AlgebraLinear Cap I

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I- Geometria no R3
Prof.Hugo Pedro Boff (IE-UFRJ)
1.1 Vetores e coordenadas no espaço usual
A base natural do sistema de coordenadas no espaço usual (Euclidiano) é constituída
por 3 vetores ortogonais entre si, E1,E2,E3, de comprimento unitário:
E1  1,0,0; E2  0,1,0; E3  0,0,1.
Um ponto P no 3 tem uma representação no sistema E1,E2,E3. Sejam x,y, z as
coordenadas de P com relação à E1,E2,E3 respectivamente. Então, x,y, z 
xE1  yE2  zE3  x1,0,0  y0,1,0  z0,0,1  x,y, z é a forma vetorial do ponto
Px,y, z.
Notações: Px,y, z é o ponto de coordenadas x,y, z no sistema E1,E2,E3, enquanto
que x,y, z é a representação do vetor com origem em O e extremidade em
P : OP ≡ x,y, z. Genéricamente, o vetor com origem no ponto Aa1,a2,a3 e extremidade
em Px,y, z será notado AP.
 
O
P(x,y,z)
xE1 + yE2
yE2
xE 1
zE3
OP
1
2
3
Fig.1.1: Vetor OP no espaço
Translações: mudanças de origem
A translação do vetor OP com vértice no ponto Px,y, z em um sistema com origem em
O consiste na representação deste mesmo vetor em um sistema com coordenadas paralelas e
origem em um outro ponto Po diferente de O. Nesta operação efetua-se a translação dos
eixos coordenados e avalia-se o ponto Px,y, z do sistema com origem em O, no espaço
com origem em um ponto qualquer P0x0,y0, z0, o qual será a origem do novo sistema de
coordenadas: O′ ≡ Po.
No sistema original temos: OP  xE1  yE2  zE3  x,y, z. No sistema com origem
em Poxo,yo, zo: PoP  (x − xoE1  y − yoE2  z − zoE3. Se x ′,y ′, z′ designam as
coordenadas do ponto P no novo sistema, temos as relações:
x ′  x − x0
y ′  y − y0
z′  z − z0
↔
x  x ′  x0
y  y ′  y0
z  z′  z0
Z ’
Y ’
X ’
O ’
Z
Y
X
O
P (x ,y ,z )
r
P ’(x ’ ,y ’ ,z ’)
γ
α
β
γ
β
α
A
B
Fig.1.2: translação dos eixos
Entretanto, as coordenadas do vetor OP no sistema com origem em O serão as mesmas
que as coordenadas do vetor transladado O′P ′ no novo sistema com origem em O′, pois
O′P ′ preserva o comprimento e a direção do vetor original OP. Então, sendo ,  e  os
ângulos diretores de OP (ângulos formados pelo vetor com o primeiro, segundo e terceiro
eixos coordenados, respectivamente) e r o comprimento de OP, a representação cosseno
das coordenadas de OP e O′P ′ garante as identidades: x  rcos  x ′; y  rcos  y ′ e
z  rcos  z ′ . As coordenadas de um vetor são invariantes mediante a translação dos
eixos.
Dois vetores são ditos equipolentes se eles possuem o mesmo comprimento, o mesmo
sentido e a mesma direção. Por exemplo, os vetores OP, O′P ′ e AB representados na figura
1.2 são equipolentes entre si.
1.2 Operações elementares com vetores
Distância Euclidiana
Para medir a distância entre dois pontos quaisquer P0x0,y0, z0 , Px,y, z no 3,
precisamos introduzir uma métrica sobre este espaço. Uma métrica é toda aplicação d :
3  3 →  atendendo os seguintes requisitos para quaisquer pontos Po,P e
P1x1,y1, z1:
i dP,Po  0 e dP,Po  0 ↔ P  Po;
ii dP,Po  dPo,P ;
iii dP,Po  dP1,Po  dP,P1.
O valor dP,Po mede a distância entre os pontos Po e P. A condição iii é chamada
desigualdade triangular.
A maneira usual de medir distâncias entre pontos de espaços multidimensionais é a
maneira de Euclides.
A distância Euclidiana entre P0 e P é dada por:
dP,Po  x − x02  y − y02  z − z02.
Prova: (pelo teorema de Pitágoras)
Sem perda de generalidade podemos tomar o ponto P0 na origem 0,0,0. Então,
d2  r2  z2 e r2  x2  y2. Logo, d2  x2  y2  z2, isto é, dP,O  d  x2  y2  z2 .

