Aula Cálculo I - Funções

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Equações  Funções
Equações são sentenças matemáticas que envolvem uma igualdade.
Exemplos:
1. De uma quantidade retiramos ou adicionamos a sua raiz
multiplicada por um coeficiente e a soma ou a diferença é igual a um
número dado. (linguagem retórica, utilizada até o séc. XV)
Raiz: A raiz é qualquer coisa que será multiplicada por ela
mesma. O quadrado é o que obtemos quando multiplicamos a
raiz por ela mesma. Al-Khwarizmi (800 dC).
François Viète (1540-1603) introduziu a simbologia na equações.
Assim, na notação atual, escrevemos:
2x bx c 
1
2.
4. Equação de uma parábola:
sen 1, 0 2x x   
3.
" 0, ( )y y y f x  2 0y ax 
5. Equação de uma circunferência de centro na origem e raio a:
2 2 2x y a 
Qual o objetivo em uma equação? Encontrar a(s) solução(ões)
Portanto, nas equações, as quantidades desconhecidas, chamadas
incógnitas, devem ser encontradas, o que chamamos de resolver a
equação.
Soluções: valores para as quantidades desconhecidas que tornam a
igualdade verdadeira.
2
Equações determinadas e indeterminadas
Existe uma diferença de natureza entre as equações
2 2 2) 2 0 e ) 4.a x x b x y    
No caso a) as soluções podem ser determinadas, ou seja, somos
capazes de encontrar 2 valores para a incógnita: x = 2 e x = 1 que
tornam a igualdade verdadeira. Neste caso dizemos que a equação é
determinada.
No caso b) as incógnitas x e y não possuem valores determinados,
pois para cada valor atribuído à incógnita x , encontra-se 2 valores
para a incógnita y, sendo este processo infinito.
Neste caso dizemos que a equação é indeterminada e é mais
adequado chamarmos as incógnitas x e y de variáveis.
Funções 3
 Em 1718, em um artigo apresentado à Academia de Ciências
de Paris, Bernoulli definiu uma função da seguinte forma:
“Chamamos função de uma grandeza variável uma
quantidade composta, de um modo qualquer, desta grandeza
variável e de constantes”. E usou a notação x.
 Na segunda metade do século XVII, Galileu desenvolvia
estudos sobre o movimento dos corpos, relacionando espaço e
tempo. Na mesma época, Leibniz, ao formalizar o
desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral, começa a
propor a ideia de funções como sendo curvas que eram
obtidas a partir de retas tangentes.
4
Um pouco da história das funções ...
Roque, Tatiana. História da Matemática. Uma visão crítica
desfazendo mitos e lendas. Ed. Zahar, Rio de Janeiro, 2013.
Em 1748, Euler publicou um livro chamado Introdução à
Análise Infinita, onde situa a função como a noção central da
matemática e propõe a seguinte definição: “Uma função de
uma quantidade variável é uma expressão analítica composta
de um modo qualquer dessa quantidade e de números, ou de
quantidades constantes”.
E utilizou a notação f (x).
5
Finitas ou infinitas operações algébricas (adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) ou
transcendentes (trigonométricas, logarítmicas e exponenciais).
 Ainda no século XVIII, motivado por um problema físico de
“cordas vibrantes”, resolvido por D’Alembert, Euler
desvinculou a função de uma expressão analítica.
6
 No início do século XIX, Fourier desenvolve uma teoria para
estudar a propagação do calor, onde o conceito de função
analítica é novamente revisto, pois representa as funções por
séries nada convencionais:
0
1
( ) cos sen , com
2
n n
n
a n t n t
f t a b
T T


  
  
 

1 1
( )cos , 0,1,2,...; ( )sen , 1,2,3,...
T T
n n
T T
n t n t
a f t dt n b f t dt n
T T T T 
 
