Questões de Trigonometria

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TRIGONOMETRIA 
1. (G1 - ifsc) É CORRETO afirmar que o menor ân-
gulo formado pelos ponteiros da hora e dos minutos 
às 8h 20 min é: 
a) Entre 80 e 90 
b) Maior que 120 
c) Entre 100 e 120 
d) Menor que 90 
e) Entre 90 e 100 
 
2. (Insper) A figura abaixo representa o gráfico da 
função = +f (x) a cos(x) b. 
 
 
 
A soma +a b e a diferença −b a são, respectiva-
mente, iguais a 
a) 3 e 1. 
b) 1 e 3.− 
c) π e 1. 
d) 1− e .π 
e) 3 e 1.− 
 
3. (Ifsul) Corrente alternada é a corrente elétrica na 
qual a intensidade e a direção são grandezas que 
variam ciclicamente. Em um circuito de potência de 
corrente alternada, a forma da onda mais 
utilizada é a onda senoidal, no entanto, ela pode se 
apresentar de outras formas como, por exemplo, a 
onda triangular e a onda quadrada. 
Disponível em: http://www.brasilescola.com/fisica/corrente-al-
ternada.htm. Acesso: 14 abr. 2015. (Adaptado) 
A função 
2 t
f(t) 30 sen
5
π π− 
=  
 
 
 
expressa a corrente alternada de um circuito em 
função do tempo, dado em segundos. 
Qual é o período dessa função? 
a) 3 s b) 4 s c) 5 s d) 6 s 
4. (G1 - cftmg) O esboço do gráfico da função 
f (x) a b cos(x)= + é mostrado na figura seguinte. 
 
 
 
Nessa situação, o valor de a b é 
a) 2 b) 3 c) 5 d)6 
 
5. (Uepa) A ornamentação de carrocerias de veícu-
los é uma tradição antiga que se inicia com o uso 
de transportes de carga motorizados no Brasil. A 
tradição de decorar carrocerias particulariza e traz 
personalidade a cada veículo por meio de cores, 
grafismos e elementos visuais pertinentes a cada 
cultura onde estão inseridos. Um dos moldes utili-
zados para pintar, fabricado em chapa metálica gal-
vanizada e desenho cortado a laser, está represen-
tado na figura 1 abaixo. Inserindo um sistema car-
tesiano ortogonal na figura 1, obtém-se a figura 2, 
onde estão representadas as funções trigonométri-
cas 1f , 2f , 3f e 4f . Nessas condições e conside-
rando que a lei de formação de cada uma das fun-
ções representadas na figura 2 são do tipo 
y f(x) a b sen(cx d),= = +  + com a, b, c e d núme-
ros reais, é correto afirmar que: 
 
 
 
 
a) 1y f (x) 3 sen(x 2)= = + + 
b) 2y f (x) 3 sen(x 2)= = + − 
c) 3y f (x) 3 sen(x 2)= = − + − 
d) 4y f (x) 3 sen(x 2)= = − − − 
e) 1y f (x) 3 sen(x 2)= = − − 
 
6. (Espcex (Aman)) A população de peixes em 
uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da 
região. Ela cresce no período chuvoso e decresce 
no período de estiagem. Esta população é descrita 
pela expressão 
3 t 2
P(t) 10 cos 5
6
π
  − 
= +   
   
 
em que o tempo t é medido em meses. É correto 
afirmar que 
a) o período chuvoso corresponde a dois trimestres 
do ano. 
b) a população atinge seu máximo em t 6 .= 
c) o período de seca corresponde a 4 meses do 
ano. 
d) a população média anual é de 6.000 animais. 
e) a população atinge seu mínimo em t 4= com 
6.000 animais. 
 
