Equações de Maxwell Significados

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A formulação matemática das leis que descrevem 
o comportamento dos campos eletromagnéticos 
em uma terra condutora não homogênea é descrita 
pelas equações de Maxwell: 
 
t
DjH
∂
+=×∇
r
rr ∂
 (i) 0=⋅∇ B
r
 (ii) 
 t
BE ∂−=×∇
r
r ∂
 (iii) qD =⋅∇
r
 (iv) 
 
r
H
 = intensidade do campo magnético (ampère/metro, 
A/m) 
r
B
 = vetor indução magnética (densidade do fluxo 
magnético) (weber/m2 = tesla, T) 
r
E
 = intensidade do campo elétrico (V/m) 
r
D
 = vetor deslocamento elétrico (densidade de fluxo 
elétrico) (coulomb/metro2, C/m2) 
rj
 = densidade de corrente de condução (ampère/metro2 
(A/m2) 
∂
∂
r
D
t
= densidade de corrente de deslocamento (A/m2) 
q = densidade de carga elétrica (coulomb/metro3 , C/m3) 
 
 
 De (i) e (iv) obtém-se a equação de continuidade 
de fluxo de corrente (conservação da carga), que 
satisfaz a condição: 
 t
qj ∂−=⋅∇
∂r
 
 
Significado Físico das equações de Maxwell 
Integrando em superfície (iii) e aplicando para o 
primeiro termo o teorema de 
Stokes:figuras\maxwell.doc 
 
∫∫∫ −=⋅=∫∫ ×∇ ∂
∂
SL tS
dsnBdlEdsnE v
rvrvrv
.. τ
 
 
Quando S é limitada por um filamento condutor L, a linha 
integral do campo elétrico E
r
 ao longo do caminho L é a 
força eletromotriz (Fem) observada neste circuito, enquanto 
tem-se o fluxo magnético na integral ao lado direito: (nv 
unitário normal à ds; τv - unitário na direção de dl) 
 
 ∫ =⋅L FemdlE τ
vr
 e ∫∫ Φ=⋅
S
dsB nv
r
 
 
Φ é o fluxo magnético através do circuito. 
 
Resulta 
 t
Fem ∂
Φ
−=
∂
 
que é a Lei de Faraday para indução 
eletromagnética 
Integrando (i) em superfície: :figuras\maxwell.doc 
∫∫ ⋅=⋅∫∫ ∫∫ ∫∫+⋅=⋅×∇
S
dsncdsn
S
S S t
DdsnjdsnH rrr
r
rrrr
∂
∂
 
Aplicando o teorema de Stokes obtém-se a corrente total 
Itotal através do circuito L: 
 
∫ =⋅
L
IdlH τr
r
total 
 
 
Esta equação representa a expressão matemática 
da lei de Ampère: a circulação do campo magnético ao 
longo de qualquer circuito fechado é igual à corrente total 
através deste circuito. O conceito de corrente de 
deslocamento introduzido por Maxwell permite considerar 
que as correntes podem se propagar no espaço livre (sempre 
que houver campo elétrico variando no tempo). 
• Campos magnéticos são gerados por 
correntes de condução e correntes de 
deslocamento 
• Campos elétricos surgem devido a variação 
temporal do campo de indução B 
:figuras\maxwell.doc 
A eq. (iv) representa o fato de que as cargas elétricas são a 
fonte do campo deslocamento elétrico rD , ou seja, esta 
relação é a expressão matemática da lei de 
Coulomb e está em concordância com o fato do campo 
elétrico rE criado por carga elétrica em um meio isotrópico 
homogêneo com constante dielétrica ε ser proporcional ao 
tamanho da carga Q e inversamente proporcional a distância 
r
2
 e 4piε: 
 
rd
r
QE
rr








= 24piε
 
 
:figuras\maxwell.doc 
 A eq (ii) expressa o fato observado que no mundo real não 
há algo como carga magnética. O campo indução magnético 
r
B é meramente um campo vórtice magnético, cuja fonte é 
corrente elétrica. A partir da eq. de continuidade, fazendo 
uso do teorema de Gauss ( dvVdsnV
S V
∫∫ ∫ ⋅∇=⋅
rrr ), obtém-se a 
expressão matemática da condição de conservação de carga: 
t
QI ∂−=
∂
 
