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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
FACULDADE DE ENGENHARIA DE MATERIAIS 
OTIMIZAÇÃO E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS DE ENGENHARIA 
DOCENTE: TADEU DA MATA MEDEIROS BRANCO, Prof. Dr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÃO 02 
2° SEMESTRE DE 2008 
 
 
 
 
 
 
 
DISCENTES: 
 
DELIANE LIMA MARINHO 
RAYLLA GLLIAN SAMPAIO LIMA RIBEIRO 
 
 
 
 
MARABÁ – PARÁ 
2008 
2ª AVALIAÇÃO 
 
 
 
Problemas Capítulo 3 
 
Resolver pelo método simplex: 
 
3.64 – Responda o problema 3.16 alterando o objetivo de: Minimização f = x – y 
 
Min f = x – y 
 
 Sujeito a 
 
 x – y ≥ –8 
 5x – y ≥ 0 
 x + y ≥ 8 
–x + 6y ≥ 12 
5x + 2y ≤ 68 
x ≤ 10 
 x ≥ 0, y ≥ 0 
 
Para solução do problema 3.64 utilizamos o software QSB e o LINDO para efeito 
de comparação entre os resultados. O primeiro passo foi analisar se o problema é 
de maximização ou minimização, em seguida inserimos os dados do problema, na 
seqüência exigida pelo programa, no problema 3.64 temos um problema de 
minimização, com 2 variáveis; 6 restrições utilizáveis e 2 não utilizáveis. 
Para resolução: 
Max f = x - y (função objetiva) 
x – y ≥ –8 (restrição) 
5x – y ≥ 0 (restrição) 
x + y ≥ 8 (restrição) 
–x + 6y ≥ 12 (restrição) 
5x + 2y ≤ 68 (restrição) 
x ≤ 10 (restrição) 
x ≥ 0, y ≥ 0 (restrição não utilizável no programa) 
 
Solução obtida no programa QSB: 
 
 
 
Assim têm-se para x = 2 e y = 10, e o valor mínimo da função objetiva será então 
de -8. 
 
Solução obtida no programa LINDO: 
 
LP ótima encontrada na etapa 2 
 
Valor Função objetivo 
 
 1) -8.000000 
 
VARIÁVEL VALOR CUSTO REDUZIDO 
X 2.000000 0.000000 
Y 10.000000 0.000000 
 
 LINHA EXCEDENTE PREÇOS DUAL 
 2) 0.000000 -1.000000 
 3) 0.000000 0.000000 
 4) 4.000000 0.000000 
 5) 46.000000 0.000000 
 6) 38.000000 0.000000 
 7) 8.000000 0.000000 
 
 Nº. DE INTERAÇÕES = 2 
 
 3.73 – Max f = x – 8y 
 
 Sujeito a 
 
 3x + 2y ≥ 6< 
 x – y ≤ 6 
 9x + 7y ≤ 108 
 3x + 7y ≤ 70 
 2x – 5y ≥ –35 
x ≥ 0, y é irrestrito em sinal 
 
Temos um problema de maximização, com 2 variáveis; 5 restrições utilizáveis e 2 
não utilizáveis. 
 
Solução obtida no programa QSB: 
 
 
 
 
 
 
 
Solução obtida no programa LINDO: 
 
LP ótima encontrada na etapa 1 
 
Valor Função objetivo 
 
 1) 6.000000 
 
VARIÁVEL VALOR CUSTO REDUZIDO 
X 6.000000 0.000000 
Y 0.000000 7.000000 
 
 LINHA EXCEDENTE PREÇOS DUAL 
 2) 12.000000 0.000000 
 3) 0.000000 1.000000 
 4) 54.000000 0.000000 
 5) 52.000000 0.000000 
 6) 47.000000 0.000000 
 
 Nº. DE INTERAÇÕES = 1 
 
Assim têm-se para x = 6 e y = 0, e o valor máximo da função objetiva será então 
de 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.81 – Resolva o problema 3.32 alterando o objetivo para: Minimização f = 6x + 2y 
 
Min f = 6x + 2y 
 
 Sujeito a 
 
 10 x + y ≥ 10 
 5x + 4y ≥ 20 
 3x + 7y ≥ 21 
 x + 12y ≥ 12 
 x ≥ 0, y ≥ 0 
 
Solução obtida no programa QSB: 
 
 
 
Solução obtida no programa LINDO: 
 
LP ótima encontrada na etapa 1 
 
Valor Função objetivo 
 
 1) 12.000000 
 
VARIÁVEL VALOR CUSTO REDUZIDO 
X 0.571429 0.000000 
Y 4.285714 0.000000 
 
 LINHA EXCEDENTE PREÇOS DUAL 
 2) 0.000000 -0.400000 
 3) 0.000000 -0.400000 
 4) 10.714286 0.000000 
 5) 40.000000 0.000000 
 
 Nº. DE INTERAÇÕES = 1 
 
Assim têm-se para x = 0,571 e y = 4,285, e o valor mínimo da função objetiva será 
então de 12. 
 