7. (Ufsm) Cerca de 24,3% da população brasileira 
é hipertensa, quadro que pode ser agravado pelo 
consumo excessivo de sal. A variação da pressão 
sanguínea P (em mmHg) de um certo indivíduo é 
expressa em função do tempo por 
8
P(t) 100 20 cos t
3
π 
= −  
 
 
onde t é dado em segundos. Cada período dessa 
função representa um batimento cardíaco. 
Analise as afirmativas: 
I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 
batimentos por minuto. 
II. A pressão em t 2= segundos é de 110 mmHg. 
III. A amplitude da função P(t) é de 30 mmHg. 
Está(ão) correta(s) 
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
8. (G1 - ifsul) A conta de luz de certa residência, 
ao longo do ano de 2014, variou segundo a função 
V(t) 180 65 sen t ,
2
π 
= +   
 
 
em que V(t) é o valor pago na fatura e t é o mês 
do ano, com t 1= correspondendo a janeiro, e as-
sim sucessivamente. Com base nos dados, analise 
as seguintes proposições: 
I. O valor mínimo registrado na fatura foi de 
R$ 65,00. 
II. O valor máximo registrado na fatura foi de 
R$ 245,00. 
III. No sétimo mês o valor pago foi de R$ 115,00. 
Estão corretas as afirmativas 
a) I e III apenas. 
b) I e II apenas. 
c) II e III apenas. 
d) I, II e III. 
 
9. (Acafe) A área da região que tem como vértices 
as extremidades dos arcos que verificam a equa-
ção sen2x senx 0+ = no intervalo de [0, ],π em uni-
dades de área, é: 
a) 
3
2
 
b) 
3
4
 
c) 3 
d) 
3 3
4
 
10. (Uern) Considerando que 2
3
sen ,
4
α = com 
0 90 ,α    então o valor da expressão 
cos sen tg
2
α
α α
 
+  
 
 é 
a) 1. b) 3. c) 3. d) 2 3. 
 
11. (Espcex (Aman)) O valor de 
( )cos 165 sen 155 cos 145 sen 25 cos 35 cos 15 +  +  −  +  +  
é 
a) 2 . 
b) 1.− 
c) 0. 
d) 1. 
e) 
1
.
2
 
 
12. (Upe) Num triângulo retângulo, temos que 
tg x 3.= Se x é um dos ângulos agudos desse tri-
ângulo, qual o valor de cos x ? 
a) 
1
2
 
b) 
5
10
 
c) 
2
2
 
d) 
1
4
 
e) 
10
10
 
 
 
 
13. (Ueg) Considerando-se que 
2
sen(5 ) ,
25
 = tem-
se que cos(50 ) é 
a) 
2
( 621 2)
50
+ 
b) 
2
( 621 2)
50
− 
c) 
2
(1 621)
50
− 
d) 
2
( 621 1)
50
− 
 
14. (Ime) Os lados a, b e c de um triângulo estão 
em PA nesta ordem, sendo opostos aos ângulos 
internos �̂�, �̂�e �̂�, respectivamente. Determine o va-
lor da expressão: 
𝑐𝑜𝑠
�̂� − �̂�
2
𝑐𝑜𝑠
�̂� + �̂�
2
 
a) 2 
b) 2 
c) 2 2 
d) 3 
e) 4 
 
15. (Uece) Sejam x, y e z as medidas dos lados 
do triângulo XYZ e R a medida do raio da circun-
ferência circunscrita ao triângulo. Se o produto dos 
senos dos ângulos internos do triângulo é 
3
k x y z
,
R
  
 então o valor de k é 
a) 0,500. 
b) 0,250. 
c) 0,125. 
d) 1,000. 
 
16. (G1 - ifsul) Em certa cidade, a igreja está loca-
liza no ponto A, a prefeitura no ponto B, e a livraria 
no ponto C, como mostra os pontos a seguir. Sa-
bendo-se que a distância da igreja à prefeitura é de 
10 metros, a distância da prefeitura à livraria cor-
responde a 15 metros, e que o ângulo formado por 
essas duas direções é 60 , a distância da livraria à 
igreja é 
 
a) 17 5 m 
b) 5 7 m 
c) 25 7 m 
d) 7 5 m 
 
17. (Ufjf-pism 2) Os drones 1 e 2 (veículos aéreos 
não tripulados) saem em missão de um mesmo 
ponto geográfico P às 20 h. Conforme a figura 
abaixo, o drone 1 tem sua rota dada na direção 60 
nordeste, enquanto o drone 2 tem sua rota dada na 
direção 15 sudeste. Após 1 minuto, o drone 1 per-
correu 1,8 km e o drone 2 percorreu 1 km, ambos 
em linha reta. 
 
