608894-6_-_Integral_-_Lista

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LISTA DE EXERCÍCIO 
Disc.: CÁLCULO I 
Prof. João Paulo 
“Integral” 
 
[IFCE – Campus Limoeiro do Norte] – [joaopaulo@ifce.edu.br] 
 
Data: 
 / / .
 
1 
 
1. Calcule as integrais INDEFINIDAS: 
a) (3𝑥5 + 4𝑥 + 8)𝑑𝑥 
b) 
𝑥7+𝑥2+1
𝑥2
𝑑𝑥 
c) 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 
d) 𝑥 1 − 𝑥2 𝑑𝑥 
e) 𝑥3 𝑥 𝑑𝑥 
f) 𝑥32 − 
6
 𝑥
+ 8𝑥5 +
1
𝑥2
− 𝑥 − 4 𝑑𝑥 
g) 
𝑒𝑥
2
+ 𝑥 𝑥𝑑𝑥 
h) 𝑐𝑜𝑠𝑡 − sec2 𝑡 . 𝑡𝑔𝑡 𝑑𝑡 
i) (2𝑥2 + 2𝑥 − 3)10 . 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 
j) (𝑒𝑥 + 1)3𝑒𝑥𝑑𝑥
2. Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular o valor de cada integral DEFINIDA abaixo: 
a) 6𝑥 − 1 𝑑𝑥
2
1
 
b) 6𝑥4𝑑𝑥
2
−1
 
c) 𝑥3 + 5 𝑑𝑥
3
2
 
 
d) 𝑥 2𝑥2 − 1 9𝑑𝑥
1
0
. 
e) 𝑥 + 1 𝑑𝑥
0
−1
 
f) 𝑡(𝑡2 + 1)
1
3 𝑑𝑡
0
− 7
3. Determinar a área total compreendida entre a curva y=f(x) e o eixo X no intervalo considerado: 
a) 𝑦 = 2𝑥 − 4; [0,4] 
b) 𝑦 = 𝑥2 – 2𝑥; [−3,2] 
c) 𝑦 = 3𝑥2 – 3; [−2,2] 
d) 𝑦 = 𝑥
1
3; [1,8] 
e) 𝑦 = 𝑥3 – 4𝑥; [−2,2] 
 
4. Calcule a área hachurada: 
a) b) c) 
 
5. Ache o valor da área das regiões R1, R2 e R3. 
 
 
 
𝑓 𝑥 =
1
 𝑥
3 
 
𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 4𝑥 
 
4 
 
1 
 
3 
 
𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 
 
𝑔 𝑥 = 𝑥 
 
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2 
 
6. Determinar a área entre as curvas: 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 – 2𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 𝑒 𝑔(𝑥) = 8𝑥 
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑒 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 𝑥2 𝑒 𝑔(𝑥) = 2𝑥 
e) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥2 
f) 𝑓(𝑥) = 3 − 𝑥; 𝑔(𝑥) =
𝑥
2
 𝑒 𝑕(𝑥) = 2𝑥
7. Dois carros, A e B, largam lado a lado e aceleram a partir do repouso. A figura mostra os gráficos de suas funções de 
rapidez. 
a) Qual o carro está na frente após 1 minuto? 
b) Qual o significado da área da região sombreada? 
c) Considerando que a área entre as curvas no intervalo [0,1] é 
maior do que a área entre as curvas no intervalo [1,2]. Qual o 
carro estará na frente após 2 minutos? 
d) Qual a relação das áreas sobre as curvas, quando os carros 
estiverem novamente lado a lado? 
 
8. Um móvel se desloca de acordo com a equação da velocidade por tempo escrita abaixo. Responda: 
𝑣 𝑡 = 𝑡2 − 9𝑡 + 20 
(a velocidade está km/h e o tempo em horas) 
a) Qual a distância percorrida após 10 horas da partida? 
b) A que distância do ponto inicial estava o móvel a exatos 10 horas da partida? 
9. Os móveis A e B se deslocam segundo as equações abaixo. Responda: 
A: 𝑣 𝑡 = 4𝑡 + 4 B: 𝑣 𝑡 = 𝑡2 + 𝑡 
(a velocidade está km/h e o tempo em horas) 
a) Qual a distância percorrida por A e B nos primeiros 10 horas? 
b) Qual a distância que separa os móveis após 5 horas? 
c) Considerando que eles partiram ao mesmo tempo e do mesmo lugar, haverá um novo encontro após a 
partida? Caso haja, em quem momento isto acontecerá? 
 
