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Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) Instituto de Pesquisas Hidráulicas Departamento: Hidromecânica e Hidrologia Capítulo 5 – Análise Dimensional e Semelhança 2024 1 Pontos de interesse deste capítulo: ✓Análise Dimensional • O que é? • Para que serve? • Principais adimensionais na Mecânica dos Fluidos. ✓Semelhança • Teoria de modelos. • Tipos de modelos. • Aplicações. 2 Lembrando do capítulo 1: ✓ Dimensões primárias: - força-comprimento-tempo (FLT) e - massa-comprimento-tempo (MLT). ✓ Relação entre FLT e MLT: - 2ª Lei de Newton: 𝐹 = 𝑀. 𝐿 𝑇2 ✓ Homogeneidade dimensional 3 Introdução Muitos problemas da mecânica dos fluidos não podem ser resolvidos apenas com procedimentos analíticos. Procedimentos experimentais podem auxiliar. Procedimentos computacionais também podem contribuir. 4 Exemplo: ✓ Escoamento em regime permanente, incompressível, de um fluido Newtoniano em um tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa. ✓ Se deseja avaliar a queda de pressão no escoamento por unidade de comprimento de tubo. D=cte V1 = V2 z1 = z2horizontal 1 2 Aplicando a eq. da energia: 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠1−2 = 𝑝1 − 𝑝2 𝛾 = ∆𝑝 𝛾 Δ𝑝 = 𝑓(𝐷, 𝜌, 𝜇, 𝑉) Observação: Não foi incluído o comprimento da tubulação, pois se propõe a análise por unidade de comprimento da tubulação. 5 1ª Hipótese: analisar uma variável de cada vez, mantendo as demais constantes Representação gráfica da queda de pressão no escoamento em um tubo com a variação de diferentes variáveis. Dp V D, r, m constantes Dp D V, r, m constantes Dp r D, V, m constantes Dp m D, r, V constantes Dificuldade na experimentação. Dificuldade em utilizar as informações para generalizar os resultados. 6 Hipótese alternativa: considerando análise dimensional ✓ Agrupar as variáveis envolvidas em combinações adimensionais - denominados grupos adimensionais. 𝐷Δ𝑝 𝜌𝑉2 = 𝜑 𝜌𝑉𝐷 𝜇 Δ𝑝 = 𝑓(𝐷, 𝜌, 𝜇, 𝑉) Análise dimensional Representação gráfica da queda de pressão utilizando parâmetros adimensionais. 𝐷Δ𝑝 𝜌𝑉2 𝜌𝑉𝐷 𝜇 7 Teorema dos termos - Etapas 1) Faça uma lista com todas as grandezas que estão envolvidas no problema – definição das “n” grandezas que interferem no problema. 2) Expresse cada uma das grandezas em função das “m” dimensões básicas. Δ𝑝 = 𝑓(𝐷, 𝜌, 𝜇, 𝑉)Exemplo: n = 5 grandezas Definir sistema MLT ou FLT – 3 dimensões básicas Exemplo: Dp = [FL-3] D = [L] r = [FL-4T2] m = [FL-2T] V =[LT-1] Queda de pressão por unidade de comprimento de tubulação = F/L²/L 8 Teorema dos termos - Etapas 3) Determine o número de termos . Número de termos = n – m Exemplo: Número