TQC-aula3 UERJ

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TEORIA QUÂNTICA DE 
CAMPOS
ESCOLA DE FÍSICA DA UERJ 2014
PROF. BRUNO MINTZ
AULA 3
Nesta aula
 Algumas aplicações da Teoria Quântica de Campos:
- Introdução à interação forte
- Abordagens não-perturbativas
- Teoria quântica de campos a temperatura finita
Introdução à interação forte
 Núcleos atômicos: prótons (positivos) e nêutrons (neutros).
 Apenas eletromagnetismo  núcleo instável
 Força de outra natureza que estabiliza o núcleo: interação forte.
𝑝+
𝑝+
𝑝+
𝑝+
𝑝+
𝑛
𝑝+
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛 𝐸
𝐸
𝐸
𝐸
Introdução à interação forte
 Os prótons e os nêutrons (“nucleons”) são formados por partículas 
carregadas, os quarks.
 A estabilidade dos nucleons também é consequência da força forte.
𝐸
𝐸
𝐸
𝐸
𝑢+2/3
𝑑−1/3
𝑢+2/3
Introdução à interação forte
 Possível descrição para o confinamento: potencial 𝑞𝑞
Separar 𝑞 e 𝑞: 𝑟 → ∞
Seria necessária energia 
infinita para separá-los!
Introdução à interação forte
 O que acontece quando dois quarks tentam se separar?
 Antes do afastamento ser infinito, é criado um par quark-antiquark!
Introdução à interação forte
 Um caso interessante: a ressonância Δ++
𝑢+2/3
𝑢+2/3
𝑢+2/3
 Férmion não-estranho (sem 
quark s) com carga +2
 Três quarks (férmions) up (iguais)
 Problema com o Princípio de 
Exclusão de Pauli!
 Novo número quântico (“carga 
conservada”): “cor”
?
?
Introdução à interação forte
 Um caso interessante: a ressonância Δ++
𝑢+2/3
𝑢+2/3
𝑢+2/3
 Férmion não-estranho (sem 
quark s) com carga +2
 Três quarks (férmions) up (iguais)
 Problema com o Princípio de 
Exclusão de Pauli!
 Novo número quântico (“carga 
conservada”): “cor”
Introdução à interação forte
 Cada “sabor” de quark (u, d, s, c, b, t) pode ser encontrado em 
uma de três “cores” diferentes (r, g, b).
𝑢 𝑥 ≡
𝑢𝑟(𝑥)
𝑢𝑔(𝑥)
𝑢𝑏(𝑥)
𝑑 𝑥 ≡
𝑑𝑟(𝑥)
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑏(𝑥)
𝑢+2/3
𝑢+2/3
𝑢+2/3
(campo do quark u)
(campo do quark d)
Introdução à interação forte
 A “cor” é um número quântico conservado.
 Logo, deve ter uma transformação de simetria associada!
 O campo de cada quark (“no espaço de cor”) tem 3 componentes:
𝑞 𝑥 ≡
𝑞𝑟(𝑥)
𝑞𝑔(𝑥)
𝑞𝑏(𝑥)
 Operação de simetria que se relaciona com estas 3 cargas: SU(3)
 SU(3): matrizes (transformações) unitárias especiais 3x3 (complexas).
Introdução à interação forte
 Qualquer matriz unitária 3x3 pode ser escrita como combinações lineares das 8 
matrizes de Gell-Mann 𝜆(𝑖 = 1, … , 8).
 Operação de simetria (local: depende do ponto)
𝑢′ 𝑥 ≡ 𝑀 𝑥 𝑢 𝑥 ≡
𝑚11 𝑥 𝑚12 𝑥 𝑚13 𝑥
𝑚21 𝑥 𝑚22 𝑥 𝑚23 𝑥
𝑚31 𝑥 𝑚32 𝑥 𝑚33 𝑥
𝑢𝑟 𝑥
𝑢𝑔 𝑥
𝑢𝑏 𝑥
= 𝑒𝑥𝑝 𝑖 
𝑖=1
8
𝛼𝑖 𝑥 𝜆𝑖 𝑢(𝑥)
onde M+ 𝑥 𝑀 𝑥 = 1, ∀ 𝑥 e 𝛼𝑖 𝑥 são funções reais.
