demanda

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Teoria da Demanda 
Tratamento Algébrico
Os consumidores maximizam sua utilidade dada uma restrição orçamentária
Supondo a seguinte função de utilidade
A função utilidade marginal do bem X será
O consumidor irá tentar maximizar sua função de utilidade, 
sujeito a restrição orçamentária
 Para maximizar uma função sujeita a uma restrição utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange
A equação a seguir representa o lagrangiano do problema
Note que escrevemos a restrição orçamentária como
As três equações anteriores podem ser reescritas da seguinte forma
pois assim poderemos encontrar os valores ótimos de X e Y
A seguir apresentamos o princípio da utilidade marginal
que significa que a utilidade marginal de cada mercadoria dividida por seu respectivo preço é a mesma, 
Considerando um nível fixo de utilidade U*, a curva de indiferença correspondente a tal nível de utilidade é 
A variação total na utilidade deve ser igual a zero, assim
Reordenando os termos, temos 
TMSYX é a taxa marginal de substituição de Y por X, que representa a razão entre utilidades marginais do consumidor, e é igual a razão entre os preços 
Agora vamos diferenciar a função de utilidade em relação a renda para encontrar a utilidade marginal da renda
Como um incremento na renda deve ser dividido entre X e Y 
substituindo a equação 5 na equação 9
e substituindo a equação 10 na equação 11 
Vamos supor uma função de utilidade de Cobb-Douglas, que pode ser escrita das seguintes formas
Exemplo 
Dada a restrição orçamentária usual, escrevemos o lagrangiano
As duas primeiras condições têm as seguintes implicações
Combinando essas duas com a última condição, que é a restrição orçamentária, temos
Substituindo essa expressão nas equações 13 e 14, obtemos as funções de demanda
Podemos enxergar de duas formas as decisões de otimização do consumidor
 escolha da curva de indiferença mais alta
 escolha da linha de orçamento mais baixa	 
Vamos agora minimizar o custo de um nível de utilidade
Considerando a seguinte restrição
Dualidade na Teoria do Consumidor
criamos o lagrangiano
Resolvendo as duas primeiras equações obtemos 
Pelo fato de também ser verdadeiro que 
a escolha dos valores para X e Y que minimizem o custo deve ser no ponto em que a linha de orçamento tangencie a curva de utilidade U*, que é o mesmo ponto que maximiza a utilidade com restrição de renda 
Agora vamos utilizar a forma exponencial da função de utilidade de Cobb-Douglas, para provar que as funções de demanda resultantes serão as mesmas
Dada a restrição de utilidade, obtemos o lagrangiano
Multiplicando a primeira equação por X e a segunda por Y, e somando ambas, temos
que são as mesmas funções de demanda obtidas anteriormente!
Efeito Renda e Efeito Substituição
Denotamos a variação de X que resulta de uma variação de uma unidade no preço de X, mantendo a utilidade constante, por
Assim, a variação total de X resultante da variação em PX é
Efetuando a substituição nas equações anteriores, obtemos
A partir da restrição orçamentária usual, sabemos que por diferenciação obtemos
Substituindo esta expressão na equação 17 obtemos a equação de Slutsky
onde o primeiro termo representa o efeito substituição e o segundo, o efeito renda
Fonte: R. Pindyck & D. Rubinfeld, Microeconomia, 5a Edição