálculos se o aluno 
está correto ou não.
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Solução
Dada a equação característica da velocidade, substitui-se na equação da velocidade média:
m
A
1
7
m máx
A
1
v vdA
A
1 r
v v 1 dA
A R
=
 = −  
∫
∫
Por se tratar de um conduto de seção circular, sabe-se que a área pode ser definida por:
2A R= π
O diferencial de área de uma seção circular é dado por:
dA 2 rdr= π
Substituindo na equação da velocidade média, temos:
( )
1
R
7
m máx2
0
R 1
máx 7m 15
07
1 r
v v 1 2 rdr
RR
2.v
v R r rdr
R
 = − π  π
= −
∫
∫
Mudança de variável: x = R- r; r = R- x; dr = -dx
Resolvendo a integral por substituição, obtemos:
( )( )
1R
máx 7
m 15
07
1 8R
máx 7 7
m 15
07
R8 15
7 7
máx
m 15
7
0
15 15
máx 7 7
m 15
7
m máx
2.v
v x R x dx 
R
2.v
v Rx x dx
R
2.v 7Rx 7x
v
8 15
R
2.v 7 7
v R R
8 15
R
49
v .v
60
= − −
 
= −   
= −
 
= −   
=
∫
∫
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Unidade I
( )( )
1R
máx 7
m 15
07
1 8R
máx 7 7
m 15
07
R8 15
7 7
máx
m 15
7
0
15 15
máx 7 7
m 15
7
m máx
2.v
v x R x dx 
R
2.v
v Rx x dx
R
2.v 7Rx 7x
v
8 15
R
2.v 7 7
v R R
8 15
R
49
v .v
60
= − −
 
= −   
= −
 
= −   
=
∫
∫
Conforme queríamos demonstrar.
Discussão: o exercício ilustra o desenvolvimento das relações entre as velocidades média e máxima 
de um escoamento turbulento em regime permanente de seções circulares quando a velocidade genérica 
das partículas é caracterizada pela equação:
1
7
máx
r
v v 1
R
 = −  
Caso o escoamento ocorra obedecendo outra equação, deve-se utilizar o mesmo procedimento para 
se determinar a relação entre as velocidades.
2.2 Equação da Continuidade
Considere o escoamento de um fluido em regime permanente no interior de um conduto. A Equação 
da Continuidade para um fluido qualquer em regime permanente garante que uma partícula de fluido 
que entra no volume de controle (V.C.) – uma região cuja principal finalidade é facilitar a análise do 
escoamento do fluido que por ela passa – no ponto 1 será transportada para o ponto 2 sem queocorra o acúmulo ou decréscimo de massa, conforme mostra a figura a seguir. Representa, portanto, a 
conservação de massa em fluxo constante.
(1)
(2)
Figura 7 – Escoamento de um fluido em regime permanente
Logo, tem-se a Equação da Continuidade para um fluido compressível em regime permanente:
m1 m2Q Q= 
ou
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
1 1 2 2.Q .Qρ = ρ 
ou
1 1 1 2 2 2.A .v .A .vρ = ρ
Caso o fluido seja incompressível, tem-se:
1 2
1 1 2 2
Q Q
A .v A .v
=
=
Subentende-se que as velocidades 1 2v e v , utilizadas na equação, correspondem às velocidades 
médias nas seções (1) e (2).
 Lembrete
A Equação da Continuidade demonstra que, no escoamento de um 
fluido incompressível, a velocidade média de deslocamento das partículas 
é inversamente proporcional à área da seção transversal, uma vez que a 
vazão volumétrica é a mesma (regime permanente).
 Observação
Um fluido é dito incompressível se não apresenta variação do volume 
em função da variação de pressão, como os líquidos. Geralmente, não 
ocorrem variações significativas da massa específica em escoamento 
de líquidos. Em casos em que não ocorra mistura, a massa específica de 
entrada é praticamente igual à massa específica de saída. 
O mesmo princípio, no entanto, não pode ser aplicado aos gases, 
classificados como fluidos compressíveis. Isso porque sofrem variações 
da massa específica ao longo do escoamento em função da variação da 
temperatura e da pressão. Cabe ressaltar como exceção gases escoando em 
baixas velocidades, com número de Mach menor que 0,3; nesses casos eles 
podem ser considerados incompressíveis.
O número de Mach é um valor adimensional utilizado para relacionar 
a velocidade de escoamento de um fluido em relação à velocidade do som. 
Ele será tratado com mais profundidade ao longo do curso.
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Unidade I
Exemplo de aplicação
Em um determinado experimento, ocorre o escoamento de água no interior de um conduto 
convergente/divergente. Sabe-se que a área (1) é de 20 cm2 e a área (2) é de 15 cm2. Sendo a velocidade 
na seção (1) equivalente a 3 m/s, determine:
a) a vazão volumétrica de água em L/s;
b) a velocidade das partículas na seção (2).
(1)
(2)
Figura 8 – Conduto de seção convergente/divergente
Solução
O enunciado fornece os seguintes dados:
2 4 2
1
2 4 2
2
1
A 20cm 20x10 m 
A 15cm 15x10 m
mv 3 s
−
−
= =
= =
=
a) Sabe-se que a vazão volumétrica pode ser determinada por meio do produto da velocidade 
pela área:
Q v.A=
Nesse caso, conhece-se o valor da velocidade em (1) e a área da seção transversal em (1). Substituindo 
as incógnitas da equação pelos valores dados, temos:
4 2mQ 3 x 20.10 m
s
−=
Q 60= .
3
4 m1 0
s
− = 
3
3 m6.10
s
− = 6
L
s
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
b) Segundo a Equação da Continuidade:
m1 m2Q Q= 
1 1 2 2.Q .Qρ = ρ
Admitindo que a água é um fluido incompressível, não ocorre variações na massa específica ao 
longo do escoamento. Logo:
1 2
1 1 2 2
4 2
1 1
2 4 2
2
A .v A .v
m
20.10 m x 3 A .v msv 4
A s15.10 m
−
−
ρ = ρ
=
= = =
Discussão: a aplicação da Equação da Continuidade na solução de problemas impõe o uso da 
velocidade média na seção transversal ao escoamento como v1 e v2. Fica subentendido, dessa forma, 
que velocidade média e área são inversamente proporcionais, ou seja, em um escoamento em regime 
permanente, a redução da área leva ao aumento da velocidade média na seção e vice-versa.
Exemplo de aplicação
No interior de um conduto de seção circular escoa um gás em regime permanente. Sabe-se que na seção 
(1) o gás possui massa específica ρ1 = 3,6 3
kg
m
 e escoa com velocidade de 5 m/s. Ao chegar na seção (2), a massa 
específica aumenta para ρ2 =10 3
kg
m
. As áreas das seções transversais ao escoamento correspondem a 20 cm2 
na seção (1) e 10 cm2 na seção (2). Determine a velocidade na seção (2).
(1)
(2)
Gás
Figura 9 – Escoamento de gás no interior de um conduto de seção transversal circular
Solução
Retirando as informações do enunciado e realizando as devidas conversões de unidades, temos:
2 4 2 2 4 2
1 2A 20cm 20x10 m e A 10cm 10x10 m
− −= = = =
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Unidade I
Da Equação da Continuidade, temos:
m1 m2Q Q= 
1 1 2 2.Q .Qρ = ρ
Observe que, nesse problema, trata-se de um fluido compressível (gás), o qual pode apresentar 
variação na massa específica ao longo do escoamento. Logo:
1 1 1 2 2 2.A .v .A .vρ = ρ
Isolando-se, temos:
4 2
3
1 1 1
2
4 22 2
3
kg m
3,6 x 20.10 m x 5 
.A .v msmv 3,6
kg.A s10 x1 0.10 m
m
−
−
ρ= = =
ρ
Discussão: apesar de reduzir a área da seção transversal ao longo do escoamento, esperava-se um 
aumento na velocidade na seção (2), fato que não ocorre, em razão do aumento da massa específica 
do gás. Nesse caso, a vazão em massa permanece constante, respeitando o princípio da Equação da 
Continuidade para fluidos compressíveis.
Em situações em que existe um escoamento através de um volume de controle (V.C.) com mais de 
uma entrada ou saída, temos:
E S
Qm Qm=∑ ∑
Onde a somatória das vazões em massa de entrada é exatamente igual à somatória das vazões em 
massa de saída.
 Observação
Conforme vimos, volume de controle (VC) é uma região cuja principal 
finalidade é facilitar a análise do escoamento do fluido que por ela passa. 
A fronteira que delimita o volume de controle é chamada de superfície de 
controle (SC), e esse método ficou conhecido como euleriano.
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Exemplo de aplicação
Um engenheiro observa o escoamento no interior de um dispositivo utilizado em um determinado 
processo industrial. Ele visualiza a entrada de óleo lubrificante (ρ1 = 880 3
kg
m
 ) pela seção (1), com vazão 
volumétrica de 10 L/s, e de gasolina (ρ2 = 720 3
kg
m
 ) pela seção (2), com vazão volumétrica de 400L/s. 
A mistura sai através de um conduto de seção circular com diâmetro de 50 cm. 
(1)
(2)
(3)
Óleo 
lubrificante
Gasolina
Mistura
Figura 10 – Vista superior do dispositivo misturador
Determine:
a) a vazão volumétrica de saída;
b) a massa específica da mistura;
c) a velocidade da mistura no interior do tubo de saída.
Solução
3
3
1
3
3
2
L m
Q 10 10x10
S s
L m
Q 400 400x10
S s
−
−
= =
= =
a) Nesse exercício existem duas entradas e uma saída. Aplicando a Equação da Continuidade e 
analisando as vazões volumétricas, temos:
E S
Q Q=∑ ∑
 
