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capitulo 4 - Derivadas

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Cálculo II-	�����	��	
	�
��
������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
Capítulo 4 – Derivadas Parciais 
 
1. Conceitos 
 
Sabe-se que dois problemas estão relacionados com derivadas: 
 
Problema I: Taxas de variação da função. 
Problema II: Coeficiente angular de reta tangente. 
 
Seja � � ���� uma função a uma variável. A taxa de variação instantânea de � 
em relação a � quando � � �� e o coeficiente angular (���	da reta tangente ao 
gráfico � � ����	no ponto ����� ���, onde �� � ������		são problemas resolvidos 
pelo cálculo do mesmo limite: 
 
 
������� 	���� �	 ����������� �	��� 	������� � � !���� � ������ 
 
 
Este limite recebe a terminologia especial de DERIVADA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam " � ���� ��	uma função à duas variáveis independentes, � e �� e �������� "�� um ponto sobre o gráfico de ��		onde ���� ��� é um ponto do domínio 
da função e "� � ��������. Desejamos resolver os dois problemas relacionados 
com derivadas: taxa de variação da função quando � � �� e � � �� e 
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto �# 
 
Sendo � uma função à duas variáveis surgem as questões: 
• Deseja-se calcular taxa de variação da função em relação a qual 
direção de variação do ponto do domínio ���� ���? 
 
• Há infinitas retas em $% que tangenciam a superfície no ponto �. Qual a 
direção da reta que se deseja calcular o coeficiente angular? 
 
 
��� � � �� � ���
���������� � ����
���
���
��
��
&� �� �
����� ����
� � �����
�'	
		
()'(	'	*�
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
Inicialmente, vamos estudar as taxas de variação da função apenas em 
relação às variáveis independentes � e �. Estas taxas recebem a terminologia 
de DERIVADAS PARCIAIS. 
 
Notações: +�+� � 	+"+� � ��	� �,� -�����-,��� 
 +�+� � +"+� � �.	� �/� -.����-/��� 
 
 
O gráfico de uma função de duas variáveis " � ���� �� é, em geral uma 
superfície em $%. Considere: ����� ��� "�� um ponto sobre o gráfico da função; �, uma curva obtida pela interseção da superfície " � ���� �� com o plano � � �� 
e �/ uma curva obtida pela interseção da superfície " � ���� �� com o plano � � ��. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curva �, é uma curva plana contida no plano � � ��, paralelo ao plano �", e 
satisfaz às condições: 0" � ���� ��� � �� 
Assim, a curva �, representa o gráfico de uma função de uma variável na 
forma: " � ���� ��� � )��� 
 
Se o valor da variável � é mantido constante e igual a ��, então a variação da 
função	) se dá apenas em relação à variação da variável independente �. 
Nestas condições há apenas uma reta *,	contida no plano � � �� que tangencia 
a superfície no ponto �# 
 
����� ��� "���
���
���
"�� ��
"� � ����	� ����
���	� ����
" � ���� ��� �,�
*,�
�/�
*/� &� ��,�
&� ��/�
�	
�	
"	
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
A taxa de variação instantânea da função " na direção de �, quando � � ��	 e 	� � �� e o coeficiente angular (��,�	da reta contida no plano � � �� e tangente 
ao gráfico " � ���� ��	no ponto ����� ��� "�� são problemas resolvidos pelo cálculo 
do mesmo limite: 
 +����� ���+� � ��,���� ��� � ���	���� �"�� � ����������� � ������ ����� ����� 
 
que recebe a terminologia de DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A 1. 
 
Analogamente, a curva �/ está contida num plano paralelo ao plano �" no qual 
todos os pontos têm coordenadas 	� � ��	#	Esta curva representa o gráfico de 
uma função do tipo " � ���� � ����� ��. A variação da função	� se dá apenas 
em relação à variação da variável independente	� e há apenas uma reta */	contida no plano � � �� que tangencia a superfície no ponto �# 
 
Se � � ���	 a taxa de variação instantânea de " em relação a � quando � � �� e 
o coeficiente angular (��/�	da reta contida no plano � � �� e tangente ao 
gráfico da função " � ���� ��	no ponto ����� ��� "�� são problemas resolvidos pelo 
cálculo do mesmo limite: 
 +����� ���+� � ��/���� ��� � ���	�.�� �"�� � ����.������� �� � ��� ����� ����� 
 
que recebe a terminologia de DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A 2. 
 
 
 
2. Definição: 
 
 
Derivadas parciais de funções a n variáveis 
 
Seja � uma função a n variáveis e (�,� �/�3 � �4) um ponto do ao domínio de �, então a derivada parcial de �	em relação j-ésima variável �5 	é a função �5��,� �/�3 � �4�	 definida por: 
 
�5��,� �/�3 � �4� � +�+�5 � �����6���7�,� �/�3 � �5 � ���3 � �48 ���,� �/�3 � �4����5 
 
 Se o limite existir. 
 
 
 
Observe que no cálculo das derivadas parciais todas as variáveis 
independentes, exceto a variável em relação a qual se deseja calcular a 
derivada parcial, são consideradas constantes. Porém, a função derivada 
depende dos valores a elas atribuídos. Assim a derivada parcial de uma 
função a ( variáveis também é uma função a ( variáveis. 
 
