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Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������ � Capítulo 4 – Derivadas Parciais 1. Conceitos Sabe-se que dois problemas estão relacionados com derivadas: Problema I: Taxas de variação da função. Problema II: Coeficiente angular de reta tangente. Seja � � ���� uma função a uma variável. A taxa de variação instantânea de � em relação a � quando � � �� e o coeficiente angular (��� da reta tangente ao gráfico � � ���� no ponto ����� ���, onde �� � ������ são problemas resolvidos pelo cálculo do mesmo limite: ������� ���� � ����������� � ��� ������� � � !���� � ������ Este limite recebe a terminologia especial de DERIVADA. Sejam " � ���� �� uma função à duas variáveis independentes, � e �� e �������� "�� um ponto sobre o gráfico de �� onde ���� ��� é um ponto do domínio da função e "� � ��������. Desejamos resolver os dois problemas relacionados com derivadas: taxa de variação da função quando � � �� e � � �� e coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto �# Sendo � uma função à duas variáveis surgem as questões: • Deseja-se calcular taxa de variação da função em relação a qual direção de variação do ponto do domínio ���� ���? • Há infinitas retas em $% que tangenciam a superfície no ponto �. Qual a direção da reta que se deseja calcular o coeficiente angular? ��� � � �� � ��� ���������� � ���� ��� ��� �� �� &� �� � ����� ���� � � ����� �' ()'( ' *� Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������ � Inicialmente, vamos estudar as taxas de variação da função apenas em relação às variáveis independentes � e �. Estas taxas recebem a terminologia de DERIVADAS PARCIAIS. Notações: +�+� � +"+� � �� � �,� -�����-,��� +�+� � +"+� � �. � �/� -.����-/��� O gráfico de uma função de duas variáveis " � ���� �� é, em geral uma superfície em $%. Considere: ����� ��� "�� um ponto sobre o gráfico da função; �, uma curva obtida pela interseção da superfície " � ���� �� com o plano � � �� e �/ uma curva obtida pela interseção da superfície " � ���� �� com o plano � � ��. A curva �, é uma curva plana contida no plano � � ��, paralelo ao plano �", e satisfaz às condições: 0" � ���� ��� � �� Assim, a curva �, representa o gráfico de uma função de uma variável na forma: " � ���� ��� � )��� Se o valor da variável � é mantido constante e igual a ��, então a variação da função ) se dá apenas em relação à variação da variável independente �. Nestas condições há apenas uma reta *, contida no plano � � �� que tangencia a superfície no ponto �# ����� ��� "��� ��� ��� "�� �� "� � ���� � ���� ��� � ���� " � ���� ��� �,� *,� �/� */� &� ��,� &� ��/� � � " Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������ � A taxa de variação instantânea da função " na direção de �, quando � � �� e � � �� e o coeficiente angular (��,� da reta contida no plano � � �� e tangente ao gráfico " � ���� �� no ponto ����� ��� "�� são problemas resolvidos pelo cálculo do mesmo limite: +����� ���+� � ��,���� ��� � ��� ���� �"�� � ����������� � ������ ����� ����� que recebe a terminologia de DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A 1. Analogamente, a curva �/ está contida num plano paralelo ao plano �" no qual todos os pontos têm coordenadas � � �� # Esta curva representa o