fisexp3_apostila2025_1

Prévia do material em texto

Física Experimental III
Instituto de Física
2025.1
Copyright © 2025 Instituto de Física - UFRJ
Licenciado sob a Licença Creative Commons Atribuição-Não Comercial 3.0 Não Adaptada (a
“Licença”). Você não pode usar este arquivo exceto em conformidade com a Licença. Você pode
obter uma cópia da Licença em http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0. Salvo
quando exigido pela legislação aplicável ou acordado por escrito, o software distribuído sob esta
Licença é fornecido NO ESTADO EM QUE SE ENCONTRA, SEM GARANTIAS OU CONDIÇÕES DE
QUALQUER TIPO, expressas ou implícitas. Consulte a Licença para conhecer os termos específicos
que regem permissões e limitações sob esta Licença.
Versão: 12 de fevereiro 2025
http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0
Conteúdo
O Curso
0.1 O curso de Física Experimental III 8
0.2 Avaliações 8
I Experimento 1
1 Noções de circuitos elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Material 11
1.2 Introdução 11
1.3 Corrente elétrica 12
1.4 Resistência 12
1.4.1 Associação de resistores em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Associação de resistores em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Leis de Kirchhoff 14
1.5.1 Lei das correntes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Lei das tensões de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Uso dos equipamentos 15
1.6.1 Fonte de alimentação DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.2 Voltímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.3 Amperímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.4 Multímetro digital: medidas de tensão e corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.5 Protoboard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Procedimentos Experimentais 19
1.7.1 Procedimento I: Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.2 Procedimento II: Lei das tensões de Kirchhoff e associação em série . . . . . . . 21
1.7.3 Procedimento III: Lei das correntes de Kirchhoff e associação em paralelo . . 21
II Experimento 2
2 O osciloscópio e o gerador de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Material 24
2.2 Objetivos dessa aula 24
2.3 Introdução 24
2.4 Voltagem 24
2.4.1 A onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Gerador de sinais 26
2.5.1 Operação básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.2 Representação do gerador em um diagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Osciloscópio digital 26
2.6.1 Tela do osciloscópio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.2 Operação básica do osciloscópio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.3 Representação do osciloscópio em um diagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Procedimentos Experimentais 33
2.7.1 Procedimento I: seleção dos parâmetros da forma de onda no gerador de funções
e medida de amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.2 Procedimento II: execução de medidas com diferentes escalas . . . . . . . . . . 34
2.7.3 Procedimento III: utilizando o menu de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7.4 Procedimento IV: usando os cursores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.5 Procedimento V: adicionando valores constantes aos sinais . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7.6 Procedimento VI: observação de 2 formas de onda simultaneamente (opcional)
38
III Experimento 3 (opcional)
3 Circuitos resistivos com onda senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1 Material 41
3.2 Introdução 41
3.2.1 Sinais senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2 Resistores em corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Procedimentos experimentais 44
3.3.1 Procedimento I: uso do multímetro e do osciloscópio para medidas de tensão
alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2 Procedimento II: circuitos resistivos com tensão senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
IV Experimento 4
4 Transientes em circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1 Material 49
4.2 Introdução 49
4.3 Capacitores 49
4.4 Circuitos RC 50
4.5 Procedimentos experimentais 53
4.5.1 Procedimento I: medidas de τ e t1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5.2 Procedimento II: tensão no resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5.3 Procedimento III: medida da resistência interna do gerador . . . . . . . . . . . . . . 56
V Experimento 5
5 Circuitos RC em corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1 Material 58
5.2 Introdução 58
5.3 Circuitos RC 59
5.4 Procedimentos experimentais 63
5.4.1 Procedimento I: verificação do análogo da lei de Ohm para capacitores . . 63
VI Experimento 6
6 Circuitos RC e filtros de frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.1 Material 66
6.2 Introdução 66
6.3 Filtros usando circuitos RC 67
6.3.1 Filtro passa-baixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3.2 Filtro passa-alta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3.3 Frequência de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3.4 Transmitância e diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4 Procedimentos Experimentais 71
6.4.1 Procedimento I: filtro passa-alta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4.2 Procedimento II: filtro passa-baixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
VII Experimento 7
7 Circuitos RL em cc e ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1 Material 74
7.2 Introdução 74
7.3 Indutores 74
7.4 Circuitos RL com corrente constante 75
7.5 Indutores com corrente alternada 77
7.6 Circuitos RL com corrente alternada 79
7.7 Procedimentos experimentais 81
7.7.1 Procedimento I: medidas de τ e t1/2 com onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.7.2 Procedimento II: medida de τ do gráfico de VL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.7.3 Procedimento III: medida da diferença de fase e da reatância indutiva de um
circuito RL com corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
VIII Experimento 8
8 Circuitos RLC em corrente contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.1 Material 84
8.2 Introdução 84
8.3 Procedimentos experimentais 89
8.3.1 Procedimento I: constante de tempo e frequência de oscilação do circuito RLC
89
8.3.2 Procedimento II: transição do regime sub-crítico para o regime super-crítico. 90
IX Experimento 9
9 Circuitos RLC em corrente alternada: ressonância . . . . . . . . . . . . . 93
9.1 Material 93
9.2 Introdução 93
9.3 Circuitos RLC em série 93
9.3.1 Potência média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.4 Circuitos RLC em paralelo 99
9.5 Procedimentos experimentais 101
9.5.1 ProcedimentoEntretanto, voltímetros (ou multímetros digitais) também podem ser utilizados, uma vez que se
conheça suas limitações. Como um sinal alternado possui um valor médio nulo, quando utilizamos
a opção “V a.c.” de um voltímetro, o sinal passa por um dispositivo chamado “retificador de onda
completa”, que transfoma a função V0 sen(ωt) em V0 |sen(ωt)|, que só assume valores positivos.
44 Capítulo 3. Circuitos resistivos com onda senoidal
Nesse caso o valor medido para a voltagem é chamado de valor eficaz, que é definido como a raiz
quadrada do valor médio do quadrado de V (t):
Vef =
{
1
T
∫ T
0
[V0 sen(ωt)]2 dt
} 1
2
=
V0√
2
. (3.8)
Por exemplo, o valor da voltagem na rede elétrica doméstica é 127 V. Esse é o valor eficaz, o
que significa que a amplitude da tensão na rede é V0 = 179,6 V.
Multímetros sempre medem valores eficazes de tensão, e são geralmente calibrados para a
frequência de 60 Hz (frequência da rede elétrica). Portanto, suas medidas só são confiáveis para
sinais com frequências próximas deste valor.
3.2.2 Resistores em corrente alternada
Circuitos lineares, como o próprio nome indica, são aqueles nos quais as voltagens e correntes
se relacionam de forma linear. É o caso de resistores, para os quais a Lei de Ohm mostra que a
tensão aplicada é proporcional à corrente, com a constante de proporcionalidade sendo chamada
de resistência. Isso foi verificado no experimento anterior, para resistores submetidos a tensões
constantes; mas a Lei de Ohm também vale para os casos em que os resistores estão sujeitos
a tensões alternadas. Considere um resistor com uma resistência R submetido a uma tensão
VG(t) =V0 sen(ωt). Pela Lei de Ohm a corrente no resistor será dada por:
i(t) =
VG(t)
R
=
V0
R
sen(ωt) = i0 sen(ωt), (3.9)
onde definimos a amplitude da corrente, i0 ≡V0/R. A equação 3.9 mostra alguns fatos interessantes:
a corrente que atravessa o resistor também é um sinal senoidal, e que oscila com a mesma frequência
da tensão aplicada. Essas são características de circuitos lineares. Além disso, podemos notar que
não há nenhuma diferença de fase entre a voltagem e a corrente. A figura 3.3 mostra os gráficos
para corrente e voltagem em função do tempo, para um sinal com amplitude V0 = 5 V e período
T = 1 ms.
Note que a partir da definição de i0, podemos calcular a resistência em termos das amplitudes
de tensão e corrente:
R =
V0
i0
. (3.10)
A equação 3.10 mostra que a amplitude de corrente não depende da frequência do sinal aplicado;
este é um resultado extremamente importante, pois nos permite determinar a amplitude de corrente
num circuito simplesmente medindo a amplitude de tensão no resistor e dividindo este valor pela
resistência.
3.3 Procedimentos experimentais
3.3.1 Procedimento I: uso do multímetro e do osciloscópio para medidas de tensão
alternada
Selecione a forma de onda senoidal com amplitude de 4 V no gerador de sinais e conecte sua
saída ao canal 1 do osciloscópio. Conecte também o multímetro digital (portátil ou de bancada) ao
gerador para medir sua voltagem, de acordo com a figura 3.4. Selecione uma frequência próxima
de 60 Hz e faça as seguintes medidas com o sinal produzido:
1. meça a frequência do sinal senoidal com o osciloscópio (lembre-se que isso pode ser feito de
2 maneiras: usando o sistema de gratículas para medir o período e utilizar a equação 3.4 ou
então utilizar o menu “Medidas”); lembre-se também que a frequência mostrada pelo gerador
de funções representa apenas uma indicação de frequência;
3.3 Procedimentos experimentais 45
	
  
Figura 3.3: Voltagem (linha sólida) e corrente (linha tracejada) para um resistor de R = 1kΩ
submetido a uma tensão alternada com 5 V de amplitude e 1 kHz de frequência.
	