10. A densidade linear de uma barra de comprimento 4 metros é dada por 𝑓 𝑥 = 9 + 2 𝑥 medida em quilogramas por 
metro, onde x é medida em metros a partir de um extremo da barra. Ache a massa total da barra. 
11. A função aceleração (em m/s²) de uma partícula que parte do repouso e move-se sempre em linha reta, é dada 
abaixo. Em cada caso, responda: 
 1º CASO: 𝑎 𝑡 = 𝑡 + 4 2º CASO: 𝑎 𝑡 = 2𝑡 − 6 
a) Qual a variação de velocidade sofrida pela partícula nos 10 primeiros segundos? 
b) Qual o deslocamento da partícula nos 10 primeiros segundos? 
c) Qual a distância percorrida pela partícula nos 10 primeiros segundos? 
 
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3 
 
 
12. A figura mostra uma reta horizontal 𝑦 = 𝑐 interceptando uma curva 𝑦 = 8𝑥 − 27𝑥3. Ache o valor de 𝑐 tal que as 
regiões sombreadas tenham áreas iguais. 
 
 
 
 
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4 
 
GABARITO 
1ª QUESTÃO 
 a) 
𝑥6
2
+ 2𝑥2 + 8𝑥 + 𝐶 
 b) 
𝑥6
6
+ 𝑥 −
1
𝑥
+ 𝐶 
 c) 
1
2
𝑒2𝑥 + 𝐶 
 d) 
– 1−𝑥2 3
3
+ 𝐶 
 e) 
2𝑥
9
2
9
+ 𝐶 
 f) 
𝑥33
33
+
4
 𝑥3 
+
4
3
𝑥6 −
1
𝑥
−
𝑥2
2
− 4𝑥 + 𝐶 
 g) 
1
2
𝑒𝑥 +
2
5
𝑥
5
2 + 𝐶 
 h) 𝑠𝑖𝑛𝑡 −
1
2
 𝑡𝑔𝑡 2 + 𝐶 
 i) 
1
22
 2𝑥2 + 2𝑥 − 3 11 + 𝐶 
 j) 
 𝑒𝑥 +1 4
4
+ 𝐶
2ª QUESTÃO 
a) 6𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 8
2
1
 
b) 6𝑥4 𝑑𝑥 = 39,6
2
−1
 
c) 𝑥3 + 5 𝑑𝑥
3
2
= 85/4 
d) 𝑥 2𝑥2 − 1 9𝑑𝑥
1
0
= 0. 
e) 𝑥 + 1 𝑑𝑥
0
−1
= 2/3 
f) 𝑡(𝑡2 + 1)
1
3 𝑑𝑡 = −5,625
0
− 7
 
3ª QUESTÃO 
 a) 8 
 b) 
58
3
 
 c) 12 
 d) 
45
4
 
 e) 8
 
4ª QUESTÃO 
 a) (5𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥
4
0
− 𝑥 𝑑𝑥 = 
4
0
32
3
 
 b) 𝑥𝑑𝑥
4
1
− 
1
 𝑥
3 𝑑𝑥
4
1
= 2,38 
 c) (−𝑥2 + 4𝑥)𝑑𝑥
3
0
 - (𝑥2 − 2𝑥)𝑑𝑥
3
2
+ (𝑥2 − 2𝑥)𝑑𝑥
2
0
 = 9 
5ª QUESTÃO 
 𝑅2 = 1 − ( 𝑥)𝑑𝑥
1
0
=
1
3
 𝑅1 = (𝑥
3)𝑑𝑥
1
0
=
1
4
 𝑅3 = 𝑅2 − 𝑅1 =
1
12
 
 
 
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5 
6ª QUESTÃO 
Para resolver esses itens, procure primeiro encontrar os valores de 𝑥 onde os gráficos das funções se interceptam, 
resolvendo a equação 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) em cada caso. Depois, faça um esboço dos seus gráficos para só então calcular as 
integrais devidas. 
 a) 
 
𝐴 = 𝑥
3
0
𝑑𝑥 − 𝑥2 − 2𝑥
3
0
𝑑𝑥 + 𝑥2 − 2𝑥
2
0
𝑑𝑥 =
9
2
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 𝐴 = 8𝑥
2
0
𝑑𝑥 − 𝑥4
2
0
𝑑𝑥 =
48
5
 
 
 
 
c) 
 
 
 𝐴 = 𝑥 + 2𝑑𝑥
2
−1
− 𝑥2𝑑𝑥 =
9
2
2
−1
 
 
 
𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥
2 − 2𝑥 
𝑔 𝑥 = 8𝑥 
𝑓 𝑥 = 𝑥4 
𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 
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6 
 
d) 
 
