Apostila micro 1

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Profa. Natália França 
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Microeconomia para Anpec 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 00 – Teoria do 
Consumidor (Parte 1) 
Microeconomia para Anpec 
Prof. NATÁLIA FRANÇA 
Profa. Natália França 
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Sumário 
APRESENTAÇÃO ....................................................................................................................................... 3 
COMO ESTE CURSO ESTÁ ORGANIZADO .................................................................................................. 4 
TEORIA DO CONSUMIDOR ....................................................................................................................... 6 
PROPRIEDADES DAS PREFERÊNCIAS DO CONSUMIDOR ................................................................................................. 6 
CURVAS DE INDIFERENÇA......................................................................................................................................... 8 
Propriedades das Preferências e as Curvas de Indiferença ................................................................................ 10 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO ........................................................................................................................ 11 
FUNÇÃO UTILIDADE .............................................................................................................................................. 12 
Utilidade Marginal ......................................................................................................................................... 13 
EXEMPLOS DE PREFERÊNCIAS ................................................................................................................................. 14 
Substitutos Perfeitos ...................................................................................................................................... 14 
Complementares Perfeitos ............................................................................................................................. 15 
Preferências bem-comportadas ...................................................................................................................... 16 
Preferências côncavas.................................................................................................................................... 17 
Preferências quase-lineares ............................................................................................................................ 18 
Preferências lexicográficas ............................................................................................................................. 18 
Males ............................................................................................................................................................ 19 
Neutros ......................................................................................................................................................... 20 
Função Elasticidade de Substituição Constante (CES)...................................................................................... 21 
Preferências homotéticas ............................................................................................................................... 21 
RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA .................................................................................................................................. 23 
Alterações na Reta Orçamentária ................................................................................................................... 24 
EQUILÍBRIO DO CONSUMIDOR ................................................................................................................................ 27 
Maximização da Utilidade .............................................................................................................................. 27 
Exemplos de Demanda Marshalliana .............................................................................................................. 32 
Função Utilidade Indireta ............................................................................................................................... 34 
Problema de Minimização da Despesa ............................................................................................................ 36 
Função Dispêndio .......................................................................................................................................... 38 
QUESTÕES COMENTADAS PELA PROFESSORA ....................................................................................... 39 
LISTA DE QUESTÕES............................................................................................................................... 85 
GABARITO ............................................................................................................................................. 98 
RESUMO DIRECIONADO ........................................................................................................................ 99 
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................................... 105 
 
 
 
 
 
Profa. Natália França 
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Apresentação 
 
Olá! Tudo joia? Meu nome é Natália França e é excelente ter você por aqui! 
A preparação para o exame da Associação Nacional dos Centros de Pós-
Graduação em Economia (Anpec) requer esforço e dedicação, e irei te ajudar nessa 
caminhada. Antes, vou falar um pouco sobre mim. 
Formei-me com excelência em Economia pelo Ibmec Minas em 2011. No final 
daquele ano, fiz a prova da Anpec e ingressei no mestrado do programa de Pós-
Graduação em Economia da Universidade Federal do Ceará (CAEN/UFC) em 2012. 
Finalizei o doutorado em 2019 no CAEN/UFC, tendo um período na Rice University 
no Texas. 
Concomitante a minha carreira acadêmica, ingressei no mundo dos concursos públicos. Fui aprovada para 
o cargo de Analista Administrativo (Economia) na Ebserh em 2018 e para o cargo de Auditor de Controle Interno 
na Controladoria e Ouvidoria Geral do Estado do Ceará (CGE/CE) em 2019. Atualmente estou como professora 
substituta no Departamento de Economia Aplicada na UFC. 
Não existe fórmula mágica para aprovação em concursos e provas. Temos que ter foco, disciplina, 
persistência, além de fazer revisões e resolver muitas questões! Nesse sentido, materiais de qualidade são 
essenciais para potencializar nossos resultados positivos. E aqui está a chave para o seu sucesso, pode contar 
comigo! 
Nesse curso de MICROECONOMIA que estamos iniciando agora, você verá, ao longo de vários materiais 
escritos (PDFs), teoria combinada com a resolução de várias questões de provas passadas da Anpec. Minha 
meta é lhe fornecer um material objetivo, focado e de alta qualidade, de forma a lhe auxiliar na sua conquista 
em ingressar na Pós-Graduação em Economia. 
Ah.... Acompanhe minhas redes sociais para ficar por dentro do meu trabalho e conferir dicas de estudo: 
 
https://www.youtube.com/channel/UCRVwQ5xxU-LmFGFbqREbMiA 
 
@prof.natalia.franca 
 
 
 
 
 
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Como este curso está organizado 
Para cobrir os pontos em Microeconomia cobrados no edital da Anpec, o nosso curso está organizado da 
seguinte forma: 
Aula Data Conteúdo do edital 
00 21/12/2020 
Teoria do Consumidor (parte 1) - Teorias cardinal e ordinal. Curvas de 
indiferença. Limitação orçamentária. Equilíbrio do consumidor.01 31/01/2021 
Teoria do Consumidor (parte 2) - Mudanças de equilíbrio devidas à variação 
de preços e renda (equação de Slutsky): efeito-preço, efeito-renda e efeito-
substituição. Comprando e vendendo. Preferência revelada. Números 
índices. 
02 10/02/2021 
Curva de Demanda (parte 1) – Curva de Engel. Curva de demanda. 
Deslocamento da curva e ao longo da curva. Elasticidade-preço, 
elasticidade renda, elasticidades-preço cruzadas. Elasticidades 
compensadas e não-compensadas. Classificação de bens: normais, 
inferiores, bens de Giffen, substitutos, complementares. 
03 20/02/2021 
Curva de Demanda (parte 2) - Excedente do consumidor. Estática 
comparativa. Variação equivalente. Variação compensatória. Demanda de 
mercado e receita total, média e marginal. 
04 06/03/2021 Incerteza - Escolha envolvendo risco. 
05 25/03/2021 
Oferta do Produtor (parte 1) 
1. Teoria da produção - Fatores de produção. Função de produção e suas 
propriedades. Isoquantas. Elasticidade de substituição. Rendimentos de 
fator, rendimentos de escala. Função de produção com proporções fixas e 
proporções variáveis. Combinação ótima de fatores. Firma multiprodutora. 
Aula 
Extra 
05/04/2021 
Oferta do Produtor (parte 2) 
2. Custo - Custo de Produção. Curvas de isocusto. Função de custo; curto e 
longo prazo; custo fixo e variável. Custo marginal; custo médio. 
3. Curva de Oferta da Firma e da Indústria de curto e longo prazos. 
06 20/04/2021 
Mercados (parte 1) 
1. Concorrência Perfeita - O equilíbrio da empresa em concorrência perfeita: 
a curva de oferta; deslocamento da curva e mudança ao longo da curva; 
curto e longo prazo; elasticidade-preço da oferta. Equilíbrio do mercado: 
posição de equilíbrio, deslocamento das curvas de procura e de oferta. 
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Aula 
Extra 
2 
14/05/2021 
Mercados (parte 2) 
2. Monopólio - Equilíbrio da empresa monopolista. Discriminação de preços; 
barreiras à entrada. Comparação com o mercado de concorrência perfeita. 
3. Concorrência Monopolística - Diferenciação do produto. Equilíbrio da 
empresa em concorrência monopolística: curto e longo prazo. Comparação 
com o mercado de concorrência perfeita. 
07 31/05/2021 
Mercados (parte 3) 
4. Oligopólio - Caracterização da estrutura oligopolística. 
4.1 Modelos Clássicos - Cournot, Bertrand e Edgeworth; fatias de mercado; 
cartéis; liderança de preços; comparação com o mercado de concorrência 
perfeita. 
4.2 Modelos de mark-up - Princípio do custo total; curva de demanda 
quebrada; concentração e barreiras à entrada; diferenciação e 
diversificação do produto. 
5. Formação de Preços e Fatores de Produção. 
08 15/06/2021 Equilíbrio Geral - Troca Pura. Troca com Produção. Caixa de Edgeworth. 
09 29/06/2021 Bens Públicos. 
10 13/07/2021 Externalidades. 
11 27/07/2021 
Economia da Informação - Seleção adversa. Perigo Moral. Modelo de 
Sinalização. Modelo de Principal Agente. 
12 10/08/2021 
Teoria dos Jogos - Equilíbrio de Nash. Equilíbrio de Nash em Estratégias 
Mistas. Jogo Repetido. Equilíbrio Perfeito em Subjogos. 
 
Como o assunto referente a Teoria do Consumidor é bastante extenso e cai bastante na prova da Anpec, 
eu o dividi em mais de uma aula. O mesmo acontece com Estruturas de Mercado. 
Nessa primeira aula, vamos ver os seguintes assuntos: 
Teoria do Consumidor (parte 1) - Teorias cardinal e ordinal. Curvas de indiferença. Limitação orçamentária. Equilíbrio do 
consumidor. 
 