 Numa notação mais compacta:
𝑢′ 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 𝑖 
𝑖=1
8
𝛼𝑖 𝑥 𝜆𝑖 𝑢 𝑥 ≡ 𝑒
𝑖𝛼 𝑥 ⋅𝜆 𝑢(𝑥)
Introdução à interação forte
𝑢′ 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 𝑖 
𝑖=1
8
𝛼𝑖 𝑥 𝜆𝑖 𝑢 𝑥 ≡ 𝑒
𝑖𝛼 𝑥 ⋅𝜆 𝑢(𝑥)
 Transformação de gauge (local)  um campo para cada gerador da simetria
- Eletrofraca: SU(2)xU(1): 3 +1 = 4 geradores  4 partículas: W+, W−, Z0 e fóton.
- Forte: SU(3): 8 geradores  8 partículas mediadoras da força: 8 tipos de gluons
 Lembrete (aula 2): “simetrias restringem ou indicam a existência de partículas e 
como elas interagem”.
Introdução à interação forte
 A Cromodinâmica Quântica (QCD)
ℒ𝑄𝐶𝐷 = −
1
4
𝐹𝜇𝜈𝑎𝐹𝜇𝜈𝑎 + 𝑢
𝑎 𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇 − 𝑚𝑢 𝑢
𝑎 + 𝑔 𝑢𝑎𝛾𝜇𝐴𝜇
𝑎𝑏𝑢𝑏 + (𝑑, 𝑠, 𝑐, 𝑏, 𝑡)
𝐹𝜇𝜈
𝑎 = 𝜕𝜇𝐴𝜈
𝑎 − 𝜕𝜈𝐴𝜇
𝑎 + 𝑔𝑓𝑎𝑏𝑐𝐴𝜇
𝑏𝐴𝜈
𝑐
 𝑢𝑎 𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇 − 𝑚𝑢 𝑢
𝑎
𝑔 𝑢𝑎𝛾𝜇𝑢𝑏𝐴𝜇
𝑎𝑏 = j𝜇A𝜇 = j ⋅ 𝐴
... e termos análogos para d, s, c, b e t
(gluons: propagação e autointeração)
(quarks: propagação)
(interação entre quarks e gluons  𝑔)
𝐹𝜇𝜈𝑎𝐹𝜇𝜈
𝑎
𝑖𝑛𝑡
→ 𝑔𝐴𝐴(𝜕𝐴) + 𝑔2𝐴4 (autointeração dos gluons  𝑔 e 𝑔
2)
Introdução à interação forte
 Uma outra fantástica propriedade da QCD: liberdade assintótica.
 Quanto maior a troca de energia numa colisão entre gluons e/ou 
quarks, menor a probabilidade de interação.
 Em altíssimas energias: quarks e gluons quase livres (𝑔 ≪ 1).
Introdução à interação forte
 Em altíssimas energias: 𝑔 ≪ 1.
 Em altíssimas energias: QCD perturbativa.
