Aula 8 - centro de gravidade_mass_centroide e Teorema de Pappus

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CENTRO DE GRAVIDADE, 
CENTRO DE MASSA E 
CENTRÓIDE – CAP 5 LIVRO
-EMBORA TRABALHEMOS COM FORÇAS 
CONCENTRADAS, AS FORÇAS SÃO, DE 
FATO, DISTRIBUÍDAS.
EXEMPLOS:
- PNEU APOIADO SOBRE 
SUPERFÍCIE;
- BILHA APOIADA SOBRE 
SUPERFÍCIE PLANA;
- FORÇAS REATIVAS SOBRE UM 
MANCAL
AS FORÇAS PODEM TER DISTRIBUIÇÃO:
- LINEAR: NESTE CASO A FORÇA É EXPRESSA EM N/m;
- AO LONGO DE ÁREA OU SUPERFICIAL: EXEMPLO É A 
PRESSÃO DE ÁGUA SOBRE A PAREDE DA REPRESA. É EXPRESSA 
EM FORÇA POR UNIDADE DE ÁREA (TENSÃO QUANDO É 
EXERCIDA EM SÓLIDOS; PRESSÃO EM LÍQUIDOS E GASES);
- VOLUMÉTRICA; EXEMPLO É A FORÇA GRAVITACIONAL 
ATUANDO SOBRE UMA MASSA. É EXPRESSA EM N/m3
SE SUSTENTARMOS UM CORPO POR UMA CORDA, COMO MOSTRADO, NAS 
FIGURAS ACIMA, AS FORÇAS PESO E TRAÇÃO DO CABO SERÃO COLINEARES. 
AS LINHAS DE AÇÃO DESTAS FORÇAS SERÃO CONCORRENTES EM UM PONTO 
“G” QUE CHAMAREMOS CENTRO DE GRAVIDADE.
A DETERMINAÇÃO DO PONTO “G” SERÁ OBTIDA PELO PRINCÍPIO DOS 
MOMENTOS, OU SEJA, O SOMATÓRIO DOS MOMENTOS DE CADA PESO 
INFINITESIMAL dW, (SOMA DO PESO PELA SUA DISTÂNCIA A QUALQUER 
EIXO), TEM QUE SER IGUAL AO MOMENTO DA RESULTANTE (NO CASO O PESO 
TOTAL DO CORPO), MULTIPLICADO PELA DISTÂNCIA DESTA AO MESMO EIXO. 
DESTA FORMA, PARA O MOMENTO CALCULADO EM RELAÇÃO AO EIXO y, 
PODEMOS ESCREVER: ∫x dW = x W. DE FORMA ANÁLOGA PARA OS OUTROS 
EIXOS:
ONDE x,y e z , DEFINEM A 
POSIÇÃO DE G EM RELAÇÃO 
AOS EIXOS x,y e z. 
SE A GRAVIDADE ATUANDO SOBRE TODOS OS ELEMENTOS DO 
CORPO FOR CONSTANTE, PODEMOS ESCREVER:
W=mg . ASSIM AS EQUAÇÕES ANTERIORES SE REDUZIRÃO A:
AS EQUAÇÕES ACIMA SÃO AS COMPONENTES DA 
FORMA VETORIAL:
SE A MASSA ESPECÍFICA DO CORPO FOR 
CONSTANTE, PODEMOS ESCREVER:
m = ρ dV. NESTE CASO AS EQUAÇÕES 
FICARÃO:
AS EQUAÇÕES ANTERIORES QUE ENVOLVEM MASSA E VOLUME, DETERMINAM 
O CHAMADO CENTRO DE MASSA. A EQUAÇÃO ENVOLVENDO PESO 
DETERMINA O CHAMADO CENTRO DE GRAVIDADE. 
NÃO TEM SENTIDO FALAR EM CENTRO DE GRAVIDADE FORA DE UM SISTEMA 
GRAVITACIONAL. O CENTRO DE MASSA SEMPRE EXISTIRÁ.
EM DINÂMICA UTILIZAREMOS COM FREQUENCIA O CENTRO DE MASSA E NÃO 
O CENTRO DE GRAVIDADE.