 
 
A distância aproximada, considerando 2 e 3 
aproximadamente 1,4 e 1,7, respectivamente, em 
quilômetros, entre os dois drones, após 1 minuto, é 
igual a: 
a) 1,8 km. 
b) 2,2 km. 
c) 2,6 km. 
d) 3,4 km. 
e) 4,7 km. 
 
18. (Unicamp) A figura a seguir exibe um pentá-
gono com todos os lados de mesmo comprimento. 
 
 
 
A medida do ângulo θ é igual a 
 
a) 105 . 
b) 120 . 
c) 135 . 
d) 150 . 
 
 
19. (Pucrj) Sabendo que 
3
x
2
π
π   e 
1
sen (x) ,
3
= − 
é correto afirmar que sen (2x) é: 
a) 
2
3
− 
b) 
1
6
− 
c) 
3
8
 
d) 
1
27
 
e) 
4 2
9
 
 
20. (Pucrj) Sabemos que 
4
cos x
5
= e x 0, .
2
π 
  
 
 
Quanto vale tg 2x ? 
a) 
3
4
 
b) 
7
24
 
c) 
24
7
 
d) 
1
25
 
e) 
1
24
 
 
21. (Pucrj) Sendo x um arco e satisfazendo 
x
2
π
π  e 
24
sen(x) ,
25
= o valor de 
x
cos
2
 
 
 
 é: 
a) 
1
25
 
b) 
1
5
− 
c) 
1
5
 
d) 
3
5
− 
e) 
3
5
 
 
22. (Enem) Segundo oInstituto Brasileiro de Geo-
grafia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são 
aqueles que apresentam ciclos bem definidos de 
produção, consumo e preço. Resumidamente, 
existem épocas do ano em que a sua disponibili-
dade nos mercados varejistas ora é escassa, com 
preços elevados, ora é abundante, com preços 
mais baixos, o que ocorre no mês de produção má-
xima da safra. 
A partir de uma série histórica, observou-se que o 
preço P, em reais, do quilograma de um certo 
produto sazonal pode ser descrito pela função 
x
P(x) 8 5 cos ,
6
π π− 
= +  
 
 onde x representa o mês 
do ano, sendo x 1= associado ao mês de janeiro, 
x 2= ao mês de fevereiro, e assim sucessiva-
mente, até x 12= associado ao mês de dezembro. 
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 
ago. 2012 (adaptado). 
Na safra, o mês de produção máxima desse pro-
duto é 
a) janeiro. 
b) abril. 
c) junho. 
d) julho. 
e) outubro. 
 
23. (Ufjf-pism) No processo de calcular o ângulo 
x formado entre duas avenidas transversais, um 
engenheiro obteve a seguinte equação 
3
sen x sen x.= Sabendo que x não excede 180 , é 
CORRETO afirmar que: 
a) x 1= − 
b) x 0= 
c) x 1= 
d) x
2
π
= 
e) 
3
x
2
π
= 
 
24. (Espcex (Aman)) A soma de todas as soluções 
da equação 
3 2
2 cos (x) cos (x) 2 cos(x) 1 0 ,− − + = 
que estão contidas no intervalo  0,2 ,π é igual a 
a) 2 .π 
b) 3 .π 
c) 4 .π 
d) 5 .π 
e) 6 .π 
 
25. (Ita) Os valores de x [0,2 ]π que satisfazem a 
equação 2 sen x cos x 1− = são 
a) 
3
arccos
5
 
