Cap 02 (Aposti) - MAT 271 - 2012-II

Prévia do material em texto

1
 
CAPÍTULO 2 
Solução Numérica de Equações 
2.1. INTRODUÇÃO 
 
Apresentamos, neste capítulo, métodos numéricos para resolução de equações na forma 
 f (x) = 0, onde f (x) é uma função de uma variável real. Nas diversas áreas científicas, 
frequentemente deparamo-nos com problemas reais envolvendo a resolução dessas equações. 
Resolver a equação f (x) = 0 consiste em determinar a solução (ou soluções) real ou complexa 
tal que f ( ) = 0. Por exemplo, consideremos a equação f (x) = cos (x) + x2 + 5 = 0. Desejamos 
determinar a solução tal que f ( ) = cos ( ) + 2 + 5 = 0. 
Métodos iterativos são desenvolvidos para determinar aproximadamente essa solução real , 
embora tenhamos métodos iterativos específicos para determinar a solução quando esta é um 
número complexo. 
Apresentamos os métodos iterativos para determinar a solução quando este é um valor real e, 
para isso, necessitamos de uma solução inicial x0. A partir desta geramos uma sequência de 
soluções aproximadas que sob determinadas condições teóricas convergem para a solução desejada 
 . 
Esta solução inicial, x0 pode ser obtida através de recursos gráficos, em que localizamos uma 
vizinhança ou um intervalo [a, b] onde se encontra a solução . 
 
Teorema 2.1- Se uma função contínua f (x) assume valores de sinais opostos nos pontos 
extremos do intervalo [a, b], isto é, se f (a) × f (b) < 0, então existe pelo menos um ponto  [a, b], 
tal que f ( ) = 0. 
 
Definição 2.1 - Se f : [a, b] IR é uma função dada, um ponto  [a, b] é um zero (ou raiz) de 
f se f ( ) = 0. 
 
Ilustraremos graficamente esses conceitos no exemplo a seguir. 
 
Exemplo 2.1 – 
Seja f : (0, ) IR . Determinar as raízes de f (x) = ln x. 
O gráfico de ln x: 
 
2
 
 
Nesse caso vemos que f (0.5) × f (1.5) < 0. Portanto existe uma raiz de f (x) no intervalo (0.5, 
1.5). Além disso, a curva intercepta o eixo dos x num único ponto, pois trata-se de uma função 
crescente. Então = 1 é a única raiz de f (x) = 0. 
 
Exercício 2.1 
Isolar os zeros da função f ( x ) = x3 -9 x +3. 
 
Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais: 
 
x - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 
f( x ) 
 
 
 
 
 
 
2.2. MÉTODO DA BISSECÇÃO 
 
Considere o intervalo [a, b] para o qual f (a) × f (b) < 0. No método da bissecção calculamos o 
valor da função f (x) no ponto médio: x1 = 
 
 
. Portanto existem três possiblidades. 
 
3
 
Primeiramente, embora seja quase impossível, se o valor da função calculado no ponto x1 fosse 
nulo, isto é: f (x1) = 0. Nesse caso x1 é o zero da f e não precisamos fazer mais nada. 
Em segundo lugar, se f (a)×f (x1) < 0, então f tem um zero entre a e x1. O processo pode ser 
repetido sobre o novo intervalo [a, x1]. 
Finalmente, se f (a) × f (x1) > 0, segue que f (b) × f (x1) < 0, desde que é conhecido que f (a) e 
 f (b) têm sinais opostos. Portanto f tem um zero entre x1 e b, e o processo pode ser repetido com 
[x1, b]. 
A repetição do método é chamada iteração e as aproximações sucessivas são os termos 
iterados. Assim, o método da bissecção pode ser descrito como: 
Para k = 1, 2,... , faça: 
 = 
 
 
 
 
Se f (a)×f (xk) 
 
 
 
 
 
2.2.1. Processo de Parada 
 
1) Para aplicar qualquer método numérico deveremos ter sempre uma ideia sobre a localização 
da raiz a ser determinada. Essa localização é obtida, em geral, através de gráfico. (Podemos 
também localizar o intervalo que contém a raiz fazendo uso do Teorema 2.1). A partir da 
localização da raiz, escolhemos então x0 como uma aproximação inicial para a raiz de 
f (x) = 0. Com essa aproximação inicial e um método numérico refinamos a solução até 
obtê-la com uma determinada precisão (número de casas decimais corretas). 
 
2) Para obtermos uma raiz com uma determinada precisão devemos, durante o processo 
iterativo, efetuar o seguinte teste: 
Se 
 
 
 
onde é uma precisão pré-fixada; xk e xk+1 são duas aproximações consecutivas para , 
então xk+1 é a raiz procurada, isto é, tomamos = xk+1. 
 
