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ÍNDICE
ESA
ESCOLA DE SARGENTOS DAS ARMAS
Cursos de Formação e Graduação de Sargentos
080FV-S0
EDITAL Nº 026/2020
ÍNDICE
Matemática 
a. Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos: representação de conjuntos, subconjuntos, operações: união, interseção, diferença 
e complementar. Conjunto universo e conjunto vazio; conjunto dos números naturais e inteiros: operações fundamentais, Núme-
ros primos, fatoração, número de divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo; conjunto dos números racionais: operações 
fundamentais. Razão, proporção e suas propriedades. Números direta e indiretamente proporcionais; conjunto dos números reais: 
operações fundamentais, módulo, representação decimal, operações com intervalos reais; e números complexos: operações, módulo, 
conjugado de um número complexo, representações algébrica e trigonométrica. Representação no plano de Argand-Gauss, Potencia-
lização e radiciação. Extração de raízes. Fórmulas de Moivre. Resolução de equações binomiais e trinomiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . 01
b. Funções: definição, domínio, imagem, contradomínio, funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, funções pares e ímpares, funções 
periódicas; funções compostas; relações; raiz de uma função; função constante, função crescente, função decrescente; função de-
finida por mais de uma sentença; as funções y=k/x, y=raiz quadrada de x e seus gráficos; função inversa e seu gráfico; e Translação, 
reflexão de funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
c. Função Linear, Função Afim e Função Quadrática: gráficos, domínio, imagem e características; variações de sinal; máximos e míni-
mos; e inequação produto e inequação quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
d. Função Modular: o conceito e propriedades do módulo de um número real; definição, gráfico, domínio e imagem da função modu-
lar; equações modulares; e inequações modulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
e. Função Exponencial: gráficos, domínio, imagem e características da função exponencial, logaritmos decimais, característica e man-
tissa; e equações e inequações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
f. Função Logarítmica: definição de logaritmo e propriedades operatórias; gráficos, domínio, imagem e características da função loga-
rítmica; e equações e inequações logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
g. Trigonometria: trigonometria no triângulo (retângulo e qualquer); lei dos senos e lei dos cossenos; unidades de medidas de arcos 
e ângulos: o grau e o radiano; círculo trigonométrico, razões trigonométricas e redução ao 1º quadrante; funções trigonométricas, 
transformações, identidades trigonométricas fundamentais, equações e inequações trigonométricas no conjunto dos números reais; 
- fórmulas de adição de arcos, arcos duplos, arco metade e transformação em produto; as funções trigonométricas inversas e seus 
gráficos, arcos notáveis; e sistemas de equações e inequações trigonométricas e resolução de triângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
h. Contagem e Análise Combinatória: fatorial: definição e operações; princípios multiplicativo e aditivo da contagem; arranjos, combi-
nações e permutações; e binômio de Newton: desenvolvimento, coeficientes binomiais e termo geral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
i. Probabilidade: experimento aleatório, experimento amostral, espaço amostral e evento; probabilidade em espaços amostrais equi-
prováveis; probabilidade da união de dois eventos; probabilidade condicional; propriedades das probabilidades; e probabilidade de 
dois eventos sucessivos e experimentos binomiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
j. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares: operações com matrizes (adição, multiplicação por escalar, transposição produto); 
matriz inversa; determinante de uma matriz: definição e propriedades; e - sistemas de equações lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
k. Sequências Numéricas e Progressões: sequências Numéricas; progressões aritméticas: termo geral, soma dos termos e proprieda-
des; progressões Geométricas: termo geral, soma dos termos e propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
l. Geometria Espacial de Posição: posições relativas entre duas retas; posições relativas entre dois planos; posições relativas entre reta 
e plano: perpendicularidade entre duas retas, entre dois planos e entre reta e plano; e projeção ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
m. Geometria Espacial Métrica: poliedros Convexos, Poliedros de Platão, Poliedros Regulares: definições, propriedades e Relação de 
Euler; prismas: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; pirâmide: conceito, elementos, classificação, áreas e 
volumes e troncos; cilindro: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; cone: conceito, elementos, classificação, 
áreas e volumes e troncos; esfera: elementos, seção da esfera, área, volumes e partes da esfera; projeções; sólidos de revolução; e 
inscrição e circunscrição de sólidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
n. Geometria Analítica Plana: ponto: o plano cartesiano, distância entre dois pontos, ponto médio de um segmento e condição de 
alinhamento de três pontos; reta: equações geral e reduzida, interseção de retas, paralelismo e perpendicularidade, ângulo entre duas 
retas, distância entre ponta e reta e distância entre duas retas, bissetrizes do ângulo entre duas retas, Área de um triângulo e inequa-
ções do primeiro grau com duas variáveis; circunferência: equações geral e reduzida, posições relativas entre ponto e circunferência, 
reta e circunferência e duas circunferências; problemas de tangência; e equações e inequações do segundo grau com duas variáveis; 
elipse: definição, equação, posições relativas entre ponto e elipse, posições relativas entre reta e elipse; hipérbole: definição, equação 
da hipérbole, posições relativas entre ponto e hipérbole, posições relativas entre reta e hipérbole e equações das assíntotas da hipér-
bole; parábola: definição, equação, posições relativas entre ponto e parábola, posições relativas entre reta e parábola; e reconheci-
mento de cônicas a partir de sua equação geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
o. Geometria Plana: - ângulo: definição, elementos e propriedades; ângulos na circunferência; paralelismo e perpendicularidade; se-
melhança de triângulos; pontos notáveis do triângulo; relações métricas nos triângulos (retângulos e quaisquer); relação de Stewart; 
triângulos retângulos, Teorema de Pitágoras; congruência de figuras planas; feixe de retas paralelas e transversais, Teorema de Tales; 
ÍNDICE
teorema das bissetrizes internas e externas de um triângulo; quadriláteros notáveis; polígonos, polígonos regulares, circunferências, 
círculos e seus elementos; perímetro e área de polígonos, polígonos regulares, circunferências, círculos e seus elementos; fórmula de 
Heron; razão entre áreas; lugares geométricos; elipse, parábola e hipérbole; linha poligonal; e inscrição e circunscrição . . . . . . . . 73
p. Polinômios: função polinomial, polinômio identicamente nulo, grau deum polinômio, identidade de um polinômio, raiz de um 
polinômio, operações com polinômios e valor numérico de um polinômio; divisão de polinômios, Teorema do Resto, Teorema de 
D’Alembert e dispositivo de Briot-Ruffinni; relação entre coeficientes e raízes. Fatoração e multiplicidade de raízes e produtos notáveis. 
Máximo divisor comum de polinômios; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
q. Equações Polinomiais: teorema fundamental da álgebra, teorema da decomposição, raízes imaginárias, raízes racionais, relações de 
Girard e teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Português
1) Leitura, interpretação e análise de textos Leitura, interpretação e análise dos significados presentes em um texto e o respectivo 
relacionamento com o universo em que o texto foi produzido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01
2) Fonética, ortografia e pontuação Correta escrita das palavras da língua portuguesa, acentuação gráfica, partição silábica e pontua-
ção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 08
3) Morfologia Estrutura e formação das palavras e classes de palavras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4) Morfossintaxe: Frase, oração e período, termos da oração, orações do período (desenvolvidas e reduzidas), funções sintáticas do 
pronome relativo, sintaxe de regência (verbal e nominal), sintaxe de concordância (verbal e nominal) e sintaxe de colocação. . . . 31
5) Noções de versificação Estrutura do verso, tipos de verso, rima, estrofação e poemas de forma fixa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6) Teoria da linguagem e semântica História da Língua Portuguesa; linguagem, língua, discurso e estilo; níveis de linguagem, funções 
da linguagem; figuras de linguagem; e significado das palavras. 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7) Introdução à literatura A arte literária, os gêneros literários e a evolução da arte literária, em Portugal e no Brasil. . . . . . . . . . . 57
8) Literatura brasileira Contexto histórico, características, principais autores e obras do Quinhentismo, Barroco, Arcadismo, Romantis-
mo, Realismo, Naturalismo, Impressionismo, Parnasianismo, Simbolismo, Pré-Modernismo e Modernismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9) Redação Gênero textual; textualidade e estilo (funções da linguagem; coesão e coerência textual; tipos de discurso; intertextualida-
de; denotação e conotação; figuras de linguagem; mecanismos de coesão; a ambiguidade; a não-contradição; paralelismos sintáticos 
e semânticos; continuidade e progressão textual); texto e contexto; o texto narrativo: o enredo, o tempo e o espaço; a técnica da des-
crição; o narrador; o texto argumentativo; o tema; a impessoalidade; a carta argumentativa; a crônica argumentativa; a argumentação 
e a persuasão; o texto dissertativo-argumentativo; a consistência dos argumentos; a contra-argumentação; o parágrafo; a informativi-
dade e o senso comum; formas de desenvolvimento do texto dissertativo-argumentativo; a introdução; e a conclusão. . . . . . . . . 65
10) Alterações introduzidas na ortografia da língua portuguesa pelo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa, assinado em Lisboa, em 
16 de dezembro de 1990, por Portugal, Brasil, Angola, São Tomé e Príncipe, Cabo Verde, Guiné-Bissau, Moçambique e, posteriormen-
te, por Timor Leste, aprovado no Brasil pelo Decreto nº 6.583, de 29 de setembro de 2008 e alterado pelo Decreto nº 7.875, de 27 de 
dezembro de 2012. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
História do Brasil
1) História do Brasil a) A expansão Ultramarina Européia dos séculos XV e XVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01
b) O Sistema Colonial Português na América Estrutura político-administrativa, estrutura socioeconômica, invasões estrangeiras, ex-
pansão territorial, interiorização e formação das fronteiras, as reformas pombalinas, rebeliões coloniais; e movimentos e tentativas 
emancipacionistas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 02
c) O Período Joanino e a Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03
(1) A presença britânica no Brasil, a transferência da Corte, os tratados, as principais medidas de D. João VI no Brasil, a política joanina, 
os partidos políticos, as revoltas, conspirações e revoluções e a emancipação e os conflitos sociais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03
(2) O processo de independência do Brasil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
d) Brasil Imperial Primeiro Reinado e Período Regencial: aspectos administrativos, militares, culturais, econômicos, sociais e territo-
riais; Segundo Reinado: aspectos administrativos, militares, econômicos, sociais e territoriais; e Crise da Monarquia e Proclamação da 
República. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
e) Brasil República Aspectos administrativos, culturais, econômicos, sociais e territoriais, revoltas, crises e conflitos e a participação 
brasileira na II Guerra Mundial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
ÍNDICE
Geografia do Brasil
2) Geografia do Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01
a) O território nacional: a construção do Estado e da Nação, a obra de fronteiras, fusoshorários e a federação brasileira. . . . . . . . 01
b) O espaço brasileiro: relevo, climas, vegetação, hidrografia e solos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 02
c) Políticas territoriais: meio ambiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03
d) Modelo econômico brasileiro: o processo de industrialização, o espaço industrial, a energia e o meio ambiente, os complexos 
