Solução de Exercicios - Cap 2

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS I 
 
PROF: EDUARDO MOURA LIMA 
 
CAPÍTULO 2 
 
SOLICITAÇÃO AXIAL – TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
 
Solução de Exercícios 
 
Observação: Referente ao capítulo III da apostila teórica 
 
Versão 01/02/2015 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1) Traçar os diagramas de esforços normais (DEN), tensões normais 
(DTN) e deslocamentos (DD). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
L1 = 1,0 m L2 = 1,5 m L3 = 1,0 m 
S1 = 4,0 cm2 S2 = 2,0 cm2 S3 = 0,4 cm2 
E1 = E2 = E3 = 2 x 106 kgf / cm2 
δA = 0 
δB = ΔL1 = (N1 . L1) / (E1 . S1) = (-2.000 x 100)/ (2 x 106 x 4) = -0,025 cm 
δC = ΔL1 + ΔL2 = -0,025 + (N2 . L2) / (E2 . S2) = -0,025 + (4.000 x 150)/ (2 x 106 x 2) = 0,125 
cm 
1 
2 
3 
6 tf 
3 tf 
1 tf 
DEN (tf) DTN (tf/cm2) DD (cm) 
A 
B 
C 
D 
1
4
- 2 
- 
+ 
+ 
- 
- 0,5 
2
+ 
2,5 
+ 
-0,025 - 
0,125 
0,250 
+ 
+ 
3 
 
δD = ΔL1 + ΔL2 + ΔL3 = 0,125 + (N3 . L3) / (E3 . S3) = 0,125 + (1.000 x 100)/ (2 x 106 x 0,4) = 
0,250 cm 
2) Calcular o alongamento total de uma barra de 5 cm2 de seção 
transversal e 2 m de comprimento, submetida a uma tração axial de 
7,5 tf, sendo E = 2,1 x 106 kgf/cm2. 
 
 
ΔL = (N . L) / (E . S) = (7.500 x 200) / (2,1 x 106 x 5) = 0,14 cm 
 
3) A barra de aço da figura está solicitada pelas forças indicadas e tem a 
área da seção reta S = 10 cm2 e E = 2,1 x 106 kgf/cm2. Determinar: 
a. Diagrama de esforços normais na barra 
b. Variação de comprimento do trecho BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ΔLBC = (N . L) / (E . S) = (7.000 x 300) / (2,1 x 106 x 10) = 0,1 cm (alongamento) 
 
 
 
 
10 tf 3 tf 2 tf 9 tf A B C D 
2 m 3 m 4 m 
7.500 kgf 7.500 kgf 
10 tf 
+ 
+ + 
7 tf 
9 tf 
4 
 
4) Calcular o alongamento total da barra abaixo, submetida unicamente 
ao seu peso próprio. 
Dados: E, L, S e γ (peso específico do material - peso na unidade de 
volume) 
 Barra de comprimento dy sofrerá um 
 alongamento igual a : 
 (N . L) / (E . S) = 
 = ((γ.S.y).dy) / (E . S) 
 Se somarmos todos os alongamentos de 
 todas as barras dy, teremos: 
 
 ΔL = ((γ.S.y).dy) / (E . S) = (γ.S)/(E.S) y. dy = 
 
 = ( (γ.S)/(E.S) ) . ( y2 / 2) = (γ.S. L2)/(2E.S) = 
 
 = (γ.S. L . L)/(2E.S) = (P . L) / (2 E. S) 
5) Determinar a seção reta (S) da barra abaixo, levando em consideração 
o seu peso próprio e a carga concentrada P. 
Dados: P, L, γ (peso específico do material) e σ (tensão admissível). 
 
 
 
 
 
 
 
L 
L 
P 
dy 
y 
γ. S .y 
L 
0 
L 
0 
L 
0 
Peso Total = γ . S . L 
A 
5 
 
Carga Peso: ela é distribuída pelo corpo, então cada seção reta será solicitada pelo 
peso do pedaço abaixo dela. Assim, a seção mais solicitada será A, por suportar o peso 
de todo o corpo. 
Carga P: concentrada, e ela atua igualmente em todos as seções, inclusive A 
Conclusão: a seção mais solicitada é A (seção crítica) 
A seção A receberá a carga: P + Peso Total = P + γ . S . L. 
Como a seção A é a mais solicitada, se garantirmos a estabilidade de cada ponto 
situado nela, então todos os demais pontos da peça estarão estáveis. 
σ A = (P + γ . S . L) / S ≤ σ  S ≥ P / (σ - γ.L) 
 