de termos = n – m = 5-3 = 2 termos 4) Escolha da base ou das variáveis repetidas Escolher “m” das “n” grandezas, dimensionalmente independentes, que contenham, em conjunto, as “m” dimensões, e usá-las como base. É importante lembrar que não podemos usar a variável dependente como uma das variáveis repetidas. Geralmente escolhem-se as variáveis repetidas entre aquelas que são dimensionalmente mais simples. Exemplo: Variáveis repetidas ou base: D, r, V 9 Teorema dos termos - Etapas 5) Formar (n-m) parâmetros adimensionais, com as “m” grandezas escolhidas para a base e cada uma das grandezas restantes separadamente. Exemplo: 1 = Dx1.ry1.Vz1. Dp = [L]x1. [FL-4T2]y1.[LT-1]z1.[FL-3] = F0.L0.T0 F0 → y1+1 = 0 → y1=-1 L0 →x1 -4y1+z1-3= 0 → x1 = 1 T0 →2y1-z1 = 0 → z1=-2 1=D1.r-1.V-2. Dp 𝜋1 = 𝐷Δ𝑝 𝜌𝑉2 2 = Dx2.ry2.Vz2. m 𝜋2 = 𝜇 𝜌𝑉𝐷Seguindo o mesmo procedimento 10 Teorema dos termos - Etapas 6) Verifique se todos os termos são adimensionais. Exemplo: 𝐷Δ𝑝 𝜌𝑉2 = 𝐿 𝐹/𝐿3 𝐹𝐿−4𝑇2 𝐿2𝑇−2 = 𝐹0𝐿0𝑇0 𝜌𝑉𝐷 𝜇 = 𝐹𝐿−4𝑇2 𝐿𝑇−1 𝐿 𝐹𝐿−2𝑇 = 𝐹0𝐿0𝑇0 7) Expresse o resultado da análise como uma relação entre os termos e analise o significado da relação obtida. 𝐷Δ𝑝 𝜌𝑉2 = 𝜑 𝜇 𝜌𝑉𝐷 Exemplo: Na etapa 7 são necessários dados experimentais ou outras análises que permitam estabelecer uma relação entre os adimensionais encontrados. 11 Aplicação – exemplo 1: Deseja-se estudar, com o uso da análise dimensional, o escoamento de um líquido sobre um vertedor retangular, sem contração lateral, conforme figura. O vertedor está montado num canal de largura b. Determinar uma fórmula que relacione a vazão Q do líquido, supondo-se que a vazão dependa dos fatores: Q = f (H, b, g, r) H b planta Corte longitudinal 12 Solução: n = 5 grandezas Q = f (H, b, g, r) m = 3 dimensões n-m = 2 termos Q = [L³ T-1] H, b = [L] g = [L T-2] r = [M L-3] Admitindo base = b, g, r 2 = bx2.gy2. r z2. H1 = bx1.gy1. r z1. Q Analisando as equações em termos dimensionais, encontramos os expoentes que satisfazem os termos serem adimensionais. x1 = -1/2 y1 = -5/2 z1 = 0 x2 = -1 y2 = 0 z2 = 0 𝜋1 = 𝑄 𝑏5/2. 𝑔1/2 𝜋2 = 𝐻 𝑏 𝑄 𝑏5/2. 𝑔1/2 = 𝑓 𝐻 𝑏 A análise dimensional vai até aqui. Relação funcional: 13 Se utilizamos outra base = H, g, r Observem que a base anterior era “b, g, r” – a nova base trocou H por b – como ambas tem mesma dimensão (L), o resultado será idêntico apenas trocando b por H.𝜋1 = 𝑄 𝐻5/2. 𝑔1/2 𝜋2 = 𝑏 𝐻 𝑄 𝐻5/2. 𝑔1/2 = 𝑓 𝑏 𝐻 Teremos os seguintes adimensionais: Relação funcional: Como podemos seguir a partir da análise dimensional? Novamente a análise dimensional vai até aqui. 14 𝑄 𝑏5/2. 𝑔1/2 = 𝑓 𝐻 𝑏 𝑄 𝐻5/2. 𝑔1/2 = 𝑓 𝑏 𝐻 Qual das bases produziu um resultado útil? H b planta Corte longitudinal 𝑄 = 𝑘. 