Gabarito-Prova-1-Calc4-2014.1 - Selene

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Instituto de Matemática - IM / UFRJ
Primeira Prova de Cálculo Diferencial e Integral IV
Professora Selene Alves Maia
Questão 1 : (2:5 pontos)
Utilizando a Transformada de Laplace resolva o seguinte problema de
valor inicial:
(i)
(ii)
(iii)
��������
y00(t) + 4y(t) = h(t);
y(0) = 0;
y0(0) = 1;
; onde h(t) =
�������
0; 0 6 t < �
2; � 6 t < 2�
0; t > 2�
Solução:
1a Etapa: Reescrever h(t) em termos de funções degraus.
Temos que:
BSe 0 6 t < � =) u�(t) = 0 e u2�(t) = 0 =) u�(t)� u2�(t) = 0;
BSe � 6 t < 2� =) u�(t) = 1 e u2�(t) = 0 =) u�(t)� u2�(t) = 1;
B Se t > 2� =) u�(t) = 1 e u2�(t) = 1 =) u�(t)� u2�(t) = 0:
Logo:
h(t) = 2u�(t)� 2u2�(t): (1)
2a Etapa: Aplicar o operador de Laplace à Equação (i):
Do fato que o operador de Laplace é linear, de (ii) + (iii) e de (1) obtemos:
s2$ fy(t)g � sy(0)� y0(0 + 4$ fy(t)g = 2$ fu�(t)g � 2$ fu2�(t)g =)
(s2 + 4)$ fy(t)g = 1 + 2e
��s
s
� 2e
�2s
s
=)
$ fy(t)g = 1
s2 + 4
+
2
s(s2 + 4)
� e��s � 2
s(s2 + 4)
� e�2�s:
y(t) = $�1
�
1
s2 + 4
�
+ 2 �$�1
�
e��s
s(s2 + 4)
�
� 2 �$�1 e
�2�s
s(s2 + 4)
: (2)
BDeterminar $�1
�
1
s2 + 4
�
:
Pela tabela temos que:
$�1
�
1
s2 + 4
�
=
1
2
sin 2t: (3)
1
BDeterminar $�1
�
1
s(s2 + 4)
� e��s
�
:
Pelo método da decomposição em fração parcial obtemos:
1
s(s2 + 4)
=
A
s
+
Bs+ C
s2 + 4
=)
1 = A(s2 + 4) + (Bs+ C)s =)
1 = As2 + 4A+Bs2 + Cs =)
1 = 4A+ Cs+ s2(A+B) =)
�������
4A = 1 =) A = 1=4;
C = 0;
A+B = 0 =) B = �1=4:
Logo:
1
s(s2 + 4)
=
1
4
� 1
s
� 1
4
� s
(s2 + 4)
=)
$�1
�
1
s(s2 + 4)
� e��s
�
=
1
4
�$�1
�
1
s
� e��s
�
� 1
4
�$�1
�
s
(s2 + 4)
� e��s
�
=)
$�1
�
1
s(s2 + 4)
� e��s
�
=
1
4
� u�(t)� 1
4
� u�(t) cos 2(t� �) =)
$�1
�
1
s(s2 + 4)
� e��s
�
=
1
4
� u�(t) [1� cos 2(t� �)] : (4)
BDeterminar $�1
�
1
s(s2 + 4)
� e�2�s
�
:
Pelo método da decomposição em fração parcial desenvolvido na etapa an-
terior obtemos:
$�1
�
1
s(s2 + 4)
� e�2�s
�
=
1
4
�$�1
�
1
s
� e�2�s
�
�1
4
�$�1
�
s
(s2 + 4)
� e�2�s
�
=)
$�1
�
1
s(s2 + 4)
� e�2�s
�
=
1
4
� u2�(t)� 1
4
� u2�(t) cos 2(t� 2�) =)
2
$�1
�
1
s(s2 + 4)
� e�2�s
�
=
1
4
� u2�(t) [1� cos 2(t� 2�)] : (5)
Substituindo os resultados obtidos em (3); (4) e (5) em (2) resulta que:
y(t) =
1
2
sin 2t+
1
2
u�(t) [1� cos 2(t� �)]� 1
2
u2�(t) [1� cos 2(t� 2�)] : (6)
Questão 2 : (2:5 pontos)
Classi…que cada uma das séries dadas abaixo em absolutamente convergente,
condicionalmente convergente ou divergente, justi…cando suas a…rmações:
a) (0:6)
1X
n=1
(�1)n cosn
n2
; b) (1:3)
1X
n=1
(�1)n ln
�
n+ 1
n
�
; c) (0:6)
1X
n=1
n!