 3
2
 1
O
P(x,y,z)
y
x
z
r
d
Fig.1.3: distância Euclidiana
Não é difícil mostrar que d verifica os postulados i e ii acima. O postulado iii será
demonstrado à frente, ao introduzirmos o produto interno entre vetores e a norma de um
vetor.
Outras métricas úteis para a análise em espaços métricos são:
1. d1P,Po  |x − xo||y − yo||z − zo|;
2. d2P,Po  max|x − xo|; |y − yo|; |z − zo|.
Pode-se verificar com relativa facilidade que as aplicações d1,d2 são distâncias, i.e.,
também verificam os postulados acima.
Adição de vetores
A adição entre vetores se faz somando suas coordenadas. Sejam A  a1,a2,a3 e
B  b1,b2,b3. Então o vetor A  B será: A  B  a1  b1,a2  b2,a3  b3
 O
B
A
A + B
Fig.1.4a: Adição de vetores
Por extensão a subtração de um vetor C de um vetor A é definida como a adição do
vetor A ao negativo do vetor C: CA  A − C  A  −C
O C
C AAA - C
- C
Fig.1.4b: Subtração de vetores
Note que na figura acima os vetores CA e A − C são equipolentes.
A adição de vetores é comutativa e associativa:
i A  B  B  A
ii A  B  C  A  B  C
Multiplicação escalar
Seja F um corpo de escalares e k ∈ F um número escalar. Seja A um vetor do 3: kA é
um vetor do 3 paralelo à A, isto é, com a mesma direção de A. Se k  0, kA tem o mesmo
sentido de A; se k  0, kA tem o sentido oposto ao de A e se k  0, kA é o vetor nulo.
Se kA é um vetor com coordenadas (a1′ ,a2′ ,a3′ , vamos mostrar, geométricamente, a
seguinte identidade: kA  a1′ ,a2′ ,a3′   ka1,ka2,ka3.
 3
2
O
P ’(a’1,a ’2,a’3)
a 2
a1
kA
P (a 1,a 2,a 3)
a’2
q
q ’
a’1
A
a’3
a 3
1
Fig.1.5: Multiplicação escalar
Na figura 1.5 acima temos, A ≡ OP e kA ≡ OP ′, de modo que:
a2′
a2 
q′
q  OP
′
OP  k → a2
′  ka2.
Análogamente, projetando-se Oq′ e Oq sobre o eixo 1 obtemos: a1′  ka1.
Construindo-se a projeção ortogonal de OP e OP ′ sobre um dos planos adjascentes e, em
seguida, desta sobre o eixo 3 obtemos também: a3′  ka3. 
O vetor kA é uma dilatação de vetor A. Na figura acima representamos kA para k  1.
A multiplicação escalar apresenta as seguintes propriedades:
i kA  B  kA  kB
ii k1  k2A  k1A  k2A
iii k1k2A  k1k2A.
1.3 Paralelismo e a equação da reta
Pela definição da multiplicação escalar de um vetor V1  x1,y1, z1, o vetor tV1 tem a
mesma direção que o vetor V1 (t ∈ F) e coincide com V1 se t  1. Fazendo-se variar t, as
coordenadas de tV1 podem ser vistas como uma seqüência de pontos Ptx1, ty1, tz1 sobre
uma reta passando pela origem O e pelo ponto P1x1,y1, z1.
Seja Px,y, z um ponto qualquer desta reta. O segmento OP deve ser paralelo ao
segmento OP1, isto é, OP  tOP1. Análogamente, uma reta com origem no ponto
P0x0,y0, z0 passando por P1x1,y1, z1 terá equação P0P  tP0P1. Esta equação gera a
seguinte representação paramétrica das coordenadas da reta:
x  x0  tx1 − x0; y  y0  ty1 − y0; z  z0  tz1 − z0
Assim, uma reta Rt é determinada por um ponto Px,y, z que lhe pertence e um vetor
P0P1 que lhe é paralelo.
R ( t )
P 1
P o
P
Fig.1.6: Equação da reta
O vetor direção da reta será: x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0.
Exercício 1.1 Defina formalmente a reta Rt que passa pelos pontos P00,1,2 e
P11,−1,6.
Solução: A representação paramétrica das coordenadas é: x  t; y  1 − 2t; z  2  4t.
Então, Rt  t, 1 − 2t, 2  4t ∈ 3; t ∈ F.
Naturalmente, todos os segmentos RtoRt sobre a reta t ≠ t0 estarão na direção do
vetor PoP1  1,−2,4.