 
 
 
 
4
 
2.2.2. Estimativa do número de iterações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, o maior erro que se pode cometer na: 
 1ª iteração (n = 1): é 
 
 
 
 2ª iteração (n = 2): é 
 
 
 
 3ª iteração (n = 3): é 
 
 
 
 
 nª iteração: é 
 
 
 
Se o problema exige que o erro seja inferior a um parâmetro , determina-se a quantidade n de 
interações encontrando o maior inteiro que satisfaz a inequação 
 
 
 que se resolve da 
seguinte maneira: 
 
 
 
 log 
 
 log log (b – a) – log 2n log 
 log (b – a) – n log 2 log n 
 
 
 
 
Exemplo 2.2 
Usando o método da bissecção, resolva a equação x
2
 + ln (x) = 0, com = 0,01. 
 
a) Determinando graficamente uma vizinhança para a raiz, consideramos a forma equivalente 
x
2
 = - ln(x), ou seja, f1 (x) = x
2
 e f2 (x) = -ln(x), conforme ilustrado abaixo: 
 
5
 
 
Observando a figura, podemos concluir que a raiz encontra-se na intersecção dos gráficos 
f1(x) e f2(x), e pertence ao intervalo [0.1, 1]. 
 
b) Considerando o intervalo inicial a = 0.1 e b = 1, temos f (0.1)f (1) < 0, portanto, temos uma 
raiz no intervalo [0.1, 1]. Observe que a função f (x) = x2 + ln (x) é contínua no intervalo dado. 
 
c) Sequência de soluções aproximadas: 
 
x0 = 0.5500 solução inicial 
x1 = 0.7750 
 
 
 = 0.2903 > 
x2 = 0.6625 
 
 
 = 0.1698 > 
x3 = 0.6063 
 
 
 = 0.0927 > 
x4 = 0.6344 
 
 
 = 0.0443 > 
x5 = 0.6485 
 
 
 = 0.0217 > 
x6 = 0.6555 
 
 
 = 0.0107 > 
x7 = 0.6445 
 
 
 = 0.0171 > 
x8 = 0.6425 
 
 
 = 0.0031 < 
Como o critério de parada foi satisfeito, temos a solução aproximada: 
 
 
6
 
Exercício 2.2 
Determinar um valor aproximado para , com erro inferior a 102 . 
 
 
 
 
 
 
2.3. MÉTODO DE NEWTON, NEWTON-RAPHSON (OU MÉTODO DAS TANGENTES). 
Este método é uma particularidade do método das aproximações sucessivas. A ideia é construir 
uma função para a qual exista um intervalo contendo o zero , onde . Esta 
construção é feita impondo . Como deve ser uma função contínua, existe sempre 
uma vizinhança I de onde 
 . 
Portanto o método de Newton consiste de em determinar uma função tal que 
 . Neste caso para x na vizinhança de , temos e portanto e a convergência 
é garantida e são contínuas) para isto considere . 
Procuramos agora uma função tal que: 
 . 
Como e, supondo que , temos que; 
 
 
 
 
Assim, uma escolha para é tomando para 
 
 
 e, portanto, de 
 
temos 
 
 
Desta forma, o processo iterativo é dado por; 
 
7
 
 
 
 
 método de Newton 
O método de Newton possui a interpretação gráfica conforme ilustra figura abaixo 
 
Definido como α o ângulo formado com o eixo das abscissas através da reta tangente à função 
 no ponto , temos: 
 
 
 
 
ou seja: 
 
 
 
 
Portanto, temos : 
 
 
 
 
 
 
O método de Newton é também conhecido como método das tangentes, em razão de sua 
interpretação gráfica. 
Note que o método de Newton requer que para todo i. No caso em que 
 
(supondo que ), a reta tangente a função no ponto é paralela ao eixo das abscissas, e 
 é indefinido, embora a convergência seja maislenta.) 
Podemos analisar esta situação observando, na figura abaixo que tanto como 
 na medida em que calculamos as soluções aproximadas. 
 
8
 
 
 
2.3.1. Convergência do método Newton 
Para examinar a convergência do método Newton, supomos que e sejam 
contínuas na vizinhança da raiz . 
Como , temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha que seja um raiz simples de , então . Entretanto, pela 
continuidade de f’(x) temos que , para algum ϵ ≥ 0 numa vizinhança de . 
Nesta vizinhança de selecionamos uma subvizinhança tal , o que é 
possível, uma vez que são contínuas. 
Portanto nesta vizinhança temos que e, de acordo com o teorema de convergência 
do método das aproximações sucessivas, o método de Newton gera uma sequencia convergente para 
 . 
2.3.2. Convergência quadrática 
Definição: Dizemos que um método iterativo apresenta convergência quadrática se 
 
 
 
 , onde k é chamada constante assintótica de proporcionalidade, 
e são os erros cometidos nas iterações correspondentes. 
Observação: O método de Newton apresenta convergência quadrática se f’(x)≠0. 
Exemplo 2.3: Usando o método de Newton, resolva a equação. com , isto 
é desejamos calculo de . 
 
