Questão 5

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Questão 1/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre mudança de base e coordenadas de um vetor, e as bases 
A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3}A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3} do conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1, assinale a alternativa cuja matriz é a 
matriz de mudança de base de A para B, [M]AB[M]BA.
Nota: 0.0
	
	A
	[M]AB=[M]BA=[1712−10−7].[1712−10−7].
Para determinar a matriz de mudança de base de A para B, devemos fazer A como combinação linear de B.
p1=4−3x=a(x+2)+b(2x+3)p2=3−2x=c(x+2)+d(2x+3)[12|−3−223|43].p1=4−3x=a(x+2)+b(2x+3)p2=3−2x=c(x+2)+d(2x+3)[12|−3−223|43].
Escalonando
[10|171201|−10−7].[10|171201|−10−7].
[M]AB=[M]BA=[1712−10−7].[1712−10−7].
(Livro-base p. 108-112)
	
	B
	[M]AB=[M]BA=[182−12−8].[182−12−8].
	
	C
	[M]AB=[M]BA=[1813−11−6].[1813−11−6].
	
	D
	[M]AB=[M]BA=[2210−11−9].[2210−11−9].
	
	E
	[M]AB=[M]BA=[1813−158].[1813−158].
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Observe a matriz dada:
A=[3142]A=[3142] 
De acordo com a matriz dada e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as alternativas abaixo e assinale a que corresponde à inversa da matriz A:
Nota: 10.0
	
	A
	A−1=[1−1/2−23/2].A−1=[1−1/2−23/2].
Você acertou!
Como A−1=1detAAdjA,A−1=1detAAdjA, temos A−1=12[2−1−43]=[1−1/2−23/2].A−1=12[2−1−43]=[1−1/2−23/2].
(livro-base p. 52-53)
	
	B
	A−1=[−11/2−2−3/2].A−1=[−11/2−2−3/2].
	
	C
	A−1=[12−23/2].A−1=[12−23/2].
	
	D
	A−1=[11/22−3/2].A−1=[11/22−3/2].
	
	E
	A−1=[−1−1/223/2].A−1=[−1−1/223/2].
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). 
De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas com V para verdadeira e F para falsa:
I.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. (  ) O conjunto {v1,v2,v3}{v1,v2,v3} forma uma base para o R3.R3.
Agora, marque a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-F-F
	
	B
	V-V-F
	
	C
	V-F-V
	
	D
	F-V-F
Você acertou!
Observamos que det⎡⎢⎣131−32−1412⎤⎥⎦=0.det[131−32−1412]=0. Com isso, os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes (LD), logo não formam uma base (o determinante deve ser diferente de zero ou os vetores devem ser LI).  
Primeira afirmativa é falsa, pois os vetores são LD e não LI.
Segunda afirmativa é verdadeira, pois o determinante dos vetores é igual a zero (LD).
Terceira afirmativa é falsa, pois como os vetores são LD, não formam uma base.
Logo, a sequência correta é F-V-F (livro-base p. 96-103).
	
	E
	F-V-V
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Analise as matrizes A=[2002]A=[2002] e B=[3003]B=[3003].
De acordo com as matrizes acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a matriz XX, tal que X=A.Bt+B.X=A.Bt+B.
Nota: 10.0
	
	A
	X=[120012]X=[120012]
	
	B
	X=[180018]X=[180018]
	
	C
	X=[9009]X=[9009]
Você acertou!
X=A.Bt+B=X=A.Bt+B= [2002][2002].[3003][3003]+ [3003][3003]=
=[6006][6006] +[3003][3003] =[9009][9009]
(Livro-base p. 26-38)
	
	D
	X=[8448]X=[8448]
	
	E
	X=[101110]X=[101110]
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Sejam os vetores u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1)u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1), tais que eles formam uma base do espaço vetorial R3R3.  
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale  a alternativa com as coordenadas do vetor (1,1,0)∈R3(1,1,0)∈R3 com relação à base formada pelos vetores u,v e w.u,v e w. 
Nota: 10.0
	
	A
	⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦[1−1−2]
Você acertou!
Para que os vetores u,v e wu,v e w  formem uma base do R3R3, é necessário que existam os reais a, b e c tais que au+bv+cw=(0,0,0)au+bv+cw=(0,0,0)  e que sejam todos nulos. Assim, tem-se o sistema linear:
⎧⎪⎨⎪⎩a=02a+b=03a+b+c=0{a=02a+b=03a+b+c=0
Esse sistema tem solução única, a=b=c=00.  Logo, formam uma base do  R3R3.
Para determinar as coordenadas do vetor (1,1,0)(1,1,0)  em relação à base{u,v,w}{u,v,w} , digamos ββ  deve-se resolver o sistema:
⎧⎪⎨⎪⎩x=12x+y=13x+y+z=0{x=12x+y=13x+y+z=0
A solução do sistema é z=−2,y=−1 e x=1z=−2,y=−1 e x=1 e as coordenadas do vetor são
⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦β[1−1−2]β  (livro-base p. 96-99).
	
	B
	⎡⎢⎣21−2⎤⎥⎦[21−2]
	
	C
	⎡⎢⎣1−22⎤⎥⎦[1−22]
	
	D
	⎡⎢⎣2−4−2⎤⎥⎦[2−4−2]
	
	E
	⎡⎢⎣2−2−2⎤⎥⎦[2−2−2]
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Considere as matrizes A=[aij]2×2A=[aij]2×2 e B=[bij]2×2B=[bij]2×2 definidas por aij={i+j, se i=j0, se i≠jaij={i+j, se i=j0, se i≠j e bij=2i−3j.bij=2i−3j. 
De acordo com as matrizes dadas acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, a matriz A+BA+B é dada por:
Nota: 10.0
	
	A
	[1412].[1412].
	