1.4 Produto interno e ortogonalidade
Sejam V  x,y, z e Vo  x0,y0, z0 dois vetores do 3. O produto interno (ou produto
Euclidiano) de V e Vo é definido como:
 V  Vo  xx0  yy0  zz0
Comprimento de um vetor
Em um espaço métrico, o comprimento de um vetor V é calculado definindo-se a
aplicação norma :
‖‖ : 3 →  : x → ‖x‖  comprimento do vetor x.
Obtemos assim um espaço vetorial normado. No caso usual (Euclidiano), o
comprimento do vetor V será dado por:
‖V‖  V.V
Como o comprimento do vetor V é a distância que separa seu vértice Px,y, z da sua
origem O, é fácil verificar que ‖V‖  dP,O. Por isso, assim comoa distância, a norma
de um vetor é sempre não negativa. Análogamente, se V  OP e Vo  OPo, o vetor
V − Vo  x − xo;y − yo; z − zo é equipolente ao vetor com origem em Po e extremidade em
P, de maneira que a distância entre estes dois pontos é dada pelo comprimento de V − Vo :
‖V − Vo‖  V − Vo. V − Vo  x − x02  y − y02  z − z02  dP,Po.
Para o produto interno usual, é válida a chamada lei do cosseno:
 V  Vo  ‖V‖  ‖Vo‖  cos
onde  é o cosseno formado na origem O pelos vetores V e Vo, e ‖ ‖ é a norma
Euclidiana definida acima.
A identidade de () com () é facilmente estabelecida no caso em que V e Vo
pertencem ao 2. Com efeito, fazendo-se a transformação polar: x  ‖V‖cos;
y  ‖V‖ sin; x0  ‖Vo‖cos; y0  ‖Vo‖ sin (conforme figura 1.7 abaixo) em (),
vem: V  Vo  ‖V‖cos  ‖Vo‖cos ‖V‖ sin  ‖Vo‖  sin 
‖V‖  ‖Vo‖  coscos  sin sin  ‖V‖  ‖Vo‖  cos −    ‖V‖  ‖Vo‖  cos,
que é a equação ().
2
1
α
β
θ
x x o
y o
y
O
V o
V
Fig.1.7: Lei do cosseno
O produto interno  tem as seguintes propriedades:
i V  Vo  Vo  V (comutatividade)
ii V  Vo  V1  V  Vo  V1 (associatividade)
iii V  Vo  V1  V  Vo  V  V1 (distributividade)
iv V  Vo  V  V1
Vamos agora provar que a lei do cosseno () implica na definição (). Para isso,
usamos as propriedades do produto interno.
Considere d a distância entre os pontos P e Po na extremidade dos vetores V e Vo do
3. Pela fórmula da distância vem: d2  d2Po,P  x − x02  y − y02 z − z02 
‖V‖2  ‖V0‖2 −2xx0  yy0  zz0 (∗)
Pelas propriedades (i),(ii) e (iii) do produto interno e, pela lei do cosseno, temos:
d2  ‖V − Vo‖2  V − Vo  V − Vo  V  V  Vo  Vo − 2  V  Vo  ‖V‖2  ‖Vo‖2
−2‖V‖  ‖Vo‖  cos. Igualando (∗) com esta última equação obtemos a identidade
desejada: xx0  yy0  zz0  ‖V‖  ‖V0‖  cos.
Propriedades da norma
Dados os vetores X  x1,x2,x3 e Y  y1,y2,y3 temos:
(i) ‖X‖  0 ↔ X  0
(ii) ‖kX‖  |k|  ‖X‖, k ∈ R
(iii) ‖X  Y‖ ≤ ‖X‖  ‖Y‖ (desigualdade de Minkowsky).
A demonstração das duas primeiras propriedades é trivial. A terceira é a chamada
desigualdade triangular formalizando a idéia de que a menor distância entre dois pontos é
a dada tomando-se o comprimento da linha reta que os une. Com efeito (veja-se fig.1.8),
‖X  Y‖2  x1  y12  x2  y22  x3  y32  ‖X‖2  ‖Y‖2  2  X  Y. Ora, pela lei
do cosseno X  Y ≤ |X  Y| ≤ ‖X‖  ‖Y‖  |cos| ≤ ‖X‖  ‖Y‖ (desigualdade
Cauchy-Schwarz). Então, ‖X  Y‖2 ≤ ‖X‖  ‖Y‖2 e a desigualdade está demonstrada.
