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Aula_1_Trabalho e energia MEC APLIC _ Exs.pdf MECÂNICA APLICADA 4º e 5º CICLOS (ENGENHARIA MECÂNICA E ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA) Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul - grace.ganharul@anhanguera.com Disciplina: MECÂNICA APLICADA * INTRODUÇÃO AO CURSO * INTRODUÇÃO AOS CONCEITOS DE TRABALHO E ENERGIA AULA 01 Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul Dinâmica: Mecânica para Engenharia - R.C. Hibbeler - 12ª Edição – Editora Person (São Paulo), 2011 – PLT 761 – Capítulo 14 – Pág.133. Graduação em Eng. Mecânica / Produção Apresentação da professora: Grace Kelly Quarteiro Ganharul � Engenheira Mecânica (2008) – Centro Universitário da FEI � Mestra em Materiais (2012) – Centro Universitário da FEI Outras atividades Centro Universitário da FEI � Pesquisadora Anhanguera Educacional � Profa. de Mecânica Aplicada, Processos de Fabricação, Materiais, Elementos de Máquinas II, Vibrações, Projetos de Máquinas, Máquinas de Elevação e Transporte e Fundamentos de Hidrostática e Calorimetria. Experiência na indústria: � Volkswagen do Brasil, Basf, Goodyear do Brasil, Mercedes Bens do Brasil e Johnson Controls Automotive. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 3 Contatos: � E-mail: gracekellyq@yahoo.com.br � E-mail ANHANGUERA: grace.ganharul@anhanguera.com � Pessoalmente: Todas as noites na faculdade. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 4 Nosso Objetivo: Professor: “Auxiliar os alunos para o desenvolvimento do conhecimento relacionado aos conceitos nas áreas de Dinâmica aplicados a Engenharia, instruindo na teoria relacionada e auxiliando na solução dos exercícios propostos.” Aluno: “Estar atento às informações diretivas do professor, buscando individualmente ou em grupo, solucionar os exercícios propostos, buscando sempre o aprendizado e... – PERGUNTANDO SEMPRE QUE TIVER DÚVIDA!!!” Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 5 Apresentação da Disciplina: Horários: 2ª e 4ª: Das 19:10h às 22:50h 6ª: Das 19:10 às 20:50h Bibliografia recomendada: Dinâmica: Mecânica para Engenharia R.C. Hibbeler 12ª Edição – Editora Person (São Paulo), 2011 – PLT 761 Aulas / Materiais extras: Serão enviadas por e-mail aos representantes de cada sala. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 6 Ementa – PEA Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 7 Carga Horária Teórica Carga Horária Outros Carga Horária Total 60 horas 20 horas 80 horas Ementa – P1 1.Trabalho e Energia: Princípios do Trabalho; Princípios da Energia; Conceito de Potência; Conceito de Eficiência; Principio da Conservação de Energia. 2.Cinemática dos Corpos Rígidos: Movimento de Translação Retilínea; Movimento de Translação Curvilínea; Rotação em torno de um eixo fixo; Equações que definem a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo; Movimento plano geral; Velocidade absoluta e relativa no movimento plano; Centro instantâneo de rotação no movimento plano; Aceleração absoluta e relativa no movimento plano. Ementa – PEA Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 8 Carga Horária Teórica Carga Horária Outros Carga Horária Total 60 horas 20 horas 80 horas Ementa – P2 3.Engrenagens : Engrenagens cilíndricas de dentes retos; Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais; Engrenagens cônicas de dentes retos; Engrenagens cônicas de dentes curvos; Perfil evolvente; Circunferência de base; Reta geratriz; Ângulo de incidência; Raio da evolvente; Cinemática do Engrenamento; Lei fundamental do engrenamento; Perfis conjugados; Engrenamento de duas evolventes; A Roda Dentada; Roda dentada cilíndrica de dentes retos; Roda dentada cilíndrica de dentes helicoidais. 4. Trens de Engrenagens: Relações de transmissão; Determinação de um trem de engrenagens para uma dada relação de transmissão; Método das frações contínuas; Aplicação do método das frações contínuas para determinação dos números de dentes; Caixa de redução de máquinas ferramentas; Transmissão automotiva. Procedimentos Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 9 Procedimentos Metodológicos Aulas expositivas, utilizando-se do quadro e projeções de datashow, com base em livros texto e apostilas. Discussões em sala de aula, reuniões em grupo e elaboração de listas de exercícios (manuscritas e entregues na data), para resolução individual e/ou em grupo e desenvolvimento de projeto (ATPS). Avaliações e Pesos Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 10 Sistema de Avaliação 1ª Avaliação: Peso: 4 2ª Avaliação: Peso: 6 Atividades avaliativas a critério do professor Prova escrita Oficial da Universidade 8,0 pontos (Avaliação) 8,0 pontos (Avaliação) 1,0 pontos (ATPS) 1,0 pontos (ATPS) 1,0 pontos (Média aritmética das listas de exercícios e atividades propostas pela professora) 1,0 pontos (Média aritmética das listas de exercícios e atividades propostas pela professora) Atividades práticas: 2 Atividades práticas: 2 Atividades teóricas: 8 Atividades teóricas: 8 Total: 10 Total: 10 NOTA: A nota de recuperação é a nota pura da prova (desconsiderando a nota de ATPS e das listas de exercícios e atividades). ALTERAÇÕES DO REGIMENTO �MÉDIA PARAAPROVAÇÃO: 6,0 �ARREDONDAMENTO: 1 CASA DE