    
Aqui surge a discussão sobre continuidade de funções e em 1829
Dirichlet publica um artigo onde não define o que é uma função,
mas discute problemas relacionados à continuidade das funções
estudadas por Fourier. Uma versão revisada deste texto foi
publicada em Alemão em 1837, contendo uma definição bastante
citada:
“Sejam a e b dois números fixos e x uma quantidade variável que
recebe sucessivamente todos os valores entre a e b. Se a cada x
corresponde um único y, finito e de maneira que, quando x se move
continuamente no intervalo entre a e b, y = f(x) também varia
progressivamente, então y é dita uma função contínua de x neste
intervalo. Para isso, não é obrigatório, em absoluto, nem que y
dependa de x de acordo com uma mesma e única lei, nem mesmo
que seja representada por uma relação expressa por meio de
operações matemáticas”.
7
 No final do século XIX, Cantor e Dedekind constroem o Conjunto
dos Números Reais na forma como conhecemos hoje, ou seja, um
conjunto que contem todos os racionais e os irracionais, não
havendo intervalo entre um número e outro (continuidade dos
números reais).
Obs. A principal propriedade dos números racionais , que os torna
essencialmente distintos dos números reais, é o fato de poderem ser
enumerados. O procedimento de “enumeração” dos elementos de um
conjunto é feito por meio da associação de cada um desses elementos
a um número natural; e a associação é definida como uma função
de um conjunto no outro, uma correspondência biunívoca entre
seus elementos.
Neste contexto surgirá a ideia de função como uma correspondência 
entre dois conjuntos numéricos (1873).
8
Funções
Definição: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f, de
domínio A e contra-domínio B, é qualquer relação que associa cada
elemento x pertencente ao conjunto A a um único elemento y
pertencente ao conjunto B.
Notação geral (simbologia):
:
( )
f A B
x f x

:
( )
p
t p t

*:
( )
n
a n a

Domínio
Variável 
independente
Imagem
Variável 
dependente
Obs.: Nossos estudos serão desenvolvidos no conjunto dos números
reais e, portanto, teremos sempre A  R e B  R.
9
Maneiras de representar uma função: verbal, matemática, numérica 
ou gráfica
 Verbal
• A população humana de um país varia com o tempo.
• A área de um círculo depende de seu raio.
• A pressão de uma massa gasosa, que se expande 
isotermicamente, depende da temperatura.
 Matemática
Var. dependente
Var. independente
( )
1 t
K
P t
Ce 


2( )A r r
( )
nRT
P T
V

• De acordo com o modelo logístico, a população humana cresce segundo a função:
• A área de um círculo de raio r é dada pela função:
• A pressão de vapor do etanol, em função da temperatura, é dada por
10
 Numérica
Ano População
1950 52 milhões
1960 70 milhões
1970 93 milhões
1980 118,5 milhões
1990 149 milhões
2000 171 milhões
2010 190,8 milhões
 Gráfica
0,039528
245
( )
1 3,712 t
P t
e


 Matemática
2( )A r r
r A(r)
0 0
0,5 0,785
1 3,142
1,5 7,069
2 12,57
2,5 19,63
( )
nRT
P T
V

Temperatura (C) Pressão (torr.)
25,0 55,9
30,0 70,0
35,0 97,0
40,0 117,5
45,0 154,1
50,0 190,7
55,00 241,9
cte
11
Gráficos ...
x y
-2 4
-1 1
0 0
1 1
1,5 2,25
2 4
x y
-2 4
-1 1
0 0
-1 -1
-2 -3
1 4
não é função
Cuidados ao fazer 
um gráfico:
12
2 4( ) (39 10 )
30
x
f x x x  
x -3 -1 0 1 3
f (x) -3 -1 0 1 3
13
Exemplos:
Exemplo 1.
Quais das equações abaixo definem y como uma função de x?
(a) x + y = 2 (b) x2 – y = 1 (c) x2 + y2 = 4
y = 2 – x y = x2 – 1
24  y x
14
2 , para < 0
( ) 2, para = 0
2
 , para 0 < 4
x x
G x x
x
x

 

 

 

Exemplo 2. Trace o gráfico da função
15
Exemplo 3. Encontre o valor de f (1/3), f (2) e f(3) se 
1
, 2
( ) 2
1, 2
x
f x x
x x


 
  
Exemplo 4. Se , encontre2( ) 2 3 4f x x x  
( ) ( )
(0), ( 1), ( ),
f x x f x
f f f x
x
  