𝑏. 𝑔1/2𝐻3/2𝑄 𝐻5/2. 𝑔1/2 = 𝑘. 𝑏 𝐻 Fórmula clássica para vertedouros retangulares 15 Alguns adimensionais conhecidos na Mecânica dos Fluidos ✓ Coeficiente de Pressão ou Número de Euler Δ𝑝 𝜌. 𝑔 1 𝑉2 2. 𝑔 = Δ𝐻 𝑉2 2𝑔 = 𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆Ã𝑂 𝐸𝑆𝑇Á𝑇𝐼𝐶𝐴 𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆Ã𝑂 𝐷𝐼𝑁Â𝑀𝐼𝐶𝐴 Δ𝑝. 𝐴 𝜌𝑉2 2 . 𝐴 = 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴 𝐷𝐸 𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆Ã𝑂 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴 𝐷𝐸 𝐼𝑁É𝑅𝐶𝐼𝐴 𝐸𝑢 = Δ𝑝 𝜌𝑉2 Importante em escoamentos causados por diferença de pressão. Ex: escoamentos em condutos forçados. 16 Alguns adimensionais conhecidos na Mecânica dos Fluidos 𝐹𝑟 = 𝑉 𝑔. 𝐿 ✓ Número de Froude É importante ressaltar que o número de Froude não é igual a razão entre as forças mas indica algum tipo de medida da influência média destas duas forças. 𝐹𝑟2 = 𝑉2 𝑔𝐿 = 𝑉2𝜌𝐴 𝑔𝐿𝜌𝐴 = 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴𝑆 𝐷𝐸 𝐼𝑁É𝑅𝐶𝐼𝐴 𝑃𝐸𝑆𝑂 A interpretação física do número de Froude é que ele representa uma medida, ou índice, das importâncias relativas das forças de inércia que atuam na partícula fluida e o peso da partícula. Importante nos escoamentos com superfície livre. Identifica se o escoamento é torrencial (Fr > 1) ou fluvial (Fr2: Uma investigação empírica foi realizada com o fim de determinar o período de oscilação de colunas de líquido colocadas em tubos em forma de “U” quando deslocadas de sua posição. Cinco experiências foram realizadas obtendo-se os resultados da tabela a seguir. Determine F(, L, D, r, g)=0. massa específica (g/cm³) Comprimento (cm) Diâmetro (m) Período (s) 1 1,0 10,0 1,0 0,45 2 13,6 21,0 1,0 0,65 3 0,8 55,0 2,5 1,05 4 1,2 8,2 0,5 0,41 5 1,2 12,0 1,0 0,49 21 Solução: n = 5 grandezas F(, L, D, r, g)=0 m = 3 dimensões n-m = 2 termos = [T] L, D = [L] r = [M L-3] g = [L T-2] Admitindo base = g, D, r 2 = gx2.Dy2. r z2. L1 = gx1.Dy1. r z1. Analisando as equações em termos dimensionais, encontramos os expoentes que satisfazem os termos serem adimensionais. x1 = 1/2 y1 = -1/2 z1 = 0 x2 = 0 y2 = -1 z2 = 0 𝜋1 = 𝑔1/2. 𝜏 𝐷1/2 𝜋2 = 𝐿 𝐷A análise dimensional vai até aqui. Vamos utilizar os dados experimentais para buscar uma relação entre 𝜋1 e 𝜋2. 22 𝜋1 = 𝑔1/2. 𝜏 𝐷1/2 𝜋2 = 𝐿 𝐷 𝜋1 −1. 1000 = 𝐷1/2 𝑔1/2. 𝜏 . 1000 𝜋2 −1. 1000 = 𝐷 𝐿 . 1000 massa específica (g/cm³) comprimento (cm) diâmetr o (cm) período (s) 𝐷1/2 𝑔1/2.𝜏 . 1000 𝐷 𝐿 . 1000 1 1 10 1 0.45 70.96 100.00 2 13.6 21 1 0.65 49.13 47.62 3 0.8 55 2.5 1.05 48.09 45.45 4 1.2 8.2 0.5 0.41 55.08 60.98 5 1.2 12 1 0.49 65.17 83.33 23 y = 0,4253x + 28,986 R² = 0,9977 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 20 40 60 80 100 120 𝑦 = 𝐷 1 /2 𝑔 1 /2 .