agroindustriais e os eixos de circulação e os custos de deslocamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
e) A população brasileira: a sociedade nacional, a nova dinâmica demográfica, os trabalhadores e o mercado de trabalho, a questão 
agrária, pobreza e exclusão social e o espaço das cidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
f) Políticas territoriais e regionais: a Amazônia, o Nordeste, o Mercosul e a América do Sul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Inglês
1) Competências e Habilidades a) Compreender a utilização de mecanismos de coesão e coerência na produção escrita; b) Compre-
ender de que formadeterminada expressão pode ser interpretada em razão de aspectos sociais e/ou culturais; c) Analisar os recursos 
expressivos da linguagem verbal, relacionando textos e contextos mediante a natureza, função, organização, estrutura, de acordo com 
as condições de produção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01
2) Conteúdos linguístico-textuais: a) Denotação e Conotação; b) Sinonímia e Antonímia; c) Correlação morfológica, sintática e/ou se-
mântica; d) Pronomes e suas referências; e) Artigos (definidos e indefinidos); f) Singular e Plural; g) Verbos no Presente, para expressar 
hábitos e rotinas, em suas formas afirmativa, interrogativa ou negativa; h) Verbos no Presente Contínuo, para expressar atividades 
momentâneas e futuro, em suas formas afirmativa, interrogativa ou negativa; i) Comparativo e Superlativo; j) Adjetivos e Advérbios e 
suas posições nas frases; k) Quantificadores (many, much, few, little, a lot of). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01
DICA
Como passar em um concurso público?
Todos nós sabemos que é um grande desafio ser aprovado em concurso público, dessa maneira é muito importante o concurseiro 
estar focado e determinado em seus estudos e na sua preparação.
É verdade que não existe uma fórmula mágica ou uma regra de como estudar para concursos públicos, é importante cada pessoa 
encontrar a melhor maneira para estar otimizando sua preparação.
Algumas dicas podem sempre ajudar a elevar o nível dos estudos, criando uma motivação para estudar. Pensando nisso, a Solução 
preparou esse artigo com algumas dicas que irá fazer toda diferença na sua preparação.
Então mãos à obra!
Separamos algumas dicas para lhe ajudar a passar em concurso público!
- Esteja focado em seu objetivo: É de extrema importância você estar focado em seu objetivo, a aprovação no concurso. Você vai 
ter que colocar em sua mente que sua prioridade é dedicar-se para a realização de seu sonho.
- Não saia atirando para todos os lados: Procure dar atenção em um concurso de cada vez, a dificuldade é muito maior quando 
você tenta focar em vários certames, devido as matérias das diversas áreas serem diferentes. Desta forma, é importante que você 
defina uma área se especializando nela. Se for possível realize todos os concursos que saírem que englobe a mesma área.
- Defina um local, dias e horários para estudar: Uma maneira de organizar seus estudos é transformando isso em um hábito, de-
terminado um local, os horários e dias específicos para estar estudando cada disciplina que irá compor o concurso. O local de estudo 
não pode ter uma distração com interrupções constantes, é preciso ter concentração total.
- Organização: Como dissemos anteriormente, é preciso evitar qualquer distração, suas horas de estudos são inegociáveis, preci-
sa de dedicação. É praticamente impossível passar em um concurso público se você não for uma pessoa organizada, é importante ter 
uma planilha contendo sua rotina diária de atividades definindo o melhor horário de estudo.
- Método de estudo: Um grande aliado para facilitar seus estudos, são os resumos. Isso irá te ajudar na hora da revisão sobre o 
assunto estudado, é fundamental que você inicie seus estudos antes mesmo de sair o edital, caso o mesmo ainda não esteja publica-
do, busque editais de concursos anteriores. Busque refazer a provas dos concursos anteriores, isso irá te ajudar na preparação.
- Invista nos materiais: É essencial que você tenha um bom material voltado para concursos públicos, completo e atualizado. 
Esses materiais devem trazer toda a teoria do edital de uma forma didática e esquematizada, contendo muito exercícios. Quando 
mais exercícios você realizar, melhor será sua preparação para realizar a prova do certame.
- Cuide de sua preparação: Não é só os estudos que é importante na sua preparação, evite perder sono, isso te deixará com uma 
menor energia e um cérebro cansado. É preciso que você tenha uma boa noite de sono. Outro fator importante na sua preparação, é 
tirar ao menos 1 (um) dia na semana para descanso e lazer, renovando as energias e evitando o estresse.
Se prepare para o concurso público!
O concurseiro preparado não é aquele que passa o dia todo estudando, mas está com a cabeça nas nuvens, e sim aquele que se 
planeja pesquisando sobre o concurso de interesse, conferindo editais e provas anteriores, participando de grupos com enquetes so-
bre o mesmo, conversando com pessoas que já foram aprovadas absorvendo as dicas e experiências, analisando a banca examinadora 
do certame.
O Plano de Estudos é essencial na otimização dos estudos, ele deve ser simples, com fácil compreensão e personalizado com sua 
rotina, vai ser seu triunfo para aprovação, sendo responsável pelo seu crescimento contínuo.
Além do plano de estudos, é importante ter um Plano de Revisão, será ele que irá te ajudar na memorização dos conteúdos estu-
dados até o dia da realização da prova, evitando a correria para fazer uma revisão de última hora próximo ao dia da prova.
Está em dúvida por qual matéria começar a estudar?! Uma dica, comece pela Língua Portuguesa, é a matéria com maior requisi-
ção nos concursos, a base para uma boa interpretação, no qual abrange todas as outras matérias.
DICA
Vida Social!
Sabemos que faz parte algumas abdicações na vida de quem estuda para concursos públicos, sempre que possível é importante 
conciliar os estudos com os momentos de lazer e bem-estar. A vida de concurseiro é temporária, quem determina o tempo é você, 
através da sua dedicação e empenho. Você terá que fazer um esforço para deixar de lado um pouco a vida social intensa, é importante 
compreender que quando for aprovado, verá que todo o esforço valeu a pena para realização do seu sonho.
Uma boa dica, é fazer exercícios físicos, uma simples corrida por exemplo é capaz de melhorar o funcionamento do Sistema Ner-
voso Central, um dos fatores que são chaves para produção de neurônios nas regiões associadas à aprendizagem e memória.
Motivação!
A motivação é a chave do sucesso na vida dos concurseiros. Compreendemos que nem sempre é fácil, e as vezes bate aquele 
desânimo com vários fatores ao nosso redor. Porém a maior garra será focar na sua aprovação no concurso público dos seus sonhos.
É absolutamente normal caso você não seja aprovado de primeira, é primordial que você PERSISTA, com o tempo você irá adquirir 
conhecimento e experiência.
Então é preciso se motivar diariamente para seguir a busca da aprovação, algumas orientações importantes para conseguir mo-
tivação:
- Procure ler frases motivacionais, são ótimas para lembrar dos seus propósitos;
- Leia sempre os depoimentos dos candidatos aprovados nos concursos públicos;
- Procure estar sempre entrando em contato com os aprovados;
- Escreve o porque que você deseja ser aprovado no concurso, quando você sabe seus motivos, isso te da um ânimo maior para 
seguir focado, tornando o processo mais prazeroso;
- Saiba o que realmente te impulsiona, o que te motiva. Dessa maneira será mais fácil vencer as adversidades que irá aparecer.
- Procure imaginar você exercendo a função da vaga pleiteada, sentir a emoção da aprovação e ver as pessoas que você gosta, 
felizes com seu sucesso.
Como dissemos no começo, não existe uma fórmula mágica, um método infalível. O que realmente existe é a sua garra, sua 
dedicação e motivação para estar realizando o seu grande sonho, de ser aprovado no concurso público. Acredite em você e no seu 
potencial.
A Solução tem ajudado há mais de 35 anos quem quer vencer a batalha do concurso público. Se você quer aumentar as suas 
chances de passar, conheça os nossos materiais, acessando o nosso site: www.apostilasolucao.com.br 
MATEMÁTICA
a. Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos: representação de conjuntos, subconjuntos, operações: união, interseção, diferença e comple-
mentar. Conjuntouniverso e conjunto vazio; conjunto dos números naturais e inteiros: operações fundamentais, Números primos, fatoração, 
número de divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo; conjunto dos números racionais: operações fundamentais. Razão, proporção 
e suas propriedades. Números direta e indiretamente proporcionais; conjunto dos números reais: operações fundamentais, módulo, repre-
sentação decimal, operações com intervalos reais; e números complexos: operações, módulo, conjugado de um número complexo, represen-
tações algébrica e trigonométrica. Representação no plano de Argand-Gauss, Potencialização e radiciação. Extração de raízes. Fórmulas de 
Moivre. Resolução de equações binomiais e trinomiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01
b. Funções: definição, domínio, imagem, contradomínio, funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, funções pares e ímpares, funções periódicas; 
funções compostas; relações; raiz de uma função; função constante, função crescente, função decrescente; função definida por mais de uma 
sentença; as funções y=k/x, y=raiz quadrada de x e seus gráficos; função inversa e seu gráfico; e Translação, reflexão de funções. . . . . . . . . . . .14
c. Função Linear, Função Afim e Função Quadrática: gráficos, domínio, imagem e características; variações de sinal; máximos e mínimos; e 
inequação produto e inequação quociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
d. Função Modular: o conceito e propriedades do módulo de um número real; definição, gráfico, domínio e imagem da função modular; 
equações modulares; e inequações modulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
e. Função Exponencial: gráficos, domínio, imagem e características da função exponencial, logaritmos decimais, característica e mantissa; e 
equações e inequações exponenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
f. Função Logarítmica: definição de logaritmo e propriedades operatórias; gráficos, domínio, imagem e características da função logarítmica; 
e equações e inequações logarítmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
g. Trigonometria: trigonometria no triângulo (retângulo e qualquer); lei dos senos e lei dos cossenos; unidades de medidas de arcos e ângu-
los: o grau e o radiano; círculo trigonométrico, razões trigonométricas e redução ao 1º quadrante; funções trigonométricas, transformações, 
identidades trigonométricas fundamentais, equações e inequações trigonométricas no conjunto dos números reais; - fórmulas de adição de 
arcos, arcos duplos, arco metade e transformação em produto; as funções trigonométricas inversas e seus gráficos, arcos notáveis; e sistemas 
de equações e inequações trigonométricas e resolução de triângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
h. Contagem e Análise Combinatória: fatorial: definição e operações; princípios multiplicativo e aditivo da contagem; arranjos, combinações 
e permutações; e binômio de Newton: desenvolvimento, coeficientes binomiais e termo geral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
i. Probabilidade: experimento aleatório, experimento amostral, espaço amostral e evento; probabilidade em espaços amostrais equiprováveis; 
probabilidade da união de dois eventos; probabilidade condicional; propriedades das probabilidades; e probabilidade de dois eventos suces-
sivos e experimentos binomiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
j. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares: operações com matrizes (adição, multiplicação por escalar, transposição produto); matriz 
inversa; determinante de uma matriz: definição e propriedades; e - sistemas de equações lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
k. Sequências Numéricas e Progressões: sequências Numéricas; progressões aritméticas: termo geral, soma dos termos e propriedades; pro-
gressões Geométricas: termo geral, soma dos termos e propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
l. Geometria Espacial de Posição: posições relativas entre duas retas; posições relativas entre dois planos; posições relativas entre reta e plano: 
perpendicularidade entre duas retas, entre dois planos e entre reta e plano; e projeção ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
m. Geometria Espacial Métrica: poliedros Convexos, Poliedros de Platão, Poliedros Regulares: definições, propriedades e Relação de Eul-
er; prismas: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; pirâmide: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e 
