Aula 10 - Subespaco Gerado e Independência Linear

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 10 - Espac¸os Vetoriais:
Subespac¸o Gerado e Independeˆncia Linear
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 27
Subespac¸o Gerado
Definic¸a˜o 0.1
Dizemos que o vetor
→
w e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores
→
v1,
→
v2, . . . ,
→
vr
se
→
w pode ser escrito na forma
→
w= k1
→
v1 +k2
→
v2 + . . . kr
→
vr
onde k1, k2, . . . , kr sa˜o escalares.
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Subespac¸o Gerado
Exemplo 0.1
Cada vetor
→
v= (a, b, c) em R3 pode ser escrito como uma combinac¸a˜o
linear dos vetores da base canoˆnica
→
i= (1, 0, 0),
→
j= (0, 1, 0) e
→
k= (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o:
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 3 / 27
Subespac¸o Gerado
Exemplo 0.2
O vetor
→
w= (9, 2, 7) e´ combinac¸a˜o linear dos vetores
→
u= (1, 2,−1) e
→
v= (6, 4, 2) em R3. Por outro lado, o vetor
→
t= (4,−1, 8) na˜o e´
combinac¸a˜o linear de
→
u e
→
v .
Soluc¸a˜o:
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 4 / 27
Subespac¸o Gerado
Se
→
v1,
→
v2, . . . ,
→
vr sa˜o vetores em um espac¸o vetorial V , enta˜o geralmente
alguns vetores de V podem ser combinac¸o˜es lineares de
→
v1,
→
v2, . . . ,
→
vr
enquanto outros vetores na˜o.
Teorema 0.1
Se
→
v1,
→
v2, . . . ,
→
vr sa˜o vetores em um espac¸o vetorial V , enta˜o:
(a) O conjunto W de todas as combinac¸o˜es lineares de
→
v1,
→
v2, . . . ,
→
vr e´ um subespac¸o de V .
(b) W e´ o menor subespac¸o de V que conte´m
→
v1,
→
v2, . . . ,
→
vr no
seguinte sentido: qualquer subespac¸o de V que conte´m→
v1,
→
v2, . . . ,
→
vr tambe´m conte´m W .
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Subespac¸o Gerado
Demonstrac¸a˜o (a):
Vamos mostrar que
W = {→v= k1 →v1 +k2 →v2 + . . .+ kr →vr |k1, k2, . . . , kr ∈ R} e´ um subespac¸o
vetorial de V .
→
0∈W , basta considerar k1 = k2 = . . . = kr = 0.
Sejam
→
u,
→
v∈W , enta˜o →u= c1 →v1 +c2 →v2 + . . .+ cr →vr,→
u= k1
→
v1 +k2
→
v2 + . . .+ kr
→
vr. Vamos mostrar que
→
u +
→
v∈W .
Temos:
→
u +
→
v = (c1
→
v1 +c2
→
v2 + . . .+ cr
→
vr) + (k1
→
v1 +k2
→
v2 + . . .+ kr
→
vr)
= (k1 + c1)
→
v1 +(k2 + c2)
→
v2 + . . .+ (kr + cr)
→
vr
= t1
→
v1 +t2
→
v2 + . . . tr
→
vr
onde t1 = k1 + c1, t2 = k2 + c2, . . . , tr = kr + cr ∈ R. Logo,→
u +
→
v∈W .
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Subespac¸o Gerado
Continuac¸a˜o:
Sejam
→
u= c1
→
v1 +c2
→
v2 + . . .+ cr
→
vr∈W e k ∈ R. Vamos mostrar
que k
→
u∈W . Temos:
k
→
u = k(c1
→
v1 +c2
→
v2 + . . .+ cr
→
vr)
= (kc1)
→
v1 +(kc2)
→
v2 + . . .+ (kcr)
→
vr
= l1
→
v1 +l2
→
v2 + . . .+ lr
→
vr
onde l1 = kc1, l2 = kc2, . . . , lr = kcr ∈ R. Logo, k →u∈W .
Como as condic¸o˜es acima, sa˜o satisfeitas, W e´ um subespac¸o vetorial.
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Subespac¸o Gerado
Definic¸a˜o 0.2
Se S = {→v1, →v2, . . . ,→vr} e´ um conjunto de vetores de um espac¸o vetorial
V , enta˜o o subespac¸o W de V que consiste de todas as combinac¸o˜es
lineares dos vetores em S e´ chamado o espac¸o gerado por
→
v1,
→
v2, . . . ,
→
vr.