Equações constitutivas: 
 
 
ED
rr
ε=
 
 
HB
rr
µ=
 
onde : 
µ = permeabilidade magnética do meio (henry/metro, H/m) 
µ 0 = permeabilidade magnética no vácuo = 4 10 7pi × − H/m 
ε
 = permissividade elétrica (ou permeabilidade dielétrica) 
do meio (farad/metro, F/m) 
ε 0 = permissividade elétrica no vácuo = 8 854 10 12. × − F/m 
Adicionalmente, observa-se experimentalmente que a 
densidade de corrente em materiais terrestres é linearmente 
proporcional ao campo elétrico vetorial 
r
E . Este fato é 
conhecido como lei de Ohm: 
Ej rr σ=
 
 
σ = condutividade elétrica do meio (siemens/metro, S/m). 
É definido como resistividade elétrica o inverso da 
condutividade representada como ρ: 
 σ
ρ 1=
 
As equações de Maxwell não levam em conta a origem dos 
campos, embora correntes e cargas não se originem somente 
devido à ação de forças elétricas, mas também devido a 
forças mecânicas, químicas e outras. As correntes e cargas 
que se originam devido a outras forças que não a 
eletromagnética são denominadas de extrínsecas. Incluindo 
as correntes e cargas extrínsecas nas equações de Maxwell: 
 
 t
DexjjH ∂++=×∇
r
rrr ∂
 
0=⋅∇ B
r
 
 t
BE ∂−=×∇
r
r ∂
 
exqqD +=⋅∇
r
 
 
Difusão dos Campos Eletromagnéticos 
• Campo Eletromagnético em um Meio 
Homogêneo Genérico 
 
Meio homogêneo e isotrópico → ε, µ e σ sejam 
constantes no tempo e espaço: 
 
t
EEH ∂
∂+=×∇
r
rr εσ
 (i) 0=⋅∇ H
r
 (ii) 
 
t
HE ∂
∂
−=×∇
r
r µ
 (iii) 0=⋅∇ E
r
 (iv) 
 
Em (iv) a densidade de carga q é zero, pois não existem 
cargas livres em um meio condutor homogêneo. 
Em muitas aplicações da geofísica é desejável que as eqs. de 
Maxwell sejam reescritas descrevendo os campos elétrico e 
magnético separadamente. Aplicando-se o operador 
rotacional em ambos os lados da eq. (ii) e substituindo na 
eq. (i) e de modo similar aplicando-se o rotacional na eq. (i) 
e substituindo na (ii) aplicando a propriedade do vetor 
identidade: 
 
 
AAA
rrr
2)( ∇−⋅∇∇=×∇×∇
 
 
2∇
 representa o vetor operador Laplaciano. 
e levando-se em conta (iv), obtém-se : 
 
02
22
=∂
∂
−∂
∂
−∇
t
E
t
EE
rr
r µσµε
 
e 
 
02
22
=∂
∂
−∂
∂
−∇
t
H
t
HH
rr
r µσµε
 
Essas equações descrevem completamente os campos 
magnético e elétrico em um meio homogêneo e são 
conhecidas como equações dos telégrafos. 
 
• Campo Eletromagnético em meio homogêneo 
não condutor (equação da onda) 
 
Quando σ = 0, as eqs. para em meio homogêneo genérico 
podem ser reescritas como : 
 
 
02
2
2
=∂
∂
−∇
t
EE
r
r µε
 
 
02
2
2
=∂
∂
−∇
t
HH
r
rµε
 
Essas equações são conhecidas como equações de onda e 
descrevem a natureza da propagação de onda 
eletromagnética em um meio não condutor. 
 