en
Solução:
a)
�Análise da série
1X
n=1
���� (�1)n cosnn2
���� :
Temos que: ���� (�1)n cosnn2
���� = j(�1)nj ���cosnn2 ��� = jcosnjn2 6 1n2 : (7)
Considere a série
1X
n=1
vn =
1X
n=1
1
n2
: Esta série converge, pois, p = 2 > 1:
Logo, pelo teste de comparação por séries temos que a série
1X
n=1
���� (�1)n cosnn2
����
converge=) por um teorema conhecido que a série
1X
n=1
(�1)n cosn
n2
converge.
Como a série do módulo converge e a série original também converge, segue
que a série dada converge absolutamente.
b)
�Análise da série
1X
n=1
(�1)n ln
�
n+ 1
n
�
:
B A série dada é alternada. De fato:
1X
n=1
(�1)n ln
�
n+ 1
n
�
= � ln 2 + ln
�
3
2
�
� :::+ (�1)n ln
�
n+ 1
n
�
+ ::: (8)
3
B A sequência fungn2N =
�
ln
�
1 +
1
n
��
n2N
é decrescente 8n > 1:De fato:
Considere f(x) = ln
�
x+ 1
x
�
: Logo:
f 0(x) =
1
x+ 1
x
�
�
� 1
x2
�
=)
f 0(x) =
x
x+ 1
�
�
� 1
x2
�
=)
f 0(x) = � 1
x(x+ 1)
=) f 0(x) < 0; 8x > 1: (9)
BCálculo do lim
n!1un = limn!1 ln
�
n+ 1
n
�
:
Temos que:
lim
n!1 ln
�
n+ 1
n
�
= ln
�
lim
n!1
n+ 1
n
�
=)
lim
n!1 ln
�
n+ 1
n
�
= ln
0BB@ limn!1
n
�
1 +
1
n
�
n
1CCA =)
lim
n!1 ln
�
n+ 1
n
�
= ln
�
lim
n!1
�
1 +
1
n
��
=)
lim
n!1 ln
�
n+ 1
n
�
= ln
�
lim
n!11 + limn!1
1
n
�
=)
lim
n!1 ln
�
n+ 1
n
�
= ln (1 + 0) = ln 1: (10)
De (8); (9) e (10) resulta por Leibniz que a série
1X
n=1
(�1)n ln
�
1 +
1
n
�
é con-
vergente.
�Análise da série
1X
n=1
����(�1)n ln�n+ 1n
����� = 1X
n=1
ln
�
n+ 1
n
�
:
Temos que, ln
�
n+ 1
n
�
= ln(n+ 1)� lnn: Logo:
4
��������
s1 = u1 = ln 2;
s2 = u1 + u2 = ln 2 + ln 3� ln 2 = ln 3;
s3 = u1 + u2 + u3 = ln 3 + ln 4� ln 3 = ln 4;
s4 = u1 + u2 + u3 + u4 = ln 4 + ln 5� ln 4 = ln 5:
Do que foi exposto acima conclui-se que:
sn = u1 + u2 + u3 + u4 + :::+ un = ln(n+ 1) =)
lim
n!1sn = limn!1 ln(n+ 1) = 1: (11)
De (11) segue que a série
1X
n=1
ln
�
n+ 1
n
�
é divergente. Logo, a série original
é condicionalmente convergente.
c)
Temos que:
un =
n!
en
=) un+1 = (n+ 1)!
en+1
=)
un+1
un
=
(n+ 1)!
en+1
� e
n
n!