troncos; cilindro: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; cone: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e 
troncos; esfera: elementos, seção da esfera, área, volumes e partes da esfera; projeções; sólidos de revolução; e inscrição e circunscrição de 
sólidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
n. Geometria Analítica Plana: ponto: o plano cartesiano, distância entre dois pontos, ponto médio de um segmento e condição de alinhamen-
to de três pontos; reta: equações geral e reduzida, interseção de retas, paralelismo e perpendicularidade, ângulo entre duas retas, distância 
entre ponta e reta e distância entre duas retas, bissetrizes do ângulo entre duas retas, Área de um triângulo e inequações do primeiro grau 
com duas variáveis; circunferência: equações geral e reduzida, posições relativas entre ponto e circunferência, reta e circunferência e duas 
circunferências; problemas de tangência; e equações e inequações do segundo grau com duas variáveis; elipse: definição, equação, posições 
relativas entre ponto e elipse, posições relativas entre reta e elipse; hipérbole: definição, equação da hipérbole, posições relativas entre ponto 
e hipérbole, posições relativas entre reta e hipérbole e equações das assíntotas da hipérbole; parábola: definição, equação, posições relativas 
entre ponto e parábola, posições relativas entre reta e parábola; e reconhecimento de cônicas a partir de sua equação geral. . . . . . . . . . . . 60
o. Geometria Plana: - ângulo: definição, elementos e propriedades; ângulos na circunferência; paralelismo e perpendicularidade; semelhança 
de triângulos; pontos notáveis do triângulo; relações métricas nos triângulos (retângulos e quaisquer); relação de Stewart; triângulos retân-
gulos, Teorema de Pitágoras; congruência de figuras planas; feixe de retas paralelas e transversais, Teorema de Tales; teorema das bissetriz-
es internas e externas de um triângulo; quadriláteros notáveis; polígonos, polígonos regulares, circunferências, círculos e seus elementos; 
perímetro e área de polígonos, polígonos regulares, circunferências, círculos e seus elementos; fórmula de Heron; razão entre áreas; lugares 
geométricos; elipse, parábola e hipérbole; linha poligonal; e inscrição e circunscrição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
p. Polinômios: função polinomial, polinômioidenticamente nulo, grau de um polinômio, identidade de um polinômio, raiz de um polinômio, 
operações com polinômios e valor numérico de um polinômio; divisão de polinômios, Teorema do Resto, Teorema de D’Alembert e dispositi-
vo de Briot-Ruffinni; relação entre coeficientes e raízes. Fatoração e multiplicidade de raízes e produtos notáveis. Máximo divisor comum de 
polinômios; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
q. Equações Polinomiais: teorema fundamental da álgebra, teorema da decomposição, raízes imaginárias, raízes racionais, relações de Gi-
rard e teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
MATEMÁTICA
1
A. TEORIA DOS CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRI-
COS: REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS, SUBCONJUN-
TOS, OPERAÇÕES: UNIÃO, INTERSEÇÃO, DIFERENÇA E 
COMPLEMENTAR. CONJUNTO UNIVERSO E CONJUNTO 
VAZIO; CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS E INTEI-
ROS: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS, NÚMEROS PRIMOS, 
FATORAÇÃO, NÚMERO DE DIVISORES, MÁXIMO DIVI-
SOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO; CONJUNTO DOS 
NÚMEROS RACIONAIS: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. 
RAZÃO, PROPORÇÃO E SUAS PROPRIEDADES. NÚ-
MEROS DIRETA E INDIRETAMENTE PROPORCIONAIS; 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: OPERAÇÕES FUN-
DAMENTAIS, MÓDULO, REPRESENTAÇÃO DECIMAL, 
OPERAÇÕES COM INTERVALOS REAIS; E NÚMEROS 
COMPLEXOS: OPERAÇÕES, MÓDULO, CONJUGADO DE 
UM NÚMERO COMPLEXO, REPRESENTAÇÕES ALGÉBRI-
CA E TRIGONOMÉTRICA. REPRESENTAÇÃO NO PLANO 
DE ARGAND-GAUSS, POTENCIALIZAÇÃO E RADICIAÇÃO. 
EXTRAÇÃO DE RAÍZES. FÓRMULAS DE MOIVRE. RESO-
LUÇÃO DE EQUAÇÕES BINOMIAIS E TRINOMIAIS. 
Conjunto está presente em muitos aspectos da vida, sejam 
eles cotidianos, culturais ou científicos. Por exemplo, formamos 
conjuntos ao organizar a lista de amigos para uma festa agrupar 
os dias da semana ou simplesmente fazer grupos.
Os componentes de um conjunto são chamados de elemen-
tos.
Para enumerar um conjunto usamos geralmente uma letra 
maiúscula.
Representações
Pode ser definido por: 
-Enumerando todos os elementos do conjunto: S={1, 3, 5, 7, 9}
-Simbolicamente: B={x∈ N|x<8}, enumerando esses ele-
mentos temos:
B={0,1,2,3,4,5,6,7}
-Diagrama de Venn
Há também um conjunto que não contém elemento e é re-
presentado da seguinte forma: S=∅ ou S={ }.
Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem 
também a outro conjunto B, dizemos que:
•	 A é subconjunto de B
•	 Ou A é parte de B
•	 A está contido em B escrevemos: A⊂B
Se existir pelo menos um elemento de A que não pertence 
a B: A⊄B
Operações 
União
Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro forma-
do pelos união e representamos por: A∪B. elementos que per-
tencem pelo menos um dos conjuntos a que chamamos conjunto 
Formalmente temos: A∪B={x|x∈A ou x∈B}
Exemplo:
A={1,2,3,4} e B={5,6}
A∪B={1,2,3,4,5,6} 
Interseção
A interseção dos conjuntos A e B é o con-
junto formado pelos elementos que são ao mes-
mo tempo de A e de B, e é representada por : A∩B. 
Simbolicamente: A∩B={x|x∈A e x∈B}
Exemplo:
A={a,b,c,d,e} e B={d,e,f,g}
A∩B={d,e}
Números Naturais
Os números naturais são o modelo matemático necessário 
para efetuar uma contagem.
Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, 
obtemos os elementos dos números naturais: 
ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … .
Relação de ordem
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que 
vem depois do número dado), considerando também o zero.
Exemplos: Seja m um número natural.
a) O sucessor de m é m+1.
b) O sucessor de 0 é 1.
c) O sucessor de 1 é 2.
d) O sucessor de 19 é 20.
MATEMÁTICA
2
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois 
números juntos são chamados números consecuti vos.
Exemplos:
a) 1 e 2 são números consecuti vos.
b) 5 e 6 são números consecuti vos.
c) 50 e 51 são números consecuti vos.
- Vários números formam uma coleção de números naturais 
consecuti vos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é 
sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim su-
cessivamente.
Exemplos:
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecuti vos.
b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
c) 50, 51, 52 e 53 são consecuti vos.
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um ante-
cessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural fi nito diferente de zero.
a) O antecessor do número m é m-1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 56 é 55.
d) O antecessor de 10 é 9.
Subconjuntos de ℕ!
Vale lembrar que um asterisco, colocado junto à letra que 
simboliza um conjunto, signifi ca que o zero foi excluído de tal con-
junto.
ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, 5, … . }
Números Inteiros
 Podemos dizer que este conjunto é composto pelos números 
naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. 
Este conjunto pode ser representado por:
 = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Subconjuntos do conjunto :
1) * = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} - Este é o conjunto dos 
números inteiros, excluindo-se o 0 (zero).
2) + = {0, 1, 2, 3, 4, ...} - Este é o conjunto dos números in-
teiros não negati vos. 
3) - = {..., -4, -3, -2, -1, 0} - Este é o conjunto dos números 
inteiros não positi vos.
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância 
ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica intei-
ra. Representa-se o módulo por | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é 
sempre positi vo.
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos 
um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que 
os representam distam igualmente da origem.
Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, 
pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e 
vice-versa; parti cularmente o oposto de zero é o próprio zero.
Adição de Números Inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos 
aos números inteiros positi vos a ideia de ganhar e aos números 
inteiros negati vos a ideia de perder.
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)
O sinal (+) antes do número positi vo pode ser dispensado, 
mas o sinal (–) antes do número negati vo nunca pode ser dispen-
sado.
Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z 
é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros 
ainda é um número inteiro.
Associati va: Para todos a,b,c em Z:
a + (b + c) = (a + b) + c
2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7
Comutati va: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em 
Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (–z) = 0
9 + (–9) = 0
Subtr ação de Números Inteiros
A subtração é empregada quando:
- Precisamos ti rar uma quanti dade de outra quanti dade;
- Temos duas quanti dades e queremos saber quanto uma de-
las tem a mais que a outra;
- Temos duas quanti dades e queremos saber quanto falta a 
uma delas para ati ngir a outra.
A subtração é a operação inversa da adição.
Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9
 diferença
 subtraendo
 minuendo
Considere as seguintes situações:
1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de 
+3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) 
= +3
MATEMÁTICA
3
2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, duranteo 
dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. 
Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira?
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – 
(+3) é o mesmo que (+5) + (–3). 
Temos:
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mes-
mo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de 
uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos anali-
sar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamen-
te alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 
vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição 
pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 
2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + 
(–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60
Observamos que a multiplicação é um caso particular da adi-
ção onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indi-
cado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos 
obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Resultado do produto
Iguais Positivo
Diferentes Negativo
Propriedades da multiplicação de números inteiros: O con-
junto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de 
dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x (b x c) = (a x b) x c
2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z 
em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, exis-
te um inverso z–1=1/z em Z, tal que
z x z–1 = z x (1/z) = 1
9 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)
Divisão de Números Inteiros
Dividendo divisor dividendo:
Divisor = quociente 0
Quociente . divisor = dividendo
Sabemos que na divisão exata dos números naturais:
40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40
36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36
Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão 
exata de números inteiros. Veja o cálculo:
(–20) : (+5) = q  (+5) . q = (–20)  q = (–4)
Logo: (–20) : (+5) = +4
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efe-
tuar a divisão exata de um número inteiro por outro número in-
teiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo 
módulo do divisor. Daí:
- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quo-
ciente é um número inteiro positivo.
- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quo-
ciente é um número inteiro negativo.
- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por 
exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem 
ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro.
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa 
e não tem a propriedade da existência do elemento neutro.
1- Não existe divisão por zero.
Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um 
número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.
2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de 
zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero 
é igual a zero.
Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0
Máximo Divisor Comum
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais 
não-nulos é o maior dos divisores comuns desses números.
Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, devemos se-
guir as etapas:
•	 Decompor o número em fatores primos
•	 Tomar o fatores comuns com o menor expoente
•	 Multiplicar os fatores entre si.
MATEMÁTICA
4
Exemplo:
 