  
Figura 3.4: Circuito a ser utilizado no Procedimento I.
46 Capítulo 3. Circuitos resistivos com onda senoidal
	
  
Figura 3.5: Circuito a ser utilizado no Procedimento II.
2. meça a amplitude (V0) do sinal senoidal com o osciloscópio (seja utilizando o sistema de
gratículas ou o menu “Medidas”);
3. meça a voltagem (Vmult) com o multímetro (selecione a opção “Voltagem AC”);
Repita agora essas medidas para uma frequência de 30 kHz, apresente seus resultados na
Tabela 1 e comente os resultados obtidos. Ao mudar a frequência, verifique pelo osciloscópio se a
amplitude do sinal do gerador continua igual a 4 V e, caso ela tenha mudado, corrija para o valor
inicial.
Tabela 1
f ±σf V0 ±σV0 (V) Vmult ±σV (V)
3.3.2 Procedimento II: circuitos resistivos com tensão senoidal
Neste procedimento estamos interessados em verificar que a Lei de Ohm de fato se aplica a um
resistor quando submetido a voltagens e correntes senoidais. A idéia é realizar com o osciloscópio
medidas simultâneas das amplitudes de tensão e corrente e verificar graficamente se existe uma
relação linear entre V0 e i0, como previsto pela equação 3.10. Caso essa relação seja observada, será
possível obter o valor da resistência e comparar com outra medida (como aquela obtida utilizando
um multímetro digital, por exemplo).
Lembre-se que o osciloscópio mede voltagens, portanto para medir a amplitude de corrente
utilizamos um expediente muito comum, que é inserir um segundo resistor em série, medir a
amplitude de tensão sobre ele e calcular a corrente como i(t) =V (t)/R.
1. Monte o circuito da figura 3.5, usando os resistores R1 = 1kΩ e R2 = 100Ω. R1 é o
resistor para o qual desejamos verificar a Lei de Ohm enquanto R2 é utilizado para calcular a
amplitude de corrente. Meça os valores das duas resistências com o multímetro, e anote seus
valores com as respectivas incertezas.
2. Selecione um sinal senoidal no gerador de funções, com uma frequência próxima de 500
Hz. Você deve observar uma imagem semelhante à figura 3.3. Com o osciloscópio meça
a frequência do sinal do gerador, com sua incerteza. O sinal da corrente possui frequência
3.3 Procedimentos experimentais 47
igual ou diferente? Há diferença de fase entre esses dois sinais?
3. Ajuste a amplitude da tensão no gerador de modo que a amplitude de tensão sobre o resistor
R2 (medida no canal 2) seja V0R2 = 0,30 V e com esse valor calcule a amplitude de
corrente como i0 = V0R2/R2. Note que o sinal medido no canal 1 é a tensão do gerador
(com amplitude V0G, medida no canal 1) e para construirmos o gráfico desejado precisamos
da amplitude de tensão sobre o resistor R1, que pode ser calculada simplesmente como a
diferença
V0R1 =V0G −V0R2 . (3.11)
4. Repita agora a medida para outros cinco valores de V0R2, sempre ajustando a amplitude de
voltagem no gerador para que a amplitude V0R2 aumente em intervalos de 0,10 V. Complete a
Tabela 2 com esses dados.
5. Faça um gráfico de V0R1 versus i0 e comente sobre o comportamento observado. Obtenha
o valor de R1 a partir desse gráfico e compare com o valor obtido na medida direta com o
multímetro, comentando seu resultado. Este resultado seria diferente se a frequência do sinal
do gerador fosse diferente de 500 Hz?
Tenha atenção com as unidades de medida dos valores usados no ajuste da reta. Será feito o
ajuste da função V0R1 = R1i0, onde V0R1 deve estar em volts e i0 em ampères, para que tenhamos
R1 em ohms.
Tabela 2
V0R2 ±σV0R2 i0 ±σi0 (A) V0G ±σV0G (V) V0R1 (V) σV0R1 (V)
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
IV
4 Transientes em circuitos RC . . . . . . . . . . 49
4.1 Material
4.2 Introdução
4.3 Capacitores
4.4 Circuitos RC
4.5 Procedimentos experimentais
Experimento 4
4. Transientes em circuitos RC
4.1 Material
• capacitores de 100 nF e 1 µF;
• resistores de 100 Ω e 10 kΩ.
4.2 Introdução
O objetivo desta aula é estudar o comportamento de capacitores acoplados a circuitos resistivos em
tensão constante. Serão realizadas medidas das constantes de tempo para o circuito RC (resistor e
capacitor em série).
4.3 Capacitores
Sabemos que podemos armazenar energia sob a forma de energia potencial de diversas formas.
Podemos armazenar em uma mola estendida, comprimindo um gás ou elevando um objeto com
uma determinada massa. Uma outra maneira de armazenar energia na forma de energiapotencial é
através de um campo elétrico, e isso se faz utilizando um dispositivo chamado capacitor.
O capacitor (ou condensador) é um dispositivo formado por duas placas condutoras, contendo
um material dielétrico entre elas, cuja característica principal é o fato que quando aplicamos uma
dada diferença de potencial entre estas placas, há o acúmulo de uma quantidade de cargas elétricas
nelas, positivas (+q) em uma e negativas (−q) na outra. A quantidade de carga elétrica acumulada
q é proporcional à diferença de potencial aplicada. A constante de proporcionalidade entre a carga
adquirida e a diferença de potencial aplicada é chamada de capacitância, e depende das dimensões
do capacitor (como a área das placas condutoras e a separação entre elas) e da permissividade
elétrica do isolante. Podemos então escrever a equação característica do capacitor como:
q =CVC . (4.1)
Essa definição pode ser considerada como uma definição estática ou instantânea, relacionando
a voltagem no capacitor em um dado momento e o módulo da carga acumulada em cada uma de
50 Capítulo 4. Transientes em circuitos RC
suas placas. Como, em geral, medimos voltagens e correntes, podemos reescrever a equação acima
em função da corrente que passa no circuito do capacitor. Basta lembrarmos que
i =
dq
dt
. (4.2)
Substituindo a equação 4.1 na equação 4.2 temos:
i =C
dVC
dt
. (4.3)
A equação 4.3 mostra que somente teremos corrente no circuito se houver uma variação
da voltagem no capacitor VC. Dito em outros termos, se o capacitor estiver se carregando ou
descarregando teremos corrente circulando. Num circuito elétrico, usamos dois segmentos de reta
paralelos, representando duas placas paralelas condutoras, como símbolo do capacitor (figura 4.1).
C
Figura 4.1: Representação esquemática de um capacitor.
A unidade de capacitância no sistema internacional é o farad, representado pela letra F. O farad
é uma unidade muito grande, e por isso os dispositivos disponíveis comercialmente são designados
por submúltiplos do farad, como o picofarad (1 pF = 10−12 F), nanofarad (1 nF = 10−9 F), o
microfarad (1 µF = 10−6 F) e o milifarad (1 mF =10−3 F).
4.4 Circuitos RC
Como foi mencionado anteriormente, se conectarmos uma bateria aos terminais de um capacitor,
aparecerá uma corrente elétrica no circuito enquanto a diferença de potencial aplicada ao capacitor
estiver variando no tempo, ou seja, enquanto o capacitor estiver se carregando (equação 4.3). Isso
ocorrerá durante o breve intervalo de tempo em que a bateria estiver sendo conectada. Esse tempo
no jargão da eletrônica consiste de um “transiente”. Após o transiente, a voltagem se torna constante
e a corrente será nula.
Isso corresponde ao caso ideal. Na prática, um capacitor nunca é utilizado isoladamente, sempre
existe um resistor associado em série com ele, mesmo que seja a resistência interna da bateria ou
da fonte de alimentação. Por isso, o capacitor não se carregará “instantaneamente”, mas levará um
certo tempo, que dependerá das características elétricas do circuito. Aliás, a utilidade prática do
capacitor baseia-se no fato de podermos controlar o tempo que ele leva para se carregar totalmente
e a carga que queremos que ele adquira. Esse controle é obtido associando-se um resistor em série
no circuito do capacitor, como mostrado na figura 4.2.
Se conectarmos a chave na posição “A”, o capacitor se carregará. Pela lei das tensões de
Kirchhoff, que é equivalente à lei da conservação da energia no circuito, teremos:
VB =VR +VC . (4.4)
4.4 Circuitos RC 51
+
-
VB
R
C
A
B
Figura 4.2: Diagrama de um circuito RC.
Qualitativamente ocorrerá o seguinte: se o capacitor estiver completamente descarregado no
instante inicial (o instante em que a chave é virada para a posição “A”), VC = 0 V e, portanto, VB
= VR = R i0, onde i0 é a corrente no circuito no instante t = 0 s. À medida que o tempo passa VC
vai aumentando, pois o capacitor estará se carregando, e VR consequentemente vai diminuindo
(equação 4.4). Isso significa que no instante inicial (t = 0 s), o valor de VC é mínimo (VC = 0 V) e o
valor de VR é máximo (VR = VB). Essa defasagem entre voltagem e corrente no capacitor tem um
papel fundamental na teoria dos circuitos elétricos, o que ficará claro quando estudarmos circuitos
com excitação senoidal.
Se a chave ficar ligada na posição “A” por um tempo relativamente longo (o significado de
“relativamente longo” logo ficará claro), ao final desse tempo o capacitor estará totalmente carregado
e teremos VC = VB, VR = 0 V e a corrente cessará de passar. Se nesse momento passarmos a chave
para a posição “B”, haverá um refluxo das cargas acumuladas no capacitor, a corrente inverterá o
sentido e o capacitor se descarregará. Nesse caso, como não existe bateria ligada no circuito, VB =
0 V e, pela lei das malhas, VR + VC = 0, ou VR = − VC . A voltagem no capacitor, no caso, variará
de VB até zero.
Substituindo as expressões para VR e VC por suas equações características, a equação 4.4 se
torna:
VB = Ri+
q
C
= R
dq
dt
+
q
C
= RC
dVC
dt
+VC, (4.5)
que pode ser integrada, tendo como solução geral
VC(t) =VC(∞)+ [VC(0)−VC(∞)]e−
t
τ , (4.6)
onde VC(∞) é a voltagem no capacitor quando o tempo tende a infinito (capacitor completamente
carregado), VC(0) é a voltagem no capacitor no instante t = 0 e τ = RC. No caso da equação
diferencial descrita pela equação 4.5, VC(∞) = VB. Assumindo que a voltagem nas placas do
capacitor é nula em t = 0, encontramos
VC(t) =VB
(
1− e−
t
τ
)
, (4.7)
onde novamente
τ = RC . (4.8)
A equação 4.7 mostra que o tempo necessário para o capacitor se carregar dependerá do produto
RC. Quanto maior for esse produto, mais longo será esse tempo. O produto RC é conhecido como
constante de tempo do circuito RC e inclui todas as resistências presentes no mesmo.
52 Capítulo 4. Transientes em circuitos RC
Usando a lei das tensões de Kirchhoff, obtemos o valor de VR:
VR(t) =VB −VC =VB e−
t
τ . (4.9)
Para o estudo da descarga do capacitor temos que resolver a equação diferencial descrita na
equação 4.5, fazendo VB = 0 e assumindo que o capacitor está completamente carregado no instante
inicial t = 0. Encontramos:
VC(t) =VB e−
t
τ (4.10)
e
VR(t) =−VB e−
t
τ . (4.11)
A constante de tempo que caracteriza o circuito pode ser obtida experimentalmente de algumas
maneiras diferentes. A primeira delas decorre diretamente da sua definição: é o tempo necessário
para o argumento da exponencial se tornar “−1”, e teremos para a carga:
VC(τ) =VB(1− e−1) =VB(1−0,37) = 0,63VB, (4.12)
ou seja, τ é o tempo necessário para que a voltagem em um capacitor, inicialmente descarregado,
atinja 63 % do valor final da tensão da fonte que o carrega.
Para a descarga, teremos algo semelhante:
VC(τ) =VB e−1 = 0,37VB . (4.13)
Isto significa que na descarga τ é o tempo necessário para o capacitor atingir 37% do valor inicial
da voltagem (isto é, em t = 0).
Somente podemos determinar a constante de tempo no processo de carga se o capacitor estiver
descarregado para t = 0 s e conhecermos a priori o valor de VB. Caso contrário, seria necessário
esperar um tempo muito longo para VC chegar até VB, tempo esse que, eventualmente, não dispomos.
O processo é bastante simplificado na descarga do capacitor, pois nesse caso podemos definir a
origem do tempo (t = 0) e VB é a voltagem que o sistema possui naquele momento. Por isso, em
geral usamos a equação 4.13 para a determinação de τ .
Uma outra maneira de obtermos τ consiste em determinarmos um outro tempo característico,
que ocorre em todos os processos exponenciais, chamado de meia-vida do sistema, t1/2. Ele é
definido como o tempo necessário para a grandeza medida cair à metade do seu valor inicial. No
caso presente, será o tempo necessário para a voltagem do capacitor atingir, tanto na carga como na
descarga, a metade do valor de VB. Por exemplo, no processo de carga teremos:
VC(t1/2) =
VB
2
=VB
[
1− exp(−
t1/2
τ
)
]
(4.14)
ou
1
2
= exp(−
t1/2
τ
). (4.15)
Aplicando-se logaritmos naturais a ambos os lados dessa equação,encontramos:
t1/2 = τ ln2 . (4.16)
A constante de tempo também pode ser obtida no processo de descarga, determinando-se o
tempo necessário para o valor inicial da voltagem cair à metade, ou seja:
VC(t1/2) =
VB
2
=VB exp(−
t1/2
τ
) (4.17)
ou
t1/2 = τ ln2, (4.18)
4.5 Procedimentos experimentais 53
e a equação 4.16 é novamente obtida, mostrando que tanto na carga como na descarga a constante
de tempo pode ser obtida a partir do tempo de meia-vida a partir da equação
τ =
t1/2
ln2
. (4.19)
Utilizaremos elementos de circuito com valores de capacitância e resistência que levam a
tempos de relaxação da ordem de milissegundos. Assim, para observarmos a variação da voltagem
será necessário chavear o circuito da posição “A” para a posição “B”, e vice-versa, com uma
frequência muito grande, da ordem de kilohertz. Isso é possível se utilizarmos um gerador de sinais,
escolhendo a forma de onda quadrada para simular o chaveamento do circuito. Nesse caso, de
acordo com a figura 4.2, o patamar superior da onda quadrada (VB = V0) irá representar o circuito
com a chave na posição “A”, e o patamar inferior (VB = 0 V) irá representar o circuito com a chave
na posição “B”.
4.5 Procedimentos experimentais
4.5.1 Procedimento I: medidas de τ e t1/2
1. Monte o circuito da figura 4.3 a seguir com C = 100 nF e R = 10 kΩ. Ajuste no gerador de
sinais uma onda quadrada de frequência f = 200 Hz e tensão pico-a-pico Vpp = 6 V. Através
da função “DC Offset” do gerador de sinais, ajuste a onda quadrada para que seu patamar
inferior corresponda a 0 V. Você consegue isto somando um sinal constante de 3 V à onda
quadrada inicial, que oscila entre −3 V e +3 V. Você deverá obter uma imagem semelhante
à da figura 4.4 na tela do osciloscópio.
Figura 4.3: Montagem de um circuito RC simples usando um gerador de sinais e um osciloscópio.
Essa montagem permite a medida da voltagem na fonte (VG) e no capacitor (VC), ambas em relação
ao terra. Para isso devemos ligar o canal 1 (CH1) do osciloscópio no ponto “A” e o canal 2 (CH2)
no ponto “B” do circuito.
2. Ajuste agora as escalas do osciloscópio de modo a colocar na tela um período completo da
onda quadrada, e meça os valores de t1/2 e τ , como indicado na figura 4.5.
Vimos que t1/2 é o tempo necessário para que a voltagem no capacitor durante a descarga
atinja a metade do valor que tinha no início do processo, (tempo definido como t = 0 s),
enquanto τ é o tempo necessário para VC chegar a 37% desse valor inicial. Você pode fazer
estas medidas usando os cursores do osciloscópio. Com os cursores de amplitude meça
a voltagem máxima no capacitor, em relação aos 0 V definidos na onda quadrada. Em
54 Capítulo 4. Transientes em circuitos RC
Figura 4.4: Imagem semelhante à que você deve obter na tela do osciloscópio.
seguida, com os cursores de tempo, meça o tempo transcorrido entre o início da queda desta
voltagem e o momento em que ela atinge 50% de seu valor máximo para obter t1/2, e o
tempo transcorrido entre o início da queda da voltagem no capacitor e o momento em que a
voltagem atinge 37 % de seu valor máximo para obter τ . Note que você deverá medir um
tempo relativo a partir do início da descarga conforme indicado na figura 4.5.