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Unidade I
Logo:
1 2 3
3 3
3 3
3
3
3
3
Q Q Q
m m
10x10 400x10 Q
s s
m L
Q 410x10 410
s S
− −
−
+ =
+ =
= =
b)Aplicando a Equação da Continuidade baseada nas vazões em massa, obtém-se:
E S
Qm Qm=∑ ∑
m1 m2 m3
1 1 2 2 3 3
3 3 3
3 3 3
33 3
3
3
3
3
3 3
Q Q Q
.Q .Q .Q
kg m kg m m
880 x1 0.10 720 x 400.10 x 410.10
s s sm m
kg kg m
8,8 288 x 0,41
s s s
kg m
296,8 x 0,41
s s
kg
723,9
m
− − −
+ =
ρ + ρ = ρ
+ = ρ
+ = ρ
= ρ
ρ =
c) O diâmetro do tubo de saída equivale a 50 cm. Convertendo para metros, d = 0,5m. Para o cálculo 
da área da seção circular transversal ao escoamento, pode-se fazer:
2 2
23
3
.D .0,5
A 0,19625 m
4 4
π π= = =
3 3 3Q A . v=
3
3
3
Q 0,410
v 2,08 m/s
A 0,19625
= = =
Discussão: o uso da Equação da Continuidade para problemas que apresentam várias entradas/
saídas é empregado de diferentes formas em situações do cotidiano, que podem apresentar misturas de 
substâncias de fluidos diferentes, como no presente exemplo, ou não. 
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MECÂNICA DOS FLUIDOSExemplo de aplicação
Um grupo de alunos de Engenharia está participando da competição Fórmula SAE há vários 
anos, e seu desempenho vem melhorando muito com as experiências adquiridas nas várias 
participações. Vibrante com os resultados obtidos e na busca da melhoria contínua da qualidade 
dos carros inscritos nessa competição, o professor orientador do projeto decidiu melhorar o 
sistema de admissão dos referidos veículos. Assim, resolveu ministrar algumas aulas sobre esse 
método aos seus alunos, informando-os de que o sistema de admissão baseia-se nos conceitos 
da mecânica dos fluidos. Portanto, as propriedades dos fluidos envolvidos – como vazão, pressão, 
velocidade, massa específica etc. – devem ser determinadas com exatidão para obter a perfeita 
razão de mistura, resultando num melhor rendimento do motor. Um sistema de admissão básico 
está exemplificado na sequência.
Filtro
Filtro
Ar
Tanque de 
combustível
Câmara do 
injetor de 
mistura
Seção (1)
Seção (2)
Seção (3) Bico 
injetor
Mistura 
ar/combustível
Figura 11 – Figura ilustrativa do sistema de injeção de um veículo
O ar atmosférico entra no sistema de admissão pelo filtro de ar e segue por um conduto 
até os dispositivos de injeção. O combustível contido no tanque também passa por um filtro e 
segue por um conduto para o sistema de injeção. Na câmara do injetor, o combustível é dosado 
proporcionalmente à massa de ar admitida, mantendo-se, dessa forma, a razão de mistura de 
máxima potência. No caso de motores à gasolina, essa razão é de 12:1, ou seja, 12 partes de ar 
para uma parte de combustível. O dispositivo de injeção é composto por uma câmara de mistura 
e um bico injetor, os quais possuem a função de vaporizar a mistura de uma forma homogênea, 
para que sua queima seja completa.
Após as aulas ministradas, os alunos projetaram um novo sistema de admissão com o diâmetro do 
conduto na seção (1) igual 50 mm e o diâmetro do conduto na seção (2) igual 6 mm. A massa específica 
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Unidade I
do ar atmosférico vale 1,23 kg/m3 e a massa específica da gasolina, 750 kg/m3. Nos condutos (1) e (2) 
foram instalados sensores para medir a velocidade, os quais obtiveram como resultado os valores 
0,051 m/s e 0,295 m/s, respectivamente. Com base nesses dados, determine:
a) a vazão em massa da mistura ar/combustível;
b) a quantidade de combustível consumida em uma hora;
c) se o projeto conseguiu obter a razão de mistura de máxima potência.
Solução
Extraindo as informações do enunciado, temos:
D1= 50 mm = 0,05 m
D2 = 6 mm = 0,006 m
ar 3
gas 3
1
2
kg
1,23 
m
kg
750 
m
v 0,051 m / s
v 0,295 m / s
ρ =
ρ =
=
=
a) Para obtermos a vazão em massa de saída, faz-se necessário determinar as vazões de entrada de 
ar e de gasolina:
Seção (1): entrada de ar
( )2 34
1 1 1
. 0,05 m L
Q v .A 0,051 x 10 0,1
4 s s
−π= = = =
Seção (2): entrada de gasolina
( )2 36 3
2 2 2
. 0,006 m L
Q v .A 0,295 x 8,34 x1 0 8,34 x1 0
4 s s
− −π= = = =
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Seção (3): saída da mistura
Aplicando a Equação da Continuidade baseada nas vazões em massa, temos:
E S
Qm Qm=∑ ∑
( ) ( )
( ) ( )
m1 m2 m3
ar 1 gas 2 3
4 6
3
3
3
Q Q Q
.Q .Q Qm
1,23 x1 0 750 x 8,34 x1 0 Qm
kg
Qm 6,38 x10
s
− −
−
+ =
ρ + ρ =
+ =
=
b) Para determinar o volume de combustível consumido em uma hora, deve-se atentar à vazão 
volumétrica de entrada na seção (2):
3
2
L 3600 s L
Q 8,34 x1 0 x 30
s h h
−= =
c) Para verificar a razão de mistura, deve-se fazer:
1
32
L
0,1Q sRazão de mistura 12
LQ 8,34 x1 0
s
−
= = =
Discussão: esse exemplo ilustra a aplicação dos conceitos de mecânica dos fluidos em um contexto 
real. O ar-padrão pode ser considerado como fluido incompressível quando escoa em baixas velocidades 
(Ma < 0,3, velocidade menor do que 100 m/s), algo que ocorre nesse problema, em que a velocidade do 
ar é baixa comparada ao valor-limite.
Exemplo de aplicação
O processo de produção de uma empresa apresenta a instalação hidráulica ilustrada na figura a seguir. 