 O
Y
X
X + Y
Y
Fig.1.8: Desigualdade de Minkowski
As propriedades i − iii acima também são satisfeitas pelas normas engendradas
pelas distâncias d1 e d2 apresentadas acima:
‖X‖1  |x1||x2|̄|x3| e ‖X‖2  max|x1|; |x2|̄; |x3|, respectivamente. A
verificação é sugerida como exercício.
Projeção ortogonal
Se os vetores U e V formam entre si um ângulo reto   /2 então eles são ditos
mutuamente ortogonais. Pela lei do cosseno, isto é equivalente à U  V  0.
V
U
9 0 ο
O
Fig.1.9: Vetores
A projeção ortogonal do vetor U sobre a reta suporte do vetor V é o vetor , imagem
do vetor U sobre a reta suporte. Assim, ‖‖  ‖U‖  |cos| onde  é o ângulo formado
entre U e V. Pela lei do cosseno temos |cos|  |UV|‖U‖‖V‖ de maneira que ‖‖  |UV|‖V‖ .
Como  e V são paralelos, devemos ter ‖‖  V‖V‖ .
Logo,  fica definido como:
  U  V‖V‖2 V
Se U  V  0 /2    3/2,  tem sentido oposto ao de V. Do contrário,
U  V  0, −3/2    /2 o sentido de  é o mesmo do de V. Naturalmente, se U e V
são ortogonais U  V  0, a projeção é nula.
Exemplo 1: Vamos calcular a projeção  de U  1,−1,2 sobre a reta de suporte de
V  1,2,1, e o comprimento de .
Temos: U  V  1, ‖V‖  6 . Logo,   16 1,2,1 e ‖‖  16 .
U
9 0 ο
Π
V
Fig.1.10: Projeção ortogonal
Note que a definição da projeção dada acima, é válida mesmo que os vetores U e V não
estejam definidos sobre um mesmo plano (como na figura 1.10 acima). As matrizes de
projeção introduzidas na seção 5.3 permitirão uma definição mais genérica da projeção
ortogonal de vetores sobre planos e hiperplanos gerados por um dado conjunto de vetores
em um espaço vetorial de dimensão superior.
1.5 Produto externo e a equação do plano
Produtos vetoriais e vetores normais
Sejam X  x1,x2,x3 e Y  y1,y2,y3 dois vetores do 3. O produto externo (ou
produto vetorial) de X por Y, notado X ∧ Y é um vetor N  n1,n2,n3 normal ao plano
formado pelos pontos Px1,x2,x3 O P ′y1,y2,y3.
Usando-se a regra de Cramér (veja seção 4.2) para a solução de N  X  N  Y  0,
mostra-se que X ∧ Y pode ser expressso de seguinte maneira:
X ∧ Y 
E1 E2 E3
x1 x2 x3
y1 y2 y3
. No cálculo do determinante (veja seção 4.1) os vetores de
base natural E1,E2,E3 são tratados como escalares. Disto vai que:
N  X ∧ Y  x2 x3
y2 y3
,− x1 x3
y1 y3
,
x1 x2
y1 y2
Pode-se então verificar que N é ortogonal à X, à Y e à qualquer combinação linear
destes dois vetores: N  k1X  k2Y  k1N  X  k2N  Y  0  0  0
O produto externo ∧ goza das seguintes propriedades:
i X ∧ Y  −Y ∧ X
ii X ∧ kX  0; ∀k ∈ R
iii kX ∧ Y  kX ∧ Y
iv X ∧ Y  Z  X ∧ Y  X ∧ Z.
A demonstração destas propriedades decorre imediatamente da definição de ∧.
Pode-se também mostrar que se W é um terceiro vetor não coplanar à X e Y (i.e. que não
pertence aos planos de X e de Y, então o vetor U ∧ V ∧W está no plano suporte de V e W
ou é paralelo a este plano (dado que é perpendicular à V ∧W). Análogamente, V ∧ U ∧W
está no plano ou é paralelo ao plano de V e W.
Equação do plano
Um plano contendo a origem O e o ponto Px,y, z é formado pelo segmento OP e um
vetor N normal a este plano. Sua equação é : OP  N  0. Se ao invés de conter a origem,
o plano com normal N deve conter um ponto Poxo,yo, zo arbitrário, então a equação do
plano será: PoP  N  0. Como PoP é equipolente ao vetor
OP − OPo  x − xo,y − yo, z − zo, temos a seguinte equação do plano: P  N  OPo  N
ou, colocando   OPo  N  n1xo  n2yo n3zo, a equação do plano torna-se:
n1x  n2y  n3z  .
