Operações Aritméticas em Diversas Bases

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Introdução à InformáticaIntrodução à Informática
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
Ageu Pacheco e AlexandreAgeu Pacheco e Alexandre MeslinMeslin
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Operações Aritméticas Operações Aritméticas emem DiversasDiversas BasesBases
zz ObjetivoObjetivo da Aula:da Aula:
zz Partindo da base 10, ver como operações Partindo da base 10, ver como operações 
aritméticas são efetuadas em outras aritméticas são efetuadas em outras 
bases; em especial a 2.bases; em especial a 2.
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz AdiçãoAdição nana base 10base 10::
(1)(1) ((1)1)
66 771010
++ 88 441010
11 55 111010
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz AdiçãoAdição nana base 10base 10::
(1)(1) ((1)1) (1) (1)(1) (1)
66 771010 66 771010
++ 88 441010 ++ 88 441010
11 55 111010 1 (15) (11)1 (15) (11)
-- 10 1010 10
11 55 111010
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Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz Adição na base 9Adição na base 9: : 
(1)(1) ((1)1)
66 7799
++ 88 4499
1 (15) (11)1 (15) (11)
-- 9 99 9
1 61 6 2299
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Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz Adição na base 9Adição na base 9:: Na base 8:Na base 8:
(1)(1) ((1)1) (1)(1) ((1)1)
66 7799 7 77 788
++ 88 4499 + 7 7+ 7 788
1 (15) (11)1 (15) (11) 1 (15) (14) 1 (15) (14) 
-- 9 99 9 -- 8 88 8
1 61 6 2299 1 7 61 7 688
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz Adição na base 7Adição na base 7::
(1)(1) ((1)1)
22 5577
++ 55 4477
1 (8) (9)1 (8) (9)
-- 7 77 7
1 11 1 2277
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz Adição na base 7Adição na base 7:: Na base 16:Na base 16:
(1)(1) ((1)1) (1)(1) ((1)1)
22 5577 F 1 AF 1 A1616
++ 55 4477 + E 0 9+ E 0 91616
1 (8) (9)1 (8) (9) 1 (29) 2 (19)1 (29) 2 (19)
-- 7 77 7 -- 16 1616 16
1 11 1 2277 1 D 2 31 D 2 31616
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zz Adição na base 16Adição na base 16::
(1)(1) ((1)1)
2 F F2 F F1616
+ 1 F E+ 1 F E1616
4 (31) (29)4 (31) (29)
-- 16 1616 16
4 F4 F DD1616
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Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz Adição na base 16Adição na base 16:: Na base 2:Na base 2:
(1)(1) ((1)1) (1)(1) ((1)1) ((1)1) ((1)1) ((1)1)
2 F F2 F F1616 1 0 1 1 11 0 1 1 122
+ 1 F E+ 1 F E1616 + 1 1 0 1 1+ 1 1 0 1 122
4 (31) (29)4 (31) (29) (3) (2)(2) (3) (2) (3) (2)(2) (3) (2) 
-- 16 1616 16 -- 2 2 2 2 22 2 2 2 2
4 F4 F DD1616 1 1 0 0 1 01 1 0 0 1 022
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zz Adição na base 2 (cont.):Adição na base 2 (cont.):
((1)1) ((1)1) ((1)1)
1 0 1 0 01 0 1 0 022
+ 1 1 1 0 1+ 1 1 1 0 122
1 1 0 0 0 11 1 0 0 0 122
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zz Adição na base 2 (cont.):Adição na base 2 (cont.):
((1)1) ((1)1) ((1)1) (10) (10) ((1)1) ((1)1) ((1)1) ((1)1)
1 0 1 0 01 0 1 0 022 1 1 0 1 11 1 0 1 122
+ 1 1 1 0 1+ 1 1 1 0 122 1 0 1 0 11 0 1 0 122
1 1 0 0 0 11 1 0 0 0 122 + 1 1 0 1 0+ 1 1 0 1 022
1 0 0 1 0 1 01 0 0 1 0 1 022
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zz Subtração na base 10:Subtração na base 10:
 (4) (+10)(4) (+10)
 4 74 71010 5 25 21010
 -- 2 42 41010 -- 1 71 71010
 2 32 31010 3 53 51010
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zz Subtração na base 10 (cont.):Subtração na base 10 (cont.):
 