• Campo Eletromagnético Quase-Estacionário 
Em muitas aplicações na geofísica o campo eletromagnético 
varia lentamente com relação ao tempo. Nesses casos, a 
dependência com as derivadas segundas podem ser 
desprezadas, obtendo-se: 
 
02 =∂
∂
−∇
t
EE
r
r µσ
 e 02 =∂
∂
−∇
t
HH
r
r µσ
 
 
 
Estas equações são conhecidas como equações de difusão. 
A propagação do campo eletromagnético em um meio 
condutor apresenta um comportamento de difusão, visto que 
grande parte da energia é dissipada em forma de calor, e 
portanto pode ser descrito como difusão eletromagnética, 
com comportamento quase-estacionário. 
Uma outra simplificação é considerada em várias aplicações 
(por exemplo, no método magnetotelúrico) negligenciando o 
efeito de correntes de deslocamento nas equações de 
Maxwell, ou seja, 0=∂∂ tD
r
, mas levando em conta o 
termo que representa a indução eletromagnética ( tB ∂∂
r
), 
obtendo-se então: 
 
 
EH
rr
σ=×∇
 
0=⋅∇ B
r
 
 t
BE ∂
∂
−=×∇
r
r
 
)(1 σ
σ
∇⋅−=⋅∇ EE
rr
 
 
 
Em um regime quase-estacionário, o campo eletromagnético 
é independente das propriedades dielétricas do meio. 
• Campos eletromagnéticos estáticos 
Equações governam os métodos de corrente contínua (DC), 
incluindo VES, caminhamento elétrico, IP, potencial 
espontâneo, etc. 
jH vv =×∇
 (i) 0=×∇ E
v
 (ii) 
0=⋅∇ B
v
 (iii) qD =⋅∇
v
 (iv) 
mais ED
rv
ε=
 
Ej vr σ=
 
HB
rv
µ=
 
A interdependência entre os campos elétrico e magnético é 
menos evidente. De (ii), tem-se que: 
UE −∇=
v
 
U é o potencial eletrostático. 
De (iii), tem-se que (div rot )0≡ : 
AB
rv
×∇= , A
r
 é o potencial vetorial magnético 
 
(iv) pode ser reescrita como VqE 2∇−==⋅∇ εε
v
 
 
ou ε/2 qV −=∇ (equação de Poisson) 
No espaço livre, tem-se: 
02 =∇ V
 (equação de Laplace) 
• Campos Quase-Estacionários Monocromáticos 
Supondo a dependência temporal do campo eletromagnético 
expressa por uma função harmônica (e.g. um multiplicador 
exponencial e-iωt), obtém-se: 
 
EH
rr
σ=×∇
 
 
HiE
rr
0ϖµ=×∇ 
 Separando os 2 campos, considerando as condições de 
divergência: 
 
 
0=⋅∇ H
r
 e 0=⋅∇ E
r
 
obtém-se: 
 
00
2
=+∇ HiH
rr
σϖµ
 
 
00
2
=+∇ EiE
rr
σϖµ
 
 
fazendo 
 
 
σϖµ0
2 ik =
 
 
onde k é denominado número de onda, reescreve-se: 
 
 
( ) 022 =+∇ Hk r
 
 
 
( ) 022 =+∇ Ek r
 
 
Essas equações são conhecidas como equações de 
Helmholtz que descrevem o comportamento do campo 
eletromagnético quase-estacionário. 
 
 O número k é um número complexo que pode ser reescrito 
como : 
 
 
2
1
2
1 )0()( σϖµiik = 
 
 
Usando a fórmula de Euler que calcula a raiz quadrada de 
um número complexo i = (-1)1/2 : 
 
 
2)1( ii +±=
 
 
Supondo, por convenção, que as raízes real e imaginária são 
positivas e introduzindo a definição de λ como : 
 
 λpi
σϖµ 22
1
2
0 =








 
 
tem-se: 
 λ
pi2)1( ik +=
 
 
sendo que Tf pipiϖ 22 == , onde f é a freqüência temporal 
em hertz e T é o período de oscilação em segundos. Tendo 
em conta que ρσ 1= , medido em siemens por metro, e 
assumindo µ como sendo a permeabilidade magnética do 
espaço livre, 71040
−×= piµ ohms-segundos / metro, obtemos: 
 
 
2
1)710( Tρλ =
 
 
que é o comprimento de onda medido em unidades de 
comprimento, metros. 
Onda Eletromagnética Plana em um meio 
Homogêneo 
 