 
𝐴 = 2𝑥𝑑𝑥 −
0
−1
 (𝑥3 − 𝑥2)𝑑𝑥
0
−1
 + 2𝑥𝑑𝑥 − (𝑥3 − 𝑥2)𝑑𝑥 + (𝑥3 − 𝑥2)𝑑𝑥
1
0
 =
19
6
2
0
2
0
 
 
e) 
 
 
 
 
 
𝐴 = (−𝑥2 + 2𝑥)𝑑𝑥
1
0
− 𝑥2𝑑𝑥
1
0
=
1
3
 
f) 
 
 
 
 
 
 
𝐴 = 2𝑥𝑑𝑥
1
0
+ (3 − 𝑥)𝑑𝑥
2
1
− 
𝑥
2
𝑑𝑥
2
0
=
3
2
 
 
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥2 
𝑔 𝑥 = 2𝑥 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 
𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥2 
𝑕 𝑥 = 2𝑥 
𝑓 𝑥 = 3 − 𝑥 
𝑔 𝑥 = 𝑥/2 
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7 
 
7ª QUESTÃO 
Note que a Área sob a curva no gráfico da velocidade por tempo, representa o deslocamento do móvel, e como nesse caso, 
as velocidades são sempre positivas, então o deslocamento é igual à distância percorrida. 
 a) A (pois área sob a curva deA é maior do que a área sob a de B, no intervalo 
 considerado). 
 b) Representa a distância que separa os móveis no exato instante 𝑡 = 1 𝑚𝑖𝑛. 
 c) Carro A. Pois a área sob a curva de A é maior do que a área sob a curva de B, no intervalo [0,2]. 
 d) As áreas serão iguais. 
8ª QUESTÃO 
 
 
a) distância percorrida é a soma dos módulos das áreas. 
𝑑𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 = (𝑡
2 − 9𝑡 + 20)𝑑𝑡 + (𝑡2 − 9𝑡 + 20)𝑑𝑡
5
4
 + (𝑡2 − 9𝑡 + 20)𝑑𝑡
10
5
=
251
3
4
0
≅ 83,66𝑘𝑚 
 
b) para encontrar o deslocamento basta encontrar a soma aritmética das áreas, ou seja, a diferença entre área acima do 
eixo X (deslocamento no sentido positivo) e a área abaixo do eixo X (deslocamento no sentido negativo da trajetória). Logo, 
basta calcular a integral em todo o intervalo. 
∆𝑠 = (𝑡2 − 9𝑡 + 20)𝑑𝑡 =
250
3
10
0
≅ 83,33 𝑘𝑚 
 
 
 
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8 
9ª QUESTÃO 
 
a) 𝑑𝐴 = (4𝑡 + 4)𝑑𝑡
10
0
= 250𝑘𝑚 𝑑𝐵 = (𝑡
2 + 𝑡)𝑑𝑡
10
0
=
1150
3
≅ 383,33𝑘𝑚 
 
 
b) 𝑑 = (4𝑡 + 4)𝑑𝑡
5
0
− (𝑡2 + 𝑡)𝑑𝑡
5
0
=
95
6
≅ 15,83 𝑘𝑚 
c) Note que exatamente após 4 horas, as velocidades são iguais, e após este momento, a velocidade de B continua 
aumentando de forma mais rápida de que a de A. Logo, como A está na frente às 4 horas, em certo momento posterior, B 
alcançará A. Suponha que este momento seja exatamente às 𝑥 horas após a partida, logo, neste momento, as áreas sob as 
curvas, devem ser iguais, isto é: 
∆𝑠𝐴 = ∆𝑠𝐵 
 (4𝑡 + 4)𝑑𝑡
𝑥
0
= (𝑡2 + 𝑡)𝑑𝑡
𝑥
0
 
Integrando os dois lados e resolvendo a equação em 𝑥, temos: 
𝑥 = 0 ou 𝑥 =
 273+9
4
≅ 6,38 𝑕𝑜𝑟𝑎𝑠 ≅ 6 𝑕𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒 22 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑒 48 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠. 
10ª QUESTÃO 
A massas da barra é o produto da sua densidade pelo seu comprimento, ou seja, é a área sob a curva da função densidade 
em função do tempo, isto é: 
𝑀𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 9 + 2 𝑥 𝑑𝑥 =
140
3
≅ 46,66 𝑘𝑔.
4
0
 