15 = 3 × 5
24 = 2³ × 3
O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente.
m.d.c
Mínimo Múltiplo Comum
O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais números 
é o menor número, diferente de zero.
Para calcular devemos seguir as etapas:
•	 Decompor os números em fatores primos
•	 Multiplicar os fatores entre si
Exemplo:
Para o mmc, fica mais fácil decompor os dois juntos.
Basta começar sempre pelo menor primo e verificar a divisão 
com algum dos números, não é necessário que os dois sejam divi-
síveis ao mesmo tempo.
Observe que enquanto o 15 não pode ser dividido, continua 
aparecendo.
Assim, o mmc (15,24) = 2³ × 3 × 5 = 120
Números Racionais
Chama-se de número racional a todo número que pode ser 
expresso na forma , onde a e b são inteiros quaisquer, com b≠0
Assim, os números 5 = 51 𝑒 − 0,33333 … . (= −
1
3) são dois 
exemplos de números racionais.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional q
p
, tal que p não seja múltiplo 
de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do 
numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um nú-
mero finito de algarismos. Decimais Exatos:
5
2
= 0,4
4
1
= 0,25
4
35
= 8,75
50
153
= 3,06
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos 
algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. De-
cimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
3
1
= 0,333... 
22
1
= 0,04545...
66
167
= 2,53030...
Representação Fracionária dos Números Decimais
Trata-se do problema inverso: estando o número racional es-
crito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fra-
ção. Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador 
é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto 
pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas 
decimais do número decimal dado:
0,9 = 
10
9
5,7 = 
10
57
0,76 = 
100
76
3,48 = 
100
348
0,005 = 
1000
5
= 
200
1
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para 
tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exem-
plos:
MATEMÁTICA
5
Exemplo 1 
Seja a dízima 0, 333... .
Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros 
por 10: 10x = 0,333 
Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da se-
gunda:
10x – x = 3,333... – 0,333...  9x = 3  x = 3/9
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3 .
Exemplo 2
Seja a dízima 5, 1717... .
Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .
Subtraindo membro a membro, temos:
99x = 512  x = 512/99
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 
99
512 .
Operações com frações
Adição e Subtração
A adição ou subtração de frações requer que todas as fra-
ções envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente 
todas as frações já possuírem um denominador comum, basta 
que realizemos a soma ou a diferença de todos os numeradores e 
mantenhamos este denominador comum.
1
3−
2
3 +
5
3 =
4
3
Vejamos agora este outro exemplo:
2
3 +
1
2 −
1
6
Nesse caso, devemos achar o MMC.
O MMC(2,3,6)=6, então:
4 + 3− 1
6 =
6
6 = 1
Multiplicação
Basta que multipliquemos os seus numerados entre si, fazen-
do-se o mesmo em relação aos seus denominadores.
1
2
∙
3
4 =
3
8
Divisão
A divisão de frações resume-se a inversão das frações diviso-
ras, trocando-se o seu numerador pelo seu denominador e reali-
zando-se então a multiplicação das novas frações.
Para realizar essa divisão, basta inverter:
2
3 ∙
5
4 =
10
12 =
5
6
Potenciação
Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados 
de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os 
fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a re-
presentação dessa multiplicação que é a potenciação. 
2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais.
Casos
1) Todo número elevadoao expoente 0 resulta em 1.
10 = 1
50 = 1
2) Todo número elevado ao expoente 1 é o próprio núme-
ro.
31 = 3
41 = 4
3) Todo número negativo, elevado ao expoente par, resul-
ta em um número positivo.
−2 2 = 4
−4 2 = 16
−
1
2
2
=
1
4
4) Todo número negativo, elevado ao expoente ímpar, re-
sulta em um número negativo.
−2 3 = −8
−3 3 = −27
−
1
3
3
= −
1
27
5) Se o sinal do expoente for negativo, devemos passar o 
sinal para positivo e inverter o número que está na base. 
MATEMÁTICA
6
2−1 =
1
2
2−2 =
1
4
1
2
−2
= 4
6) Toda vez que a base for igual a zero, não importa o valor 
do expoente, o resultado será igual a zero. 
02 = 0
03 = 0
Propriedades
1) (am . an = am+n) Em uma multi plicação de potências de mes-
ma base, repete-se a base e adiciona-se (soma) os expoentes.
Exemplos:
54 . 53 = 54+3= 57
(5.5.5.5) .( 5.5.5)= 5.5.5.5.5.5.5 = 57
1
2
!
∙
1
2
!
=
1
2
!!!
=
1
2
!
= 2!! . 2!! = 2!! !
2) (am: an = am-n). Em uma divisão de potência de mesma base. 
Conserva-se a base e subtraem os expoentes.
Exemplos:
96 : 92 = 96-2 = 94
1
2
!
:
1
2
!
=
1
2
!!!
=
1
2
!!
= 2!
3) (am)n Potência de potência. Repete-se a base e multi plica-
-se os expoentes.
Exemplos:
(52)3 = 52.3 = 56
2
3
! !
=
2
3
!"
!
Radiciação
Radiciação é a operação inversa a potenciação
Técnica de Cálculo
A determinação da raiz quadrada de um número torna-se 
mais fácil quando o algarismo se encontra fatorado em números 
primos. Veja: 
64=2.2.2.2.2.2=26
Como é raiz quadrada a cada dois números iguais “ti ra-se” 
um e multi plica.
64 = 2.2.2 = 8
Observe: ( ) 5.35.35.35.3 2
1
2
1
2
1
===
De modo geral, se ,,, *NnRbRa ∈∈∈ ++ então:
 nnn baba .. =
O radical de índice inteiro e positi vo de um produto indicado 
é igual ao produto dos radicais de mesmo índice dos fatores do 
radicando.
Raiz quadrada de frações ordinárias
Observe: 
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1
==