Neste caso, dizemos que os vetores
→
v1,
→
v2, . . . ,
→
vr geram W .
Observac¸a˜o 0.1
Para indicar que W e´ o espac¸o gerado pelos vetores do conjunto
S = {→v1, →v2, . . . ,→vr}, utilizaremos a seguinte notac¸a˜o:
W = ger(S) ou W = ger{→v1, →v2, . . . ,→vr}
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Subespac¸o Gerado
Exemplo 0.3
(a) Um vetor
→
v∈ R3 na˜o nulo gera uma reta.
(b) Dois vetores
→
v1,
→
v2∈ R3 na˜o colineares com pontos iniciais na
origem geram um plano.
(c) Os polinoˆmios 1, x, x2, . . . , xn geram o espac¸o vetorial Pn
que consiste de vetores do tipo
→
p= a0 + a1x+ a2x
2 + . . .+ anx
n.
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Subespac¸o Gerado
Exemplo 0.4
Verifique se
→
v1= (1, 1, 2),
→
v2= (1, 0, 1) e
→
v3= (2, 1, 3) geram o espac¸o
vetorial R3.
Soluc¸a˜o:
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Independeˆncia Linear
Observac¸a˜o 0.2
O conjunto gerador de um espac¸o vetorial na˜o e´ u´nico. No Exemplo 0.3,
quaisquer dois vetores na˜o-colineares do plano geram o plano e qualquer
vetor na˜o nulo da reta gera a reta.
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Independeˆncia Linear
Seja V o espac¸o vetorial gerado por S = {→v1, →v2, . . . ,→vr}. Pode haver mais
de uma maneira de escrever
→
v∈ V como combinac¸a˜o linear dos vetores em
S. O conjunto de vetores geradores que so´ admite uma combinac¸a˜o linear
para um vetor
→
v∈ V e´ muito importante no estudo de espac¸os vetoriais.
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Independeˆncia Linear
Definic¸a˜o 0.3
Se S = {→v1, →v2, . . . ,→vr} e´ um conjunto na˜o-vazio de vetores, enta˜o a
equac¸a˜o vetorial
k1
→
v1 +k2
→
v2 + . . .+ kr
→
vr=
→
0
tem pelo menos a soluc¸a˜o k1 = 0, k2 = 0, . . . , kr = 0.
Se esta e´ a u´nica soluc¸a˜o, enta˜o o conjunto S e´ chamado linearmente
independente (LI).
Se existirem outras soluc¸o˜es, enta˜o S e´ chamado linearmente
dependente (LD).
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Independeˆncia Linear
Exemplo 0.5
(a) Mostre que o conjunto S = {→i ,
→
j ,
→
k} formado pelos vetores
→
i= (1, 0, 0),
→
j= (0, 1, 0) e
→
k= (0, 0, 1) e´ LI.
Exerc´ıcio:
(b) Mostre que o conjunto S = {→v1, →v2, →v3} formado pelos
vetores
→
v1= (1,−2, 3), →v2= (5, 6,−1) e →v3= (3, 2, 1) e´ LD.
Soluc¸a˜o:
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Independeˆncia Linear
Exemplo 0.6
(a) Mostre que o conjunto S = {→p1, →p2, →p3} formado pelos
vetores
→
p1= 1−x, →p2= 5+3x− 2x2 e →p3= 1+3x−x2 e´ LD.
Soluc¸a˜o:
(b) Mostre que os polinoˆmios 1, x, x2, . . . , xn formam um
conjunto LI em Pn (conjunto dos polinoˆmios de grau menor
ou igual a n).
Exerc´ıcio:
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Independeˆncia Linear
A dependeˆncia linear sugere que os vetores dependem um do outro de
alguma maneira.
Teorema 0.2
Um conjunto S de dois ou mais vetores e´:
(a) Linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um
dos vetores de S pode ser escrito como combinac¸a˜o linear
dos outros vetores de S.
(b) Linearmente independente se, e somente se, nenhum vetor
em S pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos outros
vetores de S.
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Independeˆncia Linear
Demonstrac¸a˜o (a):
Seja S = {→v1, →v2, . . . ,→vr}. Supondo que S e´ linearmente dependente, deve
existir escalares k1, k2, . . . , kr na˜o todos nulos, tais que:
k1
→
v1 +k2
→
v2 + . . . kr
→
vr=
→
0
Suponha que k1 6= 0. Enta˜o, dividindo a equac¸a˜o acima por k1, temos que:
→
v1= (−k2
k1
)
→
v2 + . . .+ (−kr
k1
)
→
vr
isto e´,
→
v1 e´ combinac¸a˜o linear de
→
v2,
→
v3, . . . ,
→
vr.