 5 25 21010 3 0 03 0 01010
 -- 11(+1)(+1) 771010 -- 11(+1)(+1) 44(+1)(+1) 771010
 3 53 51010 1 5 31 5 31010
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zz Subtração na base 8:Subtração na base 8:
 
 5 25 288
 -- 11(+1)(+1) 7788
 3 33 388
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zz Subtração na base 8 (cont.):Subtração na base 8 (cont.):
 
 5 25 288 3 0 03 0 088
 -- 11(+1)(+1) 7788 -- 11(+1)(+1) 44(+1)(+1) 7788
 3 33 388 1 3 11 3 188
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zz Subtração na base 16:Subtração na base 16:
 
 5 25 21616
 -- 11(+1)(+1) 771616
 3 B3 B1616
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zz Subtração na base 16 (cont.):Subtração na base 16 (cont.):
 
 5 25 21616 3 0 03 0 01616
 -- 11(+1)(+1) 771616 -- 11(+1)(+1) 44(+1)(+1) 771616
 3 B3 B1616 1 B 91 B 91616
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zz Subtração na base 16 (cont):Subtração na base 16 (cont):
 
 3 D C3 D C1616
 -- 11(+1)(+1) FF(+1)(+1) EE1616
 1 (13) (14)1 (13) (14)
 
 1 D E1 D E1616
 
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zz Subtração na base 16 (cont):Subtração na base 16 (cont):
 
 3 D C3 D C1616 C 0 AC 0 A1616
 -- 11(+1)(+1) FF(+1)(+1) EE1616 -- 22(+1)(+1) CC(+1)(+1) CC1616
 1 (13) (14)1 (13) (14) 9 3 (14)9 3 (14)
 
 1 D E1 D E1616 9 3 E9 3 E1616
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zz Subtração na base 2:Subtração na base 2:
 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 22
 -- 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 22
 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 22
 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 22
 -- 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 22
 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 22
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zz Representaçãoem “complemento à base”Representação em “complemento à base”
™™ O complemento de um número O complemento de um número NN em uma dada baseem uma dada base
BB é igual a diferença entre o número e a próximaé igual a diferença entre o número e a próxima
potência da base.potência da base.
Ex: Complemento a 10 de 734Ex: Complemento a 10 de 734 10001000
próxima potência 10próxima potência 1033 -- 734734
266 266 
 