=
MATEMÁTICA
7
De modo geral, se ,,, ** NnRbRa ∈∈∈
++
então:
 
n
n
n
b
a
b
a
=
O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indica-
do é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice dos termos 
do radicando.
Raiz quadrada números decimais
Operações
Simplificação de Radicais
1º Caso
O índice do radical e o expoente do radicando têm fator co-
mum. De acordo com a 4ª propriedade dos radicais podemos di-
vidir o índice e o expoente pelo fator comum.
Exemplo
Dividindo o índice 9 e o expoente 3 e 6 por 3, temos:
3 23:9 3:63:39 63 2.2.2 aaa ==
2º Caso
Os expoentes dos fatores do radicando são múltiplos do 
índice. Considere o radical ,.n pna com ,+∈ Ra
*Nn∈ e 
.Zp∈ Temos:
pn
pn
n pn aaa ==
.
.
Assim, podemos dizer que, num radical, os fatores do radi-
cando cujos expoentes são múltiplos do índice podem ser coloca-
dos fora do radical, tendo como novo expoente o quociente entre 
o expoente e o índice.
Exemplo
44282482482 9..3..3..381 abbabababa ====
3º Caso
Os expoentes dos fatores do radicando são maiores que o ín-
dice, mas não múltiplos deste. Transforma-se o radicando num 
produto de potências de mesma base, sendo um dos expoentes 
múltiplos do índice;
Exemplo
ababababbaaba b2242435 ....... ===
Propriedade dos Radicais
1ª Propriedade:
Considere o radical 5555 13
3
3 3 ===
De modo geral, se ,, *NnRa ∈∈ + então:
aan n =
O radical de índice n de uma potência com expoente também 
igual a n dá como resultado a base daquela potência.
2ª Propriedade:
Observe: ( ) 5.35.35.35.3 2
1
2
1
2
1
===
De modo geral, se ,,, *NnRbRa ∈∈∈ ++ então:
 nnn baba .. =
Radical de um produto Produto dos radicais
O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado 
é igual ao produto dos radicais de mesmo índice dos fatores do 
radicando.
3ª Propriedade:
Observe: 
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1
==




