Lista 5 - Derivadas

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Universidade Federal de Sergipe -UFS
Departamento de Arquitetura e Urbanismo - DAU
Professor: Rafael Oliveira
Lista 5
Ca´lculo I.
1. Se f(x) = 3x2− 5x, encontre f ′(2) usando a definic¸a˜o de derivadas, e use-o
para achar uma equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y = 3x2−5x no ponto
(2, 2).
2. Use a definic¸a˜o de derivada para achar a derivada das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = x2 + x− 3;
(b) f(x) = x3 − 2x2 + 5x− 1;
(c) g(x) =
1
x
;
(d) h(x) =
√
x;
3. Use a derivac¸a˜o impl´ıcita para achar uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva
no ponto dado.
(a) x2 + xy + y2 = 3, (1, 1) (elipse);
(b) x2 + 2xy − y2 + x = 2, (1, 2) (hipe´rbole);
(c) x2 + y2 = (2x2 + 2y2 − x)2, (0, 1
2
) (cardio´ide);
(d)
3
√
x2 + 3
√
y2 = 4, (−3√3, 1) (astro´ide);
(e) 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2), (3, 1) (lemniscata);
(f) y2(y2 − 4) = x2(x2 − 5), (0,−2) (curva do diabo);
4. A sec¸a˜o lateral de uma coberta e´ formada por dois trechos horizontais,
desnivelados de 1m, ligados por uma curva de transic¸a˜o polinomial do 3o
grau, cuja projec¸a˜o horizontal e´ de 4m. Descrever matematicamente a curva
de transic¸a˜o suave entre os dois n´ıveis da coberta.
5. Uma escultura e´ concebida pela composic¸a˜o de uma folha, na forma de uma
para´bola (y = x2), combinada com um cilindro de raio unita´rio. sabendo
que a equac¸a˜o do cilindro de centro (0, b) e raio 1 e´ y = b − √1− x2.
Determinar a ordenada do centro da circunfereˆncia geratriz do cilindro.
6. Mostre que a func¸a˜o f(x) = |x− 6| na˜o e´ diferencia´vel em x = 6. Encontre
uma fo´rmula para f ′ e esboce seu gra´fico.
7. Seja f(t) =

0, se t ≤ 0;
5− t, se 0 < t < 4;
1
5− t , se t ≥ 4.
(a) Onde f e´ descont´ınua?
(b) Onde f na˜o e´ diferencia´vel?
(c) Esboc¸e o gra´fico de f .
8. Use as regras de derivac¸a˜o para derivar as seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 186, 5;
(b) f(x) = 3
√
12;
(c) f(x) = 5x8 − 2x5 − 3x2 + 10x− e;
(d) f(t) = 1
2
(t4 + 8);
(e) f(t) = xpi;
(f) f(x) = 3xpi − 5xe + 3√x− 1
x
;
(g) f(x) = 2ex − 3ln|x|;
(h) y = 2x − 5log3(x);
(i) v(r) = 4
3
pir2;
(j) y =
√
10
x7
;
(k) f(x) =
√
x(x− 1);
(l) y =
x2 + 4x+ 3√
x
;
(m) S(t) =
t2 − 2√t
t
;
(n) f(x) = x2ex;
(o) y =
ex
1 + x
(p) f(x) =
(
1
x2
− 3
x4
)
(x+ 5x3);
(q) f(x) =
x3 − 2x√x
x
;
(r) f(x) =
x
x+
c
x
;
2
(s) f(x) =
ax+ b
cx+ d
;
(t) f(x) = x.sen(x);
(u) g(t) = t3.cos(t);
(v) f(x) =
1 + sen(x)
x+ cos(x)
;
(w) y =
tag(x)− 1
sec(x)
;
(x) y = x.sen(x).cos(x);
(y) f(θ) =
sec(θ)
1 + sec(θ)
;
(z) y = (cossec(θ))(θ + cotag(θ));
9. Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = (x3 + 4x)7;
(b) f(x) = 4
√
1 + 2x+ x3;
(c) f(x) =
1
(x4 + 1)3
;
(d) f(x) = e
√
x;
(e) f(x) = sen(ex);
(f) f(x) = tag(sen(x));
(g) f(x) = (1 + 4x)5(3 + x− x2)8;
(h) f(x) =
(2x− 5)4
(8x2 − 5)3 ;
(i) f(x) = (1 + cos2(x))6;
(j) f(x) = ln(x2 + 10);
(k) f(x) = log2(1− 3x);
(l) f(x) = 5
√
ln(x);
(m) f(x) =
1 + ln(x)
1− ln(x) ;
(n) f(x) = x.ln(1 + ex);
(o) f(x) = log10
(
x
x− 1
)
;
(p) f(x) = ln(x4.sen2(x));
(q) f(x) = ln(e−x + xe−x);
3
10. Use a diferenciac¸a˜o logar´ıtmica para achar a derivada das func¸o˜es abaixo:
(a) y = (2x+ 1)5(x4 − 3)6;
(b)
sen2(x).tag4(x)
(x2 + 1)2
;
(c) y =
√
xex
2
(x2 + 10)
(d) y = xx;
(e) y = xsen(x);
(f) y = (ln(x))x;
(g) y = (ln(x))cos(x);
(h) y = xe
x
;
11. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto dado.
(a) y = (1 + 2x)10, (0, 1);
(b) y = x2e−x, (1, 1
e
);
(c) y = ln(ln(x)), (e, 0);
(d) y = ln(x3 − 7), (2, 0).
12. Uma massa atada a uma mola vertical tem func¸a˜o posic¸a˜o em relac¸a˜o ao
tempo dada por y(t) = A.sen(ωt), onde A e´ a amplitude de sua oscilac¸a˜o e
ω, e´ uma constante.
(a) Encontre a velocidade e a acelerac¸a˜o como func¸a˜o do tempo.
(b) Mostre que a acelerac¸a˜o e´ proporcional ao delocamento de y.
(c) Mostre que a velocidade e´ ma´xima quando a acelerac¸a˜o e´ 0.
13. Uma part´ıcula move-se de acordo com uma lei do movimento S = f(t) =
t3 − 12t+ 36t, t ≥ 0, onde t esta´ medido em segundos e S em metros.
(a) Encontre a acelerac¸a˜o no instante t = 3s.
(b) Mostre que o arranco e´ constante.
14. Dada x.cos(y) = 5 onde x e y sa˜o func¸o˜es de um terceira varia´vel t. Se
dx
dt
= −4, ache dy
dt
quando y =
pi
3
.
15. Uma escultura e construida com uma certo material. O custo desse material
e´ dado pela seguinte equac¸a˜o m2 −m.C = −25 onde C e´ o custo em reais
e m a massa do material. Esse material quando aquecido se dilata a uma
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taxa de 0, 01m3/s. Qual a taxa de variac¸a˜o do custo do material em relac¸a˜o
ao tempo quando seu prec¸o for 10, 00 reais.
16. Uma escada com 5 metros de comprimento esta´ apoiada numa parede ver-
tical. Se o pe´ da escada for puxado ahizontalmente, afastando-se da parede
a uma taxa de 3 metros por segundo, qual a velocidade com que a escada
esta´ deslizando, quando seu pe´ esta´ a 3 metros da parede.
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