MODELAMENTO E OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS EM ENGENHARIA

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA 
IT 172 – MODELAMENTO E OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS EM ENGENHARIA 
 Matrícula: 201721027-5 Nome: Vítor Patrício da Silva Medeiros 
 
No gerenciamento de um projeto de telecomunicações chegou-se à fase de localização de 
uma torre de retransmissão para o atendimento de três localidades. Por problemas 
técnicos, a antena não pode estar a mais do 10km do centro de cada cidade. Considerando 
as localizações relativas abaixo, determine a melhor localização para a torre. 
Localidade X Y 
Cachoeira Velha -5 10 
Ponte Nova 2 1 
Pinheiral 10 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
O objetivo é encontrar a localização da torre, destacando a distância como uma 
restrição ao problema, não podendo estar a mais de 10 Km do centro de cada cidade. Com 
isso, podemos encontrar as coordenadas cartesianas de cada cidade pelo gráfico abaixo: 
 
 
 
Entende-se que: 
• (X,Y) → Localização da antena. 
• X → Coordenada X do eixo da torre de transmissão. 
• Y → Coordenada Y do eixo da torre de transmissão. 
Em que: CV = Cidade Velha, PN = Ponte Nova e P = Pinheiral. 
 
Com isso, é possível determinar a função objetivo que é dada pela função do triângulo 
retângulo de cada cidade, levando a expressão do somatório a seguir: 
Min f ∑ √(Xi − X)2 + (Yi − Y)²
n
i=1
 
Inserindo as restrições na posição das 3 cidades e substituindo as coordenadas em 
suas respectivas posições, temos: 
1) Min f = √(X1 − X)2 + (Y1 − Y)²≤10 
Min f = √(−5 − X)2 + (10 − Y)²≤10 
 
2) Min f = √(X2 − X)2 + (Y2 − Y)²≤10 
Min f = √(2 − X)2 + (1 − Y)²≤10 
CV(-5; 10)
PN(2; 1)
P(10; 5)
0
2
4
6
8
10
12
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
Ei
xo
 Y
Eixo X
 
3) Min f = √(X3 − X)2 + (Y3 − Y)²≤10 
Min f = √(10 − X)2 + (5 − Y)²≤10 
 
Para encontrar os valores das coordenadas X e Y e suas respectivas posições para a 
determinação da localização da antena, é necessário atribuir valores as coordenadas de cada 
cidade, levando em consideração que a função objetivo de cada cidade deve ser menor ou 
igual a 10 Km em relação ao centro de cada cidade. 
Como esse processo é trabalhoso e manipulação matemática a ser aplicada não 
solucionaria o problema rapidamente, o método mais otimizado para solucionar essa questão 
é utilizando o Excel, com o auxílio da ferramenta solver, que permite atribuir os valores com 
maior precisão e ainda consegue inserir restrições impostas no problema de modo a ser 
simplificado e otimizado. As imagens a seguir serão utilizadas para a demonstração do passo 
a passo de como foi feito pelo programa. 
 
É verificado inicialmente os valores das distâncias de cada cidade em relação a antena 
sem a utilização do solver, em que o próprio programa fez a atribuição de valores para as 
coordenadas. 
E ainda, é demonstrado a fórmula da função objetivo utilizada para calcular a distância 
de cada cidade em relação a antena, conforme a imagem acima. O valor da menor distância 
é dado pela soma das distâncias das 3 cidades que é a função objetivo do problema. 
Posteriormente é adicionado as restrições no solver para a obtenção das coordenadas 
X e Y em relação a antena, obtendo o seguinte resultado. 
Pelo próprio solver consegue-se adicionar as restrições impostas pelo problema e 
todos os valores da tabela são corrigidos por conta da precisão que a ferramenta possui, 
como apresentado anteriormente. 
Consegue-se então obter o menor valor da distância e ainda a posição X e Y para 
determinar a localização da antena em relação as 3 cidades. 
Tem-se assim: 
X = 2,3392. 
Y = 3,2077. 
E menor distância = 20,1012 Km.