V t1/2

0,
5 

V
0,
37
 
V
Figura 4.5: Voltagem no capacitor mostrando, na descarga do capacitor, como medir a constante de
tempo τ e o tempo de meia-vida t1/2.
3. Compare os valores que obteve para a constante de tempo τ , através da medida direta de seu
valor e através da medida de t1/2 (equação 4.19).
4.5.2 Procedimento II: tensão no resistor
1. Monte o circuito da figura 4.6, ele corresponde ao circuito da figura 4.3 com as posições do
capacitor e do resistor trocadas. Com isto podemos fazer medidas simultâneas da tensão
no gerador e no resistor. Use os mesmos valores de C = 100 nF e R = 10 kΩ. Ajuste no
gerador de sinais uma onda quadrada semelhante à do procedimento anterior, variando entre
0 V e + 6 V, mas com frequência f = 100 Hz. Nesta configuração medimos no canal 2 do
osciloscópio a voltagem VR no resistor. Com o auxílio de um multímetro meça os valores de
4.5 Procedimentos experimentais 55
R e C. Você deverá obter uma imagem semelhante à da figura 4.7 na tela do osciloscópio.
Figura 4.6: Montagem de um circuito RC simples usando um gerador de sinais e um osciloscópio.
Essa montagem permite a medida da voltagem no resistor em relação ao terra (VR). Para isso
devemos ligar o canal 1 (CH1) do osciloscópio no ponto “A” e o canal 2 (CH2) no ponto “B” do
circuito.
Figura 4.7: Imagem semelhante à que você deve obter na tela do osciloscópio.
2. Para obtermos uma curva de VR em função de t com boa resolução, devemos fazê-la ocupar
a maior região possível da tela do osciloscópio. Para isso devemos ajustar os controles do
osciloscópio e do gerador de sinais para que apareça na tela apenas o intervalo de tempo
correspondente à carga do capacitor.
Para tanto você deve efetuar os seguintes passos:
a) diminua a escala de tempo de modo a observar apenas meio-período da onda quadrada e
desloque a posição horizontal do sinal de voltagem para que o decaimento comece na linha
vertical mais à esquerda da tela;
b) ajuste o nível “zero” da voltagem VR de forma que ele coincida com a linha inferior da tela,
e diminua a escala do canal 2 para o menor valor em que ainda seja possível ver o máximo
da curva. É possível que você tenha que utilizar a opção “Ganho variável: fino”. Deverá
aparecer na tela do osciloscópio uma figura semelhante à figura 4.8. Se for necessário ajuste
56 Capítulo 4. Transientes em circuitos RC
um pouco a frequência do gerador.
Figura 4.8: Maximização na tela do osciloscópio da voltagem VR na carga do capacitor.
3. A partir da curva ajustada no canal 2 do osciloscópio, escolha seis pares de valores de t e VR,
usando os cursores ou fazendo leitura direta na tela (método das gratículas). Anote os valores
medidos com suas respectivas incertezas. Anote também as escalas de tempo e voltagem
utilizadas.
4. Faça um gráfico de VR versus t no retículo milimetrado disponível na folha de seu relatório,
marcando os pontos medidos e suas barras de erro, e traçando à mão livre a curva que
melhor se ajusta aos pontos experimentais. A partir da curva traçada no retículo milimetrado,
obtenha o valor de τ , utilizando o mesmo método do Procedimento I.
4.5.3 Procedimento III: medida da resistência interna do gerador
Além dos parâmetros do sinal de saída, toda fonte de alimentação (como a fonte de tensão DC ou o
gerador de funções) é também caracterizada por uma grandeza chamada impedância interna. Seu
significado ficará claro na segunda parte do curso, mas por enquanto basta dizermos que trata-se de
uma grandeza complexa cujo valor pode variar com a frequência do sinal produzido, com a parte
real correspondendo a um componente resistivo, enquanto a parte imaginária representa o efeito de
componentes capacitivos e indutivos.
Os geradores de função (como este que utilizamos no curso) normalmente tem uma impedância
interna real e independente da frequência, com valor de 50 Ω. Por estas razões a impedância
interna corresponde a uma resistência interna; o gerador de funcões pode ser representado como
um gerador “ideal” em série com uma resistência RG de 50 Ω.
Vamos agora utilizar um circuito RC para medir a resistência interna do gerador, através da
medida de τ . Monte um circuito RC com um resistor com R = 100 Ω e um capacitor com C = 1 µF .
Calcule qual o valor de τ esperado para este circuito, lembrando que RG = 50 Ω. Para fazer a
medida de τ , desejamos que o tempo de aplicação da tensão (isto é, T/2) seja aproximadamente
igual a 3 vezes o valor de τ . Utilize o valor esperado para τ para calcular a frequência da onda
quadrada.
Alimente agora o circuito com uma onda quadrada com amplitude de 4 V (oscilando entre
Vmin = 0 V e Vmax = 8 V) e com a frequência calculada acima. Utilize um dos métodos descritos
acima (no procedimento I ou II) para medir τ e a partir deste valor calcule o valor de RG, comparando
com o valor esperado.V
5 Circuitos RC em corrente alternada . . 58
5.1 Material
5.2 Introdução
5.3 Circuitos RC
5.4 Procedimentos experimentais
Experimento 5
5. Circuitos RC em corrente alternada
5.1 Material
• resistor de 5 kΩ;
• capacitor de 47 nF.
5.2 Introdução
Como vimos na aula sobre capacitores, a equação característica do capacitor ideal é dada por
i(t) =C
d
dt
VC(t). (5.1)
Se aplicarmos uma voltagem alternada VG =V0 sen(ωt) a este capacitor, ele se carregará com
uma corrente i(t) dada por
i(t) =C
d
dt
[V0 sen(ωt)] = ωCV0 cos(ωt) = ωCV0 sen
(
ωt +
π
2
)
. (5.2)
A corrente então pode ser escrita como
i(t) = ωCV0 sen
(
ωt +
π
2
)
= i0 sen
(
ωt +
π
2
)
, (5.3)
onde definimos a amplitude de corrente i0 como
i0 ≡ ωCV0 . (5.4)
Dessa forma, a relação entre as amplitudes de tensão e corrente pode ser escrita como
V0 =
1
ωC
i0 = XC i0 . (5.5)
A equação 5.5 é o equivalente da Lei de Ohm para capacitores com correntes alternadas. A
grandeza definida por
XC ≡ 1
ωC
(5.6)
5.3 Circuitos RC 59
	
  
Figura 5.1: Circuito RC alimentado por uma fonte de tensão senoidal.
tem dimensão de resistência e é chamada de reatância capacitiva; ela desempenha um papel seme-
lhante à resistência na Lei de Ohm, com a importante diferença de ser inversamente proporcional à
frequência. Para frequências muito altas o capacitor se comporta como um curto-circuito (resistên-
cia nula), o que significa que sinais de alta frequência passam pelo capacitor sem serem atenuados.
Já para frequências muito baixas o valor da reatância aumenta e sinais de baixa frequência serão
fortemente atenuados. Esta propriedade dos capacitores é utilizada para a construção de filtros de
frequência.
A equação 5.3 mostra que em um capacitor ideal, a corrente e a voltagem estão defasadas de
π/2 radianos: para uma tensão do gerador dada por
VG =V0 sen(ωt) , (5.7)
temos a corrente dada pela expressão
i(t) = i0 sen
(
ωt +
π
2
)
, (5.8)
mostrando que a corrente está adiantada de π/2 radianos em relação à voltagem da fonte.
5.3 Circuitos RC
Para circuitos RC como o mostrado na figura 5.1, a aplicação da lei das tensões de Kirchhoff leva a
VG(t) =VC(t)+VR(t) (5.9)
V0 sen(ωt) =
q(t)
C
+Ri(t), (5.10)
sendo VG(t) a tensão produzida pelo gerador.
Como este circuito é composto apenas de componentes lineares, espera-se que a corrente
também varie senoidalmente com o tempo e com a mesma frequência de VG(t), tendo como forma
geral
i(t) = i0 sen(ωt +ϕ) , (5.11)
60 Capítulo 5. Circuitos RC em corrente alternada
	
  
Figura 5.2: Variação da diferença de fase entre corrente e tensão em função da frequência angular
em um circuito RC.
onde ϕ representa a diferença de fase entre a voltagem do gerador e a corrente no circuito. Derivando
a equação 5.10 em relação ao tempo e fazendo uso da equação 5.11, encontramos que
ωV0 cos(ωt) =
i0
C
sen(ωt +ϕ)+ωRi0 cos(ωt +ϕ) . (5.12)
A equação 5.12 pode ser reescrita expandindo-se as funções sen(ωt +ϕ) e cos(ωt +ϕ) e em
seguida reagrupando os termos que envolvem cos(ωt) e sen(ωt). Após algumas manipulações
algébricas obtemos
cos(ωt)
[
ωV0 − (ωRi0)cosϕ − i0
C
senϕ
]
+ sen(ωt)
[
(ωRi0)senϕ − i0
C
cosϕ
]
= 0 . (5.13)
Como a equação 5.13 deve valer para qualquer instante de tempo, os coeficientes dos termos
cos(ωt) e sen(ωt) devem ser individualmente nulos, o que significa que duas equações devem ser
satisfeitas simultaneamente:
(Ri0)cosϕ +
(
i0
ωC
)
senϕ =V0 , (5.14)
e
(Ri0)senϕ −
(
i0
ωC
)
cosϕ = 0 . (5.15)
Da equação 5.15 obtemos diretamente a expressão para o ângulo de fase ϕ:
tanϕ =
1
ωCR
=
XC
R
. (5.16)
A Figura 5.2 mostra o comportamento da diferença de fase ϕ (em radianos) em função da
frequência angular (em rad/s), para um circuito RC com R = 10 Ω e C = 2,2 µF. O gráfico possui
escala semi-logarítmica para permitir uma melhor visualização da dependência de ϕ . Para valores
de ω tendendo a zero, a diferença de fase tende a π/2 radianos; já para valores de ω tendendo a
infinito, a diferença de fase tende a zero (corrente e tensão em fase).
Já a equação 5.14 pode ser resolvida utilizando-se as seguintes relações trigonométricas:
senϕ =
tanϕ√
1+ tan2 ϕ
, (5.17)
5.3 Circuitos RC 61
	