Então vamos começar logo, não é mesmo? Bons estudos! 
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Teoria do Consumidor 
Na aula de hoje iremos estudar como o consumidor escolhe os bens e serviços que vai consumir em uma 
economia de mercado. Iremos assumir que os indivíduos compram as melhores cestas dentre aquelas que 
podem adquirir. Para tanto, devemos considerar tanto as preferências dos indivíduos, como suas restrições 
orçamentárias (lembre-se de que os desejos são infinitos, mas os recursos são escassos...). 
Animados? Vamos começar nossos estudos pelas propriedades das preferências do consumidor. 
Propriedades das Preferências do Consumidor 
Antes de começarmos a estudar as preferências do consumidor, vamos definir o que são cestas de bens e 
como podemos representá-las. Uma cesta de bens é um conjunto de um ou vários bens, com quantidades não 
negativas. Seja uma cesta de bens x, composta por um número finito, n, de bens cujas quantidades são 
denotadas por 𝑥𝑖. Podemos expressar a cesta x como x = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛). Muitas vezes, para fins de 
simplificação, considera-se que existem apenas dois bens em uma dada cesta. 
Vamos, agora, definir o conjunto de consumo, que representa todas as cestas de bens que um indivíduo 
pode consumir, sendo denotado por X. Em uma versão bem simples (sem tantas restrições de consumo), o 
conjunto de consumo expressa todas as cestas com quantidades não negativas de bens: 
𝑋 = ℝ𝑛 = {𝑥 ∈ ℝ𝑛; 𝑥𝑖 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,… , 𝑛} 
Esse conjunto consumo é um conjunto convexo. Ou seja, se x e y são elementos de X, então uma cesta 
que seja uma média ponderada das duas, como 𝑤 = 𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦, também é um elemento de X, sempre que 
𝛼 ∈ [0,1]. 
Antes de avançarmos ainda mais no estudo da matéria, vamos ver a notação que representa as relações 
de preferência dos consumidores. Sejam as cestas de bens x, y e z pertencentes ao conjunto consumo, ou seja, 
x, y, z ∈ X. Se a cesta x é ao menos tão boa quanto a cesta y, escrevemos x ≽ y. Se o indivíduo considera a cesta 
x estritamente melhor do que a cesta y, escrevemos x ≻ y (lê-se x é preferida a y). Agora se o consumidor é 
indiferente entre as duas cestas, escrevemos x ∼ y, indicando que ambas as cestas geram o mesmo nível de 
satisfação. Importante destacar que o símbolo ≻ denota uma relação de preferência forte ou estrita; ≽, uma 
relação de preferência fraca e ∼, uma relação de indiferença. 
As relações de preferência forte, fraca e indiferença estão interligadas entre si. Por exemplo, se x é ao 
menos tão boa quanto a y (x ≽ y) e, ao mesmo tempo, y é ao menos tão boa quanto a x (y ≽ x), o indivíduo é 
indiferente entre as duas cestas (x ∼ y). Da mesma forma, se x é ao menos tão boa quanto a y (x ≽ y), mas 
sabemos que y não é ao menos tão boa quanto a x (y ⋡ x), esse consumidor considera x estritamente melhor 
que y (x ≻ y). 
Agora que já conhecemos a representação das relações de preferências do consumidor, podemos fazer 
algumas suposições sobre o comportamento dos indivíduos. Três hipóteses fundamentais, os axiomas da 
preferência, são elencadas a seguir: 
1) Integralidade/Completude – as preferências do consumidor são completas, ou seja, o consumidor 
consegue comparar duas cestas quaisquer dentro do seu conjunto de consumo. Por exemplo, ou o consumidor 
prefere x a y, ou y a x, ou é indiferente entre elas: ou x ≽ y, ou y ≽ x, ou x ∼ y. Importante destacar que essas 
preferências não dependem dos preços dos bens. 
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2) Transitividade – se o consumidor prefere a cesta x a y, e prefere y a z, então, pela transitividade, ele irá 
preferir x a z. Logo: se x ≽ y e y ≽ z, então x ≽ z. A relação de indiferença também atende a propriedade da 
transitividade. 
3) Reflexividade – toda cesta é ao menos tão boa quanto ela mesma: x ≽ x. A reflexividade decorre da 
completude, quando temos y = x. 
Uma relação de preferência que atende esses axiomas é uma relação de preferência racional. 
Vamos esquematizar os axiomas das preferências para você assimilar melhor: 
 
Vejamos outras propriedades das preferências do consumidor: 
4) Continuidade – sejam as cestas de bens y e z, de forma que o consumidor prefere y a z: y ≻ z. Suponha 
uma cesta x, com quantidades de bens muitoparecidas com as quantidades em y. Pela continuidade das 
preferências, esse consumidor também irá preferir x a z: x ≻ z. A continuidade nos diz que as preferências do 
consumidor não apresentam “saltos”, ou seja, ele não faz mudanças bruscas no ordenamento entre as cestas 
de repente. 
Mais formalmente, podemos dizer que a relação de referência ≽ é contínua se ela é preservada no limite. 
Ou seja, para quaisquer sequências {(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)}𝑛=1
∞ com 𝑥𝑛 ≽ 𝑦𝑛 para todo n, 𝑥 = lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 e 𝑦 = lim
𝑛→∞
𝑦𝑛, nós 
temos 𝑥 ≽ 𝑦. 
 5) Monotonicidade – o consumidor prefere aquelas cestas com quantidades mais elevadas de bens 
(quanto mais, melhor). Uma relação de preferência é (fracamente) monótona se 𝑥 ≫ 𝑦 (ou seja, 𝑥𝑖 > 𝑦𝑖 para 
todo 𝑖) , implica 𝑥 ≻ 𝑦. A monotonicidade forte ou estrita nos diz que se 𝑥 ≥ 𝑦 e 𝑥 ≠ 𝑦 (ou seja, 𝑥𝑖 ≥ 𝑦𝑖 para 
todo 𝑖) implica que 𝑥 ≻ 𝑦, ou seja, se a cesta x possui quantidades estritamente maiores que y em pelo menos 
um dos bens, a cesta x é preferível a cesta y. 
Se a relação de preferência é (fracamente) monótona, podemos ter indiferença no caso em que 
aumentamos a quantidade de alguns bens, e não de todos. Por sua vez, a monotonicidade forte implica que se 
x é maior que y para algum bem e é não menor para os outros, então x é estritamente preferida a y. 
Monotonicidade forte implica monotonicidade. 
6) Não saciedade local – o consumidor jamais estará satisfeito com a cesta atual. Ou seja, sempre haverá 
uma cesta y na vizinhança da cesta consumida, x: (|x − y|) < ε, com ε > 0, tal que y ≻ x. 
Monotonicidade implica não saciedade local. 
7) Convexidade – o consumidor prefere diversificação no consumo (médias preferíveis aos extremos). 
Quando a relação de preferência é (fracamente) convexa, temos que se y ≽ x e z ≽ x, então 𝛼𝑦 + (1 − 𝛼)𝑧 ≽
Axiomas das preferências
Integralidade (Completude)
Transitividade
Reflexividade
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x para todo 𝛼 ∈ [0,1]. A convexidade forte ou estrita nos diz que se y ≽ x, z ≽ x e y ≠ z, então 𝛼𝑦 + (1 − 𝛼)𝑧 ≻
x para todo 𝛼 ∈ (0,1). 
Convexidade forte implica convexidade fraca, mas a recíproca não é verdadeira. 
Bem legal essa parte das propriedades das preferências, né?! Vamos dar continuidade na matéria. E 
lembre-se de beber água, hein! 
Curvas de Indiferença 
A curva de indiferença consiste em uma representação gráfica das preferências do consumidor. Uma 
curva de indiferença contém todas as cestas de bens em relação às quais o consumidor é indiferente, ou 
seja, geram o mesmo nível de satisfação. 
No gráfico a seguir, representamos no eixo horizontal a quantidade do bem 1, 𝑥1, e no eixo vertical, a 
quantidade do bem 2, 𝑥2. O consumidor é indiferente entre as cestas x, y e z, pois estas cestas estão sobre a 
mesma curva de indiferença. Esse mesmo consumidor não é indiferente entre x e w, por exemplo, dado que 
elas estão em curvas de indiferença distintas. 
Pela monotonicidade das preferências, as curvas de indiferença mais altas estão associadas a cestas 
melhores. Dessa forma, no gráfico a seguir, o consumidor prefere w em relação às cestas x, y e z (w está em 
uma curva de indiferença mais alta). 
 
Importante: As curvas de indiferença que representam níveis distintos de satisfação não se cruzam. Isso por causa da 
racionalidade das preferências. 
Conjunto Fracamente Preferido 
O conjunto fracamente preferido associado a uma cesta x̃ contém as cestas ao menos tão boas 
quanto a essa cesta: {x ∈ X: x ≽ x̃ }. Vale dizer que a curva de indiferença é o limite (ou contorno) inferior do 
conjunto fracamente preferido. 
A relação de preferências é convexa quando o conjunto fracamente preferido é convexo. Ou seja, se 
as cestas x e y pertencem ao conjunto fracamente preferido, a média ponderada entre elas, 𝑡𝑥 + (1 − 𝑡)𝑦 com 
𝑡 ∈ [0,1], também pertencerá, conforme vemos no gráfico a seguir. 
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Vamos ver em uma questão como esse tema já foi cobrado em prova? 
ANPEC – 2001 – Questão 1 
Em relação à teoria das preferências, julgue os itens a seguir: 
(0) Se as preferências de um consumidor forem convexas, então para qualquer cesta 𝐱 = {x1, x2}, em que x1 
e x2 são as quantidades consumidas dos bens 1 e 2, o conjunto formado pelas cestas que o consumidor 
considera inferiores a 𝐱 é um conjunto convexo. 
RESOLUÇÃO: 
Olha a pegadinha!!! 
O enunciado trocou a palavra superiores por inferiores. Quando as preferências são convexas, o conjunto 
fracamente preferido (que contém as cestas SUPERIORES a x) é convexo. 
Muita atenção aos detalhes na hora da prova. Tenho certeza que você vai se garantir! 
Resposta: FALSO 
Ponto de Saciedade 
O ponto de saciedade representa a melhor cesta para o consumidor, indicada por (�̅�𝟏, �̅�𝟐) no gráfico 
abaixo, e quanto mais perto dela estiver, melhor o consumidor estará. Antes que esse ponto seja alcançado, 
é possível melhorar a satisfação do indivíduo elevando a quantidade de qualquer um dos bens, tendo em vista 
que, diante desse aumento, nos movemos para uma curva de indiferença mais próxima ao ponto de saciedade. 
A partir do ponto em que o consumidor está saciado, aumentos na quantidade consumida do bem reduzem a 
sua satisfação (violando, portanto, a hipótese da monotonicidade), visto que estaremos caminhando para uma 
curva de indiferença mais distante do ponto de saciedade. Ou seja, a partir do ponto de saciedade, os bens 
passam a ser males. 
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Transformação Monotônica e Curvas de Indiferença 
Seja a função v(x) = f(u(x)), sendo f uma função estritamente crescente definida na imagem de u(x), 
ou seja, f ′(u(x)) > 0. Assim, v(x) é denominada uma transformação monotônica de u(x). Importante você 
saber que a transformação monotônica preserva o ordenamento dos números, ou seja, se 𝑢1 > 𝑢2, então 
𝑓(u1) > 𝑓(𝑢2). 
Aplicando uma transformação monotônica em uma relação de preferência, temos que a curva de 
indiferença da transformação monotônica tem o mesmo formato que a curva de indiferença da preferência 
original. Isso porque ambas as curvas de indiferença representam a mesma relação de preferências. 
Propriedades das Preferências e as Curvas de Indiferença 
As propriedades das preferências do consumidor afetam as curvas de indiferença, conforme podemos ver 
no esquema a seguir: 
 
Continuidade
Garante a existência (e a continuidade) das curvas de 
indiferença
Racionalidade Curvas de indiferença distintas não se cruzam
Não saciedade local Curvas de indiferença não podem ser grossas
Monotonicidade 
fraca
Curvas de indiferença não podem ter inclinação positiva
Monotonicidade 
forte
Curvas de indiferença têm inclinação negativa
Preferências bem-
comportadas
Curvas de indiferença negativamente inclinadas
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Vamos ver uma questão de prova que aborda esse tema. 
ANPEC – 2002 – Questão 1 
Em relação à teoria das preferências, julgue os itens a seguir: 
(0) Os pressupostos de que as preferências são completas e transitivas garantem que curvas de indiferença 
distintas não se cruzam. 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que se as preferências forem racionais (completas, reflexivas e transitivas), curvas de indiferença 
distintas não se cruzam, ou seja, o item é verdadeiro. 
Você pode ter se questionado do fato que o item citou apenas os axiomas da completude e da transitividade, 
não tendo mencionado o da reflexividade. Mas lembre-se de que a reflexividade decorre diretamente da 
completude das preferências. 
Resposta: VERDADEIRO 
Taxa Marginal de Substituição 
A taxa marginal de substituição (TMS) é a taxa à qual o consumidorestá disposto a trocar um bem 
pelo outro, para manter seu nível de satisfação constante. Em outras palavras, dado que o consumo do bem 
1 seja reduzido, a TMS indica quantas unidades a mais do bem 2 são necessárias para que o consumidor 
permaneça sobre a mesma curva de indiferença (representada por �̅� no gráfico): 
 