 
 
 e .π 
b) 
3
arcsen
5
 
 
 
 e .π 
c) 
4
arcsen
5
 
− 
 
 e .π 
d) 
4
arccos
5
 
− 
 
 e .π 
e) 
4
arccos
5
 
 
 
 e .π 
 
26. (Uece) As soluções, em ℝ, da equação 
4 3 2
cos x 4cos x 6cos x 4cos x 1 0− + − + = são 
 
 
Sugestão: use o desenvolvimento do binômio 
4
(p q) .− 
a) x 2k ,π= onde k é um inteiro qualquer. 
b) x (2k 1) ,π= + onde k é um inteiro qualquer. 
c) x k ,π= onde k é um inteiro qualquer. 
d) x (4k 1) ,π= + onde k é um inteiro qualquer. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Considere o texto e as figuras para responder a(s) 
questão(ões). 
O circo é uma expressão artística, parte da 
cultura popular, que traz diversão e entretenimento. 
É um lugar onde as pessoas tem a oportunidade de 
ver apresentações de vários artistas como mági-
cos, palhaços, malabaristas, contorcionistas e 
muito mais. Mas antes que a magia desse mundo 
se realize, há muito trabalho na montagem da es-
trutura do circo. 
A tenda de um circo deve ser montada em 
um terreno plano e para isso deve ser construída 
uma estrutura, conforme a sequência de figuras. 
 
 
 
Nas figuras, considere que: 
- foram colocadas 8 estacas congruentes perpen-
diculares ao plano do chão; 
- cada estaca tem 4 m acima do solo; 
- as estacas estão igualmente distribuídas, sendo 
que suas bases formam um octógono regular; 
- os topos das estacas consecutivas estão ligados 
por varas de 12 m de comprimento; 
- para imobilizar as estacas, do topo de cada uma 
delas até o chão há um único cabo esticado que 
forma um ângulo de 45 com o solo (a figura mos-
tra apenas alguns desses cabos). Todos os cabos 
têm a mesma medida; 
- no centro do octógono regular é colocado o mas-
tro central da estrutura, que é vertical; 
- do topo de cada estaca até o topo do mastro é 
colocada uma outra vara. Todas essas varas têm a 
mesma medida; 
- na estrutura superior, são formados triângulos 
isósceles congruentes entre si; e 
- em cada um desses triângulos isósceles, a altura 
relativa à base é de 15 m. 
 
27. (G1 - cps) A quantidade de cabo utilizada para 
imobilizar as oito estacas, é, em metros, 
Para o cálculo, considere apenas a quantidade de 
cabo do topo de cada estaca até o solo. Despreze 
as amarras. 
a) 16 2. 
b) 24 2. 
c) 32 2. 
d) 40 2. 
e) 48 2. 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
 
 
O menor anglo formado pelos ponteiros do relógio 
será 4 30 x,  + portanto, maior que 120 . 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
Do gráfico, sabemos que a imagem de f é o inter-
valo [ 1, 3].− Logo, como a imagem da função cos-
seno é o intervalo [ 1, 1],− temos: 
[b a, b a] [ 1, 3] a 2 e b 1.− + = −  = = 
 
Portanto, segue que a b 3+ = e b a 1.− = − 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
O período P da função dada será dada por: 
2
P 5
2
5
π
π
= = 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
f (0) 5 a b cos 0 5 a b 5=  +  =  + = 
f ( ) 1 a b cos 1 a b 1π π=  +  =  − = 
 
Resolvendo o sistema temos a = 3 e b = 2. 
 
Portanto, a b 6. = 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
O período de 1f igual a (2 2 ) 2 2 .π π+ − = Logo, te-
mos c 1.= Além disso, o gráfico de 1f corresponde 
ao gráfico de f (x) a b sen x= +  deslocado duas uni-
dades para a direita. Em consequência, vem 
d 2.= − 
O conjunto imagem de 1f é o intervalo [2, 4]. 
Desse modo, temos 
 
[a b; a b] [2, 4] a 3 e b 1.− + =  = = 
 
Portanto, segue que 1f (x) 3 sen(x 2),= + − com 
x [2, 2 ].π + 
 
É fácil ver que 2 1f (x) f ( x).= − Logo, vem 
2f (x) 3 sen( x 2) 3 sen(x 2).= + − − = − + 
 