  
Figura 5.3: Representação da impedância Z de um circuito RC como o módulo de um número
complexo Z̃ = R− jXC.
e
cosϕ =
1√
1+ tan2 ϕ
. (5.18)
Após utilizarmos as equações 5.17 e 5.18 na equação 5.14 e utilizarmos a equação 5.15, obtemos
a relação entre as amplitudes de corrente e de tensão do gerador:
V0
i0
=
√
R2 +X2
C . (5.19)
Definimos então uma grandeza chamada impedância do circuito RC (Z) como sendo esta
razão entre amplitudes:
Z ≡ V0
i0
=
√
R2 +X2
C . (5.20)
Note que Z tem dimensão de resistência e, como V0 = Zi0, num circuito com corrente alternada
a impedância desempenha um papel análogo ao da resistência em circuitos com corrente contínua.
Observe também que a impedância do circuito não é simplesmente a soma de R e XC, mas sim a
raiz quadrada da soma dos quadrados de R e XC.
As equações 5.16 e 5.20 nos permitem imaginar uma representação gráfica na qual a impedância
do circuito RC é representada por dois eixos ortogonais no plano: o eixo horizontal representa o
valor de R enquanto o eixo vertical representa o valor de XC, como se fossem as duas componentes
de um vetor ou as partes real e imaginária de um número complexo (veja figura 5.3). Nesse caso a
impedância Z definida na equação 5.20 representa o módulo da impedância complexa Z̃ ≡ R− jXC.
Note que se tivéssemos definido Z̃ como R+ jXC a analogia permaneceria válida, mas a razão para
termos escolhido o sinal negativo para a parte complexa ficará clara abaixo.
Note que utilizamos a letra j para representar o valor
√
−1; isso é feito para que não haja
confusão com a corrente no circuito, representada pela letra i.
Essa analogia com grandezas complexas tem uma boa razão para ser feita, pois circuitos com
correntes alternadas podem ser tratados utilizando o formalismo de números complexos. Considere
um circuito composto apenas por um gerador e um capacitor; a tensão do gerador é dada por
VG(t) =V0 sen(ωt) . (5.21)
62 Capítulo 5. Circuitos RC em corrente alternada
De acordo com a fórmula de Euler, qualquer número complexo obedece a relação e jθ =
cosθ + j senθ , e a tensão do gerador pode ser escrita como
VG(t) = Im
[
ṼG(t)
]
, (5.22)
onde definimos a voltagem complexa ṼG(t) como
ṼG(t) =V0 e jωt . (5.23)
Como vimos na seção 5.2, para este circuito com apenas o gerador e o capacitor a corrente é
dada por
i(t) = i0 sen
(
ωt +
π
2
)
, (5.24)
com i0 = ωCV0. Da mesma forma que fizemos com a voltagem, podemos representar a corrente
em termos de uma grandeza complexa:
i(t) = Im
[
ĩ(t)
]
, (5.25)
onde a corrente complexa ĩ(t) é dada por
ĩ(t) = i0 e j(ωt+π/2) . (5.26)
A grande vantagem do uso do formalismo de números complexos é que, uma vez que as
grandezas complexas estejam definidas, basta utilizarmos uma relação análoga à Lei de Ohm para
resolvermos o circuito:
Ṽ (t) = Z̃ ĩ(t) . (5.27)
Como já temos as expressões para Ṽ (t) e ĩ(t), podemos encontrar a impedância complexa para
este circuito puramente capacitivo:
Z̃C =
ṼG(t)
ĩ(t)
=
V0 e jωt
ωCV0 e j(ωt+π/2) =
1
ωCe jπ/2 =
1
jωC
=− jXC . (5.28)
Fica clara portanto a razão de termos escolhido a componente capacitiva da impedância
complexa do circuito RC como sendo −XC: o sinal negativo decorre do comportamento do
capacitor, que sempre adianta a corrente em relação à tensão da fonte.
A partir das expressões para a amplitude de tensão no circuito RC, podemos expressar a
diferença de fase ϕ e a amplitude de tensão do gerador em termos dessas grandezas. Pela Lei de
Ohm, sabemos que a amplitude de tensão no resistor é dada por
V0R = Ri0 , (5.29)
enquanto a amplitude de tensão no capacitor é dada pela equação 5.5:
V0C = XC i0 . (5.30)
Portanto as equações 5.14 e 5.15 podem ser re-escritas na forma
V0R cosϕ +V0C senϕ =V0 , (5.31)
e
V0R senϕ −V0C cosϕ = 0 . (5.32)
Tomando o quadrado de cada equação e somando membro a membro, obtemos:V0
2 =V 2
0C +V 2
0R. (5.33)
E uma simples manipulação algébrica da equação 5.32 nos permite obter uma expressão
alternativa para a diferença de fase:
tanϕ =
V0C
V0R
. (5.34)
5.4 Procedimentos experimentais 63
	
  
Figura 5.4: Circuito a ser utilizado no procedimento I.
5.4 Procedimentos experimentais
5.4.1 Procedimento I: verificação do análogo da lei de Ohm para capacitores
Queremos verificar a validade da relação V0C = XC i0, verificando o comportamento da reatância
capacitiva com a frequência.
1. O circuito será montado com R = 5kΩ e C = 47 nF. Meça com o multímetro digital os valores
de R e C e em seguida monte o circuito da figura 5.4; ligue os equipamentos e ajuste o gerador
para alimentar o circuito com uma tensão senoidal de frequência próxima de f = 400 Hz.
Com o osciloscópio meça o período e frequência do sinal com suas respectivas incertezas.
2. Ajuste o gerador para que a amplitude de tensão sobre o resistor (V0R, medida no canal 2
do osciloscópio) seja próxima a 1,0 V. Lembre-se de utilizar no osciloscópio a escala que
permita a medida com a maior precisão.
3. Observe que existe uma diferença de fase ϕ entre os dois sinais, o que fica claro pela diferença
de tempo entre 2 pontos similares em cada forma de onda (veja a figura 5.5). A diferença
de fase pode ser medida a partir da medida dessa diferença temporal ∆t: escolha 2 pontos
similares em cada forma de onda, meça ∆t e sua incerteza. Como exemplo, na figura 5.5
∆t é a diferença de tempo entre 2 pontos onde as formas de onda passam pelo zero. Em
seguida calcule a diferença de fase entre a tensão no resistor VR e a tensão do gerador VG
como ϕ = 2π f ∆t; calcule também sua incerteza. Não se esqueça de utilizar o valor de f
medido no item anterior.
4. A partir do valor obtido para ϕ , calcule o valor da reatância capacitiva XC para a frequência
f .
5. Meça agora a amplitude de tensão sobre o resistor V0R e sua incerteza. Calcule a amplitude
de corrente no circuito, utilizando a Lei de Ohm: i0 =V0R/R (lembre-se de utilizar o valor de
R medido com o multímetro). Sem alterar o ajuste do gerador, meça a amplitude de tensão
do gerador (V0G, medida no canal 1 do osciloscópio). Com os valores de V0R e V0G, calcule o
valor da amplitude de tensão no capacitor como: V0C =
√
V 2
0G −V 2
0R. Anote todos os valores
na primeira linha da Tabela 1.
6. Repita o procedimento para outros valores de V0R e complete a tabela 1. Sugestão: use
valores de V0R entre 1,0 e 2,0 V.
64 Capítulo 5. Circuitos RC em corrente alternada
	