 𝐻 = 𝐻0 + 𝑔 𝑉
 𝑆 = 1 − 𝑖𝑔 
−∞
∞
𝑑𝑡1 𝑉 𝑡1 + −𝑖
2𝑔2 
−∞
∞
𝑑𝑡1 
−∞
𝑡1
𝑑𝑡2 𝑉 𝑡1 𝑉 𝑡2 + −𝑖
3𝑔3 
−∞
∞
𝑑𝑡1 
−∞
𝑡1
𝑑𝑡2 
−∞
𝑡2
𝑑𝑡3 𝑉 𝑡1 𝑉 𝑡2 𝑉 𝑡3 + ⋯
Introdução à interação forte
 Espalhamentos em altas energias 
 teoria de perturbação ok 
 Alguns diagramas de Feynman 
 𝑑𝑑 → 𝑡𝑡
Introdução à interação forte
 Espalhamentos em altas energias 
 teoria de perturbação ok 
 Alguns diagramas de Feynman 
 𝑑𝑑 → 𝑡𝑡
Introdução à interação forte
 A liberdade assintótica é um fenômeno (perturbativo) relativamente bem 
compreendido.
 O confinamento não.
𝑢+2/3
𝑑−1/3
𝑢+2/3
Introdução à interação forte
 De onde vem a massa do próton?
 Massa do próton (uud): 938MeV
 Massa do quark up (Higgs): < 10MeV
 Massa do quark down (Higgs): < 10MeV
 Mais de 95% da massa (da matéria bariônica) vêm da interação 
forte!
𝑢+2/3
𝑑−1/3
𝑢+2/3
Abordagens não perturbativas
Abordagens não perturbativas 
para a QCD (e outros problemas)
- Simulações de Monte Carlo na rede (Lattice QCD)
- Equações de Schwinger-Dyson
- Teorias de campos topológicas*
- Regras de soma* [ver aula M. Bracco]
- Correspondência AdS/CFT (“Holografia”)
- Teoria de Gribov-Zwanziger*
- Modelos efetivos para a QCD*
- ...
QCD na rede
 Rede: discretização do espaço-tempo  possibilita cálculos diretos 
da “soma sobre histórias” de Feynman em um computador.
 Exemplo: Física nuclear a partir da Lagrangeana da QCD!
Teoria de Gribov-Zwanziger
 Campos vetoriais sem massa (fóton, glúon): simetria de calibre
𝐴𝜇 → 𝐴′𝜇 = 𝐴𝜇 −
1
𝑒
𝜕𝜇𝛼 𝑥
 𝐴𝜇 e 𝐴′𝜇 são campos fisicamente idênticos (mesmo 𝐸 e mesmo 𝐵, na ED).
 Em Eletromagnetismo Clássico: escolha de calibre. Exemplos:
- Coulomb: ∇ ⋅ 𝐴 = 0 Lorenz: 𝜕𝜇𝐴
𝜇 ≡ 𝜕𝑡𝜙 + 𝛻 ⋅ 𝐴 = 0
 Na Eletrodinâmica Quântica, há duas abordagens para resolver a redundância:
- Gupta-Bleuler: 𝜕𝜇 𝐴
𝜇 Ψ phys = 0 [ver aula J. Borges]
- Fadeev-Popov: integral funcional
[No DFT:
Silvio Sorella, Vitor Lemes, Marcelo Guimarães e Marcio Capri]
Teoria de Gribov-Zwanziger
 Teoria quântica: soma sobre todas as configurações do campo de calibre A.
 Funcional gerador das funções de correlação (versão ingênua):
𝑍[𝐽, 𝜂, 𝜂] = 𝐷𝐴 𝐷 𝜓 𝐷𝜓 exp 𝑖𝑆 𝜓, 𝜓, 𝐴 + ∫ 𝐽 ⋅ 𝐴 + 𝜂𝜓 + 𝜓𝜂
 Problema: configurações com A diferentes (mas fisicamente equivalentes) serão 
contadas múltiplas (infinitas) vezes.
 Método de Fadeev e Popov: eliminar, no nível da integral de Feynman, as cópias 
espúrias do campo  fixação de calibre.