6) A figura abaixo está EM ESCALA, e representa o diagrama fornecido 
pela máquina , num ensaio de tração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Foi ensaiada uma barreta de seção reta inicial S = 2 cm2, e 
comprimento inicial L = 8 cm. O ensaio revelou que: 
 A maior força normal registrada no mostrador foi de 8.000 
kgf. 
σ 
ε 
θ 
6 
 
 O extensômetro (medidor de alongamentos) indicou que um 
comprimento inicial de 2 cm sofreu um acréscimo de 0,002 
cm no instante correspondente ao limite de 
proporcionalidade. 
 Após a rutura a barreta apresentou as seguintes dimensões: S 
= 1,8 cm2 e L = 9 cm. 
Com base no gráfico e nas informações acima, calcular: 
 O limite de proporcionalidade e o módulo de Young (E) do 
material. 
 O limite de escoamento inferior 
 O valor, em cm2, da deformação superficial da seção reta, no 
instante em que se atinge o limite de proporcionalidade, 
sabendo-se que para o material, seu coeficiente de Poisson 
(μ) vale 0,25. 
 
Se a figura está em ESCALA, calculemos a escala das tensões e a escala das deformações, a 
partir dos dados do problema: 
Escala das tensões: 
σR = 8.000 / 2 = 4.000 kgf/cm2  8 cm (por medição na figura) 
Então: 1 cm  500 kgf/cm2 (escala das tensões) 
Escala das deformações: 
εP = 0,002/2 = 0,001  1 cm (por medição na figura) 
Então: 1 cm  0,001 (escala das deformações) 
σP = 500 x 4,5 cm (medição na figura) = 2.250 kgf/cm2 
E = tg θ = σP / εP = 2.250 / 0,001 = 2,25 x 106 kgf/cm2 
σSi = 500 x 6,3 (medição na figura) = 3.150 kgf/cm2 
εS = ΔS / S = 2 μ ε  ΔS = 2 x 0,25 x 0,001 x 2 = 0,001 cm2 
 
 
7 
 
7) Para que sejam determinadas as características mecânicas de certo 
material, ensaiou-se, à compressão, uma barreta de 25 cm de 
comprimento e 4 cm2 de seção reta, com uma força axial de 6.150 kgf. 
Dos resultados, concluiu-se ter havido um acréscimo de 1,8 x 10-3 cm2 
na seção reta e uma redução de 3 x 10-2 cm3 no volume da peça. 
Determinar o módulo de Young (E) e o coeficiente de Poisson (μ) 
desse material. 
 
εS = ΔS / S = 2 μ ε  (1,8 x 10-3) / 4 = 2 . μ . ε 
εV = ΔV/V = (1 - 2μ) ε  (3 x 10-2) / 100 = (1 - 2μ) ε 
 
Resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas acima, acharemos: 
μ = 0,30 e ε = 0,00075 
 
Como ε = ΔL / L = ((N.L)/(E.S)) / L = N /(E. S)  E = N / (ε . S) = 2,05 x 106 kgf/cm2 
 
 
8) Uma barra com 2 m de comprimento e 4 cm2 de seção transversal vai 
ser tracionada por uma força axial estática. Para o material, temos: E 
= 2 x 106 kgf/cm2 e μ = 0,25. 
Determinar: 
 A intensidade da força capaz de provocar uma variação de 60 
mm3 no volume da peça. 
εV = ΔV/V = (1 - 2μ) . ε  0,060 / 800 = ( 1 – 2 x 0,25) . (N.L) / (E. S.L)  N = 1.200 kgf 
 O potencial elástico acumulado na barra quando a seção reta 
apresentar uma variação de 1,5 x 10-4 cm2. 
εS = ΔS/S = 2 μ ε  (1,5 x 10-4) / 4 = 2 . 0,25 . (N. L) / (E. S.L)  N = 600 kgf 
W = (N . ΔL) / 2 = (N. N. L) / (2 E S) = (N2 . L) / ( 2 E S) = 4,5 kgf.cm 
 
 
 
 
 