gráfico de uma função do tipo " � ���� � ����� ��. A variação da função � se dá apenas em relação à variação da variável independente � e há apenas uma reta */ contida no plano � � �� que tangencia a superfície no ponto �# Se � � ��� a taxa de variação instantânea de " em relação a � quando � � �� e o coeficiente angular (��/� da reta contida no plano � � �� e tangente ao gráfico da função " � ���� �� no ponto ����� ��� "�� são problemas resolvidos pelo cálculo do mesmo limite: +����� ���+� � ��/���� ��� � ��� �.�� �"�� � ����.������� �� � ��� ����� ����� que recebe a terminologia de DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A 2. 2. Definição: Derivadas parciais de funções a n variáveis Seja � uma função a n variáveis e (�,� �/�3 � �4) um ponto do ao domínio de �, então a derivada parcial de � em relação j-ésima variável �5 é a função �5��,� �/�3 � �4� definida por: �5��,� �/�3 � �4� � +�+�5 � �����6���7�,� �/�3 � �5 � ���3 � �48 ���,� �/�3 � �4����5 Se o limite existir. Observe que no cálculo das derivadas parciais todas as variáveis independentes, exceto a variável em relação a qual se deseja calcular a derivada parcial, são consideradas constantes. Porém, a função derivada depende dos valores a elas atribuídos. Assim a derivada parcial de uma função a ( variáveis também é uma função a ( variáveis. Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������ � 3. Revisão de Derivadas de Funções a uma Variável ��9� � :;<�9� = 9 � )��� >>� 7:;<�9�8 � <=?�9�# >9>� Derivada da Função Co-Seno Combinada com a Regra da Cadeia ��9� � <=?�9� = 9 � )��� >>� 7<=?�9�8 � :;<�9� # >9>� Derivada da Função Seno Combinada com a Regra da Cadeia ��9� � �;@� 9 = 9 � )���� A B� C & ' 9 A B >>� ��;@� 9� � &9# �? # >9>� D� E � �F9 �� ��9� � �? 9 = 9 � )��� >>� ��? 9� � &9 # >9>� Derivada da Função Logarítmica Combinada com a Regra da Cadeia ��9� � G = 9 � )���� A B ' C & >>� � G� � G# �? # >9>� D� E � �F9 �� ��9� � 'G = 9 � )��� >>� �'G� � 'G# >9>� Derivada da Função Exponencial combinada com a Regra da Cadeia ��9� � 94 = 9 � )���� ( H $ ' ( C B >>� �94� � ( 94I,# >9>� Derivada da Função Potência combinada com a Regra da Cadeia � Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������ � 4. Técnicas para o cálculo das derivadas parciais As derivadas parciais podem ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas válidas para as funções ordinárias (funções a uma variável), exceto que todas as variáveis independentes, que não aquela em relação a qual efetuamos a derivação parcial, são tomadas temporariamente como constantes. 1) Derivada de uma constante é zero ����� �� � J � �� � +�+� � B �. � +�+� � B K� )��� �� "� � 9#L � )� � +)+� � B ). � +)+� � B )M � +)+" � B 2) Derivada do produto de uma constante por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função ����� �� � J � � �� � +�+� � ++� �J �� � J ++� ��� � J N �. � +�+� � ++��J �� � B K����� �� "� � O�/�√" +�+� � ++� 7O �/� √"8 � O � √" ++� ��/� � O� √" �O�� � Q � � √" +�+� � ++� 7O �/� √"8 � O�/√" ++� ��� � O �/√" #& � O�/√" +�+" � ++" 7O �/� √"8 � O�/� ++" �√"� � O�/� R&O # "I,/S � �/�√" 3) Derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das derivadas das funções T' ���,� �/�3 � �4� � )��,� �/�3 � �4� � ���,� �/�3 � �4�# ��6 � +�+�5 � +)+�5 � +�+�5 F�� & U V U ( � " � JG � �?