 

Determinando o domínio ...
1. Encontre o domínio das funções abaixo:
2) ( ) 4a f x x 2
10
) ( )
2
t
b g t
t t


 
3
3
, 10
) ( )
, 10
y y
c h y
y y
 
 

16
) ( ) tgd   
[ 2,2] { : 2 2}D x x      { : 10 e 1 e 2}D t t t t      D 
{ : 2 , }
2
D k k
      
17
2. Domínio físico: Suponha um corpo em queda
livre de uma altura h. Da Física sabemos que o
fenômeno de queda é caracterizado pela função
onde s é o espaço percorrido, t é o tempo de
queda e g é a aceleração da gravidade.
2
2
gt
s 
Domínio matemático: D 
2 2
0, : 0
h h
D t t
g g
   
       
   
Tipos de Funções
 Polinomial: Uma função f é uma função polinomial se f (x) é um polinômio, isto é:
onde os coeficientes são números reais e os expoentes são inteiros não
negativos. Se então a função f é dita ser de grau n.
1
1 1 0( ) ...
n n
n nf x a x a x a x a

    
0na 
0 1, ,..., na a a
EXEMPLOS
  3 22 3 4 1f x x x x   
  22 4f x x 
  2 1f x x 
  3f x 
(polinomial de grau 3) 
(polinomial de grau 2) 
(polinomial de grau 1) 
(polinomial de grau 0 ou constante) 
18
Função constante:   ,f x k k 
Função polinomial de 1º grau:   , , , constantesf x ax b a b  
Exemplos
f (x) = 3; f (t) = π;
a : coeficiente angular
b : coeficiente linear
19
tga 
0 tg 0
2
    tg 0
2
      
( ) cos
5

  
OBS.: Numa função polinomial do 1o grau, a razão da variação de y em relação à 
variação de x é constante e igual ao coeficiente angular a, isto é, y
a
x



Exemplos
f (x) = 2x g (x) = 2x  3h (t) = 4  t
20
Exemplo 1. À medida que o ar seco se move para cima, ele se expande e esfria. Se a
temperatura do solo for de 20˚C e a temperatura a uma altura de 1 km for de 10˚C:
a) Expresse a temperatura (em ˚C) como uma função da altura h (em km), supondo
que um modelo linear seja apropriado.
b) Esboce o gráfico para a função obtida na parte (a).
c) Qual é a temperatura a 2,5 km de altura?
Solução
(a) Hipóteses: T é uma função linear  T(h) = ah + b.
T(0) = 20  20 = a.0 + b = b  b = 20  a reta intercepta o eixo das ordenadas em 20.
T(1) = 10  10 = a.1 + 20  o coeficiente angular da reta é, portanto, a = –10.
Assim, a função linear procurada é T = –10h + 20.
(c) T (2,5) = –10(2,5) + 20 = –5˚C.
Aplicações:
21
(c) Obs.: O coeficiente angular da reta é
a = –10 ˚C/km e representa a taxa de
variação da temperatura em relação à
altura, ou seja, para cada 1 km que a
altura aumenta, a temperatura
decresce de 10˚C.
Exemplo 2. Sabendo que a água congela a 0 ºC (32 ºF) e ferve a 100
ºC (212 ºF) e que a conversão de uma unidade para a outra se dá por
meio de uma função linear, estabeleça uma função que converta
Fahrenheit em Celsius.
Solução
°F °C
32 0
212 100
C(F) = a F + b 
22
100 0
212 32
a



100 5
180 9
 
5
0 32
9
b  
5
32
9
b   
5
( ) ( 32)
9
C F F  5 0,55...
9

Função potência:
  , constanteaf x x a
23
x2
x4
x6
x10
x3
x5
x7
x11
24
x2
x4
x6
x10
25
1( )f x x
3( )f x x
x3
x5
x7
x11
Função racional:  
 
 
P x
f x
Q x
 onde P(x) e Q(x) são funções polinomiais e   0Q x 
3 2
3
3 2 2
( )
1
x x
f x
x
 


Exemplos:
26
2 2
( )
2
x
f x
x



27
Função algébrica:
Uma função algébrica é uma função que pode ser expressa
em termos de somas, diferenças, produtos, quocientes,
potências ou raízes de polinômios.
 