8 
 
9) Calcular a carga admissível para a peça abaixo. 
Dados: σT = 3.200 kgf/cm2 e σC = 2.400 kgf/cm2. 
Em ambos os casos, usar coeficiente de segurança = 2,0. 
Diâmetro de cada um dos 5 furos = 2 cm 
Vista de cima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vista de frente: 
 
 
 
Identificação da seção Crítica: carga constante e igual a P em todas as seções retas. 
 Menor seção reta: A ou B (seções críticas) 
 
σA,B = F / ((20 – 2x2) x 1) ≤ 3.200 / 2  F ≤ 25.600 kgf.cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B C 
F F 
100 cm 
20 cm 
F F 
1 cm 
A B C 
9 
 
10) A barra da figura abaixo tem 2 cm2 de seção transversal. 
 Determinar as tensões normais ao longo da barra (DTN) 
 Sabendo-se que σT = 1,2 tf/cm2 e σC = 1,0 tf/cm2, que 
conclusões podemos tirar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A segurança do trecho superior será = 1 / 0,3 = 3,3 
 
 A segurança do trecho inferior será = 1,2 / 1,2 = 1,0 
 
11) Determinar o valor máximo de P de tal forma que o alongamento 
total da barra não ultrapasse 0,18 cm, e nem que as tensões 
ultrapassem seus valores admissíveis. 
Barra Material E (kgf/cm2) σ T,C (kgf/cm2) L(m) S(cm2) 
1 Bronze 8 x 105 1.250 1,0 5,0 
2 Alumínio 7 x 105 850 1,6 7,0 
3 Aço 2 x 106 1.400 1,3 3,5 
 
 
 
 
 
 
3 tf 
2,4 tf 
1 
2 
3 3 P P 4 P 2 P 
DEN (tf) DTN (tf/cm2) 
-0,6 
2,4 
 + 
 - 
 + 
 - 
-0,3 
1,2 
10 
 
Verificando a condição: alongamento total não ode ultrapassar 0,18 cm 
ΔLtotal = ΔL1 + ΔL2 + ΔL3 ≤ 0,18  
 (N1 . L1) / (E1 . S1) + (N2 . L2) / (E2 . S2) + (N3 . L3) / (E3 . S3) ≤ 0,18 
 (3P x 100) / (8 x 105 x 5) + (2P x 160) / (7 x 105 x 7) + (-2P x 130) / (2 x 106 x 3,5) ≤ 0,18 
 P ≤ 1.744 kgf 
Verificando a estabilidade de cada uma das barras: 
Barra 1: 3P / 5 ≤ 1.250  P ≤ 2.083 kgf 
Barra 2: 2P / 7 ≤ 850  P ≤ 2.975 kgf 
Barra 3: 2P / 3,5 ≤ 1.400  P ≤ 2.450 kgf 
A solução que atende a todas as 4 condições é P ≤ 1.744 kgf 
 
12) Um suporte de madeira de 20 cm x 20 cm de seção reta está 
apoiado em uma base de concreto. Determinar o valor de P se a 
tensão admissível da madeira é de 110 kgf/cm2 e a do concreto é de 
50 kgf/cm2. Quais as dimensões da base quadrada (a) se a tensão 
admissível do terreno vale 4 kgf/cm2? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
20 cm 
P 
11 
 
Verificação dab estabilidade em vada peça: 
Peça de madeira: σmadeira = P / 400 ≤ 110  P ≤ 44.000 kgf 
 Peça de concreto: σconcreto = P / 400 ≤ 50  P ≤ 20.000 kgf 
Solução que atende às duias condições: P ≤ 20.000 kgf 
 Estabilidade do solo: 
 P = 20.000 kgf 
 S = a2  P / a2 ≤ 4  a ≥ 70,7 cm 
13) A estrutura abaixo tem peso desprezível e é composta de dois 
trechos coaxiais de seções retas quadradas. Na extremidade inferior 
está aplicada uma força estática P. Determinar: 
 O maior valor que a carga P pode assumir sem que sejam 
ultrapassados os seguintes limites: 
No trecho 1  σ T,C = 400 kgf/cm2. 
No trecho 2  σ T,C = 1.800 kgf/cm2. 
Na estrutura  potencial elástico acumulado = 49 kgf.cm 
 O valor da força P no instante em que a seção reta do trecho 
1 apresenta uma redução de 0,3 x 10-3 cm2, sabendo-se que, 
para o material desta haste, o coeficiente de Poisson vale 
0,25. 
 S (cm2) E (kgf/cm2) 
Trecho 1 4 1,8 x 106 
Trecho 2 1 2,1 x 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
P 
72 cm 
84 cm 
12 
 
