A1/gabarito - cálculo 3 - Prof. Edézio

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FOLHA DE QUESTÕES
CURSO: DISCIPLINA:
ASS.: NOME:
Professor :
DATA: Nº de ordem GRAU: PROVA: TURMA MATRÍCULA:
___/____/____
1a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Calcular a massa do fio ~r(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ π, cuja
densidade linear e´ ρ(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
2a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Um campo de velocidade e´ dado por
−→
V = 2x~i+4y~j; as unidades
de velocidades sa˜o m/s; x e y sa˜o dados em metros; .
(a) Obtenha uma equac¸a˜o para as linhas de correntes no plano xy.
(b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto (x0, y0, 0) = (2,−1, 0).
(c) Determine a velocidade de uma part´ıcula no ponto (2,−1, 0).
(d) Se a part´ıcula que passa pelo ponto (x0, y0, 0) for marcada no instante t0 = 0, determine
a sua localizac¸a˜o no instante t = 4s.
(e) Qual a velocidade da part´ıcula no instante t = 4s?
3a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): A base de uma cerca e´ dada pela curva C definida no plano xy
por:
x(t) = 30 cos3 t, y(t) = 30sen3t, 0 ≤ t ≤ 2π.
A altura da cerca na posic¸a˜o (x, y) e´ dada pela func¸a˜o h(x, y) = 1 +
y
3
(x e y em metros). Se
para pintar cada m2 um pintor cobra p reais, quanto o pintor cobrara´ para pintar os dois lados
da cerca.
4a Questa˜o (valor: 2,0 pontos):
(a) Mostre que I =
∫
C
(1 + 2xy + ln x)dx+ x2dy e´ independente do caminho.
(b) Calcule a integral I onde C e´ dada por −→r (t) = (1 + cos t, sen t) com −π/2 ≤ t ≤ π/2.
5a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Seja ~F (x, y, z) = (y2 cos x, 2ysen x + e2z, 2ye2z). Verifique se o
campo vetorial ~F (x, y, z) e´ conservativo. Caso seja, determine uma func¸a˜o potencial para
~F (x, y, z).
Gabarito
1a Questa˜o: Temos que a massa e´ dada por:
m =
∫
C
ρ(x, y, z) ds =
∫ pi
0
ρ(~r(t)) · |~r′(t)| dt
Como:
(i) ~r′(t) = (−sen t, cos t, 1)⇒ |~r′(t)| = √sen2t+ cos2 t+ 1 = √2
(ii) ρ(~r(t)) = (cos t)2 + (sen t)2 + t2 = 1 + t2
temos:
m =
∫ pi
0
(1 + t2)
√
2 dt =
√
2(t+
t3
3
)|pi0 =
√
2(π +
π3
3
)
2a Questa˜o: (a),(b): Temos que:
dy
dx
|linha de corrente = v
u
=
4y
2x
=
2y
x
⇒ 1
y
dy =
2
x
dx⇒ ln |y| = 2 ln |x|+k ⇒ ln |y| = ln x2+k ⇒ y = cx2
(c) No ponto (2,−1, 0) temos ~V = 4~i− 4~j ⇒ |~V | = √32 = 4√2 e c = −1/4⇒ y = −1
4
x2.
(d) Como:
(i) u =
dx
dt
⇒ dx
dt
= 2x⇒ 1
x
dx = 2 dt⇒
∫ x
x0
1
x
dx =
∫ t
0
2 dt⇒ ln | x
x0
| = 2t⇒ x(t) = x0e2t
(ii) v =
dy
dt
⇒ dy
dt
= 4y ⇒ 1
y
dy = 4dt⇒
∫ y
y0
1
y
dy =
∫ t
0
4dt⇒ ln | y
y0
| = 4t⇒ y(t) = y0e4t.
Para t = 4s,
x(4) = 2e2(4) = 2e8 = 5961, 9m e y(4) = −1e4(4) = −e16 = −8886, 1m
e assim a part´ıcula estara´ em (5961, 9, −8886, 1, 4).
(e) No ponto (5961, 9, −8886, 1, 4) temos ~V = 2 · (5961, 9)~i− 4 · (−8886, 1)~j = 11923, 8~i+35544, 4~j
3a Questa˜o: A a´rea a ser pintada sera´ dada pela integral: A =
∫
C
h(x, y) ds =
∫
C
h(~r(t)) · |~r′(t)| dt.
Temos:
(i) ~r′(t) = (−90 cos2 t · sen t, 90sen2t · cos t)⇒ |~r′(t)| = √8100 cos4 t · sen2t+ 8100sen4t · cos2 t⇒
|~r′(t)| =√8100 cos2 t · sen2t(cos2 t+ sen2t) = 90 cos t · sen t
(ii) h(~r(t)) = 1 +
30sen3t
3
= 1 + 10sen3t
Portanto A = 4
[∫ pi/2
0
(1 + 10sen3t) · 90 cos t · sen t dt
]
= 4
∫ pi/2
0
90 cos t ·sen t+900 cos t ·sen4t dt⇒
A = 4
[
45sen2t+ 180sen5t
] |pi/20 = 4 · 225 = 900m2 ⇒ cobrara´ 900 · p reais.
4a Questa˜o:
(a) Temos M(x, y) = 1 + 2xy + ln y e N(x, y) = x2 ⇒ ∂M
∂y
= 2x =
∂N
∂x
⇒ integral independente do
caminho.
(b) ~r(−π/2) = (1,−1) e ~r(π/2) = (1, 1)⇒ I =
∫ (1,1)
(1,−1)
(1 + 2xy + ln x)dx+ x2dy
Seja C ′ o segmento de reta que liga o ponto (1,−1) a (1, 1), temos que uma parametrizac¸a˜o para C ′ e´
dada por γ(t) = (1,−1)+[(1, 1)− (1,−1)]·t, 0 ≤ t ≤ 1, ou seja, γ(t) = (1,−1+2t), 0 ≤ t ≤ 1. Como
I =
∫ 1
0
~F (γ(t)) · γ′(t) dt e γ′(t) = (0, 2) temos que I =
∫ 1
0
[(1 + 2(1)(−1 + 2t) + ln 1] · 0 + 12 · 2dt =
2t|10 = 2.
5a Questa˜o: Temos, ~F (x, y, z) = (y2 cos x, 2ysen x+ e2z, 2ye2z), assim:
M(x, y, z) = y2 cos x, N(x, y, z) = 2ysen x+ e2z, P (x, y, z) = 2ye2z
Portanto,
∂M
∂y
= 2y cos x =
∂N
∂x
,
∂M
∂z
= 0 =
∂P
∂x
,
∂N
∂z
= 2e2z =
∂P
∂y
o que acarreta ~F ser um campo conservativo, ou seja, ~F (x, y, z) = ∇u(x, y, z) = (ux, uy, uz). Assim
sendo, 

ux = M(x, y, z) = y
2 cos x (i)
uy = N(x, y, z) = 2ysen x+ e
2z (ii)
uz = P (x, y, z) = 2ye
2z (iii)
De (i) temos,
u(x, y, z) = y2sen x+ C(y, z)⇒ uy = 2ysen x · Cy(y, z) (ii)= 2ysen x+ e2z ⇒ Cy(y, z) = e2z, portanto
C(y, z) = ye2z + C(z) e assim sendo,
u(x, y, z) = y2sen x+ ye2z + C(z)
Continuando temos uz = 2ye
2z + C ′(z)
(iii)
= 2ye2z ⇒ C ′(z) = 0⇒ C(z) = C.
Portanto a func¸a˜o potencial e´ dada por u(x, y, z) = y2sen x+ ye2z + C.