Ademais, temos 3 2f (x) f (x) 3 sen(x 2)= − = − + + e 
4 1f (x) f (x) 3 sen(x 2).= − = − − − 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
Construindo o gráfico da função, temos: 
 
 
 
De acordo com o gráfico, o período chuvoso acon-
tece em seis meses, ou seja, dois trimestres. 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
[I] Verdadeira. A frequência cardíaca em segundos: 
1 1 4
,
3 3
2 4
8
3
π
π
= =
 
 
 
  
 
 em minutos basta 






−= π
π
2
3
8
cos20100)2(P multiplicar por 60, o 
que resulta em 80 batimentos por minuto. 
 
[II] Verdadeira. Pois 
 
8
P(2) 100 20 cos 2
3
16
100 20 cos
3
4
100 20 cos 2 2
3
1
100 20
2
110 mmHg.
π
π
π
π
 
= −   = 
 
 
= −  = 
 
  
= −   + =  
  
 
= −  − = 
 
=
 
 
 
[III] Falsa. A amplitude da função é de 20mmHg. 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
[I] INCORRETA. O valor mínimo da função seno é 
zero, portanto o valor máximo que o termo 
sen t
2
π 
 
 
 pode assumir é zero. Assim, 
V(t) 180 65 0 180.= +  = Portanto, o valor mínimo 
possível registrado na fatura seria de R$ 180,00. 
 
[II] CORRETA. O valor máximo da função seno é 1, 
portanto o valor máximo que o termo sen t
2
π 
 
 
 
pode assumir é 1. Assim V(t) 180 65 1 245.= +  = 
Portanto, o valor máximo possível registrado na 
fatura seria de R$ 245,00. 
 
[III] CORRETA. No sétimo mês t 7,= logo: 
3
V(t) 180 65 sen 7 180 65 sen 180 65 ( 1) V(t) 115 reais
2 2
π π   
= +   = +  = +  − → =   
   
 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Desenvolvendo a equação dada: 
( )
sen2x senx 0
2 senx cos x senx 0
senx 2 cos x 1 0
+ =
  + =
  + =
 
 
Portanto, as raízes possíveis da equação são: 
sen x 0 x 180 rad ou x 0 0 rad
21cos x x 120 rad
2 3
π
π
= → =  = =  =
= − → =  =
 
 
Percebe-se que há três raízes possíveis dentro do 
intervalo [0, ].π Desenhando as extremidades dos 
arcos que resolvem a equação numa circunferência 
de raio igual a 1, tem-se: 
 
 
 
Assim, a área delimitada pelos vértices das extre-
midades dos arcos que verificam a equação é um 
triângulo retângulo em B. Sua área pode ser escrita 
como sendo: 
b h (1 1) h
S S h
2 2
 + 
= = → = 
 
Analisando o triângulo COB, percebe-se que este 
é equilátero e que sua altura h é correspondente 
altura do triângulo retângulo ABC. Logo, sua altura 
será dada por: 
L 3 3
h h
2 2
= → = 
 
Assim, a área da região que tem como vértices as 
extremidades dos arcos que verificam a equação 
dada é igual a 3 2. 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Sabendo que 2
3
sen ,
4
α = pode-se escrever: 
2 2
2 2
sen cos 1
3 1 1cos 1 cos cos 60
4 4 2
α α
α α α α
+ =
+ = → = → = → = 
 
 
Substituindo α e desenvolvendoa expressão 
dada, tem-se: 
( )
( )
2
60
cos sen 60 tg 60 cos 30 sen 60 tg 60
2
3 3 2 3 3
3 3 3
2 2 2
 
+    →  +    
 
   
+  → = =  
 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
( )cos165 sen155 cos145 sen25 cos 35 cos15
cos15 sen25 cos 35 sen25 cos 35 cos15 0
 +  +  −  +  +  =
−  +  −  −  +  +  =
 
 
Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
Se x é agudo, então cos x 0. Logo, temos 
 