��� "G � +"+9 � ++9 �JG� �?���� � ++9 �JG� � ++9 ��?���� � JG �?�J� � B � JG �?�J� "W � +"+� � ++� �JG � �?���� � ++� �JG� � ++� ��?���� � B � &� � &� Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � K� " � X9% � F�Y���� 9 � 'Z "G � +"+9 � ++9 �X9%�� ++9 � :;<���� � ++9 �9 � 'Z� � X ++9 �9%� � B � � 'Z ++9 �9� �� [9/ � �'Z "Z � +"+ � ++ �X9%�� ++ � :;<���� � ++ �9 �'Z� � :;<��� ++ � � � 9 � ++ �'Z� �� :;<��� � 9 � 'Z "W � +"+� � ++� �X9%� � ++� � :;<����� ++� �9 � 'Z� � B� \ ++� �:;< ���� � 9'Z ++� ��� �� <=?��� � 9 'Z 4) Derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira multiplicada pela segunda mais a derivada da segunda multiplicada pela primeira T' ���,� �/�3 � �4� � )��,� �/� 3 � �4�# ���,� �/�3 � �4�# ��6 � +�+�5 � +)+�5 # � � +�+�5 # ) F�� & U V U ( � ���� �� � � Y'(���:;< ��� +�+� � :;<��� ++� 7� Y'(���8 � :;<��� ] ++� ���#Y'(��� � ++� 7Y'(���8# � ^ � � :;<��� _Y'(��� � � :;<���` � Y'(��� :;<��� � � :;<��� :;< ��� +�+� � � Y'(��� ++� �:;<���� � � Y'(���Y'(��� 5) Derivada da divisão de duas funções é a derivada da função do numerador multiplicada pela função do denominador menos a derivada da função do denominador multiplicada pela função do numerador, dividido pela função do denominador ao quadrado T' ���,� �/�3 � �4� � )��,� �/�3 � �4����,� �/�3 � �4� ��6 � +�+�5 � +)+�5 # � +�+�5 # ) �/ F�� & U V U ( Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � L � �?� � :;< ���'Z �% � L � a :;< ��� �% ba�?� �'Z b LZ � :;<����% c ++ ��?� ��# 'Z ++ �'Z�# �?� ��'Z�/ d � :;<����% c & 'Z 'Z�?� �'/Z d � :;<����% c & �?� �'Z d LW � �?�\�'e c ++� 7:;<���8# �% ++� ��%�# :;<�����%�/ d � �?�\�'e f Y'(��� �% X �/:;<����g h � � �?� �Y'(���'Z�% X �?� � :;<���'Z�i 6) Transcrição direta da regra da cadeia T' L � ��9� ' 9 � )��,� �/�3 � �4� '( j� L � �7)��,� �/�3 � �4�8 L�6 � +L+�5 � � !�9� +9+�5 � >L>9 +9+�5 F�� & U V U ( a) L � <�?�O� � X�� � "'(>� 9 � O� � X� � L � <�?�9� +9+� � O ' +9+� � X >L>9 � :;<�9� � :;<�O� � X�� +L+� � >L>9 +9+� � O :;<�O� � X�� +L+� � >L>9 # +9+� � X :;<�O� � X�� b) ���� �� � kX� � � "'(>� 9 � X� � � ��9� � √9 � 9,l/ +9+� � X +9+� � & >�>9 � &O√9 � &OkX� � �, � +�+� � >�>9 +9+� � XOkX� � �/ � +�+� � >�>9 +9+� � &OkX� � c) ���� �� "� � :;<�Q� � X� � O"� +�+� � _:;<�Q� � X� � O"�`! ++� �Q� � X� � O"� � Q <�?�Q� � X� � O"� +�+� � _:;<�Q� � X� � O"�`! ++� �Q� � X� � O"� � X <�?�Q� � X� � O"� +�+" � _:;<�Q� � X� � O"�`! ++" �Q� � X� � O"� � O <�?�Q� � X� � O"� Cálculo II- ����� �� � �� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� � � Exemplos: 1) Se ���� �� � �% � �/�% O�/ , encontre ���O�&� e �.�O�&� �� � X�/ � O��% ���O�&� � X#O/ � O#O#&% � &O� Q � &m �. � X�/�/ Q� �.�O�&� � X#O/# &/ Q#& � &O Q � n 2) Se � � <�?� � � ��/ , encontre opoZ, opo� ' opo. +�+ � :;<� � N +L+� � q/ N +L+" � O�� 3) Se L � ��/"% , encontre oro�, oro. ' oroM +L+� � �/"%N +L+� � O��"% N +L+" � X��/"/ 4) Se ���� �� � � � Y'(��� / � �/F�Y��� � , encontre �,� �/ ' �% �, � +�+� � ++� �� Y'(��� /� � ++� ��/F�Y���� � � / ++� ��Y'(���� � �/F�Y��� ++� �� � � / ] ++� ���# Y'(��� � ++� �Y'(����#�^ � �/F�Y���#& � � /Y'(��� � /�F�Y��� � �/F�Y��� �/ � +�+� � ++� ��Y'(��� /� � ++� ��/F�Y���� � � B � � ++� ��/F�Y��� � � � � ] ++���/�#:;<��� � ++� �:;<����# �/^ � �_ O � F�Y��� �/Y'(��� ` � � O � � :;<��� � �/ Y'(��� �% � +�+ � ++ �� Y'(��� /� � ++ ��/F�Y��� � � � � Y'(��� ++ � / �� B � � O � Y'(��� Cálculo II- ����� �� � �� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� � � 5) A pressão � �s� �, o volume t � � ��� e a temperatura * �s' ��(� de 1 mol de gás ideal estão relacionados pela equação: �#t � n�X& * a) Determine a taxa de variação da pressão em relação à temperatura quando o volume do gás for de &uB � ��Y e a temperatura de QBB v. ��t�*� � n�X& *t +�+* � n�X&t +�+* �&uB� QBB� � n�Xt � n�X&uB w B�BuuQ s� lxv Quando o volume do gás confinado é de 150 � ��Y e a temperatura é de QBB v� se a temperatura aumentar de & v a pressão aumentará de B�BuuQ s� . b) Determine a taxa de variação da pressão em relação ao volume, quando o volume for de 150 � ��Y e a temperatura de QBB v. ��t�*� � n�X& *t +�+t � n�X& *t/ +�+t �&uB�QBB� � n�X& # QBB&uB/ � B�&Qn s� l � �� Quando o volume do gás confinado é de 150 � ��Y e a temperatura é de QBB v� se o volume do gás aumentar de & � �� , a pressão diminuirá de B�&Qn s� . c) Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão, quando o gás a temperatura de 400 K está sujeito a uma pressão 100 s� t���*� � n�X& *� +t+� � n�X& *�/ +t+� �&BB�QBB� � n�X& # QBB&BB/ � B�XXO � ��Yls� O volume de um gás, a 400 K sujeito a uma pressão de 100 s� , diminui de 0,332 litros para cada 1 s� de aumento de pressão. Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � 6) Encontre as equações das retas tangente às curvas de interseção entre a superfície " � &m Q�/ �/ e os planos � � O e � � & no ponto �&�O�n�. a) Interseção entre a superfície " � &m Q�/ �/ e o plano � � O: A equação da curva formada pela interseção do plano � � O com a superfície é: " � &m Q�/ O/ � " � &O Q�/ A curva de interseção é uma parábola no plano �". A reta tangente a esta parábola no ponto ����� ��� "�� � ��&� O� n�) está, então, contida no plano �� e sua equação é dada na forma: " � "� ��, �� ��� ' � � �� O coeficiente angular ��,) da reta tangente é o valor de oMo� quando � � & e � � O. +"+� ��� �� � n� � +"+� �& � O� � �, � n # & � n " � "� ��, �� ��� � n � � n� �� &� � n n� � n � n� � &m Equação da reta: " � n� � &m ' � � O b) Interseção entre a superfície " � &m Q�/ �/ e o plano � � & A curva formada pela interseção do plano � � & com a superfície é a parábola " � &O �/ no plano �". O coeficiente angular ��/) da reta tangente a esta parábola no ponto (1,2,8) é o valor de oMo. quando � � & e � � O. +"+� ��� �� � O� � +"+� �&�O� � �/ � O#O � Q A reta tangente está contida no plano �" e sua equação é da forma " � "� ���� ��� � n � � Q��� O� � n Q� � n � Q� � &m Equação da reta: " � Q� � &m ' � � & 7) Encontre a equação da reta contida no plano � � O e tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de " � �/ � �/ com o plano � � O no ponto (2,2,8). a) Coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a superfície e o plano � � O �, � +"+� � O� � +"+� �O � n� � O # O � Q b) Equação da reta: " � "� ���� ��� � n � Q�� O� � n � Q� n � Q� " � Q� ' � � O Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � 5. Derivadas de ordem superior Se � é uma função a duas variáveis, as suas derivadas parciais �� ' �. também são funções a duas variáveis. Assim podemos considerar as derivadas ����� � ����.