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Profª Me Simone Tatiane do Canto Avaliação N1-(24/09/2015) Nome:_______________________________________________ RA:_____________________ Justifique, com o máximo detalhe possível, cada uma de suas respostas. 1.) (2,00) Sendo 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥3 tal que 𝑎𝑖𝑗 = 2. (𝑖)2 − (𝑗)2 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)2𝑥3 tal que 𝑏𝑖𝑗 = (𝑖) 2 − 𝑗 + 3. Calcule 𝐴 + 𝐵. Primeiro Encontramos a matriz A. 𝐴 = [ 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ] 𝑎11 = 2. (1) 2 − (1)2 = 2 − 1 = 1 𝑎12 = 2. (1) 2 − (2)2 = 2 − 4 = −2 𝑎13 = 2. (1) 2 − (3)2 = 2 − 9 = −7 𝑎21 = 2. (2) 2 − (1)2 = 8 − 1 = 7 𝑎22 = 2. (2) 2 − (2)2 = 8 − 4 = 4 𝑎23 = 2. (2) 2 − (3)2 = 8 − 9 = −1 𝐴 = [ 1 −2 −7 7 4 −1 ] Agora encontramos B. 𝐵 = [ 𝑏11 𝑏12 𝑏13 𝑏21 𝑏22 𝑏23 ] 𝑏11 = (1) 2 − 1 + 3 = 1 + 2 = 3 𝑏12 = (1) 2 − 2 + 3 = 1 + 1 = 2 𝑏13 = (1) 2 − 3 + 3 = 1 + 0 = 1 𝑏21 = (2) 2 − 1 + 3 = 4 + 2 = 6 𝑏22 = (2) 2 − 2 + 3 = 4 + 1 = 5 𝑏23 = (2) 2 − 3 + 3 = 4 + 0 = 4 𝐵 = [ 3 2 1 6 5 4 ] Agora faremos A+B 𝐴 + 𝐵 = [ 1 −2 −7 7 4 −1 ] + [ 3 2 1 6 5 4 ] 𝐴 + 𝐵 = [ 1 + 3 −2 + 2 −7 + 1 7 + 6 4 + 5 −1 + 4 ] 𝐴 + 𝐵 = [ 4 0 −6 13 9 3 ] Profª Me Simone Tatiane do Canto 2.) (2,00) Considere as seguintes matrizes: 𝐴 = [ 4 − 3𝑥 7 − 𝑥 0 −10 −5 −4 ] , 𝐵 = [ 3 −4 5 0 2 2 ] , 𝐶 = [ 𝑥 𝑥 + 1 1 𝑥 − 1 ] e 𝐷 = [ 0 10 10 5 1 4 ] Encontre o valor de 𝑥 para que ocorra a seguinte equação: 𝐴 + 𝐵𝐶 = 𝐷 [ 4 − 3𝑥 7 − 𝑥 0 −10 −5 −4 ] + [ 3 −4 5 0 2 2 ] . [ 𝑥 𝑥 + 1 1 𝑥 − 1 ] = [ 0 10 10 5 1 4 ] [ 4 − 3𝑥 7 − 𝑥 0 −10 −5 −4 ] + [ 3𝑥 − 4 3(𝑥 + 1) − 4(𝑥 − 1) 5𝑥 5(𝑥 + 1) 2𝑥 + 2 2(𝑥 + 1) + 2(𝑥 − 1) ] = [ 0 10 10 5 1 4 ] [ 4 − 3𝑥 7 − 𝑥 0 −10 −5 −4 ] + [ 3𝑥 − 4 −𝑥 + 7 5𝑥 5𝑥 + 5 2𝑥 + 2 4𝑥 ] = [ 0 10 10 5 1 4 ] [ (4 − 3𝑥) + (3𝑥 − 4) (7 − 𝑥) + (−𝑥 + 7) 5𝑥 −10 + (5𝑥 + 5) −5 + (2𝑥 + 2) −4 + 4𝑥 ] = [ 0 10 10 5 1 4 ] 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑥 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒: [ 0 14 − 2𝑥1 5𝑥2 −5 + 5𝑥3 −3 + 2𝑥4 −4 + 4𝑥5 ] = [ 0 10 10 5 1 4 ] 𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 14 − 2𝑥1 = 10 14 − 10 = 𝑥1 4 = 2𝑥1 𝑥1 = 4 2 𝑥1 = 2 5𝑥2 = 10 𝑥2 = 10 5 𝑥2 = 2 −3 + 2𝑥3 = 1 2𝑥3 = 1 + 3 Profª Me Simone Tatiane do Canto 2𝑥3 = 4 𝑥3 = 4 2 𝑥3 = 2 −3 + 2𝑥4 = 1 2𝑥4 = 1 + 3 2𝑥4 = 4 𝑥4 = 4 2 𝑥4 = 2 −4 + 4𝑥5 = 4 4𝑥5 = 4 + 4 4𝑥5 = 8 𝑥5 = 8 4 𝑥5 = 2 Logo x = 2 3.) (2,00) Qual o determinante da matriz quadrada: 𝐴 = ( sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 sin 𝑥 cos 𝑥 0 sin 𝑥 1 1 ) det (𝐴) = | sin𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 sin𝑥 cos 𝑥 0 sin𝑥 1 1 | sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 1 det(𝐴) = sin 𝑥 cos𝑥 + 0 + sin𝑥 − sin 𝑥 cos 𝑥 − 0 − sin𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 det(𝐴) = sin𝑥 − sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 det(𝐴) = sin 𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝐴𝑞𝑢𝑖 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 det (𝐴) det(𝐴) = sin 𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) det(𝐴) = sin 𝑥 . 