Importante você saber que a TMS é a inclinação da curva de indiferença no ponto: 
𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2) =
𝑑𝑥2
𝑑𝑥1
 
Você também deve ter em mente que aplicar uma transformação monotônica na relação de 
preferência não altera a TMS entre os bens. 
Além disso, curvas de indiferença de preferências estritamente convexas apresentam TMS 
decrescente (em módulo), ou seja, a taxa à qual o indivíduo está disposto a trocar 𝑥1 por 𝑥2 diminui à medida 
que a quantidade de 𝑥1 aumenta. 
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Função Utilidade 
A função utilidade consiste em uma maneira matemática de representar as preferências do 
consumidor. Tal função atribui números reais a todas as cestas do conjunto consumo, sendo que cestas mais 
preferidas recebem números mais altos (e cestas indiferentes recebem o mesmo valor): 
𝑢: X → R tal que x ≽ y ↔ u(x) ≥ u(y) 
Importante 
Uma relação de preferência pode ser representada por uma função utilidade somente se for racional. Mas será que toda 
relação de preferência racional pode ser representada por uma função utilidade? NÃO! Veremos o caso das preferências 
lexicográficas, que não podem ser representadas por uma função utilidade. 
A continuidade da relação de preferência é suficiente para a existência de uma função utilidade que a represente. Mais 
ainda, a continuidade da relação de preferência garante a existência de uma função utilidade contínua. 
Teoria Ordinal: Importa apenas o ordenamento das cestas em termos da função utilidade, e não a magnitude dos valores. 
Ou seja, se o consumidor prefere a cesta x à cesta y, basta que a utilidade de x seja maior que a utilidade de y, não 
importando os valores assumidos. Logo, é possível aplicar transformações monotônicas na função utilidade. A Teoria 
do Consumidor que estamos estudando baseia-se na utilidade ordinal. 
Já sob a ótica da utilidade cardinal (Teoria Cardinal), o tamanho dos valores da função utilidade importa. A Lei da Utilidade 
Marginal Decrescente (a utilidade marginal diminui à medida que se aumenta o consumo do bem) só faz sentido no 
contexto da Teoria Cardinal da utilidade. 
A transformação monotônica de uma função utilidade é uma função utilidade que representa as 
mesmas preferências que a função utilidade original. Se 𝑓(𝑢) é uma transformação monotônica de 𝑢(. ), 
então: 
𝑓(𝑢(𝑥)) ≥ 𝑓(𝑢(𝑦)) ↔ 𝑢(𝑥) ≥ 𝑢(𝑦) ↔ 𝑥 ≽ 𝑦 
Temos, portanto, que a função utilidade que representa uma relação de preferências não é única. 
Vamos ver mais uma questão de prova? 
ANPEC – 2000 – Questão 1 
Com base na abordagem ordinal da teoria do consumidor é correto afirmar que: 
(0) A função de utilidade é arbitrária até qualquer transformação monótona crescente de si mesma. 
RESOLUÇÃO: 
Com base na Teoria Ordinal importa apenas o ordenamento das cestas em termos da função utilidade. Dessa 
forma, a transformação monotônica de uma função utilidade é uma função utilidade que representa as mesmas 
preferências que a função utilidade original. 
Resposta: VERDADEIRO 
Muitas vezes é conveniente assumir que a função utilidade seja diferenciável. Porém, existem 
preferências contínuas que não são representadas por uma função utilidade diferenciável (como é o caso das 
preferências Leontieff, que representam bens complementares perfeitos). 
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Propriedades das Preferências e Função Utilidade 
A monotonicidade forte das preferências faz com que a função utilidade seja crescente em cada um de 
seus argumentos. 
Preferências convexas são representadas por uma função utilidade quase-côncava. Isto é, sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 
e 𝛼 ∈ [0,1]. Se 𝑢(𝑥) ≥ 𝑢(𝑦), então: 
𝑢(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) ≥ min{𝑢(𝑥), 𝑢(𝑦)} 
Já a convexidade forte das preferências dá origem a funções utilidade estritamente quase-côncavas. 
Nesse sentido, sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 e 𝛼 ∈ (0,1). Se 𝑥 ≠ 𝑦 𝑒 𝑢(𝑥) ≥ 𝑢(𝑦), então: 
𝑢(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) > min{𝑢(𝑥), 𝑢(𝑦)} 
Toda função Cobb-Douglas 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑥𝛼𝑦𝛽 com A, 𝛼 e 𝛽 positivos é uma função quase-côncava. 
Atenção: a convexidade da relação de preferência NÃO implica a concavidade da função utilidade. 
As propriedades de crescimento e quase-concavidade da função utilidade são preservadas por transformações 
monotônicas. 
Utilidade Marginal 
A utilidade marginal (Umg) de um bem indica a utilidade (benefício) adicional obtida, dado um 
aumento de uma unidade na quantidade consumida desse bem. 
Supondo uma função utilidade diferenciável, a utilidade marginal do bem i, 𝑈𝑚𝑔𝑖, é: 
𝑈𝑚𝑔𝑖 =
∂u(𝑥1, … , 𝑥𝑛)
∂𝑥𝑖
, 𝑥 ∈ X 
Algumas considerações sobre propriedades das preferências e a utilidade marginal: 
1) Monotonicidade forte – todos os bens têm utilidade marginal positiva (Umg > 0). 
2) Monotonicidade fraca – todos os bens têm utilidade marginal não negativa (Umg ≥ 0). 
Também é importante você saber que aplicar uma transformação monotônica na relação de 
preferência não altera o sinal da utilidade marginal. 
A seguir iremos ver como a taxa marginal de substituição entre dois bens se relaciona com as respectivas 
utilidades marginais: 
𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2) =
𝑑𝑥2
𝑑𝑥1
= −
𝑈𝑚𝑔1
𝑈𝑚𝑔2
 
Generalizando para o caso com n bens, a TMS entre os bens i e j pode ser escrita como: 
𝑇𝑀𝑆(𝑥𝑖, 𝑥𝑗) = −
𝑈𝑚𝑔𝑖
𝑈𝑚𝑔𝑗
 
Essa relação entre a TMS e as utilidades marginais será bastante útil quando estudarmos o equilíbrio do 
consumidor. 
Outra questão de prova para treinarmos: 
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Microeconomia para Anpec 
ANPEC – 2000 – Questão 1 
Com base na abordagem ordinal da teoria do consumidor é correto afirmar que: 
(2) Utilidades marginais positivas implicam taxa marginal de substituição negativa. 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que a taxa marginal de substituição entre dois bens pode ser escrita como: 
𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2) = −
𝑈𝑚𝑔1
𝑈𝑚𝑔2
 
Se ambas as utilidades marginais forem positivas, a TMS será negativa. 
Resposta: VERDADEIRO 
Como vocês estão até aqui? Espero que tudo joia. Antes de continuar, faça uma pausa para beber água. 
Nós rendemos mais nos estudos com o corpo hidratado. 
Exemplos de Preferências 
Vamos ver, agora, alguns exemplos de preferências que caem bastante na prova da Anpec. 
Substitutos Perfeitos 
Quando os bens são substitutos perfeitos, o consumidor troca um bem pelo outro a uma taxa constante, 
indicando uma taxa marginal de substituição constante. Nesse tipo de preferência, o indivíduo se importa 
apenas com a quantidade total consumida, de modo que as curvas de indiferença são representadas por 
linhas retas. 
Preferências do tipo substitutos perfeitos são convexas, mas NÃO são estritamente convexas. 
Exemplo: um consumidor indiferente entre lápis vermelhos ou azuis; indiferente entre um hambúrguer 
ou duas fatias de pizza. 
 
A função utilidade quando os bens são substitutos perfeitos é dada por: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ 
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Microeconomia para Anpec 
|𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2)| =
𝑎
𝑏
 
Atenção: Seja a seguinte função: 
𝑉(𝑥1, 𝑥2) = [𝑈(𝑥1, 𝑥2)]
2 = (𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2)
2 = 𝑎2𝑥1
2 + 2𝑎𝑏𝑥1𝑥2 + 𝑏
2𝑥2
2 
Essa função é uma função utilidade e também representa bens substitutos perfeitos, pois é um exemplo de uma 
transformação monotônica de 𝑈(𝑥1, 𝑥2). 
Importante você saber que uma utilidade marginal decrescente indica um certo grau de substituição entre 
os bens. No entanto,uma utilidade marginal decrescente NÃO é condição necessária para que os bens 
sejam substitutos. Basta lembrar-se dos bens substitutos perfeitos, que apresentam uma utilidade marginal 
constante. 
Atenção em como isso já foi cobrado em prova, hein! 
ANPEC – 2000 – Questão 1 
Com base na abordagem ordinal da teoria do consumidor é correto afirmar que: 
 (1) O princípio da utilidade marginal declinante é imprescindível para garantir a substituição entre bens. 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que utilidade marginal decrescente implica em certo grau de substituição entre os bens. Mas isso não 
é uma condição necessária, dado que para os bens substitutos perfeitos temos substituição entre eles e 
utilidade marginal constante. 
Resposta: FALSO 
Complementares Perfeitos 
Também denominadas preferências Leontieff ou proporções fixas. Quando são complementares 
perfeitos, os bens só geram satisfação quando consumidos juntos e em proporções fixas. Dessa forma, qualquer 
bem excedente dessa proporção não gera nenhuma satisfação adicional para o consumidor, de modo que as 
curvas de indiferença tenham um formato de vértice (“L”). 
A TMS, no caso de complementares perfeitos, é zero ou infinita. 
Preferências do tipo complementares perfeitos são convexas, mas NÃO são estritamente convexas. 
Exemplo: em geral, o pé direito de um par de sapato é consumido junto do pé esquerdo; uma pessoa pode 
consumir sempre uma xícara de café com três colheres de açúcar. 
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Microeconomia para Anpec 
 
A função utilidade de bens complementares perfeitos é: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = min{𝑎𝑥1, 𝑏𝑥2} ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ 
As constantes a e b indicam as proporções nas quais os bens são consumidos. 
Preferências bem-comportadas 
 Nesse tipo de preferências, as curvas de indiferença são estritamente convexas, ou seja, o consumidor 
prefere uma diversificação no consumo. Essas preferências também são fortemente monotônicas. 
A TMS é decrescente (em módulo): basta perceber que a inclinação da curva de indiferença diminui 
conforme nos deslocamos da esquerda para a direita no eixo horizontal. 
Um exemplo bem conhecido de preferências bem-comportadas consiste nas preferências do tipo Cobb-
Douglas. 
 