� 7�.8� ' 7�.8. que são chamadas derivadas parciais de segunda ordem da função f. Se " � ���� ��, temos as notações ����� � ��� � �,, � ++� R+�+�S � +/�+�/ � +/"+�/ ����. � ��. � �,/ � ++� R+�+�S � +/�+�+� � +/"+�+� 7�.8� � �.� � �/, � ++� R+�+�S � +/�+�+� � +/�+�+� 7�.8. � �.. � �// � ++� R+�+�S � +/�+�/ � +/"+�/ A notação ��. significa que primeiro diferenciamos em relação a � e depois em relação a�# A notação �.� significa que primeiro diferenciamos em relação a � e depois em relação a �. De forma análoga, podemos definir derivadas parciais de terceira ordem, quarta ordem e assim por diante, por exemplo: ���� � ++� ] ++�R+�+�S^ � +%�+�/+� Igualdade das derivadas parciais mistas de segunda ordem Em termos gerais, se as derivadas de primeira ordem de uma função � existirem e forem contínuas, a ordem na qual sucessivas derivadas parciais são tomadas quando forem derivadas de ordem superior é irrelevante (Teorema de Clairaut). Exemplos +/�+�+� � +/�+�+� +%�+�+�/ � +%�+�/+� � +%�+�+�+� Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � Exemplos: 1) Calcule as derivadas de segunda ordem da função: ���� �� � �% � �/�% O�/ +�+� � X�/ � O��% N +�+� � X�/�/ Q� +/�+�/ � ++� �X�/� O��%� � m� � O�% N +/�+� +� � ++� �X�/� O��%� � m��/ +/�+�/ � ++� �X�/�/ Q� � � m�/� Q N +/�+� +� � ++� �X�/�/ Q�� � m��/ 2) Calcule ���.M onde ���� �� "� � Y'(�X� � �"� �� � F�Y�X� � �"� # ++� �X� � �"� � X F�Y�X� � �"� ��� � ++� �X F�Y�X� � �"�� � X Y'(�X� � �"� # ++� �X� � �"� � [ Y'(�X� � �"� ���. � ++� � [ Y'(�X� � �"�� � [ F�Y�X� � �"�# ++� �X� � �"� � � [ " F�Y�X� � �"� ���.M � ++" � [ " F�Y�X� � �"�� � [ ++" � " F�Y�X� � �"�� � � [ ] ++" �"�F�Y�X� � �"� � " ++" 7F�Y�X� � �"�8 ^ � � [ ] �&� F�Y�X� � �"� � " R Y'(�X� � �"� ++" �X� � �"� S ^ � � [ _ F�Y�X� � �"� � " �y � Y'(�X� � �"� � ` � � [ F�Y�X� � �"� � [�" Y'(�X� � �"� 3) Seja ���� �� "� � :;< �Q� � X� � O"�, calcule: +�+� � +/�+�+� ' +%�+"+�+� �� � Y'(�Q� � X� � O"� # ++� �Q� � X� � O"� � Q Y'(�Q� � X� � O"� ��. � ++� 7 Q Y'(�Q� � X� � O"�8 � Q F�Y�Q� � X� � O"�# ++� �Q� � X� � O"� ��. � &O F�Y�Q� � X� � O"� ��.M � ++" 7 &O F�Y�Q� � X� � O"�8 � &O Y'(�Q� � X� � O"�# ++" �Q� � X� � O"� ��.M � OQ Y'(�Q� � X� � O"� Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � 6. Primeira Regra da Cadeia Suponha que " � ���� �� seja uma função a duas variáveis e que � = � sejam funções a uma outra variável , ou seja, � � )� � = � � �� �. Então, " � z� � pois " � ���� �� � �7)� �� �� �8 � z� �. Assim, a derivada de " em relação à variável é: Generalização da Primeira Regra da Cadeia Se L é uma função a ( variáveis, ou seja, L � ���,� �/�3 � �4� e cada uma dessas ( variáveis é, por sua vez, função de uma variável , então L � z� � e >L> � +L+�, # >�,> � +L+�/ # >�/> � # # # � +L+�4 # >�4> Exemplos: Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas indicadas: &� {= " � k�/ � �/ :;� � � O � & ' � � % � =?:;?\|= >"> >"> � +"+� # >�> � +"+� # >�> +"+� � ++� 7��/ � �/�,l/8 � &O ��/� �/�I,l/ # ++� ��/ � �/� � �k�/ � �/ +"+� � ++�7��/� �/�,l/8 � &O ��/ � �/�I,l/ # ++� ��/ � �/� � �k�/ � �/ >�> � O N >�> � X / >"> � +"+� # >�> � +"+� # >�> � O �k�/ � �/ � X / �k�/ � �/ " � � +"+�� +"+�� >�> � >�> � >"> � +"+� # >�> � +"+� # >�> � Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � O� {= � � �# � :;� � � L% ' � � �? �L�� =?:;?