Os reservatórios são cilíndricos, e o fluido que escoa no interior dos condutos é água. O reservatório 
A tem diâmetro de 2 metros e é totalmente preenchido em um tempo de 1 hora (t1). O reservatório B 
tem diâmetro de 1 metro e é totalmente preenchido no tempo de 20 minutos (t2). Determine o valor da 
velocidade na seção (1) sabendo que nessa seção o diâmetro (D1) corresponde a 10 cm.
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Unidade I
(1)
(2)
A B
7m
3m
(3)
Figura 12 – Vista lateral da instalação hidráulica
Solução
Tempo de preenchimento dos reservatórios:
t1= 1 hora = 60 minutos = 3600 segundos
t2= 20 minutos = 1200 segundos
E S
Qm Qm=∑ ∑
Por se tratar de um problema com uma entrada e duas saídas, temos:
m1 m2 m3
1 1 2 2 3 3
Q Q Q
.Q .Q .Q
= +
ρ = ρ + ρ
Como não existe a mistura de fluidos, admite-se que: 
1 2 3 cteρ = ρ = ρ = , logo:
1 2 3
1 2
1
1 2
Q Q Q
V V
Q
t t
= +
= +
Reservatório A Reservatório B
Diâmetro = 2 m Diâmetro = 1 m
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Área da baseA = 
2 2
2.D .2 3,14 m
4 4
π π= = Área da baseB = 
2 2
2.D .1 0,785 m
4 4
π π= =
Altura do reservatório = 7m Altura do reservatório = 3m 
Calculando o volume:
Volume = Área da base x altura
2 3
AV 3,14 m x 7m 21,98 m= = 
2 3
BV 0,785 m x 3m 2,355 m= =
Substituindo:
3 3 3
3
1
21,98 m 2,355 m m L
Q 8,068.10 8068 
3600 s 1200 s s S
−= + = =
Na seção (1) o diâmetro (D1) vale 10 cm = 0,1 m.
Calculando a área: A1 = 0,00785 m
2.
Como Q = v.A, temos:
3
3
1 2
1
m
8,068.10Q msv 1,02 
A s0,00785 m
−
= = =
Discussão: o exemplo ilustrado apresenta uma aplicação da Equação da Continuidade para uma 
condição de várias entradas e saídas sem mistura de fluidos. 
Exemplo de aplicação
O cultivo de peixes para consumo ou para ornamentação (utilizados em 
aquários, por exemplo) tem se popularizado no Brasil. As boas condições 
climáticas do país e a grande variedade de espécies nativas contribuem para 
o desenvolvimento da atividade. Com dedicação e empenho, produtores 
podem conseguir bons resultados e contar com a criação como fonte de 
renda principal de sua propriedade. Antes de escolher os peixes que mais 
se adaptem à região de cultivo e dar início ao novo empreendimento, 
entretanto, é necessário montar uma estrutura apropriada no local. De 
acordo com o orçamento disponível, pode-se decidir por vários materiais 
encontrados no mercado e por diferentes sistemas de criação. O tanque de 
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Unidade I
cultivo pode ser apenas escavado na terra ou, após a terraplenagem, ser 
construído em alvenaria e impermeabilizado com lona, fibra de vidro ou 
chapa galvanizada. Para o sistema de abastecimento de água, utilize blocos 
de concreto ou algum tipo de vala, com conexões de tubo de PVC para 
condução da água até o tanque. 
Fonte: Tanques... (2011). 
O pai de um aluno do curso de engenharia decidiu ingressar no ramo da piscicultura. Pediu ao filho 
que fizesse um projeto utilizando restos de uma calha retangular de cimento, dois tipos de tubo de 
PVC e os recursos hídricos do seu sítio. Após alguns dias de estudos, medições e cálculos, o aluno de 
engenharia fez o projeto ilustrado a seguir.
Calha retangular
Tanque A Tanque B
Tubo 1 Tubo 2
NCNC
Figura 13 – Projeto de tanques para criação de peixes
A calha retangular possui 100 cm de largura por 50 cm de altura e alimenta o tanque A com 
velocidade de escoamento dada por v = 15y2. O tanque A possui um nível de água constante, mantido 
pelo tubo 1 e pelo tubo 2. O tubo 1 possui 200 mm de diâmetro e devolve a sobrade água ao leito do 
rio. O tubo 2 possui 75 mm de diâmetro e enche completamente em 10 minutos o tanque B, que possui 
um volume de 120 m3. Determine os seguintes itens:
a) a velocidade média na calha retangular de entrada de água;
b) a vazão em volume no tubo 1.
Solução
Informações disponibilizadas no enunciado
Medidas da calha retangular:
Altura: y = 50 cm = 0,5 m
Largura: b= 100 cm = 1 m
Velocidade: v = 15y2
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Para determinar a velocidade média na calha de entrada, calculamos:
0,5 0,5 3
2 2
m
0 0
1 1 30y m
v v.dA 15y .bdy 2 x1 5 y .dy 1,25
A 1 x 0,5 3 s
= = = = =∫ ∫ ∫
Para determinar a vazão volumétrica no tubo 1, fazemos:
E S
Qm Qm=∑ ∑
Considerando se tratar de uma entrada e duas saídas e que o fluido que escoa é o mesmo (água):
calha 1 2Q Q Q= +
Determinando a vazão na calha:
3
calha m
m m
Q v .A 1,25 x1 m x 0,5m 0,625
s s
= = =
Determinando a vazão no tubo 2:
3 3
B
2
V 120 m m
Q 0,2 
t 600 s s
= = =
Determina-se a vazão no tubo 1:
3 3 3
1 calha 2
 m m m
Q Q Q 0,625 0,2 0,425
 s s s
= − = − =
Discussão: esse exercício ilustra o uso dos conhecimentos de mecânica dos fluidos para solucionar 
uma situação real.
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Unidade I
Exemplo de aplicação
Em um dispositivo que realiza a distribuição de água, a velocidade no conduto de entrada 
(1) é dada por 
2
máx
1
r
v v . 1
R
   = −     
, e a velocidade nos condutos de saída (2) e (3) é dada por:
1
7
máx2,3
2,3
r
 v v 1
R
 