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 4.) (2,00) Dê a solução da seguinte equação: | 2𝑥 9 2 𝑥 | = | 1 2 3 − 𝑥 2 3 1 3 1 2 + 𝑥 | 𝑉𝑒𝑗𝑎 𝑞𝑢𝑒 é 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑎 𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑎 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑒 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒 − 𝑜𝑠. Profª Me Simone Tatiane do Canto det(𝐴) = 2𝑥. 𝑥 − 9.2 det(𝐴) = 2𝑥2 − 18 | 1 2 3 − 𝑥 2 3 1 3 1 2 + 𝑥 | 1 2 2 3 3 1 det(𝐵) = 3(2 + 𝑥) + 6 + 2(3 − 𝑥) − 9(3 − 𝑥) − 1 − 4(2 + 𝑥) det(𝐵) = 6 + 3𝑥 + 6 + 6 − 2𝑥 − 27 + 9𝑥 − 1 − 8 − 4𝑥 det(𝐵) = −18 + 6𝑥 𝐴𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑖𝑔𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 det(𝐴) = det (𝐵) 2𝑥2 − 18 = −18 + 6𝑥 2𝑥2 − 6𝑥 = 0 𝑥(2𝑥 − 6) = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑢 2𝑥 − 6 = 0 2𝑥 = 6 𝑥 = 3 5.) (2,00) Dada a matriz 𝐴 = ( 2 4 1 3 ), calcule: a) det(𝐴) = 6 − 4 = 2 b) det (𝐴2) Primeiro faremos 𝐴2 = ( 2 4 1 3 ) . ( 2 4 1 3 ) = ( 4 + 4 8 + 12 2 + 3 4 + 9 ) = ( 8 20 5 13 ) det(𝐴2) = 8.13 − 20.5 = 104 − 100 = 4 c) det (𝐴−1) Primeiro encontraremos 𝐴−1: 𝐴. 𝐴−1 = 𝐼 ( 2 4 1 3 ) . ( 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) = ( 1 0 0 1 ) ( 2𝑎 + 4𝑐 2𝑏 + 4𝑑 𝑎 + 3𝑐 𝑏 + 3𝑑 ) = ( 1 0 0 1 ) Agora aplicaremos a igualdade de matrizes: Profª Me Simone Tatiane do Canto { 2𝑎 + 4𝑐 = 1 𝑎 + 3𝑐 = 0 { 2𝑎 + 4𝑐 = 1 −2𝑎 − 6𝑐 = 0 Somamos as matrizes: −2𝑐 = 1 𝑐 = − 1 2 𝑎 + 3𝑐 = 0 𝑎 + 3(− 1 2 ) = 0 𝑎 − 3 2 = 0 𝑎 = 3 2 { 2𝑏 + 4𝑑 = 0 𝑏 + 3𝑑 = 1 { 2𝑏 + 4𝑑 = 0 −2𝑏 − 6𝑑 = −2 −2𝑑 = −2 𝑑 = 1 𝑏 + 3𝑑 = 1 𝑏 + 3 = 1 𝑏 = 1 − 3 𝑏 = −2 Assim 𝐴−1 = ( 3 2 −2 −1 2 1 ), agora faremos det (𝐴−1) det(𝐴−1) = 3 2 − 1 = 3 − 2 2 = 1 2 Profª Me Simone Tatiane do Canto 6.) (3,00) QUESTÃO DESAFIO: (OPCIONAL) a) 𝐴2 = [ 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0] . [ 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0] = [ 1 1 2 3 1 0 2 2 2 2 1 0 2 1 1 0 1 0 2 0 0 0 1 0 1] b) 𝑐13 = 2 Profª Me Simone Tatiane do Canto 𝑐13 = ∑ 𝑎1𝑘𝑎𝑘3 = 5 𝑘=1 𝑎11𝑎13 + 𝑎12𝑎23 + 𝑎13𝑎33 + 𝑎14𝑎43 + 𝑎15𝑎53 𝑐13 = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 Logo existem 2 caminhos que transmitem em 𝑐13 , 1 → 2 → 3 e 1 → 4 → 3. c) Note que essa resposta está no enunciado do exercício: O elemento nulo significa que não há transmissão, o elemento igual a 1 há transmissão por 1 caminho que envolve 3 setores, logo cada valor dos elementos dizem a quantidade de caminhos para que ocorra a transmissão e como cada caminhos contém 3 setores envolvidos basta multiplicar a quantidade de caminhos por 3 e obterá a quantidade de setores envolvidos na transmissão.
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