[No DFT:
Silvio Sorella, Vitor Lemes, Marcelo Guimarães e Marcio Capri]
Teoria de Gribov-Zwanziger
 Valor esperado do operador 𝑂(𝐴) (versão ingênua)
Ω 𝑂(𝐴) Ω = 𝐷𝐴 𝐷 𝜓 𝐷𝜓 𝑂(𝐴)exp 𝑖𝑆 𝜓, 𝜓, 𝐴
 Valor esperado do operador 𝑂(𝐴) com fixação de calibre (gauge de Lorenz: 
𝜕𝜇𝐴
𝜇 = 0)
Ω 𝑂(𝐴) Ω = 𝐷𝐴 𝐷 𝜓 𝐷𝜓 𝛿 𝜕𝜇𝐴
𝜇 𝑑𝑒𝑡 𝜕𝜇𝐷
𝜇 𝑂(𝐴)exp 𝑖𝑆 𝜓, 𝜓, 𝐴
 Apenas configurações com 𝜕𝜇𝐴
𝜇 = 0 são consideradas.
[No DFT:
Silvio Sorella, Vitor Lemes, Marcelo Guimarães e Marcio Capri]
 O método de Fadeev e Popov garante que apenas configuraçõescom 
𝜕𝜇𝐴
𝜇 = 0 sejam consideradas.
 Aparentemente, é eliminada a redundância de calibre em nível quântico!
Teoria de Gribov-Zwanziger
[No DFT:
Silvio Sorella, Vitor Lemes, Marcelo Guimarães e Marcio Capri]
 O método de Fadeev e Popov garante que apenas configurações com 
𝜕𝜇𝐴
𝜇 = 0 sejam consideradas.
 Aparentemente, é eliminada a redundância de calibre em nível quântico!
Teoria de Gribov-Zwanziger
[No DFT:
Silvio Sorella, Vitor Lemes, Marcelo Guimarães e Marcio Capri]
#sqn
Teoria de Gribov-Zwanziger
Ω 𝑂(𝐴) Ω = 𝐷𝐴 𝐷 𝜓 𝐷𝜓 𝛿 𝜕𝜇𝐴
𝜇 𝑑𝑒𝑡 𝜕𝜇𝐷
𝜇 𝑂(𝐴)exp 𝑖𝑆 𝜓, 𝜓, 𝐴
 Problema: em teorias não-abelianas (ex.: QCD) determinante pode ser 
nulo quando 𝑔𝐴𝜇 é grande (regime não perturbativo)
𝜕𝜇𝐷
𝜇 ≡ (𝜕2𝛿𝑎𝑏 − 𝜕𝜇𝑓𝑎𝑏𝑐𝑔𝐴𝜇)
 Determinante = produto dos autovalores
 O operador 𝜕𝜇𝐷
𝜇 pode ter “modos zero” (autovalores nulos)
 Problema: det 𝜕𝜇𝐷
𝜇 = 0 ⇒ Ω 𝑂(𝐴) Ω = 0 ∀ 𝑂 𝐴 ‼!
[No DFT:
Silvio Sorella, Vitor Lemes, Marcelo Guimarães e Marcio Capri]
Teoria de Gribov-Zwanziger
 Solução de Gribov: restringir a integral de Feynman apenas a configurações 
que levam a autovalores positivos do operador de Fadeev-Popov. (Ainda 
assim permanecem cópias de calibre...)
 Zwanziger implementou a ideia de Gribov em termos de uma ação 
modificada para os campos de gauge.
 Com grande participação do grupo da Uerj, foi proposta uma versão 
refinada da teoria de Gribov-Zwanziger (RGZ), que possui propriedades 
físicas mais compatíveis com resultados da rede do que a teoria GZ original.
[No DFT:
Silvio Sorella, Vitor Lemes, Marcelo Guimarães e Marcio Capri]
Teoria de Gribov-Zwanziger
 Algumas propriedades da teoria de (R)GZ
- Para altas energias é equivalente à teoria de Yang-Mills (perturbativa).
- Bem definida para energias arbitrariamente altas (i.e., renormalizável).
- Resultados físicos não triviais (e corretos!) em baixas energias (física não 
perturbativa).