= −  
. Considerando que máx1
m
v 2
s
= e máx2
m
v 8
s
= , determine a velocidade média 
e a velocidade máxima na saída (3). Dados:
1 2 3D 10 cm, D 4 cm e D 8 cm = = = .
(1)
(2)
(3)
Figura 14 – Esboço de um dispositivo de distribuição de água
Solução
Dados os diâmetros, realizam-se as conversões de unidades e determinam-se as áreas das seções 
transversais ao escoamento:
2
1 1
2
2 2
2
3 3
D 10 cm 0,1 m A 0,00785 m
D 1,66 cm 0,0166 m A 0,00021 m
D 5 cm 0,05 m A 0,00196 m 
= = =
= = =
= = =
Por se tratar de um problema com uma entrada e duas saídas, tem-se:
E S
Qm Qm=∑ ∑
m1 m2 m3
1 1 2 2 3 3
Q Q Q
.Q .Q .Q
= +
ρ = ρ + ρ
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Como não existe a mistura de fluidos, admite-se que: 
1 2 3 cteρ = ρ = ρ = , logo:
1 2 3Q Q Q= +
Lembrando que: mQ v .A=
m1 1 m2 2 m3 3v .A v .A v .A = +
Não são conhecidas as velocidades médias nas seções, mas sabe-se que na seção (1):
2
max
1
r
 v v . 1
R
   = −     
Substituindo na equação da velocidade média, tem-se:
m
A
2
m máx
1A
1
v vdA
A
1 r
v v 1 dA
A R
=
   = −     
∫
∫
Por se tratar de um conduto de seção circular, a área pode ser definida por:
2A R= π
O diferencial de área de uma seção circular é dado por:
dA 2 rdr= π
Substituindo na equação da velocidade média:
2R
m máx2
11 0
2R
máx
m 2
11 0
1 r
v v 1 2 rdr
R.R
2 .v r
v 1 rdr
R.R
   = − π   π  
  π  = −    π  
∫
∫
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Unidade I
Realizando a distributiva no colchete dentro da integral:
R 3
máx
m 2 2
1 10
2.v r
v r dr
R R
 