PRECISÃO. �FREQUÊNCIA PARA APROVAÇÃO: 75% E ALUNOS REPROVADOS POR FALTA TERÃO QUE CURSAR A DISCIPLINA INTEGRALMENTE. �RDR: APENAS PARA OS ALUNOS REPROVADOS POR NOTA. �CHAMADA EM SALA DE AULA. Cronogramas de Aulas Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 11 Cronograma de Aulas Semana: Tema: 1 Trabalho e Energia 2 a 6 Cinemática dos Corpos Rígidos 7 Avaliação parcial (individual / sem consulta) e entrega da primeira parte da ATPS 8 a 14 Engrenagens e atividades de engrenagens 15 Trens de Engrenagens 16 Prova Escrita Oficial (individual / sem consulta) e entrega da segunda parte da ATPS 22 e 23/06/15 Dias de vista de Prova Oficial 17 Prova Substitutiva (individual / com consulta) Datas das avaliações: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 12 � Turmas de Segunda-feira: B1 => 06/04/2015 B2 => 15/06/2015 Sub => 29/06/2015 � Turmas de Sexta-feira: B1 => 10/04/2015 B2 => 19/06/2015 Sub => 26/06/2015 � Turmas de Quarta-feira: B1 => 01/04/2015 B2 => 17/06/2015 Sub => 24/06/2015 Introdução: �Perguntas fundamentais �Visão geral da disciplina Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 14 Pergunta Fundamental: Do que trata esta disciplina? Esta disciplina assim tem por objetivo estudar a forma como elementos se comportam e interagem entre si, ao longo do tempo, considerando o movimento desses elementos e as suas causas. Por que este conhecimento é importante para o engenheiro? Ele é a base teórica às áreas de direta aplicação de engenharia. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 15 Visão geral da disciplina: O que é trabalho? É uma medida da energia transferida pela aplicação de uma força ao longo de um deslocamento. Representado por: W (work) ou por (tau) O que é energia? É a capacidade que um corpo tem de realizar uma ação ou um trabalho. A energia relaciona-se diretamente com o trabalho, ou seja, se um sistema possui energia, ele é capaz de realizar trabalho. Pessoa realiza trabalho e a caixa ganha energia cinética e térmica Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 16 � Quais são os tipos de energia? Visão geral da disciplina: Potencial: gravitacional, elástica ou elétrica Cinética: relacionada a velocidade Energia mecânica: soma da potencial gravitacional e da cinética Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 17 � Quais são os tipos de energia? Visão geral da disciplina: Energia Cinética (Velocidade) Energia Potencial (Altitude) Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 18 � Quais são os tipos de trabalho? Visão geral da disciplina: - Trajetória retilínea - Trajetória curvilínea - Força elástica Visão geral da disciplina: O que vamos estudar na cinemática do movimento plano de um corpo rígido? � Movimento Plano de um Corpo Rígido; � Movimento de Translação Curvilínea; � Movimento de Rotação; � Rotação em torno de um eixo fixo; � Equações que definem a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo; � Movimento plano geral; � Velocidade absoluta e relativa no movimento plano; � Centro instantâneo de rotação no movimento plano; � Aceleração absoluta e relativa no movimento plano. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 19 Visão geral da disciplina: O que vamos estudar sobre engrenagens? � Engrenagens cilíndricas de dentes retos e helicoidais; � Engrenagens cônicas de dentes retos; � Perfil evolvente, circunferência de base, reta geratriz, ângulo de incidência, raio da evolvente; � Cinemática e lei fundamental do engrenamento; � Perfis conjugados; � Engrenamento de duas evolventes; � Roda dentada cilíndrica de dentes retos e helicoidais; � Trens de engrenagens; � Relações de transmissão; � Determinação de um trem de engrenagens para uma dada relação de transmissão. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 20 Visão geral da disciplina: Engrenagens (Cilíndricas de dentes retos e helicoidais, cônicas de dentes retos e curvos, trem de engrenagens) Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 21 Visão geral da disciplina: Trens de Engrenagens Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 22 Introdução: � O trabalho de uma força � Princípios do trabalho e energia � Potência e eficiência � Conservação de energia Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 23 Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 24 O trabalho de uma força: Tipos de trabalho � Trabalho de uma força constante e paralela ao deslocamento Calculado quando se tem a força sendo aplicada no mesmo sentido do deslocamento da seguinte forma: Como α é zero, o cosseno deste ângulo é igual a 1, a expressão torna-se: ( )αF.d.cosτ = F.dτ = F = força aplicada [N] d = deslocamento sofrido pelo corpo [m] α = ângulo entre força e deslocamento [rad] Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 25 O trabalho de uma força: Tipos de trabalho � Trabalho de uma força constante e não paralela ao deslocamento Calculado quando se tem a força sendo aplicada no mesmo sentido do deslocamento da seguinte forma: Como α é diferente de zero, o cosseno deste ângulo também é diferente de zero. ( )αF.d.cosτ = F = força aplicada [N]d = deslocamento sofrido pelo corpo [m] α = ângulo entre força e deslocamento [rad] Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 26 O trabalho de uma força: Tipos de trabalho � Trabalho de uma força constante em trajetória curvilínea Calculado quando se tem a força sendo aplicada no mesmo sentido do deslocamento, porém em trajetória curvilínea, da seguinte forma: ∫= F.dτ F = força aplicada [N]d = deslocamento sofrido pelo corpo [m] d O trabalho depende diretamente da intensidade da força aplicada e do espaço percorrido pelo corpo. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 27 O trabalho de uma força: Tipos de trabalho � Trabalho da força elástica Calculado quando uma mola comprimida ou alongada exerce uma força no bloco da seguinte forma: K.xFel = K = constante da mola [N/m] x = deformação da mola [m] [N.m] = [J] (Joule) O trabalho de uma força: Tipos de trabalho � Trabalho da força normal, da força peso e da força centrípeta Forças perpendiculares ao deslocamento não realizam trabalho, pois não causam variação na energia cinética. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 28 Atividade: Exercícios para fixação dos conceitos 1) Calcule o trabalho que a força F realiza, no deslocamento de 0 a 6 m. Analise os casos: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 29 Atividade: Exercícios para fixação dos conceitos Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Resolucao J 60N.m 6010 * 6h * bretângulo do área J 90N.m 90 2 30 * 6 2 h * b triângulodo área a) ==== ==== J 150 J 60 J 90τ =+= J 160N.m 160 2 40 * 2)(6 2 h * b)(B trapéziodo área b) ==+=+= J 160τ = Atividade: Exercícios para fixação dos conceitos 2) Seu Joaquim arrasta uma caixa ao longo de um plano inclinado visando colocá-la na carroceria de um caminhão. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 30 Ele aplica na caixa uma força paralela ao plano inclinado e cuja intensidade F varia com a distância, conforme indica o gráfico abaixo. São dadas as intensidades das outras forças que agem na caixa: • Peso: P = 60 N • Força de atrito: Fat = 7,0 N • Força normal: FN = 58 N Calcule o trabalho realizado pelas forças que agem na caixa no deslocamento do solo (C) até a carroceria do caminhão (A). Sabe-se que AC = 6,0 m e AB = 1,5 m Atividade: Exercícios para fixação dos conceitos Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Resolucao J 90 1,5)*(60τP h)*(PτP peso força da Trabalho =−= −= J 120N.m 12020 * 6h * bretângulo do área J 60N.m 60 2 20 * 6 2 h * b triângulodo área homem do força da Trabalho ==== ==== J 180 J 120 J 60τ =+= J 42 6)*(7τFat d)*(FatτFat atrito de força da Trabalho =−= −= caixa) da todeslocamen de plano aoular (perpendic 0τFN normal força da Trabalho = Atividade: Exercícios para fixação dos conceitos 3) Uma mola tem constante elástica K = 100 N/m. Seu comprimento quando não deformada é de 0,30 m. Qual é o trabalho da força elástica quando a mola é alongada de modo que seu comprimento passe para 0,40 m? Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 31 4) Um bloco esta preso a uma mola de constante elástica K = 200 N/m. Seu comprimento quando na posição de equilíbrio é de 0,20 m (posição O). A mola é alongada até que seu comprimento passe a 0,40 m (posição A). Qual é o trabalho da força elástica no deslocamento de A até O? Atividade: Exercícios para fixação dos conceitos Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Resolucao m 0,10 x m 0,30 - m 0,40 x Li - Lf x oAlongament mola da Trabalho 3) = = ==> J 50,0 2 (0,10)*100 2 x*k τFel 22 −=== m 0,20 x m 0,20 - m 0,40 x Li - Lf x oAlongament mola da Trabalho 4) = = ==> J 00,4 2 (0,20)*200 2 x*k τFel 22 +=== Atividade: Exercícios para fixação dos conceitos 5) Um homem arrasta um caixote com m=310 kg puxando por uma corda. A força que este exerce sobre a corda é de 450 N, estando esta inclinada em um ângulo de 38º. A força de atrito exercida pelo solo é de 125N. Calcule: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 32 a) O trabalho realizado pelo homem sobre o caixote. b) O trabalho realizado pela força de atrito. c) O trabalho total realizado sobre o caixote. Atividade: Exercícios para fixação dos conceitos Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Resolucao ( ) J d*354,60τ cos(38)*d*450τ cos*d*Fτ homem do força da Trabalho =>= = = α d*125τFat d)*(125τFat d)*(FatτFat atrito de força da Trabalho −= −= −= J d*229,60τtotal d)*(125-d*354,60)(τtotal .realizados trabalhosos todosde soma Total Trabalho =>= = = Energia: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 33 Tipos de energia � Energia cinética ���� velocidade É a forma de energia associada ao movimento relativo dos corpos, portanto, diretamente associada ao trabalho (velocidade do corpo em questão). [(kg.m2)/s2] = [J] (Joule) ( ) 2.a.dv :)0(v repouso do Partindo 2.a.dvv :Torricelli de equação a Usando m.a.d.1τ m.aF :Newton de Lei 2ª Da F.d.cosτ 2 0 2 0 2 = = += =∴ = = α c(inicial)c(final) 2 c 2 2 EEτ m.v 2 1E :força pela realizado trabalhoao igual é cinética energia a Como 2 v m.