Obs.: Teoria de Yang-Mills: “QCD sem férmions”
[No DFT:
Silvio Sorella, Vitor Lemes, Marcelo Guimarães e Marcio Capri]
Teoria de Gribov-Zwanziger
[No DFT:
Silvio Sorella, Vitor Lemes, Marcelo Guimarães e Marcio Capri]
[D. Dudal, M. S. Guimarães e S. P. Sorella. 
Phys.Lett. B732 (2014) 247-254 (2014)]
Modelos efetivos para a QCD
 A QCD não é exatamente solúvel.
 Simetrias da teoria  aspectos mais importantes.
 “Teorias primas”: partilham alguma(s) simetria(s) com a QCD.
 Vantagens de modelos efetivos:
- Teorias mais simples (mais fáceis de se obter informação).
- Ingredientes de QCD não perturbativa automaticamente incluídos.
- Permitem estudos da interação forte em altas e baixas energias.
 Desvantagem principal: não é a QCD.
[No DFT: Rudnei Ramos, Bruno Mintz]
Modelos efetivos para a QCD
 Modelo sigma linear (quark-meson): um exemplo de modelo quiral.
ℒ = 𝑢 𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇 − 𝑔𝜎 𝑢 + 𝑑 𝑖𝛾
𝜇𝜕𝜇 − 𝑔𝜎 𝑑 +
𝜆
4
𝜎2 + 𝜋0
2 + 𝜋−
2 + 𝜋+
2 − 𝑣2 2
- Definido em todas as escalas de energia (renormalizável).
- Codifica naturalmente propriedades de mésons (𝜋+, 𝜋−, 𝜋0 e 𝜎) em termos 
de quebra espontânea de simetria (quiral). [ver aula J. Borges]
 Quando o campo 𝜎 adquire um valor esperado não nulo, 𝜎 ≠ 0, os 
quarks adquirem massa mu = md = 𝑔 𝜎 (simetria de isospin).
[No DFT: Rudnei Ramos, Bruno Mintz]
Modelos efetivos para a QCD
 Modelo de Nambu e Jona-Lasinio (NJL)
[No DFT: Rudnei Ramos, Bruno Mintz]
QCD
(altas energias)
(curtas distâncias)
NJL 
(baixas energias)
(longas distâncias)
 𝑞 𝑡
𝑡𝑞
Modelos efetivos para a QCD
 Modelo de Nambu e Jona-Lasinio: analogia com supercondutividade
ℒ = 𝑢 𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇 𝑢 + 𝑑 𝑖𝛾
𝜇𝜕𝜇 𝑑 + 𝐺 ( 𝑢𝐿𝑢𝑅)( 𝑢𝑅𝑢𝐿) + ( 𝑑𝐿𝑑𝑅)( 𝑑𝑅𝑑𝐿)
 Simetria quiral (com quebra espontânea no vácuo).
 Interações de 4 férmions (como o modelo de Fermi para o decaimento beta).
 Estados ligados de férmions: Mésons  Pares de Cooper
 Massa do quark  Energia de ligação do par (gap).
[No DFT: Rudnei Ramos, Bruno Mintz]
Teoria quântica de campos a 
temperatura finita
TQC a temperatura finita
 Sistema em contato com reservatório térmico: ensemble canônico.
 Função de partição (hamiltoniana 𝐻, temperatura 𝑇):
𝑍(𝑇) = 𝑇𝑟 exp −
 𝐻
𝑘𝑇
= 
𝑟
𝑒−𝐸𝑟/𝑘𝑇
 Soma sobre todos os microestados (𝑟) compatíveis com os vínculos 
macroscópicos.
 Como aplicar este conceito a campos quânticos?
