curso-10069

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Teoria do Consumidor (Parte 1) 
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Sumário 
APRESENTAÇÃO .......................................................................................................................................... 4 
COMO ESTE CURSO ESTÁ ORGANIZADO ....................................................................................................... 5 
DIREÇÃO INICIAL .......................................................................................................................................... 7 
TEORIA DO CONSUMIDOR ........................................................................................................................... 8 
PREFERÊNCIAS DO CONSUMIDOR .................................................................................................................................. 8 
Propriedades das Preferências .............................................................................................................................. 9 
CURVAS DE INDIFERENÇA ........................................................................................................................................... 11 
Conjunto Fracamente Preferido .......................................................................................................................... 12 
Ponto de Saciedade ........................................................................................................................................... 13 
Transformação Monotônica ............................................................................................................................... 13 
Propriedades das Preferências e as Curvas de Indiferença .................................................................................... 13 
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO ............................................................................................................................. 15 
FUNÇÃO UTILIDADE .................................................................................................................................................. 16 
Propriedades das Preferências e Função Utilidade ............................................................................................... 16 
Utilidade Marginal ............................................................................................................................................. 16 
Teoria Ordinal .................................................................................................................................................... 17 
EXEMPLOS DE PREFERÊNCIAS ..................................................................................................................................... 19 
Substitutos Perfeitos .......................................................................................................................................... 19 
Complementares Perfeitos ................................................................................................................................. 20 
Preferências bem-comportadas .......................................................................................................................... 21 
Preferências côncavas ........................................................................................................................................ 22 
Preferências quase-lineares ................................................................................................................................ 22 
Preferências lexicográficas ................................................................................................................................. 23 
Males ................................................................................................................................................................ 24 
Neutros ............................................................................................................................................................. 25 
Função Elasticidade de Substituição Constante (CES) .......................................................................................... 25 
Preferências homotéticas ................................................................................................................................... 26 
RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA....................................................................................................................................... 27 
Alterações na Reta Orçamentária ....................................................................................................................... 29 
EQUILÍBRIO DO CONSUMIDOR..................................................................................................................................... 30 
Maximização da Utilidade .................................................................................................................................. 31 
Demanda Marshalliana ...................................................................................................................................... 35 
Exemplos de Demanda Marshalliana .................................................................................................................. 35 
Função Utilidade Indireta ................................................................................................................................... 38 
Exemplos de Função Utilidade Indireta ............................................................................................................... 39 
Minimização da Despesa .................................................................................................................................... 40 
Demanda Hicksiana ........................................................................................................................................... 41 
Demanda Hicksiana e a Lei da Demanda Compensada ........................................................................................ 41 
Função Dispêndio ............................................................................................................................................... 42 
Relações Entre as Funções .................................................................................................................................. 42 
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LISTA DE QUESTÕES .................................................................................................................................. 44 
GABARITO .................................................................................................................................................. 57 
QUESTÕES DE PROVA COMENTADAS ......................................................................................................... 58 
RESUMO DIRECIONADO ........................................................................................................................... 114 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................................ 121 
 
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Apresentação 
Olá! Tudo joia? Meu nome é Natália França e é excelente ter você por aqui! 
A preparação para o exame da Associação Nacional dos Centros de Pós-
Graduação em Economia (Anpec) requer esforço e dedicação, e irei te ajudar nessa 
caminhada. Antes, vou falar um pouco sobre mim. 
Formei-me com excelênciaem Economia pelo Ibmec Minas em 2011. No final 
daquele ano, fiz a prova da Anpec e ingressei no mestrado do programa de Pós-
Graduação em Economia da Universidade Federal do Ceará (CAEN/UFC) em 2012. 
Finalizei o doutorado em 2019 no CAEN/UFC, tendo um período na Rice University no 
Texas. 
Concomitante a minha carreira acadêmica, ingressei no mundo dos concursos públicos. Fui aprovada para 
o cargo de Analista Administrativo (Economia) na Ebserh em 2018 e para o cargo de Auditor de Controle Interno 
na Controladoria e Ouvidoria Geral do Estado do Ceará (CGE/CE) em 2019. Também atuei como professora 
substituta no Departamento de Economia Aplicada na UFC. 
Não existe fórmula mágica para aprovação em concursos e provas. Temos que ter foco, disciplina, 
persistência, além de fazer revisões e resolver muitas questões! Nesse sentido, materiais de qualidade são 
essenciais para potencializar nossos resultados positivos. E aqui está a chave para o seu sucesso, pode contar 
comigo! 
Nesse curso de MICROECONOMIA que estamos iniciando agora, você verá, ao longo de vários materiais 
escritos (PDFs), teoria combinada com a resolução de várias questões de provas passadas da Anpec. Minha meta 
é lhe fornecer um material objetivo, focado e de alta qualidade, de forma a lhe auxiliar na sua conquista em 
ingressar na Pós-Graduação em Economia. 
Ah.... Acompanhe minhas redes sociais para ficar por dentro do meu trabalho e conferir dicas de estudo: 
 
https://www.youtube.com/channel/UCRVwQ5xxU-LmFGFbqREbMiA 
 
@professoranataliafranca 
 
 
 
 
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Como este curso está organizado 
Para cobrir os pontos em Microeconomia cobrados no edital da Anpec, o nosso curso está organizado da 
seguinte forma: 
Número da 
aula 
Data de 
disponibilização 
Assunto da aula 
00 22/12/2021 
Teoria do Consumidor (parte 1) - Teorias cardinal e ordinal. Curvas de 
indiferença. Limitação orçamentária. Equilíbrio do consumidor. 
01 14/01/2022 
Curva de Demanda (parte 1) – Curva de Engel. Curva de demanda. 
Deslocamento da curva e ao longo da curva. Elasticidade-preço, 
elasticidade renda, elasticidades-preço cruzadas. Elasticidades 
compensadas e não-compensadas. Classificação de bens: normais, 
inferiores, bens de Giffen, substitutos, complementares. 
02 03/02/2022 
Teoria do Consumidor (parte 2) - Mudanças de equilíbrio devidas à 
variação de preços e renda (equação de Slutsky): efeito-preço, efeito-
renda e efeito-substituição. Comprando e vendendo. Preferência 
revelada. Números índices. 
03 21/02/2022 
Curva de Demanda (parte 2) - Excedente do consumidor. Estática 
comparativa. Variação equivalente. Variação compensatória. 
Demanda de mercado e receita total, média e marginal. 
04 11/03/2022 Incerteza - Escolha envolvendo risco. 
05 29/03/2022 
Oferta do Produtor (parte 1) - Teoria da produção - Fatores de produção. 
Função de produção e suas propriedades. Isoquantas. Elasticidade de 
substituição. Rendimentos de fator, rendimentos de escala. Função de 
produção com proporções fixas e proporções variáveis. Combinação 
ótima de fatores. Firma multiprodutora. 
06 18/04/2022 
Oferta do Produtor (parte 2) - Custo - Custo de Produção. Curvas de 
isocusto. Função de custo; curto e longo prazo; custo fixo e variável. 
Custo marginal; custo médio. Curva de Oferta da Firma e da Indústria 
de curto e longo prazos. 
07 06/05/2022 
Mercados (parte 1) Concorrência Perfeita - O equilíbrio da empresa em 
concorrência perfeita: a curva de oferta; deslocamento da curva e 
mudança ao longo da curva; curto e longo prazo; elasticidade-preço da 
oferta. Equilíbrio do mercado: posição de equilíbrio, deslocamento das 
curvas de procura e de oferta. 
08 24/05/2022 
Mercados (parte 2) - Monopólio - Equilíbrio da empresa monopolista. 
Discriminação de preços; barreiras à entrada. Comparação com o 
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mercado de concorrência perfeita. Concorrência Monopolística - 
Diferenciação do produto. Equilíbrio da empresa em concorrência 
monopolística: curto e longo prazo. Comparação com o mercado de 
concorrência perfeita. 
09 13/06/2022 
Mercados (parte 3) - Oligopólio - Caracterização da estrutura 
oligopolística. Modelos Clássicos - Cournot, Bertrand e Edgeworth; 
fatias de mercado; cartéis; liderança de preços; comparação com o 
mercado de concorrência perfeita. Modelos de mark-up - Princípio do 
custo total; curva de demanda quebrada; concentração e barreiras à 
entrada; diferenciação e diversificação do produto. Formação de Preços 
e Fatores de Produção. 
10 01/07/2022 
Teoria dos Jogos - Equilíbrio de Nash. Equilíbrio de Nash em Estratégias 
Mistas. Jogo Repetido. Equilíbrio Perfeito em Subjogos. 
11 19/07/2022 Equilíbrio Geral - Troca Pura. Troca com Produção. Caixa de Edgeworth. 
12 08/08/2022 Externalidades Bens Públicos. 
13 26/08/2022 
Economia da Informação - Seleção adversa. Perigo Moral. Modelo de 
Sinalização. Modelo de Principal Agente. 
 