ALGUMAS OBSERVAÇÕES:
-SE O CORPO FOR HOMOGÊNEO (DENSIDADE CONSTANTE) E HOUVER UM 
EIXO OU UM PLANO DE SIMETRIA, A A ESCOLHA DE EIXOS CONCIDENTES COM 
ESTES TORNA O PROBLAMA DE DETERMINAÇPÃO DO CENTRO DE MASSA 
MAIS FÁCIL, UM AVEZ QUE O CENTRO DE MASSA ESTARÁ SOBRE ESTE EIXO 
OU PLANO DE SIMETRIA;
- A ESCOLHA DO EIXO É SEMPRE IMPORTANTE PARA SIMPLIFICAR A 
RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE MASSA. 
COORDENADAS POLARES PODEM SER INTERESSANTES PARA O TRATAMENTO 
DE CORPOS COM FORMAS CIRCULARES, POR EXEMPLO.
OS CENTROS DE MASSA NAS 
FIGURAS AO LADO ESTARÃO 
SOBRE A LINHA E OS PLANOS DE 
SIMETRIA
CENTRÓIDE
QUANDO A MASSA ESPECÍFICA DE UM CORPO (rho) FOR CONSTANTE, 
PODEMOS DI ZER QUE O CENTRO DE GRAVIDADE INDEPENDE DA MASSA, POIS COMO 
m= rho.V, e rho APARECE NO NUMERADOR E DENOMINADOR DAS EQUAÇÕES DE 
CÁLCULO DO CENTRO DE MASSA, PODEMOS ESCREVER AS EQUAÇÕES DE 
DETERMINAÇÃO DA POSIÇÃO DESTE CENTRO SEM REFERÊNCIA A MASSA. 
NESTE CASO, ESTA POSIÇÃO SÓ DEPENDERÁ DAS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DO 
CORPO. O LOCAL DETERMINADO PELAS EQUAÇÕES ONDE A MASSA NÃO APAREÇA, MAS 
QUE DEPENDAM SOMENTE DE CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DO CORPO É 
CHAMADO DE CENTRÓIDE DO CORPO.
EM CORPOS HOMOGÊNEOS O CENTRÓIDE E O CENTRO DE MASSA COINCIDEM.
DEPENDENDO DE COMO MODELEMOS O CORPO O CENTRÓIDE PODE CAIR EM 
3 CATEGORIAS DISTINTAS:
-LINHAS: PARA UMA BARRA ESBELTA OU UM FIO DE COMPRIMENTO L, ÁREA 
TRANSVERSAL CONSTANTE A E MASSA ESPECÍFICA CONSTANTE, PODEMOS 
ESCREVER QUE :
dm = rho. A dL e m = rho. AL. COMO rho A APARECE NO 
NUMERADOR DE DENOMINADOR, SE CANCELAM.
DESTA FORMA AS EQUAÇÕES DE CENTRÓIDE PODEM SER ESCRITAS COMO:
NESTE CASO O “C” PODE CAIR 
FORA DO VOLUME DA FIGURA.
COMO dm = rho t dA e m = rho t A. COMO rho. t APARECE NO 
NUMERADOR DE DENOMINADOR, SE CANCELAM. ASSIM A EQUAÇÃO DO 
CENTRÓIDE FICARÁ:
QUANDO UM CORPO TEM MASSA ESPECÍFICA CONSTANTE E UMA 
ESPESSURA t PEQUENA, PORÉM CONSTANTE AO LONGO DO 
VOLUME, PODEMOS MODELÁ-LO COMO UMA ÁREA DE SUPERFÍCIE 
“A”. 
Figura 5/12
EXERCICIOS 
PROPOSTOS
NOTAS
1 -A EQ 5/7 VALE PARA 
LINHA, ÁREA E VOLUME 
(CENTRÓIDES), 
SUBSTITUINDO m POR L, 
A ou V.
2 -FUROS E CORTES 
ENTRAM COMO MASSAS 
NEGATIVAS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE 
CORPOS COMPOSTOS
TEOREMA DE PAPPUS
METODO PARA CÁLCULO DE ÁREA SUPERFICIAL GERADA PELA REVOLUÇÃO DE 
UMA CURVA EM RELAÇÃO A UM EIXO QUE NÃO INTERCEPTE O PLANO DA 
CURVA.
SEJA A FIGURA ONDE “L” GIRA EM TORNO DO EIXO x.A ÁREA DO ANEL 
ELEMENTAR É dA=2πy.dL. 
A ÁREA TOTAL SERÁ:
OU SEJA, CENTRÓIDE DA LINHA “L”
VEZES O COMPRIMENTO “L”. 
(ÁREA DO CILINDRO DE ALTURA “L”.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE 
TEOREMA DE PAPPUS
FIM