τ 2 v a.d −= = =∴ = Energia: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 34 Tipos de energia � Energia potencial gravitacional ���� altura É a forma de energia associada ao estado de separação entre dois objetos que se interagem por meio de um campo gravitacional (posição do objeto em relação a um nível de referência). m.g.hE altura . PesoE pg pg = = m = massa do corpo [kg] g = aceleração da gravidade [9,8 m/s2 na Terra, 1,6 m/s2 na Lua] h = altura do corpo [m] [(kg.m2)/s2] = [J] (Joule) Energia: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 35 Tipos de energia � Energia mecânica total (sistema conservativo => sem atrito) É a capacidade de um corpo produzir trabalho, dada pela soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional (energia do movimento). m.g.h 2 m.vE EEE 2 mec pgcmec += += m = massa do corpo [kg] v = velocidade do corpo [m/s] g = aceleração da gravidade [9,8 m/s2 na Terra, 1,6 m/s2 na Lua] h = altura do corpo [m] [(kg.m2)/s2] = [J] (Joule) Energia: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 36 Tipos de energia � Energia potencial elástica ���� molas ou cordas É a forma de energia associada a uma mola ou a uma corda que possui elasticidade (trabalho realizado pela força elástica). [N.m] = [J] (Joule) 2 K.xE 2 el = K = constante elástica [N/m] x = deformação (contração ou distensão) sofrida pela mola ou pela corda [m] Atividade: Exercício para resolução na aula para fixação dos conceitos 1) Um corpo de massa igual a 500 g é abandonado de uma altura de 0,8m sobre uma mola ideal, cujo comprimento é de 40cm quando não deformada. O corpo choca-se contra a mola, comprimindo-a. A compressão máxima da mola é de 25% do seu comprimento original. Considerando-se a gravidade igual a 9,8 m/s2 e desprezando-se as perdas devido à dissipação de energia. Quanto vale a constante elástica da mola? Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 37 Atividade: Solução Dados: m = massa = 500 g = 0,5 kg h = altura = 0,8 m x = 40 cm = 0,4 m = 0,4.25/100 = 10/100 = 0,1 m g = 9,8 m/s² K = constante elástica da mola = ? Epg = m.g.h Epg = 0,5.9,8.0,8 Epg = 3,92 J Epg = Eel (desprezando-se as perdas devido à dissipação de energia) Eel = K.x²/2 3,92 = K . (0,1)² / 2 3,92.2 = K.0,01 7,84 = 0,01.K 7,84/0,01 = K 784 N/m = K Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 38 Potência: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 39 Definições: � grandeza que determina a quantidade de energia concedida por uma fonte a cada unidade de tempo. � taxa temporal na qual o trabalho é realizado e a energia é transformada. � potência é a rapidez com a qual uma certa quantidade de energia é transformada ou é a rapidez com que o trabalho é realizado. [1 (N.m)/s] = [1 J/s] = [1 W] (Watt) ( ) F.vP ∆t ∆dF. ∆t F.d∆ ∆t ∆τP =∴ === F = força aplicada [N] d = deslocamento do corpo [m] v = velocidade do corpo [m/s] Tau = trabalho [J] ∆t = variação de tempo [s] Exemplos Potência Carro 1.6 100 CV Chuveiro 2600-6800 W Televisão 105 W Geladeira 101 W Itaipú 12000 MW 1 HP = 746 W 1 CV = 735 W Eficiência ou rendimento: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 40 Definições: � é a relação entre os resultados obtidos e os recursos empregados. � é a relação entre a energia fornecida e a energia produzida. � representa uma medida segundo a qual os recursos são convertidos em resultados de forma mais econômica. entrada saída entrada saída fornecida produzido E E P P E τ η === Tau = trabalho útil produzido no processo [J] E = quantidade de energia oferecida ao sistema [J] P = potência [J/s] A eficiência não pode exceder 100% em sistemas fechados. Conservação de Energia: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 41 Forças conservativas => trabalho da força é independente da trajetória � O trabalho desse tipo de força depende somente das posições inicial e final da força na trajetória. � Exemplos: � Peso de uma partícula => depende somente do deslocamento vertical do peso. � Força desenvolvida por uma mola => depende somente da extensão ou compressão da mola. �A energia mecânica de um sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial. Conservação de Energia: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 42 Forças conservativas => trabalho da força é independente da trajetória � a energia total de um sistema isolado (não interage com outros sistemas) é sempre constante. � a energia mecânica de um sistema no qual agem somente forças conservativas não se altera com o passar do tempo. Nesse caso, podemos dizer que a soma das energias cinética e potencial é constante, seja qual for o intervalo de tempo. cteEEE EEE EEE EEE mec3mec2mec1 pg3c3mec3 pg2c2mec2 pg1c1mec1 === += += += Conservação de Energia: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 43 Forças dissipativas => trabalho da força é dependente da trajetória � Em contraste com uma força conservativa, consideramos a força de atrito exercida sobre um objeto deslizando por uma superfície fixa. � O trabalho realizado pela força de atrito depende da trajetória. � Isso significa que: Quanto maior a trajetória, maior o trabalho. � Ou seja, as forças de atrito não são conservadoras (o trabalho é dissipado na forma de calor). Conservação de Energia: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 44 Forças dissipativas => trabalho da força é dependente da trajetória � a energia mecânica de um sistema somente se conserva na ausência de forças dissipativas. � forças dissipativas são aquelas que agem em um sistema a fim de modificá-lo. � forças que transformam a energia mecânica em outras formas de energia, como por exemplo, som, calor e deformação. Força