=)
un+1
un
=
(n+ 1)n!
en+1
� e
n
n!
=)
un+1
un
=
n+ 1
e
=)
lim
n!1
un+1
un
= lim
n!1
n+ 1
e
=
1
e
lim
n!1(n+ 1) = 1: (12)
De (12)pelo teste da razão segue que a série
1X
n=1
n!
en
é divergente.
Questão 3 : (2:5 pontos)
Seja f(x) =
1X
n=2
4n
�
x� 5
4
�n
n2 lnn
: Determine em cada um dos itens abaixo:
a) (1:3 pontos) O raio e o intervalo de convergência da série de potências.
b) (1:2 ponto) Uma expressão em série de potências para f 0(x) e seu intervalo
de convergência.
5
Solução:
a)
� Cálculo do raio de convergência.Temos que:
R = lim
n!1
an
an+1
=)
R = lim
n!1
4n
n lnn
� (n+ 1) ln(n+ 1)
4n+1
=)
R =
1
4
lim
n!1
�
(n+ 1)
n
�
� lim
n!1
�
ln(n+ 1)
lnn
�
: (13)
BCálculo do lim
n!1
�
(n+ 1)
n
�
:
Temos que:
lim
n!1
�
(n+ 1)
n
�
= lim
n!1
n
�
1 +
1
n
�
n
=)
lim
n!1
�
(n+ 1)
n
�
= lim
n!1
�
1 +
1
n
�
=)
=) lim
n!1
�
(n+ 1)
n
�
= lim
n!11 + limn!1
1
n
= 1: (14)
BCálculo do lim
n!1
�
ln(n+ 1)
lnn
�
:
Temos que:
lim
n!1
�
ln(n+ 1)
lnn
�
= lim
x!1
ln(x+ 1)
lnx
=)
lim
n!1
�
ln(n+ 1)
lnn
�
= lim
x!1
1
x+ 1
1
x
=)
lim
n!1
�
ln(n+ 1)
lnn
�
= lim
x!1
x
x+ 1
=)
lim
n!1
�
ln(n+ 1)
lnn
�
= lim
x!1
1
1
= 1: (15)
Substituindo (14) e (15) em (13) resulta que:
6
R =
1
4
: (16)
� Determinar o intervalo de convergência.
Pelo teste da razaão temos que a série converge absolutamente se:
�1
4
< x� 5
4
<
1
4
=)
1 < x <
3
2
: (17)
� Seja x = 1: Logo:
f(1) =
1X
n=2
4n
�
1� 5
4
�n
n2 lnn
=)
f(1) =
1X
n=2
4n
�
�1
4
�n
n2 lnn
=)
f(1) =
1X
n=2
4n � (�1)n � 1
4n
n2 lnn
=)
f(1) =
1X
n=2
(�1)n
n2 lnn
: (18)
B A série dada em (18) é alternada. De fato:
1X
n=2
(�1)n
n2 lnn
=
1
22 ln 2
� 1
32 ln 3
+
1
42 ln 4
� :::+ (�1)
n
n2 lnn
+ ::: (19)
B A sequência fungn2N =
�
1
n2 lnn
�
n2N
é decrescente 8n > 1:
De fato, quanto maior o denominador menor a fração, ou seja:
un > un+1; 8n > 1: (20)
BCálculo do lim
n!1un = limn!1
1
n2 lnn
:
Temos que:
lim
n!1un = limn!1
1
n2 lnn
= 0: (21)
7
De (19); (20) e (21) resulta por Leibniz que:
1X
n=1
(�1)n
n2 lnn
é convergente. (22)
� Seja x = 3
2
: Logo:
f�
3
2
�
=
1X
n=2
4n
�
3
2
� 5
4
�n
n2 lnn
=)
f
�
3
2
�
=
1X
n=2
4n
�
1
4
�n
n2 lnn
=)
f
�
3
2
�
=
1X
n=2
4n � 1
4n
n2 lnn
=)
f
�
3
2
�
=
1X
n=2
1
n2 lnn
: (23)
Para veri…carmos se a série dada em (23) é convergente ou divergente usare-
mos o teste de comparação por limite. Considere a série
1X
n=2
vn =
1X
n=2
1
n2
:
Esta série é convergente, pois, p = 2 > 1: Logo:
lim
n!1
un
vn
= lim
n!1
1
n2 lnn
1