𝜏 .1 0 0 0 𝑥 = 𝐷 𝐿 . 1000 𝐷1/2 𝑔1/2.𝜏 . 1000 = 0,4253. 𝐷 𝐿 . 1000 + 28,986 24 Semelhança escala 1:50 escala 1:100Protótipo UHE Porto Colômbia 25 Semelhança ✓ O uso de modelos físicos procura alcançar resultados que possam descrever o comportamento de uma estrutura similar real. ✓ Para isso é necessário que se obedeçam leis de semelhança, onde pode ser estabelecida a relação existente entre o modelo físico e outro sistema (protótipo). 26 Efeito de Escala Modelo construído com semelhança de Froude Escoamento real Deslocamento de um navio - vista superior 27 Tipos de semelhança ✓ Semelhança geométrica ✓ Semelhança cinemática ✓ Semelhança dinâmica 28 Semelhança geométrica Protótipo Escala real Modelo Escala 1:10 Fonte: White Pontos homólogos Implica na semelhança de forma entre o modelo e o protótipo. Existe uma razão fixa entre os comprimentos homólogos no modelo e no protótipo. A semelhança geométrica envolve escalas pertinentes às seguintes grandezas: comprimentos, áreas e volumes. 𝜆 = 𝐿𝑚 𝐿𝑝 = Lr 𝐴𝑚 𝐴𝑝 = 𝐿𝑚2 𝐿𝑝2 = 𝐿𝑟2 29 Bloco 1 (Fonte: Fox) Bloco 2 (Fonte: Fox) Semelhança Geométrica não é suficiente! Blocos 1 e 2 são geometricamente semelhantes, mas os escoamentos em torno deles são diferentes. 30 Semelhança Cinemática Protótipo Modelo Semelhança cinemática - as velocidades em pontos correspondentes têm a mesma direção e sentido e diferem apenas por um fator de escala constante. O arranjo geométrico entre as linhas de corrente deve ser o mesmo. 𝑉𝑚 𝑉𝑝 = 𝐿𝑚/𝑇𝑚 𝐿𝑝/𝑇𝑝 = 𝐿𝑚 𝐿𝑝 ÷ 𝑇𝑚 𝑇𝑝 = 𝐿𝑟 𝑇𝑟 = 𝐹𝐴𝑇𝑂𝑅 𝐷𝐸 𝐸𝑆𝐶𝐴𝐿𝐴 𝐷𝐸 𝑉𝐸𝐿𝑂𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 Semelhança de movimento - existe uma razão constante entre a velocidade de partículas homólogas, que se deslocam segundo trajetórias semelhantes, em direção e sentido. 31 Semelhança Dinâmica Implica na semelhança das forças e das massas envolvidas no fenômeno. Todas as forças importantes devem estar relacionadas pelo mesmo fator de escala entre os escoamentos de modelo e de protótipo Todas as forças que são importantes na situação do escoamento devem ser consideradas. Fonte: White Escalas de forças única! 32 Semelhança Dinâmica Ԧ𝐹 = Ԧ𝐹𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + Ԧ𝐹𝑣𝑖𝑠 cos 𝑎 + Ԧ𝐹𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 + Ԧ𝐹𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 sup 𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + Ԧ𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 = 𝑚. Ԧ𝑎 σ Ԧ𝐹 𝑚 σ Ԧ𝐹 𝑝 = 𝑚𝑚𝑎𝑚 𝑚𝑝𝑎𝑝 = 𝜌𝑚𝐿𝑚 3 𝜌𝑝𝐿𝑝 3 × 𝐿𝑟 𝑇𝑟 2 = 𝜌𝑟𝐿𝑟 2 𝐿𝑟 𝑇𝑟 2 = 𝜌𝑟𝐿𝑟 2𝑉𝑟 2 = 𝐹𝐴𝑇𝑂𝑅 𝐷𝐸 𝐸𝑆𝐶𝐴𝐿𝐴 𝐷𝐸 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴𝑆 Como se avalia na prática se há semelhança dinâmica entre escoamentos de modelo e de protótipo? Adimensionais relacionados com o escoamento devem ser iguais em modelo e protótipo. 