de resistência do ar Força de atrito Conservação de Energia: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 45 Forças dissipativas: � A força de atrito é sempre contrária ao movimento. � Isso significa que, se o corpo se desloca, a força de atrito será um vetor de sentido oposto ao vetor deslocamento. � Quando calculamos o trabalho da força de atrito, obtemos um trabalho negativo. � E o sinal negativo significa que a força de atrito está retirando energia mecânica do corpo, durante o trajeto. Conservação de Energia: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 46 Atividade: Exercício para resolução na aula para fixação dos conceitos 1) Considere que um objeto que está caindo possui 10 kg de massa e está a uma altura de 10 m do nível de referência (a=10 m/s2). Calcular: a) Energia potencial gravitacional e energia cinética no topo. b) Velocidade de descida do objeto. c) Energia potencial gravitacional e energia cinética no nível de referência. d) Energia mecânica total inicial (topo) e final (nível de referência). Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 47 Atividade: Solução Dados: m = massa = 10 kg h = altura = 10 m g = 10 m/s² Topo: Epg = m.g.h Topo: Ecin = m.v2/2 Epg = 10.10.10 = 1000 J Ecin = 10.(0/2) = 0 J Velocidade de descida (início do movimento, lembrando que V0=0): v2=v0 2+2.a.d => v2= 0 + 2.10.10 => v = 14,1 m/s Ref.: Epg = m.g.h Ref: Ecin = m.v2/2 Epg = 10.10. 0 = 0 J Ecin = 10.(14,1)2/2 = 1000 J Portanto, verificamos a conservação de energia do sistema!!! Emec_topo = Emec_nível de referência Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 48 Disciplina: MECÂNICA APLICADA INTRODUÇÃO AO CURSO INTRODUÇÃO AOS CONCEITOS DE TRABALHO E ENERGIA OBRIGADA E BOA NOITE!!! Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul Dinâmica: Mecânica para Engenharia - R.C. Hibbeler - 12ª Edição – Editora Person (São Paulo), 2011 – PLT 761 – Capítulo 14 – Pág.133. Graduação em Eng. Mecânica / Produção Aula_2_Cinemu00E1tica - Parte 01.pdf MECÂNICA APLICADA 4º e 5º CICLOS (ENGENHARIA MECÂNICA E ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA) Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul - grace.ganharul@anhanguera.com Graduação em Eng. Mecânica / Produção Disciplina: MECÂNICA APLICADA CINEMÁTICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO PARTE 1 AULA 02 Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul Dinâmica: Mecânica para Engenharia - R.C. Hibbeler - 12ª Edição – Editora Person (São Paulo), 2011 – PLT 761 – Capítulo 16.1 ao 16.4 – Págs. 248 a 268. Introdução: � Movimento Plano de um Corpo Rígido � Movimento de Translação Curvilínea � Movimento de Rotação e rotação em torno de um eixo fixo � Equações de rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 03 Movimento Plano de um corpo rígido: Do que trata a cinemática plana de um corpo rígido? �Classificação dos tipos de movimento de um corpo rígido; �Estudo do movimento plano; �Localização do Centro Instantâneo de Rotação (CIR); �Análise do movimento relativo de velocidade e aceleração; Por que este conhecimento é importante para o engenheiro? Este estudo é importante para o projeto de engrenagens, cames e outros mecanismos, além disso, se bem compreendida, é possível aplicar as equações de movimento que relacionam as forças atuantes no corpo rígido ao seu movimento. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 04 Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 05 Movimento Plano de um corpo rígido: O que é o movimento plano? É o movimento descrito por duas coordenadas espaciais. Um corpo possui movimento plano quando todas as suas partículas se movem ao longo de trajetórias equidistantes de um plano fixo. A trajetória do movimento pode ser retilínea, curva ou aleatória (irregular). Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 06 Movimento Plano de um corpo rígido: O que é um corpo rígido? É um conjunto de partículas agrupadas de forma que a distância entre as partes que constituem o corpo ou o sistema não sofram mudança, ou seja, a distância entre essas partículas que constituem o corpo não varia com o tempo. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 07 Movimento Plano de um corpo rígido: O que é o movimento plano de um corpo rígido? É o movimento no qual as trajetórias de todos os seus pontos são paralelas a um plano fixo. Movimento Plano de um corpo rígido: O que é o movimento plano de um corpo rígido? Um corpo rígido tem um movimento plano se os seus pontos mantêm distâncias invariáveis a um plano fixo. Quais são os tipos de movimentos planos? � Translação, � Rotação e � Movimento plano geral. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 08 Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 09 Movimento Plano de um corpo rígido: Quais são os tipos de movimentos planos? � Geral: combinação dos movimentos de rotação e de translação. A translação ocorre no plano de referência e a rotação ocorre em relação a um eixo perpendicular a esse plano de referência. 