P1 do prof Hamilton, Cálculo II -A-

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Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Departamento de Matema´tica Aplicada
Primeira Verificac¸a˜o Escolar de Ca´lculo II A Turma E1 2015-1
Prof Hamilton 11/05/2015
ATENC¸A˜O:
O importante e´ o racioc´ınio, portanto deixe-o
todo na prova. Respostas na˜o justificadas, sera˜o
desconsideradas. Proibido o uso de qualquer equipa-
mento tecnolo´gico durante a prova.
Nome: Matr´ıcula:
1. (4,5 pontos) Calcule:
(a)
∫
x ln(x + x3)dx
(b)
∫
1√
(x2 + x + 1)3
dx
(c)
∫ √
x + 1
x2
dx
2. (2,0 pontos) Considere a regia˜o plana R do primeiro quadrante compreendida entre as curvas
xy = 2; x = 1 e y = 1. Use o me´todo que voceˆ preferir e calcule o volume do so´lido de revoluc¸a˜o
obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R em torno do eixo:
(a) x.
(b) y.
3. (2,0 pontos) Estude as integrais abaixo quanto a` convergeˆncia (ou divergeˆncia). Calcule o seu
valor caso exista.
(a)
∫ ∞
0
ex + 1
3ex − 1dx
(b)
∫ ∞
0
1
x1,11
dx
4. (1,5 pontos) Considere a func¸a˜o f : (−∞,+∞)→ R definida por f(x) =
∫ ex
x
etsentdt. Calcule
f ′(0).
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