 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
3. Revisão de Derivadas de Funções a uma Variável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
��9� � :;<�9�			=				9 � )��� >>� 7:;<�9�8 � <=?�9�# >9>�		 
Derivada da Função Co-Seno Combinada com a Regra da 
Cadeia 
	��9� � <=?�9�		=				9 � )��� >>� 7<=?�9�8 � :;<�9� # >9>� 
Derivada da Função Seno Combinada com a Regra da Cadeia 
��9� � �;@� 9 				=				9 � )���� 
 A B� 
 C &	'	9 A B	 >>� ��;@� 9� � &9# �? 
 # >9>�	 D�	E
�	�F9
��										��9� � �? 9 						=				9 � )��� >>� ��? 9� � &9 # >9>� 
Derivada da Função Logarítmica Combinada com a Regra da Cadeia 
				��9� � 
G			=				9 � )���� 
 A B	'	
 C &				 >>� �
G� � 
G# �?
 	 # >9>� D�	E
�	�F9
��										��9� � 'G			=				9 � )��� >>� �'G� � 'G# >9>�	 
Derivada da Função Exponencial combinada com a Regra da Cadeia 
��9� � 94			=				9 � )���� (	H	$	'	( C B			 >>� �94� � (	94I,# >9>� 
Derivada da Função Potência combinada com a Regra da Cadeia 
�
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
4. Técnicas para o cálculo das derivadas parciais 
 
As derivadas parciais podem ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas 
válidas para as funções ordinárias (funções a uma variável), exceto que 
todas as variáveis independentes, que não aquela em relação a qual 
efetuamos a derivação parcial, são tomadas temporariamente como 
constantes. 
 
1) Derivada de uma constante é zero 
����� �� � J				 � 	�� � +�+� � B						�. �	+�+� � B	 K�	)��� �� "� � 9#L				 � 	)� � +)+� � B						). � +)+� � B						)M � +)+" � B		 
 
2) Derivada do produto de uma constante por uma função é a constante 
multiplicada pela derivada da função 
����� �� � J	�				 � 	�� � +�+� � ++� �J	�� � J	 ++� ��� � J			N 					�. � 	+�+� � ++��J	�� � B	 K����� �� "� � O�/�√"		 
						+�+� � ++� 7O	�/�	√"8 � O	�	√"	 ++� ��/� � O�	√"	�O�� � Q	�	�	√"				 
			+�+� � ++� 7O	�/�	√"8 � O�/√"	 ++� ��� � O	�/√"	#& � O�/√" 
			+�+" � ++" 7O	�/�	√"8 � O�/�	 ++" �√"� � O�/�	R&O	# "I,/S � �/�√" 
3) Derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das 
derivadas das funções 
 T'	���,� �/�3 � �4� � 	)��,� �/�3 � �4� � ���,� �/�3 � �4�# 
��6 � +�+�5 � +)+�5 � +�+�5 												F��	& U V U ( 
 
�	" � 	JG � �?���			 
	"G � +"+9 � ++9 �JG� �?���� � 	 ++9 �JG� � ++9 ��?���� � JG �?�J� � B � JG �?�J�	 
"W � +"+� � ++� �JG � �?���� � 	 ++� �JG� � ++� ��?���� � B � &� � &� 
 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
K�	" � 	X9% � 		F�Y���� 9	�	'Z	 
	"G � +"+9 � 	 ++9 �X9%�� ++9 �	 :;<���� � ++9	�9	�	'Z� � X	 	++9 �9%� � B � �	'Z 	++9 �9� �� [9/ � �'Z	 
"Z � +"+	 � ++	 �X9%�� ++	 �	 :;<���� � ++	 �9	�'Z� � :;<��� ++	 �	� � 9	� 	++	 �'Z� �� :;<��� � 9	�	'Z 
"W � +"+� � 	 ++� �X9%� � ++� �	 :;<����� ++�	�9	�	'Z� � B� \	 ++� �:;<	���� � 9'Z 	++� ��� �� 	 <=?��� � 9	'Z 
 
4) Derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira multiplicada 
pela segunda mais a derivada da segunda multiplicada pela primeira 
 T'	���,� �/�3 � �4� � 	)��,� �/� 3 � �4�# ���,� �/�3 � �4�# 
��6 � +�+�5 � +)+�5 # � � +�+�5 # )												F��	& U V U ( 
 
�	���� �� � 	�	Y'(���:;<	���			 
	+�+� � :;<��� ++� 7�	Y'(���8 � :;<��� ] ++� ���#Y'(��� � ++� 7Y'(���8# �	^ � � :;<��� _Y'(��� � � :;<���` � Y'(��� :;<��� � � :;<��� :;<	��� +�+� � �	Y'(��� ++� �:;<���� � 	 �	Y'(���Y'(��� 
 
5) Derivada da divisão de duas funções é a derivada da função do numerador 
multiplicada pela função do denominador menos a derivada da função do 
denominador multiplicada pela função do numerador, dividido pela função 
do denominador ao quadrado 
 
T'	���,� �/�3 � �4� � )��,� �/�3 � �4����,� �/�3 � �4� 
��6 � +�+�5 �
+)+�5 # � +�+�5 # )	�/ 											F��	& U V U ( 
 
 
 