1) Movimento plano geral 2) Translação curvilínea 3) Translação retilínea 4) Rotação em torno de eixo fixo Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 10 Movimento Plano de um corpo rígido: Quais são os tipos de movimentos planos? � Translação: movimento no qual qualquer segmento de reta tomado a partir de quaisquer dois pontos distintos P1 e P2 do corpo, se mantém paralelo á posição inicial. Posição inicial Posição final Movimento Plano de um corpo rígido: Quais são os tipos de movimentos de translação? � Translação: Retilínea: uma linha qualquer do corpo rígido se mantém paralela em relação à sua posição inicial, em qualquer instante. - direção não muda; - orientação não muda; - pontos do objeto percorrem a mesma distancia. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 11 Movimento Plano de um corpo rígido: Quais são os tipos de movimentos de translação? � Translação: Curvilínea: as trajetórias de todos os pontos são curvilíneas e equidistantes (pontos se movem em curvas paralelas). - direção muda constantemente; - orientação não muda; - pontos do objeto percorrem a mesma distancia. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 12 Cinemática do movimento plano: Movimento de Translação Curvilínea Todos os pontos materiais do corpo rígido possuem instantaneamente a mesma velocidade e aceleração vetoriais. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 13 Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 14 Movimento Plano de um corpo rígido: Quais são os tipos de movimentos planos? � Rotação: Movimento giratório de um corpo em torno de um eixo fixo. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 15 Movimento Plano de um corpo rígido: Quais são os tipos de movimentos planos? � Rotação em torno de um eixo fixo: as trajetórias de todos os pontos são circulares, concêntricas, com centros no eixo fixo (eixo de rotação). - trajetórias dos pontos são curvas de raios diferentes em planos paralelos; - todos os pontos descrevem circunferências em planos paralelos e cujos centros se acham sobre o eixo de rotação. - linha entre dois pontos muda continuamente de direção; - eixo de rotação não muda de posição. Cinemática do movimento plano: Movimento de Rotação De acordo com a definição de rotação de um corpo rígido, quaisquer dois dos seus pontos distintos do eixo de rotação descrevem trajetórias circulares em planos paralelos com a mesma velocidade angular em cada instante e com centro na intercepção do plano das trajetórias com o eixo de rotação. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 16 Cinemática do movimento plano: Movimento de Rotação em torno de um eixo fixo Se este eixo interceptar o corpo, os seus pontos têm velocidade e aceleração nulas, isto é, permanecem imóveis durante o movimento. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 17 Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 18 Equações de translação curvilínea Pontos A e B tem localizações definidas em relação aos eixos x e y; O sistema de coordenadas em translação (x´, y´) é fixo ao corpo e tem sua origem localizada em A; A posição de B em relação a A é representada pelo vetor posição relativa rB/A, portanto, por adição vetorial, tem-se: rA e rB = vetores de posição x e y = referencial fixo x´ e y´ = sistema de coordenadas em translação A = ponto de base B/AAB rrr += Cinemática do movimento plano: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 19 Equações de translação curvilínea Velocidade: Derivando-se a equação de posição em relação ao tempo, obtém-se a relação entre as velocidades instantâneas de A e B: vA e vB = velocidades absolutas medidas no sistema x, y drB/A/dt=0 (pois o módulo e a direção de rB/A são constantes) /dtdrvv B/AAB += Cinemática do movimento plano: AB vv = Aceleração: Derivando-se a equação de velocidade em relação ao tempo, obtém-se uma relação similar entre as aceleraçãoes instantâneas de A e B: AB aa = Essas equações mostram que todos os pontos de um corpo rígido sujeito a um movimento de translação curvilínea se movem com as mesmas velocidades e acelerações. Cinemática do movimento plano: O brinquedo se move numa trajetória circular, porém sempre mantém sua posição na horizontal. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 20 Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 21 Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo Cinemática do movimento plano: Quando um corpo gira em torno de um eixo fixo, todo ponto P desse corpo tem movimento circular. Movimento angular: Por não ter dimensão, um ponto não apresenta movimento angular. Somente linhas e corpos podem ter esse movimento, como por exemplo a linha da figura. r = linha radial orientada do ponto O (no eixo de rotação) ao ponto P Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 22 Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo Grandezas do movimento angular: Cinemática do movimento plano: Posição angular: Definida pelo ângulo θ, medido entre uma linha de referência fixa e a linha r. Deslocamento angular: Definido como a variação na posição angular que pode ser medida como uma diferencial dθ [rad ou rev]. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 23 Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo Grandezas do movimento angular: Cinemática do movimento plano: Velocidade angular (ω): Definida como sendo a taxa de variação da posição angular no tempo. Uma vez que dθ ocorre num tempo infinitesimal dt, pode-se dizer que: Aceleração angular (α): Definida como sendo a taxa de variação da velocidade angular num tempo infinitesimal, ou seja: (1) dt dθ ω = (2) dt dω α = Módulo: [rad/s] = S.I. Direção: do eixo de rotação = direção de dθ Sentido: horário (-) ou anti-horário (+) Módulo: [rad/s2] = S.I. Direção: do eixo de rotação = direção de dθ Sentido: horário (-) ou anti-horário (+) Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 24 Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo Grandezas do movimento angular: Cinemática do movimento plano: Substituindo a equação da velocidade angular (ω) na equação da aceleração angular (α), a mesma pode ser expressa como: A direção de α é a mesma de ω, entretanto, seu sentido depende de ω estar aumentando ou diminuindo. Se ω é decrescente => α é chamado de desaceleração angular. Eliminando-se dt nas equações (1) e (2), obtém-se uma relação diferencial entre a aceleração angular, a velocidade angular e o deslocamento angular:(3) dt θd α 2 2 =∴ dt dθ ω = dt dω α = (4) ω.dωα.dθ = Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 25 Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo Grandezas do movimento angular: Cinemática do movimento plano: Aceleração angular constante (αc): Se a aceleração do corpo é constante, as equações (1), (2) e (4) ao serem integradas, fornecem um conjunto de equações que relacionam ω, θ e tempo: θ0 = posição angular inicial do corpo ω0 = velocidade angular inicial do corpo (7) )θ(θ2.αωω (6) .tα 2 1 .tωθθ (5) .t αωω 0c 2 0 2 2 c00 c0 −+= ++= += Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 26 Movimento do Ponto P Á medida que o corpo rígido gira, o ponto P percorre uma trajetória circular de raio r e centro no ponto O. Posição de P: definida pelo vetor posição r, que se estende de O até P. Cinemática do movimento plano: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 27 Movimento do Ponto P Á medida que o corpo rígido gira, o ponto P percorre uma trajetória circular de raio r e centro no ponto O. Velocidade de P: Obtida a partir de suas coordenadas polares vr e vθ, como r é constante, tem-se que: Cinemática do movimento plano: (8) ω.r v = :éescalar e velocidada ,θω :Como θrv v 0rv θ r & & & = ==∴ == Direção: tangente a trajetória circular (9) r x ωv p= Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 28 Movimento do Ponto P Velocidade de P Cinemática do movimento plano: (10) r x ωv = Sentido: regra da mão direita, curvando-se os dedos no sentido de w para rp Módulo: (8)) Eq. a com acordo (de ω.rv:Então .senrr .senω.rv p p = = = φ φ Caso especial: vetor de posição r escolhido como rp, a velocidade é dada por: Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 29 Movimento do Ponto P Aceleração de P: pode ser expressa em termos de suas componentes tangencial e normal: Cinemática do movimento plano: (12).r ωa (11) α.r a :Portanto 2 n t = = dt dω eω.r vr,ρ:onde ρ v a e dt dv a 2 nt === == α Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 30 Movimento do Ponto P Aceleração de P Cinemática do movimento plano: dt dr x ωr x dt dω dt dv a p p +== Componente tangencial (at): taxa temporal de variação da velocidade escalar. Se v aumenta, at tem o sentido de v, se v diminui, at tem o sentido oposto de v e se v é constante, at vale zero. Componente normal (an): taxa temporal de variação da direção da velocidade. O vetor an é sempre voltado para O, que é o centro da trajetória de P. Derivando-se a Eq. (9): Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 31 Movimento do Ponto P Aceleração de P Cinemática do movimento plano: :que se- tem,r x ωv dt dr (9) Eq. a usando E dt dω α :que Lembrando p p == = (13) )r x (ω x ωr x αa pp += Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 32 Cinemática do movimento plano: Movimento do Ponto P Aceleração de P (13) )r x (ω x ωr x αa pp += 1º termo 2º termo 1º termo Módulo: (tangencial) Direção e sentido (RMD α x rp): α.r.senα.ra pt == φ ta 2º termo Módulo: (normal) Direção e sentido (RMD vp=ω x rp e ω x vp): .rω.sen.rωa 2p 2 n == φ .r-ωa r- e a 2 n n =∴ Cinemática do movimento plano: .rωr . α a aaa 2 nt −= += 2 t 2 n aaa += Movimento do Ponto P Aceleração de P A Eq. (13) pode ser reescrita utilizando-se seus dois componentes: Como at e an são perpendiculares entre si, o módulo da aceleração pode ser determinado pelo Teorema d Pitágoras, ou seja: )r x (ω x ωr x αa pp += Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 33 Atividade: Exercícios para resolução na aula e fixação dos conceitos. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 34 1) Enrola-se um cabo em torno de um disco inicialmente em repouso, como indicado na figura. Aplica-se uma força ao cabo, que então adquire uma aceleração a = (4t) m/s2, onde t é dado em segundos. Determine como função do tempo: a) velocidade angular do disco (ω) a) posição angular do do segmento OP, (θ) em radianos α.ra t = dt dω α = dt dθ ω = Atividade: Exercícios para resolução na aula e fixação dos conceitos. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 35 2) Usa-se o motor para girar uma roda com suas pás no interior do equipamento mostrado na figura. Os detalhes do projeto estão na figura (a). Se a polia A conectada ao motor inicia seu movimento a partir do repouso, com uma aceleração angular de 2 rad/s2, determine os módulos da velocidade e da aceleração do Ponto P da roda B, após esta ter completado uma revolução. Suponha que a correia de transmissão não escorregue na polia e nem na roda. 1 revolução = 2.pi.rad BBAA .rθ.rθs == )θ(θ2.