9
 
Usando o processo iterativo de método de Newton, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de uma solução inicial, geramos a sequência de soluções aproximadas: 
x0 = 1.0000 solução inicial dada 
x1 = 1.5000 
 
 
 = 0.33333 > 
x2 = 1.41667 
 
 
 = 0.05882 > 
x3 = 1.41422 
 
 
 = 0.00173 > 
x4 = 1.41421 
 
 
 = 0.00001 > 
Como o critério de parada está satisfeito, temos que Podemos observar 
que esta sequência converge para 
Desta forma, podemos observar que, na media em que os valores de se aproximam da raiz 
 a convergência torna-se muito rápida, isto devido à propriedade da convergência quadrática do 
método de Newton. 
 
2.4. MÉTODO DAS SECANTES 
Como foi observado anteriormente, uma séria desvantagem do método de Newton é a 
necessidade de se obter (x), bem como calcular seu valor numérico, a cada passo. Há várias 
maneiras de modificar o método de Newton a fim de eliminar essa desvantagem. Uma modificação 
consiste em substituir a derivada pelo quociente das diferenças: 
 
 
 
 
, 
onde são duas aproximações quaisquer para a raiz . Note que é o limite da relação 
acima para . 
 
 
 
 
 
 
 
1
0
 
 
 
 
 
Assim, colocando o segundo membro sobre o mesmo denominador, obtemos uma expressão 
mais simples para o método das secantes: 
 
 
 
 
 (2.1) 
Observe que devem estar disponíveis duas aproximações iniciais, antes que (2.1) possa ser 
usada. Na figura abaixo, ilustramos graficamente como uma nova aproximação, pode ser obtida de 
duas anteriores. 
 
Vemos que, geometricamente, o método das secantes consiste em considerar, como 
aproximação seguinte, a interseção da corda que une os pontos com 
o eixo dos x. Tomando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.4: Determinar a raiz positiva da equação: , pelo método das 
secantes, com erro inferior a 10
−2
. 
Novamente, para obtermos os valores iniciais x0 e x1 necessários para iniciar o processo 
iterativo, dividimos a equação original em outras duas y1 e y2, com y1 = e y2 = , 
que colocadas no mesmo gráfico, produz a figura abaixo: 
 
1
1
 
O ponto de interseção das duas curvas é a solução procurada. Analisando a figura vemos que 
 está nas vizinhanças do ponto 1.4. Assim, tomando e obtemos: 
 
 
 
 
Portanto, usando (2.1), obtemos que: 
x2 = 
 
 
 
 x2 = 
 
 — 
 
 x2 = 1.432 
Calculando o erro relativo: 
 
 
 
 
Observamos que este é maior que . Devemos, portanto fazer mais uma iteração. 
Calculemos então: 
 
 
 
Novamente, usando (2.1), obtemos: 
X3 = 
 
 
 
 
 x3 = 
 
 — 
 
 
1
2
 
 x3 = 1.431 
Fazendo: 
 
 
 
 
Logo, a raiz positiva da equação com , é =1.431. 
 
2.5. MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO 
Podemos, ainda, variar o método das secantes e obter outro método, conhecido como o método 
da falsa posição, o qual difere do método das secantes apenas na escolha dos pontos iniciais, x0 e x 
1, os quais devem satisfazer à propriedade e nos pontos escolhidos nas demais 
iterações. 
Uma nova aproximação é determinada usando o método das secantes, ou seja: 
 
 
 
 
Se 
 
 
 
 ou 
 
 
 
para um pré-fixado, então é a raiz procurada. Caso contrário, calculamos e escolhemos 
entre e aquele cuja tenha sinal oposto ao da . Com e esse ponto calculamos 
usando a fórmula das secantes, e assim sucessivamente. O processo iterativo deve ser continuado 
até que se obtenha a raiz com a precisão pré-fixada. 
Uma interpretação geométrica do método da falsa posição é dada no gráfico a seguir. Observe 
que é o ponto de interseção da corda que une os pontos e com o 
eixo dos . Nesse caso o novo intervalo contendo a raiz será . A aproximação será 
o ponto de interseção da corda que une os pontos e com o eixo dos 
 . Observe ainda que a aplicação do método falsa posição sempre mantém a raiz procurada entre as 
aproximações mais recentes. 
 
1
3
 
Exemplo 2.5 
Determinar a menor raiz positiva da equação pelo método da falsa posição, com 
erro inferior a 10
−3
. 
Novamente, para obtermos os valores iniciais e necessários para iniciar o processo 
iterativo, dividimos a equação original em e que colocadas no 
mesmo gráfico, produz a seguinte figura: 
 
O ponto de interseção das duas curvas é a solução procurada. Analisando a figura, vemos que 
 está nas vizinhanças do ponto . Assim, tomando e , obtemos: 
 
 
e portanto: . Portanto, obtemos que: 
 
 
 
 
 
1
4
 
 
 
 
 
Fazendo: 
 
 
 
 0.052 e 
 
 
 0.084 
obtemos que ambos são maiores que 10
−3
. Calculando: 
 
 
vemos que , e portanto a raiz está entre e . Assim, segue que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando o erro relativo: 
 
 
 
 
vemos que este é menor 10
−3
. Assim, a menor raiz positiva, observe pelo gráfico que a raiz positiva 
é única, da equação , com < 10−3, é = 0.7390.