2 2
2 2
1 1
cos x cos x
tg x 1 3 1
10
cos x .
10
=  =
+ +
 =
 
 
Resposta da questão 13: 
 
 [B] 
 
( ) ( )
2
2 2 621
cos 5 1 cos 5
25 25
2 621 2 2 2
cos 50 cos 45 5 cos 45 cos 5 sen45 sen5 621 2
2 25 2 25 50
 
= −  = 
 
 =  +  =    −    =  −  =  −
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Consideremos que R é o raio da circunferência cir-
cunscrita no triângulo, portanto através do Teorema 
dos Senos podemos escrever que 
a 2R sen A, b 2R senB= = e c 2R sen C.= 
(a, b, c ) é uma P.A.: a c 2b+ = 
A C A C A C
cos 2 sen cos
sen A sen C sen A sen C2 2 2
A C A C A C A C senB
cos 2 sen cos sen 2
2 2 2 2
2R sen A 2R sen C a c 2b
2
2R senB b b
− + −
 
+ +
= = = =
+ + + + 
   
 
+ +
= = = =
 
 
Resposta da questão 15: 
 [C] 
 
Pela Lei dos Senos, temos 
 
x y z
2R.
sen X sen Y sen Z
= = = 
 
Portanto, segue que 
 
3 3
x y z k x y z x y z
sen X sen Y sen Z
2R 2R 2R R 8R
1
k
8
k 0,125.
    
  =    =
 =
 =
 
 
Resposta da questão 16: 
 [B] 
 
Colocando graficamente as informações dadas no 
enunciado: 
 
 
 
Aplicando-se a Lei dos Cossenos, tem-se que a 
distância “a” entre os pontos A e C será: 
2 2 2
2 2 2
2 2
a b c 2 b c cos A
a 10 15 2 10 15 cos 60
a 325 300 0,5 a 175
a 175 5 7 m
= + −   
= + −    
= −  → =
= =
 
 
Resposta da questão 17: 
 [A] 
 
O ângulo entre as direções das duas rotas é de 
60 15 75 . +  =  Logo, desde que 
cos 75 cos(30 45 )
cos 30 cos 45 sen 30 sen 45
3 2 1 2
2 2 2 2
2
( 3 1)
4
1,4
(1,7 1)
4
0,245,
 =  + 
=   −  
=  − 
=  −
  −

 
 
e sendo d a distância pedida, pela Lei dos Cosse-
nos, obtemos 
2 2 2
d 1 1,8 2 1 1,8 cos 75
1 3,24 3,6 0,245
3,358,
= + −    
= + − 
=
 
 
o que implica em d 3,358 1,8km.=  
 
Resposta da questão 18: 
 [B] 
 
Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado 
 da figura. 
 
 
 
É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com 
CD ED.= 
 
Sabendo que BAE 90 ,=  tem-se que o triângulo 
ABE é retângulo isósceles, com BE 2.= Em con-
sequência, sendo ABC 135 ,=  concluímos que o tri-
ângulo ABC é retângulo em B. 
 
Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no tri-
ângulo BCE, encontramos CE 3.= 
 
Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triân-
gulo CDE, vem 
 
2 2 2 1
( 3 ) 2 cos cos
2
120 .
θ θ
θ
= + −     = −
 = 
 
 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [E] 
 
2
21 8 2 2
cos x 1 cos x cos x
3 9 3
 
= − −  =  =  
 
 
Como 
3
x ,
2
π
π   temos: 
2 2
cos x
3
= − 
 
Portanto: 
sen 2x 2 sen x cos x
1 2 2 4 2
sen2x 2
3 3 9
= 
   
=  −  − =       
 
 
Resposta da questão 20: 
 [C] 
 
Se 
4
cos x
5
= e x 0, ,
2
π 
  
 
 podemos considerar um 
triângulo retângulo com um dos ângulos agudos 
medindo x, o cateto adjacente a ele medindo 4 e 
a hipotenusa medindo 5. 
 