 
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9 
11ª QUESTÃO 
Como função velocidade 𝑣(𝑡) é a primitiva da aceleração 𝑎(𝑡), então, integrando esta última obteremos a primeira. Logo: 
1º CASO: 
a) ∆𝑉 0,10 = 𝑎(𝑡)
10
0
𝑑𝑡 = 𝑡 + 4 𝑑𝑡 = 90𝑚/𝑠
10
0
 
b) 𝑣 𝑡 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 + 4 𝑑𝑡 =
𝑡2
2
+ 4𝑡 + 𝐶. Como, 𝑣 0 = 0, pois o móvel partiu do repouso, então 
02
2
+ 4 0 + 𝐶 =
0 ⇒ 𝐶 = 0. Logo 𝑣 𝑡 =
𝑡2
2
+ 4𝑡. Assim, como a função do espaço 𝑆(𝑡) é a primitiva da velocidade, então: 
𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = ∆𝑆[0,10] = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 =
10
0
 
𝑡2
2
+ 4𝑡 𝑑𝑡 ≅ 367𝑚
10
0
 
c) Como a função da velocidade 𝑣 𝑡 =
𝑡2
2
+ 4𝑡 é sempre positiva no intervalo [0,10] segundos, então a área sobre a curva 
da velocidade é sempre positiva nesse intervalo, isto é, o móvel se deslocou sempre na mesma direção, e portanto, a 
distância percorrida é igual ao deslocamento. Logo, 𝑑 ≅ 367𝑚. 
 
2º CASO: 
a) ∆𝑉 0,10 = 𝑎(𝑡)
10
0
𝑑𝑡 = 2𝑡 − 6 𝑑𝑡 = 40𝑚/𝑠
10
0
 
b) 𝑣 𝑡 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑡 − 6 𝑑𝑡 = 𝑡2 − 6𝑡 + 𝐶. Como, 𝑣 0 = 0, pois o móvel partiu do repouso, então 02 − 6 0 +
𝐶 = 0 ⇒ 𝐶 = 0. Logo 𝑣 𝑡 = 𝑡2 − 6𝑡. Assim, como a função do espaço 𝑆(𝑡) é a primitiva da velocidade, então: 
𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = ∆𝑆[0,10] = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 =
10
0
 𝑡2 − 6𝑡 𝑑𝑡 ≅ 33,33 𝑚
10
0
 
c) Como a função da velocidade 𝑣 𝑡 = 𝑡2 − 6𝑡 representa uma parábola com concavidade para cima e tem raízes 𝑡 ′ = 0 e 
𝑡 ′′ = 6, então é negativa no intervalo (0,6) e positiva no intervalo (6,10] segundos, portanto a distância percorrida será o 
módulo da integral da velocidade no intervalo de [0,6] mais a integral de [6,10]. Isto é: 
 
 
𝑑 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡
6
0
 + 𝑣 𝑡 𝑑𝑡
10
6
= −36 + 69,33 ≅ 105,33𝑚 
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10 
 
12ª QUESTÃO 
Da igualdade 8𝑥 − 27𝑥3 = 𝑐 (*), temos duas possibilidades, 𝑥1 e 𝑥2. Assim: 
 
 
 
 
Como as áreas devem ser iguais, então: 
 𝑐𝑑𝑥 −
𝑥1
0
 8𝑥 − 27𝑥3 𝑑𝑥 = 8𝑥 − 27𝑥3 𝑑𝑥 −
𝑥2
𝑥1
 𝑐𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
𝑥1
0
 
Pondo as integrais com integrandos semelhantes em cada lado da equação e percebendo que os números 0, 𝑥1 e 𝑥2 
formam um intervalo contíguo, então: 
 𝑐𝑑𝑥 =
𝑥2
0
 8𝑥 − 27𝑥3 𝑑𝑥
𝑥2
0
 
 
 𝑐𝑥 0
𝑥2 = 4𝑥2 −
27
4
𝑥4 
0
𝑥2
 
Substituindo 𝑥 = 𝑥2 e 𝑐 = 8𝑥2 − 27𝑥2
3 (da equação (*)), então temos: 
8𝑥2
2 − 27𝑥2
4 = 4𝑥2
2 −
27
4
𝑥2
4 
Resolvendo em 𝑥2, temos 𝑥2 = 0 ou 𝑥2 = −
4
9
 ou 𝑥2 =
4
9
. Como, pelo gráfico, 𝑥2 é positivo, então temos que 𝑥2 =
4
9
 é a 
resposta verdadeira. Assim, substituindo 𝑥2 na equação (*), chegamos ao valor de 𝑐 =
32
27
. 
𝑥1 𝑥2