\|= >�>L >�>L � +�+� # >�>L � +�+� # >�>L +�+� � � N +�+� � � N >�>L � X L/ N >�>L � &L >�>L � � �X L/� � � R&LS >�>L � X � L/ � �L >�>L � X �?�L�L/ �L%L � L/�X �?�L�� &� X� {= L � ( a�/�/Q"% b :;� � � 'Z� � � Y'(�\� = } � F�Y �\�� =?:;?\|= >L> >L> � +L+� # >�> � +L+� # >�> � +L+" # >"> +L+� � &�/�/Q"% # ++� a�/�/Q"% b � Q"%�/�/ # O � �/Q "% � O� � O'Z N >�> � 'Z +L+� � &�/�/Q"% # ++� a�/�/Q"% b � Q"%�/�/ # O�/�Q"% � O� � OY'(� � N >�> � F�Y � � +L+" � &�/�/Q"% # ++" a�/�/Q"% b � Q"%�/�/ # �/�/� X�Q"i � X" � XF�Y� � N >"> � Y'(� � >L> � O'Z 'Z � OY'(� � F�Y� � XF�Y� � � Y'(� �� >L> � O� O\~?� � � X \~?� � 4) A pressão � �s� �, o volume t � � ��� e a temperatura * �s' ��(� de 1 mol de gás ideal estão relacionados pela equação:� t � n�X& *. Encontre a taxa de variação da pressão em relação ao tempo, quando a temperatura é de XBB v e está aumentando numa taxa de B�& vlY e o volume é de &BB e está aumentando numa taxa de B�O lY# ��t�*� � n�X& *t N * � XBBv ' >�> � +�+t #>t> � +�+* # >*> �(>' � '�E� '� Y')9(>�Y Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � +�+t � n�X&*t/ ' +�+* � n�X&t A temperatura é * � XBBv e está aumentando na taxa: >*> � B�&vY N O volume é t � &BB e está aumentando na taxa: >t> � B�O lY >�> �t�*� � n�X& *t/ # B�O � n�X&t # B�& Para * � XBBv ' t � &BB >�> �&BB�XBB� � n�X»&BB/ # B�O � n�X&&BB # B�& � B�BQ&uu s� lY A pressão decresce de aproximadamente de B�BQO s� a cada 1 segundo. 5) A voltagem t ��� Y� de um circuito elétrico diminui com o tempo (Y')9(>�Y� numa taxa de B�B& �� YlY devido ao desgaste da bateria enquanto a resistência � ����Y � aumenta numa taxa de B�BX lY devido ao aquecimento do resistor. Use a lei de Ohm t � � para encontrar a taxa de variação da corrente � �E'�'Y� em relação ao tempo, no instante em que � � QBB e � B�Bn # �t� �� � t� >> � ++t #>t> � ++� #>�> >t> � B�B& �� YlYN >�> � B�BX lY ++t � &� N ++� � t�/ >> �t��� � B�B&� B�BXt�/ Quando � B�Bn ' � � QBB t � � � B�Bn# QBB � XO �� Y >> �XO� QBB� � B�B&QBB B�BX �XO�QBB/ � B�BBBBX& lY A corrente decai de 0,000031 �E'�'Y a cada segundo. Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � 7. Segunda Regra da Cadeia Suponha que " � ���� �� com � � )�Y� � e � � ��Y� �. Então, " � z�Y� � pois " � ���� �� � �7)�Y� �� ��Y� �8 � z�Y� �. Assim, " possui derivadas parciais em relação a Y e em relação a dadas por: Generalização da Segunda Regra da Cadeia Se L é uma função a ( variáveis, ou seja, L � ���,� �/�3 � �4� e cada uma dessas ( variáveis é, por sua vez, função a � outras variáveis, ou seja, �5 � )5� ,� / �3 � �. Então L � z� ,� /� 3 � � e +L+ � +L+�, # +�,+ � +L+�/ # +�/+ � # # # � +L+�4 # +�4+ �(>' � � &�O�3 � � Exemplos: Utilize a regra da cadeira para determinar as derivadas indicadas: &� {= " � �� N � � Y 'Z ' � � &� Y 'IZ =?:;?\|= +" +Y⁄ = +" +Y⁄ +"+Y � +"+� # +�+Y � +"+� # +�+Y +"+� � &� N +"+� � ��/ N +�+Y � 'Z N +�+Y � 'IZ +"+Y � &� # 'Z � R ��/S # 'IZ � 'Z� � 'IZ�/ +"+ � +"+� # +�+ � +"+� # +�+ +"+� � &� N +"+� � ��/ N +�+ � Y 'Z N +�+Y � Y 'IZ +"+ � &� # �Y 'Z� � R ��/S # � Y 'IZ� � Y 'Z� � � Y 'IZ�/ +"+Y � +"+� # +�+Y � +"+� # +�+Y � +"+ � +"+� # +�+ � +"+� # +�+ � � " � � +"+�� +"+�� +�+Y� +�+ � +�+Y� +�+ �Y Y Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � O� {= 9 � �i�� �/"% N � � � Y 'Z N � � � Y/ 'IZ ' " � �/ Y Y'(� ��=?:;?