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Direção Inicial 
Como o assunto referente a Teoria do Consumidor é bastante extenso e bem recorrente na prova da Anpec, 
eu o dividi em mais de uma aula. 
Nessa primeira, vamos ver os seguintes assuntos: 
Teoria do Consumidor (parte 1) - Teorias cardinal e ordinal. Curvas de indiferença. Limitação orçamentária. Equilíbrio do 
consumidor. 
Ah... Uma base sólida em Teoria do Consumidor vai ser importante para o melhor entendimento de outras 
matérias ao longo do nosso curso. 
Então, como está a sua animação? Espero que alta, hein! Pois já deixa sua garrafinha de água separada e 
vamos logo começar ! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Teoria do Consumidor (Parte 1) 
Na aula de hoje iremos estudar como o consumidor escolhe os bens e serviços que vai consumir em uma 
economia de mercado. Iremos assumir que os indivíduos compram as melhores cestas dentre aquelas que podem 
adquirir. Para entender como essas escolhas são feitas, devemos considerar as preferências dos indivíduos e as 
suas restrições orçamentárias (afinal, os desejos são infinitos, mas os recursos são escassos...). 
Vamos começar nossos estudos pelas preferências do consumidor, mas antes vejamos algumas definições 
a serem utilizadas, a saber, cestas de bens e conjunto consumo. 
Uma cesta de bens é um conjunto de um ou vários bens, com quantidades não negativas. 
Seja uma cesta de bens, 𝑥, composta por um número finito, 𝑛, de bens cujas quantidades são denotadas por 
𝑥𝑖. Podemos expressar a cesta 𝑥 como um vetor contendo as quantidades dos 𝑛 bens, 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛). Muitas 
vezes, para fins de simplificação, considera-se que existem apenas dois bens em uma dada cesta. 
O conjunto consumo, denotado por 𝑿, representa todas as cestas de bens que um indivíduo pode consumir. 
Em uma versão bem simples (sem tantas restrições de consumo), o conjunto consumo expressa todas as 
cestas com quantidades não negativas de bens: 
𝑋 = ℝ𝑛 = {𝑥 ∈ ℝ𝑛; 𝑥𝑖 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,… , 𝑛} 
Definido dessa forma, o conjunto consumo é um conjunto convexo. Ou seja, se 𝑥 e 𝑦 são cestas 
pertencentes a 𝑋, então uma cesta que seja uma média ponderada das duas, como 𝑤 = 𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦, também 
é um elemento de 𝑋, sempre que 𝛼 ∈ [0,1]. 
Preferências do Consumidor 
As preferências dos consumidores são representadas por uma relação binária, que permite comparações 
entre pares de cestas pertencentes ao conjunto consumo. Sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Se a cesta 𝑥 é ao menos tãoboa quanto a cesta 𝑦, escrevemos 𝑥 ≽ 𝑦.
Relação de preferência fraca: ≽
• Se o indivíduo considera a cesta 𝑥 estritamente melhor do que a cesta 𝑦,
escrevemos 𝑥 ≻ 𝑦 (lê-se 𝑥 é preferida a 𝑦).
Relação de preferência forte ou estrita: ≻
• Se o consumidor é indiferente entre as duas cestas, escrevemos 𝑥 ∼ 𝑦, indicando
que ambas as cestas geram o mesmo nível de satisfação.
Relação de indiferença: ∼
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As relações de preferência forte, fraca e de indiferença estão interligadas entre si. 
Propriedades das Preferências 
Agora que já conhecemos a representação das relações de preferências do consumidor, podemos fazer 
algumas suposições sobre o comportamento dos indivíduos. Considere três cestas pertencentes ao conjunto 
consumo, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋. Os axiomas da preferência são elencados a seguir: 
 Integralidade/Completude – quando as preferências do consumidor são completas, ele consegue comparar 
duas cestas quaisquer dentro do seu conjunto consumo: ou 𝑥 ≽ 𝑦, ou 𝑦 ≽ 𝑥, ou 𝑥 ∼ 𝑦. Importante 
destacar que essas preferências não dependem dos preços dos bens. 
 Transitividade – quando as preferências são transitivas, se o consumidor prefere a cesta 𝑥 a 𝑦, e prefere 𝑦 a 
𝑧, então ele irá preferir 𝑥 a 𝑧. Logo: se 𝑥 ≽ 𝑦 e 𝑦 ≽ 𝑧, então 𝑥 ≽ 𝑧. A relação de indiferença 
também atende a propriedade da transitividade. Esse axioma é um requerimento para que as 
escolhas do consumidor sejam consistentes. 
 Reflexividade – quando as preferências são reflexivas, toda cesta é ao menos tão boa quanto ela mesma: 
𝑥 ≽ 𝑥. A reflexividade decorre da completude, quando 𝑦 = 𝑥. 
Vou esquematizar os axiomas das preferências para você assimilar melhor: 
 
 
 
 
 
 
Axiomas das preferências
Integralidade (Completude)
Transitividade
Reflexividade
Se 𝒙 é ao menos tão boa quanto a 𝒚 (𝒙 ≽ 𝒚) e, ao mesmo tempo, 𝒚 é ao menos tão boa 
quanto a 𝒙 (𝒚 ≽ 𝒙), o indivíduo é indiferente entre as duas cestas (𝒙 ∼ 𝒚). 
Se 𝒙 é ao menos tão boa quanto a 𝒚 (𝒙 ≽ 𝒚), mas sabemos que 𝒚NÃO é ao menos tão boa 
quanto a 𝒙 (𝒚 ⋡ 𝒙), esse consumidor considera 𝒙 estritamente melhor que 𝒚 (𝒙 ≻ 𝒚).
∼ 
 
≻ 
 
ATENÇÃO! 
Uma relação de preferência que atende esses axiomas (ou seja, uma relação de 
preferência completa, transitiva e reflexiva) é uma relação de preferência racional. 
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Ah... se aparecer em uma questão de prova que uma relação de preferência completa e transitiva é racional, 
o item é verdadeiro, beleza?! Mas e quanto à reflexividade? Acabamos de aprender que ela decorre da completude 
(se uma relação de preferência é completa, ela também é reflexiva). 
Vejamos, agora, outras propriedades das preferências do consumidor: 
 Continuidade – as preferências do consumidor não apresentam “saltos”, ou seja, ele não faz mudanças 
bruscas no ordenamento entre as cestas de repente. Seja que o consumidor prefere 𝑦 a 𝑧, 𝑦 ≽ 𝑧. 
Suponha uma cesta 𝑥, com quantidades de bens muito parecidas com as quantidades em 𝑦. Pela 
continuidade das preferências, esse consumidor também irá preferir 𝑥 a 𝑧: 𝑥 ≽ 𝑧. 
Mais formalmente, podemos dizer que a relação de referência ≽ é contínua se ela é preservada no limite. 
Ou seja, para quaisquer sequências {(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)}𝑛=1
∞ com 𝑥𝑛 ≽ 𝑦𝑛 para todo 𝑛, 𝑥 = lim
𝑛→∞
𝑥𝑛 e 𝑦 = lim
𝑛→∞
𝑦𝑛, nós temos 
𝑥 ≽ 𝑦. 
 Monotonicidade – o consumidor prefere aquelas cestas com quantidades mais elevadas de bens (quanto 
mais, melhor). 
Vejamos esse conceito em suas versões fraca e estrita. 
 
A respeito das duas versões do conceito de monotonicidade, é importante você saber o seguinte: 
 
Além disso: 
Monotonicidade forte implica monotonicidade. 
 Não saciedade local – o consumidor jamais estará satisfeito com a cesta atual. Ou seja, sempre haverá uma 
cesta 𝑦 na vizinhança da cesta consumida, 𝑥: (|𝑥 − 𝑦|) < ε, com ε > 0, tal que 𝑦 ≻ 𝑥. 
Monotonicidade implica não saciedade local. 
Monotonicidade
Monotonicidade (fraca):
Se 𝑥 ≫ 𝑦 (ou seja, 𝑥𝑖 > 𝑦𝑖 para todo i), então 𝑥 ≻ 𝑦.
A cesta 𝑥 deve ter uma quantidade estritamente maior de TODOS os bens,
para que seja melhor que 𝑦.
Monotonicidade forte ou estrita:
Se 𝑥 ≥ 𝑦 e 𝑥 ≠ 𝑦 (ou seja, 𝑥𝑖 ≥ 𝑦𝑖 para todo i), então 𝑥 ≻ 𝑦.
Monotonicidade
Pode haver indiferença no caso em que
aumentamos a quantidade de alguns
bens, e não de todos (bens
complementares perfeitos, por exemplo).
Monotonicidade forte
Se aumentarmos a quantidade de ao
menos um dos bens (e não reduzir a dos
demais), haverá preferência estrita.
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Convexidade
Convexidade (fraca):
Se 𝑦 ≽ 𝑥 e 𝑧 ≽ 𝑥, então 𝛼𝑦 + 1 − 𝛼 𝑧 ≽ 𝑥 para todo 𝛼 ∈ 0,1 .
Convexidade forte ou estrita:
Se 𝑦 ≽ 𝑥, 𝑧 ≽ 𝑥 e 𝑦 ≠ 𝑧, então 𝛼𝑦 + 1 − 𝛼 𝑧 ≻ 𝑥 para todo 𝛼 ∈ 0,1 .
 Convexidade – o consumidor prefere diversificação no consumo (médias preferíveis aos extremos). 
 
 
 
 
 
 
Convexidade forte implica convexidade fraca, mas a recíproca não é verdadeira. 
Bem legal essa parte das propriedades das preferências, né?! Vamos dar continuidade na matéria. E lembre-
se de beber água, hein! 
Curvas de Indiferença 
A curva de indiferença consiste em uma representação gráfica das preferências do consumidor. 
Uma curva de indiferença contém todas as cestas de bens em relação às quais o consumidor é indiferente, ou seja, geram 
o mesmo nível de satisfação. 
No gráfico a seguir, representamos no eixo horizontal a quantidade do bem 1, 𝑥1, e no eixo vertical, a 
quantidade do bem 2, 𝑥2. Nessa situação, o consumidor é indiferente entre as cestas 𝑥, 𝑦 e 𝑧, pois estas cestas 
estão sobre a mesma curva de indiferença. Esse mesmo consumidor não é indiferente entre 𝑥 e 𝑤, por exemplo, 
dado que elas estão em curvas de indiferença distintas. 
Pela monotonicidade das preferências, as curvas de indiferença mais altas estão associadas a cestas 
melhores. Dessa forma, no gráfico a seguir, o consumidor prefere 𝑤 em relação às cestas 𝑥, 𝑦 e 𝑧 (𝑤 está em uma 
curva de indiferença mais alta). 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO! 
As curvas de indiferença que representam níveis distintos de satisfação não 
se cruzam. Isso por causa da racionalidade das preferências. 
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Conjunto Fracamente Preferido 
O conjunto fracamente preferido associado a uma cesta x̃ contém as cestas ao menos tão boas quanto a essa cesta: 
{𝒙 ∈ 𝑿: 𝒙 ≽ 𝒙 } 
Vale dizer que a curva de indiferença é o limite (ou contorno) inferior do conjunto fracamente preferido. 
A respeito da relação entre esse conjunto e as preferências do consumidor, veja o seguinte: 
A relação de preferências é convexa quando o conjunto fracamente preferido é convexo. 
Quando esse conjunto é convexo, se as cestas 𝑥 e 𝑦 pertencem ao conjunto fracamente preferido, a média 
ponderada entre elas, 𝑡𝑥 + (1 − 𝑡)𝑦 com 𝑡 ∈ [0,1], também pertencerá, conforme vemos no gráfico a seguir. Isso 
equivale a dizer que a relação de preferência é convexa. 
 
Vamos ver em uma questão como esse tema já foi cobrado em prova? 
ANPEC – 2001 – Questão 1 
Em relação à teoria das preferências, julgue os itens a seguir: 
(0) Se as preferências de um consumidor forem convexas, então para qualquer cesta 𝑥 = {𝑥1, 𝑥2}, em que 𝑥1 e 𝑥2 
são as quantidades consumidas dos bens 1 e 2, o conjunto formado pelas cestas que o consumidor considera 
inferiores a 𝑥 é um conjunto convexo. 
RESOLUÇÃO: 
Olha a pegadinha!!! 
O enunciado trocou a palavra superiores por inferiores. 
Quando as preferências são convexas, o conjunto fracamente preferido (que contémas cestas SUPERIORES a 𝑥) 
é convexo. 
Muita atenção aos detalhes na hora da prova. Tenho certeza que você vai se garantir! 
Resposta: FALSO 
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Ponto de Saciedade 
O ponto de saciedade representa a melhor cesta para o consumidor, indicada por (𝒙𝟏, 𝒙𝟐) no gráfico abaixo, e quanto 
mais perto dela estiver, melhor o consumidor estará. 
Antes que esse ponto seja alcançado, é possível melhorar a satisfação do indivíduo elevando a quantidade 
de qualquer um dos bens, tendo em vista que, diante desse aumento, nos movemos para uma curva de indiferença 
mais próxima ao ponto de saciedade. A partir do ponto em que o consumidor está saciado, aumentos na 
quantidade consumida do bem reduzem a sua satisfação (violando, portanto, a hipótese da monotonicidade), visto 
que estaremos caminhando para uma curva de indiferença mais distante desse ponto. Ou seja, a partir do ponto 
de saciedade, os bens passam a ser males. 
 