= − 
  
∫
Integrando:
R2 4
máx
m 2 2
1 1 0
2.v r r
v
2R 4R
= −
Aplicando os limites da integral, sendo o limite inferior igual a zero:
2 4
máx 1 1
m 2 2
1 1
2.v R R
v
2R 4R
 
= − 
  
Simplificando:
2 2
máx 1 1
m 2
1
2.v R R
v
2 4R
 
= − 
  
Resolvendo os colchetes:
2 2
máx 1 1
m 2
1
2
máx 1
m 2
1
2.v 2R R
v
4R
2.v R
v
4R
 −=  
  
 
=  
  
Simplificando:
máx
m
v
v
2
=
Logo, conforme dado no enunciado: máx1
m
v 2
s
= .
Verifica-se que:
máx1
m1
v 2 m
v 1 
2 2 s
= = =
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Na seção (2) a equação característica resulta na relação de velocidades, conforme demonstrado 
anteriormente no item 2.1:
m máx
m2 máx2
49
v .v
60
49
v .v
60
=
=
Conforme disponibilizado pelo enunciado:
max2
m
v 8
s
=
m2
49 m m
v x 8 6,53
60 s s
= =
Substituindo na Equação da Continuidade para várias entradas e saídas:
m1 1 m2 2 m3 3
2 2 2
m3
3 3
m3
m3
v .A v .A v .A
m m
1 .0,00785 m 6,53 .0,00021 m v .0,00196 m
s s
m m
0,00785 0,00137 0,00196.v
s s
m
v 3,3 
s
= +
= +
= +
=
Sabendo pela equação característica que o escoamento na seção (3) é do tipo turbulento:
m3 máx3
máx3 m3
49
v .v
60
60
v v
49
=
=
Substituindo os valores:
máx3
máx3
60 m
v x 3,3
49 s
m
v 4,04 
s
=
=
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Unidade I
Discussão: esse exercício ilustra a aplicação das equações em casos em que, claramente, as 
velocidades são diferentes. Nota-se que:
máx1 m1
máx2 m2
máx3 m3
m m
v 2 e v 1 
s s
m m
v 8 e v 6,53
s s
m m
v 4,04 e v 3,3 
s s
= =
= =
= =
3 EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Como é sabido, na Física, toda forma de energia não pode ser criada nem destruída, mas convertida 
em outra forma de energia. Apresentam-se a seguir as principais formas de energia que serão levadas 
em conta em uma associação ao escoamento de um fluido.
Segundo Çengel e Cimbala (2015), a Equação de Bernoulli é uma relação aproximada entre pressão, 
velocidade e elevação e é válida em condições de regime permanente de um fluido incompressível, 
quando os efeitos do atrito são desprezíveis.
Existem algumas restrições quanto à aplicação da Equação de Bernoulli. A primeira delas é que 
deve ser utilizada apenas em condições de regime permanente (também chamado de escoamento 
estacionário). Portanto, ela não deve ser implementada na solução de problemas que envolvam 
transiente, como ao ligar/desligar uma bomba em uma instalação hidráulica, situação em que ocorre 
uma variação das propriedades (essa discussão vai além do escopo deste livro; caso julgue necessário, 
consulte Panton, 2005).
É importante ressaltar que a aplicação da Equação de Bernoulli se restringe a determinadas regiões do 
escoamento de diversos problemas. Obviamente não existe um fluido sem viscosidade, e todo escoamento 
apresenta um certo atrito, por menor que seja; no entanto, em alguns casos os efeitos do atrito podem 
ou não ser desprezíveis. Geralmente, desprezam-se os efeitos do atrito em trechos curtos do escoamento 
com seções transversais relativamente grandes (baixas velocidades). Por outro lado, levam-se em conta os 
efeitos do atrito nos seguintes casos: longos trechos de tubulação, passagem do escoamento através de 
uma seção estreita, escoamento ocorrendo próximo a uma superfície sólida (presença da camada-limite), 
entre outros casos. Aqui, os efeitos da viscosidade e do atrito são desprezíveis quando comparados a outras 
forças que atuam nas partículas de fluido durante o escoamento, principalmente os efeitos de inércia, 
gravidade e pressão. Para tal, aplica-se geralmente a Equação de Bernoulli em linhas de corrente próxima 
à linha de centro da seção transversal, e não próxima das paredes. 
Observa-se também que, para aplicar a Equação de Bernoulli na solução de alguns problemas no 
domínio da engenharia, não deve existir no trecho em análise a presença de máquinas (bomba ou 
turbina) – a Equação da Energia com a presença de máquinas será abordada mais para frente neste livro.
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Uma hipótese adotada para empregar a Equação de Bernoulli é que a massa específica seja constante 
(fluido incompressível) ao longo do escoamento. Tal condição é respeitada por líquidos e também por 
gases escoandoem baixas velocidades, com número de Mach menor que 0,3 (nesses casos os gases 
podem ser considerados incompressíveis).
A Equação de Bernoulli não deve ser empregada em fenômenos que apresentam variações propositais 
de temperatura, como pontos de resfriamento ou de aquecimento, pois a massa específica de um gás é 
inversamente proporcional à temperatura.
Segundo Çengel e Cimbala (2015), a Equação de Bernoulli pode ser descrita por:
2P v
 g.z constante
2
+ + =
ρ
Essa equação relaciona as três formas de energia mecânica por unidade de massa no escoamento 
de um fluido, onde:
2
P
energia de escoamento
v
energia cinética
2
g.z energia potencial
=
ρ
=
=
Çengel e Cimbala (2015) evidenciam ainda que a soma das energias de escoamento, cinética e 
potencial de uma partícula de fluido é constante ao longo de uma linha de corrente durante um regime 
permanente quando os efeitos da compressibilidade e do atrito são desprezíveis. Em outras palavras, as 
diferentes formas de energia mecânica em um escoamento são convertidas entre si, mas a somatória 
das parcelas de energia permanece constante no trecho em análise.
Ao implementar o uso da Equação de Bernoulli na solução de um problema, considera-se 
que não ocorre a dissipação de energia, uma vez que não existe atrito, e, dessa forma, a energia 
mecânica não pode ser convertida em energia térmica sensível. Considera-se também que não há 
troca de calor proposital.
Segundo Brunetti (2008), utiliza-se a abordagem de energia por unidade de peso:
Dividindo todos os termos da equação por g:
2P v
 z constante
.g 2g
+ + =
ρ
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Unidade I
Das propriedades dos fluidos, .gγ =ρ , substituindo:
2P v
 z constante
2g
+ + =
γ
Admitindo como H a energia total por unidade de peso, ou carga total na seção, tem-se:
2P v
H z
2g
= + +
γ
Note que ao realizar o cálculo da energia total do fluido na seção, as formas de energia na mecânica 
dos fluidos são quantificadas em metros (m). Ilustra-se a seguir a análise dimensional, no Sistema 
Internacional de unidades, da equação apresentada anteriormente.
2
2
3 2
mN
smH m
N m
m s
 