A função utilidade de preferências do tipo Cobb-Douglas pode ser escrita como: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ 
|𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2)| =
𝑎
𝑏
𝑥2
𝑥1
 
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Para funções utilidade do tipo Cobb-Douglas, a TMS depende da razão entre a quantidade consumida 
de ambos os bens, e não da quantidade absoluta. 
Aplicar o logaritmo natural é uma transformação monotônica útil no caso de uma Cobb-Douglas: 
ln𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎 ln 𝑥1 + 𝑏 ln 𝑥2 
Vejamos uma questão que aborda dois exemplos de preferências vistos até aqui. 
ANPEC – 2000 – Questão 2 
Em relação às funções de utilidade dos consumidores é correto afirmar que: 
(0) Para um consumidor com uma função de utilidade do tipo U(X, Y) = X0,4. Y0,6, os bens X e Y são substitutos 
perfeitos. 
RESOLUÇÃO: 
Muito importante que vocês reconheçam os tipos de preferência mais comuns só de “bater o olho” na função 
utilidade. 
Claramente a função U(X, Y) = X0,4. Y0,6 refere-se a uma preferência do tipo Cobb-Douglas, e não substitutos 
perfeitos. Bens substitutos perfeitos são representados por funções utilidade que são linhas retas. 
Resposta: FALSO 
Preferências côncavas 
Nessa situação, as curvas de indiferença são côncavas em relação à origem. A TMS é crescente (em 
módulo): a inclinação da curva de indiferença aumenta conforme nos deslocamos da esquerda para a direita 
no eixo horizontal. 
 
Importante você saber que, no caso de preferências côncavas, o consumidor irá preferir uma 
especialização no consumo de uma única mercadoria (lembre-se de que em preferências convexas, há 
diversificação no consumo). Podemos verificar esse fato no gráfico a seguir. Note que a combinação linear entre 
as cestas x e y, com 𝑡 ∈ [0,1], situa-se em uma curva de indiferença mais baixa, propiciando, portanto, um 
menor nível de satisfação. 
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Preferências quase-lineares 
Para preferências quase-lineares, as curvas de indiferença são versões deslocadas de uma curva de 
indiferença. No diagrama a seguir, temos a representação de curvas de indiferença para preferências quase-
lineares em relação ao bem 2. 
 
Uma relação de preferência quase-linear em relação ao bem 2 pode ser representada pela seguinte função 
utilidade: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑣(𝑥1) + 𝑥2 
|𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2)| = 𝑣
′(𝑥1) 
Você deve ter notado que a TMS depende exclusivamente da quantidade do bem 1 quando a preferência 
é quase-linear em relação ao bem 2. De fato, nesse tipo de preferência, a TMS depende somente da 
quantidade de um dos bens. 
Preferências lexicográficas 
As preferências lexicográficas seguem a lógica da organização dos dicionários: quando vamos colocar 
palavras em ordem alfabética, primeiro verificamos o ordenamento da primeira letra (independente das 
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demais); se houver coincidência na primeira letra, analisamos a segunda; e assim sucessivamente. Nesse 
sentido, sejam as cestas x = (x1, x2) e y = (y1, y2). As preferências lexicográficas são definidas como: 
x ≽ y ↔ {x1 > y1} ou {x1 = y1 e x2 ≥ y2 } 
O consumidor prefere a cesta com maior quantidade do bem 1, independente do bem 2. Caso haja 
empate na quantidade desse bem, o consumidor prefere a cesta com mais unidades do bem 2. Se as quantias 
de todos os bens forem iguais, as cestas são indiferentes para o consumidor. 
Conforme verificamos no gráfico abaixo, não podemos formar curvas de indiferença para essas 
preferências, teremos, na verdade, pontos de indiferença. 
 
Iremos, agora, verificar que as preferências lexicográficas não são contínuas. Sejam as cestas x e y, 
conforme vemos no gráfico acima. A cesta x é preferida a y (x ≻ y): ambas têm a mesma quantidade do bem 1, 
mas x tem mais unidades do bem 2. Você pode perceber que na vizinhança de x, existem cestas que são 
inferiores a y (de modo que haja uma inversão abrupta nas preferências do consumidor). Nesse sentido, as 
preferências lexicográficas não são contínuas. 
Vamos ver um exemplo que mostra que as preferências lexicográficas não são contínuas. Sejam as sequências de cestas 
𝑥𝑛 = (1/𝑛, 0) e 𝑦𝑛 = (0,1). Para todo n, temos 𝑥𝑛 ≻ 𝑦𝑛, pois 1/𝑛 > 0. 
Será que essa relação de preferência é preservada no limite? Temos lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 = (0,1) ≻ (0,0) = lim
𝑛→∞
𝑥𝑛. Ou seja, o 
ordenamento das cestas se inverte no limite, de forma que as referências lexicográficas não sejam contínuas. 
As preferências lexicográficas são racionais, fortemente monotônicas e estritamente convexas, mas não são contínuas. 
Como essa relação de preferência não é contínua, NÃO é possível construir uma função utilidade para as preferências 
lexicográficas. 
Males 
Temos um mal quando aumentos na quantidade consumida reduzem o nível de satisfação do 
consumidor. Na figura a seguir são representadas curvas de indiferença com um bem no eixo horizontal e um 
mal no eixo vertical. Você pode perceber que as curvas de indiferença têm inclinação positiva (ou seja, TMS 
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positiva), indicando que aumentos na quantidade consumida do mal devem ser compensadas por aumentos no 
consumo do bem. Por fim, lembre-se que um mal viola a hipótese da monotonicidade. 
 
Mais uma questão para a gente praticar! 
ANPEC – 2000 – Questão 1 
Com base na abordagem ordinal da teoria do consumidor é correto afirmar que: 
 (4) Taxa marginalde substituição positiva implica que um dos produtos é um desbem. 
RESOLUÇÃO: 
A taxa marginal de substituição entre dois bens pode ser escrita como: 
𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2) = −
𝑈𝑚𝑔1
𝑈𝑚𝑔2
 
Se a TMS é positiva, uma das utilidades marginais é negativa, indicando que temos um mal (desbem). 
Resposta: VERDADEIRO 
Neutros 
Um bem é classificado como neutro quando a quantidade consumida não interfere na satisfação do 
consumidor. No gráfico a seguir, o bem 2 é neutro, enquanto que mais unidades do bem 1 geram um maior 
nível de satisfação para o indivíduo, de forma que as curvas de indiferença tenham o formato de linhas verticais. 
Nesse caso, a TMS é infinita em qualquer ponto da curva. 
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Função Elasticidade de Substituição Constante (CES) 
A função utilidade CES (do inglês constant elasticity of substitution) tem um formato especial, ela 
apresenta a elasticidade de substituição constante (não se preocupe, que veremos em aula posterior o que é 
elasticidade de substituição, mas já lhe adianto que ela capta o grau de facilidade/dificuldade em que o 
consumidor troca um bem por outro). 
Considere que existem apenas dois bens, cujas quantidades são denotadas por 𝑥1 e 𝑥2. Então, a função 
utilidade CES pode ser escrita como: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = [𝛼1𝑥1
𝜌
+ α2𝑥2
𝜌
]
1
𝜌 
Dependendo do valor do parâmetro 𝜌, essa função representa algumas preferências conhecidas. 
𝜌 > 1: curvas de indiferença côncavas em relação à origem 
𝜌 ≤ 1: preferências convexas 
𝜌 = 1: substitutos perfeitos 
𝜌 = 0: Cobb-Douglas 
𝜌 = −∞: complementares perfeitos 
Outra representação da função utilidade CES que você pode ver é a seguinte: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) =
𝑎𝑥1
𝜌
𝜌
+
𝑏𝑥2
𝜌
𝜌
, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝜌 ≠ 0 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎 ln 𝑥1 + 𝑏 ln 𝑥2 , 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝜌 = 0 
Preferências homotéticas 
Uma função 𝒗:ℝ+
𝒏 → ℝ é dita uma função homotética se é uma transformação monotônica 
(estritamente crescente) de uma função homogênea. Ou seja, existe uma transformação monotônica 𝑧 ⟼
𝑔(𝑧) de ℝ+ e uma função homogênea 𝑢:ℝ+
𝑛 → ℝ+ tal que 𝑣(𝑥) = 𝑔(𝑢(𝑥)) para todo x no domínio. 
Mais especificamente, uma relação de preferência é homotética se, e somente se, admite uma função de 
utilidade homogênea de grau um: 
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𝑢(𝜆𝑥) = 𝜆𝑢(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝜆 > 0 
Seja a função 𝑢:ℝ+
𝑛 → ℝ uma transformação monotônica. Então, u é homotética se, e somente se, para 
quaisquer cestas de consumo 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+
𝑛 : 
𝑢(𝑥) ≥ 𝑢(y) ↔ 𝑢(𝛼𝑥) ≥ 𝑢(αy) ∀ 𝛼 > 0 
Em relação às curvas de indiferença de preferências homotéticas, essas curvas estão relacionadas por 
meio de uma expansão proporcional ao longo de raios que partem da origem. Isto é, 
se 𝑥 ∼ 𝑦 então 𝛼𝑥 ∼ 𝛼𝑦 ∀ 𝛼 ≥ 0 e x, y ∈ X 
O gráfico a seguir ilustra curvas de indiferença para preferências homotéticas. 
 