Primeiro item: 
 Estabilidade de 1: σ1 = P/4 ≤ 400  P ≤ 1.600 kgf 
 Estabilidade de 2: σ2 = P/1 ≤ 1.800  P ≤ 1.800 kgf 
 Condição do potencial elástico: Wtotal = W1 + W2 ≤ 49  
 
 (0,5 x (P x P x 72) / (1,8 x 106 x 4)) + ( 0,5 x (P x P x 84) / (2,1 x 106 x 1)) ≤ 49 
 P ≤ 1.400 kgf 
 A solução que atende a todas as condições é P ≤ 1.400 kgf 
Segundo item: 
 εS = ΔS / S = 2 μ ε  (0,3 x 10-3) / 4 = 2 x 0,25 x (P x L) / (E . S. L) 
 P ≤ 1.080 kgf 
14) Calcular as forças axiais, as tensões normais e os deslocamentos 
verticais das seções transversais da barra. Representar graficamente 
os resultados obtidos. 
 S (cm2) E (kgf/cm2) 
Barra 1 2 2,0 x 106 
Barra 2 1 2,0 x 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) A estrutura abaixo, sem peso, tem seção circular constante em cada 
trecho, sendo os trechos 1,2 e 3 de materiais diferentes mas com o 
mesmo eixo vertical. 
1 
2 
1 tf 
1 m 
2 m 
4 tf 
DEN (tf) DTN (tf/cm2) DD (cm) 
+ + 
- - 
1 1 
- 3 -1,5 
-0,075 
0,025 
+ 
- 
13 
 
Sabe-se que as seções retas valem: 2 S1 = 4 S2 = S3 = 20 cm2 e que 
seus materiais possuem as seguintes características: 
E1 = 5/6 E2 = 5/7 E3 = 1,5 x 106 kgf/cm2 e 
 σ 1 = 2/3 σ 2 = 1/2 σ 3 = 800 kgf/cm2. 
 Calcular o máximo valor das cargas P, iguais, sabendo-se que: 
 As tensões admissíveis para cada trecho não podem ser 
ultrapassadas 
 Nenhuma seção pode se deslocar de sua posição pprimitiva 
mais do que 0,06 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estabilidade das barras: 
 σ1 = P/ 10 ≤ 800  P ≤ 8.000 kgf 
 σ2 = P/ 5 ≤ 1.200  P ≤ 6.000 kgf 
 σ3 = 3P/ 20 ≤ 1.600  P ≤ 10.667 kgf 
Ponto que sofre maior deslocamento: A (encurtamento) 
 δA = ΔL1 + ΔL2 + ΔL3 ≤ 0,06  
(P x 60) / (1,5 x 106 x 10) + (P x 36) / (1,8 x 106 x 5) + (3P x 56) / (2,1 x 106 x 20) ≤ 0,06 
 P ≤ 5.000 kgf 
A solução que atende a todas as condições: P ≤ 5.000 kgf 
56 cm 
36 cm 
60 cm 
3 
2 
1 
P P 
P 
A 
B 
C 
D 
14 
 
16) Uma barra de alumínio de seção quadrada, ligada a um tirante de 
aço de seção circular, suporta em sua extremidade C uma carga de 
500 kgf. Em função das propriedades mecânicas desses materiais, 
determinar: 
 As seções retas S1 e S2 
 A energia de deformação na barra e no tirante 
 O deslocamento do ponto C 
Material E (kgf/cm2) 
Tensão 
limite tração 
(kgf/cm2) 
Tensão 
limite 
compressão 
(kgf/cm2) 
Coeficiente 
de segurança 
1-aço 2 x 106 4.000 3.500 2,0 
2-alumínio 0,6 x 106 3.000 2.200 2,5 
 
 
 
 
 
 
 
Estática: equilíbrio da rótula C 
Σ FX = 0  N1 cos 30º = N2 N1 = 1.000 kgf 
Σ Fy = 0  N1 sen 30º = 500 N2 = 866 kgf 
 