  
= + +
Matematicamente, mantemos o numerador e passamos o denominador para o numerador, 
invertendo a razão:
3 2 2
2 2
N m m s
H x x m
N mm s
= + +
Simplificando as unidades:
3 2 2 3 2
2 2 2 1
N m m s m m
H x x m m 
N mm s m m
H m m m m
= + + = + +
= + + =
A figura a seguir ilustra a aplicação da Equação de Bernoulli para um trecho do escoamento em uma 
tubulação horizontal.
(1) (2)
Figura 15 – Tubulação horizontal em conduto de seção circular
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Simbolicamente, podemos equacionar:
1 2H H=
De tal forma que ocorra uma conservação de energia ao longo do escoamento. 
Expandindo as equações, tem-se:
2 2
1 1 2 2
1 2
P v P v
 z z
2g 2g
+ + = + +
γ γ
 Observação
Na mecânica dos fluidos, ao utilizar a energia por unidade de peso, toda 
forma de energia será quantificada em metros (m).
Exemplo de aplicação
Após uma aula de mecânica dos fluidos, um aluno de engenharia observa o escoamento de água 
através de um tanque de um grande reservatório. Por razões pessoais, fica intrigado para descobrir qual 
o valor da vazão volumétrica de água. Sabendo que o nível de água no reservatório é de 3 metros e o 
raio da tubulação de saída é de 2,5 cm, como você resolveria o problema? Considere que 
2
m
g 10
s
= .
(1)
(2)h = 3m
PHR
Figura 16 – Escoamento em regime permanente em um tanque de grandes dimensões
Solução
Admitindo que:
- a água é um fluido incompressível;
- o escoamento ocorre em regime permanente;
- não há presença de máquinas;
- não há perdas por atrito (hipótese de fluido ideal).
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Unidade I
Sabe-se que Q =v.A. Portanto, para obter a vazão volumétrica é necessário determinar a velocidade. 
Conforme fornecido no enunciado, na seção (2) o raio é de 2,5 cm = 0,025 m.
Determinando a área da seção circular transversal ao escoamento:
2 2 2 3 2A .r .(0,025) 0,0019625 m 1,97.1 0 m−= π = π = =
Por sua vez, busca-se o valor da velocidade na seção (2). 
Assume-se que o trecho a ser analisado será o de (1) para (2), e aplica-se a Equação de Bernoulli. 
Logo: 
(1) → (2)
1 2H H =
2 2
1 1 2 2
1 2
P v P v
 z z
2g 2g
+ + = + +
γ γ
Agora é interessante simplificar os termos que compõe a equação. Para isso, realizamos uma análise 
termo a termo.
O reservatório está aberto à pressão atmosférica, logo:
1 atmP P 0 (escala efetiva de pressões) = =
2 2
1 1 2 2
1 2
P v P v
 z z
2g 2g
+ + = + +
γ γ
Quando se considera o reservatório um tanque de grandes dimensões (TGD), na seção (1) a velocidade 
tende a zero, logo: 1v 0= .
2 2
1 1 2 2
1 2
P v P v
 z z
2g 2g
+ + = + +
γ γ
A distância da seção (1) até o plano horizontal de referência (PHR) é igual a 3 m. Então, 1z 3 m= .
Na seção (2) realiza-se a mesma análise. A água é descarregada à pressão atmosférica, logo:
2 atmP P 0 (escala efetiva de pressões)= =
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
2 2
1 1 2 2
1 2
P v P v
 z z
2g 2g
+ + = + +
γ γ
Note que a seção (2) não é um TGD, mas sim um tubo, onde a água escoa com uma certa velocidade 
2v , ainda desconhecida e objeto de pesquisa.
Como a seção (2) está posicionada em cima do PHR, considera-se que a distância da seção (2) até o 
PHR é 0, logo 2z 0= .
2 2
1 1 2 2
1 2
P v P v
 z z
2g 2g
+ + = + +
γ γ
Resultando em:
2
2
1
v
z 
2g
=
Isolando 2v , temos:
2 1v 2g.z=
Substituindo os valores:
2
m
v 2x10x3 60 7,74 
s
= = =
Por fim, determinamos a vazão volumétrica:
3 2
3
m
Q 7,74 x1 ,97.1 0 m
s
m L
Q 0,0152 15,2 
s s
−=
= =
Discussão: esse problema ilustra como devem ser implementadas as hipóteses simplificadoras para o 
uso da Equação de Bernoulli, que pode ser uma ferramenta bastante útil para a determinação da vazão 
volumétrica.
Exemplo de aplicação
Um instrumento utilizado para realizar a medição de vazão volumétrica é o Tubo de Venturi. Esse 
tubo é constituído de uma seção convergente que atinge uma seção mínima, também chamada de 
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7
Unidade I
garganta do Venturi, e uma seção divergente, até atingir o mesmo diâmetro de entrada. A figura a seguir 
ilustra o esquema.
(1)
(2)
Figura 17 – Representação de um Tubo de Venturi
Imagine que um certo óleo ( óleo 3
N
8000 )
m
γ = escoe em um conduto de PVC com 2 polegadas de 
diâmetro e entre em um Tubo de Venturi com uma garganta de ½ polegada de diâmetro. Determinou-se 
que a pressão na entrada do tubo é de 220 kPa e que a pressão na garganta é de 50 kPa. Admitindo um 
escoamento ideal e em regime permanente, determine o valor da vazão volumétrica (em L/s).
Solução
Extraindo os dados do enunciado e realizando as conversões para o sistema métrico:
D1= 1 polegada = 2,54 cm = 0,0254 m
D2 = 0,5 polegada = 1,27 cm = 0,0127 m
Calculando as áreas:
4 2
1
4 2
2
3
1 2
3
2 2
A 5.10 m
A 1,26.10 m
N
P 220 kPa 220.10
m
N
P 150 kPa 150.10
m
−
−
=
=
= =
= =
O trecho a ser analisado será o de (1) para (2). Aplicando-se a Equação de Bernoulli:
(1) → (2)
1 2H H =
2 2
1 1 2 2
1 2
P v P v
 z z
2g 2g
+ + = + +
γ γ
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
As cotas das seções em relação a qualquer PHR serão iguais, logo 1 2z z= :
2 2
1 1 2 2P v P v 
2g 2g
+ = +
γ γ
Reorganizando os termos na equação, escreve-se:
2 2
1 2 2 1P P v v 
2g 2g
− = −
γ γ
Por estarem sobre o mesmo denominador, representa-se:
2 2
1 2 2 1
óleo
P P v v
2g
− −=
γ
Substituindo os valores na equação:
3 3
2 222
2 1
3 2
3
2 22
2 1
3 2
2 2
2 1
2
2
2 2
2 1 2
N N
220.10 150.10
v vm m
N m
8000 2.1 0
m s
N
70.10
v vm
N m
8000 20
m s
v v
8,75 m
m
20
s
m
v v 175 
s
− −=
−=
−=
− =
O emprego da Equação de Bernoulli conduz a uma equação com duas incógnitas ( 1 2v e v ) , 
fazendo-se necessário o emprego de outra equação que relacione as velocidades. Para tal, utiliza-se a 
Equação da Continuidade.
1 2
1 1 2 2
4 2
2 2
1 24 2
1
1 2
Q Q
A .v A .v
A .v 1,26.10 m
v . v
A 5.10 m
v 0,252 .v
−
−
=
=
= =
=
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Unidade I
Substituindo na equação das velocidades:
2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
m
v (0,252 .v ) 175 
s
m
v 0,0635v 175 
s
m
0,936 v 175 
s
m
v 186,96 
s
m
v 13,67 
s
− =
− =
=
=
=
Para determinar a vazão de água que passa no interior do tubo, fazemos:
2 2 2Q A .v=
Substituindo os valores:
2 2 2
4 2
2
3
3
2
Q A .v
m
Q 1,26.10 m x1 3,67 
s
m L
Q 1,7 x1 0 1,7 
s s
−
−
=
=
= =
Discussão: a associação da Equação de Bernoulli e da Equação da Continuidade se mostra uma 
ferramenta eficaz para a solução de alguns problemas na engenharia.
Exemplo de aplicação
Tubo de Pitot é o nome de um instrumento amplamente utilizado para realizar a medição de 
velocidades de escoamento de fluidos em regime permanente, sejam eles líquidos ou gases. A figura 
a seguir ilustra um tubo de Pitot inserido em um conduto no qual se deseja obter como velocidade de 
escoamento da água o valor de 3