Ao longo desses raios que partem da origem, a TMS é constante. Em outras palavras, no caso de funções 
homotéticas, a TMS é uma função homogênea de grau zero. Para quaisquer i e j, e qualquer cesta de consumo 
𝑥 ∈ ℝ+
𝑛 : 
−
𝑈𝑚𝑔𝑥𝑖(𝑡𝑥)
𝑈𝑚𝑔𝑥𝑗(𝑡𝑥)
= −
𝑈𝑚𝑔𝑥𝑖(𝑥)
𝑈𝑚𝑔𝑥𝑗(𝑥)
 ∀ 𝑡 > 0 
Ou seja, multiplicar a quantidade de todos os bens por uma mesma constante positiva não altera a taxa 
marginal de substituição entre eles. 
Além disso, para preferências homotéticas, a TMS depende apenas da razão entre 𝒙𝐢 e 𝒙𝐣, e não da 
quantidade absoluta dos bens. 
São exemplos de preferências homotéticas: preferências Cobb-Douglas, complementares perfeitos, substitutos 
perfeitos e função CES. 
Atenção: Preferências quase-lineares NÃO são homotéticas. 
Vamos ver uma questão de prova que aborda esse assunto: 
ANPEC – 2000 – Questão 2 
Em relação às funções de utilidade dos consumidores é correto afirmar que: 
(3) Caso a função utilidade do consumidor seja homotética, a taxa marginal de substituição depende apenas 
das quantidades relativas dos bens consumidos e não das quantidades absolutas. 
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RESOLUÇÃO: 
Acabamos de ver que quando as preferências são homotéticas, a TMS depende apenas da razão entre as 
quantidades consumidas, e não da quantidade absoluta dos bens. 
Resposta: VERDADEIRO 
Tubo bem até aqui? Vamos continuar, né... Sempre lembrando-se de beber água! 
Restrição Orçamentária 
Nessa parte da aula, vamos estudar a restrição orçamentária do consumidor. As pessoas não têm 
condições de adquirir todas as cestas de bens que desejam (infelizmente... rsrsrs). Essa limitação é imposta pela 
escassez de recursos e pelos preços dos bens. 
Sejam 𝑝𝑖 o preço do bem i; 𝑝 = (𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛), o vetor de preços dos n bens; e m, a renda que o indivíduo 
tem para gastar com o consumo desses bens. Estamos assumindo que não há preços negativos e que os 
consumidores, individualmente, não afetam o preço vigente no mercado. A restrição orçamentária postula 
que o gasto do consumidor com determinada cesta de bens não pode ser maior do que o montante de 
renda que possui: 
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 +⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑚 𝑜𝑢 ∑𝑝𝑖𝑥𝑖 ≤ 𝑚
𝑛
𝑖=1
 
O termo 𝑝𝑖𝑥𝑖 indica a quantia de dinheiro gasta na aquisição do bem i. 
Podemos definir, portanto, o conjunto orçamentário, denotado por 𝐵𝑝,𝑚, que contém as cestas 
compatíveis com a restrição orçamentária, isto é, aquelas cestas cujo custo não excede a renda: 
𝐵𝑝,𝑚 = {𝑥 ∈ 𝑋:∑𝑝𝑖𝑥𝑖 ≤ 𝑚
𝑛
𝑖=1
} 
Existem duas propriedades desse conjunto que você deve saber: 
1) 𝑩𝒑,𝒎 é um conjunto convexo – a combinação linear entre duas cestas pertencentes ao conjunto 
orçamentário também estará em 𝐵𝑝,𝑚: 
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵𝑝,𝑚 e 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 → (1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑦 ∈ 𝐵𝑝,𝑚 
A convexidade de 𝐵𝑝,𝑚 decorre da convexidade do conjunto consumo, X. 
2) 𝑩𝒑,𝒎 é homogêneo de grau zero em relação aos preços e à renda – multiplicar a renda e os preços de 
todos os bens por uma mesma constante positiva não altera o conjunto orçamentário do consumidor (e 
também não altera a escolha ótima desse consumidor): 
𝐵𝛼𝑝,𝛼𝑚 = 𝐵𝑝,𝑚 ∀ 𝛼 > 0 
A fronteira do conjunto orçamentário, denotada por 𝐿𝑅𝑂𝑝,𝑚, contém as cestas que atendem a restrição 
orçamentária com igualdade, isto é, o consumidor gasta exatamente a sua renda na compra dos bens: 
𝐿𝑅𝑂𝑝,𝑚 = {𝑥 ∈ 𝑋:∑𝑝𝑖𝑥𝑖 = 𝑚
𝑛
𝑖=1
} 
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No caso de 2 bens, essa fronteira é denominada reta orçamentária: 
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚 → 𝑥2 =
𝑚
𝑝2
−
𝑝1
𝑝2
𝑥1 
A razão 𝑝1/𝑝2 é conhecida como preço relativo do bem 1 em relação ao bem 2 e representa a taxa à qual 
o mercado está disposto a trocar o bem 1 pelo bem 2 (quantas unidades do bem 2 são necessárias para a 
aquisição de uma unidade do bem 1). A inclinação da reta orçamentária, dada pelo negativo desse preço 
relativo, corresponde ao custo de oportunidade, indicando que para aumentar o consumo de um bem é preciso 
abrir mão do outro. 
Bem numerário: Qualquer restrição orçamentária pode ser representada tendo um dos bens como unidade de conta. Esse 
bem é denominado numerário. Por exemplo, se o bem 2 for numerário, ele terá seu preço igual a unidade, 𝑝2 = 1, e o 
conjunto orçamentário pode ser escrito como: 
𝑝1𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛 ≤ �̃�; 𝑝1 =
𝑝1
𝑝2
, … , 𝑝𝑛 =
𝑝𝑛
𝑝2
, �̃� =
𝑚
𝑝2
 
Essa representação é possível, pois o conjunto orçamentário é homogêneo de grau zero nos preços e na renda. 
A seguir, temos a representação gráfica do conjunto orçamentário quando existem apenas dois bens, 𝑥1 
e 𝑥2. Os interceptos 𝑚/𝑝1 e 𝑚/𝑝2 correspondem à quantidade máxima que o consumidor pode adquirir dobem 
1 e do bem 2, respectivamente. Cestas localizadas acima e à direita da reta orçamentária não podem ser 
adquiridas pelo consumidor. 
 
Alterações na Reta Orçamentária 
O poder de compra das pessoas é afetado quando há mudanças na sua renda ou nos preços dos bens. 
Vejamos como a reta orçamentária se altera nessas circunstâncias. 
1) Mudanças na renda – mantendo-se os preços constantes, mudanças na renda deslocam paralelamente 
a reta orçamentária. Ou seja, a inclinação da curva (preço relativo) não se altera. 
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2) Mudanças no preço do bem 1 – mantendo-se a renda e o preço do bem 2 constantes, mudanças no 
preço do bem 1 alteram a inclinação da reta orçamentária, ou seja, o preço relativo (o intercepto horizontal é 
modificado). 
 
3) Mudanças no preço do bem 2 – mantendo-se a renda e o preço do bem 1 constantes, mudanças no 
preço do bem 2 alteram a inclinação da reta orçamentária (o intercepto vertical é modificado) 
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4) Impostos e subsídios – tanto a cobrança de impostos, quanto a concessão de subsídios alteram a 
restrição orçamentária do consumidor. 
4.1) Impostos sobre a quantidade – o consumidor paga uma alíquota t por unidade consumida. Ou seja, 
o preço do bem i passa de 𝑝𝑖 para (𝑝𝑖 + 𝑡), alterando a inclinação da reta orçamentária. 
4.2) Impostos ad valorem ou sobre o valor – incidem sobre o valor dos bens, e não sobre a quantidade 
adquirida. Geralmente são expressos em termos percentuais, representando um percentual 𝜏 do preço do bem. 
Nesse caso, o preço do bem i passaria de 𝑝𝑖 para (1 + 𝜏)𝑝𝑖, alterando a inclinação da reta orçamentária. 
4.2) Impostos de montante fixo – o governo se apropria de um montante fixo de renda, que não depende 
do comportamento dos indivíduos. Logo, há uma redução de renda, provocando um deslocamento paralelo e 
para dentro da reta orçamentária (não altera o preço relativo). 
4.2) Subsídios – os subsídios afetam a reta orçamentária da mesma forma que os impostos, apenas com 
sinal algébrico trocado. 
5) Racionamento – quando o racionamento é adotado, existe uma limitação da quantidade que pode ser 
consumida. Suponha, por exemplo, que o consumo do bem 1 seja limitado a um nível máximo de �̅�1. O conjunto 
orçamentário do consumidor passa a ser representado conforme vemos na figura abaixo. A parte excluída 
corresponde às cestas disponíveis para o consumidor, mas com quantidade do bem 1 maior que o limite de �̅�1. 
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Nós vimos como o conjunto orçamentário é afetado em cada uma das situações retratadas anteriormente 
de maneira isolada. Porém, você deve saber que pode haver uma atuação combinada de mais de uma delas. 
Equilíbrio do Consumidor 
Anteriormente nessa aula, nós estudamos as preferências e a restrição orçamentária do consumidor. 
Nesse tópico iremos juntar essas informações e entender como os indivíduos escolhem as cestas que irão 
adquirir. Lembre-se de que estamos assumindo que as pessoas escolhem as melhores cestas (que geram o 
maior nível de satisfação) pelas quais elas podem pagar. 
Outra hipótese adotada é que o consumidor tem uma relação de preferência racional, contínua, convexa 
e localmente não saciável, representadas por uma função utilidade duas vezes diferenciável. 
Veremos o problema sob duas óticas: a maximização da utilidade e a minimização da despesa. Sem mais 
delongas, vamos direto ao ponto!  
Maximização da Utilidade 
Sob a formulação do problema de maximização da utilidade, o indivíduo irá escolher a cesta de 
consumo, 𝒙 = (𝒙𝟏, … , 𝒙𝒏), que maximiza sua utilidade, dada sua restrição orçamentária, ou seja, dada sua 
renda 𝒎 e o vetor de preços dos bens 𝒑 = (𝒑𝟏, … , 𝒑𝒏). Algebricamente, podemos escrever como: 
max
𝑥1,… ,𝑥𝑛
𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 ∑𝑝𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
≤ 𝑚; 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,… , 𝑛 
Assumindo a monotonicidade das preferências (quanto mais, melhor), o consumidor irá gastar toda a sua 
renda no consumo dos bens, isto é: 
𝑝1𝑥1 +⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛 = 𝑚 
Você deve saber que a solução desse problema existe se preços e renda forem positivos; e as preferências 
do consumidor, contínuas. O método de solução utilizado, supondo que a função utilidade é diferenciável, é o 
método do multiplicador de Lagrange. O Lagrangeano desse problema pode ser escrito como: 
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𝐿 = 𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) + 𝜆(𝑚 − 𝑝1𝑥1 −⋯− 𝑝𝑛𝑥𝑛) 
Pelas condições de primeira ordem, devemos derivar o Lagrangeano em relação a cada 𝑥𝑖 e a 𝜆, e igualar 
tais derivadas a zero: 
{
 
 
𝜕𝐿
𝜕𝑥𝑖
= 0 ∀ i = 1,… , n
𝜕𝐿
𝜕𝜆
= 0
 
Combinando as condições de primeira ordem e assumindo solução interior (quantidades demandadas 
positivas), chegamos às seguintes condições: 
{
 
 
 
 |𝑇𝑀𝑆(𝑥𝑖 , 𝑥𝑗)| =
𝑈𝑚𝑔𝑖(𝑥1, … , 𝑥𝑛)
𝑈𝑚𝑔𝑗(𝑥1, … , 𝑥𝑛)
=
𝑝𝑖
𝑝𝑗
∑𝑝𝑖𝑥𝑖
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝑚
 