  
Figura 5.5: Ilustração da medida da diferença de fase no circuito RC. A linha contínua representa
a voltagem da fonte VG e a linha tracejada representa a voltagem no resistor VR. Nessa figura VR
(que é um sinal proporcional à corrente, pois num resistor tensão e corrente estão em fase) está
adiantada em relação a VG, como deve sempre ser num circuito RC.
Tabela 1
V0R ± σV0R
(V)
i0 ±σi0 (A) V0G ±σV0G (V) V0C (V) σV0C (V)
7. A partir dos dados da Tabela 1, faça um gráfico de V0C vs. i0 e obtenha o valor da reatância
capacitiva XC para a frequência f . Compare com o valor obtido a partir da diferença de fase
e com o valor nominal.
8. Calcule de maneira alternativa, a partir da equação 5.34 e das amplitudes V0R e V0C da
primeira linha da tabela, a diferença de fase ϕ e sua incerteza. Compare o valor com o valor
obtido na questão 3 deste procedimento. Os valores são compatíveis?
VI
6 Circuitos RC e filtros de frequência . . . 66
6.1 Material
6.2 Introdução
6.3 Filtros usando circuitos RC
6.4 Procedimentos Experimentais
Experimento 6
6. Circuitos RC e filtros de frequência
6.1 Material
• resistor de 470 Ω;
• capacitor de 33 nF.
6.2 Introdução
Vimos que a reatância capacitiva depende da frequência: quanto maior a frequência do sinal que
alimenta um capacitor, menor será a resistência que o componente oferecerá à passagem da corrente.
Essa propriedade pode ser utilizada para a confecção de filtros de frequência que atenuem sinais
com certos valores de frequência num dado circuito elétrico. Os filtros que cortam os sinais com
frequências abaixo de um certo valor são chamados de “filtros passa-alta”, ao passo que aqueles
que cortam sinais com frequências acima de um dado valor chamam-se “filtros passa-baixa”. A
combinação dos dois tipos de filtros pode resultar num outro tipo de filtro (chamado de passa-banda)
que deixa passar somente sinais com frequências próximas de um certo valor, atenuando todos os
sinais com frequências acima e abaixo deste valor; desta forma o filtro define uma banda passante.
Aplicando as definições de reatância capacitiva e impedância discutidas anteriormente, as
amplitudes das voltagens no capacitor (V0C) e no resistor (V0R) em um circuito RC em série podem
ser escritas como:
V0C =
XC
Z
V0 (6.1)
e
V0R =
R
Z
V0 , (6.2)
onde V0 é a amplitude da voltagem de alimentação do circuito, XC = 1/ωC é a reatância capacitiva,
R é a resistência e Z =
√
R2 +X2
C a impedância do circuito. Observe que o termo “resistência”
aplica-se somente ao resistor. Para o capacitor utiliza-se o termo “reatância capacitiva” e para a
“resistência total do circuito” empregamos o termo “impedância”. Os filtros deixarão passar certas
faixas de frequência dependendo da escolha de qual dispositivo será usado para obter o sinal de
saída do filtro, capacitor ou resistor, e de seus valores de capacitância e resistência.
6.3 Filtros usando circuitos RC 67
Figura 6.1: Representação esquemática de um filtro passa-baixa construído a partir de um circuito
RC em série, alimentado com corrente alternada.
6.3 Filtros usando circuitos RC
Quando alimentamos um circuito RC em série com uma voltagem alternada de frequência angular
ω e amplitude V0, as amplitudes das voltagens no capacitor (V0C) e no resistor (V0R) serão dadas
por:
V0C =
XC
Z
V0 =
1√
1+(ωRC)2
V0 , (6.3)
e
V0R =
R
Z
V0 =
ωRC√
1+(ωRC)2
V0 . (6.4)
Vemos então que V0C e V0R dependem da frequência ω , mas de maneira oposta. No capacitor, a
amplitude V0C →V0 quando a frequência angular ω → 0. Conforme a frequência aumenta, a razão
V0C/V0 vai diminuindo, e no limite em que ω → ∞, V0C → 0.
No resistor observamos o comportamento oposto. Para frequências baixas a amplitude V0R é
baixa. Esta amplitude aumenta com o aumento da frequência, e no limite de frequências muito
altas, V0R → V0. Assim, de acordo com a faixa de frequências que queremos eliminar do sinal
de entrada, escolhemos o dispositivo de onde iremos extrair o sinal de saída. Para eliminarmos
frequências altas, devemos utilizar o sinal de tensão no capacitor como saída (filtro passa-baixa), e
se quisermos eliminar frequências baixas, usamos o sinal do resistor como saída (filtro passa-alta).
6.3.1 Filtro passa-baixa
Vamos analisar um circuito RC em série atuando como um filtro passa-baixa. Para isto devemos
comparar o sinal de entrada, fornecido pelo gerador de funções, com o sinal de saída, extraído do
capacitor. Isto é feito montando o circuito mostrado na figura 6.1.
Para este circuito apresentado, a amplitude da voltagem no capacitor V0C é dada pela equação
6.3. A razão entre as amplitudes V0C e V0 será chamada de APB, representando a razão entre as
amplitudes de tensão de entrada e saída, e será expressa como:
APB ≡ V0C
V0
=
1√
1+(ωRC)2
. (6.5)
A equação 6.5 mostra que para frequências próximas de zero, a voltagem no capacitor tem
a mesma amplitude que a voltagem do gerador (APB ∼= 1), ou seja, o sinal não é atenuado. Por
sua vez, à medida que a frequência cresce, a voltagem no capacitor diminui, o que significa que
68 Capítulo 6. Circuitos RC e filtros de frequência
esta voltagem apresenta uma atenuação em relação ao sinal do gerador. Se tomarmos o limite da
frequência tendendo a infinito, a amplitude APB tende a zero e neste caso a voltagem no capacitor
é totalmente atenuada. Portanto, somente sinais com frequências muito baixas não terão suas
amplitudes diminuídas.
6.3.2 Filtro passa-alta
Figura 6.2: Representação esquemática de um filtro passa-alta construídoa partir de um circuito
RC em série, alimentado com corrente alternada.
Vamos analisar agora um circuito RC em série atuando como um filtro passa-alta. Devemos
agora comparar o sinal fornecido pelo gerador de funções com o sinal de saída extraído do resistor.
Isto será feito montando o circuito mostrado na figura 6.2. Ele é obtido a partir do circuito da figura
6.1 simplesmente invertendo as posições do resistor e do capacitor.
Para este circuito a amplitude da voltagem no resistor V0R será dada pela equação 6.4. Definimos
a razão entre as amplitudes V0R e V0 como sendo APA, que pode ser expressa na forma:
APA ≡ V0R
V0
=
ωRC√
1+(ωRC)2
. (6.6)
A equação 6.6 mostra que o filtro passa-alta tem uma dependência com ω oposta àquela
observada no caso do filtro passa-baixa. Sinais com frequências baixas são fortemente atenuados
enquanto os sinais com frequências muito altas são transmitidas com pequena (ou nenhuma)
atenuação.
6.3.3 Frequência de corte
Nas seções anteriores, falamos de frequências “muito altas” e “muito baixas”, mas ao utilizarmos
este tipo de expressão devemos especificar em relação a qual valor é feita a comparação. É costume
definir para estes filtros uma frequência, chamada de frequência angular de corte, que especifica a
faixa de frequências a ser filtrada. Esta frequência (ωc) é definida como aquela que torna a reatância
capacitiva igual à resistência do circuito, ou seja, o valor de ω que satisfaz a condição XC = R.
Usando esta definição encontramos
XC =
1
ωcC
= R , (6.7)
o que nos leva a:
ωc =
1
RC
. (6.8)
6.3 Filtros usando circuitos RC 69
Figura 6.3: Curvas características dos filtros passa-alta (APA) e passa-baixa (APB) construídos com
um circuito RC que utiliza R = 1 kΩ e C = 100 nF. VB representa V0R para o filtro passa-altas e V0C
para o passa-baixas. A frequência angular de corte para este caso é ωc = 104 rad/s. Note que o eixo
x está em escala logarítimica.
A partir da equação 6.8 obtemos a frequência linear de corte, ou simplesmente frequência de
corte, dada por:
fc =
1
2πRC
. (6.9)
Na frequência de corte, tanto APB quanto APA tem o mesmo valor:
APA = APB =
√
2
2
∼= 0,707 . (6.10)
Na frequência de corte a voltagem do sinal no capacitor ou no resistor atinge 70,7% do seu
valor máximo. Isto pode ser visto na figura 6.3 onde mostramos o comportamento de APA e APB
com a frequência angular para um circuito RC, com R = 1 kΩ e C = 100 nF. Este tipo de gráfico é
denominado curva característica do filtro.
6.3.4 Transmitância e diagrama de Bode
O funcionamento de um filtro pode ser descrito por sua curva característica, mas também pode ser
representado por uma grandeza chamada função de transferência. Esta é uma função complexa,
definida como a razão entre a tensão (complexa) de saída (a voltagem sobre o resistor ou sobre o
capacitor, dependendo do filtro utilizado) e a tensão (complexa) de entrada (a voltagem do gerador).
Como toda grandeza complexa, há informação tanto em seu módulo (que será simplesmente a razão
entre as amplitudes dos sinais) quanto em sua fase (que será a diferença de fase entre os sinais).
Muitas das vezes estamos mais interessados nas amplitudes do que na diferença de fase. A
partir da função de transferência definimos então a transmitância de um filtro T (ω) (também
chamada de resposta em potência) como sendo o quadrado da razão entre as amplitudes de saída
70 Capítulo 6. Circuitos RC e filtros de frequência
(V0S) e de entrada (V0E):
T (ω) =
[
V0S(ω)
V0E(ω)
]2
. (6.11)
Grandezas como a transmitância (que é uma razão entre voltagens ao quadrado) são comumente
expressas em termos de decibéis (dB) da seguinte maneira:
TdB(ω) = 10log[T (ω)]. (6.12)
Para os filtros passa-baixa e passa-alta baseados no circuito RC, as transmitâncias são dadas
respectivamente por:
TPB(ω) =
1
1+(ωRC)2 , (6.13)
e
TPA(ω) =
1
1+
1
(ωRC)2
. (6.14)
Tomemos como exemplo o filtro passa-baixa; este filtro possui transmitância máxima Tmax = 1
para ω = 0 e cai para zero como 1/(ωRC)2 na medida em que ω → ∞. Na frequência de corte, ωc
= 1/RC, a transmitância cai à metade do máximo.
Figura 6.4: Diagrama de Bode para filtros passa-baixas.
Este comportamento é mais fácil de ser visualizado em um gráfico que apresenta a transmitância
em decibéis (ver equação 6.12) em função do logaritmo de ωRC, chamado diagrama de Bode,
como o mostrado na figura 6.4. Há três características a serem observadas neste diagrama para um
filtro passa-baixas:
• Para ω ≪ ωc, a resposta do filtro é praticamente plana e a transmitância é de 0 dB;
• para ω =ωc, a transmitância é −3 dB (10log(1/2)∼=−3,010). Neste ponto temos log(ωcRC)
= log(1) = 0;
• para ω ≫ ωc, a transmitância cai a uma taxa de −20 dB/dec (decibéis por década), com
10log[1/(ωRC)2] =−20log(ω) + const.
6.4 Procedimentos Experimentais 71
Figura 6.5: Diagrama de Bode para filtros passa-altas.
A faixa de frequências entre 0 e ωc é chamada largura de banda do filtro. No diagrama de
Bode a dependência com 1/ω2 em alta frequência (para o filtro passa-baixas) é muito mais evidente
do que em um gráfico em escala linear.
Diagramas de Bode para filtros passa-alta terão características semelhantes, mas inversas em
relação à frequência de corte. O filtro passa-altas também apresenta transmitância de −3 dB
em ω = ωc. Para ω ≪ ωc a transmitância sobe a uma taxa de 20 dB/dec, e para ω ≫ ωc ela é
aproximadamente constante com valor TdB = 0 dB (ver figura 6.5).
6.4 Procedimentos Experimentais
6.4.1 Procedimento I: filtro passa-alta
Neste procedimento vamos montar um filtro passa-alta, realizar medidas para traçar sua curva
característica e a partir dela obter o valor da frequência de corte, comparando com seu valor
nominal.
1. Monte o circuito da figura 6.2, utilizando um resistor de 470 Ω e um capacitor de 33 nF.
Meça com o multímetro os valores de R e C.
2. Ligue os equipamentos e ajuste o gerador para que ele alimente o circuito com um sinal
senoidal com uma frequência de cerca de 2500 Hz e amplitude próxima a V0 = 4 V. Meça
a frequência do sinal do gerador, anotando o valor na Tabela 1. Lembre-se que o valor de
frequência mostrado no gerador é apenas uma indicação, para medí-lo deve ser utilizado o
osciloscópio.
3. Meça a amplitude de tensão no resistor (V0R, medido no canal 2) e a amplitude de tensão no
gerador (V0, medido no canal 1), anotando ambos os valores na Tabela 1. Complete a primeira
linha da tabela calculando o valor de log( f ) e calculando o valor de APA (experimental) a partir
das amplitudes medidas. Calcule também o valor esperado para APA (modelo), utilizando os
valores de f , R e C medidos.
4. Mude a frequência do sinal do gerador para 4500 Hz e verifique se a amplitude de tensão
do gerador permanece igual a 4 V. Caso esta amplitude tenha se alterado, ajuste o gerador
para que ela volte a ter o valor inicial. Com a amplitude ajustada, repita as medidas e os
cálculos realizados no item anterior.
72 Capítulo 6. Circuitos RC e filtros de frequência
5. Repita este procedimento para as frequências de 6,5 kHz, 8,5 kHz, 12,5 kHz, 16,5 kHz, 20,5