N
10000
m
. Para isso, conectou-se o Pitot a um manômetro diferencial 
de mercúrio Hg 3
N
( 136000 )
m
γ = , onde o desnível gerado entre os meniscos foi de 12 cm.
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
(1)
H2O
Hg
h
(2)
Figura 18 – Tubo de Pitot para medição de velocidade
Solução
Foi dado no enunciado que h = 12 cm = 0,12 m.
Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2), temos:
(1) → (2)
1 2H H =
2 2
1 1 2 2
1 2
P v P v
 z z
2g 2g
+ + = + +
γ γ
Admitindo que o PHR se localiza na linha de centro do tubo, 1 2 z z= , logo:
2 2
1 1 2 2P v P v 
2g 2g
+ = +
γ γ
Na entrada do Pitot, posicionado na seção (2), a energia cinética é convertida em energia de pressão. 
Nesse ponto, que recebe o nome de ponto de estagnação ou ponto de parada, considera-se que 2v 0= . 
Dessa forma:
2
1 1 2P v P 
2g
+ =
γ γ
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Unidade I
Reorganizando os termos da equação e isolando a velocidade na seção (1):
2
1 2 1v P P
2g
= −
γ γ
Por estarem sobre o mesmo denominador, escreve-se:
2
1 2 1
H O2
2 2 1
1
H O2
v P P
2g
P P
v 2g x ( )
−=
γ
−=
γ
Para encontrar o valor da velocidade, é necessário saber qual o valor da diferença de pressões 
entre os pontos (1) e (2). Para isso, aplica-se o conceito de Equação Manométrica. Partindo do 
centro geométrico da seção (1) e indo em direção ao centro geométrico da seção (2), desprezando 
as cotas em comun, temos:
1 Hg H O 22
2 1 Hg H O2
2 1 Hg H O2
P .h .h P
P P .h .h
P P h( )
+ γ − γ =
− = γ − γ
− = γ − γ
Substituindo os valores na equação:
2 1 3 3
2 1 2
N N
P P 0,12 m x(136000 10000 )
m m
N
P P 15120
m
− = −
− =
Aplicando na equação da velocidade:
2 2 1
1
H O2
22
1 2
3
2
2
1 2
1
P P
v 2g x ( )
N
15120
m mv 2 x1 0 x ( )
Ns 10000
m
m
v 30,24 
s
m
v 5,49 
s
−=
γ
=
=
=
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Discussão: a aplicação da Equação de Bernoulli permite a solução do problema junto com o princípio 
da Equação Manométrica. Deve-se lembrar que, por se tratar de um instrumento invasivo, existe o 
chamado ponto de estagnação, em que a velocidade é considerada igual a zero, pois a energia cinética 
é convertida em energia de pressão.
Exemplo de aplicação
Uma das aplicações industriais do Tubo de Venturi é medir a vazão de fluidos no interior de tubulações. 
Em uma dessas instalações, a água escoa por um Tubo de Venturi em regime permanente. O manômetro 
diferencial de mercúrio foi instalado em uma seção de entrada (1) cuja área da seção transversal é de 20 
cm2, e a outra extremidade foi instalada na garganta (2), onde a área da seção transversal é de 10 cm2. 
O desnível gerado no mercúrio (Hg) foi de 15 cm. Admitindo desprezíveis as perdas por atrito, determine 
qual é a vazão de água que passa pela tubulação. Dados:
H O 32
N
10000
m
γ = e Hg 3
N
136000
m
γ = .
(1)
(2)
Hg
H20
h
Figura 19 – Tubo de Venturi instalado em uma tubulação industrial
Solução
Admitindo que as propriedades sejam uniformes na seção e que o escoamento ocorra em regime 
permanente, considera-se válida a aplicação da Equação de Bernoulli para a solução do problema.
Extraindo as informações do enunciado e realizando as devidas conversões de unidades, temos:
2 4 2
1
2 4 2
2
A 20 cm 20.10 m
A 10 cm 10.10 m
−
−
= =
= =
h = 15 cm = 0,15 m
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Unidade I
Assume-se que o trecho a ser analisado será o de (1) para (2) e aplica-se a Equação de 
Bernoulli. Logo:
(1) → (2)
1 2H H =
2 2
1 1 2 2
1 2
P v P v
 z z
2g 2g
+ + = + +
γ γ
Admitindo que o PHR se localize na linha de centro do tubo, 1 2 z z= , logo:
2 2
1 1 2 2P v P v 
2g 2g
+ = +
γ γ
Reorganizando os termos, a equação fica assim:
2 2
1 2 2 1P P v v 
2g 2g
− = −
γ γ
Podendo ser reescrita da seguinte forma:
2 2
1 2 2 1
H O2
P P v v
2g
− −=
γ
O lado esquerdo da equação pode ser desenvolvido aplicando o conceito da equação manométrica. 
Partindo do centro geométrico da seção (1), percorrendo um caminho em direção à seção (2) e 
desprezando os trechos comuns, a equação pode ser representada por:
1 H O Hg 22
P .h .h P + γ − γ =
Reorganizando os termos:
1 2 Hg H O2
1 2 Hg H O2
P P .h .h
P P h( )
− = γ + γ
− = γ − γ
Substituindo os valores:
1 2 3 3
1 2 2
N N
P P 0,15 m(136000 10000 )
m m
N
P P 18900
m
− = −
− =
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Retornando à equação principal:
2 2
1 2 2 1
H O2
P P v v
2g
− −=
γ
Substituindo os valores:
2 22
2 1
3
2 2
2 1
2
N
18900
v vm
N 2g10000
m
v v
1,89 m
m
2.1 0
s
−=
−=
Multiplicando em cruz:
2
2 2
2 1 2
m
v v 37,8 
s
− =
Da Equação da Continuidade, temos que:
1 2
1 1 2 2
4 2
2 2
1 24 2
1
1 2
Q Q
A .v A .v
A .v 10.10 m
v . v
A 20.10 m
v 0,5 .v 
−
−
=
=
= =
=
Substituindo na equação das velocidades:
2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
m
v (0,5 .v ) 37,8 
s
m
v 0,25v 37,8 
s
m
0,75 v 37,8 
s
m
v 50,4
s
m
v 7,09 
s
− =
− =
=
=
=
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Unidade I
Para determinar a vazão de água que passa no interior do tubo, podemos usar a equação:
2 2 2Q A .v=
Substituindo os valores:
2 2 2
4 2
2
3
3
2
Q A .v
m
Q 10.10 m .7,09 
s
m L
Q 7,09.10 7,09 
s s
−
−
=
=
= =
Discussão: note que esse problema foi solucionado utilizando os conceitos da Equação de 
Bernoulli e da Equação da Continuidade. Tal fato ocorrerá novamente na solução de vários problemas, 
recomendando ao estudante a familiarização com tais equações e seus usos. Neste problema fica 
claro que não há variação de energia potencial 1 2(z z )= . A energia cinética aumenta de (1) para (2) 
em razão da redução de áreas, consequentemente a energia de pressão irá diminuir de (1) para (2), 
de modo que a soma das energias se mantém constante. É esse fato que explica o desnivelamento no 
manômetro diferencial de mercúrio.
 Saiba mais
O conteúdo a seguir sugere um complemento do conhecimento. 
EASTLAKE, C. A visão de um engenheiro aeronáutico acerca de 
Sustentação, Bernouilli e Newton.Física na Escola, Porto Alegre, v. 7, n. 2, 
p. 52-57, 2006. Disponível em: <http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/
handle/10183/116434/000570136.pdf?sequence=1>. Acesso em: 25 ago. 2017.
4 EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA UM FLUIDO REAL EM REGIME PERMANENTE
Neste tópico será excluída a hipótese de fluido ideal, considerando os efeitos do atrito interno 
durante o escoamento (escoamento real). Esses atritos podem ser representados pelo atrito viscoso (que 
ocorre entre as partículas de fluido) e pelo atrito rugoso (fluido em contato com as paredes do conduto).
Partindo do princípio da Equação de Bernoulli, se o escoamento fosse ideal, 1 2H H = . Considerando os 
efeitos do atrito no escoamento, ocorrerá uma dissipação de energia, de forma que 1 2H H > , conforme 
mostra a figura a seguir. 