Exemplo 2: Vamos achar uma equação do plano que passe pelos pontos A1,1,2;
B5,0,3 e C4,1,−2. Seja X  AB  4,−1,1 e Y  AC  3,0,−4. Usando a fórmula
do produto externo, um vetor normal ao plano de suporte de XY é
N  −1−4 − 10, 13 − 4−4, 40 − −13  4,19,3. Então,
  OA  N  14  119  23  29 . E a equação do plano será : 4x  19y  3z  29.
A
B
P(x,y,z)
C
N
45o
Fig.1.11: Vetor N normal ao plano BAC
a) Planos paralelos e ortogonais
Dois planos  : n1x  n2y  n3z   e ′ : n1′ x  n2′ y  n3′ z   ′ são paralelos sse seus
vetores normais N e N′ forem paralelos. N′  tN, t ≠ 0. Neste caso, temos
1′ : n1x  n2y  n3z  ′t e  e ′ estão sobrepostos se  ≠ ′t e coincidem se   ′t .
Por outro lado  e ′ são ortogonais sse seus vetores normais são ortogonais:
N  N′  0. Por exemplo, dado o plano  : 2x1 − x2  6x3  10, um plano paralelo é
′ : 6x1 − 3x2  18x3  16 e um plano perpendicular à  (ou ′) é x1  2x2  5.
b) Reta interse��o de dois planos
A interseção de dois planos não paralelos  : n1x  n2y  n3z   e
′ : n1′ x  n2′ y  n3′ z   ′ engendra uma reta Rt com coordenadas parametrizadas por t.
Para calcular as coordenadas xt,yt, zt desta reta colocamos z  t e resolvemos em x e y
o sistema linear:
n1 n2
n1′ n2′
x
y
  − n3t ′ − n3′ t
. Usando a regra de Cramér obtemos:
xt  1
 − n3t n2
 ′ − n3′ t n2′
e yt  1
n1  − n3t
n1′  ′ − n3′ t
onde
  n1 n2
n1′ n2′
 n1n2′ − n2n1′
Após o cálculo dos determinantes obtemos as equações paramétricas de Rt:
xt  n2
′ −  ′n2
 
n2n3′ − n3n2′ t; yt 
 ′n1 − n1′ 
n1′ n3 − n1n3′  t
zt  t.
R
O
Π !
Π
( t )
Fig.l.12: Reta interseção de dois planos
Exemplo 3: Determinemos as equações paramétricas da reta interseção dos planos
x − 2y  6z  4 e 2x  y − 3z  2. Usando as equações acima para   4,  ′  2, n1  1,
n2  −2, n3  6 e n1′  2, n2′  1, n3′  −3 vem:   11 − 2−2  5
xt  41−2−25  −3−2−615 t  85  0t
yt  21−425  26−1−35 t  −65  3t
zt  t
Note que um vetor V paralelo aos dois planos  e ′ é calculado como o produto
externo dos vetores normais à estes planos: V  N ∧ N′  v1,v2,v3 onde as coordenadas
v1,v2,v3 são as do vetor de direção da reta de interseção explicitada anteriormente ( p.ex.
v1  n2n3′ − n3n2′  1 ). Naturalmente, a reta paralela aos planos  e ′ passando por um
ponto Px0,y0, z0 terá então as seguintes equações paramétricas: x  x0  tv1;
y  y0  tv2; z  z0  tv3.
Esta reta é paralela à reta intersecção dos dois planos, e coincidirá com a reta
interseção sse o ponto P pertencer à  ⌢ ′.
No exemplo acima, a reta paralela à  e ′ passando por P5,1,3 tem representação:
x  5; y  1  3t e z  3  t.
Exercício 1.1: Ache a equação do plano contendo o ponto A1,5,7 e a reta: x  2  t;
y  3 − 2t; z  5t.
Solução: Sejam B2,3,0 e C3,1,5 dois pontos sobre a reta (obtidos tomando-se t  0
e t  1, respectivamente). Então AB  1,−2,−7; AC  2,−4,−2 e um vetor normal à
estes vetores é:
−2 −7
−4 −2 ,−
1 −7
2 −2 ,
1 −2
2 −4  −24,−12,0  −122,1,0 ou,
2,1,0. Seja Px,y, z um ponto do plano. Uma equação do plano satisfazendo as
condições do exercício será: AP  2,1,0  2x − 1  y − 5  0z − 7  2x  y − 7  0.