Transformação Monotônica 
Nessa parte da aula, vamos aprender um conceito que será útil em diversos momentos, transformação 
monotônica. 
Seja a função 𝒗(𝒙) = 𝒇(𝒖(𝒙)), sendo 𝒇 uma função estritamente crescente definida na imagem de 𝒖(𝒙), ou seja, 
𝒇 ′(𝒖(𝒙)) > 𝟎. Assim, 𝒗(𝒙) é denominada uma transformação monotônica de 𝒖(𝒙). 
Importante você saber que a transformação monotônica preserva o ordenamento dos números, ou seja, se 
𝑢1 > 𝑢2, então 𝑓(𝑢1) > 𝑓(𝑢2). 
Propriedades das Preferências e as Curvas de Indiferença 
As propriedades das preferências do consumidor afetam o formato das curvas de indiferença. Algumas 
situações são apresentadas no esquema a seguir: 
 
 
 
 
 
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Vamos ver uma questão de prova que aborda esse tema. 
ANPEC – 2015 – Questão 1 
Com relação às preferências do consumidor, é correto afirmar que: 
(2) Sejam três cestas de bens: 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Se, para um consumidor temos que 𝐴 ≻ 𝐵, 𝐴 ∼ 𝐶 e 𝐶 ∼ 𝐵, então para este 
consumidor se aplica o princípio de que duas curvas de indiferença não se cruzam. 
RESOLUÇÃO: 
O enunciado nos informa que 𝐴 ≻ 𝐵, 𝐴 ∼ 𝐶 e 𝐶 ∼ 𝐵. 
- Se 𝐴 ≻ 𝐵, então 𝐴 está em uma curva de indiferença mais alta que 𝐵. 
- Se 𝐴 ∼ 𝐶, então A e 𝐶 estão sob a mesma curva de indiferença. 
Pela transitividade das preferências: se 𝐴 ≻ 𝐵 e 𝐴 ∼ 𝐶, então 𝐶 ≻ 𝐵. Ou seja, deveríamos ter 𝐶 em uma curva de 
indiferença mais alta em relação a 𝐵. Mas isso não ocorre, tendo em vista que o enunciado informa 𝐶 ∼ 𝐵. Dada 
essa violação ao axioma da transitividade, curvas de indiferença distintas se cruzam. Veja o gráfico a seguir: 
 
Resposta: FALSO 
Continuidade Garante a existência (e a continuidade) das curvas de indiferença.
Racionalidade Curvas de indiferença distintas não se cruzam.
Não saciedade local Curvas de indiferença não podem ser grossas.
Monotonicidade fraca Curvas de indiferença não podem ter inclinação positiva.
Monotonicidade forte Curvas de indiferença têm inclinação negativa.
Preferências bem-
comportadas
Curvas de indiferença negativamente inclinadas.
Convexidade Curvas de indiferença convexas em relação à origem.
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Taxa Marginal de Substituição 
A taxa marginal de substituição (TMS) é a taxa à qual o consumidor está disposto a trocar um bem pelo outro, para 
manter seu nível de satisfação constante. 
Em outras palavras, a TMS do bem 1 pelo bem 2 mensura a quantidade máxima de unidades do bem 2 que 
um indivíduo está disposto a abrir mão para obter uma unidade adicional do bem 1. Logo, uma TMS igual a 4 indica 
que o consumidor está disposto a desistir de 4 unidades do bem 2 em troca de uma unidade extra do bem 1. 
“Assim, a TMS mede o valor que um indivíduo atribui a uma unidade extra de um bem em termos de outro.” 
(PINDYCK & RUBINFELD, 2013) 
Graficamente, a TMS é a inclinação da curva de indiferença no ponto: 
𝑇𝑀𝑆12 =
𝑑𝑥2
𝑑𝑥1
 
Na figura a seguir, partindo de uma situação inicial como 𝑦, a TMS mede em quanto o consumo do bem 2 
deve diminuir, 𝑑𝑥2, para que o consumidor possa aumentar o consumo do bem 1 em 𝑑𝑥1, de modo que o 
consumidor permaneça sobre a mesma curva de indiferença (passe para o ponto 𝑤). 
 
O esquema abaixo mostra a relação entre a convexidade das preferências e o comportamento da TMS. 
 
A respeito da TMS decrescente, 
“à medida que maiores quantidades de uma mercadoria são consumidas, esperamos que o consumidor 
esteja disposto a abrir mão de cada vez menos unidades de uma segunda mercadoria para poder obter 
unidades adicionais da primeira. (...) Ou seja, ele estará disposto a desistir de cada vez menos unidades [do 
bem 2] para obter uma unidade adicional [do bem 1].” (PINDYCK & RUBINFELD, 2013) 
Convexidade estrita
Curvas de indiferença que representam
preferências estritamente convexas
apresentam TMS decrescente (em
módulo).
Convexidade
Curvas de indiferença que representam
preferências convexas podem apresentar
TMS constante (substitutos perfeitos, por
exemplo).
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Função Utilidade 
A função utilidade consiste em uma maneira matemática de representar as preferências do consumidor. 
Uma função 𝒖: 𝐗 → ℝ é uma função utilidade representando a relação de preferência ≽, se para todo 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑿, 
𝐱 ≽ 𝐲 ↔ 𝒖(𝒙) ≥ 𝒖(𝒚) 
Ou seja, tal função atribui números reais a todas as cestas do conjunto consumo, sendo que cestas mais 
preferidas recebem números mais altos (e cestas indiferentes entre si recebem o mesmo valor). 
 
 
 
 
 
A continuidade da relação de preferência garante a existência de uma função utilidade contínua. 
 Preferências lexicográficas: como elas NÃO são contínuas, NÃO podem ser representadas por uma 
função utilidade. 
Propriedades das Preferências e Função Utilidade 
Suponha uma relação de preferência representada por uma função utilidade 𝑢: X → ℝ.Então: 
 𝑢(𝑥) é estritamente crescente se, se somente se, a relação de preferência é estritamente monotônica. 
 𝑢(𝑥) é quase-côncava se, e somente se, a relação de preferência é convexa. 
A função 𝑢(𝑥) é quase-côncava quando, para 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 e 𝛼 ∈ [0,1], vale: 
𝑢(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) ≥ min{𝑢(𝑥), 𝑢(𝑦)} 
Toda função Cobb-Douglas 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑥𝛼𝑦𝛽 com A, 𝛼 e 𝛽 positivos é uma função quase-côncava. 
 𝑢(𝑥) é estritamente quase-côncava se, e somente se, a relação de preferência é estritamente convexa. 
A função 𝑢(𝑥) é estritamente quase-côncava quando, para 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 e 𝛼 ∈ [0,1], vale: 
𝑢(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) > min{𝑢(𝑥), 𝑢(𝑦)} 
Note que a convexidade da relação de preferência NÃO implica a concavidade da função utilidade. 
Utilidade Marginal 
O que você acha que acontece com a utilidade do consumidor diante de uma alteração na quantidade 
consumida de determinado bem? Será que aumenta? Diminui? A resposta clássica é: depende! Nessa parte da aula 
vamos aprender um conceito que nos ajuda a responder questões desse tipo. 
ATENÇÃO! 
Uma relação de preferência pode ser representada por uma função utilidade 
somente se for racional e contínua. 
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A utilidade marginal (𝑼𝒎𝒈) de um bem indica o incremento (positivo ou negativo) na utilidade, dado um aumento de 
uma unidade na quantidade consumida desse bem, com tudo o mais mantido constante. 
Supondo uma função utilidade diferenciável, a utilidade marginal do bem 𝑖, 𝑈𝑚𝑔𝑖, é: 
𝑈𝑚𝑔𝑖 =
𝜕𝑢(𝑥1, … , 𝑥𝑛)
𝜕𝑥𝑖
, 𝑥 ∈ 𝑋 
Algumas considerações sobre a monotonicidade das preferênciase a utilidade marginal: 
 
Taxa Marginal de Substituição e Utilidades Marginais 
A seguir iremos ver como a taxa marginal de substituição entre dois bens se relaciona com as respectivas 
utilidades marginais: 
𝑇𝑀𝑆12 =
𝑑𝑥2
𝑑𝑥1
= −
𝑈𝑚𝑔1
𝑈𝑚𝑔2
 
Generalizando para o caso com 𝑛 bens, a TMS entre os bens 𝑖 e 𝑗 pode ser escrita como: 
𝑇𝑀𝑆𝑖𝑗 = −
𝑈𝑚𝑔𝑖
𝑈𝑚𝑔𝑗
 
Essa relação entre a TMS e as utilidades marginais será bastante útil quando estudarmos o equilíbrio do 
consumidor. 
Separei uma questão de prova para treinarmos: 
ANPEC – 2000 – Questão 1 
Com base na abordagem ordinal da teoria do consumidor é correto afirmar que: 
(2) Utilidades marginais positivas implicam taxa marginal de substituição negativa. 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que a taxa marginal de substituição entre dois bens pode ser escrita como: 
𝑇𝑀𝑆12 = −
𝑈𝑚𝑔1
𝑈𝑚𝑔2
 
Se ambas as utilidades marginais forem positivas, a TMS será negativa. 
Resposta: VERDADEIRO 
Teoria Ordinal 
Em conformidade com a Teoria Ordinal, importa apenas o ordenamento das cestas em termos da função utilidade, e 
não a magnitude dos valores. A Teoria do Consumidor que estamos estudando baseia-se na utilidade ordinal. 
Monotonicidade estrita
Bens têm utilidade marginal positiva:
𝑈𝑚𝑔𝑖 > 0
Monotonicidade
Bens têm utilidade marginal não negativa:
𝑈𝑚𝑔𝑖 ≥ 0
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Ou seja, se o consumidor prefere a cesta 𝑥 à cesta 𝑦, basta que a utilidade de 𝑥 seja maior que a utilidade de 
𝑦, não importando os valores assumidos. Logo, é possível aplicar transformações monotônicas na função 
utilidade. 
 