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Independeˆncia Linear
Continuac¸a˜o:
Reciprocamente, suponha que pelo menos um dos vetores de S pode ser
escrito como combinac¸a˜o linear dos outros. Queremos mostrar que S e´
linearmente dependente. Suponha que:
→
v1= k2
→
v2 +k3
→
v3 + . . .+ kr
→
vr
Logo,
1
→
v1 −k2 →v2 −k3 →v3 − . . .− kr →vr=
→
0
Como existe pelo menos um escalar na˜o nulo na combinac¸a˜o linear acima
(k1 = 1) conclu´ımos que S = {→v1, →v2, . . . ,→vr} e´ linearmente dependente.
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Independeˆncia Linear
Observac¸a˜o 0.3
(1) NoExemplo 0.4 (b) os vetores
→
v1= (1,−2, 3), →v2= (5, 6,−1)
e
→
v3= (3, 2, 1) formam um conjunto LD e podemos verificar
que − →v1 − →v2 +2 →v3=
→
0 .
(2) No Exemplo 1 os vetores
→
i= (1, 0, 0),
→
j= (0, 1, 0) e
→
k= (0, 0, 1) formam um conjunto LI e um na˜o e´ combinac¸a˜o
linear dos outros. Por exemplo, a equac¸a˜o
→
k= r1
→
i +r2
→
j
na˜o tem soluc¸a˜o. O mesmo acontece para outras
combinac¸o˜es.
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Independeˆncia Linear
Teorema 0.3
(a) Um conjunto finito de vetores que conte´m o vetor nulo e´
linearmente dependente.
(b) Um conjunto de exatamente dois vetores e´ linearmente
independente se, e somente se, nenhum dos dois vetores e´
um mu´ltiplo escalar do outro.
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Independeˆncia Linear
Demonstrac¸a˜o (a):
Seja S = {→v1, →v2, . . . ,→vr,
→
0} um conjunto finito de vetores. Com os
vetores de S podemos escrever a seguinte combinac¸a˜o linear:
0
→
v1 +0
→
v2 + . . . 0
→
vr +1
→
0=
→
0
Isto e´, temos uma combinac¸a˜o linear igual ao vetor nulo com escalares na˜o
todos nulos. Logo, S = {→v1, →v2, . . . ,→vr,
→
0} e´ linearmente dependente.
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Independeˆncia Linear
Em R2 ou R3, um conjunto de dois vetores e´ linearmente
independente se, e somente se, na˜o esta˜o numa mesma reta quando
colocados com seus pontos iniciais na origem.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 22 / 27
Independeˆncia Linear
Em R3, um conjunto de treˆs vetores e´ linearmente independente se, e
somente se, os vetores na˜o esta˜o no mesmo plano quando colocados
com seus pontos iniciais na origem.
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Independeˆncia Linear
Teorema 0.4
Seja S = {→v1, →v2, . . . ,→vr} um conjunto de vetores em Rn. Se r > n, enta˜o
S e´ linearmente dependente.
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Independeˆncia Linear
Demonstrac¸a˜o:
Suponha que
→
v1= (v11, v12, . . . , v1n)→
v2= (v21, v22, . . . , v2n)
...
...
→
vr= (vr1, vr2, . . . , vrn)
Para mostrarmos que S = {→v1, →v2, . . . ,→vr} e´ linearmente dependente, deve
existir escalares k1, k2, . . . , kr na˜o todos nulos, tais que:
k1
→
v1 +k2
→
v2 + . . .+ kr
→
vr=
→
0
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 25 / 27
Independeˆncia Linear
Continuac¸a˜o:
Substituindo as coordenadas dos vetores de S na equac¸a˜o acima temos:
v11k1 + v21k2 + . . .+ vr1kr = 0
v12k1 + v22k2 + . . . vr2kr = 0
...
...
...
v1nk1 + v2nk2 + . . .+ vrnkr = 0
O sistema homogeˆneo acima tem n equac¸o˜es e r inco´gnitas, que sa˜o
k1, k2. . . . , kr. Como r > n, ao reduzir a matriz aumentada do sistema
pela eliminac¸a˜o gaussiana, veremos que o sistema acima tem varia´veis
livres, o que garante infinitas soluc¸o˜es. Como o sistema possui soluc¸o˜es
na˜o triviais, conclu´ımos que S = {→v1, →v2, . . . ,→vr} e´ linearmente
dependente.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 26 / 27
Exerc´ıcios: Lista 3.2
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