 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
�	L � �?�	� :;<	���'Z	�% 					 � 				L � a	:;< 	���	�% ba�?�	�'Z b	 
LZ � 	:;<����% c
++	 ��?�	��# 'Z ++	 �'Z�# �?�	��'Z�/		 d � 	:;<����% c
&	 'Z 'Z�?�	�'/Z d � 	:;<����% c
&	 	�?�	�'Z d 
LW � �?�\�'e c
++� 7:;<���8# �% ++� ��%�# :;<�����%�/		 d � �?�\�'e f Y'(���	�% X	�/:;<����g h � 
� �?�	�Y'(���'Z�% X �?�	� :;<���'Z�i 
 
6) Transcrição direta da regra da cadeia 
 T'	L � ��9�	'		9 � )��,� �/�3 � �4�	'(	j�		L � �7)��,� �/�3 � �4�8 
L�6 � +L+�5 � � !�9� +9+�5 	 � >L>9 	 +9+�5 											F��	& U V U ( 
 
a) L � <�?�O� � X�� �
"'(>�											9 � O� � X�															 � 														L � <�?�9�		 
																										+9+� � O			'			 +9+� � X																			 >L>9 � :;<�9� � :;<�O� � X�� +L+� � >L>9 	+9+� � O	:;<�O� � X�� +L+� � >L>9 	# +9+� � X	:;<�O� � X�� 
 
b) ���� �� � kX� � 
�
"'(>�			9 � X� �											 � 															��9� � √9 � 9,l/ +9+� � X			 +9+� � &																							 >�>9 � &O√9 � &OkX� � 
�, � +�+� � >�>9 	+9+� � XOkX� � 
�/ � +�+� � >�>9 	+9+� � &OkX� � 
 
c) ���� �� "� � :;<�Q� � X� � O"� 	 +�+� � _:;<�Q� � X� � O"�`! 	 ++� �Q� � X� � O"� � Q	<�?�Q� � X� � O"� +�+� � _:;<�Q� � X� � O"�`! 	 ++� �Q� � X� � O"� � X	<�?�Q� � X� � O"� +�+" � _:;<�Q� � X� � O"�`! ++" �Q� � X� � O"� � O	<�?�Q� � X� � O"� 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�����������������������������������������������������������������������������������������������������	�
�
Exemplos: 
 
1) Se ���� �� � �% � �/�% O�/	, encontre ���O�&� e �.�O�&� 
 �� � X�/ � O��% ���O�&� � X#O/ � O#O#&% � &O� Q � &m 
 �. � X�/�/ Q� �.�O�&� � X#O/# &/ Q#& � &O Q � n 
 
2) Se � � <�?�	� � ��/	, encontre opoZ, opo� 	'	 opo. 
 +�+	 � :;<�	� N 				+L+� � q/	N				+L+" � O�� 
 
3) Se L � ��/"%	, encontre oro�, oro. 	'	 oroM 
 +L+� � �/"%N				+L+� � O��"%	N 				+L+" � X��/"/ 
 
4) Se ���� �� 	� � �	Y'(���		/ � �/F�Y���	�	, encontre �,� �/	'	�% 
 �, � +�+� � ++� ��	Y'(���		/� � ++� ��/F�Y����	� � 	/ ++� ��Y'(���� � �/F�Y��� ++� ��	� 
� 	/ ] ++� ���# Y'(��� � ++� �Y'(����#�^ � �/F�Y���#& � � 	/Y'(��� � 	/�F�Y��� � �/F�Y��� 
 
�/ � +�+� � ++� ��Y'(���	/� � ++� ��/F�Y����	� � B � � ++� ��/F�Y���	� � 
� � ] ++���/�#:;<��� � ++� �:;<����# �/^ � �_	O	�	F�Y��� �/Y'(���	` � � O	�	� 	:;<��� �	�/	Y'(��� 
�% � +�+	 � ++	 ��	Y'(���		/� � ++	 ��/F�Y���	�	� � �	Y'(��� ++	 �	/	�� B � � O	�			Y'(��� 
 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�����������������������������������������������������������������������������������������������������
�
�
5) A pressão �	�s�
�, o volume t	�
�	��� e a temperatura * �s'
��(� de 1 mol de 
gás ideal estão relacionados pela equação: �#t � n�X&	* 
a) Determine a taxa de variação da pressão em relação à temperatura 
quando o volume do gás for de &uB 
�	��Y e a temperatura de QBB	v. 
 
��t�*� � n�X&		*t 		 
	+�+* � n�X&t 			 +�+* �&uB� QBB� � n�Xt � n�X&uB w B�BuuQ			s�
lxv 
 
Quando o volume do gás confinado é de 150 
�	��Y e a temperatura é de QBB	v� se a temperatura aumentar de &	v a pressão aumentará de B�BuuQ	s�
. 
 
b) Determine a taxa de variação da pressão em relação ao volume, quando o 
volume for de 150 
�	��Y e a temperatura de QBB	v. 
��t�*� � n�X&		*t 			 
		+�+t � 	n�X&	*t/ 	 +�+t �&uB�QBB� � 	 n�X&	#		QBB&uB/ � 	B�&Qn	s�
l
�	�� 
Quando o volume do gás confinado é de 150 
�	��Y e a temperatura é de QBB	v� se o volume do gás aumentar de &	
�	��	, a pressão diminuirá de B�&Qn	s�
. 
 
 
c) Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão, quando o 
gás a temperatura de 400 K está sujeito a uma pressão 100 s�
 
t���*� � n�X&	*� 				 
	+t+� � 	 n�X&	*�/ +t+� �&BB�QBB� � n�X&	# QBB&BB/ � B�XXO	
�	��Yls�
	 
 
O volume de um gás, a 400 K sujeito a uma pressão de 100 s�
, diminui de 
0,332 litros para cada 1 s�
 de aumento de pressão. 
 