=
De modo geral, se ,,, ** NnRbRa ∈∈∈
++
então:
 
n
n
n
b
a
b
a
=
Radical de um quociente Quociente dos radicais
O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indica-
do é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice dos termos 
do radicando.
MATEMÁTICA
8
4ª Propriedade:
Observe: 
3 23
2
12
8
12 8 3333 ===
Então: 12 83 23 212 8 3333 == e
De modo geral, para ,,, *NnNmRa ∈∈∈ + se p 
*N∈
, temos:
pn pmn m aa . .=
Se p é divisor de m e n, temos:
pn pmn m aa : :=
Multi plicando-se ou dividindo-se o índice e o expoente do ra-
dicando por um mesmo número natural maior que zero, o valor 
do radical não se altera.
Operações
Multi plicação
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏
Exemplo
2 ∙ 3 = 6
Divisão
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
Exemplo
Adição e subtração
2 + 8 − 20
Para fazer esse cálculo, devemos fatorar o 8 e o 20.
 
2 + 8− 20 = 2 + 2 2− 2 5 = 3 2− 2 5
Caso tenha:
2 + 5
Não dá para somar, as raízes devem fi car desse modo.
Racionalização de Denominadores
Normalmente não se apresentam números irracionais com 
radicais no denominador. Ao processo que leva à eliminação dos 
radicais do denominador chama-se racionalização do denomina-
dor. 
1º Caso:Denominador composto por uma só parcela
3
3 
3
3 
=
3
3 
∙
3 
3 
=
3 3 
3 = 3 
2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.
3
2 − 10
Devemos multi plicar de forma que obtenha uma diferença de 
quadrados no denominador:
3
2 − 10
=
3
2 − 10
∙
2 + 10
2 + 10
=
6 + 3 10
4 − 10
=
6 + 3 10
−6
= −1 −
1
2 10
Módulo
Dado um número real x, o módulo de x, denotado por é igual 
a x se x≥0 e igual a –x se x<0.
! = !, !"!! ≥ 0−!, !"!! < 0!
Intervalos
Podemos representar o conjunto dos números reais associan-
do cada número x ∈ R a m ponto de uma reta r. Assim, adota-se 
uma unidade e um senti do positi vo para essa reta.
MATEMÁTICA
9
INTERVALOS LIMITADOS
Intervalo fechado – Números reais maiores do que a ou iguais 
a e menores do que b ou iguais a b.
Intervalo:[a,b]
Conjunto: {x∈R|a≤x≤b}
Intervalo aberto – números reais maiores que a e menores 
que b.
Intervalo:]a,b[
Conjunto:{x∈R|a<x<b}
Intervalo fechado à esquerda – números reais maiores que a 
ou iguais a a e menores do que b.
Intervalo:{a,b[
Conjunto {x∈R|a≤x<b}
Intervalo fechado à direita – números reais maiores que a e 
menores ou iguais a b.
Intervalo:]a,b]
Conjunto:{x∈R|a<x≤b}
INTERVALOS IIMITADOS
Semirreta esquerda, fechada de origem b- números reais me-
nores ou iguais a b.
Intervalo:]-∞,b]
Conjunto:{x∈R|x≤b}
Semirreta esquerda, aberta de origem b – números reais me-
nores que b.
Intervalo:]-∞,b[
Conjunto:{x∈R|x<b}
Semirreta direita, fechada de origem a – números reais maio-
res ou iguais a a.
Intervalo:[a,+ ∞[
Conjunto:{x∈R|x≥a}
Semirreta direita, aberta, de origem a – números reais maio-
res que a.
Intervalo:]a,+ ∞[
Conjunto:{x∈R|x>a}
Números complexos
Algumas equações não tem solução no conjunto dos núme-
ros reais.
Exemplo
x! + 1 = 0 
x! = −1 
S = ∅ 
!Mas, se ti vermos um conjunto para o qual admita a existência 
de 
Mas, se ti vermos um conjunto para o qual admita a existência 
! −1!! , a equação passará a ter solução não-vazia.
Esse conjunto é o dos números complexos e convenciona-se Esse conjunto é o dos números complexos e convenciona-se 
i = −1! que .
Solucionando então, o exemplo acima:Solucionando então, o exemplo acima:
x! = −1 
x = ± −1 
x = ±i 
S = −i, i 
!
O número √-1 , foi denominado unidade imaginária, devido 
à desconfi ança que os matemáti cos ti nham dessa nova criação.
Para simplifi car a notação:
i! = −1 
!
Assim, no conjunto dos números complexos, as equações do 
2º grau com ∆<0 possuem solução não-vazia.
Conjunto dos números complexos
O conjunto C dos números complexos é aquele formado pe-
los números que podem ser expressos na forma:
z = a+ bi, em!que!a ∈ R, b ∈ R!e!i = −1 
C = z = a+ bi a ∈ R, b ∈ R, i = −1 
!
A forma z=a+ bi é denominada forma algébrica de um núme-
ro complexo em que a é a parte real e b a parte imaginária.
MATEMÁTICA
10
Se a parte imaginária do número complexo é nula, então o 
número é real.
z = a+ 0i → z = a z!é!real 
!Se a parte real do número complexo é nula e a parte imaginá-
ria é diferente de zero, então o número é imaginário puro.
z=0+bi→z=bi (z é imaginário puro,com b≠0)
Igualdade de números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas 
partes reais e imaginárias forem respecti vamente iguais.
a + bi = c + di se, e somente se, �a = cb = d
Conjugado de um número complexo
Sendo z=a+ bi, chama-se conjugado de z o número complexo 
z� que se obtém trocando o sinal da parte imaginária de z.
z� = a − bi
Exemplo
z = 4 + 5i → z� = 4 − 5i
Operações com números complexos
1. Adição 
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, 
separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. 
Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)i
2. Subtração
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, 
separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. As-
sim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)i
3. Multi plicação
Para multi plicarmos dois números complexos basta efetuar-
mos a multi plicação de dois binômios, observando os valores das 
potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi
2
z1.z2= a.c + bdi
2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
4. Divisão
Para dividirmos dois números complexos basta multi plicar-
mos o numerador e o denominador pelo conjugado do denomi-
nador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
z1
z2
=
z1 ∙ z2�
z2 ∙ z2�
 com z2 ≠ 0
O produto z2 ∙ z2� é um número real:
z2 ∙ z2� = c + di c − di = c2 − cdi + cdi− d2i2
= c2 + d2 número real
5. Potenciação
Efetuando algumas potências de in, com n∈N, podemos ob-
ter um critério para determinar uma potência genérica de i:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
Assim, para obter a potência in, basta calcular ir em que r é o 
resto da divisão de n por 4.
Exemplo
 i 23⇒23/4=5 e resto 3 então:i23=i3=-i
Módulo e Argumento de um Número Complexo
Do triângulo retângulo, temos:
A distância de ρ de P até a origem O é denominada módulo 
de z, e indicamos:
Denomina-se argumento do complexo z não-nulo, a medida 
do ângulo formado por com o semi-eixo real Ox.
O argumento que pertence ao intervalo [0,2π[ é denominado 
argumento principal e é representado por :
MATEMÁTICA
11
Observe que:
Os números ρ e θ são as coordenadas polares do ponto 
P(a,b).
Forma Trigonométrica
Todo número complexo z=a+bi, não0nulo, pode sr expresso 
em função do módulo, do seno e do cosseno do argumento z:
Substi tuindo, temos:
z=a+bi
Operações com Complexos na Forma Trigonométrica
Dados os complexos:Dados os complexos:
Multi plicação
Divisão
Potenciação
Sendo:z=ρ(cos θ+i·sen θ) e n um número inteiro maior que 
1, temos:
z^n=ρ^n (cos nθ+i·sen nθ)
Radiciação
Denomina-se raiz enésima do número complexo 
z=ρ(cosθ+i·senθ) a todo número complexo w, tal que wn=z, para 
n=1, 2, 3,...
Para k=0,1, 2, 3,...temos:
w! = z! = p! (cos
θ+ 2kπ
n + i ∙ sen!
θ+ 2kπ
n ) 
!
Exercícios
1. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉRCITO BRASILEI-
RO/2013) Uma determinada empresa de biscoitos realizou uma 
pesquisa sobre a preferência de seus consumidores em relação a 
seus três produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados. 
Os resultados indicaram que:
 - 65 pessoas compram cream crackers.
 - 85 pessoas compram wafers.
 - 170 pessoas compram biscoitos recheados.
 - 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados.
 - 50 pessoas compram cream crackers e recheados.
 - 30 pessoas compram cream crackers e wafers.
 - 60 pessoas compram wafers e recheados.
 - 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa.
Determine quantas pessoas responderam essa pesquisa.
A) 200
B) 250
C) 320
D) 370
E) 530
2. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRA-
TIVO – FCC/2014) Dos 43 vereadores de uma cidade, 13 dele não 
se inscreveram nas comissões de Educação, Saúde e Saneamento 
Básico. Sete dos vereadores se inscreveram nas três comissões ci-
tadas. Doze deles se inscreveram apenas nas comissões de Educa-
ção e Saúde e oito deles se inscreveram apenas nas comissões de 
Saúde e Saneamento Básico. Nenhum dos vereadores se inscre-
veu em apenas uma dessas comissões. O número de vereadores 
inscritos na comissão de Saneamento Básico é igual a
A) 15.
B) 21.
C) 18.
D) 27.
E) 16.
3. (CODESP – AUXILIAR DE ENFERMAGEM – CONSUL-
PLAN/2012) Sejam os conjuntos A = {2, 4, 6, 7, x, 11, 12, 15, 18}, 
B = {4, 5, 7, 8, 9, 11, y, 14, 15, 16} e C = {4, 6, 9, 10, 11, 12, 13, z, 
17}, cujos elementos estão dispostos em ordem crescente. Se a 
interseção desses 3 conjuntos possui 5 elementos, então a soma 
de x, y e z é 
A) 29. 
B) 40. 
C) 34. 
D) 51. 
E) 36. 
4. (INES – TÉCNICO EM CONTABILIDADE – MAGNUS CON-
CURSOS/2014) Numa biblioteca são lidos apenas dois livros, K e 
Z. 80% dos seus frequentadores leem o livro K e 60% o livro Z. 
MATEMÁTICA
12
Sabendo-se que todo frequentador é leitor de pelo menos um dos 
livros, a opção que corresponde ao percentual de frequentadores 
que leem ambos, é representado: 
A) 26% 
B) 40% 
C) 34% 
D) 78% 
E) 38% 
5. (MPE/ES – AGENTE DE APOIO-ADMINISTRATIVA – VU-
NESP/2013) No diagrama, observe os conjuntos A, B e C, as inter-
secções entre A e B e entre B e C, e a quanti dade de elementos 
que pertencem a cada uma das intersecções.
Sabe-se que pertence apenas ao conjunto A o dobro do nú-
mero de elementos que pertencem à intersecção entre A e B. 
Sabe-se que pertence, apenas ao conjunto C, o dobro do número 
de elementos que pertencem à intersecção entre B e C. Sabe-se 
que o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto 
B é igual à metade da soma da quanti dade de elementos que per-
tencem à intersecção de A e B, com a quanti dade de elementos 
da intersecção entre B e C. 
Dessa maneira, pode-se afi rmar corretamente que o número 
total de elementos dos conjuntos A, B e C é igual a
A) 90.
B) 108.
C) 126.
D) 162.
E) 180.
6. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRAN-
RIO/2013) Parque Estadual Serra do Conduru, localizado no Sul 
da Bahia, ocupa uma área de aproximadamente 9.270 hectares. 
Dessa área, 7 em cada 9 hectares são ocupados por fl orestas. 
Qual é, em hectares, a área desse Parque NÃO ocupada por 
fl orestas?
A) 2.060
B) 2.640
C) 3.210
D) 5.100
E) 7.210
7. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRAN-
RIO/2013) Gilberto levava no bolso três moedas de R$ 0,50, cinco 
de R$ 0,10 e quatro de R$ 0,25. Gilberto reti rou do bolso oito 
dessas moedas, dando quatro para cada fi lho. 
A diferença entre as quanti as recebidas pelos dois fi lhos de 
Gilberto é de, no máximo,
A) R$ 0,45
B) R$ 0,90
C) R$ 1,10
D) R$ 1,15
E) R$ 1,35
8. (SEPLAG - POLÍCIA MILITAR/MG - ASSISTENTE ADMI-
NISTRATIVO - FCC/2012) Um atleta, parti cipando de uma prova 
de triatlo, percorreu 120 km da seguinte maneira: 1/10 em corri-
da, 7/10 de bicicleta e o restante a nado. Esse atleta, para comple-
tar a prova, teve de nadar 
A) 18 km. 
B) 20 km. 
C) 24 km. 
D) 26 km. 
9. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA/2013) Assinale a 
alternati va correspondente à forma trigonométrica do número 
complexo z=1+i:
A) z = 2(cos !
!
+ i ∙ sen !
!
) 
 
B) z = 2(cos !
!
+ i ∙ sen !
!
) 
 
C) z = !
!
(cos !
!
+ i ∙ sen !
!
) 
 
D) z = !
!
(cos !
!
+ i ∙ sen !
!
) 
 
E) z = !
!
(cos !
!
+ i ∙ sen !
!
) 
!
10. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA/2013) O valor do 
módulo do número complexo (i62+i123) é:
A) Um número natural.
B) Um número irracional maior que 5.
C) Um número racional menor que 2.
D) Um número irracional maior que 3.
E) Um número irracional menor que 2.
Respostas
1. RESPOSTA: “B”.
5+10+15+20+30+40+80+50=250 pessoas
MATEMÁTICA
13
2. RESPOSTA: “C”.
7 vereadores se inscreveram nas 3.
APENAS 12 se inscreveram em educação e saúde (o 12 não 
deve ser ti rado de 7 como costuma fazer nos conjuntos, pois ele 
já desconsidera os que se inscreveram nos três)
APENAS 8 se inscreveram em saúde e saneamento básico.
São30 vereadores que se inscreveram nessas 3 comissões, 
pois 13 dos 43 não se inscreveram.
Portanto, 30-7-12-8=3
Se inscreveram em educação e saneamento 3 vereadores.
Só em saneamento se inscreveram: 3+7+8=18
3. RESPOSTA: “E”.
A∩B∩C={4,11} 
Agora, precisamos descobrir os valores de x,y,z para saber 
quais são os outros 3 elementos da interseção
Como os números estão em ordem crescente:
X=9, para poder ser outro elemento da interseção.
Y=12
Z=15
A∩B∩C={4,9,11,12,15} 
Soma:x+y+z=9+12+15=36
4. RESPOSTA: “B”.
80-x+x+60-x=100
-x=100-140
X=40%
5. RESPOSTA: “C”.
A=2.16=32
C=2.20=40
B=(16+20)/2=18
A+B+C=32+40+18=90
90+16+20=126.
6. RESPOSTA: “A”.
7
9 ∙ 9270 = 7210!ℎ!"#$%!&!!ã!!!"#$%&!'!!"#!!"#$%&'( 
 
 9270− 7210 = 2060!!ã!!é!!"#$%&% 
!
7. RESPOSTA: “E”.
Supondo que as quatro primeiras moedas sejam as 3 de R$ 
0,50 e 1 de R$0,25(maiores valores).
Um fi lho receberia : 1,50+0,25=R$1,75
E as ouras quatro moedas sejam de menor valor: 4 de 
R$0,10=R$0,40.
A maior diferença seria de 1,75-0,40=1,35
Dica: sempre que fala a maior diferença tem que o maior va-
lor possível – o menor valor.
8. RESPOSTA: “C”.
1
10+
7
10 =
8
10 !!"!!"#!"#$!!!!"#"#$%&' 
 
 !"#$:1− !
!"
= !
!"
 