 2
4 3
3
5
5 2
x x
f x x x
x x

  

Sugestão de exercícios: Stewart, 7ª ed.: Exercícios 1.2: 10 - 18
2
23( ) ( 2)f x x x 
Funções trigonométricas:
f(x) = sen x ; D = 
f(x) = cos x ; D = 
OBS.: Quando trabalhamos com funções
trigonométricas, o domínio é um
subconjunto de e, portanto, as variáveis
não podem ser expressas em graus e sim,
em radianos, que são representações reais
das medidas angulares. Para fazer a
conversão, basta usar a relação .
1
180

 rad 28
sen cos 1 1
tg , cotg , sec , cossec
cos sen cos sen 
x x
x x x x
x x x x
   
Funções definidas a partir do seno e do cosseno:
f (x) = tg(x); D =
2
k
 
   
 
f (x) = cotg(x); D =
 k 
29
f (x) = sec(x); D =
2
k
 
   
 
f (x) = cossec(x); D =
 k 
Identidades importantes:
sen2x + cos2x = 1 1 + tg2x = sec2x
1 + cotg2x = cossec2x sen 2x = 2 sen x cos x
cos 2x = cos2x  sen2x sen(x ± y) = sen x cos y ± sen y cos x
cos(x  y) = cos x cos y + sen x sen y cos(x + y) = cos x cos y – sen x sen y

30
Composição de Funções :
: e : Im( ) :g A B f g C f g A C   ( )( ) ( ( ))f g x f g x
Lê-se “f bola g ”
Exemplos:
21. ( ) , 0 e ( ) 1 ( )( ) ? e ( )( ) ?f x x x g x x f g x g f x      3
4
2. ( ) sen e ( ) ( )( ) ? e ( )( ) ?
x
f x x g x f g x g f x
x x

    

5313. ( ) , ( ) e ( ) ( )( ) ?f x g x x h x x x f g h x
x
      2 34. Expresse ( ) cos (1 )x x x   
como a composta de 4 funções.
31
32
5. Um estudo das condições ambientais de uma comunidade indica que a
taxa média diária de monóxido de carbono no ar será de partes
por milhão (ppm), quando a população for de p milhares. Estima-se que
daqui a t anos, a população da comunidade será de
milhares de habitantes. Expresse a taxa média de monóxido
de carbono no ar como uma função do tempo. Utilize esta função para
estimar a taxa média diária de monóxido de carbono no ar após 5 anos.
( ) 1
2
p
C p  
2( ) 10 0,1p t t 
6. Um balão esférico é inflado e seu raio aumenta a uma taxa de 2 cm/s.
a) Expresse o raio do balão em função do tempo.
b) Expresse o volume do balão em função do tempo. 
Sugestão de exercícios: Stewart, 7ª ed.
Exercícios 1.3: 29 - 56
Funções Inversas:
De uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma função f, denotada por 
f -1, é a função que desfaz a operação executada pela função f.
  1 2 2.f f     1 16 16.f f    
Definição: Dada uma função f, a sua inversa é uma função, usualmente
denotada por tal que
     1 1 1, dom( ) e dom( )f f x f f x x x f x f      1f 
33
CUIDADO!!!! Observe que o (–1) de f –1 não é um expoente, ou seja,
não significa .
 1f x
1
( )f x
  
11
( )
f x
f x


Como determinar f –1 ?
Passo 1: Escreva y = f(x).
Passo 2: Se possível, isole x nessa equação, escrevendo-o em termos de y.
Passo 3: Escreva . Se quiser expressar a inversa f –1 como uma função de x, 
troque x por y e escreva
Passo 4: Se as duas condições: e estiverem satisfeitas, 
então f –1 é a inversa procurada.
 1x f y   1f f x x   1f f x x  1 .y f x
Exemplo1. Encontre a inversa de f (x) = 3x – 5 e de f(x) = 4 – x2.
34
Obs: Nem toda função possui inversa e a condição para que ela seja inversível
(possuir inversa) é que ela seja bijetora (injetora e sobrejetora).
é dita injetora ou um a um se 1 2 1 2 1 2, : ( ) ( )x x A x x f x f x    
é dita sobrejetora se 
:f A B  
:f A B  
, : ( )y B x A y f x    
Injetora em 
Sobrejetora em
 Bijetora em 
Não injetora
Sobrejetora em 
 Não Bijetora