Estabilidade das barras: 
Barra 1: σ1 = 1.000 / S1 ≤ 4.000/2  S1 ≥ 0,5 cm2 
Barra 2: σ2 = 866 / S2 ≤ 2.200/2,5  S2 ≥ 0,98 cm2 
L1 = 400 cm e L2 = 400 cos 30º (calculados a partir do triângulo ABC) 
W1 = (N1 x N1 x L1) /2 (E1 x S1) = 200 kgf.cm 
W2 = (N2 x N2 x L2) / 2(E2 x S2) = 216,5 kgf.cm 
Wtotal = 416,5 kgf.cm 
ΔL1 = (N1 . L1) / (E1 . S1) = 0,4 cm 
ΔL2 = (N2 . L2) / (E2 . S2) = 0,5 cm 
 
 
60º 
30º 
2 m 
A 
B 
C 
500 kgf 
1 
2 
N1 
N2 
A barra 1 é tracionada 
A barra 2 é comprimida 
15 
 
Deslocamento do ponto C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O deslocamento do ponto C é CC’. 
Observemos o triângulo retângulo C’C1C2, e nele o ângulo de 30º. A tangente do ângulo 
30º será, pelos lados do triângulo: 
 tag 30º = cateto oposto / cateto adjacente = (C1C2) / (C1C’) =(C1C + CC2) / (C1C’) == (ΔL2 + ΔL1/cos 30º ) / C1 C’  C1 C’ = 1,66 cm 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo C C1 C’: 
 CC’ = √ (C1C)2 + (C1C’)2 = 1,73 cm 
 
 
 
 
A 
C B 
1 
2 
tracionada 
comprimida 
ΔL1 = C C3 
C3 
C1 
ΔL2 = C1 C 
C2 30º 
30º 
C’ 
16 
 
17) A figura representa uma peça de máquina em que todos os 
elementos são considerados absolutamente rígidos, à exceção da 
barra CD, para a qual E = 2 x 106 kgf/cm2. A força P atua 
estaticamente, até o valor de 1.000 kgf. Dimensionar a barra CD (S) e 
determinar o deslocamento do ponto B. A tensão admissível da barra 
CD vale 2.500 kgf/cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equilíbrio da barra AB: 
 Σ MA = 0  30 P = NCD . 60  30 x 1.000 = NCD . 60  NCD = 500 kgf 
Estabilidade da barra CD: σCD = NCD / SCD ≤ 2.500  SCD ≥ 0,2 cm2 
Deslocamento do ponto B = BB’, que será calculado a partir da semelhança dos triângulos ABB’ 
e ACC’: δB / CC’ = 81 / 60 e CC’ = ΔLCD 
ΔLCD = (500 x 100) / (2 x 106 x 0,2) = 0,125 cm 
δB = (81/60) x 0,125 = 0,17 cm 
 
 
 
 
A 
B 
P 
C D 
21 cm 
30 cm 
60 cm 
100 cm 
P 
NCD 
HA 
B’ 
C’ 
17 
 
18) A figura mostra um dispositivo de elevação de cargas, acionado 
mecanicamente pelo guincho G. O sistema é composto de um cabo 
metálico flexível que abraça uma roldana suportada por duas hastes 
metálicas AB e BC. Determinar a maior carga P que pode ser 
levantada, tendo em vista a resistência dos materiais. 
Peça Tensão admissível (kgf/cm2) S (cm2) 
Cabo 800 4 
Haste AB ± 1.200 2 
Haste BC ± 1.000 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estabilidade do cabo: P / 4 ≤ 800  P ≤ 3.200 kgf 
Equilíbrio do ponto B: 
 NAB sen 60º = NBC sen 30º (equação 1) 
 NAB cos 60º + NBC cos 30º = 2P (equação 2) 
Estabilidade das barras AB e BC: 
 AB: NAB / 2 ≤ 1.200  NAB ≤ 2.400  NAB máximo = 2.400 kgf 
 BC: NBC / 6 ≤ 1.000  NBC ≤ 6.000  NBC máximo =6.000 kgf 
 
60º 
30º 
A C 
B 
P 
G 
2P 
P 
NBC 
NAB 
18 
 
Se NAB = 2.400 kgf  NBC = 4.157 kgf (pela equação 1) (solução OK, pois está abaixo do limite) 
Se NBC = 6.000 kgf  NAB = 3.464 kgf (pela equação 1) (solução não OK, pois está acima do 
limite) 
Então P máximo (para haver estabilidade em AB e BC) = 2.400 kgf (da equação 2) 
Juntando com o P máximo para atender ao cabo, a resposta que satisfaz às duas condições é P 
máximo = 2.400 kgf. 
 