Cabe ressaltar que o escoamento ocorre sempre no sentido decrescente das energias, ou seja, 
durante o escoamento, a energia total do fluido na seção vai diminuindo, pois ocorre a conversão 
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
de energia mecânica em energia térmica. No entanto, a confecção da Equação da Energia pode ser 
realizada sem explicitar essa perda de calor para o meio externo.
(1)
Hp
1,2 (2)
Figura 20 – Escoamento em um conduto de seção circular
A energia (por unidade de peso) perdida será 1,2Hp .
Desejando reestabelecer um equilíbrio de energia entre o início (1) e o fim (2) do trecho em análise, 
é necessário somar a energia perdida do lado direito da equação:
1 2 1,2H H Hp = +
Exemplo de aplicação
Um tubo de 3 cm de diâmetro transporta 2 L/s de água em regime permanente. Foram instalados 
dois manômetros nas seções (1) e (2), indicando, respectivamente, 
2 2
kgf kgf
1,5 e1 ,35 
cm cm
, conforme a figura 
a seguir. Determine a perda de carga gerada durante o escoamento entre os pontos (1) e (2), dado que:
H O 32
kgf
1000
m
γ =
(1)
P1 Hp
1,2
(2)
P2
Figura 21 – Escoamento real de água no interior de um tubo
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Unidade I
Solução
Do enunciado, tem-se:
4
1 2 2
4
2 2 2
kgf kgf
P 1,5 1,5.10
cm m
kgf kgf
P 1,35 1,35.10
cm m
= =
= =
Analisando o escoamento de (1) para (2): 
(1) → (2)
1 2 1,2H H Hp = +
2 2
1 1 2 2
1 2 1,2
P v P v
 z z H p
2g 2g
+ + = + + +
γ γ
Tomando como referência a linha de centro do tubo (PHR), observa-se que as seções (1) e (2) estão 
posicionadas bem em cima dela. Logo, 1 2z z 0= = .
2 2
1 1 2 2
1,2
P v P v
 H p
2g 2g
+ = + +
γ γ
Admitindo tratar-se de um escoamento em regime permanente, a vazão que passa na seção (1) é a 
mesma que passa na seção (2).
1 2
1 1 2 2
Q Q
A .v A .v
=
=
Não ocorre variação na área da seção do tubo, portanto 1 2 A A= . Consequentemente: 
1 2v v=
Simplificando a equação:
1 2
1,2
P P
 Hp= +
γ γ
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Isolando-se a energia perdida:
1 2 1 2
1,2 1,2
P P P P
Hp Hp 
−= − =
γ γ γ
4 4
2 2
1,2
3
1,2
kgf kgf
1,5.10 1 ,35.10
m mHp 
kgf
1000
m
Hp 1,5 m
−
=
=
Discussão: nesse problema, nota-se que a energia cinética e a energia potencial não apresentam 
variação. Ocorre, portanto, uma redução da energia de pressão ao longo do escoamento. Entre os pontos 
(1) e (2) analisados, temos uma perda de carga equivalente a 1,5 m de energia.
Exemplo de aplicação
A figura a seguir ilustra um trecho de uma instalação industrial que realiza o transporte de água. 
Sabe-se que escoam 16 L/s, a pressão no ponto (1) é de 180 KPa e no ponto (2) é de 150 KPa. 
Verificou-se que as seções (1) e (2) encontram-se a 2,1m e 1,7m em relação ao solo, respectivamente. 
A área da seção transversal ao escoamento é de 8x10-3 m2 no ponto (1) e 2x10-3 m2 no ponto (2). 
Determine a perda de carga gerada no trecho entre (1) e (2). Utilize 2
m
g 10 .
s
=
(1)
(2)
PHR
Z1
Z2
Figura 22 – Tubulação transportando água em uma instalação industrial
60
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Unidade I
Solução
Extraindo as informações do enunciado e realizando as conversões de unidades:
3
3
3 2
1
3 2
2
L m
Q 16 16.10
s s
A 8.10 m
A 2.10 m
−
−
−
= =
=
=
3 3
1 2
3 3
2 2
N
P 180 KPa 180.10 Pa 180.10
m
N
P 150K Pa 150.10 Pa 150.10
m
= = =
= = =
1
2
z 2,1 m
z 1,7 m
=
=
H2O 3
N
10000
m
γ =
Analisando o escoamento de (1) para (2): 
(1) → (2)
1 2 1,2H H Hp = +
2 2
1 1 2 2
1 2 1,2
P v P v
 z z H p
2g 2g
+ + = + + +
γ γ
2 2
1 1 2 2
1,2 1 2
P v P v
Hp z z
2g 2g
= + + − − −
γ γ
Lembrando que em regime permanente as vazões volumétricas que passam em (1) e em (2) são as 
mesmas ( 1 2Q Q )= , determinam-se os valores das velocidades nas seções (1) e (2).
1 1 1
3
3
1
1 3 2
1
2 2 2
3
3
2
2 3 2
2
Q A .v
m
16.10Q msv 2 
A s8.10 m
Q A .v
m
16.10Q msv 8 
A s2.10 m
−
−
−
−
=
= = =
=
= = =
61
EN
GP
 -
 R
ev
isã
o:
 T
al
ita
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
0/
09
/2
01
7
MECÂNICA DOS FLUIDOS
1 1 1
3
3
1
1 3 2
1
2 2 2
3
3
2
2 3 2
2
Q A .v
m
16.10Q msv 2 
A s8.10 m
Q A .v
m
16.10Q msv 8 
A s2.10 m
−
−
−
−
=
= = =
=
= = =
Substituindo os valores na equação:
2 2
2 23 3
2 22 2
1,2
3 2 3 2
1,2
1,2
m mN N
2 8180.10 150.10
s sm mHp 2,1 m 1,7m
N m N m
10000 2.10 10000 2.10
m s m s
Hp 18m 0,2m 2,1 m 15 m 3,2m 1,7m
Hp 0,4 m
= + + − − −
= + + − − −
=
Discussão: nesse problema, há a variação nas três formas de energia: energia de pressão, 
energia cinética e energia potencial. No escoamento de (1) para (2) ocorre uma redução da energia 
de pressão ao longo do escoamento, assim como uma redução da energia potencial, em função 
do aumento da energia cinética. Entre os pontos (1) e (2) analisados, temos uma perda de carga 
equivalente a 0,4 m de energia.
4.1 Equação da Energia com presença de máquinas
Define-se máquina como um componente mecânico de uma instalação hidráulica que adiciona 
ou retira energia de um fluido sob a forma de trabalho. Se a máquina adiciona energia ao fluido, 
será definida genericamente como uma bomba. Caso retire energia do fluido, será, então, uma turbina 
qualquer. A figura a seguir apresenta um exemplo de máquina em uma instalação hidráulica.
(1) (2)
Q M
Figura 23 – Máquina instalada entre as seções (1) e (2)
Antes de prosseguirmos, cabe ressaltar que não é o foco deste tópico estudar os princípios de 
funcionamento das máquinas hidráulicas, mas mostrar como sua presença influencia os conceitos 
envolvidos na Equação da Energia.
A presença de máquinas influencia a Equação da Energia. Sem a presença delas, aplica-se a Equação 
de Bernoulli entre as seções (1) e (2), de tal forma que:
1 2H H =
62
EN
GP
 -
 R
ev
isã
o:
 T
al
ita
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
0/
09
/2
01
7
Unidade I
Se a máquina instalada for uma bomba, energia será acrescentada no fluido. 
(1) (2)
Q B
Figura 24 – Bomba realizando um escoamento em um tubo
Analisando as energias totais nas seções (1) e (2), observa-se que a energia total de fluido que 
atravessa a seção (2) é maior do que a energia total do fluido que passa em (1). Logo, verifica-se que:
2 1H H >
A essa energia acrescentada ao fluido pela bomba dá-se o nome de altura manométrica (ou carga 
manométrica da bomba), sendo representada pelo símbolo bH .
(1)
H1
(2)
H2
Hb
Q B
Figura 25 – Representação da carga ou altura manométrica da bomba
Para restabelecer um equilíbrio de energias entre as seções, escreve-se:
(1) → (2)
1 b 2H H H + =
Observe os efeitos dos atritos ao longo do escoamento, mostrados na figura a seguir.
(1)
H1
(2)
H2
Hb
Q B
Hp
1,2
Figura 26 – Escoamento real com presença de bomba
63
EN
GP
 -
 R
ev
isã
o:
 T
al
ita
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
0/
09
/2
01
7
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Nesse contexto, a Equação da Energia pode ser escrita