αωω 0c20A2 −+= BBAAt BBAA .rα.rαa r.ωr.ωv == == ( ) ( ) BB2np BBtp BBp r.ωa .rαa r.ωv = = = 2 t 2 np aaa += Exercícios para resolução em sala de aula. Atividade (PLT – Cap. 16): 3) O disco da figura está girando inicialmente com velocidade angular de 8 rad/s. Se ele for submetido a uma aceleração constante de 6 rad/s2, determine os módulos da velocidade e dos componentes normal e tangencial da aceleração do ponto A no instante t = 0,5 segundos. 4) O disco da figura está girando inicialmente com velocidade angular de 8 rad/s. Se ele for submetido a uma aceleração constante de 6 rad/s2, determine os módulos da velocidade e dos componentes normal e tangencial da aceleração do ponto B, imediatamente após o disco ter completado 2 revoluções. Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 36 1,5 pé = 0,4572 m 2 pés = 0,6096 m Exercícios para resolução em sala de aula. 5) Considere as engrenagens A e B mostradas na figura. Se A parte do repouso e tem aceleração angular constante de 2 rad/s2, determine o tempo necessário para B atingir uma velocidade angular de 50 rad/s. 6) Quando somente duas engrenagens estão engrenadas, a engrenagem motora A e a movida B sempre giram em sentidos opostos. Para tê-las girando no mesmo sentido, introduz-se uma engrenagem intermediária C. Para o caso mostrado na figura, determine a velocidade angular da engrenagem B quando t=5 s, se A parte do repouso e tem aceleração angular de (3t + 2) rad/s2, onde t é dado em segundos (lembrando que: dω=α.dt) Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 37 ωA.rA= ωC.rC ωB.rB= ωC.rC Atividade (PLT – Cap. 16): Graduação em Eng. Mecânica / Produção Disciplina: MECÂNICA APLICADA CINEMÁTICA DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO PARTE 1 OBRIGADA E BOA NOITE!!! Profa. Ms. Grace Kelly Quarteiro Ganharul Dinâmica: Mecânica para Engenharia - R.C. Hibbeler - 12ª Edição – Editora Person (São Paulo), 2011 – PLT 761 – Capítulo 16.1 ao 16.4 – Págs. 248 a 268. Lista 01 de Mecu00E2nica aplicada.pdf Atividade – 1ª lista de exercícios: Exercícios para fixação dos conceitos e entrega no início da próxima aula. 1) Uma roda tem velocidade angular inicial de 10 rad/s, no sentido horário e aceleração angular de 3 rad/s2, determine o número de revoluções que devem ocorrer para se atingir uma velocidade angular de 15 rad/s, no sentido horário e qual o tempo necessário para isso. (0,2) 2) A velocidade angular de um volante aumenta uniformemente de 15 rad/s para 60 rad/s em 80 s. Se o diâmetro do volante é 2 pés, determine os módulos dos componentes normal e tangencial da aceleração de um ponto de sua periferia quando t=80 s. Determine também a distância percorrida pelo ponto durante esse tempo. (0,2) Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 01 Atividade – 1ª lista de exercícios: Exercícios para fixação dos conceitos e entrega no início da próxima aula. 4) Exercício 16.1 do PLT 761 – Página 258 (0,4): Um disco com um raio de 0,15 m gira com uma velocidade angular inicial de 2 rad/s e tem uma aceleração angular constante de 1 rad/s2. Determine os valores da velocidade e da aceleração de um ponto na borda do disco quanto t = 2 segundos. (0,2) 3) Um disco gira inicialmente com velocidade angular ω0 = 8 rad/s. Considerando uma aceleração angular constante ac = 6 rad/s 2, determine os módulos de velocidade e dos componentes n e t da aceleração do Ponto A, no instante t = 3 s. (0,2) Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 02 2 pés 8 rad/s Atividade – 1ª lista de exercícios: Exercícios para fixação dos conceitos e entrega no início da próxima aula. 5) Exercício 16.3 do PLT 761 – Página 258 (0,4): O gancho da figura está preso a uma corda que está enrolada em torno de um tambor. Se ela se desloca do repouso com uma aceleração de 6 m/s2, determine a aceleração angular do tambor e sua velocidade angular após o tambor ter completado 10 revoluções. Quantas revoluções mais o tambor realizará após ele ter completado as 10 primeiras e o gancho continuar a se deslocar para baixo por 4 segundos? (0,2) Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 03 6 m/s2 Atividade – 1ª lista de exercícios: Exercícios para fixação dos conceitos e entrega no início da próxima aula. RESPOSTAS 01) θ = 3,32 revoluções, t = 1,67 s. 02) an = 1097,28 m/s 2, at = 0,17 m/s 2 , s = 914,4m 03) v = 15,85 m/s , an = 412,09 m/s 2, at = 3,66 m/s 2 04) v = 0,6 m/s, a = 2,40 m/s2 05) α = 10,0 rad/s2 , ω = 35,4 rad/s, θ = 35,3 revoluções Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 04 Atividade – 1ª lista de exercícios: Exercícios para fixação dos conceitos e entrega no início da próxima aula. DATAS DAS ENTREGAS: Turma de segunda-feira: 09 de Março Turma de terça-feira: 18 de Março Turma de sexta-feira: 20 de Março Grace Kelly Quarteiro Ganharul – 2015 Slide 05 NÃO SERÃO ACEITAS LISTAS ATRASADAS OU LISTAS DIGITADAS E TODOS OS CÁLCULOS FEITOS DEVEM ESTAR DESCRITOS. NOTA: Podem resolver no Sistema Internacional ou no Sistema Inglês.
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