19) Determinar as tensões normais nas barras 1 e 2 e o deslocamento 
do ponto B. 
Barra L (cm) S (cm2) E (kgf/cm2) 
1 70 2,0 2,1 x 106 
2 105 1,5 2,1 x 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60º 
30º 
A B 
C 
750 √3 kgf 
1 
2 
N2 
N1 
tracionada 
tracionada 
B1 
B2 
B’ 
60º 
19 
 
Estática: equilíbrio do ponto B: 
N2 cos 60º + 750 √3 cos 30º = N1 N1 = 1.500 kgf 
N2 sen 60º = 750 √3 sen 30º N2 = 750 kgf 
σ1 = 1500 / 2 = 750 kgf/cm2 (tração) 
σ2 = 750 / 1,5 = 500 kgf/cm2 (tração) 
ΔL1 = (1.500 x 70) / (2,1 x 106 x 2) = 0,025 cm 
ΔL2 = (750 x 105 / (2,1 x 106 x 1,5) = 0,025 cm 
BB’ cos 60º = ΔL1  BB’ = 0,050 cm 
 
20) A barra AD é rígida e indeformável, podendo girar em torno de D. 
Determinar: 
 Forças normais em 1 e 2 
 Reações no apoio D 
 Rotação da barra AD 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) 
1 2 x 106 20 4 
2 2 x 106 20 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estática: Barra AD 
50.000 + V = N1 + N2 
50.000 x 6 = 2 N1 + 4 N2  N1 + 2 N2 = 150.000 (Hiperestático) 
D B C 
50.000 kgf 
1 2 
A 
 2 m 2 m 2 m 
B’ 
C’ 
N2 N1 V 
tracionada tracionada 
θ 
20 
 
Relação entre ΔLs: 
ΔL1 / 2 = ΔL2 / 4  2 ΔL1 = ΔL2  2 N1 = N2 
Então: N1 = 30.000 kgf e N2 = 60.000 kgf 
V = 40.000 kgf 
tg θ = ΔL1 / 200 = ((30.000 x 400) / (2 x 106 x 20)) / 200 = 0,0015  θ = 0,0015 rad 
 
21) Determinar o maior valor possível para a carga P. A barra AC é rígida 
e indeformável. 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) 
Tensão 
admissível 
tração 
(kgf/cm2) 
Tensão 
admissível 
compressão 
(kgf/cm2) 
L (cm) 
1 2,0 x 106 4 400 350 100 
2 2,2 x 106 2 300 250 110 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estática: barra AC 
2 N1 + 2 N2 = P (hiperestático) 
Deformações: ΔL1 = ΔL2  N1 = 2N2 
Estabilidade das barras: 
1 
2 
2 m 1 m 
A B C 
P 
A’ 
C’ 
V N1 
N2 
comprimida 
tracionada 
21 
 
Barra 1: N1 / 4 ≤ 350  N1 ≤ 1.400 kgf  N1 máximo = 1.400 kgf 
Barra 2: N2 / 2 ≤ 300  N2 ≤ 600 kgf  N2 máximo = 600 kgf 
Calculando P máximo: 
 Se N1 = 1.400  N2 = 700 kg (não OK) 
 Se N2 = 600  N1 = 1.200 kg (OK) 
Pmáximo = 2 x 600 + 2 x 1.200 = 3.600 kgf 
 
22) Determinar as reações de apoio e o encurtamento da zona 
comprimida. 
E = 2 x 106 kgf/cm2 (para as duas barras) 
S1 = 4 cm2 S2 = 2 cm2 L1 = 6 m L2 = 2 m 
 
 
 
 
 
 
Estática: R1 + R2 = 10.000 (hiperestático) 
 
Deformações: ΔL1 = ΔL2  (R1 x 600) / (2 x 106 x 4) = (R2 x 200) / (2 x 106 x 2) 
 R2 = 1,5 R1 
 
R1 = 4.000 kgf 
R2 = 6.000 kgf 
 
Encurtamento da parte comprimida = ΔL2 = (6.000 x 200) / (2 x 106 x 2) = 0,3 cm 
 
23) A plataforma de descarga AB pode ser considerada absolutamente 
rígida e pesa 2 tf. Ela é sustentada pelo tirante BC e está apoiada na 
coluna DE, ambos deformáveis. Pede-se determinar, no instante 
representado na figura, os esforços na coluna e no tirante para P = 
7.200 kgf. 
 