 
 
 120 ∙ !
!"
= 24!" 
!
9. RESPOSTA: “A”.
 
! = 1! + 1² = 2 
 
!"#$ =
1
2
=
2
2 = !"#$ 
 
! =
!
4 
 
! = 2(cos
!
4 + ! ∙ !"#
!
4) 
!
MATEMÁTICA
14
10. RESPOSTA: “E”.
62/4=15 e resto 2 então i62=i2=-1
123/4=30 e resto 3 então i123=i3=-i
!!" + !!"# = −1− ! 
 
−1 ! + (−1)² = 2=1,41... 
!
B. FUNÇÕES: DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM, CON-
TRADOMÍNIO, FUNÇÕES INJETORAS, SOBREJETORAS 
E BIJETORAS, FUNÇÕES PARES E ÍMPARES, FUNÇÕES 
PERIÓDICAS; FUNÇÕES COMPOSTAS; RELAÇÕES; RAIZ 
DE UMA FUNÇÃO; FUNÇÃO CONSTANTE, FUNÇÃO CRES-
CENTE, FUNÇÃO DECRESCENTE; FUNÇÃO DEFINIDA POR 
MAIS DE UMA SENTENÇA; AS FUNÇÕES Y=K/X, Y=RAIZ 
QUADRADA DE X E SEUS GRÁFICOS; FUNÇÃO INVERSA E 
SEU GRÁFICO; E TRANSLAÇÃO, REFLEXÃO DE FUNÇÕES. 
Domínio, contradomínio, imagem
O domínio é consti tuído por todos os valores que podem ser 
atribuídos à variável independente. Já a imagem da função é for-
mada por todos os valores correspondentes da variável depen-
dente.
O conjunto A é denominado domínio da função, indicada por 
D. O domínio serve para defi nir em que conjunto estamos traba-
lhando, isto é, os valores possíveis para a variável x.
O conjunto B é denominado contradomínio, CD. 
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no 
contradomínio. A esse valor de y damos o nome de imagem de x 
pela função f. O conjunto de todos os valores de y que são ima-
gens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que 
indicaremos por Im.
Injetora: Quando para ela elementos disti ntos do domínio 
apresentam imagens também disti ntas no contradomínio.
Reconhecemos, grafi camente, uma função injetora quando, 
uma reta horizontal, qualquer que seja interceptar o gráfi co da 
função, uma única vez.
f(x) é injetora 
 g(x) não é injetora 
(interceptou o gráfi co mais de uma vez)
Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio 
forem imagens de pelo menos um elemento do domínio.
Reconhecemos, grafi camente, uma função sobrejetora quan-
do, qualquer que seja a reta horizontal que interceptar o eixo no 
contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o grá-
fi co da função.
 f(x) é sobrejetora g(x) não é sobrejetora 
 (não interceptou o gráfi co)
MATEMÁTICA
15
Bijetora: Quando apresentar as característi cas de função in-
jetora e ao mesmo tempo, de sobrejetora, ou seja, elementos dis-
ti ntos têm sempre imagens disti ntas e todos os elementos do con-
tradomínio são imagens de pelo menos um elemento do domínio.
Função Crescente a > 0
Função Decrescente a < 0
Função defi nida por mais de uma sentença
Seja uma função f: R+→R, onde f(x)=x².
O domínio dessa função é formado pelos reais não-negati vos. 
Ao ser feito seu gráfi co, tem-se apenas um pedaço da parábola.
Agora, considere uma outra função f: R*-→R, onde f(x)=-x-2.
O domínio dessa função é formado pelos reais negati vos. Ao 
ser feito seu gráfi co, tem-se apenas um pedaço da reta.
! ! = !
!!!"!! ≥ 0
−! − 2!!!!"!! < 0!
As duas funções podem ser reunidas numa única função. Sua 
representação será feita da seguinte forma
Função Inversa
Se representa por f-1, em que os objetos são as imagens da-
das por f.
Seja f a função defi nida por y = 3x - 5, a expressão que defi -
ne f-1 determina-se resolvendo a equação y = 3x - 5 em ordem a x:
y = 3x - 5 <=> 3x = y + 5 <=> x = (y + 5)/3
MATEMÁTICA
16
logo vem: !!! ! =
! + 5
3 !
Função Composta
Sejam g:A→B e f: Im(g)→C. . Defi nimos a composta de f com 
g e denotamos por (lê-se f “bola” g), à função dada por 
. A função é então denominada 
função composta de f com g, aplicada em x.
Existem muitas situações em que uma função depende de 
uma variável que, por sua vez, depende de outra, e assim por 
diante. Podemos dizer, por exemplo, que a concentração de mo-
nóxido de carbono na atmosfera, de uma determinada cidade, 
depende da quanti dade de carros que trafega por ela, porém a 
quanti dade de carros varia com o tempo. Consequentemente, a 
concentração de monóxido de carbono varia com o tempo.
 Na linguagem de função dizemos que: a concentração de 
monóxido de carbono na atmosfera é uma função da quanti dade 
de carros, a quanti dade de carros é uma função do tempo e, por-
tanto, a concentração de monóxido de carbono na atmosfera é 
uma função do tempo.
 Dessa maneira, a concentração de monóxido de carbono na 
atmosfera, como função do tempo, é uma função composta.
C. FUNÇÃO LINEAR, FUNÇÃO AFIM E FUNÇÃO QUA-
DRÁTICA: GRÁFICOS, DOMÍNIO, IMAGEM E CARACTE-
RÍSTICAS; VARIAÇÕES DE SINAL; MÁXIMOS E MÍNIMOS; 
E INEQUAÇÃO PRODUTO E INEQUAÇÃO QUOCIENTE. 
Função Linear
Uma função f:R→R chama-se linear quando existe uma 
constante a ∈R tal que f(x)=ax para todo x∈R.
Função Afi m
Conceito 
Uma função f:R→R chama-se afi m quando existe constantes 
a,b∈R tais que f(x)=ax+b para todo x∈R.
Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de 
x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, 
consti tuídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada 
coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na 
construção de gráfi cos das funções.
Portanto, para que o estudo das funções afi m seja realizado 
com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfi co e a 
manipulação algébrica das incógnitas e dos coefi cientes.
Estudo dos Sinais
Defi nimos função como relação entre duas grandezas repre-
sentadas por x e y. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de 
formação possui a seguinte característi ca: y = ax + b ou f(x) = ax 
+ b, onde os coefi cientes a e b pertencem aos reais e diferem de 
zero. Esse modelo de função possui como representação gráfi ca 
a fi gura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do 
domínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo com o 
valor do coefi ciente a. Se o coefi ciente possui sinal positi vo, a 
função é crescente, e caso ele tenha sinal negati vo, a função é 
decrescente.
1º Caso:a>0
Para valores de x, x>-b/a, a função é positi va, ou seja, tem o 
mesmo sinal de a
Para x< -b/a, a função é negati va, ou seja, tem sinal contrá-
rio ao de a.
MATEMÁTICA
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2ºCaso: a <0
Para valores de x, x>-b/a, a função é negati va, ou seja, tem o 
mesmo sinal de a
Para valores de x, x<-b/a, a função é positi va, ou seja, tem 
sinal contrário de a.
Função Quadráti ca
Em geral, uma função quadráti ca ou polinomial do segundo 
grau tem a seguinte forma:
f(x)=ax²+bx+c, onde a≠0
É essencial que apareça ax² para ser uma função quadrática e 
deve ser o maior termo.
Considerações
Concavidade
A concavidade da parábola é para cima se a>0 e para baixo 
se a<0
Relação do ∆= !! − 4!"! na função
Quando ∆> 0!, a parábolay=ax²+bx+c intercepta o eixo x 
em dois pontos disti ntos, (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são raízes da 
equação ax²+bx+c=0
Quando ∆= 0!, a parábola y=ax²+bx+c é tangente ao eixo x, 
no ponto – !2! , 0 .!
Repare que, quando ti vermos o discriminante , as duas raízes 
da equação ax²+bx+c=0 são iguais a 
Repare que, quando ti vermos o discriminante , as duas raízes 
−
!
2!!
.
Raízes
! =
−!± !! − !"#
!" 
 
!! =
−!+ !! − !"#
!" 
 