 
 
 
 
Se 𝑓(𝑢) é uma transformação monotônica de 𝑢(. ), então: 
𝑓(𝑢(𝑥)) ≥ 𝑓(𝑢(𝑦)) ↔ 𝑢(𝑥) ≥ 𝑢(𝑦) ↔ 𝑥 ≽ 𝑦 
Portanto, a função utilidade que representa uma relação de preferências não é única. 
A respeito das transformações monotônicas, é importante você também saber o seguinte: 
 
Vamos ver mais uma questão de prova? 
ANPEC – 2000 – Questão 1 
Com base na abordagem ordinal da teoria do consumidor é correto afirmar que: 
(0) A função de utilidade é arbitrária até qualquer transformação monótona crescente de si mesma. 
RESOLUÇÃO: 
Com base na Teoria Ordinal importa apenas o ordenamento das cestas em termos da função utilidade. Dessa 
forma, a transformação monotônica de uma função utilidade é uma função utilidade que representa as mesmas 
preferências que a função utilidade original. 
Resposta: VERDADEIRO 
Transformação 
Monotônica
Não modifica o formato da curva de indiferença da preferência
original.
Não altera a TMS entre os bens.
Não altera o sinal da utilidade marginal.
As propriedades de crescimento e quase-concavidade da
função utilidade são preservadas.
ATENÇÃO! 
A transformação monotônica de uma função utilidade é uma função utilidade 
que representa as mesmas preferências que a função utilidade original. 
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Para encerrar esse tópico, saiba que de acordo com a Teoria Cardinal, o tamanho dos valores assumidos 
por uma função é relevante (você verá que a Teoria da Firma se baseia na Teoria Cardinal). 
Como você está até aqui? Espero que tudo joia. Antes de continuar, faça uma pausa para beber água. Nós 
rendemos mais nos estudos com o corpo hidratado . 
Exemplos de Preferências 
Vamos ver, agora, alguns exemplos de preferências que caem bastante na prova da Anpec. 
Substitutos Perfeitos 
Quando os bens são substitutos perfeitos, o consumidor troca um bem pelo outro a uma taxa constante, 
indicando uma taxa marginal de substituição constante. Nesse tipo de preferência, o indivíduo se importa 
apenas com a quantidade total consumida, de modo que as curvas de indiferença são representadas por linhas 
retas. 
Preferências do tipo substitutos perfeitos são convexas, mas NÃO são estritamente convexas. 
Exemplo: um consumidor indiferente entre lápis vermelhos ou azuis; indiferente entre um hambúrguer ou 
duas fatias de pizza 
 
A função utilidade que descreve bens são substitutos perfeitos é dada por: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ 
|𝑇𝑀𝑆| =
𝑎
𝑏
 
Atenção: Seja a seguinte função: 
𝑉(𝑥1, 𝑥2) = [𝑈(𝑥1, 𝑥2)]
2 = (𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2)
2 = 𝑎2𝑥1
2 + 𝑏2𝑥2
2 + 2𝑎𝑏𝑥1𝑥2 
Essa função é uma função utilidade e também representa bens substitutos perfeitos, pois é um exemplo de uma 
transformação monotônica de 𝑈(𝑥1, 𝑥2). 
Importante você saber que uma utilidade marginal decrescente indica um certo grau de substituição entre 
os bens. No entanto, uma utilidade marginal decrescente NÃO é condição necessária para que os bens sejam 
substitutos. Basta lembrar-se dos bens substitutos perfeitos, que apresentam uma utilidade marginal constante. 
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Atenção em como isso já foi cobrado em prova, hein! 
ANPEC – 2000 – Questão 1 
Com base na abordagem ordinal da teoria do consumidor é correto afirmar que: 
(1) O princípio da utilidade marginal declinante é imprescindível para garantir a substituição entre bens. 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que utilidade marginal decrescente implica em certo grau de substituição entre os bens. Mas isso não é 
uma condição necessária, dado que para os bens substitutos perfeitos temos substituição entre eles e utilidade 
marginal constante. 
Resposta: FALSO 
Complementares Perfeitos 
Também denominadas preferências Leontieff ou proporções fixas. Quando são complementares perfeitos, 
os bens só geram satisfação quando consumidos juntos e em proporções fixas. Dessa forma, qualquer bem 
excedente dessa proporção não gera nenhuma satisfação adicional para o consumidor, de modo que as curvas de 
indiferença tenham um formato de vértice (“L”). Logo, a TMS é zero ou infinita. 
Preferências do tipo complementares perfeitos são convexas, mas NÃO são estritamente convexas. 
Exemplo: em geral, o pé direito de um par de sapato é consumido junto do pé esquerdo; uma pessoa pode 
consumir sempre uma xícara de café com três colheres de açúcar. 
 
A função utilidade de bens complementares perfeitos é: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = min{𝑎𝑥1, 𝑏𝑥2} ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ 
As constantes a e b indicam as proporções nas quais os bens são consumidos. 
Os bens complementares perfeitos constituem um exemplo de preferências contínuas que NÃO são 
representadas por uma função utilidade diferenciável. 
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Preferências bem-comportadas 
 Nesse tipo de preferências, as curvas de indiferença são estritamente convexas, ou seja, o consumidor 
prefere uma diversificação no consumo. Essas preferências também são fortemente monotônicas. 
A TMS é decrescente (em módulo): basta perceber que a inclinação da curva de indiferença diminui 
conforme nos deslocamos da esquerda para a direita no eixo horizontal. 
Um exemplo bem conhecido de preferências bem-comportadas consiste nas preferências do tipo Cobb-
Douglas. 
 
A função utilidade de preferências do tipo Cobb-Douglas pode ser escrita como: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ 
|𝑇𝑀𝑆| =
𝑎
𝑏
𝑥2
𝑥1
 
Para funções utilidade do tipo Cobb-Douglas, a TMS depende da razão entre a quantidade consumida de 
ambos os bens, e não da quantidade absoluta. 
Aplicar o logaritmo natural é uma transformação monotônica útil no caso de uma Cobb-Douglas: 
ln𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎 ln 𝑥1 + 𝑏 ln 𝑥2 
Vejamos uma questão que aborda dois exemplos de preferências vistos até aqui. 
ANPEC – 2000 – Questão 2 
Em relação às funções de utilidade dos consumidores é correto afirmar que: 
(0) Para um consumidor com uma função de utilidade do tipo U(X, Y) = X0,4. Y0,6, os bens X e Y são substitutos 
perfeitos. 
RESOLUÇÃO: 
Muitoimportante que você reconheça os tipos de preferência mais comuns só de “bater o olho” na função 
utilidade. 
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Claramente a função U(X, Y) = X0,4. Y0,6 refere-se a uma preferência do tipo Cobb-Douglas, e não substitutos 
perfeitos. Bens substitutos perfeitos são representados por funções utilidade que são linhas retas. 
Resposta: FALSO 
Preferências côncavas 
Para essas preferências, as curvas de indiferença são côncavas em relação à origem. A TMS é crescente 
(em módulo): a inclinação da curva de indiferença aumenta conforme nos deslocamos da esquerda para a direita 
no eixo horizontal. 
 
Importante você saber que, no caso de preferências côncavas, o consumidor irá preferir uma 
especialização no consumo de uma única mercadoria (lembre-se de que em preferências convexas, há 
diversificação no consumo). Podemos verificar esse fato no gráfico a seguir. Note que a combinação linear entre 
as cestas 𝑥 e 𝑦, 𝑧 = 𝑡𝑥 + (1 − 𝑡)𝑦, com 𝑡 ∈ [0,1], situa-se em uma curva de indiferença mais baixa, propiciando, 
portanto, um menor nível de satisfação. 
 
Preferências quase-lineares 
Para preferências quase-lineares, as curvas de indiferença são versões deslocadas de uma curva de 
indiferença. No diagrama a seguir, temos a representação de curvas de indiferença para preferências quase-
lineares em relação ao bem 2. 
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Uma relação de preferência quase-linear em relação ao bem 2 pode ser representada pela seguinte função 
utilidade: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑣(𝑥1) + 𝑥2 
|𝑇𝑀𝑆| = 𝑣′(𝑥1) 
Você deve ter notado que a TMS depende exclusivamente da quantidade do bem 1 quando a preferência é 
quase-linear em relação ao bem 2. De fato, nesse tipo de preferência, a TMS depende somente da quantidade 
de um dos bens. 
Preferências lexicográficas 
As preferências lexicográficas seguem a lógica da organização dos dicionários: quando vamos colocar 
palavras em ordem alfabética, primeiro verificamos o ordenamento da primeira letra (independente das demais); 
se houver coincidência na primeira letra, analisamos a segunda; e assim sucessivamente. Nesse sentido, sejam as 
cestas 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2) e 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2). As preferências lexicográficas são definidas como: 
𝑥 ≽ 𝑦 ↔ {𝑥1 > 𝑦1} 𝑜𝑢 {𝑥1 = 𝑦1 𝑒 𝑥2 ≥ 𝑦2 } 
O consumidor prefere a cesta com maior quantidade do bem 1, independente do bem 2. Caso haja empate 
na quantidade desse bem, o consumidor prefere a cesta com mais unidades do bem 2. Se as quantias de todos os 
bens forem iguais, as cestas são indiferentes para o consumidor. 
Conforme verificamos no gráfico abaixo, não podemos formar curvas de indiferença para essas preferências, 
teremos, na verdade, pontos de indiferença. 
 
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Iremos, agora, a continuidade das preferências lexicográficas. Sejam as cestas 𝑥 e 𝑦, conforme vemos no 
gráfico acima. A cesta 𝑥 é preferida a 𝑦 (𝑥 ≻ 𝑦): ambas têm a mesma quantidade do bem 1, mas 𝑥 tem mais 
unidades do bem 2. Você pode perceber que na vizinhança de 𝑥, existem cestas que são inferiores a 𝑦 (de modo 
que haja uma inversão abrupta nas preferências do consumidor). Nesse sentido, as preferências lexicográficas 
não são contínuas. 
Vamos ver um exemplo que mostra que as preferências lexicográficas não são contínuas. Sejam as sequências de cestas 𝑥𝑛 =
(1/𝑛, 0) e 𝑦𝑛 = (0,1). Para todo 𝑛, temos 𝑥𝑛 ≻ 𝑦𝑛, pois 1/𝑛 > 0. 
Será que essa relação de preferência é preservada no limite? Temos lim
𝑛→∞
𝑦𝑛 = (0,1) ≻ (0,0) = lim
𝑛→∞
𝑥𝑛. Ou seja, o 
ordenamento das cestas se inverte no limite, de forma que as referências lexicográficas não sejam contínuas. 
As preferências lexicográficas são racionais, fortemente monotônicas e estritamente convexas, mas NÃO 
são contínuas. 
 