n2
=)
lim
n!1
un
vn
= lim
n!1
�
n2
n2 lnn
�
=)
lim
n!1
un
vn
= lim
n!1
1
lnn
= 0: (24)
De (24) e do fato que
1X
n=2
1
n2
é convergente resulta que:
1X
n=2
1
n2 lnn
é convergente. (25)
De (22) e de (25) conclui-se que o intervalo de convergência da série é dado
8
por:
Intervalo de Convergência = [1; 3=2] : (26)
b)
BDeterminar a série que representa f 0(x):
Por um resultado conhecido temos que:
f 0(x) =
1X
n=2
4n � n
�
x� 5
4
�n�1
n2 lnn
=)
f 0(x) =
1X
n=2
4n
�
x� 5
4
�n�1
n lnn
: (27)
BDeterminar o intervalo de convergência da série dada em (27):
� Seja x = 1: Logo:
f 0(1) =
1X
n=2
4n
�
1� 5
4
�n�1
n lnn
=)
f 0(1) =
1X
n=2
4n
�
�1
4
�n�1
n lnn
=)
f 0(1) = 4
1X
n=2
4n � (�1)n�1 � 1
4n
n lnn
=)
f 0(1) = 4
1X
n=2
(�1)n�1
n lnn
: (28)
B A série dada em (28) é alternada. De fato:
1X
n=2
(�1)n
n lnn
= � 1
2 ln 2
+
1
3 ln 3
� 1
4 ln 4
+ :::+
(�1)n
n lnn
+ ::: (29)
B A sequência fungn2N =
�
1
n lnn
�
n2N
é decrescente 8n > 1:
9
De fato, quanto maior o denominador menor a fração, ou seja:
un > un+1; 8n > 1: (30)
BCálculo do lim
n!1un = limn!1
1
n lnn
:
Temos que:
lim
n!1un = limn!1
1
n lnn
= 0: (31)
De (29); (30) e (31) resulta por Leibniz que:
1X
n=2
(�1)n�1
n lnn
é convergente. (32)
� Seja x = 3
2
: Logo:
f 0
�
3
2
�
=
1X
n=2
4n
�
3
2
� 5
4
�n�1
n lnn
=)
f 0
�
3
2
�
=
1X
n=2
4n
�
1
4
�n�1
n lnn
=)
f 0
�
3
2
�
= 4
1X
n=2
4n � 1
4n
n lnn
=)
f 0
�
3
2
�
= 4
1X
n=2
1
n lnn
: (33)
Para veri…carmos se a série dada em (33) é convergente ou divergente usare-
mos o teste da integral. Considere:
g(x) =
1
x lnx
:
Esta função é positiva e decrescente 8x > 2: Só nos resta calcular a integral
imprópria. Logo: Z 1
2
1
x lnx
dx = lim
A!1
Z A
2
1
x lnx
dx: (34)
10
Calcularemos a integral dada em (34) por substituição simples. Considere:
u = lnx =) du = 1
x
dx:
Logo: Z A
2
1
x lnx
dx =
Z
du
u
= lnu = ln [lnx]
A
2 =)Z A
2
1
x lnx
dx = ln lnA� ln ln 2 =)
lim
A!1
Z A
2
1
x lnx
dx = lim
A!1
[ln lnA� ln ln 2] = 1: (35)
De (35) como a integral imprópria diverge então:
1X
n=2
1
n lnn
é divergente. (36)
De (32) e de (36) conclui-se que o intervalo de convergência da série é dado
por:
Intervalo de Convergência = [1; 3=2): (37)
Questão 4 : (2:5 pontos)
Considere a equação diferencial sujeita as condições iniciais dadas:
(iv)
(v)
(vi)
��������
(x2 + 1)y00(x) + 2xy0(x) = 0;
y(0) = 3;
y0(0) = �1;
(a) (1:3 pontos) Determine a relação de recorrência da equação diferencial
dada.