kHz e 24,5 kHz.
6. No retículo milimetrado do seu relatório, faça o gráfico dos valores medidos de APA vs.
log( f /Hz) e obtenha o valor da frequência de corte para este filtro. Inclua no gráfico
também uma outra curva para os valores esperados de APA (modelo). Compare os valores
experimentais com os valores esperados.
6.4.2 Procedimento II: filtro passa-baixa
Neste procedimento vamos montar um filtro passa-baixa utilizando os mesmos componentes do
procedimento I, realizar medidas para traçar sua curva característica e a partir dela obter o valor da
frequência de corte, comparando com seu valor nominal e com o valor obtido no procedimento
anterior. A partir destes mesmos dados, traçaremos também o diagrama de Bode, obtendo os
valores da frequência de corte e da inclinação da curva de transmitância para ω ≫ ωc.
1. Monte o circuito da figura 6.1, utilizando os mesmos componentes do procedimento anterior.
2. Ligue os equipamentos e ajuste o gerador paraque ele alimente o circuito com um sinal
senoidal com uma amplitude próxima a V0 = 4 V.
3. Repita o procedimento utilizado com o filtro passa-alta. Para cada frequência sugerida abaixo,
meça: a frequência da tensão do gerador ( f ), a amplitude de tensão no capacitor (V0C) e a
amplitude de tensão no gerador (V0), e anote os valores na Tabela 2. Calcule o valores de
log( f ), log(ωRC), de APB experimental e de TdB (eq. 6.12). Lembre-se que toda a vez que a
frequência for alterada deve-se verificar que a amplitude de tensão do gerador continua em 4
V, alterando sua tensão de saída se necessário. Valores sugeridos para a frequência: 2,5 kHz,
4,5 kHz, 6,5 kHz, 8,5 kHz, 12,5 kHz, 16,5 kHz, 20,5 kHz e 24,5 kHz
4. No mesmo retículo milimetrado onde foi feito o gráfico de APA, faça o gráfico de APB vs.
log( f /Hz) e obtenha o valor da frequência de corte para este filtro. Compare este valor com
seu valor nominal e com o valor obtido para o filtro passa-alta.
5. A partir dos valores de log(ωRC) e de TdB da Tabela 2, faça o diagrama de Bode (gráfico de
TdB vs. log[ωRC]) para este circuito. Obtenha os valores da frequência de corte (comparando
com o valor obtido a partir da curva característica) e da inclinação da curva para ω ≫ ωc
(comparando com o valor esperado).
VII
7 Circuitos RL em cc e ca . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1 Material
7.2 Introdução
7.3 Indutores
7.4 Circuitos RL com corrente constante
7.5 Indutores com corrente alternada
7.6 Circuitos RL com corrente alternada
7.7 Procedimentos experimentais
Experimento 7
7. Circuitos RL em cc e ca
7.1 Material
• resistores de 1 kΩ e 470 Ω;
• indutor de 23,2 mH.
7.2 Introdução
O objetivo desta aula é estudar o comportamento de indutores acoplados a circuitos resistivos com
corrente constante e com corrente alternada. Serão realizadas medidas das constantes de tempo para
os circuitos RL (resistor e indutor em série) com CC e medidas da diferença de fase e da reatância
indutiva com AC.
7.3 Indutores
Um indutor é um solenóide ou bobina, construído por várias voltas (ou espiras) de fio de metal
condutor enrolado em uma forma que permite a geração de campos magnéticos axiais. O uso do
indutor em circuitos elétricos está baseado na lei de Faraday-Lenz que diz que quando ocorre uma
variação do fluxo magnético Φ através das espiras do solenóide, aparece uma voltagem induzida
nos seus terminais, de modo a se opor a essa variação de fluxo. Isto é expresso pela equação
característica do indutor:
VL(t) =
dΦ
dt
= L
di
dt
. (7.1)
Nessa equação VL é a voltagem induzida pela taxa de variação do fluxo Φ(t) = Li(t) no interior
do solenóide. Observe que, neste caso, a taxa de variação do fluxo está associada à taxa de variação
da corrente que passa pelo indutor. A constante de proporcionalidade entre Φ(t) e i(t) é chamada
de auto-indutância – ou simplesmente indutância – do indutor. O sinal negativo representa o fato
da voltagem induzida gerar um fluxo magnético de forma a se opor à variação do fluxo original.
A unidade de indutância no sistema internacional é o henry (H) que, assim como no caso de
capacitores, é uma unidade muito grande. Por isso, em geral os indutores que aparecem nos
7.4 Circuitos RL com corrente constante 75
equipamentos do nosso dia-a-dia são representados por sub-múltiplos do henry: mili-henry (mH) e
micro-henry (µH).
Como pode ser verificado a partir da equação característica do indutor (equação 7.1), a voltagem
induzida (também chamada de força eletromotriz) somente estará presente no circuito enquanto a
corrente elétrica estiver variando. No caso de correntes alternadas, como veremos mais adiante, o
indutor está sempre atuando como tal. Já no caso de correntes contínuas, a lei de Faraday atuará
apenas durante o transiente correspondente ao tempo que o sistema gasta para entrar em equilíbrio
na nova voltagem aplicada. Como os indutores são fabricados com fios condutores, após esse
transiente o efeito da indutância desaparece e ele se comporta apenas como um condutor ôhmico,
em geral com resistência bastante baixa, correspondendo à resistência do fio condutor com o qual
ele é fabricado. Num circuito elétrico representamos o indutor pelo símbolo mostrado na figura 7.1.
Figura 7.1: Representação esquemática de um indutor em circuitos elétricos.
7.4 Circuitos RL com corrente constante
No caso real, o fato do indutor possuir uma resistência ôhmica, faz com que ele possa ser pensado
como um indutor ideal (resistência nula) em série com um resistor. Generalizando, podemos
associar qualquer outro resistor em série com a resistência do indutor, e teremos a situação real
representada pelo circuito da figura 7.2, onde R pode ter qualquer valor a partir do valor da
resistência interna do indutor.
No caso representado na figura 7.2, quando ligamos a chave na posição “A”, a lei das malhas
nos diz que
VB =VR +VL (7.2)
e, utilizando as expressões para a queda de voltagem no resistor e no indutor, obtemos que
VB = Ri(t)+L
di(t)
dt
. (7.3)
Esta equação diferencial para a corrente é semelhante à equação diferencial que encontramos
para a carga q nas placas do capacitor (equação 4.5). Sua solução, assumindo que para t = 0 a
corrente também é igual a zero (i(0) = 0), é dada por:
i(t) =
VB
R
(
1− e−
t
τ
)
, (7.4)
onde
τ =
L
R
, (7.5)
76 Capítulo 7. Circuitos RL em cc e ca
Figura 7.2: Diagrama de um circuito RL.
o que nos mostra que a evolução da corrente no circuito depende do valor da razão L/R, que será a
constante de tempo do circuito RL.
A equação 7.4 é análoga ao caso do capacitor e, portanto, todos os resultados obtidos para os
capacitores se aplicam também aos indutores. Também neste caso, τ é o tempo necessário para
o argumento da exponencial chegar a −1. Nesse intervalo de tempo, a corrente atinge 63% do
seu valor máximo quando a chave da figura 7.2 é comutada para a posição “A” e a voltagem da
fonte passa de zero volt a VB. Em função desses resultados e usando também a lei das tensões de
Kirchhoff obtemos:
VR(t) =VB
(
1− e−
t
τ
)
(7.6)
e
VL(t) =VB −VR(t) =VB e−
t
τ . (7.7)
As equações 7.6 e 7.7 nos mostram que para tempos próximos de zero, a voltagem no resistor é
próxima de zero, enquanto no indutor ela tem valor próximo de VB, a voltagem da fonte. Após um
intervalo de tempo muito maior que τ , VL cai a zero e VR se torna igual a VB. Se nesse momento,
a chave da figura 7.2 for comutada para a posição “B”, uma nova equação diferencial passa a
governar o comportamento do circuito:
0 = Ri(t)+L
di(t)
dt
. (7.8)
A condição inicial neste caso passa a ser i(0) =VB/R e a solução da equação diferencial descrita
na equação 7.8 será dada por:
i(t) =
VB
R
e−
t
τ . (7.9)
Teremos então neste caso:
VR(t) =VB e−
t
τ (7.10)
e
VL(t) =−VB e−
t
τ . (7.11)
7.5 Indutores com corrente alternada 77
Como no caso do circuito RC, utilizaremos elementos de circuito com valores de indutância e
resistência que levam a tempos de relaxação muito pequenos, da ordem de milissegundos. Assim,
para observarmos a variação da voltagem será necessário chavear o circuito da posição “A” para
a posição “B”, e vice-versa, com uma frequência muito grande, da ordem de kilohertz. Isso é
possível se utilizarmos um gerador de sinais, escolhendo a forma de onda quadrada para simular o
chaveamento do circuito.
A determinação dos tempos característicos de um circuito RL pode ser feita de maneira análoga
à de um circuito RC. A voltagem no indutor descrita na equação 7.7 tem a mesma expressão que
a voltagem no capacitor quando o mesmo está descarregando (equação 4.13). Assim, podemos
determinar τ:
a) diretamente a partir da tela do osciloscópio, observando o intervalo de tempo que leva para
a voltagem no resistor atingir 63% do valor máximo ou a voltagem no indutor cair a 37% de seu
valor inicial;
b) medindo diretamente o tempo de meia-vida t1/2 e utilizando sua relação com τ (equação
4.19);
c) utilizando medidas de VL em função de t, uma linearização e uma regressão linear.
7.5 Indutores com corrente alternada
Para entendermos o papeldos indutores em circuitos RL alimentados com tensões alternadas,
seguiremos o mesmo procedimento utilizado no estudo dos circuitos RC com corrente alternada.
Veremos que as soluções formais das equações do circuito RL e RC são as mesmas.
Considere um circuito composto apenas de um gerador de ondas e um indutor. O indutor é
um componente linear, o que significa que se aplicarmos uma voltagem senoidal de uma dada
frequência a ele, esperamos que a corrente que o atravessa também seja uma função senoidal,
oscilando na mesma frequência da voltagem. Isso significa que se a tensão do gerador for descrita
como VG =V0 sen(ωt), a corrente, em sua forma mais geral, pode ser expressa como
i(t) = i0 sen(ωt +ϕ) . (7.12)
Note que estamos deixando aberta a possibilidade de haver uma diferença de fase ϕ entre a
corrente e a tensão. Substituiremos então essa expressão para i(t) na equação 7.1, lembrando que
como só temos esses dois elementos no circuito, VL(t) =VG(t):
V0 sen(ωt) = ωLi0 cos(ωt +ϕ) . (7.13)
Escrevendo cos(ωt +ϕ) como cos(ωt)cosϕ − sen(ωt)senϕ , podemos comparar os dois lados
da equação termo a termo, e obtemos duas equações:
ωLi0 cosϕ = 0; (7.14)
V0 =−(ωLi0)senϕ . (7.15)
A equação 7.14 mostra que ϕ = ±π/2, enquanto que a equação 7.15 indica que ϕ deve ter
o valor −π/2, uma vez que V0, L, i0 e ω são todas grandezas positivas. Portanto a corrente num
indutor ideal é dada por
i(t) = i0 sen(ωt −π/2) , (7.16)
com
i0 =
V0
ωL
. (7.17)
Note que a corrente está atrasada de π/2 radianos em relação à voltagem.
78 Capítulo 7. Circuitos RL em cc e ca
A partir da equção 7.17 obtemos que a relação entre as amplitudes de tensão e corrente pode
ser escrita como
V0 = ωLi0 = XL i0 . (7.18)
A equação 7.18 é o equivalente da Lei de Ohm para indutores com correntes alternadas. A
grandeza chamada de reatância indutiva é definida por
XL ≡ ωL, (7.19)
tem dimensão de resistência e desempenha papel análogo ao da resistência na lei de Ohm, mas com
valor diretamente proporcional à frequência angular do sinal.
Vamos agora aplicar o formalismo de números complexos a este mesmo circuito, composto
apenas de um indutor ideal e um gerador. Se a tensão do gerador é dada por VG(t) =V0 sen(ωt),
podemos definir uma tensão complexa ṼG(t) como
ṼG(t)≡V0 e jωt , (7.20)
de maneira que a tensão que tem sentido físico (ou seja, a grandeza que pode ser medida) VG(t)
pode ser obtida como
VG(t) = Im
[
ṼG(t)
]
. (7.21)
Para esse circuito vimos que a corrente é dada por
i(t) = i0 sen(ωt −π/2) , (7.22)
com i0 =V0/(ωL). Como no caso da voltagem, podemos definir uma grandeza complexa associada
à corrente. Essa corrente complexa é
ĩ(t)≡ i0 e j(ωt−π/2) , (7.23)
e a corrente que tem sentido físico pode ser obtida como
i(t) = Im
[
ĩ(t)
]
. (7.24)
Assim como vimos no caso dos circuitos capacitivos, este formalismo de números complexos
nos permite escrever uma relação análoga à Lei de Ohm, mas para circuitos alimentados com
correntes alternadas:
ṼG(t) = Z̃ ĩ(t) , (7.25)
onde Z̃ é a impedância complexa. Como já temos as expressões para Ṽ (t) e ĩ(t), podemos encontrar
Z̃ para este circuito puramente indutivo:
Z̃L =
ṼG(t)
ĩ(t)
=
V0 e jωt
(V0/ωL)e j(ωt−π/2) =
ωL
e− jπ/2 =
ωL
− j
= jXL . (7.26)
Vemos portanto que para um indutor a impedância complexa é um número imaginário puro
positivo, resultado do comportamento do indutor, que sempre causa um atraso de fase da corrente
em relação à voltagem da fonte.
7.6 Circuitos RL com corrente alternada 79
	