1 2 
10 tf 
R1 R2 
tracionada comprimida 
22 
 
Peça E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) 
Coluna 1 1,0 x 106 54 1,20 
Tirante 2 2,0 x 106 6 2,40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: N1 = 10.500 kgf e N2 = 3.500 kgf 
 
24) Na estrutura abaixo, somente as hastes AB e CD são consideradas 
deformáveis, estando a força estática P equidistante das mesmas. 
Haste S (cm2) Tensões admissíveis (kgf/cm2) E (kgf/cm
2) L (m) 
1-AB 1,2 ± 1.200 2 x 106 2 
2-CD 1,5 ± 1.000 2 x 106 2 
 
Determinar: 
 O maior valor possível para P 
Resposta: P máximo = 2.880 kgf 
 O deslocamento do ponto de aplicação da carga P quando P = P 
máximo 
Resposta: 0,108 cm 
 
 
2 
B 
A 
6 m 
5 m 
2 m 
P 
C 
D 
E 
1 Peso = 2.000 kgf 
23 
 
 O trabalho realizado pela força quando P = P máximo 
Resposta: 155,52 kgf.cm 
 
 
 
 
 
 
 
 Supondo agora que as referidas hastes são física e 
geometricamente iguais, com S = 2,1 cm2, L = 2 m e E = 2 x 106 
kgf/cm2, e que se introduza uma terceira haste EF, biarticulada em E 
e F, na direção da força P, determinar as reações nas hastes para P = 
4.200 kgf. Para a haste EF, tem-se: S = 1,5 cm2, L = 1 m e E = 2,1 x 
106 kgf/cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: N1 = 1.200kgf N2 = 1.200kgf N3 = 1.800kgf 
 
 
 
A 
B 
1 
P 
C 
D 
2 
A 
B 
1 
P 
C 
D 
2 
F 
E 
3 
24 
 
25) Verificar a estabilidade da estrutura abaixo. 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (m) Tensões admissíveis (kgf/cm2) 
1 2 x 106 2 3 ± 1.000 
2 2 x 106 1 3 ± 1.200 
3 1 x 106 3 2 ± 1.400 
 
 
 
 
 
 
 
Estática: barra horizontal 
N1 x 1 + N2 x 1 + N3 x 2 = 6.000 x 3 = 18.000 
 
Deformações: como são 3 incógnitas, precisamos encontrar mais 2 equações envolvendo 
as forças N para resolvermos o sistema. 
ΔL1 / 1 = ΔL2 / 1  N1 = 2N2 
ΔL1 / 1 = ΔL3 / 2  9N1 = 4N3 
 
N1 = 3.000  σ1 = 1.500 (INSTÁVEL) 
N2 = 1.500  σ2 = 1.500 (INSTÁVEL) 
N3 = 6.750 σ3 = 2.250 (INSTÁVEL) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 tf 3 
1 2 
1 m 1 m 1 m 1 m 
25 
 
26) Na estrutura abaixo, a peça ABDFH é suposta absolutamente rígida, 
sendo as hastes BC, DE e FG deformáveis. Determinar P máximo. 
Haste E (kgf/cm2) S (cm2) L (cm) Tensões admissíveis (kgf/cm2) 
BC 2,0 x 106 3 100 ± 1.000 
DE 1,8 x 106 2 180 ± 800 
FG 1,5 x 106 2 150 ± 600 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: P máximo = 2.666 kgf 
27) Sobre a estrutura, sabe-se que a peça ABCD é perfeitamente rígida, 
sendo as barras 1, 2 e 3 deformáveis. Determinar o maior valor 
possível de x (x ≤ 200 cm). 
Barra E (kgf/cm2) S (cm2) L (cm) Tensões admissíveis (kgf/cm2) 
1 2,1 x 106 2,4 210 ± 1.000 
2 1,8 x 106 4,0 140 ± 900 
3 2,0 x 106 1,8 210 ± 800 
 
 
 
 
 