Injetora em 
Sobrejetora em
 Bijetora em 35
Gráfico da Função Inversa :
Levando emconta que podemos concluir que o ponto (a,b) está
sobre o gráfico de f se, e somente se, o ponto (b,a) está sobre o gráfico de f –1, ou seja,
   1f a b f b a  
       
1
1
gráfico de gráfico de 
P , Graf Q , Graf
f f
a b f b a f

  
Portanto, uma maneira de
obtermos o gráfico da inversa de
uma função f, é utilizar o gráfico de f
e fazermos uma reflexão do mesmo
em relação à reta y = x.
36
Exemplo 2. Encontre a inversa de f (x) = 2x + 5
e verifique que de fato a função encontrada é a
inversa de f.
1 5( ) =
2
x
f x

Exemplo 3. Se , então .
( ) = nf x x
1( ) = , , 2nf x x n n   
Vejamos dois casos particulares:
2 1
1 2
1 1 2 2
( ) = ( ) = .
( ( )) = ( ) = ( ) , 0
De fato,
( ( )) = ( ) = , 0.
f x x f x x
f f x f x x x x
f f x f x x x x


 

   

  
37
38
Sugestão de exercícios: Stewart, 7ª ed.
Exercícios 1.6: 1 – 27
Exceto: 23, 25
3 1 3
1 33 3
31 1 3 3
( ) = ( ) = .
( ( )) = ( ) = ( ) = ,
De fato,
( ( )) = ( ) = = , .
f x x f x x
f f x f x x x x
f f x f x x x x


 

  

 
Função exponencial:
( ) , 0 (constante), 1xf x a a a  
39
( ) 0,xf x a x   
O número e = 2,7182818284590452353602874713527 ...
1
lim 1
n
n
e
n
 
  
 
Euler, em 1737, provou que e é um número irracional !!!!
0 1
nt
r
S S
n
 
  
 
40
Aplicações:
0,039528
245
( )
1 3,712 t
P t
e


Exemplo 1. A população brasileira, segundo os últimos 7 sensos, cresceu de acordo 
com a função: 
Exemplo 2. As empresas de investimento utilizam com frequência o modelo 
para calcular o crescimento de um investimento, onde y0 é o investimento inicial e r é
a taxa de juros (anual ou mensal, conforme o caso). Utilize este modelo para
acompanhar o crescimento de R$100,00 investidos no ano 2000 a uma taxa de juros
anual de 5,5%.
0
r ty y e
Solução: 2000 t = 0  y(0) = y0 = 100
r = 5,5%  r = 0,055

0,055( ) 100 ty t et ano Y(t) Valor0 2000 100 100,00
1 2001 105,65406 105,65
5 2005 131,65307 131,65
8 2008 155,27072 155,27
10 2010 173,3253 173,33
14 2014 215,97662 215,98
41
Exemplo 2. A vida média do estrôncio-90 (90Sr) é de 25 anos. Isso significa que a
metade de qualquer quantidade do elemento irá se desintegrar em 25 anos.
a) Se uma amostra de 90Sr tiver uma massa de 24 mg, encontre uma expressão para a
massa m(t) que sobrará após t anos.
b) Encontre a massa remanescente após 40 anos.
c) Faça o gráfico para a função obtida na parte a) e use-o para estimar o tempo
necessário para que a massa fique reduzida a 5 mg.
Solução:
(0) 24m 
1
(25) 24
2
m 
2
1 1 1
(50) 24 24
2 2 2
m  
2 3
1 1 1
(75) 24 24
2 2 2
m  
3 4
1 1 1
(100) 24 24
2 2 2
m  
25
/25
1
( ) 24 24 2 (40) 7,917 mg
2
t
t
m t m