 
 
 
Males 
Temos um mal quando aumentos na quantidade consumida reduzem o nível de satisfação do consumidor. 
Na figura a seguir são representadas curvas de indiferença com um bem no eixo horizontal e um mal no eixo 
vertical. Você pode perceber que as curvas de indiferença têm inclinação positiva (ou seja, TMS positiva), 
indicando que aumentos na quantidade consumida do mal devem ser compensadas por aumentos no consumo do 
bem. Por fim, um mal viola a hipótese da monotonicidade. 
 
Mais uma questão para a gente praticar! 
ANPEC – 2000 – Questão 1 
Com base na abordagem ordinal da teoria do consumidor é correto afirmar que: 
(4) Taxa marginal de substituição positiva implica que um dos produtos é um desbem. 
ATENÇÃO! 
Como essa relação de preferência não é contínua, NÃO é possível construir uma 
função utilidade para as preferências lexicográficas. 
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RESOLUÇÃO: 
A taxa marginal de substituição entre dois bens pode ser escrita como: 
𝑇𝑀𝑆 = −
𝑈𝑚𝑔1
𝑈𝑚𝑔2
 
Se a TMS é positiva, uma das utilidades marginais é negativa, indicando que temos um mal (desbem). 
Resposta: VERDADEIRO 
Neutros 
Um bem é classificado como neutro quando a quantidade consumida não interfere na satisfação do 
consumidor. No gráfico a seguir, o bem 2 é neutro, enquanto que mais unidades do bem 1 geram um maior nível 
de satisfação para o indivíduo, de forma que as curvas de indiferença tenham o formato de linhas verticais. Nesse 
caso, a TMS é infinita em qualquer ponto da curva. 
 
Função Elasticidade de Substituição Constante (CES) 
A função utilidade CES (do inglês constant elasticity of substitution) tem um formato especial, ela apresenta 
a elasticidade de substituição constante (não se preocupe, que veremos em aula posterior o que é elasticidade de 
substituição, mas já lhe adianto que ela capta o grau de facilidade/dificuldade em que o consumidor troca um bem 
por outro). 
Considere que existem apenas dois bens, cujas quantidades são denotadas por 𝑥1 e 𝑥2. Então, a função 
utilidade CES pode ser escrita como: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = [𝛼1𝑥1
𝜌
+ α2𝑥2
𝜌
]
1
𝜌 
Dependendo do valor do parâmetro 𝜌, essa função representa algumas preferências conhecidas. 
 𝜌 > 1: curvas de indiferença côncavas em relação à origem 
 𝜌 ≤ 1: preferências convexas 
 𝜌 = 1: substitutos perfeitos 
 𝜌 = 0: Cobb-Douglas 
 𝜌 = −∞: complementares perfeitos 
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Outra representação da função utilidade CES que você pode ver é a seguinte: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) =
𝑎𝑥1
𝜌
𝜌
+
𝑏𝑥2
𝜌
𝜌
, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝜌 ≠ 0 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎 ln 𝑥1 + 𝑏 ln 𝑥2 , 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝜌 = 0 
Preferências homotéticas 
Uma função 𝒗:ℝ+
𝒏 → ℝ é dita uma função homotética se é uma transformação monotônica 
(estritamente crescente) de uma função homogênea. Ou seja, existe uma transformação monotônica 𝑧 ⟼ 𝑔(𝑧) 
de ℝ+ e uma função homogênea 𝑢:ℝ+
𝑛 → ℝ+ tal que 𝑣(𝑥) = 𝑔(𝑢(𝑥)) para todo 𝑥 no domínio. 
Mais especificamente, uma relação de preferência é homotética se, e somente se, admite uma função de 
utilidade homogênea de grau um: 
𝑢(𝜆𝑥) = 𝜆𝑢(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝜆 > 0 
Seja a função 𝑢:ℝ+
𝑛 → ℝ uma transformação monotônica. Então, 𝑢 é homotética se, e somente se, para 
quaisquer cestas de consumo 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+
𝑛 : 
𝑢(𝑥) ≥ 𝑢(y) ↔ 𝑢(𝛼𝑥) ≥ 𝑢(αy) ∀ 𝛼 > 0 
Em relação às curvas de indiferença de preferências homotéticas, essas curvas estão relacionadas por meio 
de uma expansão proporcional ao longo de raios que partem da origem. Isto é, 
𝑠𝑒 𝑥 ∼ 𝑦 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝛼𝑥 ∼ 𝛼𝑦 ∀ 𝛼 ≥ 0 𝑒 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 
O gráfico a seguir ilustra curvas de indiferença para preferências homotéticas. 
 
Aolongo desses raios que partem da origem, a TMS é constante. Em outras palavras, no caso de funções 
homotéticas, a TMS é uma função homogênea de grau zero. Para quaisquer i e j, e qualquer cesta de consumo 
𝑥 ∈ ℝ+
𝑛 : 
−
𝑈𝑚𝑔𝑥𝑖(𝑡𝑥)
𝑈𝑚𝑔𝑥𝑗(𝑡𝑥)
= −
𝑈𝑚𝑔𝑥𝑖(𝑥)
𝑈𝑚𝑔𝑥𝑗(𝑥)
 ∀ 𝑡 > 0 
Ou seja, multiplicar a quantidade de todos os bens por uma mesma constante positiva não altera a taxa 
marginal de substituição entre eles. 
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Além disso, para preferências homotéticas, a TMS depende apenas da razão entre 𝒙𝐢 e 𝒙𝐣, e não da 
quantidade absoluta dos bens. 
 
 
 
 
 
Vamos ver uma questão de prova que aborda esse assunto: 
ANPEC – 2000 – Questão 2 
Em relação às funções de utilidade dos consumidores é correto afirmar que: 
(3) Caso a função utilidade do consumidor seja homotética, a taxa marginal de substituição depende apenas das 
quantidades relativas dos bens consumidos e não das quantidades absolutas. 
RESOLUÇÃO: 
Acabamos de ver que quando as preferências são homotéticas, a TMS depende apenas da razão entre as 
quantidades consumidas, e não da quantidade absoluta dos bens. 
Resposta: VERDADEIRO 
Tubo bem até aqui? Vamos continuar, né... Sempre se lembrando de beber água! 
Restrição Orçamentária 
Nessa parte da aula, vamos estudar a restrição orçamentária do consumidor. As pessoas não têm condições 
de adquirir todas as cestas de bens que desejam (infelizmente... rsrsrs). Essa limitação é imposta pela escassez de 
recursos e pelos preços dos bens. 
Sejam 𝑝𝑖 o preço do bem i; 𝑝 = (𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛), o vetor de preços dos n bens; e m, a renda (fixa) que o 
indivíduo tem para gastar com o consumo desses bens. Estamos assumindo que não há preços negativos e que os 
consumidores, individualmente, não afetam o preço vigente no mercado. 
A restrição orçamentária postula que o gasto do consumidor com determinada cesta de bens não pode ser maior do que 
o montante de renda que possui: 
𝒑𝟏𝒙𝟏 + 𝒑𝟐𝒙𝟐 +⋯+ 𝒑𝒏𝒙𝒏 ≤ 𝒎 𝒐𝒖 ∑𝒑𝒊𝒙𝒊 ≤ 𝒎
𝒏
𝒊=𝟏
 
O termo 𝒑𝒊𝒙𝒊 indica a quantia de dinheiro gasta na aquisição do bem i. 
Podemos definir o conjunto orçamentário, denotado por 𝐵𝑝,𝑚, que contém as cestas compatíveis com a 
restrição orçamentária, isto é, aquelas cestas cujo custo não excede a renda: 
ATENÇÃO! 
São exemplos de preferências homotéticas: preferências Cobb-Douglas, 
complementares perfeitos, substitutos perfeitos e função CES. 
Preferências quase-lineares NÃO são homotéticas. 
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𝐵𝑝,𝑚 = {𝑥 ∈ 𝑋:∑𝑝𝑖𝑥𝑖 ≤ 𝑚
𝑛
𝑖=1
} 
Existem duas propriedades desse conjunto que é bom você saber: 
1) 𝑩𝒑,𝒎 é um conjunto convexo – a combinação linear entre duas cestas pertencentes ao conjunto orçamentário 
também estará em 𝐵𝑝,𝑚. 
A convexidade de 𝐵𝑝,𝑚 decorre da convexidade do conjunto consumo, X. 
2) 𝑩𝒑,𝒎 é homogêneo de grau zero em relação aos preços e à renda – multiplicar a renda e os preços de todos 
os bens por uma mesma constante positiva não altera o conjunto orçamentário do consumidor (e também não 
altera a escolha ótima desse consumidor). 
A fronteira do conjunto orçamentário, denotada por 𝐿𝑅𝑂𝑝,𝑚, contém as cestas que atendem a restrição 
orçamentária com igualdade, isto é, o consumidor gasta exatamente a sua renda na compra dos bens: 
𝐿𝑅𝑂𝑝,𝑚 = {𝑥 ∈ 𝑋:∑𝑝𝑖𝑥𝑖 = 𝑚
𝑛
𝑖=1
} 
No caso de 2 bens, essa fronteira é denominada reta orçamentária: 
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚 → 𝑥2 =
𝑚
𝑝2
−
𝑝1
𝑝2
𝑥1 
A razão 𝑝1/𝑝2 é conhecida como preço relativo do bem 1 em relação ao bem 2 e representa a taxa à qual o 
mercado está disposto a trocar o bem 1 pelo bem 2 (quantas unidades do bem 2 são necessárias para a aquisição 
de uma unidade do bem 1). A inclinação da reta orçamentária (negativo desse preço relativo), corresponde ao 
custo de oportunidade, indicando que para aumentar o consumo de um bem é preciso abrir mão do outro. 
Qualquer restrição orçamentária pode ser representada tendo um dos bens como unidade de conta. Esse bem é denominado 
numerário. Se o bem 2 for numerário, ele terá seu preço igual a unidade, 𝑝2 = 1, e o conjunto orçamentário passa a ser: 
𝑝1𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛 ≤ �̃�; 𝑝1 =
𝑝1
𝑝2
, … , 𝑝𝑛 =
𝑝𝑛
𝑝2
, �̃� =
𝑚
𝑝2
 
Na figura abaixo, os interceptos 𝑚/𝑝1 e 𝑚/𝑝2 correspondem à quantidade máxima que o consumidor pode 
adquirir do bem 1 e do bem 2, respectivamente. Cestas localizadas acima e à direita da reta orçamentária não 
podem ser adquiridas pelo consumidor. 
 
 
 
 
 
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Alterações na Reta Orçamentária 
O poder de compra das pessoas é afetado quando há mudanças na sua renda e/ou nos preços dos bens. 
Vejamos como a reta orçamentária se altera nessas circunstâncias. 
1) Mudanças na renda – mantendo-se os preços constantes, mudanças na renda deslocam paralelamente a reta 
orçamentária. Ou seja, a inclinação da curva (preço relativo) não se altera. 
 