\|= +9 +Y⁄ +9+Y � +9+� # +�+Y � +9+� # +�+Y �+9+" # +"+Y +9+� � Q �% � N +9+� � �i � O � "% N +9+" � X �/ "/ +�+Y � � 'Z N +�+Y � O � Y 'IZ N +"+Y � �/ Y'(� � +9+Y � �Q �% � ��� 'Z� � ��i � O � "%��O � Y 'IZ� � �X �/ "/���/ Y'(� �� X� {=~� � � �?�9/ � �/ �L/� N 9 � � � O� N � � O� � ' L � O��# ?:;?\|= +� +�⁄ = +� +�⁄ ~?; � � � � & +�+9 � O99/ � �/ �L/ N +�+� � O�9/ � �/ �L/ N +�+L � OL9/ � �/� L/ +9+� � & N +�+� � O N +L+� � O� +9+� � O N +�+� � &N +L+� � O� +�+� � +�+9 # +9+� � +�+� # +�+� � +�+L # +L+� +�+� � O99/ � �/ �L/ # & � O�9/ � �/� L/ # O � OL9/ � �/�L/ # O� � +�+� � O9 � Q� � Q�L9/ � �/ �L/ +�+� � +�+9 # +9+� � +�+� # +�+� � +�+L # +L+� +�+� � O99/ � �/ �L/ # O � O�9/ � �/� L/ # � &� � OL9/ � �/� L/ # O� +�+� � Q 9 O � � Q � L9/ � �/ �L/ ~?; � � � � & 9 � & � O#& � XN � � O#& & � &NL � O#&#& � O� '( j� +�+��., � O#X� Q#& � Q#&#OX/ � &/ � O/ � &n&Q � [ +�+��., � Q#X O#& � Q#&#OX/ � &/ � O/ � &n&Q � [ Cálculo II- ����� �� � �� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� � � 8. Diferencial Sejam � � ���� uma função derivável a uma variável, �� uma variação na variável independente � e �� a variação da função, devido à variação ��. Onde �� � � �� e �� � ���� � ��� �����. O diferencial de �, denotado por >�, é o valor da variação �� da variável independente. >� � �� O diferencial de �, denotado por >�, representa a variação da ordenada da reta tangente ao gráfico da função no ponto �7��� �����8� devido à variação >� � ��. >� � � !���� >� A variação >� pode ser vista como uma aproximação linear para ��. O valor >� estará mais próximo do valor real da variação da função �� quanto menor for a variação da variável independente >�. Podemos dizer que se >� for bem pequeno, tem-se >� ��. Assim, a aproximação linear da função � em � � �� é dada por: ���� � ��� ����� � � !���� �� �� � � �� ��� � � �� � ��� ������ ���� � ���� �� � >�� ��� �� �� ����� ���� � � ����� �' ()'( '� >�� Cálculo II- ����� �� � �� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� � � Sejam " � ���� "� uma função a duas variáveis, �� e �� as variações nas direções � e �, respectivamente, e �" a variação da função devido aos incrementos �� e ��# Onde �� � � ��, �� � � �� e �" � " "� � ���� � ��� �� � ��� ��������. O diferencial de �, denotado por >�� é o valor da variação ��. O diferencial de �, denotado por >�� é o valor da variação �� >� � �� � � �� ' >� � �� � � �� O diferencial de ", denotado por >", também chamado de diferencial total, representa a variação da cota do plano tangente ao gráfico da função no ponto ����� ��� "�� quando � e y sofrem variações de >� � �� e de >� � ��, respectivamente: >" � � K � � ����� �� >� N K � �.��� �� >� >" � ����� �� >� � �.��� �� >� �9 >� � ����� �� >� � �.��� �� >� A equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto �������� "�� é: " "� � ������ ��� �� ��� � �.���� ��� �� ��� A variação >" pode ser vista como uma aproximação linear para �". Quanto menores forem os incrementos �� e ��, mais próximo do valor real da variação da função �" será a aproximação dada por >". Podemos dizer que se �� � >� e �� � >� forem bem pequenos, tem-se >" �". Assim, a aproximação linear da função em ���� ��� é dada por: ���� � ��� �� � ��� ����� ��� � ����������� � �.