  
Figura 7.3: Circuito RL com gerador de sinal senoidal.
7.6 Circuitos RL com corrente alternada
Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff ao circuito mostrado na figura 7.3 obtemos:
VG(t) =VL(t)+VR(t) (7.27)
V0 sen(ωt) = L
di(t)
dt
+Ri(t). (7.28)
Como o circuito possui apenas componentes lineares, quando é alimentado por uma tensão
VG(t) =V0 sen(ωt), esperamos que a corrente tenha como forma mais geral
i(t) = i0 sen(ωt +ϕ) , (7.29)
onde ϕ representa a diferença de fase entre a corrente e a tensão da fonte. Substituindo a expressão
para i(t) na equação 7.28 encontramos
V0 sen(ωt) = ωLi0 cos(ωt +ϕ)+Ri0 sen(ωt +ϕ) . (7.30)
Mas a equação 7.30 pode ser reescrita após aplicarmos identidades trigonométricas simples, e
obtemos
sen(ωt)
[
Ri0 cosϕ −ωLi0 senϕ −V0
]
+ cos(ωt)
[
ωLi0 cosϕ +Ri0 senϕ
]
= 0. (7.31)
Para que a equação seja satisfeita, é necessário que os coeficientes dos termos em sen(ωt) e
cos(ωt) sejam nulos, o que nos leva a duas igualdades:
(Ri0)cosϕ − (ωLi0)senϕ =V0 , (7.32)
e
(ωLi0)cosϕ +(Ri0)senϕ = 0 . (7.33)
Resolvendo a equação 7.33, obtemos que a diferença de fase entre a corrente e a voltagem é
dada por
tanϕ =−ωL
R
=−XL
R
. (7.34)
A figura 7.4 mostra a variação da diferença de fase com a frequência angular para um certo par
de valores R e L. Pode-se observar que ϕ pode assumir valores entre −π/2 (frequências mais altas)
e 0 (frequências mais baixas), mostrando que num circuito RL a corrente sempre está atrasada em
relação à tensão da fonte.
80 Capítulo 7. Circuitos RL em cc e ca
	