♣♣♣
Exercícios propostos
Seção 1.1: Translações
1. Efetue a translação dos eixos coordenados x1,x2,x3 da base natural para o sistema
de eixos x1′ ,x2′ ,x3′  com origem em a  1,2,1. Represente gráficamente o vetor
v  −1,3,2 em ambos os sistemas do 3.
2. Podemos genéricamente definir uma translação T no 3 como uma aplicação do V3
→ V3 : v → Tv  v − a. Mostre que a soma ou a diferença de duas translações não é uma
translação. Por que ?
Seção 1.2: Distância Euclidiana e operações com vetores
1. Dados os três pontos A5,−3,1, B−2,4,3 e C3,1,−4, ache: a Os comprimentos
dos lados do triângulo ABC; b As coordenadas dos vetores AB,BC,AC; c As
coordenadas de AB  BC e AB  BC  CA; d Os pontos médios M, N e Q dos vetores BC,
AB e AC, respectivamente; e As coordenadas do centróide do triângulo ABC, i.e., o ponto
P sobre AM tal que AP  2PM. Mostre também que P trissecta BQ e CN .
(Sugestão: Represente gráficamente os pontos. O ponto médio Mx,y, z do vetor do
vetor BC é tal que suas coordenadas resolvem: BM  12 BC.
2. Mostre (algébricamente e geométricamente) que os pontos 0,0,0,0; 5,2,7;
−2,2,3 e 3,4,10 são vértices de paralelogramos.
3. Dados os pontos A4,−1,6 e B2,5,−4, ache: a o ponto C tal que B seja o ponto
médio de AC ; b o ponto D tal que A seja o ponto médio de DB.
4. Sejam os três pontos Aixi,yi, zi; i  1,2,3. Prove que o centróide do triângulo é o
ponto coordenado por  x1x2x33 ; y1y2y33 ; z1z2z33 .
5. Dados os pontos A2,5,−1, B−2,1,4 e C0,−6,4. Ache os pontos P tais que: a
AP  3AB; b CP  2AB; c AP  −5BP.
6. Prove o teorema de Pitágoras: d2  x2  y2 , onde d é a hipotenusa e x e y o
comprimento dos lados de um triângulo retângulo (Sugestão: construa o quadrado de lado
x  y e calcule sua área).
Seção 1.3: Equação da reta
1. Dê as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A1,0,3 e B−2,1,5.
Mostre que esta reta é paralela à reta passando pela origem O e pelo ponto C−3,1,2.
2. Ache as equações paramétricas: a da reta passando por A1,5,0 e paralela ao vetor
T  2,−7,4; b da reta que passa pelo ponto A1,7,6 e é paralela à reta que passa pelos
pontos B1,2,0 e C5,−1,3; c da reta que passa pelo ponto A0,5,6 e é paralela à reta
de equação: x  2  4t; y  −2t; z  3  5t.
3. Considere a reta que passa pelos pontos A2,1,4 e B−3,5,2. Determine os pontos
nos quais a reta corta: a cada um dos planos coordenados : xy, yz e xz; b o plano de
equação x  y  z  4.
4. Ache as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A4,1,−2 e é normal ao
plano de equação 2x − y  3z  6.
5. Dados os pontos Ax1,y1, z1 e Bx2,y2, z2, mostre que se Px,y, z estiver sobre a
reta que passa por A e B, então existem números s e t tais que s  t  1 e x  sx1  tx2;
y  sy1  ty2 e z  sz1  tz2. Mostre também que P está entre A e B sse s e t são ambos não
negativos.
Seção 1.4: Produto interno e ortogonalidade
1. Ache três vetores unitários, cada um dos quais ortogonal ao vetor v  5,2,−3.
2. Ache dois vetores mutuamente ortogonais e ortogonais ao vetor v  7,3,−2.
3. Ache três vetores ortogonais ao vetor v  5,2,−3 de maneira que as componentes
de cada um deles some 1.
4. Dados os pontos A1,3,5, B−2,1,3 e C4,1,2 : a Calcule o cosseno do ângulo
formado entre os vetores BA e BC; b idem para os ângulos formados entre AB /AC e CA
/CB; c Calcule a área do triângulo ABC.
5. Calcule a projeção do vetor 7,2,4 sobre cada um dos vetores 1,1,0; −1,1,2 e
1,2,1.
6. Prove que se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si, os lados
do paralelogramo são iguais. (Sugestão: se X e Y são dois vetores de mesma origem, então
as duas diagonais do paralelogramo formado por ambos são: X  Y e X − Y.
7. Ache o comprimento da perpendicular do ponto P2,−1,6 ao plano de equação
2x  6y − 3z  28.