[No DFT:
Cesar Linhares, Marcelo Chiapparini, 
Rudnei Ramos, Bruno Mintz]
TQC a temperatura finita
𝑍(𝑇) = 𝑇𝑟 exp −
 𝐻
𝑘𝑇
= 
𝑟
𝑒−𝐸𝑟/𝑘𝑇
 Soma sobre todos os microestados do campo: integral de Feynman
𝑍(𝑇) = 𝑇𝑟 exp −
 𝐻
𝑘𝑇
= 
𝜑 0, 𝑥 =𝜑(𝛽, 𝑥)
𝐷𝜑 exp − 
0
ℏ
𝑘𝑇
𝑑𝜏 𝑑3𝑥 ℋ 𝜑 𝜏, 𝑥
ℋ 𝜑 = 𝐾 + 𝑈 =
1
2
𝜕𝜏𝜑
2 +
1
2
∇𝜑
2
+ 𝑈[𝜑]
[No DFT:
Cesar Linhares, Marcelo Chiapparini, 
Rudnei Ramos, Bruno Mintz]
TQC a temperatura finita
𝑍(𝑇) = 𝑇𝑟 exp −
 𝐻
𝑘𝑇
= 
𝜑 0, 𝑥 =𝜑(𝛽, 𝑥)
𝐷𝜑 exp − 
0
ℏ
𝑘𝑇
𝑑𝜏 𝑑3𝑥 ℋ 𝜑 𝜏, 𝑥
 A função de partição de um sistema contínuo pode ser escrita como uma 
integral funcional.
 “Pequena” diferença para TQC: compactificação da direção temporal
- Minkowski (𝑇 = 0): 𝑡 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ ℝ3: espaço euclideano
- Temperatura finita: 𝜏 ∈ 0,
ℏ
𝑘𝑇
≡ 𝛽 , 𝑥 ∈ ℝ3: “cilindro”
 Todo o formalismo de TQC (inclusive diagramas de Feynman) pode ser 
utilizado em Mecânica Estatística (sistemas contínuos)!
[No DFT:
Cesar Linhares, Marcelo Chiapparini, 
Rudnei Ramos, Bruno Mintz]
TQC a temperatura finita
 Fenômeno importante a temperatura 
finita: transições de fase.
TQC a temperatura finita
 Também a QCD tem transições de fase!
[No DFT:
Cesar Linhares, Marcelo Chiapparini, 
Rudnei Ramos, Bruno Mintz]
TQC a temperatura finita
 TQC é uma ferramenta muito útil para estudar transições de fase.
- Temperatura finita
- Temperatura zero (TF quânticas)
 Transições de fase: física não-perturbativa (mudanças radicais).
 Métodos não-perturbativos são fundamentais.
[No DFT:
Cesar Linhares, Marcelo Chiapparini, 
Rudnei Ramos, Bruno Mintz]
TQC a temperatura finita
 Efeitos de tamanho finito do sistema podem ser muito importantes.
[E. B. S. Correa, C. A. Linhares e A. P. C. Malbouisson
Phys.Lett. A377 (2013) 1984-1990 (2013)]
[No DFT:
Cesar Linhares, Marcelo Chiapparini, 
Rudnei Ramos, Bruno Mintz]
TQC a temperatura finita
 Teorias topológicas de campos e 
materiais topológicos:
- Isolantes topológicos
- Supercondutores topológicos
[No DFT: M. S. Guimarães]
TQC a temperatura finita
 Transições de fase da QCD em modelos efetivos:
- Dinâmica da transição (nucleação)
- Efeito de campos magnéticos ultra intensos 𝐵 ≃ 1016𝑇 .
[No DFT:
Cesar Linhares, Marcelo Chiapparini, 
Rudnei Ramos, Bruno Mintz]
[E. S. Fraga, B. W. Mintz e J. Schaffner-Bielich
Phys.Lett. B731, 154-158 (2014)]
[B. W. Mintz, R. Stiele, R. O. Ramos e J. Schaffner-Bielich
Phys. Rev. D87, 036004 (2013)]
MUITO OBRIGADO!