 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
6) Encontre as equações das retas tangente às curvas de interseção entre a 
superfície " � &m Q�/ �/ e os planos � � O e � � &	no ponto �&�O�n�. 
 
a) Interseção entre a superfície " � &m Q�/ �/ e o plano � � O: 
A equação da curva formada pela interseção do plano � � O com a 
superfície é: 
 " � &m Q�/ O/ 			� 							" � &O Q�/ 
A curva de interseção é uma parábola no plano �". A reta tangente a esta 
parábola no ponto ����� ��� "�� � ��&� O� n�) está, então, contida no plano �� e 
sua equação é dada na forma: 
 " � "� ��,	�� ���					'							� � �� 
 
O coeficiente angular ��,) da reta tangente é o valor de oMo� quando � � & e � � O. 
 +"+� ��� �� � n�							 � 							 +"+� �&	� O� � 	�, � 	 n	#		& � n 
 " � "� ��,	�� ��� � n � � n�	�� &� � n n� � n � n� � &m 
 
Equação da reta: " � n� � &m		'	� � O 
 
b) Interseção entre a superfície " � &m Q�/ �/ e o plano � � & 
A curva formada pela interseção do plano � � & com a superfície é a 
parábola " � &O �/ no plano �". O coeficiente angular ��/) da reta 
tangente a esta parábola no ponto (1,2,8) é o valor de oMo. quando � � &	e 	� � O. 
 +"+� ��� �� � O�					 � 			 +"+� �&�O� � �/ �	 O#O � Q	 
 
A reta tangente está contida no plano �" e sua equação é da forma " � "� ���� ��� � n � � Q��� O� � n Q� � n � Q� � &m 
Equação da reta: " � Q� � &m			'		� � & 
 
7) Encontre a equação da reta contida no plano � � O e tangente à curva 
obtida pela interseção do gráfico de " � �/ � �/ com o plano � � O	 no ponto 
(2,2,8). 
 
a) Coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a 
superfície e o plano � � O �, �	 +"+� � 	O�		 � 			 +"+� �O	� n� � O	# O � Q	 
 
b) Equação da reta:	 " � "� ���� ��� � n � Q�� O� � n � Q� n � Q� 
 " � Q�					'	� � O 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
5. Derivadas de ordem superior 
 
Se � é uma função a duas variáveis, as suas derivadas parciais ��	'	�. também 
são funções a duas variáveis. Assim podemos considerar as derivadas �����	� ����.� 7�.8�	'	7�.8. que são chamadas derivadas parciais de segunda 
ordem da função f. 
 
Se " � ���� ��, temos as notações 
 
����� � ��� � �,, � ++� R+�+�S �	 +/�+�/ �	 +/"+�/ 
����. � ��. � �,/ � ++� R+�+�S �	 +/�+�+� �	 +/"+�+� 
7�.8� � �.� � �/, � ++� R+�+�S �	 +/�+�+� � 	 +/�+�+� 
7�.8. � �.. � �// � ++� R+�+�S � 	+/�+�/ �	 +/"+�/ 
 
 
A notação ��. significa que primeiro diferenciamos em relação a	�	e depois em 
relação a�# A notação �.� significa que primeiro diferenciamos em relação a � 
e depois em relação a �. 
 
De forma análoga, podemos definir derivadas parciais de terceira ordem, 
quarta ordem e assim por diante, por exemplo: 
���� � ++� ] ++�R+�+�S^ � +%�+�/+� 
 
Igualdade das derivadas parciais mistas de segunda ordem 
 
Em termos gerais, se as derivadas de primeira ordem de uma função � 
existirem e forem contínuas, a ordem na qual sucessivas derivadas parciais 
são tomadas quando forem derivadas de ordem superior é irrelevante 
(Teorema de Clairaut). Exemplos 
 +/�+�+� � +/�+�+� +%�+�+�/ � +%�+�/+� � +%�+�+�+� 
 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
Exemplos: 
 
1) Calcule as derivadas de segunda ordem da função: ���� �� � �% � �/�% O�/ +�+� � X�/ � O��%								N 						+�+� � X�/�/ 		Q�			 +/�+�/ � ++� �X�/� O��%� � m� � O�%								N 					 +/�+�	+� � ++� �X�/� O��%� � m��/ +/�+�/ � ++� �X�/�/ 		Q�		� � m�/� Q						N 					 +/�+�	+� � ++� �X�/�/ 		Q�� � m��/ 
 