���� ��� �� �� � � ��N �� � � �� >"� �"� �� � >�� �� � >� � " � ���� ��� E (� ()'( '� �� �� "� K� � ���� ��� ��� �������� ����� � ����� ���� � �� � "���� ��� ��� "�� Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � Exemplos: 1) Encontre o diferencial total das funções: a) " � �% �? ��/� >" � +"+� >� � +"+� >� +"+� � X �/ �?��/� N +"+� � O � �%�/ � O�%� >" � X �/ �?��/� >� � O �%� >� b) 9 � �l�Y � O � >9 � +9+� >� � +9+Y >Y � +9+ > +9+� � &Y � O N +9+Y � ��Y � O �/ N +9+ � O ��Y � O �/ >9 � &Y � O >� ��Y � O �/ >Y O ��Y � O �/ > 2) Seja " � ���� �� � �/ � X�� �/ a) Encontre o diferencial total >" >" � +"+� >� � +"+� >� +"+� � O � � X� N +"+� � X� O� >" � �O � � X� � >� � �X� O��>� >� � �� >�, � �� >�/ �� �� >�4 Generalizando Seja � uma função real a ( variáveis reais ��,� �/� 3 �4� o diferencial total >� é dado por: Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � b) Compare os valores de �" e >" quando a variável � mudar de 2 para 2,05 e a variável � mudar de 3 para 2,96 >� � �� � O�Bu O � B�BuN >� � �� � O�[m X � B�BQ +"+� �O�X� � O � � X� � O#O � X#X � &X N +"+� �O�X� � X� O� � X#O O#X � B >" � &X# �B�Bu� � B# � B�BQ� � B�mu �" � ��O�Bu � O�[m� ��O � X� �" � �O�Bu�/ � X# �O�Bu�# �O�[m� �O�[m�/ _O/ � X#O#X X/` � B�mQQ[ 3) Seja ���� �� � �?�� X�� a) Encontre uma aproximação linear para a função � em � � O� ���� �� ���O�� ����O� �� � � �.��O��� O� ���O� � �?� X#O� � �?�&� � B �� � &� X� � ����O� � & X#O � & �. � X� X� � �.��O� � X X#O � X ���� �� B � &# �� � � � X��� O� � � X� � m � � X� & b) Utilize esta aproximação encontrada para estimar o valor da função � em �m�[ � O�Bm� ��m�[ � O�Bm� � X� & � m�[ X# �O�Bm� & � B#On Valor exato -0.3285 4) As dimensões de uma caixa retangular são u F��mB F� ' QB F� onde o erro na medição de cada uma das dimensões é de no máximo B�O F�# Use o diferencial total para estimar o maior erro possível quando o volume da caixa é calculado a partir destas medidas. Erro nas medidas:|��| � |��| � |�"| U B�O � >� � >� � >" � B�O t � � � " � >t � +t+� >� � +t+� >� � +t+" >" >t � � " >� � � " >� � � � >" >t�u�mB�QB� � mB# QB# B�O � u# QB#B�O � u#mB#B#O � &[nB F�% Como o volume da caixa t � u#mB#QB � &nBBBB F�% o erro representa &�& do volume. Cálculo II- ����� �� � �� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� � 5) A pressão, volume e temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação �t � n�X& *, onde � é medido em s� , t em litros e * em kelvins. Use o diferencial para encontrar uma aproximação da variação da pressão se o volume aumentar de 12 para 12,3 e a temperatura diminuir de 310 v para 305 v � �t� *� � n�X&*t >� � +�+t >t � +�+* >* >t � &O�X &O � B�X N >* � XBu X&B � u v +�+t � n�X& *t/ � +�+t �&O � X&B� � n�X&X&B&O/ &�nn[m s� l +�+* � n�X&t � +�+* �&O�X&B� � n�X&&O � B�m[Ou s� lv �� >� � +�+t >t � +�+* >* �� >� � � &�nn[m�#�B�X�� � B�m[Ou�#� u� n�nX s� A pressão decairá de 8,83 s� 6) Encontre a equação do plano tangente à superfície dada pela equação " � � �?��� no ponto �&�Q�B� >" � +"+� >� � +"+� >� >� � � ��� >� � � �� ' >" � " "� " "� � +"+� ���� ��� �� ��� � +"+� ���� ��� �� ��� �� � & � �� � Q ' "� � �� �?���� � B " � � �?��� +"+� � �� � +"+� �&�Q� � Q +"+� � �?��� � +"+��&�Q� � �?�&� � B " B � Q �� &� � B# �� ��� " � Q� Q
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