(Sugestão: Tome um ponto qualquer do plano, p.ex., Q14,0,0 e ache o vetor projeção
de PQ sobre um vetor normal ao plano. Em seguida, calcule o comprimento da projeção).
8. Determine o ponto Pxo,yo, zo, sobre o plano de equação x  y  2z  0, que está à
menor distância do ponto A3,4,−2.
9. Dê a fórmula geral para o comprimento da perpendicular partindo do ponto
Pxo,yo, zo ao plano de equação ax  by  cz  d.
10. Prove que: a o plano de equação ay  bz  c é paralelo ao eixo dos x; b o plano
ax  bz  c é paralelo ao eixo dos y; c o plano zx  by  c é paralelo ao eixo dos z; d o
plano ax  c é paralelo aos eixos y e z.
Seção 1.5: Produto externo e a equação do plano
1. Ache um vetor normal: a ao plano formado pelos pontos A1 − 1,1; B2,0 − 3 e
C0,2,4; b ao plano de equação −x  3y  z  2.
2. Ache um vetor ortogonal a ambos vetores: A  1,5,−2 e B  2,3,1.
3. Ache as equações dos planos satisfazendo as seguintes condições: a passando pelo
ponto de coordenadas 2,9,−1 e tendo por vetor normal 3,−1,5; b passando pelo ponto
C1,5,2 e perpendicular à reta passando pelos pontos A1,4,−3 e B−2,5,1; c
passando pelo ponto A2,3,4 e perpendicular ao eixo dos y; d passando pelos pontos
A1,−2,4; B5,1,6 e C6,3,2; e passando pelos pontos A1,0,0; B0,1,0;
C0,0,1; f contendo o eixo x e o ponto A2,1,5; g contendo oponto A1,5,7 e a reta
x  2  t; y  3 − 2t; z  5t.
Retas interseção
4. Ache a equação do plano nas seguintes situações: a contendo o ponto A3,1,−2 e
perpendicular à reta interseção x − 2y  6z  2 ; 3x  y − 2z  4; b contendo o ponto
A2,0,5 e a reta interseção dos dois planos: x  y − z  6; 2x  5y − 3z  1 ;
5. Ache um vetor paralelo às retas: a 2x − y  4z  1; x  5y  z  6; b
x − 6y  5z  1;2x  y  z  4;
6. Mostre que os três planos: 2x − 3y − z  1; x  2y  3z  0 ;5x − y  4z  117 ,
intersectam em uma reta. (Sugestão: mostre que a reta interseção dos dois primeiros planos
pertence ao terceiro);
7. Mostre que os três planos: x  y − 2z  2;2x − 2y  3z  1; 3x − y  z  7 não se
intersectam. (Sugestão: mostre que a reta interseção dos dois primeiros planos é paralela
ao terceiro);
8. Ache o pontode interseção dos três planos: x − 2y  z  4; 3x  y − 2z  1;
4x − y  3z  6;
9. Dê as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A4,2,−1 e é paralela à
cada um dos planos 2x  y  z  0; x − 5y  2z  9;
10. (a) Determine o valor das constantes a e b de maneira que a reta interseção dos dois
planos x − y  2z  a e 2x  3y − z  b passe pelo ponto A7,−1,4;
(b) Dado o valor da constante a, determine os coeficientes n1 e n2 de maneira que o
plano de equação n1x  n2y  z  a é intersectado pelo plano de equação 2x − y − z  1
sobre a reta Rt  1  t, 2  t, −1  t : t ∈ .
Exercícios teóricos
1. Se X e Y forem dois vetores de mesma origem e s e t forem dois escalares quaisquer,
prove que Z  sX  tY está no mesmo plano que X e Y. ;
2. Mostre que se X,Y e Z são três vetores coplanares do 3 e não paralelos entre si,
então existem constantes únicas s e t tal que: Z  sX  tY;
3. Se X,Y e Z são três vetores não coplanares no 3, de mesma origem e não nulos,
então todo vetor U ∈ 3 pode ser expresso como U  sX  tY  uZ, onde s, t e u são
escalares apropriados.
∡♣ℷ
Respostas aos exercícios
Seção 1.1 :
1/ x1′  x1 − 1; x2′  x2 − 2; x3′  x3 − 1.
2/ Se T1v  v − a1 e T2v  v − a2 então T1  T2v  v  v − a1  a2 não tem o
mesmo comprimento de T1 ou T2.