Se as preferências do consumidor forem convexas, então as condições de segunda ordem para que o 
ótimo seja um ponto de máximo estão atendidas. No caso de preferências estritamente convexas, há apenas 
um equilíbrio. 
Interpretação do multiplicador de Lagrange: O multiplicador de Lagrange, 𝜆, representa a utilidade marginal da renda. 
Ou seja, é a utilidade adicional obtida com cada real gasto na compra de cada um dos bens. 
A solução do problema de maximização da utilidade fornece a demanda Marshalliana ou demanda 
Walrasiana do consumidor, denotada por 𝑥𝑖(𝑝,𝑚). A função demanda, 𝒙𝒊(𝒑,𝒎), associa uma escolha ótima 
do consumidor a cada vetor de preços positivos e renda. Um detalhe importante que você deve saber: o nível 
de utilidade varia ao longo da curva de demanda Marshalliana. 
Propriedades da Demanda Marshalliana 
1) Homogeneidade de grau zero – a função demanda Marshalliana é homogênea de grau zero nos preços e na renda, ou 
seja, multiplicar todos os preços e a renda por uma mesma constante positiva não altera a demanda Marshalliana: 
𝑥(𝛼𝑝, 𝛼𝑚) = 𝑥(𝑝,𝑚) ∀ 𝑝,𝑚 e 𝛼 > 0 
2) Satisfaz a Lei de Walras – o consumidor gasta toda a renda no consumo dos bens: 
∑𝑝𝑖𝑥𝑖(𝑝,𝑚) = 𝑚
𝑛
𝑖=1
 
3) Unicidade/concavidade – se as preferências são convexas (de modo que a função utilidade é quase-côncava), então 
𝑥(𝑝,𝑚) é um conjunto convexo. Se as preferências são estritamente convexas (de modo que a função utilidade é 
estritamente quase-côncava), então 𝑥(𝑝,𝑚) consiste em um único elemento. 
Quando representamos graficamente o caso com apenas dois bens, 𝑥1 e 𝑥2, o consumidor irá escolher 
uma cesta na curva de indiferença mais alta que toca a reta de restrição orçamentária. Teremos, portanto, a 
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tangência entre as duas curvas de forma que, sendo a taxa marginal de substituição definida, as inclinações de 
ambas as curvas serão iguais: 
|𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2)| =
𝑈𝑚𝑔1
𝑈𝑚𝑔2
=
𝑝1
𝑝2
 
 
Perceba que cestas situadas na curva de indiferença 𝐶𝐼2 fornecem um nível de satisfação mais elevado, 
porém não estão disponíveis (estão fora do conjunto orçamentário do consumidor). 
Essa condição de tangência é uma condição necessária para o equilíbrio do consumidor, e será uma 
condição necessária e suficiente para o caso das preferências convexas. Já sabemos que se as curvas de 
indiferença forem estritamente convexas, haverá apenas uma escolha ótima em cada reta orçamentária. 
A condição de ótimo pode ser reescrita como: 
𝑈𝑚𝑔1
𝑝1
=
𝑈𝑚𝑔2
𝑝2
 
A relação acima recebe o nome de princípio da igualdade marginal: o consumidormaximiza sua utilidade 
quando a utilidade marginal por unidade de renda for igual para todos os bens. 
Se a taxa marginal de substituição for diferente da razão de preços (ou seja, a taxa que o consumidor está 
disposto a trocar um bem pelo outro é diferente da taxa com a qual o mercado troca um bem pelo outro), o 
consumidor pode aumentar sua satisfação alterando sua cesta de consumo, ou seja, não temos um ponto 
ótimo. No gráfico do lado esquerdo na figura a seguir, temos que a inclinação da curva de indiferença (a TMS) 
é maior que a razão de preços no ponto 𝑥′: 
𝑈𝑚𝑔1
𝑈𝑚𝑔2
>
𝑝1
𝑝2
→
𝑈𝑚𝑔1
𝑝1
>
𝑈𝑚𝑔2
𝑝2
 
 O consumidor pode atingir uma curva de indiferença mais alta (ficando em uma melhor situação) se 
trocar parte do consumo do bem 2 pelo bem 1 (o bem 1 tem um ganho adicional por unidade de renda superior 
em comparação ao bem 2). 
Já no gráfico do lado direito, no ponto 𝑥′′ a TMS é menor que a inclinação da restrição orçamentária: 
𝑈𝑚𝑔1
𝑈𝑚𝑔2
<
𝑝1
𝑝2
→
𝑈𝑚𝑔1
𝑝1
<
𝑈𝑚𝑔2
𝑝2
 
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Logo, o consumidor pode obter uma cesta melhor se trocar parte do consumo do bem 1 pelo bem 2 (agora 
é o bem 2 quem fornece um ganho adicional por unidade de renda mais alto). 
 
 
Casos Malcomportados 
As representações gráficas a seguir (da esquerda para a direita) mostram casos em que temos, 
respectivamente, dois pontos de equilíbrio, infinitos equilíbrios e uma situação em que a TMS não é definida 
(logo, não vale a condição de tangência). O último gráfico representa o equilíbrio no caso de bens 
complementares perfeitos. 
 
Solução de Canto 
Uma solução de canto ocorre quando a quantidade consumida de um dos bens é nula, de forma que o 
ótimo esteja situado sobre um dos eixos. Quando temos uma solução de canto, a condição de tangência 
entre a curva de indiferença e a reta orçamentária NÃO é válida. 
A figura a seguir representa duas possibilidades: no gráfico da esquerda, quando a curva de indiferença é 
menos inclinada que a reta de restrição orçamentária, o consumidor gasta toda a sua renda no consumo do 
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bem 2 (dado que esse bem fornece um ganho marginal por unidade monetária mais alto); já, no gráfico do lado 
direito, quando a curva de indiferença é mais inclinada que a reta orçamentária (TMS é maior que a razão de 
preços), o indivíduo consome apenas o bem 1. 
 
Você se recorda dos bens substitutos perfeitos? Em geral, temos soluções de canto para esse tipo de 
preferências. Isso acontece porque normalmente as pessoas escolhem consumir os bens mais baratos. Mas se 
as inclinações da curva de indiferença e da reta orçamentária forem iguais, qualquer cesta sobre a reta 
orçamentária é um ponto de ótimo para esse consumidor. 
Outro caso em que há uma solução de canto é quando as preferências são côncavas. No gráfico abaixo, 
você pode notar que existe um ponto de tangência entre a curva de indiferença e a reta orçamentária, ou seja, 
atende a condição necessária do ótimo. Porém, esse ponto não representa um equilíbrio, pois não está situado 
na curva de indiferença mais alta (mais distante da origem), que toca a restrição orçamentária. Dessa forma, 
temos uma solução de canto (especialização no consumo de um dos bens). 
 
Tudo bem até aqui? Espero que sim. Esse assunto da aula de hoje cai bastante nas provas da Anpec. 
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Exemplos de Demanda Marshalliana 
Nessa parte da aula vamos aprender como são as demandas Marshallianas de algumas preferências que 
nós já conhecemos. Um detalhe: normalmente quando vemos a expressão “demanda” na prova, ela está se 
referindo a demanda Marshalliana. 
 Vamos começar com a Cobb-Douglas, um tipo de preferência bastante recorrente nas provas da Anpec. 
Cobb-Douglas 
Inicialmente vamos relembrar o formato de uma utilidade Cobb-Douglas: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏 , 𝑎, 𝑏 > 0 
Pelas condições de primeira ordem do problema de maximização da utilidade, temos: 
{
|𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2)| =
𝑈𝑚𝑔𝑥1
𝑈𝑚𝑔𝑥2
=
𝑝1
𝑝2
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚
 
Resolvendo esse sistema, obtemos as demandas Marshallianas: 
𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =
𝑎
𝑎 + 𝑏
𝑚
𝑝1
 
𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =
𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑚
𝑝2
 
Considerações sobre a demanda Marshalliana para uma Cobb-Douglas 
1) O consumidor gasta uma parcela fixa da renda em cada bem: 
𝑝1𝑥1
∗(𝑝,𝑚)
𝑚
=
𝑎
𝑎 + 𝑏
 
𝑝2𝑥2
∗(𝑝,𝑚)
𝑚
=
𝑏
𝑎 + 𝑏
 
2) Bens independentes – a demanda de um bem não é afetada pelo preço do outro. 
3) A solução é sempre interior – a quantidade demandada de ambos os bens é positiva. 
Substitutos Perfeitos 
Sejam dois bens substitutos perfeitos, com função utilidade dada por: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎𝑥1 + 𝑥2 
A taxa marginal de substituição é: 
𝑇𝑀𝑆 = 𝑎 
Vimos anteriormente, que, em geral, quando os bens são substitutos perfeitos teremos uma solução de 
canto (vai depender da comparação das inclinações da curva de indiferença e da reta orçamentária). Se você 
quiser, pode voltar algumas páginas e rever a figura que retrata as soluções de canto antes de prosseguir. 
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A demanda Marshalliana dos bens 1 e 2, respectivamente, pode ser escrita como: 
𝑥1
∗(𝑝,𝑚) =
{
 
 
 
 0; 𝑠𝑒 
𝑝1
𝑝2
> 𝑎
0 ≤ 𝑥1
∗(𝑝,𝑚) ≤
𝑚
𝑝1
; 𝑠𝑒 
𝑝1
𝑝2
= 𝑎
𝑚
𝑝1
; 𝑠𝑒 
𝑝1
𝑝2
< 𝑎
 
 
𝑥2
∗(𝑝,𝑚) =
{
 
 
 
 
𝑚
𝑝2
; 𝑠𝑒 
𝑝1
𝑝2
> 𝑎
0 ≤ 𝑥2
∗(𝑝,𝑚) ≤
𝑚
𝑝2
; 𝑠𝑒 
𝑝1
𝑝2
= 𝑎
0; 𝑠𝑒 
𝑝1
𝑝2
< 𝑎
 
Complementares Perfeitos 
Considere, agora, bens complementares perfeitos: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = min {𝑎𝑥1, 𝑥2} 
O equilíbrio será um vértice da curva de indiferença sobre a reta de restrição orçamentária (lembre que 
não temos a tangência entre as curvas): 
{
𝑥2 = 𝑎𝑥1
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚
 
Graficamente: 
 
A demanda Marshalliana é: 
𝑥1
∗(𝑝,𝑚) =
𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
 
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𝑥2
∗(𝑝,𝑚) =
𝑎𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
 
Preferências Quase-Lineares 
Seja uma preferência quase-linear em relação ao bem 2: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = v(𝑥1) + 𝑥2 
Para obtermos uma solução explícita, considere a seguinte função utilidade: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = ln 𝑥1 + 𝑥2 
Pelas condições de primeira ordem do problema de maximização da utilidade: 
{
|𝑇𝑀𝑆(𝑥1, 𝑥2)| =
𝑈𝑚𝑔𝑥1
𝑈𝑚𝑔𝑥2
=
𝑝1
𝑝2
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚
 
Resolvendo esse sistema, obtemos a seguinte solução interior (que é válida somente quando 𝑝2 < 𝑚). As 
demandas Marshallianas são: 
𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑚) =
𝑝2
𝑝1
 
𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =
𝑚 − 𝑝2
𝑝2
 
Você deve ter percebido que a demanda pelo bem 1 não depende da renda quando 𝒑𝟐 < 𝒎 (veremos 
em uma aula posterior que isso implica um efeito renda nulo). 
Agora, considere que 𝑝2 ≥ 𝑚. Nesse caso teremos uma solução de canto (portanto, NÃO vale a condição 
de tangência): 
𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑚) =
𝑚
𝑝1
 
𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑚) = 0 
Na solução de canto, a demanda pelo bem 1 depende da renda e não se verifica a tangência entre a 
curva de indiferença e a reta de restrição orçamentária. 
Neutros e Males 
Nesses casos, o consumidor irá gastar toda a sua renda com o bem que ele gosta. 
Função Utilidade Indireta 
Ao contrário da função utilidade, que mostra a relação entre a utilidade do consumidor e a quantidade 
consumida; a função utilidade indireta, denotada por 𝒗(𝒑,𝒎), relaciona a utilidade com os preços dos bens 
e a renda. Ela corresponde ao valor da função utilidade no ponto ótimo (função valor associada ao problema 
de maximização da utilidade), ou seja, substituímos as demandas Marshallianasna função utilidade: 
𝑣(𝑝,𝑚) = 𝑢(𝑥1
∗(𝑝,𝑚),… , 𝑥𝑛
∗(𝑝,𝑚)) 
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É importante saber que a função utilidade indireta depende da representação da utilidade. Isto é, se 
𝑣(𝑝,𝑚) é a função utilidade indireta sob 𝑢(𝑥), então a função utilidade indireta associada a �̃�(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥)) 
é �̃�(𝑝,𝑚) = 𝑓(𝑣(𝑝,𝑚)). 
Propriedades da Função Utilidade Indireta 
1) Homogênea de grau zero em (𝒑,𝒎) – multiplicar todos os preços e a renda por uma mesma constante positiva não 
altera a utilidade indireta: 
𝑣(𝛼𝑝, 𝛼𝑚) = 𝑣(𝑝,𝑚) ∀ 𝛼 > 0 
2) Estritamente crescente na renda – Se 𝑚1 > 𝑚0, então: 
𝑣(𝑝,𝑚1) > 𝑣(𝑝,𝑚0) 
3) Não crescente nos preços – Se 𝑝1 > 𝑝0, então: 
𝑣(𝑝1, 𝑚) ≤ 𝑣(𝑝0, 𝑚) 
4) Quase-convexa em (𝒑,𝒎) – Se 𝑣(𝑝1, 𝑚1) ≤ 𝑣(𝑝0, 𝑚0), então: 
𝑣(𝛼𝑝0 + (1 − 𝛼)𝑝1, 𝛼𝑚0 + (1 − 𝛼)𝑚1) ≤ 𝑣(𝑝0, 𝑚0) ∀ 0 < 𝛼 < 1 
A quase convexidade da função utilidade indireta não depende da convexidade da função utilidade. 
5) Contínua nos preços e na renda. 
Você sabia que é possível recuperar as demandas Marshallianas a partir da função utilidade indireta? 
Conseguimos isso utilizando a identidade de Roy. 
Por meio da Identidade de Roy, podemos obter a relação entre a função utilidade indireta e as demandas Marshallianas. 
Se 𝑣(𝑝,𝑚) for diferenciável: 
𝑥𝑖(𝑝,𝑚) = −
𝜕𝑣(𝑝,𝑚)
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝑣(𝑝,𝑚)
𝜕𝑚
 𝑖 = 1,… , 𝑛 
Vamos verificar a função utilidade indireta para três exemplos de preferências (como você já sabe, essas 
preferências despencam na prova da Anpec). 
Preferências Cobb-Douglas 
Função utilidade: 𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏, 𝑎, 𝑏 > 0 
Função demanda Marshalliana: 
𝑥∗(𝑝1, 𝑝2,𝑚) = (
𝑎
𝑎 + 𝑏
𝑚
𝑝1
,
𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑚
𝑝2
) 
Substituindo as demandas Marshallianas na função utilidade, obtemos a função utilidade indireta: 
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𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) = (
𝑎
𝑎 + 𝑏
𝑚
𝑝1
)
𝑎
(
𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑚
𝑝2
)
𝑏
= (
𝑎
𝑝1
)
𝑎
(
𝑏
𝑝2
)
𝑏
(
𝑚
𝑎 + 𝑏
)
𝑎+𝑏
 
Complementares Perfeitos 
Função utilidade: 𝑢(𝑥1, 𝑥2) = min {𝑎𝑥1, 𝑥2} 
Função demanda Marshalliana: 
𝑥∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) = (
𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
,
𝑎𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
) 
Função utilidade indireta: 
𝑣(𝑝1, 𝑝2,𝑚) = min {𝑎
𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
,
𝑎𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
} =
𝑎𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
 
Substitutos Perfeitos 
Função utilidade: 𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎𝑥1 + 𝑥2 
Função demanda: 
𝑥∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =
{
 
 
 
 {(0,
𝑚
𝑝2
)} ; 𝑠𝑒 𝑝1 > 𝑎𝑝2
{(𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝑋: 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚}; 𝑠𝑒 𝑝1 = 𝑎𝑝2
{(
𝑚
𝑝1
, 0)} ; 𝑠𝑒 𝑝1 < 𝑎𝑝2
 
Função utilidade indireta: 
𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =
{
 
 
 
 
𝑚
𝑝2
; 𝑠𝑒 𝑝1 > 𝑎𝑝2
𝑎
𝑚
𝑝1
=
𝑚
𝑝2
; 𝑠𝑒 𝑝1 = 𝑎𝑝2
𝑎
𝑚
𝑝1
; 𝑠𝑒 𝑝1 < 𝑎𝑝2
 → 𝑣(𝑝1, 𝑝2,𝑚) =
𝑎𝑚
min {𝑝1, 𝑎𝑝2}
 
Problema de Minimização da Despesa 
O problema de minimização da despesa é o dual do problema de maximização da utilidade. Sob esta 
ótica, o consumidor irá escolher a cesta de consumo que minimiza sua despesa, considerando um patamar 
mínimo de utilidade que deve ser obtido. Algebricamente, podemos escrever como: 
min
𝑥1,… ,𝑥𝑛
∑𝑝𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ≥ �̅�; 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,… , 𝑛 
O método de solução utilizado, supondo que a função utilidade é diferenciável, é o método do 
multiplicador de Lagrange. Quando 𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = �̅�, o Lagrangeano desse problema que pode ser escrito 
como: 
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𝐿 =∑𝑝𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝜆(�̅� − 𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛)) 
As condições de primeira ordem são: 
{
 
 
𝜕𝐿
𝜕𝑥𝑖
= 0 ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛
𝜕𝐿
𝜕𝜆
= 0
 
Combinando esses resultados e assumindo uma solução interior, obtemos: 
{
|𝑇𝑀𝑆(𝑥𝑖, 𝑥𝑗)| =
𝑈𝑚𝑔𝑥𝑖
𝑈𝑚𝑔𝑥𝑗
=
𝑝𝑖
𝑝𝑗
𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = �̅�
 
A solução desse problema fornece a demanda compensada ou demanda Hicksiana, denotada por ℎ𝑖(𝑝, 𝑢). 
Propriedades da Demanda Hicksiana 
1) Homogênea de grau zero nos preços – multiplicar todos os preços por uma mesma constante positiva não altera a 
demanda Hicksiana: 
ℎ(𝛼𝑝, 𝑢) = ℎ(𝑝, 𝑢) ∀ 𝛼 > 0 
2) Não excede a utilidade – no ponto de equilíbrio, temos: 
𝑈(ℎ1, … , ℎ𝑛) = 𝑈 
3) Unicidade/concavidade – se as preferências são convexas, então ℎ(𝑝, 𝑢) é um conjunto convexo. Se as preferências 
são estritamente convexas, então ℎ(𝑝, 𝑢) consiste em um único elemento. 
A linha de isocusto é a curva de nível da função objetivo e tem a forma 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑘, sendo k o nível de 
gasto. Graficamente, a solução fica sobre a linha de isocusto mais baixa que toca a curva de indiferença (restrição 
do problema). 
 
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Demanda Hicksiana e a Lei da Demanda Compensada 
De acordo com a Lei da Demanda Compensada, a demanda Hicksiana (ou demanda compensada) de um bem é não 
crescente em relação ao preço desse bem. Ou seja, quando aumenta o preço do bem, a quantidade demandada diminui 
(ou não se altera): 
𝑝1
1 > 𝑝1
0 → ℎ1
1(𝑝1,
1𝑝2, 𝑢) ≤ ℎ1
0(𝑝1
0, 𝑝2, 𝑢) 
Importante: A lei de demanda compensada não é válida para a demanda Marshalliana. Veremos em aula posterior que 
os bens de Giffen são um exemplo que a violam (para esses bens, quando o preço do bem aumenta, a quantidade 
demandada também sobe). 
Função Dispêndio 
A função dispêndio, também denominada função despesa, corresponde ao gasto mínimo associado 
ao problema de minimização da despesa, sendo expresso como uma função dos preços e do nível de 
utilidade. A função despesa, representada por 𝑒(𝑝, 𝑢), é obtida substituindo as demandas Hicksianas na linha 
de isocusto: 
𝑒(𝑝, 𝑢) = 𝑝1ℎ1
∗(𝑝, 𝑢) + ⋯+ 𝑝𝑛ℎ𝑛
∗ (𝑝, 𝑢) 
Propriedades da Função Despesa 
1) Homogênea de grau um nos preços – multiplicando todos os preços por uma mesma constante positiva, a função 
despesa fica multiplicada pela mesma constante: 
𝑒(𝛼𝑝, 𝑢) = 𝛼𝑒(𝑝, 𝑢) ∀ 𝛼 > 0 
2) Estritamente crescente na utilidade – se 𝑢1 > 𝑢0, então: 
𝑒(𝑝, 𝑢1) > 𝑒(𝑝, 𝑢0) 
3) Não decrescente nos preços – se 𝑝1 > 𝑝0, então: 
𝑒(𝑝1, 𝑢) ≥ 𝑒(𝑝0, 𝑢) 
4) Côncava nos preços: 
𝑒(𝛼𝑝0 + (1 − 𝛼)𝑝1, 𝑢) ≥ 𝛼𝑒(𝑝0, 𝑢) + (1 − 𝛼)𝑒(𝑝1, 𝑢) ∀ 0 < 𝛼 < 1 
5) Contínua nos preços e na utilidade. 
Vejamos, agora, como obter as demandas Hicksianas a partir da função despesa. 
Por meio do Lema de Shepard, podemos obter a relação entre a função despesa e as demandas Hicksianas. Se 𝑒(𝑝, 𝑢) for 
diferenciável: 
ℎ𝑖(𝑝, 𝑢) =
𝜕𝑒(𝑝, 𝑢)
𝜕𝑝𝑖
 𝑖 = 1,… , 𝑛 
Relação entre Função Utilidade Indireta e Função Dispêndio 
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Em algumas questões de prova pode ser útil sabermos como obter a função despesa a partir da função 
utilidade indireta, e vice-versa. Nesse sentido, é importante você saber que a função utilidade indireta e a 
função dispêndio são inversas uma da outra: 
𝑣(𝑝, 𝑒(𝑝, 𝑢)) = 𝑢 
𝑒(𝑝, 𝑣(𝑝,𝑚)) = 𝑚 
Relação entre Demanda Marshalliana e Demanda Hicksiana 
A relação entre as demandas Marshalliana e Hicksiana é tal que: 
𝑥𝑖(𝑝,𝑚) = ℎ𝑖(𝑝, 𝑣(𝑝,𝑚)) 
ℎ𝑖(𝑝, 𝑢) = 𝑥𝑖(𝑝, 𝑒(𝑝, 𝑢)) 
Chegamos ao fim da parte teórica da nossa aula de hoje! Vamos treinar bastante resolvendo questões de 
provas passadas da Anpec. Então, mãos à obra!!! 
Questões comentadas pela professora 
1. ANPEC – 2003 – Questão 1 
Um consumidor possui a função utilidade cardinal dada por 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑥2. Sejam 𝑀 a renda deste 
consumidor e 𝑝1 e 𝑝2, os preços: 
(0) ceteris paribus, as quantidades ótimas escolhidas por tal consumidorseriam alteradas se a função utilidade 
fosse 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 4 + 5(𝑥1𝑥2); 
(1) as preferências do consumidor são convexas; 
(3) os dois bens são substitutos perfeitos; 
(4) a utilidade marginal da renda é dada por 𝑀/(2𝑝1𝑝2). 
RESOLUÇÃO: 
É extremamente importante “bater o olho” na função utilidade e identificar o tipo de preferência que está 
sendo representado. A utilidade apresentada no enunciado representa preferências do tipo Cobb-Douglas. Dito 
isso, passemos para a resolução de cada item. 
(0) A função 𝑉(𝑧) = 4 + 5𝑧 é estritamente crescente, pois 𝑉′(𝑧) = 5 > 0. Dessa forma, a função 𝑉(𝑥1, 𝑥2) =
4 + 5(𝑥1𝑥2) é uma transformação monotônica de 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑥2. Assim, 𝑉(𝑥1, 𝑥2) também é uma função 
utilidade e representa as mesmas preferências que a utilidade original (Cobb-Douglas). Ou seja, as escolhas 
ótimas NÃO se alteram. 
Resposta: FALSO 
(1) A funções utilidade Cobb-Douglas são estritamente convexas. 
Resposta: VERDADEIRO 
(3) A utilidade representa preferências Cobb-Douglas, e não substitutos perfeitos (a utilidade que representa 
bens substitutos perfeitos é linear). 
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Resposta: FALSO 
(4) A utilidade marginal da renda, 𝜕𝑈/𝜕𝑀, mede a variação na utilidade dada uma mudança na renda. Para 
isso, devemos escrever a função utilidade em termos da renda, ou seja, vamos substituir as demandas 
Marshallianas dentro da função utilidade (e obter a função utilidade indireta). 
Sabemos que a demanda Marshalliana é a solução do problema de maximização de utilidade do consumidor. 
Se você já for para a prova sabendo o formato da demanda Marshalliana para uma Cobb-Douglas (um tipo de 
preferência bem recorrente), você vai ganhar tempo (o que é um recurso escasso). Seja uma utilidade Cobb-
Douglas: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝛼𝑥2
𝛽
 