2) Calcule ���.M	 onde 	���� �� "� � Y'(�X� � �"� 
 �� � F�Y�X� � �"� #		 ++� �X� � �"� � X	F�Y�X� � �"� 
��� � ++� �X	F�Y�X� � �"�� � X	Y'(�X� � �"� #		 ++� �X� � �"� � [	Y'(�X� � �"� 
���. � ++� � [	Y'(�X� � �"�� � [	F�Y�X� � �"�#		 ++� �X� � �"� � � [	"	F�Y�X� � �"� 
���.M �	 ++" � [	"	F�Y�X� � �"�� � [	 ++" �	"	F�Y�X� � �"�� � 
� [	 ]	 ++" �"�F�Y�X� � �"� � "	 ++" 7F�Y�X� � �"�8	^ � 
� [	 ]	�&�	F�Y�X� � �"� � "	 R Y'(�X� � �"� 	 ++" �X� � �"�	S	^ � � [	_		F�Y�X� � �"� � "	�y �	Y'(�X� � �"�	�	` � � [	F�Y�X� � �"� � [�"	Y'(�X� � �"� 
 
3) Seja ���� �� "� � :;<	�Q� � X� � O"�, calcule: 
		+�+� 	� +/�+�+� 	'	 +%�+"+�+�			 
�� � Y'(�Q� � X� � O"� #		 ++� �Q� � X� � O"� � Q	Y'(�Q� � X� � O"�								 
��. � 	 ++� 7 Q	Y'(�Q� � X� � O"�8 � Q	F�Y�Q� � X� � O"�# ++� �Q� � X� � O"� ��. �	 &O	F�Y�Q� � X� � O"� 
��.M � ++" 7 &O	F�Y�Q� � X� � O"�8 � &O	Y'(�Q� � X� � O"�# ++" �Q� � X� � O"� ��.M � OQ	Y'(�Q� � X� � O"� 
 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
6. Primeira Regra da Cadeia 
 
Suponha que " � ���� �� seja uma função a duas variáveis e que �	=	� sejam 
funções a uma outra variável 	, ou seja, 	� � )�	�			=				� � ��	�. Então, " � z�	� 
pois " � ���� �� � �7)�	�� ��	�8 � z�	�. Assim, a derivada de "	em relação à 
variável 	 é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Generalização da Primeira Regra da Cadeia 
 
Se L	é uma função a ( variáveis, ou seja, L � ���,� �/�3 � �4� e cada uma 
dessas (	variáveis é, por sua vez, função de uma variável 	, então L � z�	� e 
 			>L>	 �	 +L+�, 	#		>�,>	 	� 	 +L+�/ 	#		>�/>	 	� 		#		#		#		�	 +L+�4 	#		>�4>	 		 
 
 
 
Exemplos: 
 
Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas indicadas: &�	{=		" � 	k�/ � �/			:;�				� � O	 � &			'			� � 	%	�			=?:;?\|=					 >">	 
 >">	 �		 +"+� 	#		>�>	 	� 	+"+�	#		>�>	 
 +"+� �	 ++� 7��/ � �/�,l/8 � &O	��/� �/�I,l/	# ++� ��/ � �/� � �k�/ � �/ +"+� �	 ++�7��/� �/�,l/8 � &O	��/ � �/�I,l/	# ++� ��/ � �/� � �k�/ � �/ >�>	 � O		N 										>�>	 � X		/ 
 >">	 �		 +"+� 	#		>�>	 	� 	+"+�	#		>�>	 �	 O	�k�/ � �/ �	 X		
/	�k�/ � �/ 
 
"	
		
�	 �	
+"+�� +"+��
>�>	 � >�>	 �
		
			>">	 � 	 +"+�	#		>�>	 	�	 +"+�	#		>�>	 
�
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
O�	{=		� � 	�# �			:;�				� � L%		'			� � �?	�L��			=?:;?\|=					 >�>L >�>L �		 +�+�	#		 >�>L 	� 	+�+�	#		 >�>L 
+�+� � �	N 										+�+� � 	�	N 								 >�>L � X	L/	N							 >�>L � &L 
>�>L � �	�X	L/� � 	�	 R&LS			 
	>�>L � X	�	L/ � �L	 
		>�>L � X �?�L�L/ �L%L � L/�X �?�L�� &� 
X�	{=		L � 
( a�/�/Q"% b 			:;�				� � 'Z� 	� � Y'(�\�	=	} � F�Y	�\��			=?:;?\|=			 >L>	 >L>	 �		 +L+� 	#		>�>	 	� 	+L+� 	#		>�>	 �	+L+" 	#		>">	 
+L+� � &�/�/Q"% 	 #
++�	a�/�/Q"% b � Q"%�/�/ # O	�	�/Q	"% � O� � O'Z 				 N 																							>�>	 � 'Z 
+L+� � &�/�/Q"% 	 #
++�	a�/�/Q"% b � Q"%�/�/ # O�/�Q"% � O� � OY'(�	�				 N 																>�>	 � F�Y	�	� 
+L+" � &�/�/Q"% 	 #
++"	a�/�/Q"% b � Q"%�/�/ #		�/�/� X�Q"i � X" � XF�Y�	�				 N 				>">	 � Y'(�	� 
>L>	 � O'Z 				'Z � OY'(�	� F�Y�	� XF�Y�	� � Y'(�	�� 
>L>	 � O� O\~?�	� � X	\~?�	� 
 