𝐹𝑟𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 = 𝐹𝑟𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑅𝑒𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 = 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐸𝑢𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 = 𝐸𝑢𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑊𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 = 𝑊𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑀𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 = 𝑀𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑡𝑖𝑝𝑜 Entre outros. 33 Semelhança incompleta Modelo construído com semelhança de Froude Escoamento real A resistência sobre um navio surge do atrito de contato da água com o casco (forças viscosas) e da resistência das ondas (forças de gravidade). A semelhança dinâmica completa requer que os números de Froude e de Reynolds sejam ambos reproduzidos entre modelo e protótipo. 34 Analisando igualdade dos números de Froude e de Reynolds: 𝑉𝑚𝐿𝑚 𝜈𝑚 = 𝑉𝑝𝐿𝑝 𝜈𝑝 𝑉𝑚 𝑔𝐿𝑚 = 𝑉𝑝 𝑔𝐿𝑝 𝐹𝑟𝑚 = 𝐹𝑟𝑝 𝑉𝑚 𝑉𝑝 = 𝐿𝑚 𝐿𝑝 1/2 𝑅𝑒𝑚 = 𝑅𝑒𝑝 𝑉𝑚 𝑉𝑝 = 𝐿𝑝𝜈𝑚 𝐿𝑚𝜈𝑝 𝜈𝑚 𝜈𝑝 = 𝐿𝑚 𝐿𝑝 3/2 Relação exigida entre viscosidades e escala para atender Fr e Re. Se Lm/Lp = 1/100 (uma escala típica para comprimento em testes com navios), então 𝜈m/ 𝜈 p deve ser igual a 1/1000. O mercúrio é o único líquido com viscosidade cinemática inferior à da água. Contudo, a relação é apenas de uma ordem de grandeza inferior, aproximadamente; dessa forma, a razão requerida entre viscosidades cinemáticas para igualar os números de Reynolds não pode ser obtida. Conclusão: não é possível atender Re e Fr simultaneamente para uma escala 1:100. 35 Geralmente a água é o único fluido viável para testes de modelo com superfície livre. Estudos com modelos fornecem informações úteis mesmo quando a semelhança dinâmica completa não é obtida. Neste caso: 𝑉𝑚𝐿𝑚 𝜈𝑚 = 𝑉𝑝𝐿𝑝 𝜈𝑝 𝑉𝑚 𝑔𝐿𝑚 = 𝑉𝑝 𝑔𝐿𝑝 𝑉𝑚 𝑉𝑝 = 𝐿𝑚 𝐿𝑝 1/2 𝑉𝑚 𝑉𝑝 = 𝐿𝑝 𝐿𝑚 As duas relações só podem ser atendidas se fosse utilizado um modelo em escala de protótipo – o que é inviável para a maioria dos casos. Em situações em que Re e Fr são importantes, geralmente se trabalha com 𝑭𝒓𝒎 = 𝑭𝒓𝒑 e com um valor mínimo de Re, que é chamado de Re de soleira (Re0). 