As demandas Marshallianas são dadas por: 
𝑥1 = (
𝛼
𝛼 + 𝛽
)
𝑀
𝑝1
 𝑒 𝑥2 = (
𝛽
𝛼 + 𝛽
)
𝑀
𝑝2
 
No caso em que 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑥2, temos: 
𝑥1 = (
1
2
)
𝑀
𝑝1
 𝑒 𝑥2 = (
1
2
)
𝑀
𝑝2
 
Substituindo na função utilidade: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = (
1
2
)
𝑀
𝑝1
(
1
2
)
𝑀
𝑝2
= (
1
4
)
𝑀2
𝑝1𝑝2
 
A utilidade marginal da renda é: 
𝜕𝑈
𝜕𝑀
= (
1
2
)
𝑀
𝑝1𝑝2
 
Lembrando que o multiplicador de Lagrange no problema de maximização da utilidade corresponde à utilidade 
marginal da renda (esse seria um outro meio de responder o item). 
Resposta: VERDADEIRO 
 
2. ANPEC – 2004 – Questão 1 
A figura abaixo mostra as curvas de indiferença de um consumidor e a direção na qual a utilidade deste 
consumidor aumenta. 
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São corretas as afirmativas: 
(0) Existe saciedade. 
(1) O indivíduo gosta da diversificação. 
(2) O bem 1 é indesejável. 
(3) No equilíbrio, o indivíduo só consome um tipo de bem. 
(4) A utilidade marginal do bem 2 é não-negativa. 
RESOLUÇÃO: 
(0) Não temos saciedade para as preferências representadas, dado que 𝑥2 é um bem, ou seja, aumentos na 
quantidade consumida elevam a satisfação do consumidor. Apenas 𝑥1 é um mal (quanto menor for a 
quantidade consumida, melhor está o consumidor). Teríamos saciedade se tanto 𝑥1 quanto 𝑥2 fosse males. 
Resposta: FALSO 
(1) Quando o indivíduo se defronta com um bem e com um mal, ele se especializa no consumo do bem (que 
aumenta sua utilidade quando consumido). Você deve perceber que a média ponderada entre duas cestas em 
uma dada curva de indiferença, situa-se um uma curva mais baixa (com menos satisfação para o indivíduo). No 
caso apresentado no enunciado, o indivíduo se especializará no consumo do bem 2. 
Resposta: FALSO 
(2) Vimos que a utilidade do indivíduo aumenta à medida que o consumo do bem 1 diminui, ou seja, 𝑥1 é um 
desbem. 
Resposta: VERDADEIRO 
(3) O indivíduo se especializará no consumo do bem 2, representado no eixo vertical. 
Resposta: VERDADEIRO 
(4) Como o bem 2 é um bem, aumentos na quantidade consumida elevam a utilidade (ou não a alteram). Logo, 
a utilidade marginal do bem 2 é não-negativa. Por sua vez, como 𝑥1 é um mal, ele tem utilidade marginal 
negativa. 
Resposta: VERDADEIRO 
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3. ANPEC – 2004 – Questão 13 
Seja u(D,M) a função de utilidade de um indivíduo, em que D é o número de unidades de um bem doméstico e 
M é o número de unidades de um bem importado. A função de utilidade é uma Cobb-Douglas. Sabe-se que, se 
a taxa de substituição econômica de bens importados por domésticos for 0,5, o indivíduo consumirá a mesma 
quantidade dos dois bens, em equilíbrio. Pede-se: qual é a taxa marginal de substituição de M por D se a cesta 
de consumo é (D, M) = (50, 200)? 
RESOLUÇÃO: 
A função utilidade Cobb-Douglas pode ser escrita como: 
𝑈(𝐷,𝑀) = DαMβ 
A taxa marginal de substituição é dada por: 
𝑇𝑀𝑆 =
𝑈𝑚𝑔D
𝑈𝑚𝑔𝑀
=
𝛼Dα−1Mβ
𝛽DαMβ−1
=
𝛼M
𝛽D
 
O enunciado diz que quando |𝑇𝑀𝑆| = 0,5, o indivíduo consome as mesmas quantidades de ambos os bens, ou 
seja, 𝐷 = 𝑀. Dessa forma: 
0,5 =
𝛼
𝛽
 
Logo, quando a cesta for (𝐷,𝑀) = (50,200), a TMS será: 
𝑇𝑀𝑆 = 0,5
200
50
= 2 
Resposta: 02 
 
4. ANPEC – 2005 – Questão 3 
Dispondo de renda M, um consumidor deve escolher entre os bens X e Y, cujas quantidades e preços são 
representadas, respectivamente, por x e y e px e py. Julgue as afirmativas: 
(0) Se sua função de utilidade for U(x, y) = min{x, 4y}, a função demanda de X será x =
𝑀
𝑝𝑥+
𝑝𝑦
4
. 
(1) Se sua função de utilidade for U(x, y) = x + 4y, o consumidor se especializará no consumo de Y, caso 
𝑝𝑥
𝑝𝑦
<
1
4
. 
 (4) Se sua função de utilidade for U(x, y) = x + ln(𝑦), cœteris paribus, um aumento de renda não provocará 
alteração no consumo de X. 
RESOLUÇÃO: 
(0) A função utilidade U(x, y) = min{x, 4y} representa bens complementares perfeitos. Dessa forma, a demanda 
Marshalliana é tal que: 
{
x = 4y (1)
𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝑀 (2)
 
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Na equação (1), temos y = x/4. Substituindo na restrição orçamentária: 
𝑝𝑥𝑥 +
𝑝𝑦
4
𝑥 = 𝑀 → (
4𝑝𝑥 + 𝑝𝑦
4
)𝑥 = 𝑀 → 𝑥 = (
4
4𝑝𝑥 + 𝑝𝑦
)𝑀 → 𝑥 =
𝑀
𝑝𝑥 +
𝑝𝑦
4
 
Resposta: VERDADEIRO 
(1) A função utilidade U(x, y) = x + 4y representa bens substitutos perfeitos. O consumidor se especializa no bem 
que for mais barato em termos do preço relativo. Assim, para que ele gaste toda a sua renda no bem y, a curva 
de indiferença deve ser menos inclinada que a reta orçamentária: 
|𝑇𝑀𝑆| <
𝑝𝑥
𝑝𝑦
 
Temos que: 
|𝑇𝑀𝑆| =
𝑈𝑚𝑔𝑥
𝑈𝑚𝑔𝑦
=
1
4
 
Logo, ele gasta toda a sua renda no consumo y quando 
1
4
<
𝑝𝑥
𝑝𝑦
 
Oposto ao que o enunciado disse. Então fiquem atentos aos detalhes! 
Graficamente: 
 
Resposta: FALSO 
(4) A função U(x, y) = x + ln(𝑦) é uma função utilidade quase-linear em x. Assumindo uma solução interior 
(ambos os bens com quantidades positivas), temos: 
{
|TMS| =
𝑈𝑚𝑔𝑥
𝑈𝑚𝑔𝑦
=
𝑝𝑥
𝑝𝑦
 (1)
𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝑀 (2)
 
Na equação (1): 
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1
1/𝑦
=
𝑝𝑥
𝑝𝑦
→ 𝑦 =
𝑝𝑥
𝑝𝑦
 
Substituindo na restrição orçamentária: 
𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦 (
𝑝𝑥
𝑝𝑦
) = 𝑀 → 𝑥 =
𝑀
𝑝𝑥
− 1 
Podemos perceber que é o consumo do bem y (e não do bem x) é que independe da renda, no caso de uma 
solução interior. 
Resposta: FALSO 
 
5. ANPEC – 2006 – Questão 1 
Com base na teoria das preferências, avalie as afirmativas: 
(0) Se as preferências entre dois bens para um consumidor são completas, reflexivas, transitivas e monotônicas, 
então o módulo da taxa marginal de substituição será decrescente ao longo de suas curvas de indiferença.