2) Mudanças no preço do bem 1 – mantendo-se a renda e o preço do bem 2 constantes, mudanças no preço do 
bem 1 alteram a inclinação da reta orçamentária (o intercepto horizontal é modificado), ou seja, o preço relativo. 
 
3) Mudanças no preço do bem 2 – mantendo-se a renda e o preço do bem 1 constantes, mudanças no preço do 
bem 2 alteram a inclinação da reta orçamentária (o intercepto vertical é modificado). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Impostos – vejamos o efeito de diferentes tipos de impostos. 
4.1) Impostos sobre a quantidade – o consumidor paga uma alíquota t por unidade consumida. Ou seja, o preço 
do bem i passa de 𝑝𝑖 para (𝑝𝑖 + 𝑡), alterando a inclinação da reta orçamentária. 
4.2) Impostos ad valorem ou sobre o valor – incidem sobre o valor dos bens, e não sobre a quantidade adquirida. 
Geralmente são expressos em termos percentuais, representando um percentual 𝜏 do preço do bem. Nesse caso, 
o preço do bem i passa de 𝑝𝑖 para (1 + 𝜏)𝑝𝑖, alterando a inclinação da reta orçamentária. 
4.3) Impostos de montante fixo – o governo se apropria de um montante fixo de renda, que não depende do 
comportamento dos indivíduos. Logo, há uma redução de renda, provocando um deslocamento paralelo e para 
dentro da reta orçamentária (não altera o preço relativo). 
5) Subsídios – os subsídios afetam a reta orçamentária da mesma forma que os impostos, apenas com sinal 
algébrico trocado. 
6) Racionamento – quando o racionamento é adotado, existe uma limitação da quantidade que pode ser 
consumida. Suponha, por exemplo, que o consumo do bem 1 seja limitado a um nível máximo de �̅�1. O conjunto 
orçamentário do consumidor passa a ser representado conforme vemos na figura abaixo. A parte excluída 
corresponde às cestas disponíveis para o consumidor, mas com quantidade do bem 1 maior que o limite de �̅�1. 
 
Nós vimos como o conjunto orçamentário é afetado em cada uma das situações retratadas anteriormente 
de maneira isolada. Porém, você deve saber que pode haver uma atuação combinada de mais de uma delas. 
Equilíbrio do Consumidor 
Anteriormente nessa aula, nós estudamos as preferências e a restrição orçamentária do consumidor. Nesse 
tópico iremos juntar essas informações e entender como os indivíduos escolhem as cestas que irão adquirir. 
Lembre-se de que estamos assumindo que as pessoas escolhem as melhores cestas (que geram o maior nível 
de satisfação) pelas quais elas podem pagar. 
Outra hipótese adotada é que o consumidor tem uma relação de preferência racional, contínua, convexa e 
localmente não saciável, representadas por uma função utilidade duas vezesdiferenciável. 
Veremos o problema sob duas óticas: a maximização da utilidade e a minimização da despesa. Sem mais 
delongas, vamos direto ao ponto!  
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Maximização da Utilidade 
Sob a formulação do problema de maximização da utilidade, o indivíduo irá escolher a cesta de consumo, 
𝒙 = (𝒙𝟏, … , 𝒙𝒏), que maximiza sua utilidade, dada sua restrição orçamentária, ou seja, dada sua renda 𝒎 e o 
vetor de preços dos bens 𝒑 = (𝒑𝟏, … , 𝒑𝒏). Algebricamente, podemos escrever como: 
max
𝑥1,… ,𝑥𝑛
𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 ∑𝑝𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
≤ 𝑚; 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,… , 𝑛 
A priori podemos resolver esse problema utilizando as condições de Kuhn-Tucker. 
Assumindo a monotonicidade das preferências (quanto mais, melhor), o consumidor irá gastar toda a sua 
renda no consumo dos bens, isto é: 
𝑝1𝑥1 +⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛 = 𝑚 
A solução desse problema existe se preços e renda forem positivos; e as preferências do consumidor, 
contínuas. O método de solução utilizado, supondo que a função utilidade é diferenciável, é o método do 
multiplicador de Lagrange. O Lagrangeano desse problema pode ser escrito como: 
𝐿 = 𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) + 𝜆(𝑚 − 𝑝1𝑥1 −⋯− 𝑝𝑛𝑥𝑛) 
Pelas condições de primeira ordem, devemos derivar o Lagrangeano em relação a cada 𝑥𝑖 e a 𝜆, e igualar 
tais derivadas a zero: 
{
 
 
𝜕𝐿
𝜕𝑥𝑖
= 0 ∀ i = 1,… , n
𝜕𝐿
𝜕𝜆
= 0
 
Combinando as condições de primeira ordem e assumindo solução interior (quantidades demandadas 
positivas), chegamos às seguintes condições: 
{
 
 
 
 |𝑇𝑀𝑆| =
𝑈𝑚𝑔𝑖
𝑈𝑚𝑔𝑗
=
𝑝𝑖
𝑝𝑗
∑𝑝𝑖𝑥𝑖
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝑚
 
Se as preferências do consumidor forem convexas, então as condições de segunda ordem para que o ótimo 
seja um ponto de máximo estão atendidas. No caso de preferências estritamente convexas, há apenas um 
equilíbrio. 
 
 
 
 
A solução do problema de maximização da utilidade fornece a demanda Marshalliana ou demanda 
Walrasiana do consumidor, denotada por 𝑥𝑖(𝑝,𝑚). 
ATENÇÃO! 
O multiplicador de Lagrange representa a utilidade marginal da renda. Ou seja, é a 
utilidade adicional obtida com cada real gasto na compra de cada um dos bens. 
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Solução Gráfica 
Quando representamos graficamente o caso com apenas dois bens, 𝑥1 e 𝑥2, o consumidor irá escolher uma 
cesta na curva de indiferença mais alta que toca a reta de restrição orçamentária. Teremos, portanto, a tangência 
entre as duas curvas de forma que, sendo a taxa marginal de substituição definida, as inclinações de ambas as 
curvas serão iguais: 
|𝑇𝑀𝑆| =
𝑈𝑚𝑔1
𝑈𝑚𝑔2
=
𝑝1
𝑝2
 
 
Cestas situadas na curva de indiferença �̅�2 fornecem um nível de satisfação mais elevado, porém não estão 
disponíveis (estão fora do conjunto orçamentário do consumidor). 
Essa condição de tangência é uma condição necessária para o equilíbrio do consumidor, e será uma 
condição necessária e suficiente para o caso das preferências convexas. 
A condição de ótimo pode ser reescrita como: 
𝑈𝑚𝑔1
𝑝1
=
𝑈𝑚𝑔2
𝑝2
 
A relação acima recebe o nome de princípio da igualdade marginal: o consumidor maximiza sua utilidade 
quando a utilidade marginal por unidade de renda for igual para todos os bens. 
Pontos Fora do Equilíbrio 
Se a TMS for diferente da razão de preços (ou seja, a taxa que o consumidor está disposto a trocar um bem 
pelo outro é diferente da taxa com a qual o mercado troca um bem pelo outro), o consumidor pode aumentar sua 
satisfação alterando sua cesta de consumo. Ou seja, estamos fora do ponto de equilíbrio. 
 Caso 1: TMS maior que a razão de preços 
𝑈𝑚𝑔1
𝑈𝑚𝑔2
>
𝑝1
𝑝2
→
𝑈𝑚𝑔1
𝑝1
>
𝑈𝑚𝑔2
𝑝2
 
No gráfico a seguir, a inclinação da curva de indiferença (TMS) é maior que a razão de preços no ponto 𝑥′. O 
consumidor pode atingir uma curva de indiferença mais alta (ficando em uma melhor situação) se trocar parte do 
consumo do bem 2 pelo bem 1 (o bem 1 tem um ganho adicional por unidade de renda superior ao bem 2). 
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 Caso 2: TMS menor que a razão de preços 
𝑈𝑚𝑔1
𝑈𝑚𝑔2
<
𝑝1
𝑝2
→
𝑈𝑚𝑔1
𝑝1
<
𝑈𝑚𝑔2
𝑝2
 
No ponto 𝑥′′ na figura abaixo, a TMS é menor que a inclinação da restrição orçamentária. Logo, o 
consumidor pode obter uma cesta melhor se trocar parte do consumo do bem 1 pelo bem 2 (agora é o bem 2 quem 
fornece um ganho adicional por unidade de renda mais alto). 
 
Casos Malcomportados 
As representações gráficas a seguir (da esquerda para a direita) mostram casos em que temos, 
respectivamente, dois pontos de equilíbrio, infinitos equilíbrios e uma situação em que a TMS não é definida (logo, 
não vale a condição de tangência). O último gráfico representa o equilíbrio no caso de bens complementares 
perfeitos. 
 
 
 
 
 
 
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Solução de Canto 
Uma solução de canto ocorre quando a quantidade consumida de um dos bens é nula, de forma que o 
consumidor gaste toda a sua renda no outro bem (ótimo situado sobre um dos eixos). Quando temos uma solução 
de canto, a condição de tangência entre a curva de indiferença e a reta orçamentária NÃO é válida. 
A figura a seguir representa duas possibilidades: no gráfico da esquerda, quando a curva de indiferença é 
menos inclinada que a reta orçamentária, o consumidor gasta toda a sua renda no consumo do bem 2 (dado que 
esse bem fornece um ganho marginal por unidade monetária mais alto); já no gráfico do lado direito, quando a 
curva de indiferença é mais inclinada que a reta orçamentária (TMS é maior que a razão de preços), o indivíduo 
consome apenas o bem 1. 
 
Em geral, preferências que representam bens substitutos perfeitos geram solução de canto. 
Isso acontece porque normalmente as pessoas escolhem consumir os bens relativamente mais baratos. Mas 
se as inclinações da curva de indiferença e da reta orçamentária forem iguais, qualquer cesta sobre a reta 
orçamentária é um ponto de ótimo para esse consumidor. 
Outro caso em que há uma solução de canto: preferências côncavas. No gráfico abaixo, você pode notar 
que existe um ponto de tangência entre a curva de indiferença e a reta orçamentária, ou seja, atende a condição 
necessária do ótimo. Porém, esse ponto não representa um equilíbrio, pois NÃO está situado na curva de 
indiferença mais alta que toca a restrição orçamentária. Dessa forma, temos uma solução de canto (especialização 
no consumo de um dos bens). O bem a ser consumido depende da comparação das inclinações das curvas. 
 
 
 
 
 
 
 
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Demanda Marshalliana 
A função demanda (ou função demanda Marshalliana), 𝒙𝒊(𝒑,𝒎), associa uma escolha ótima do consumidor a cada vetor 
de preços positivos e renda. 
 