     
( ) 5 quando 57 anosm t t 
42
Propriedades:
1 2 1 2x x x xa a a
 1 2 1 2
 
( )
x x x x
a a 
x x xab a b
x x
x
a a
b b
 
 
 
1 1
x
x
x
a
aa
     
  1, 2, constantespositivas, , , tem-se :a b x x x 
Funções hiperbólicas:
( ) senh ,
2
x xe e
f x x D

  ( ) cosh ,
2
x xe e
f x x D

  
43
Exercícios: Stewart, 7ª ed.
Exercícios 1.5: 19 - 30
Funções logarítmicas:
( ) log , 0, 1ag x x a a  
Se , então a função exponencial é bijetora (sempre crescente ou 
decrescente) e, portanto, inversível. Assim, existe uma função inversa , denominada função 
logarítmica de base a, denotada por , isto é,
> 0, 1a a 1( ) = logaf x x
  
1 *
1
:
loga
f
x f x x




 
*:
x
f
x f x a


Como f 1 é a função inversa de f, esta satisfaz a seguinte relação:
1 1( ) ( ) ( ( ))y f x f y f f x x    log =yay x a x ou seja
44
( ) xf x a
log ( ) = ,xa a x x 
log
= , 0a
x
a x x 
1( ) ( )y f x f y x  
Gráficos
Propriedades:
1, e : constantespositivas e qualquer,a b c n log 1 0a log 1a a 
 log log loga a ab c b c  
log log loga a a
b
b c
c
 
  
 log logna ab n b 
log
log ,
log
d
a
d
b
b
a

(mudança de
base)
Logaritmo natural (ou neperiano):
ln log bex x b e x   
  ln log ,eg x x x 
inversa de ex
1( ) ( ) lnxf x e f x x   lnln ex xe x e x 
45
OBS: As calculadoras científicas, geralmente, fornecem teclas para calcular logaritmos 
decimais (base 10) e logaritmos naturais (base e). Para calcular numa base b qualquer, 
elas utilizam uma das seguintes fórmulas: 
log ,b x
ln log
log ou log
ln log
b b
x x
x x
b b
 
10log logx x
Exemplo1.
10
2 2
10
10
2 2
10
logln
log ; log
ln 2 log 2
log 5ln5
log 5 2,3219; log 5 2,3219
ln 2 log 2
xx
x x  
   
46
Exemplo2. Na Cinética Química, para uma reação de primeira ordem reversível, pode ser
mostrado que a fração de material reagido x e o tempo t gasto, estão relacionados através da
equação onde C e K são constantes. Ache uma expressão para x como função de
t.
ln
C C
t
k C x
 

 1
k
t
Cx C e
 
  
 
 
Exemplo 3. Encontre os valores de x que satisfaçam as equações dadas.2 9x 2
10 7x xa)
2
2 22 9 log 9 2log 9
2
x
x
x     
b)
0 0
2 2
10 10 10
0 10 7 1
0 log 7 log 7 log 7x
x
x x x x x
    
 
      
47
2 8x 
322 2 3 6
2
x
x
x     
?
c)
Exercícios: Stewart, 7ª ed.
Exercícios 1.6: 25, 26, 28
33 – 62 
Funções trigonométricas inversas:
 : , 1,1
2 2
 sen 
f
x x
  
     
1 : 1,1 ,
2 2
 arc sen 
f
x x
       
   : 0, 1,1
 cos
f
x x
  
   1 : 1,1 0,
 arc cos
f
x x
   
48
 : , ,
2 2
 tg 
f
x x
  
    
  
1 : , ,
2 2
 arc tg 
f
x x
       
    : 0, ,
 cotg 
f
x x
   
   1 : , 0,
 arc cotg 
f
x x
    
49
   : 0, , , 1 1,
2 2
 sec
f
x x
    
              1 : , 1 1, 0, ,
2 2
 arc sec 
f
x x
                
   : ,0 0, , 1 1,
2 2
 cossec 
f
x x
    
              1 : , 1 1, ,0 0,
2 2
 arc cossec 
f
x x
               
50
Exercícios: Stewart, 7ª ed.
Ex. 1.6: 63 – 68, 73 – 76