Seção 1.2:
1/ (a) ‖AB‖ 10.1; ‖AC‖ 6,708; ‖BC‖ 9.11;
(b) AB : −7,7,2; BC : 5,−3,−7; AC : −2,4,−5;
(c) AB  BC : −2,4,−5; AB  BC  CA : 0,0,0;
(d) M 12 , 52 ,− 12 ; N 32 , 12 , 2; Q4,−1,− 32 ;
(e) Centróide: P2, 23 , 0. Trisecta BQ:
BP  2PQ  4,− 103 ,−3 e CN :
CP  2PN  −1,− 13 , 4;
2/ Geométricamente: represente no 3 os quatro pontos;
Algébricamente: AC  BD  −2,2,3 e
AB  CD  5,2,7;
3/ (a) C0,11,−14; (b) D6,−7,16;
4/ M ponto médio de A2A3 e Px,y, z centróide:
A1P  2PM → x  13 x1  x2  x3;
y  13 y1  y2  y3; e z  13 z1  z2  z3;
5/ (a) P−10,−7,14; (b) P−8,−14,14; (c) P− 43 , 53 , 196 .
Seção 1.3
1/ Rt  1 − 3t, t, 3  2t : t ∈  é paralela à reta
passando por C−3,1,2;
2/ (a) x  1  2t; y  5 − 7t; z  4t;
(b) x  1  4t; y  7 − 3t; z  6  3t;
(c) x  4t ; y  5 − 2t; z  6  5t.
3/ Px,y, z : x  2 − 5t; y  1  4t; z  4 − 2t.
(a) xy : P−8,9,0; xz : P 134 , 0, 92 ; yz : P0, 135 , 165 ;
(b) t  1 → P−3,5,2.
4/ x  4  2t; y  1 − t; z  −2  3t;
5/ Px,y, z tal que AP  rAB → x  rx2  1 − rx1;
y  ry2  1 − ry1; z  rz2  1 − rz. Coloque t  r e
s  1 − r. Então, minx1,x2 ≤ x ≤ maxx1,x2 implica
t  0 e s  0 (idem para y e z ).
Seção 1.4
1/ 5
29
− 25 , 1,0; 534 
3
5 , 0,1; 213 0,
3
2 , 1 (resp.múltiplas);
2/ − 37 , 1,0 ; 7,3,29 (resp.múltiplas);
3/ v1  − 23 , 53 , 0; v2  1,−1,1; v3  − 73 , 133 ,−1 (resp.múltiplas) ;
4/ (a) cos  16
1737 ; (b) BAC : cos  11722 ; ACB :
cos  21
2237 ; (c) área ACB  12 ‖BC‖‖BA‖sin  12 37  17
0.77  9,656;
5/ Sobre 1,1,0:   92 1,1,0; Sobre −1,1,2 :  12 −1,1,2; Sobre 1,2,1 :   52 1,2,1;
6/ X  Y. X − Y  X.X − Y.Y  ‖X‖2 − ‖Y‖2  0 sse
‖X‖ ‖Y‖;
7/ ‖‖ 487 ;
8/ P 52 , 72 ;− 62 ;
9/ |d−axobyoczo|
a2b2c2
;
10/ (a) normal ao plano: 0,a,b; direção do eixo x : 1,0,0;
(b) normal ao plano: a, 0,b; direção do eixo y : 0,1,0;
(c) normal ao plano: a,b, 0; direção do eixo z : 0,0,1;
(d) normal ao plano: a, 0, 0; vetor do plano yz : 0,y, z.
Seção 1.5
1/ (a) 15,1,4; (b) −1,3,1;
2/ 11,−5,−7;
3/ (a) 3x − y  5z  −8; (b) −3x  y  4z  10; (c) y  3;
(d) 16x − 18y − 5z  32; (e) x  y  z  1; (f)
5y − z  0; (g) 2x  y  7;
4/ (a) 2x  20y − 7z  0; (b) 2x  11y − 5z  −21;
5/ (a) xo − 21t; yo  2t; zo  9t ; t ∈ , xo,yo, zo
arbitrários;
(b) xo − 11t; yo  9t; zo  13t ; t ∈ , xo,yo, zo
arbitrários;
6/ Os três planos intersectam na reta
 27 − t,− 17 − t, t; t ∈ ;
7/ A reta  54  14 t, 34  74 t, t; t ∈  é paralela ao terceiro plano mas não pertence à
ele;
8/  2728 ,− 3928 , 728 ;
9/ 4  7t, 2 − 3t, − 1 − 11t; t ∈ ;
10/ (a) a  16; b  7;
(b) n1  −3  a; n2  2  a.