P 
E 
H 
2 m 2 m 2 m 2 m 
A B 
C 
D 
G 
F 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: x máximo = 144 cm 
28) A peça ABCD é suposta sem peso e é perfeitamente rígida. Está 
articulada em A a uma rótula indeslocável e em C à extremidade 
inferior de um tirante vertical CE, cujas características são: S = 2 cm2, L 
= 2 m, E = 2 x 106 kgf/cm2 e μ = 0,25. 
Determinar: 
 O valor de P capaz de provocar uma redução de 3 x 10-4 cm2 na 
seção reta do tirante. 
Resposta: 800 kgf 
 A seção reta que deverá ter uma coluna vertical bi-articulada em B e 
F, de mesmo material do tirante, para que o alongamento deste 
seja reduzido à metade do que ocorria antes da montagem da 
coluna, para uma mesma intensidade de P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.300 kgf 
1 
2 
3 
1 m 1 m 2 m 
x 
A B 
F 
C D 
E G 
P 
E 
1 m 1 m 1 m 
A B 
F 
C D 
1 m 
27 
 
 Resposta: 4 cm2 
29) As barras A e B são consideradas indeformáveis. Os tirantes 1 e 2, 
deformáveis, possuem as características abaixo. As barras são todas 
consideradas sem peso. Determinar, quando a carga P, estática, 
atingir o valor de 1.600 kgf: 
 As tensões normais nas barras 1 e 2 
Resposta: σ1 = 1.200 (Tração) e σ2 = 1.200 (Tração) 
 O deslocamento do ponto C 
Resposta: 0,092 cm 
 O potencial elástico acumulado em toda a estrutura 
Resposta: 73 kgf. cm 
 Supondo que as tensões normais admissíveis das duas barras 
tenham sido fixadas com segurança 3, verificar se em alguma 
barra essa segurança foi reduzida e para quanto 
Resposta: segurança na barra 1 = 1,5 
 Segurança na barra 2 = 2,25 
 O maior valor de P sem afetar a segurança de nenhuma barra 
Resposta: 800 kgf 
 
Barra S (cm2) L (cm) E (kgf/cm2) Tensões admissíveis 
(kgf/cm2) 
1 3 30 1,4 x 106 ± 600 
2 2 40 2,1 x 106 ± 900 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
E 
2a 
A B F 
D 
2a a 
1 
C C 
G 
2 
28 
 
30) A peça ACB, suposta indeformável, pode girar, no plano da figura, 
em torno do pino fixo C, e está ligada às barras 1 e 2. A força P = 2.000 
kgf é suposta estática. Sabe-se que a = 2b. 
Determinar: 
 As reações em D e E, bem como a ação da barra ACB sobre o 
pino C 
 O deslocamento vertical de A 
 O potencial total armazenado na estrutura 
 
 
 
 
 
 
 
 
Barra S (cm2) L (cm) E (kgf/cm2) 
1 3 120 2,0 x 106 
2 2 80 2,0 x 106 
 
 Estática: barra AB 
 V + N1 cos 30 = 2000 + N2 
 H = N1 sen 30 
 2000 . 2b = N2 b + N1 cos 30 . 2b  4000 = N2 + √3 N1 (Hiperestático) 
 Deformações: 
 (ΔL1 /cos 30) / a = ΔL2 / b  N1 = √3 N2 
 N1 = 1.732 kgf 
 N2 = 1.000 kgf 
2 
1 
a b 
A 
C B 
P 
E 
30º 
B’ 
A’ 
A’’ 
N1 
N2 V 
H 
tração 
tração 
29 
 
 V = 1.500 kgf 
 H = 866 kgf 
 ΔL1 = 0,034 cm 
 ΔL2 = 0,020 cm 
 δA = A A’ = ΔL1 /cos 30 = 0,04 cm 
 W = 40 kgf.cm 
 
31) Na estrutura plana da figura, suposta sem peso, os pontos A e D são 
indeslocáveis e a peça BCD é suficientemente rígida de forma a poder 
ser considerada indeformável. Ela está articulada em D e suspensa 
pelas barras 1 e 2, deformáveis, de mesmo material e de seções 
transversais S2 = 4 S1 = 4 cm2. Sabendo-se que a força P = 2.400kgf 
(estática) é aplicada, armazena-se na estrutura um potencial elástico 
total de 36 kgf.cm, determinar: 
 Reações em A e D 
Resposta: H = 692 kgf e V = 400 kgf 
 O módulo de elasticidade longitudinal (E) das duas barras. 
Resposta: E = 2 x 106 kgf/cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
a a 2a 
A 
B C 
D 
1 2 
60º 
30º 
1 m