4) A pressão �	�s�
�, o volume t	�
�	��� e a temperatura * �s'
��(� de 1 mol de 
gás ideal estão relacionados pela equação:�		t � n�X&	*. Encontre a taxa de 
variação da pressão em relação ao tempo, quando a temperatura é de XBB	v e está aumentando numa taxa de B�&	vlY e o volume é de &BB	 e 
está aumentando numa taxa de B�O	lY# 
 ��t�*� � n�X&	*t 					 N * � XBBv	'		 
		>�>	 � +�+t #>t>	 � +�+* # >*>	 						�(>'			€	�		'�E�	'�	Y')9(>�Y	 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
+�+t � n�X&*t/ 																	'													 +�+* � n�X&t 
A temperatura é * � XBBv e está aumentando na taxa: 
>*>	 � 	B�&vY N 
O volume é t � &BB e está aumentando na taxa: 
	>t>	 � B�O	lY 
	>�>	 �t�*� � n�X&	*t/ # B�O � n�X&t # B�& 
Para * � XBBv		'		t � &BB	 
>�>	 �&BB�XBB� � n�X&#XBB&BB/ # B�O � n�X&&BB # B�& � 	 B�BQ&uu	s�
lY 
A pressão decresce de aproximadamente de B�BQO	s�
 a cada 1 segundo. 
 
5) A voltagem t	���
	Y�	de um circuito elétrico diminui com o tempo (Y')9(>�Y� 
numa taxa de B�B&	��
	YlY devido ao desgaste da bateria enquanto a 
resistência �	����Y	� aumenta numa taxa de B�BX	lY devido ao 
aquecimento do resistor. Use a lei de Ohm t � ‚	� para encontrar a taxa de 
variação da corrente ‚	�
�E'�'Y� em relação ao tempo, no instante em que � � QBB	 e ‚ � B�Bn	ƒ# 
‚�t� �� � t�	 
		>‚>	 � +‚+t #>t>	 � +‚+� #>�>	 
	>t>	 � 	 B�B&				��
	YlYN																>�>	 � B�BX			lY 
+‚+t � &�			 N 																													 +‚+� �	 t�/ 
		>‚>	 �t��� � B�B&� B�BXt�/ 	 
Quando ‚ � B�Bn	ƒ	'	� � QBB 
t � ‚	� � B�Bn#		QBB � XO	��
	Y 
		>‚>	 �XO� QBB� � B�B&QBB B�BX	�XO�QBB/ �	 B�BBBBX&	ƒlY 
A corrente decai de 0,000031 
�E'�'Y a cada segundo. 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
7. Segunda Regra da Cadeia 
 
Suponha que " � ���� �� com � � )�Y� 	�	e � � ��Y� 	�. Então, " � z�Y� 	� pois " � ���� �� � �7)�Y� 	�� ��Y� 	�8 � z�Y� 	�. Assim, " possui derivadas parciais em 
relação a Y e em relação a 	 dadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Generalização da Segunda Regra da Cadeia 
 
Se L	é uma função a ( variáveis, ou seja, L � ���,� �/�3 � �4�		e cada uma 
dessas (	variáveis é, por sua vez, função a � outras variáveis, ou seja, �5 � )5�	,� 	/ �3 � 	„�. Então L � z�	,� 	/� 3 � 	„� e 
 			+L+	… 	� 	 +L+�, 	 # +�,+	… 	�	 +L+�/ 	 # +�/+	… 	� 		#		#		#		�	 +L+�4 	 # +�4+	… 			�(>'	� � &�O�3 � �	 
 
Exemplos: 
Utilize a regra da cadeira para determinar as derivadas indicadas: 
&�	{=		" � ��		N 		� � Y	'Z		'			� � &� Y	'IZ		=?:;?\|=	 +" +Y⁄ 		=	 +" +Y⁄ 
+"+Y �	 +"+� 	# +�+Y �			 +"+�	# +�+Y 
+"+� � &�				N 			+"+� � ��/ 			 N 			+�+Y � 'Z 		N 		+�+Y � 'IZ 
+"+Y � 	&�	# 'Z �			R ��/S	# 'IZ � 'Z� �	'IZ�/ 
 +"+	 �	 +"+� 	# +�+	 �			 +"+�	# +�+	 
+"+� � &�				N 			+"+� � ��/ 			 N 			+�+	 � Y	'Z 		N 		+�+Y � Y	'IZ 
+"+	 � 	&�	# �Y	'Z� � 			R ��/S	# � Y	'IZ� � Y	'Z� � �	Y	'IZ�/ 
 
			+"+Y � 	 +"+�	#		+�+Y 	� 	+"+� 	#		+�+Y �
+"+	 � 	 +"+�	#		+�+	 	� 	+"+�	#		+�+	 �
�
"	
		