!! =
−!− !! − !"#
!" 
!
Se, a parábola y=ax²+bx+c não intercepta o eixo.
Vérti ces e Estudo do Sinal
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima 
e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavi-
dade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja 
os gráfi cos:
Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o 
conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
MATEMÁTICA
18
1ª - quando a > 0,
a > 0
2ª quando a < 0,
a < 0
Exemplo
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o 
valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim 
obti dos.
x Y
-3 6
-2 2
-1 0
-1/2 -1/4
0 0
1 2
2 6
D. FUNÇÃO MODULAR: O CONCEITO E PROPRIEDA-
DES DO MÓDULO DE UM NÚMERO REAL; DEFINIÇÃO, 
GRÁFICO, DOMÍNIO E IMAGEM DA FUNÇÃO MODULAR; 
EQUAÇÕES MODULARES; E INEQUAÇÕES MODULARES. 
Módulo
Dado um número real x, o módulo de x, denotado por é igual 
a x se x≥0 e igual a –x se x<0.
! = !, !"!! ≥ 0−!, !"!! < 0!
Equação Modular
Toda equação em que a variável aparece em módulo. Sua so-
lução é obti da aplicando-se a defi nição de módulo.
Exemplo
!"#$%&'!!"!!: 2! − 4 = ! + 2 !
Solução
2! − 4 = ! + 2
2! − 4 = −! − 2!
2x-4=x+2
X=6
2x-4=-x-2
3x=2
X=2/3
S={2/3, 6}
MATEMÁTICA
19
Inequação Modular
Para resolver uma inequação modular, empregamos inicial-
mente a propriedade seguinte, obtendo as inequações equivalen-
tes de resoluções conhecidas.
𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑏 ↔ −𝑏 ≤ 𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑏
𝑥 ≥ 𝑏 ↔ 𝑥 ≤ −𝑏 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 𝑏
Exemplo
Resolva as inequações:
a) 𝑥 ≥ 2
b) 2𝑥 + 5 < 3
Solução
a) x≤-2 ou x≥2
S={x∈R| x≤-2 ou x≥2}
b) -3<2x+5<3
-3-5<2x<3-5
-8<2x<-2
-4<x<-1
S={x∈R|-4<x<-1}
Função Modular
Uma função f:R→R dada por f(x)=|x| denomina-se função 
modular.
As principais característi cas dessa função modular são:
-domínio:R
-imagem:R+
-
Exemplo
Faça o gráfi co da função f(x)=|x²-5x+4|
Solução
Primeiramente, fazemos o gráfi co da função sem o 
módulo:f(x)=x²-5x+4
O gráfi co da função f(x)=|x²-5x+4| será
E. FUNÇÃO EXPONENCIAL: GRÁFICOS, DOMÍNIO, 
IMAGEM E CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO EXPONEN-
CIAL, LOGARITMOS DECIMAIS, CARACTERÍSTICA E 
MANTISSA; E EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONEN-
CIAIS. 
Função exponencial
A expressão matemáti ca que defi ne a função exponencial é 
uma potência. Nesta potência, a base é um número real positi vo 
e diferente de 1 e o expoente é uma variável.
Função crescente
Se temos uma função exponencial crescente, qual-
quer que seja o valor real de x.
No gráfi co da função ao lado podemos observar que à me-
dida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Grafi camente 
vemos que a curva da função é crescente.
MATEMÁTICA
20
Gráfi co
Função decrescente
Se 0 < a < 1 temos uma função exponencial decrescente em 
todo o domínio da função.
Neste outro gráfi co podemos observar que à medida que x 
aumenta, y diminui. Grafi camente observamos que a curva da 
função é decrescente.
A Constante de Euler
É defi nida por :
e = exp(1)
O número e é um número irracional e positi vo e em função 
da defi nição da função exponencial, temos que: 
Ln(e) = 1
Este número é denotado por e em homenagem ao matemáti -
co suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar 
as propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 10 dígitos decimais, é: 
e = 2,7182818284 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser 
escrita como a potência de base e com expoente x, isto é: 
ex = exp(x)
Propriedades da função exponencial
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número 
racional, então:
- ax ay= ax + y
- ax / ay= ax - y
- (ax) y= ax.y
- (a b)x = ax bx
- (a / b)x = ax / bx
- a-x = 1 / ax 
Equação Exponencial
É toda equação cuja incógnita se apresenta no expoente de 
uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1.
Exemplo
Resolva a equação no universo dos números reais.
125𝑥+1 =
1
6253
Solução
53
𝑥+1
=
1
543
53𝑥+3 = 5−
4
3
3𝑥 + 3 = −
4
3
𝑥 = −
13
9
Inequação Exponencial
É toda inequação cuja incógnita se apresenta no expoente de 
uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1.
Exemplo
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑚 𝑅 𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 253𝑥−1 > 125𝑥+2
52
3𝑥−1
> 53
𝑥+2
56𝑥−2 > 5 3𝑥+6
6x-2>3x+6
3x>8
𝑥 >
8
3
MATEMÁTICA
21
F. FUNÇÃO LOGARÍTMICA: DEFINIÇÃO DE LOGARIT-
MO E PROPRIEDADES OPERATÓRIAS; GRÁFICOS, DOMÍ-
NIO, IMAGEM E CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO LOGA-
RÍTMICA; E EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS. 
Logaritmo
Considerando-se dois números N e a reais e positi vos, com a 
≠1, existe um número c tal que:
!! = ! 
!A esse expoente c damos o nome de logaritmo de N na base a
log! ! = ! ↔!! = ! 
!
Ainda com base na defi nição podemos estabelecer condições 
de existência:
log! ! = ! ,! > 0,! > 0!!!!! ≠ 1 
!
Exemplo
log! 8 = ! 
2! = 8 
2! = 2! 
! = 3 
!
Consequências da Defi nição
1.!! log! ! = 1 
2.!! log! 1 = 0 
3. log! !! = ! 
4. log!
1
! = −1 
5.!!!!"#!! = ! 
!Propriedades
log! MN = log!! + log! ! 
log!
!
! = log!! − log! ! 
log!!! = ! ∙ log!! 
log! !!
! =
!
! log!! ! ≠ 0 
!
Mudança de Base
log! ! =
log! !
log! !
, (! > 0!!!! ≠ 1)! 
!
Exemplo
Dados log 2=0,3010 e log 3=0,4771, calcule:
a)log 6
b) log1,5
c) log 16
Solução
a) Log 6=log 2⋅3=log2+log3=0,3010+0,4771=0,7781
b) a) log 1,5 = log
!
!
= log 3− !"#2 = 0,1761 
!
c) a) log 16 = log 2! = 4 log 2 = 1,2040 
! Função Logarítmica
Uma função !:!!∗ → !! dada por , em que a constante a é 
positi va e diferente de 1, denomina-se função logarítmica.
Gráfi cos
Equações Logarítmicas
Uti lizando as propriedades operatórias, podemos resolver 
equações que envolvem logaritmos. A resolução de equações lo-
garítmicas se dá em três etapas básicas:
1. Estabelece-se a condição de existência
2. Resolve-se a equação uti lizando as propriedades opera-
tórias
3. Faz-se a interseção entre a solução encontrada e as con-
dições de existência
Exemplo
Resolva a equação:
log2 𝑥 + 7 − log2 2𝑥 − 1 = 2 𝑒𝑚 𝑅
MATEMÁTICA
22
Condição de Existência
𝑥 + 7 > 0 → 𝑥 > −7
2𝑥 − 1 > 0 → 𝑥 >
1
2
� 𝐷𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑥 >
1
2
log2 𝑥 + 7 − log2 2𝑥 − 1 = 2
log2
𝑥 + 7
2𝑥 − 1
= 2
Da defi nição, temos:
22 =
𝑥 + 7
2𝑥 − 1
𝑥 + 7 = 8𝑥 − 4
𝑥 =
11
7
Como x sati sfaz a condição de existência:
𝑆 =
11
7
Inequação Logarítmica
Chama-se inequação logarítmica aquela que apresenta a in-
cógnita no logaritmando ou na base do logaritmo.
Para a resolução de uma inequação:
-estabelecem condições de existência dos logaritmos
-convertem-se os logaritmos para uma mesma base
-a>1, forma uma nova inequação com os logaritmandos, 
mantendo o senti do da desigualdade original()
-0<a<1, forma-se uma nova inequação com os logaritmando, 
invertendo o senti do da desigualdade original.
-resolve-se a nova inequação e faz-se a intersecção com as 
condições de existência.
Exemplo
log2 3𝑥 − 1 > 3
CE
3x-1>0
x>1/3
3x-1>8
3x>9
x>3
Pela Condição de Existência é possível, então
S={x∈R|x>3}
Exercícios
1. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉRCITO BRASI-
LEIRO/2013) Na fi gura abaixo está representado o gráfi co da fun-
ção polinomial , defi nida no intervalo real [a,b].
Com base nas informações fornecidas pela fi gura, podemos 
afi rmar que:
A) ! é crescente no intervalo [a,0]. 
B) !(!)!!(!) para todo ! no intervalo [d, b]. 
C) !(!) 0 para todo ! no intervalo [c, 0]. 
D) a função f é decrescente no intervalo [c,e]. 
E) se !! !!∈ ! [!, !]!!!!! !!∈ ! [!, !]!!"#ã!!!(!_1) !< !!(!!). 
!