 
 
 
 
Um detalhe importante que você deve saber: o nível de utilidade varia ao longo da curva de demanda 
Marshalliana (veremos isso com mais detalhes em aula posterior). 
Propriedades da Demanda Marshalliana 
Suponha que u(. ) é uma função utilidade contínua representando uma relação de preferência localmente não saciável. Então 
a demanda Marshalliana 𝑥(𝑝,𝑚) possui as seguintes propriedades: 
1) Homogeneidade de grau zero – a função demanda Marshalliana é homogênea de grau zero nos preços e na renda, ou seja, 
multiplicar todos os preços e a renda por uma mesma constante positiva não altera a demanda Marshalliana: 
𝑥(𝛼𝑝, 𝛼𝑚) = 𝑥(𝑝,𝑚) ∀ 𝑝,𝑚 e 𝛼 > 0 
2) Satisfaz a Lei de Walras – o consumidor gasta toda a renda no consumo dos bens: 
∑𝑝𝑖𝑥𝑖(𝑝,𝑚)= 𝑚
𝑛
𝑖=1
 
3) Unicidade/concavidade – se as preferências são convexas (de modo que a função utilidade é quase-côncava), então 
𝑥(𝑝,𝑚) é um conjunto convexo. Se as preferências são estritamente convexas (de modo que a função utilidade é estritamente 
quase-côncava), então 𝑥(𝑝,𝑚) consiste em um único elemento. 
Tudo bem até aqui? Espero que sim. Esse assunto da aula de hoje cai bastante nas provas da Anpec . 
Exemplos de Demanda Marshalliana 
Nessa parte da aula vamos aprender como são as demandas Marshallianas de algumas preferências que nós 
já conhecemos. Como o tempo é um recurso escasso na hora da prova, é importante que você já chegue sabendo 
o formato da demanda das preferências mais usuais (sem nem precisar resolver o problema de maximização do 
consumidor). 
 Vamos começar com a Cobb-Douglas, um tipo de preferência bastante recorrente nas questões. 
Cobb-Douglas 
Inicialmente vamos relembrar o formato de uma utilidade Cobb-Douglas: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏, 𝑎, 𝑏 > 0 
- Normalmente quando vemos a expressão “demanda” na prova, ela está se referindo
a demanda Marshalliana. Quando se quer tratar da demanda Hicksiana, o item deixa
isso claro.
- As expressões demanda Marshalliana, demanda Walrasiana e demanda NÃO
compensada são sinônimas.
Observações
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Pelas condições de primeira ordem do problema de maximização da utilidade, temos: 
{
|𝑇𝑀𝑆| =
𝑈𝑚𝑔𝑥1
𝑈𝑚𝑔𝑥2
=
𝑝1
𝑝2
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚
 
Resolvendo esse sistema, obtemos as demandas Marshallianas: 
𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑚) =
𝑎
𝑎 + 𝑏
𝑚
𝑝1
 𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =
𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑚
𝑝2
 
Considerações sobre a demanda Marshalliana para uma Cobb-Douglas 
1) O consumidor gasta uma parcela fixa da renda em cada bem: 
𝑝1𝑥1
∗(𝑝,𝑚)
𝑚
=
𝑎
𝑎 + 𝑏
 
𝑝2𝑥2
∗(𝑝,𝑚)
𝑚
=
𝑏
𝑎 + 𝑏
 
2) Bens independentes – a demanda de um bem não é afetada pelo preço do outro. 
3) A solução é sempre interior – a quantidade demandada de ambos os bens é positiva. 
Substitutos Perfeitos 
Sejam dois bens substitutos perfeitos, com função utilidade dada por: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎𝑥1 + 𝑥2 𝑎 > 0 
A taxa marginal de substituição é: 
𝑇𝑀𝑆 = 𝑎 
Vimos anteriormente, que, em geral, quando os bens são substitutos perfeitos teremos uma solução de 
canto (vai depender da comparação das inclinações da curva de indiferença e da reta orçamentária). Se você 
quiser, pode voltar algumas páginas e rever a figura que retrata as soluções de canto antes de prosseguir. 
Quando os bens são substitutos perfeitos, não é válida a condição de tangência. 
As demandas Marshallianas dos bens 1 e 2 podem ser escritas como: 
𝑥1
∗(𝑝,𝑚) =
{
 
 
 
 0; 𝑠𝑒 
𝑝1
𝑝2
> 𝑎
0 ≤ 𝑥1
∗(𝑝,𝑚) ≤
𝑚
𝑝1
; 𝑠𝑒 
𝑝1
𝑝2
= 𝑎
𝑚
𝑝1
; 𝑠𝑒 
𝑝1
𝑝2
< 𝑎
 𝑥2
∗(𝑝,𝑚) =
{
 
 
 
 
𝑚
𝑝2
; 𝑠𝑒 
𝑝1
𝑝2
> 𝑎
0 ≤ 𝑥2
∗(𝑝,𝑚) ≤
𝑚
𝑝2
; 𝑠𝑒 
𝑝1
𝑝2
= 𝑎
0; 𝑠𝑒 
𝑝1
𝑝2
< 𝑎
 
Complementares Perfeitos 
Considere, agora, bens complementares perfeitos: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = min{𝑎𝑥1, 𝑥2} 𝑎 > 0 
O equilíbrio será um vértice da curva de indiferença sobre a reta orçamentária (não temos a tangência entre 
as curvas): 
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{
𝑥2 = 𝑎𝑥1
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚
 
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos que as demandas Marshallianas são: 
𝑥1
∗(𝑝,𝑚) =
𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
 𝑥2
∗(𝑝,𝑚) =
𝑎𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
 
Graficamente: 
 
Preferências Quase-Lineares 
Seja uma preferência quase-linear em relação ao bem 2: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑣(𝑥1) + 𝑥2 
Para obtermos uma solução explícita, considere a seguinte função utilidade: 
𝑢(𝑥1, 𝑥2) = ln 𝑥1 + 𝑥2 
Pelas condições de primeira ordem do problema de maximização da utilidade: 
{
|𝑇𝑀𝑆| =
𝑈𝑚𝑔𝑥1
𝑈𝑚𝑔𝑥2
=
𝑝1
𝑝2
𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚
 
Resolvendo esse sistema, obtemos a seguinte solução interior (que é válida somente quando 𝑝2 < 𝑚). As 
demandas Marshallianas são: 
𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =
𝑝2
𝑝1
 𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =
𝑚 − 𝑝2
𝑝2
 
Agora, considere que 𝑝2 ≥ 𝑚. Nesse caso teremos uma solução de canto: 
𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =
𝑚
𝑝1
 𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑚) = 0 
Tenha atenção quanto às diferenças nas condições de ótimo e nos resultados entre solução interior e solução 
de canto no caso de preferências quase-lineares (isso já caiu em prova). 
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Neutros e Males 
Nesses casos, o consumidor irá gastar toda a sua renda com o bem que ele gosta. 
Função Utilidade Indireta 
A função utilidade mostra a relação entre a utilidade do consumidor e a quantidade consumida dos bens. 
Mas sabemos que a demanda dos consumidores é afetada pelos preços dos bens e pela renda. Nesse sentido, 
convém falarmos da função utilidade indireta. 
A função utilidade indireta, denotada por 𝒗(𝒑,𝒎), relaciona a utilidade com os preços dos bens e a renda. Ela 
corresponde ao valor da função utilidade no ponto ótimo (função valor associada ao problema de maximização da 
utilidade). 
Ou seja, substituímos as demandas Marshallianas na função utilidade: 
𝑣(𝑝,𝑚) = 𝑢(𝑥1
∗(𝑝,𝑚),… , 𝑥𝑛
∗(𝑝,𝑚)) 
É importante saber que a função utilidade indireta depende da representação da utilidade. 
Isto é, se 𝑣(𝑝,𝑚) é a função utilidade indireta sob 𝑢(𝑥), então a função utilidade indireta associada a �̃�(𝑥) =
𝑓(𝑢(𝑥)) é �̃�(𝑝,𝑚) = 𝑓(𝑣(𝑝,𝑚)). 
Propriedades da Função Utilidade Indireta 
Suponha que 𝑢(. ) é uma função utilidade contínua representando uma relação de preferência localmente não saciável. Então 
a função utilidade indireta 𝑣(𝑝,𝑚) possui as seguintes propriedades: 
1) Homogênea de grau zero em (𝒑,𝒎) – multiplicar todos os preços e a renda por uma mesma constante positiva não altera 
a utilidade indireta: 
𝑣(𝛼𝑝, 𝛼𝑚) = 𝑣(𝑝,𝑚) ∀ 𝛼 > 0 
2) Estritamente crescente na renda – Se 𝑚1 > 𝑚0, então 𝑣(𝑝,𝑚1) > 𝑣(𝑝,𝑚0) 
3) Não crescente nos preços – Se 𝑝1 > 𝑝0, então 𝑣(𝑝1, 𝑚) ≤ 𝑣(𝑝0, 𝑚) 
4) Quase-convexa em (𝒑,𝒎) – Se 𝑣(𝑝1, 𝑚1) ≤ 𝑣(𝑝0, 𝑚0), então: 
𝑣(𝛼𝑝0 + (1 − 𝛼)𝑝1, 𝛼𝑚0 + (1 − 𝛼)𝑚1) ≤ 𝑣(𝑝0, 𝑚0) ∀ 0 < 𝛼 < 1 
A quase convexidade da função utilidade indireta não depende da convexidade da função utilidade. 
5) Contínua nos preços e na renda. 
Solução interior (𝒑𝟐 < 𝒎)
- A demanda pelo bem 1 NÃO DEPENDE
da renda (veremos em uma aula posterior
que isso implica um efeito renda nulo).
- É válida a condição de tangência.
Solução de canto (𝒑𝟐 ≥ 𝒎)
- A demanda pelo bem 1 DEPENDE da
renda.
- Não se verifica a tangência entre a curva
de indiferença e a reta de restrição
orçamentária.
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Você sabia que é possível recuperar as demandas Marshallianas a partir da função utilidade indireta? 
Conseguimos isso utilizando a identidade de Roy. 
Por meio da Identidade de Roy, podemos obter a relação entre a função utilidade indireta e as demandas Marshallianas. Se 
𝑣(𝑝,𝑚) for diferenciável: 
𝑥𝑖(𝑝,𝑚) = −
𝜕𝑣(𝑝,𝑚)
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝑣(𝑝,𝑚)
𝜕𝑚
 𝑖 = 1,… , 𝑛 
Exemplos de Função Utilidade Indireta 
Vamos verificar a função utilidade indireta para três exemplos de preferências (como você já sabe, essas 
preferências despencam na prova da Anpec). 
Preferências Cobb-Douglas 
Função utilidade: 𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏 , 𝑎, 𝑏 > 0 
Demandas Marshallianas: 
𝑥∗(𝑝1, 𝑝2,𝑚) = (
𝑎
𝑎 + 𝑏
𝑚
𝑝1
,
𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑚
𝑝2
) 
Substituindo as demandas Marshallianas na função utilidade, obtemosa função utilidade indireta: 
𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) = (
𝑎
𝑎 + 𝑏
𝑚
𝑝1
)
𝑎
(
𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑚
𝑝2
)
𝑏
= (
𝑎
𝑝1
)
𝑎
(
𝑏
𝑝2
)
𝑏
(
𝑚
𝑎 + 𝑏
)
𝑎+𝑏
 