�	 �	
+"+�� +"+��
		
+�+Y� +�+	 � +�+Y� +�+	 �Y	 Y	
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
O�	{=			9 � �i�� �/"%		N 	� � �	Y	'Z	N 	� � �	Y/	'IZ		'			" � �/	Y	Y'(�	��=?:;?\|=		 +9 +Y⁄ 
 +9+Y �	+9+� 	# +�+Y �			+9+� 	# +�+Y �+9+" 	# +"+Y 
 +9+� � Q	�%	�			N												+9+� � �i � O	�	"%		N 																+9+" � X	�/	"/ +�+Y � �	'Z			N 																+�+Y � O	�	Y	'IZ		N 																					+"+Y � �/	Y'(�	� 
 +9+Y � �Q	�%	�	���	'Z� � ��i � O	�	"%��O	�	Y	'IZ� � �X	�/	"/���/	Y'(�	�� 
 X�	{=‡~�	� � �?�9/ � �/ �L/�	N 				9 � � � O�	N 						� � O� �				'					L � O��# 
 ˆ?:;?\|=	 +� +�⁄ 		=	 +� +�⁄ 	‰Š~?‹;	� � � � & 
 +�+9 � O99/ � �/ �L/ 		 N 						+�+� � O�9/ � �/ �L/ 	 N 					 +�+L � OL9/ � �/� L/ 
+9+� � &			N 																+�+� � O	N 																					+L+� � O� 
+9+� � O			N 																+�+� � &N																					+L+� � O� 
+�+� � 	+�+9 	# +9+� �			+�+� 	# +�+� �		 +�+L	# +L+� +�+� �	 O99/ � �/ �L/ 	 # & � 	 O�9/ � �/� L/ 	# O �		 OL9/ � �/�L/ 	 # O� � +�+� �	 O9 � Q� � Q�L9/ � �/ �L/ 	 
 +�+� � 	+�+9 	# +9+� �			+�+� 	# +�+� �		 +�+L	# +L+� 
+�+� �	 O99/ � �/ �L/ 	 # O � 	 O�9/ � �/� L/ 	# � &� �		 OL9/ � �/� L/	 # O� 
+�+� �	 Q	9 O	� � Q	�	L9/ � �/ �L/ 	 
ŒŠ~?‹;	� � � � & 9 � & � O#& � XN � � O#& & � &NL � O#&#& � O� '(	j�	 
+�+�Ž�., � O#X� Q#& � Q#&#OX/ � &/ � O/ � &n&Q � [ 
+�+�Ž�., � Q#X O#& � Q#&#OX/ � &/ � O/ � &n&Q � [ 
 
 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�����������������������������������������������������������������������������������������������������	�
�
8. Diferencial 
 
Sejam � � ���� uma função derivável a uma variável, ��		uma variação na 
variável independente � e �� a variação da função, devido à variação ��. 
Onde �� � � �� e �� � ���� � ��� �����. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O diferencial de �, denotado por >�, é o valor da variação �� da variável 
independente. >� � �� 
 
O diferencial de �, denotado por >�, representa a variação da ordenada da 
reta tangente ao gráfico da função no ponto �7��� �����8�		devido à variação >� � ��. >� � � !����	>� 
 
A variação >� pode ser vista como uma aproximação linear para ��. O valor >� estará mais próximo do valor real da variação da função �� quanto menor 
for a variação da variável independente >�. 
 
Podemos dizer que se >� for bem pequeno, tem-se >� ‘ ��. Assim, a 
aproximação linear da função �	em � � �� é dada por: 
 ���� � ��� ‘ ����� � � !����	�� �� � � �� 
 
 
 
 
 
 
��� � � �� � ���
������
���� � ����
�� � >��
���
��
��
����� ����
� � �����
�'	
		
()'(	'�
>��
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�����������������������������������������������������������������������������������������������������
�
�
Sejam " � ���� "� uma função a duas variáveis, �� e �� as variações nas 
direções � e �, respectivamente, e �" a variação da função devido aos 
incrementos ��	e ��#	 
Onde �� � � ��, �� � � ��	e �" � " "� � 	���� � ��� �� � ��� ��������. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O diferencial de �, denotado por >�� é o valor da variação ��. O diferencial de �, denotado por >�� é o valor da variação �� >� � �� � � ��							'						>� �	�� � � �� 
 
O diferencial de ", denotado por >", também chamado de diferencial total, 
representa a variação da cota do plano tangente ao gráfico da função no 
ponto ����� ��� "�� quando � e y sofrem variações de >� � �� e de >� � ��, 
respectivamente: >" � 
 � K � 
 � ����� ��	>�	N 		K � �.��� ��	>� >" � ����� ��	>� � �.��� ��	>�					�9		>� � ����� ��	>� � �.��� ��	>� 
 
A equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto �������� "�� é: " "� � ������ ���	�� ��� � �.���� ���	�� ��� 
 
A variação >" pode ser vista como uma aproximação linear para �". Quanto 
menores forem os incrementos �� e ��, mais próximo do valor real da 
variação da função �" será a aproximação dada por >". Podemos dizer que se �� � >� e �� � >� forem bem pequenos, tem-se >" ‘ �". Assim, a aproximação 
linear da função em ���� ��� é dada por: 
���� � ��� �� � ��� ‘ ����� ��� � ����������� � �.���� ���	�� �� � � ��N		�� � � ��	 
 
>"� �"�
�� � >�� �� � >� �
" � ���� ���
E
(�		
()'(	'�
��
��
"�
K�
�
���� ��� ��� �������� ����� � �����
���� � �� � "����
���
���
"��
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
 