(b) (1:2 pontos) Determine a solução do problema de valor inicial.
Solução:
a)
Considere:
y(x) =
1X
n=0
anx
n: (38)
De (38) obtemos que:
11
y0(x) =
1X
n=1
nanx
n�1; (39)
y00(x) =
1X
n=2
n(n� 1)anxn�2: (40)
Substituindo (39) e (40) em (iv) resulta que:
(x2 + 1)
1X
n=2
n(n� 1)anxn�2 + 2x
1X
n=1
nanx
n�1 = 0 =)
1X
n=2
n(n� 1)anxn +
1X
n=2
n(n� 1)anxn�2 +
1X
n=1
2nnanx
n = 0: (41)
BAjustar o expoente do termo xn�2 da segunda série dada em (41):
Seja, n� 2 = m =) n = m+ 2 e n� 1 = m+ 1: Por outro lado, se
n = 2 =) m = 0:
Logo
1X
n=2
n(n� 1)anxn�2 =
1X
m=0
(m+ 2)(m+ 1)am+2x
m =)
1X
n=2
n(n� 1)anxn�2 =
1X
n=0
(n+ 2)(n+ 1)an+2x
n: (43)
Substituindo (43) em (41) resulta que:
1X
n=2
n(n� 1)anxn +
1X
n=0
(n+ 2)(n+ 1)an+2x
n +
1X
n=1
2nnanx
n = 0: (44)
BAjustar os índices da segunda e da terceira séries dada em (44):
1X
n=2
n(n�1)anxn+2a2+6a3x+
1X
n=2
(n+2)(n+1)an+2x
n+2a1x+
1X
n=2
2nnanx
n = 0 =)
2a2+[6a3 + 2a1]x+
1X
n=2
fn(n� 1)an + 2nnan + (n+ 2)(n+ 1)an+2gxn = 0 =)
12
2a2+[6a3 + 2a1]x+
1X
n=2
�
(n2 + n)an + (n+ 2)(n+ 1)an+2
	
xn = 0 = 0+0:x+
1X
n=2
0:xn:
(45)
De (45) conclui-se que:
����������
2a2 = 0 =) a2 = 0 ;
6a3 + 2a1 = 0 =) a3 = � 13a1;
(n+ 2)(n+ 1)an+2 = �n(n+ 1)an =) an+2 = � n
n+ 2
an; 8n > 2:
(46)
A equação (46)3 é denominada relação de recorrência.
b)
B Cálculo de a0:
De (38) temos que:
y(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3 + :::+ anx
n + ::: =)
y(0) = a0
(v)
=) a0 = 3: (47)
B Cálculo de a1:
De (39) temos que:
y0(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + :::+ nanxn�1 + ::: =)
y0(0) = a1
(vi)
=) a1 = �1: (48)
B Seja n = 2: Então, por (46)3 obtemos:
a4 = �2
4
a2
(46)1
=) a4 = 0: (49)
B Seja n = 4: Então, por (46)3 obtemos:
a6 = �4
6
a4
(49)
=) a6 = 0: (50)
Podemos a…rmar por (46)1; (49) e (50) que:
13
a2n = 0; 8n > 1: (51)
B Cálculo de a3:
Temos de (46)2 que:
a3 = �1
3
a1
(48)
=) a3 = 1
3
: (52)
B Seja n = 3: Então, por (46)3 obtemos:
a5 = �3
5
a3
(52)
=) a5 = 1
5
: (53)
B Seja n = 5: Então, por (46)3 obtemos:
a7 = �5
7
a5
(53)
=) a7 = �1
7
: (54)
B Seja n = 5: Então, por (46)3 obtemos:
a9 = �7
9
a7
(54)
=) a9 = 1
9
: (55)
Podemos a…rmar por (48); (52); (53); (54) e (55) que:
a2n�1 =
(�1)n
2n� 10; 8n > 1: (56)
De (47); (51) e (56) obtemos que:
y(x) = 3 +
1X
n=1
(�1)n
2n� 1x
2n�1: (57)
14