 
 
Calculando a medida do cateto b através do Teo-
rema de Pitágoras, podemos escrever: 
2 2 2
b 4 5 b 3.+ =  = 
 
Concluímos então que 
3
tg x
4
= e que: 
 
2 2
3 3 3
2
2 tg x 3 16 244 2 2tg(2x) .
9 7 2 7 71 tg x 3 11 16 164


= = = = =  =
−   −−  
 
 
 
Resposta da questão 21: 
 [E] 
 
2 2
2
2
x x
x cos 0
2 4 2 2 2
cos x 1 sen x
24 7
cos x 1 cos x
25 25
7
como x , temos cosx
2 25
π π π
π
π
π
 
       
 
= −
 
= −  =  
 
  = −
 
 
 
Utilizando, agora, a fórmula do cosseno do arco du-
plo, temos: 
2 2 2x x x x
cosx cos 2 cos x cos sen cos x 2 cos 1
2 2 2 2
       
=   = −  =  −       
       
 
 
Logo, 
2 2 27 x x 18 x 9 x 3
2 cos 1 2 cos cos cos
25 2 2 25 2 25 2 5
x x 3
como cos 0, temos cos
2 2 5
       
− =  −  =  =  =        
       
   
 =   
   
 
 
Resposta da questão 22: 
 [D] 
 
A produção é máxima quando preço é mínimo, ou 
seja, quando 
x
cos 1.
6
π π− 
= − 
 
 O menor valor posi-
tivo de x para o qual se tem o preço mínimo é tal 
que 
 
x x
cos cos 2k
6 6
x 12k 7, k .
π π π π
π π π
− − 
=  = + 
 
 = + 
 
 
Portanto, para k 0,= segue que x 7,= e o mês de 
produção máxima desse produto é julho 
 
Resposta da questão 23: 
 [D] 
 
Sendo 0 x ,π  temos 
3 2
2
2
sen x sen x sen x (1 sen x) 0
sen x cos x 0
sen x 0
 ou
cos x 0
x .
2
π
=   − =
  =
=

=
 =
 
 
Resposta da questão 24: 
 [D] 
 
3 2
2 cos (x) cos (x) 2 cos(x) 1 0− − + = 
 
Observando que cos x 1= é raiz da equação acima 
na incógnita cos x, temos: 
 
 
 
 
 
3 2
2
2
2 cos (x) cos (x) 2 cos(x) 1 0
(cos x 1) (2 cos x cos x 1) 0
cos x 1 0 cos x 1 x 0 ou x 2
2 cos x cos x 1 0 cos x 1 ou cos x 1 2 x ou x 3 ou x 5 3.
π
π π π
− − + =
−  + − =
− =  =  = =
+ − =  = − =  = = =
 
 
Portanto, a soma das raízes desta equação é 5 .π 
 
Resposta da questão 25: 
 [A] 
 
03xcos2xcos5xcosxcos21)xcos1(4
xcosxcos21xsen4xcos1senx2
222
22
=−+++=−
++=+= 
 
Resolvendo a equação na incógnita cos x, temos: 
π=−=
==
x1xcos
5
3
arccosx
5
3
xcos
 
 
Resposta da questão 26: 
 [A] 
 
Substituindo cos x por a, tem-se: 
4 3 2
a 4a 6a 4a 1 0,− + − + = o qual é o polinômio resul-
tante de 
4
(a 1) (a 1) (a 1) (a 1) (a 1) 0− = −  −  −  − = 
 
Assim, percebe-se facilmente que a raiz de tal poli-
nômio é 1. Ou seja, 
cos x 1
x 360 2π
=
=  =
 
 
Como a função cosseno é periódica, podemos di-
zer que a cada 360 tem-se uma nova raiz da fun-
ção, ou seja, a cada 2k ,π onde k é um inteiro qual-
quer. 
 
Resposta da questão 27: 
 [C] 
 
A hipotenusa do triângulo retângulo isósceles de 
catetos 4 m mede 4 2 m. Portanto, o resultado é 
8 4 2 32 2 m. = 
 
 
 
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