Exemplos: 
1) Encontre o diferencial total das funções: 
a) " � �%	�?	��/� 
>" �	 +"+� 	>� �	+"+� 	>� 
+"+� � X	�/ �?��/�	N 				 +"+� � O	�	�%�/ � O�%� 
>" � 	X	�/ �?��/� 		>� �	O		�%� 	>� 
 
b) 9 � �l�Y � O	� 
>9 �	+9+� 	>� �	+9+Y 	>Y �	+9+	 	>	 +9+� � &Y � O			 N 				+9+Y � ��Y � O	�/ 				 N 			+9+	 � O	��Y � O	�/ 
>9 �	 &Y � O	 	>� 	 ��Y � O	�/ 	>Y O	��Y � O	�/ 	>	 
 
2) Seja " � ���� �� � �/ � X�� �/ 
a) Encontre o diferencial total >" 
>" � +"+� 	>� � +"+� >� 
+"+� � O	� � X�	N 				 +"+� � X� O� 
>" � �O	� � X�	�	>� � �X� O��>� 
 
>� � ��’ 	>�, �	��“	>�/ �”� ��•	>�4 
Generalizando 
Seja � uma função real a ( variáveis reais ��,� �/� 3 �4�	o diferencial 
total >� é dado por: 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
b) Compare os valores de �" e >" quando a variável � mudar de 2 para 2,05 e 
a variável � mudar de 3 para 2,96 >� � �� � O�Bu O � 	B�BuN 					>� � �� � O�[m X � B�BQ +"+� �O�X� � O	� � X� � O#O � X#X � &X	N				 +"+� �O�X� � X� O� � X#O O#X � B	 >" � &X# �B�Bu� � 	B# � B�BQ� � B�mu 
 �" � ��O�Bu	� O�[m� ��O	� X� �" � �O�Bu�/ � X# �O�Bu�# �O�[m� �O�[m�/ _O/ � X#O#X X/` � B�mQQ[ 
 
3) Seja ���� �� � �?�� X�� 
a) Encontre uma aproximação linear para a função	� em �	� O� ���� �� ‘ ���O�� 	����O�	�� � � �.��O��� O� ���O� � �?� X#O� � �?�&� � B 
�� � &� X� 					� 		����O� � & X#O � &			 
�. � X� X� 			� 		 �.��O� � X X#O � X ���� �� ‘ B � 	&# �� � � � X��� O� � �  X� � m � � X� & 
 
b) Utilize esta aproximação encontrada para estimar o valor da função	� em �m�[	� O�Bm� ��m�[	� O�Bm� ‘ � X� & � m�[ X# �O�Bm� & � 	 B#On 
Valor exato -0.3285 
 
4) As dimensões de uma caixa retangular são u	F��mB	F�	'	QB	F� onde o erro 
na medição de cada uma das dimensões é de no máximo B�O	F�# Use o 
diferencial total para estimar o maior erro possível quando o volume da 
caixa é calculado a partir destas medidas. 
Erro nas medidas:|��| � |��| � |�"| U B�O � 		>� � >� � >" � B�O 
t � �	�	"		 � 			>t � +t+� 	>� � +t+� 	>� � +t+" 	>" >t � �	"		>� � �	"	>� � �	�		>" >t�u�mB�QB� � mB# QB# B�O � u# QB#B�O � u#mB#B#O	 � &[nB	F�% 
Como o volume da caixa t � u#mB#QB � &nBBBB	F�% o erro representa &�&	— do volume. 
 
Cálculo II-	�����	��	
	�
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
5) A pressão, volume e temperatura de um mol de um gás ideal estão 
relacionados pela equação �t � n�X&	*, onde � é medido em s�
, t em 
litros e * em kelvins. Use o diferencial para encontrar uma aproximação da 
variação da pressão se o volume aumentar de 12  para 12,3  e a 
temperatura diminuir de 310 v para 305 v 
�	�t� *� � n�X&*t			 
	>� � 	+�+t 	>t �	+�+* 	>* 
>t � &O�X &O � B�X					N 						>* � XBu X&B � 	 u	v 
+�+t �	 n�X& *t/ 			� 		 +�+t �&O	� X&B� � n�X&X&B&O/ ‘ &�nn[m		s�
l 
	+�+* � n�X&t 		� 									 +�+* �&O�X&B� � n�X&&O � B�m[Ou						s�
lv 
�� ‘ >� � +�+t 	>t �	+�+* 	>* 
�� ‘ >� � � &�nn[m�#�B�X�� �	B�m[Ou�#� u� ‘ 	 n�nX	s�
 
A pressão decairá de 8,83 s�
 
 
6) Encontre a equação do plano tangente à superfície dada pela equação " � � �?��� no ponto �&�Q�B� 
>" � +"+� 	>� � +"+� 	>�	 
>� � � ��� >� � � ��			'			>" � " "� 
" "� � +"+� ���� ���	�� ��� � +"+� ���� ���	�� ���	 
�� � &	�			�� � Q		'	"� � �� �?���� � B 
 
" � � �?��� 
+"+� � �� 																												� 		 +"+� �&�Q� � Q	 +"+� � �?��� 																				� 		 +"+��&�Q� � �?�&� � B	 
" B � Q	�� &� � B# �� ���		 
" � Q� Q

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