Apostila - Geometria - Mód 17 - Trigonometria e Transformações trigonométricas

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GEOMETRIA CICLO E TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS CBMERJ 
 
1 
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Trigonometria 
 
Unidades de Medida 
 
01) Grau 🡪 1/360 da circunferência 
 
02) Radiano 🡪 arco de comprimento igual ao raio 
 
Relação entre as unidades 🡪 
 
Ciclo Trigonométrico 
 
1º quadrante 🡪 
 
2º quadrante 🡪 
 
3º quadrante 🡪 
 
4º quadrante 🡪 
 
OBS: entenda como as voltas no ciclo trigonométrico. 
 
Relação Fundamental da Trigonometria 
 
 
 
Outras relações 
🡪 
 
🡪 
 
 
Sinais das principais razões trigonométricas 
 
1º Quadrante 
 
 
 
 
2º Quadrante 
 
 
 
 
3º Quadrante 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
4º Quadrante 
 
 
 
Simetrias 
 
01) Redução do 2º ao 1º quadrante 
 
 
 
 
🡪 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Redução do 3º ao 1º quadrante 
 
 
 
 
 
🡪 
 
Logo, 
 
 
 
03) Redução 4º ao 1º quadrante 
 
 
 
 
 
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3 
🡪 
 
Logo, 
 
 
Transformações trigonométricas 
 
Soma de arcos 
 
 
 
 
 
Diferença de arcos 
 
 
 
 
 
Arco duplo 
 
 
 
 
 
Arco metade 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas de Werner 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO DE FIXAÇÃO E TREINAMENTO 
 
1. 
Se tg x = 0,75, 0°respectivamente 2m e 3m, então, a medida do ângulo 
YÔZ é igual a: 
 
(A) 90º 
(B) 30º 
(C) 60º 
(D) 45º 
 
22. 
Observe a figura a seguir. 
 
 
 
A figura acima representa o trapézio escaleno de altura 6 cm, com base 
menor medindo 13 cm, um dos ângulos internos da base maior medindo 
75º e lado transversal oposto a esse ângulo igual a 12cm, 
Qual a área, em cm², desse trapézio? 
 
(A) 120 
(B) 118 
(C) 116 
(D) 114 
(E) 112 
 
23. 
O grado é uma unidade de medida de ângulos em que uma das vantagens 
é facilitar as operações envolvendo ângulos retos. Neste sistema, a 
circunferência é dividida em 400 partes iguais e cada parte é denominada 
1gon. Na figura abaixo, observa-se a divisão dos quatro quadrantes 
usando este sistema. 
 
 
 
Desta forma, o seno do ângulo de 350/3 gon, é igual a: 
 
(A) 
(B) 
 
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8 
(C) 
(D) 
(E) 
 
24. 
 No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC 
mede 12 cm e o cateto BC mede 6 cm. 
 
 
 
Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MÂC é igual a: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
 
25. 
 Considerando-se que sen(5º) = 2/25, tem-se que cos(50º) é: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
26. 
Se senx = 0,8, cosx = 0,6, seny = 0,6 e cosy =0,8, então o valor de sen (x 
+ y) é: 
 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
27. 
Qual é o valor de A, sabendo que A = (cosx – cosy)2 + (senx + seny)2 e 
que x e y são complementares? 
 
(A) A = 2 
(B) A = 3 
(C) A = 4 
(D) A = 5 
(E) A = 6 
 
28. 
O valor de (sen22°30’ + cos22°30’)2 é: 
 
(A) 3 
 2 
(B) 2 + √3 
 2 
(C) 2 + √2 
 2 
(D) 1 
(E) 12 
 
29. 
Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, então tg y é igual a: 
 
(A) 0,2 
(B) 0,3 
(C) 0,4 
(D) 0,5 
(E) 0,6 
 
30. 
Considere a matriz quadrada B, de ordem 3, representada abaixo. 
 
 
 
Se o determinante dessa matriz é igual a 1, o valor de y corresponde a: 
 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
31. 
A tangente do ângulo 2x é dada em função da tangente de x pela seguinte 
fórmula: 
 
Calcule um valor aproximado da tangente do ângulo 22°30′. 
 
(A) 0,22 
(B) 0,41 
(C) 0,50 
(D) 0,72 
(E) 1,00 
 
32. 
Se tg x – cotg x = 1, então o valor de tg 2x é: 
 
(A) 2 
(B) 1 
(C) 0 
 
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9 
(D) -1 
(E) -2 
 
33. 
A expressão é equivalente a: 
 
(A) 1 
(B) 0 
(C) Cos2 (x/2) 
(D) 1 + senx 
(E) 1 + cosx 
 
34. 
Observe o ângulo central α do círculo trigonométrico a seguir: 
 
 
Admitindo que e , o valor de 
 é igual a: 
 
(A) 3/5 
(B) 1/2 
(C) -3/5 
(D) -1/2 
 
35. 
Do arco x sabe-se que sem (x). cos (x)= -1/4. Então, o valor de 
tg(x)+cotg(x) é ____ e a extremidade do arco x pode estar no _____ 
quadrante: 
 
(A) -4 , 1º 
(B) -4, 2º 
(C) -2 , 3º 
(D) -2, 4º 
 
36. 
Um triângulo isósceles ABC e um triângulo retângulo ADC têm um lado 
em comum, conforme mostra a figura. 
 
 
 
Sendo BA=BC, o valor de sen α é: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
37. 
Sejam os arcos de 480º e . No ciclo trigonométrico, esses 
arcos são tais que ambos estão no 
 
(A) 1º quadrante e são côngruos 
(B) 2º quadrante e são côngruos 
(C) 1º quadrante e não são côngruos 
(D) 2º quadrante e não são côngruos 
 
38. 
ABD é um triângulo retângulo com ângulo de medida a no vértice B, e 
ABC é um triângulo retângulo com ângulo de medida 2α no vértice C, 
como indica a figura. 
 
 
 
Sabendo que e que AB=CD=6cm, o 
perímetro do triângulo BCD é igual a: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
39. 
Se α é um arco do primeiro quadrante tal que sen (α) = 3/5, então 
sen (2 α) é igual a: 
 
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10 
(A) 3/5 
(B) 4/5 
(C) 6/5 
(D) 24/25 
(E) 25/24 
 
40. 
Determine o cosseno de 1935º e marque a opção correta. 
 
(A) √2/2 
(B) 1 
(C) 1/2 
(D) -1/2 
(E) - √2/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GABARITO QUESTÕES DE FIXAÇÃO E TREINAMENTO 
1. D 
2. A 
3. B 
4. D 
5. C 
6. C 
7. E 
8. B 
9. B 
10. A 
11. D 
12. B 
13. B 
14. B 
15. E 
GABARITO EXERCICIOS 
1. E 
2. E 
3. C 
4. B 
5. C 
6. C 
7. D 
8. D 
9. B 
10. B 
11. C 
12. E 
13. D 
14. B 
15. D 
16. A 
17. B 
18. A 
19. E 
20. B 
21. D 
22. D 
23. B 
24. B 
25. B 
26. B 
27. A 
28. C 
29. B 
30. B 
31. B 
32. E 
33. D 
34. C 
35. B 
36. C 
37. B 
38. D 
39. D 
40. E