36 Escolha da Escala A escolha da escala, via de regra, não é totalmente arbitrária. Deve-se levar em conta certos fatores: • Condições mínimas de semelhança; • Precisão das medidas - o erro do modelo será extrapolado para o protótipo; • Equipamentos disponíveis; • Custo do estudo face o valor econômico da obra; • Espaço disponível; • Capacidade de recalque das bombas. 37 Aplicação – Exemplo 3 Deseja-se determinar a força exercida pelo vento sobre um edifício de forma cilíndrica, com 100 m de altura e 25 m de diâmetro construído à beira-mar. A velocidade do vento é de 30 m/s. Os ensaios deverão, em princípio ser realizados numa canaleta horizontal com água escoando sobre um modelo reduzido. As dimensões do modelo deverão ser tais que haja uma altura h de água acima do mesmo, grande o suficiente para evitar a formação de ondas superficiais. Nestas condições, o fator de escala resulta = 1:200, por razões do espaço disponível. Um dinamômetro permitirá a leitura da força Fm, no modelo. Qual o valor previsto para Fp ? Sabendo-se que F = Cd.r.V2.H.D / 2 e que Re soleira = 106. Devido a canaleta ser horizontal e serem eliminadas as ondas superficiais o número de Froude deixa de ter importância. H=50 cm h Protótipo Modelo Altura (m) 100 0,5 Diâmetro (m) 25 0,125 V (m/s) 30 (m²/s) 1,5 x 10-5 10-6 r (kg/m³) 1,2 1000 38 Adimensionais envolvidos neste problema: 𝑅𝑒 = 𝑉. 𝐿 𝜈 𝑉𝑚𝐿𝑚 𝜈𝑚 = 𝑉𝑝𝐿𝑝 𝜈𝑝 𝐶𝑑 = 𝐹 𝜌. 𝑉2. 𝐻. 𝐷 2 𝑉𝑚 = 30. 10−6. 200 1,5. 10−5. 1 = 400m/s Excessivamente alta – não há como ensaiar. Se o ensaio fosse realizado em túnel aerodinâmico (ar), a velocidade no modelo seria ainda mais elevada (6000 m/s).Re0 = 106: 𝑅𝑒𝑝 = 30.25 1,5. 10−5 = 5. 107 > 106 𝑅𝑒𝑚 = 106 = 𝑉𝑚. 0,125 10−6 . 𝑉𝑚 = 8𝑚/𝑠Ainda é uma velocidade elevada para ocorrer em um canal horizontal, porém seria possível movimentar o modelo nesta velocidade em um tanque com água parada e ter um dispositivo para medir a força. 39 Após a definição da velocidade de modelo, para avaliar a relação entre forças de modelo e protótipo, utiliza-se : 𝐶𝑑 = 𝐹 𝜌. 𝑉2. 𝐻. 𝐷 2 𝐶𝑑𝑚 = 𝐶𝑑𝑝 𝐹𝑝 = 𝐹𝑚. 𝑉𝑝 𝑉𝑚 2 . 𝐻𝑝 𝐻𝑚 . 𝐷𝑝 𝐷𝑚 . 𝜌𝑝 𝜌𝑚 Protótipo Modelo Altura (m) 100 0,5 Diâmetro (m) 25 0,125 V (m/s) 30 8 (m²/s) 1,5 x 10-5 10-6 r (kg/m³) 1,2 1000 𝐹𝑝 = 𝐹𝑚. 30 8 2 . 100 0,5 . 25 0,125 . 1,2 1000 𝐹𝑝 = 675. 𝐹𝑚 40 Aplicação – Exemplo 4 As dimensões lineares de um modelo de medidor Venturi são 1/5 daquelas do protótipo. O protótipo opera em água a 20ºC e o modelo em água a 93.3ºC. Se no protótipo a velocidade na garganta de 0,61 m de diâmetro é 6,1 m/s, qual a vazão necessária no modelo para haver semelhança ? Protótipo Modelo Fluido Água, 20ºC Água, 93ºC r (kg/m³) 998,2 963,3 m (N.s/m²) 1,005.10-3 0,306.10-3 D (m) 0,61 0,122 V (m/s) 6,1 Venturi 𝑉𝑚𝐿𝑚𝜌𝑚 𝜇𝑚 = 𝑉𝑝𝐿𝑝𝜌𝑝 𝜇𝑝 𝑅𝑒𝑚 = 𝑅𝑒𝑝 → 𝑉𝑚= 9,6𝑚/𝑠 𝑄𝑚 = 𝑉𝑚. 𝐴𝑚 = 0,112𝑚3/𝑠 41