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Ex: Complemento a 2 de 1011Ex: Complemento a 2 de 1011
próxima potência 2próxima potência 244 = 16 = 10000= 16 = 10000
1000010000
-- 10111011
101 101 é o complemento a 2 de 1011é o complemento a 2 de 1011
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Ex: Complemento a 2 de 101101Ex: Complemento a 2 de 101101
próxima potência 1000000próxima potência 1000000
10000001000000
-- 101101101101
10011 10011 é oé o compcomp. a 2 de 101101. a 2 de 101101
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zz Representação em “complemento à base” (cont.)Representação em “complemento à base” (cont.)
-- O cálculo do complemento à base em qualquerO cálculo do complemento à base em qualquer
base é tedioso por causa dos “vembase é tedioso por causa dos “vem--um”.um”.
-- Uma alternativa mais confortável é calcular oUma alternativa mais confortável é calcular o
“complemento à base menos 1” e depois somar“complemento à base menos 1” e depois somar
1 ao resultado para obter o complemento à1 ao resultado para obter o complemento à
base.base.
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Ex: Base 10 “complemento a 9” de 734Ex: Base 10 “complemento a 9” de 734
9 9 99 9 9
-- 7 3 47 3 4
2 6 5 (complemento a 9 de 734)2 6 5 (complemento a 9 de 734)
+ 1+ 1
2 6 6 (complemento a 10 de 734)2 6 6 (complemento a 10 de 734)
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Ex: Base 2 “complemento a 1” de 1011Ex: Base 2 “complemento a 1” de 1011
1 1 1 11 1 1 1
-- 1 0 1 11 0 1 1
1 0 0 (complemento a 1 de 1011)1 0 0 (complemento a 1 de 1011)
+ 1+ 1
1 0 1 (complemento a 2 de 1011)1 0 1 (complemento a 2 de 1011)
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zz Observação importante:Observação importante:
Para obter o “complemento a 1” de um númeroPara obter o “complemento a 1” de um número
binário bastabinário basta invertêinvertê--lolo bit a bit.bit a bit.
Ex: complemento a 1 de 1 0 1 1Ex: complemento a 1 de 1 0 1 1
0 1 0 00 1 0 0
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zz Operações de subtração em qualquer base Operações de subtração em qualquer base 
podem ser feitas utilizando complemento à base.podem ser feitas utilizando complemento à base.
Ex: Subtração 913 Ex: Subtração 913 –– 734 na base 10734 na base 10
913 999 913 999 913913
-- 734 734 -- 734 + 266 734 + 266 
179 265 1)17179 265 1)1799
+ 1 + 1 
266266
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Ex: Subtração 11001 Ex: Subtração 11001 –– 10011 na base 210011 na base 2
complemento a 1 do subtraendo = 01100complemento a 1 do subtraendo = 01100
compcomp. a. a 2:2:
01100 (01100 (compcomp.a 1) 11001 (minuendo).a 1) 11001 (minuendo)
+ 1 + 01101+ 1 + 01101
01101 (01101 (compcomp.a 2) 1)00110 (resultado).a 2) 1)00110 (resultado)
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zz Regra prática para obtenção do complemento a 2:Regra prática para obtenção do complemento a 2:
Para se obter diretamente o complemento a 2 de Para se obter diretamente o complemento a 2 de 
um número basta percorrer o número da direita um número basta percorrer o número da direita 
para a esquerda repetindopara a esquerda repetindo--se os dígitos zeros até se os dígitos zeros até 
encontrar o primeiro dígito 1 (um), o qual deve ser encontrar o primeiro dígito 1 (um), o qual deve ser 
mantido. A partir daí, todos os dígitos (zeros ou mantido. A partir daí, todos os dígitos (zeros ou 
uns) a esquerda desse primeiro 1 deverão ser uns) a esquerda desse primeiro 1 deverão ser 
invertidos. invertidos. 
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Exemplos:Exemplos:
1) 1010 0110 1) 1010 0110 ((compcomp. a 2). a 2)
2) 11001 00111 (2) 11001 00111 (compcomp. a 2). a 2)
3) 111000 001000 (3) 111000 001000 (compcomp. a 2) . a 2) 
4) 1100110 0011010 (4) 1100110 0011010 (compcomp. a 2). a 2)
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zz Representação de números com sinal:Representação de números com sinal:
Para simplificar, vamos supor que os números Para simplificar, vamos supor que os números 
sejam representados internamente ao sejam representados internamente ao 
computador no formato de 8 bits (1 byte), ou seja computador no formato de 8 bits (1 byte), ou seja 
eles são operados e armazenados em 8 bits. eles são operados e armazenados em 8 bits. 
7 6 5 4 3 2 1 07 6 5 4 3 2 1 0
Bit de sinal Bit de sinal 
MSBMSB LSBLSB
0 0 –– nnoo positivopositivo
1 1 –– nnoo negativonegativo
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zz Representação de números com sinal (cont.):Representação de números com sinal (cont.):
Em 8 bits é possível representar 256 números Em 8 bits é possível representar 256 números 
diferentes : de 00000000 a 11111111, já quediferentes : de 00000000 a 11111111, já que
2288 = 256.= 256.
Com o bit mais significativo representando o Com o bit mais significativo representando o 
sinal, a gama de números possíveis de serem sinal, a gama de números possíveis de serem 
representados permanece a mesma, só que representados permanece a mesma, só que 
agora metade negativa e metade positiva. agora metade negativa e metade positiva. 
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zz Exemplos:Exemplos:
+ 127+ 127
+ 1+ 1
(+) 0(+) 0
-- 11
-- 128128
1111111111111100
1100000000000000
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000011
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zz Mais exemplos:Mais exemplos:
+ 74+ 74
+ 27 + 27 
-- 10 10 
-- 27 27 
-- 7474
0011001100001100
1111001111000000
0011110011111111
1100110000111111
0011110011110011
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Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz Operações aritméticasno computador:Operações aritméticas no computador:
Números positivos são submetidos na forma Números positivos são submetidos na forma 
“normal”.“normal”.
Ex: + 22 Ex: + 22 
Números negativos na forma complemento a 2.Números negativos na forma complemento a 2.
Ex: Ex: -- 2222
0011110011000000
0011001100111111
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Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz Desta forma, todas as operações de soma e Desta forma, todas as operações de soma e 
subtração envolvendo números com bits de sinal subtração envolvendo números com bits de sinal 
produzem diretamente resultados consistentes, produzem diretamente resultados consistentes, 
ou seja, positivos na forma “normal” e negativos ou seja, positivos na forma “normal” e negativos 
em complemento a 2.em complemento a 2.
zz A vantagem de representar números negativos A vantagem de representar números negativos 
em complemento a 2 internamente ao em complemento a 2 internamente ao 
computador é que todas as operações de computador é que todas as operações de 
subtração ficam transformadas em simples subtração ficam transformadas em simples 
somas.somas.
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zz Exemplos: Exemplos: 
Tomemos como exemplo os números 9 e 4. Tomemos como exemplo os números 9 e 4. 
Vamos ver como ficam todas as possibilidades Vamos ver como ficam todas as possibilidades 
de somas e subtrações envolvendo suas formas de somas e subtrações envolvendo suas formas 
positivas e negativas.positivas e negativas.
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zz Somas: Somas: 
+ 4 00000100 +4 00000100+ 4 00000100 +4 00000100
((++) + 9 00001001 (+) ) + 9 00001001 (+) -- 9 111101119 11110111
+13 00001101 +13 00001101 -- 5 111110115 11111011
-- 4 11111100 4 11111100 -- 4 111111004 11111100
((++) + 9 00001001 (+) ) + 9 00001001 (+) -- 9 111101119 11110111
+ 5 1)00000101 + 5 1)00000101 -- 13 1)11110011 13 1)11110011 
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zz Subtrações: Subtrações: 
+ 4 00000100 00000100+ 4 00000100 00000100
((--) + 9 00001001 11110111 (+)) + 9 00001001 11110111 (+)
-- 5 111110115 11111011
+ 4 00000100 00000100+ 4 00000100 00000100
((--) ) -- 9 11110111 00001001 (+)9 11110111 00001001 (+)
+13 00001101+13 00001101
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Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz Subtrações: Subtrações: 
-- 4 11111100 111111004 11111100 11111100
((--) + 9 00001001 11110111 (+)) + 9 00001001 11110111 (+)
--13 1) 1111001113 1) 11110011
-- 4 11111100 111111004 11111100 11111100
((--) ) -- 9 11110111 00001001 (+)9 11110111 00001001 (+)
+ 5 1) 00000101 + 5 1) 00000101 
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Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz ““OverflowOverflow” em operações aritméticas” em operações aritméticas
-- O maior número positivo que pode serO maior número positivo que pode ser
carregado carregado (armazenado) em um registro de(armazenado) em um registro de
8 bits é +127 (01111111).8 bits é +127 (01111111).
-- Nas mesmas condições o menor númeroNas mesmas condições o menor número
negativo é negativo é ––128 (10000000).128 (10000000).
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Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz ““OverflowOverflow” em operações aritméticas (cont.)” em operações aritméticas (cont.)
-- Apenas para ilustrar, supondo ser o computadorApenas para ilustrar, supondo ser o computador
de 8 bits, temos que, caso o resultado dede 8 bits, temos que, caso o resultado de
qualquer operação aritmética exceda um dosqualquer operação aritmética exceda um dos
valores anteriores, é dito que uma condição devalores anteriores, é dito que uma condição de
overflowoverflow ocorreu, o que normalmente acarretaocorreu, o que normalmente acarreta
erro.erro.
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Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz ““OverflowOverflow” em operações aritméticas (cont.)” em operações aritméticas (cont.)
-- A detecção deA detecção de overflowoverflow é simples e consiste em:é simples e consiste em:
1. Há um “vai1. Há um “vai--um” propagado para o bit de sinalum” propagado para o bit de sinal
sem “vaisem “vai--um” saindo deste.um” saindo deste.
2. Há um “vai2. Há um “vai--um” propagado pelo bit de sinalum” propagado pelo bit de sinal
sem este ter recebido “vaisem este ter recebido “vai--um”. um”. 
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz Exemplos:Exemplos:
1) + 88 0 10110001) + 88 0 1011000
(+) + 46 (+) 0 0101110(+) + 46 (+) 0 0101110
+ 134 1 0000110+ 134 1 0000110
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Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Operações Aritméticas em Diversas BasesOperações Aritméticas em Diversas Bases
zz Exemplos (cont):Exemplos (cont):
1) + 88 0 10110001) + 88 0 1011000
(+) + 46 (+) 0 0101110(+) + 46 (+) 0 0101110
+ 134 1 0000110+ 134 1 0000110
2) 2) -- 76 (01001100) 1 011010076 (01001100) 1 0110100
((--) + 68 (01000100) 1 0111100) + 68 (01000100) 1 0111100
-- 144 1 0 1110000144 1 0 1110000
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