	B
	[−3412].[−3412].
	
	C
	[1−412].[1−412].
Você acertou!
Usando as definições dos elementos das matrizes de AA e de BB, encontramos A=[2004]A=[2004] e B=[−1−41−2].B=[−1−41−2]. Assim, A+B=[2−10−40+14−2]=[1−412]A+B=[2−10−40+14−2]=[1−412] (livro-base p. 20-21 e 27-29)
	
	D
	[1−4−12].[1−4−12].
	
	E
	[141−2].[141−2].
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
Uma livraria registrou as vendas de livros didáticos durante a semana que antecede a volta às aulas (tabela 1), e na semana em que as aulas se iniciaram (tabela 2), conforme as respectivas tabelas a seguir:
Tabela 1
SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1010151215Português1510101520Geografia51551012SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1010151215Português1510101520Geografia51551012
Tabela 2:
SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1051500Português2510150Geografia510052SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1051500Português2510150Geografia510052
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a matriz que representa o total de vendas de livros nas duas semanas, por dia e o tipo de livro vendido:
Nota: 10.0
	
	A
	⎡⎢⎣20153012151515223020102551515⎤⎥⎦[20153012151515223020102551515]
	
	B
	⎡⎢⎣20153012151715203020102551514⎤⎥⎦[20153012151715203020102551514]
Você acertou!
Comentário: Basta somar cada elemento correspondente da linha e coluna.  
(Livro-base p. 26-32).
	
	C
	⎡⎢⎣201530121515152030201225141515⎤⎥⎦[201530121515152030201225141515]
	
	D
	⎡⎢⎣25153010151515223520103051515⎤⎥⎦[25153010151515223520103051515]
	
	E
	⎡⎢⎣10153012151518223021102651515⎤⎥⎦[10153012151518223021102651515]
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre mudança de base e coordenadas de um vetor, e as bases
A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3}A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3} do conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1, assinale a alternativa com a matriz das 
coordenadas do polinômio p=x−4p=x−4 em relação a base A.
Nota: 10.0
	
	A
	[6   −5]t[6   −5]t
	
	B
	[5−8]t[5−8]t
Você acertou!
Determine as coordenadas de p=x−4p=x−4 em relação a base A.
p=x−4=a(4−3x)+b(3−2x)[−3−2|143|−4].p=x−4=a(4−3x)+b(3−2x)[−3−2|143|−4].
As coordenadas são [5   −8]t[5   −8]t
(Livro-base p. 119-122)
	
	C
	[8   −6]t[8   −6]t
	
	D
	[7   −9]t[7   −9]t
	
	E
	[3   −2]t[3   −2]t
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Considere os vetores u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3).u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3). 
De acordo com os vetores dados acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que descreve o vetor uu como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3:v1, v2 e v3:
Nota: 10.0
	
	A
	u=v1−2v2+3v3u=v1−2v2+3v3.
	
	B
	u=2v1−v2+4v3.u=2v1−v2+4v3.
Você acertou!
Queremos encontrar α,β,γ∈Rα,β,γ∈R tais que u=αv1+βv2+γv3u=αv1+βv2+γv3, isto é, (−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹⎧⎨⎩α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.(−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹{α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.Resolvendo o sistema linear anterior, obtemos α=2, β=−1 e γ=4.α=2, β=−1 e γ=4. Portanto, u=2v1−v2+4v3u=2v1−v2+4v3    (livro-base p. 89-93).
	
	C
	u=−2v1+v2+4v3.u=−2v1+v2+4v3.
	
	D
	u=10v1−7v2+4v3.u=10v1−7v2+4v3.
	
	E
	u=2v1−v2−4v3.u=2v1−v2−4v3.
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Considere o vetor v=(3,2,1)v=(3,2,1) do R3R3 e o conjunto devetores α={v1=(1,2,3),v2=(1,1,1),v3=(1,0,0)}α={v1=(1,2,3),v2=(1,1,1),v3=(1,0,0)} também do R3R3. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas a seguir, assinale com V as sentenças verdadeiras e com F as falsas.
( ) vv é uma combinação linear dos vetores do conjunto αα.
( ) αα é  uma base do R3R3.
( ) Os vetores v1,v2 e v3v1,v2 e v3 são linearmente independentes. 
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F
	
	B
	V-V-V
Você acertou!
Comentário:  A sequência correta é V-V-V.
Se vv é combinação linear dos vetores de αα, então existe a, b e c, tal que   v=av1+bv2+cv3v=av1+bv2+cv3
Como o determinante dos vetores de αα é diferente de zero, logo existe a, b e c e vv é uma combinação linear dos vetores do conjunto αα.
Alternativa I é verdadeira porque o determinante dos vetores é diferente de zero.
Alternativa II é verdadeira porque vv é uma combinação linear dos vetores.
Alternativa III é verdadeira porque o determinante é diferente de zero, 
v=av1+bv2+cv3v=av1+bv2+cv3
(Livro-base p. 89-103).
	
	C
	F-V-V
	
	D
	V-F-F
	
	E
	F-F-F