Parte 5: Derivadas sucessivas 25) A função y=Axex é solução da equação diferencial y)4(+2y’’’ –2y’-y=10e^x. Determine a constante A. 26) Seja f(x)=...

25) Para encontrar a constante A, precisamos derivar a função y=Axex quatro vezes e substituir na equação diferencial. y = Axex y' = A(ex + ex) = 2Aex y'' = A(2ex + ex) = 3Aex y''' = A(3ex + ex) = 4Aex y'''' = A(4ex + ex) = 5Aex Substituindo na equação diferencial, temos: y'''' + 2y''' - 2y' - y = 10e^x 5Aex + 2(4Aex) - 2(2Aex) - Axex = 10e^x 5Aex + 8Aex - 4Aex - Axex = 10e^x 9Aex - Axex = 10e^x A(9x - x)ex = 10e^x A(8x)ex = 10e^x A = 10/(8xex) A = 5/(4xex) Portanto, a constante A é igual a 5/(4xex). 26) a) As quatro primeiras derivadas de f(x) são: f(x) = e^2x f'(x) = 2e^2x f''(x) = 4e^2x f'''(x) = 8e^2x f''''(x) = 16e^2x b) A n-ésima derivada de f(x) é dada por: f^(n)(x) = 2^n e^2x Portanto, f^(n)(x) = 2^n e^2x.