 
 
 3.90 – Max f = 3x + 2y 
 
 Sujeito a 
 
 21x – 4y ≥ –36 
 x + 2y ≥ 6 
 6x – y ≤ 72 
x ≥ 0, y ≥ 0 
 
 
Solução obtida no programa QSB: 
 
 
 
 
 
LP ótima encontrada na etapa 2 
 
Valor Função objetivo 
 
 1) 1476.000000 
 
VARIÁVEL VALOR CUSTO REDUZIDO 
X 108.000000 0.000000 
Y 576.000000 0.000000 
 
 LINHA EXCEDENTE PREÇOS DUAL 
 2) 0.000000 -5.000000 
 3) 1254.000000 0.000000 
 4) 0.000000 18.000000 
 
 Nº. DE INTERAÇÕES = 2 
 
Assim têm-se para x = 108,0 e y = 576,0, e o valor máximo da função objetiva será 
então de 1476. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Capítulo 4 
 
 4.5 - Resolver o seguinte problema de LP graficamente e revisto pelo método 
simplex: 
 
Max f = x2 
 
 Sujeito a 
 
 –x1 + x2 ≤ 0 
–2x1 – 3x2 ≤ 6 
x1, x2 são irrestritos em sinal. 
 
 A solução do problema 4.5 é dada a seguir através do método gráfico e 
utilizando o software LINDO para resolver o método simplex: 
 
Resolução pelo software: 
 
Variáveis ilimitadas são 
 x1 
 x2 
 SLK 3 
 
Valor Função objetivo 
 
1) 0.9999990E+08 
 
VARIÁVEL VALOR CUSTO REDUZIDO 
x2 0.000000 0.000000 
x1 99999904.000000 11.000000 
 
 LINHA EXCEDENTE PREÇOS DUAL 
 2) 0.000000 -1.000000 
 3) 6.000000 -.5.000000 
 
 Nº. DE INTERAÇÕES = 1 
 
Resolução gráfica: 
 
A solução gráfica nos ajudará a entender os princípios básicos do método 
analítico, chamado de método Simplex, usado para resolver os modelos de 
P.Linear. Vamos resolver o nosso exemplo graficamente: 
 
Vamos considerar a 1ª restrição na igualdade, ou seja –x1 + x2 = 0. Ela é uma 
equação de uma reta passando pelos pontos (0,0) e (0,0). 
 
Vamos fazer o mesmo com a 2ª restrição que na igualdade, –2x1 – 3x2 ≤ 6 é uma 
reta que passa pelos pontos (-3,0) e (0,-2). Traçando-as temos: 
 
O vetor é dado pelo gradiente da função onde temos: 
 






=












∂
∂
∂
∂
=∇
1)(
)(
)(
2
1 C
x
xf
x
xf
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, de acordo com o gráfico e com o método simplex a solução é ilimitada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-3 
-2 
1 
x1 
x2 
 
 4.22 - Encontre o efeito de alteração do lucro por unidade do produto B para $ 
30 e C do produto para $ 25. 
 
 
 
 Para resolução do problema 4.22 é necessário que se resolva o problema 
4.19 que determina um seguinte: 
 
Uma companhia metalúrgica produz 4 produtos A, B, C e D, usando cobre e zinco 
como materiais básicos. O material exigido, o lucro por unidade de cada produto, e 
o máximo de quantidades de cobre e zinco são dados abaixo: 
 
 A B C D Maximo de quantidade avaliada 
Cobre 4 9 7 10 6000 
Zinco 2 1 3 20 4000 
Lucro/un ($) 15 25 20 60 
 
 Encontre o número de unidades dos vários produtos para ser produzido 
para maximizar o lucro. 
 
Montagem do problema: 
 
Max f = 15A + 25B + 20C + 60D 
 
 Sujeito a 
 
4A + 9B + 7C + 10D ≤ 6000 
2A + B + 3C + 20D ≤ 4000 
 
Solução: 
 
 Utilizando o software LINDO temos os resultados: 
 
LP ótima encontrada na etapa 3 
 
Valor Função objetivo 
 
 1) 24000.00 
 
VARIÁVEL VALOR CUSTO REDUZIDO 
A 1333.333374 0.000000 
B 0.000000 3.500000 
C 0.000000 5.500000 
D 66.666664 0.000000 
 
 LINHA EXCEDENTE PREÇOS DUAL 
 2) 0.000000 3.000000 
 3) 0.000000 1.500000 
 
 Nº. DE INTERAÇÕES = 3 
 
Logo: A = 1333,33; B = C = 0; D = 66,66 
 
Solução da questão4.22 
 
 Deste modo, desenvolve-se a resolução do problema 4.22, mudando o 
objetivo que passa a ser: 
 
Max f = 15A + 30B + 25C + 60D 
 
 Sujeito a 
 
4A + 9B + 7C + 10D ≤ 6000 
2A + B + 3C + 20D ≤ 4000 
 
Resolução obtida através do software lindo: 
 
LP ótima encontrada na etapa 1 
 
Valor Função objetivo 
 
 1) 24705.88 
 
VARIÁVEL VALOR CUSTO REDUZIDO 
A 0.000000 0.529412 
B 470.588226 0.000000 
C 0.000000 1.470588 
D 176.470581 0.000000 
 
 LINHA EXCEDENTE PREÇOS DUAL 
 2) 0.000000 3.176471 
 3) 0.000000 1.411765 
 
 
 Nº. DE INTERAÇÕES = 1 
 
Logo: A = C = 0; B = 470,58; D = 176,476 
 
Por Raylla Gllian Sampaio Lima Ribeiro 
 Deliane Lima Marinho