Considere um meio homogêneo e isotrópico caracterizado 
pelas propriedades σ e µ em sistema de coordenadas 
cartesiano x, y, z com a direção do eixo z orientada 
positivamente para baixo. Sejam os campos HE rr, harmônicos 
no tempo, se propagando em um regime quase-estacionário 
e tendo as seguintes propriedades: 
 
(a)- Os vetores Hr e Er são constantes sobre um dado plano 
horizontal: 
 
.., constHconstE ≡≡
rr
, para z = const. 
Portanto: 
 
 
0≡
∂
∂
≡
∂
∂
≡
∂
∂
≡
∂
∂
y
H
x
H
y
E
x
E
rrrr
 
 
(b)- os campos sofrem atenuação à medida que viaja na 
direção de z positivo: 
 
0, →HE
rr
 à medida que ∞→z 
 
A condição (a) define uma onda plana se propagando na 
direção ± z. O Laplaciano nesse caso se escreve: 
 
 
2
2
2
z
HH
∂
∂
=∇
r
r
 
 
2
2
2
z
EE
∂
∂
=∇
r
r
 
 
 
E as equações unidimensionais de Helmholtz: 
 
 
022
2
=+
∂
∂ Hk
z
H r
r
 
 
 
022
2
=+
∂
∂ Ek
z
E r
r
 
 
cujas soluções são: 
 
ikzikz eHeHH −−+ +=
rrr
 
 
ikzikz eEeEE −−+ +=
rrr
 
onde −+−+ EEHH
rrrr
,,,
 são vetores constantes arbitrários, em 
geral complexos, a serem determinados. 
 Como λ
pi2)1( ik += 
λpi /2=
−
=
−
−
=
g
igz
e
gz
eikze
igz
e
gz
eikze
 
 
Fisicamente, a solução precisa ser finita mesmo quando 
z ∞ , implicando que −H
r
= 
−E
r
= 0 e resultando em 
ikzeHH +=
rr
 
 
ikzeEE +=
rr
 (condição: meio é totalmente uniforme) 
 
A amplitude do campo é caracterizada por um comprimento 
de onda dado por gpiλ 2= , que varia harmonicamente 
com z , sendo amortecido por um fator de atenuação 
exponencial. Devido a este comportamento, o campo pode 
ser tratado como uma onda plana.Entretanto, na 
aproximação quase-estacionária o campo eletromagnético 
não é descrito nem pelas eq. telegráficas nem por equações 
de onda , e sim pela equação de difusão. A propagação do 
campo no meio obedece a lei de difusão, e portanto a 
expressão onda eletromagnética não seria de todo 
apropriada neste caso. 
 
 
São estabelecidas as seguintes definições para onda plana: 
(1)– A frente de fase de uma onda eletromagnética é a 
superfície formada por todos os pontos que têm a mesma 
fase oscilatória, e se propaga, como um plano horizontal, 
verticalmente na terra. Sobre a frente de fase os campos H
r
 
e E
r
 têm a propriedade de serem constantes. 
 
(2)– A velocidade de fase de propagação de uma onda 
eletromagnética é definida como sendo a taxa de movimento 
da frente de fase, dada por: 
 
 
( ) Twtzv λλpi ==∂∂= 2 
 
onde Tw pi2= , sendo T o período de uma oscilação. 
 Como λ = (107 ρ T )1/2 , tem-se: 
 v = (107 Tρ )1/2 
onde ρ é medido em ohm-metros, T em segundos e v em 
metros/segundos. 
(3)– O comprimento de onda de uma onda eletromagnética é 
a distância entre frentes de ondas as quais estão separadas 
no tempo por um período de oscilação, dado por : 
 
 λ = vT = (107 ρ T )1/2 
 
(4) – A profundidade de penetração do campo 
eletromagnético na terra é dada pelo valor de “skin depth”. 
O “skin depth” ( eδ ) para um campo eletromagnético se 
propagando em uma terra condutiva é a distância sobre a 
qual a amplitude da onda a (z) se reduz por um fator igual a 
1/e = 0.3678794411. Em termos da resistividade é definido 
como : 
 
 
( ) 2172127 )10(159.0410 TTe ρpiρδ ≈= 
Sua dimensão é comprimento.