Função Modular

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Função modular (ou valor absoluto)
As funções que estudamos até o momento foram definidas por uma única sentença
(uma única equação), mas isso nem sempre ocorre.
Há funções que, em um dado subconjunto D1 do domínio da função são definidas
por uma equação e, em um outro subconjunto D2, mudam de comportamento,
obededendo outra equação. Exemplo disso é a função modular ou função valor
absoluto.
A função modular é definida por
fx = |x| ou fx = x se x ≥ 0
−x se x < 0
Observe, então, que a função modular é definida por duas sentenças, cada uma delas,
relacionada a uma reta: y = x e y = −x. Dessa forma, para construir seu gráfico,
procedemos como se estivéssemos construindo o gráfico dessas duas retas, apenas
cuidando de considerar a restrição para os valores de x correspondentes. Na realidade,
vamos ter dois ”pedaços” de retas: para x ≥ 0, teremos um pedaço da reta y = x e, para
x < 0, teremos um pedaço da reta y = −x. O domínio da função modular é R e a
imagem é R+.
Assim, o gráfico da função é como segue.
-4 -2 0 2 4
2
4
x
y
Além de considerarmos a função modular fx = |x|, também é importante estudarmos
funções obtidas pela composição da função modular com outras funções. Por exemplo,
consideremos a função definida por
gx = |3x − 1|
Essa função é obtida fazendo a composição da função modular fx = |x| com a função
do 1º grau hx = 3x − 1. Podemos redefiní-la, considerando a definição de módulo.
Assim,
gx = |3x − 1| = 3x − 1 se 3x − 1 ≥ 0
−3x − 1 se 3x − 1 < 0
ou seja,
gx =
3x − 1 se x ≥ 13
−3x + 1 se x < 13
1
Veja, então, que gx é definida por duas sentenças, cada uma delas, relacionada a
uma reta: y = 3x − 1 e y = −3x + 1. Para construir seu gráfico, procedemos como se
estivéssemos construindo o gráfico dessas duas retas, apenas cuidando de considerar
a restrição para os valores de x correspondentes. Teremos dois ”pedaços” de retas:
para x ≥ 13 , teremos um pedaço da reta y = 3x − 1 e, para x <
1
3 , teremos um pedaço
da reta y = −3x + 1. O gráfico fica como a seguir.
-4 -2 0 2 4
5
10
15
x
y
Exemplo: A exemplo das funções do 2∘ grau, também podemos obter o gráfico de
funções modulares, relacionando as equações que as definem com a função modular
mais simples fx = |x|. Considerando isso, construa o gráfico das funções definidas a
seguir sobre o sistema que já contem o gráfico de y = |x|. Também determine o domínio
e a imagem das funções.
1) gx = |x| − 2
2) hx = |x − 3|
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
x
y
Exemplo: Redefina as funções dadas a seguir e então construa seus gráficos.
1) lx = |2x + 4|
2) Hx = 2|x − 1|
Exercícios
Construa os gráficos, dê o domínio e a imagem das funções:
1) fx = |x + 4|
2) gx = |x| + 0, 5
3) hx = |2x − 3|
4) Fx = −2|3 − x|
5) Gx = |x2 − 4|
2