Complementares Perfeitos 
Função utilidade: 𝑢(𝑥1, 𝑥2) = min {𝑎𝑥1, 𝑥2} 
Demandas Marshallianas: 
𝑥∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) = (
𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
,
𝑎𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
) 
Substituindo as demandas Marshallianas na função utilidade, obtemos a função utilidade indireta: 
𝑣(𝑝1, 𝑝2,𝑚) = min {𝑎
𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
,
𝑎𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
} =
𝑎𝑚
𝑝1 + 𝑎𝑝2
 
Substitutos Perfeitos 
Função utilidade: 𝑢(𝑥1, 𝑥2) = 𝑎𝑥1 + 𝑥2 
Demandas Marshallianas: 
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𝑥∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =
{
 
 
 
 {(0,
𝑚
𝑝2
)} ; 𝑠𝑒 𝑝1 > 𝑎𝑝2
{(𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝑋: 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚}; 𝑠𝑒 𝑝1 = 𝑎𝑝2
{(
𝑚
𝑝1
, 0)} ; 𝑠𝑒 𝑝1 < 𝑎𝑝2
 
Substituindo as demandas Marshallianas na função utilidade, obtemos a função utilidade indireta: 
𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑚) =
{
 
 
 
 
𝑚
𝑝2
; 𝑠𝑒 𝑝1 > 𝑎𝑝2
𝑎
𝑚
𝑝1
=
𝑚
𝑝2
; 𝑠𝑒 𝑝1 = 𝑎𝑝2
𝑎
𝑚
𝑝1
; 𝑠𝑒 𝑝1 < 𝑎𝑝2
 → 𝑣(𝑝1, 𝑝2,𝑚) =
𝑎𝑚
min {𝑝1, 𝑎𝑝2}
 
Minimização da Despesa 
O problema de minimização da despesa é o dual do problema de maximização da utilidade. Sob esta ótica, 
o consumidor irá escolher a cesta de consumo que minimiza sua despesa, considerando um patamar mínimo 
de utilidade que deve ser obtido. Algebricamente, podemos escrever como: 
min
𝑥1,… ,𝑥𝑛
∑𝑝𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ≥ �̅�; 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,… , 𝑛 
O método de solução utilizado, supondo que a função utilidade é diferenciável e que a restrição seja válida 
na igualdade, é o método do multiplicador de Lagrange. 
Quando 𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑈, o Lagrangeano desse problema que pode ser escrito como: 
𝐿 =∑𝑝𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝜆(�̅� − 𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛)) 
As condições de primeira ordem são: 
{
 
 
𝜕𝐿
𝜕𝑥𝑖
= 0 ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛
𝜕𝐿
𝜕𝜆
= 0
 
Combinando esses resultados e assumindo uma solução interior, obtemos: 
{
|𝑇𝑀𝑆| =
𝑈𝑚𝑔𝑥𝑖
𝑈𝑚𝑔𝑥𝑗
=
𝑝𝑖
𝑝𝑗
𝑈(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = �̅�
 
Solução Gráfica 
A linha isocusto é a curva de nível da função objetivo (a reta orçamentária) e tem a forma 𝒑𝟏𝒙𝟏 + 𝒑𝟐𝒙𝟐 = 𝒌, sendo 𝒌 o 
nível de gasto. 
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Graficamente, a solução fica sobre a linha isocusto mais baixa que toca a curva de indiferença (restrição do 
problema). Veja que o ponto de equilíbrio localiza-se na tangência entre as duas curvas. 
 
Demanda Hicksiana 
A solução do problema de minimização da despesa fornece a demanda compensada ou demanda Hicksiana, 
denotada por ℎ𝑖(𝑝, 𝑢). 
Propriedades da Demanda Hicksiana 
Suponha que 𝑢(. ) é uma função utilidade contínua representando uma relação de preferência localmente não saciável. Então 
a demanda Hicksiana ℎ(𝑝, 𝑢) possui as seguintes propriedades: 
1) Homogênea de grau zero nos preços – multiplicar todos os preços por uma mesma constante positiva não altera a 
demanda Hicksiana: 
ℎ(𝛼𝑝, 𝑢) = ℎ(𝑝, 𝑢) ∀ 𝛼 > 0 
2) Não excede a utilidade – no ponto de equilíbrio, temos: 
𝑈(ℎ1, … , ℎ𝑛) = 𝑈 
3) Unicidade/concavidade – se as preferências são convexas, então ℎ(𝑝, 𝑢) é um conjunto convexo. Se as preferências são 
estritamente convexas, então ℎ(𝑝, 𝑢) consiste em um único elemento. 
Demanda Hicksiana e a Lei da Demanda Compensada 
Suponha que u(.) é uma função utilidade contínua representando uma relação de preferência localmente 
não saciável e que ℎ(𝑝, 𝑢) consista em um único elemento para todo 𝑝 ≫ 0. 
Então a demanda Hicksiana satisfaz a Lei da Demanda Compensada. De acordo com a Lei da Demanda Compensada, a 
demanda Hicksiana de um bem é não crescente em relação ao preço desse bem. 
Ou seja, quando aumenta o preço do bem, a quantidade demandada diminui (ou não se altera): 
𝑝1
1 > 𝑝1
0 → ℎ1
1(𝑝1,
1𝑝2, 𝑢) ≤ ℎ1
0(𝑝1
0, 𝑝2, 𝑢) 
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Função Dispêndio 
A função dispêndio, também denominada função despesa, corresponde ao gasto mínimo associado ao problema de 
minimização da despesa, sendo expressa como uma função dos preços e do nível de utilidade. 
A função despesa, representada por 𝑒(𝑝, 𝑢), é obtida substituindo as demandas Hicksianas na linha 
isocusto: 
𝑒(𝑝, 𝑢) = 𝑝1ℎ1
∗(𝑝, 𝑢) + ⋯+ 𝑝𝑛ℎ𝑛
∗ (𝑝, 𝑢) 
Propriedades da Função Despesa 
Suponha que 𝑢(. ) é uma função utilidade contínua representando uma relação de preferência localmente não saciável. Então 
a função despesa 𝑒(𝑝, 𝑢) possui as seguintes propriedades: 
1) Homogênea de grau um nos preços – multiplicando todos os preços por uma mesma constante positiva, a função despesa 
fica multiplicada pela mesma constante: 
𝑒(𝛼𝑝, 𝑢) = 𝛼𝑒(𝑝, 𝑢) ∀ 𝛼 > 0 
2) Estritamente crescente na utilidade – se 𝑢1 > 𝑢0, então 𝑒(𝑝, 𝑢1) > 𝑒(𝑝, 𝑢0) 
3) Não decrescente nos preços – se 𝑝1 > 𝑝0, então 𝑒(𝑝1, 𝑢) ≥ 𝑒(𝑝0, 𝑢) 
4) Côncava nos preços: 
𝑒(𝛼𝑝0 + (1 − 𝛼)𝑝1, 𝑢) ≥ 𝛼𝑒(𝑝0, 𝑢) + (1 − 𝛼)𝑒(𝑝1, 𝑢) ∀ 0 < 𝛼 < 1 
5) Contínua nos preços e na utilidade. 
Vejamos, agora, como obter as demandas Hicksianas a partir da função despesa. 
Por meio do Lema de Shepard, podemos obter a relação entre a função despesa e as demandas Hicksianas. Se 𝑒(𝑝, 𝑢) for 
diferenciável: 
ℎ𝑖(𝑝, 𝑢) =
𝜕𝑒(𝑝, 𝑢)
𝜕𝑝𝑖
 𝑖 = 1,… , 𝑛 
Relações Entre as Funções 
Veremos nesse tópico algumas relações entre funções vistas até aqui. 
 
ATENÇÃO! 
A lei de demanda compensada não é válida para a demanda Marshalliana. 
Veremos mais adiante em nosso curso que os bens de Giffen são um exemplo que 
a violam (para esses bens, quando o preço do bem aumenta, a quantidade 
demandada também sobe). 
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Relação entre Função Utilidade Indireta e Função Dispêndio 
Em algumas questões de prova pode ser útil sabermos como obter a função despesa a partir da função 
utilidade indireta, e vice-versa. 
Nesse sentido, é importante você saber que a função utilidade indireta e a função dispêndio são inversas 
uma da outra: 
𝑣(𝑝, 𝑒(𝑝, 𝑢)) = 𝑢 
𝑒(𝑝, 𝑣(𝑝,𝑚)) = 𝑚 
Relação entre Demanda Marshalliana e Demanda Hicksiana 
A relação entre as demandas Marshalliana e Hicksiana é tal que: 
𝑥𝑖(𝑝,𝑚) = ℎ𝑖(𝑝, 𝑣(𝑝,𝑚)) 
ℎ𝑖(𝑝, 𝑢) = 𝑥𝑖(𝑝, 𝑒(𝑝, 𝑢)) 
Chegamos ao fim da parte teórica da nossa aula de hoje! Vamos treinar bastante resolvendo questões de 
provas passadas da Anpec. Então, mãos à obra!!! 
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Lista de questões 
1. ANPEC – 2003 – Questão 1 
Um consumidor possui a função utilidade cardinal dada por 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1𝑥2. Sejam 𝑀 a renda deste consumidor 
e 𝑝1 e 𝑝2, os preços: 
(0) ceteris paribus, as quantidades ótimas escolhidas por tal consumidor seriam alteradas se a função utilidade 
fosse 𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 4 + 5(𝑥1𝑥2); 
(1) as preferências do consumidor são convexas; 
(3) os dois bens são substitutos perfeitos; 
(4) a utilidade marginal da renda é dada por 𝑀/(2𝑝1𝑝2). 
2. ANPEC – 2004 – Questão 1 
A figura abaixo mostra as curvas de indiferença de um consumidor e a direção na qual a utilidade deste consumidor 
aumenta. 
 
São corretas as afirmativas: 
(0) Existe saciedade. 
(1) O indivíduo gosta da diversificação. 
(2) O bem 1 é indesejável. 
(3) No equilíbrio, o indivíduo só consome um tipo de bem. 
(4) A utilidade marginal do bem 2 é não-negativa. 
 
 
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