  
Figura 7.4: Variação da diferença de fase entre corrente e tensão com a frequência angular, para
um circuito RL com R = 10 Ω e L = 10 mH.
Já a equação 7.32 pode ser simplificada escrevendo senϕ e cosϕ em função de tanϕ utilizando
as relações
senϕ =
tanϕ√
1+ tan2ϕ
, (7.35)
e
cosϕ =
1√
1+ tan2ϕ
. (7.36)
Substituindo essas relações na equação 7.32 e fazendo uso de 7.34, obtemos
V0
i0
=
√
R2 +XL
2 . (7.37)
Esta razão entre as amplitudes de tensão e de corrente é o que definimos como a impedância do
circuito RL:
Z ≡ V0
i0
=
√
R2 +X2
L . (7.38)
Assim como no caso do circuito RC, a impedância do circuito RL tem a dimensão de resistência;
e novamente vemos que a impedância desempenha, em circuitos com corrente alternada, um papel
análogo ao da resistência em circuitos com corrente contínua. Por último, note que a relação entre Z,
R e XL é uma equação que tem a mesma forma da relação entre o módulo de um número complexo
e suas componentes real e imaginária.
Isso sugere que postulemos a existência de uma impedância complexa, com a parte real igual à
resistência e a parte imaginária igual à reatância indutiva (veja a figura 7.5):
Z̃ = R+ jXL . (7.39)
As equações 7.34 e 7.38 nos permitem obter uma relação entre as amplitudes de tensão nos três
componentes do circuito (gerador, resistor e indutor)
V0
2 =V 2
0R +V 2
0L. (7.40)
e uma forma alternativa para calcular a diferença de fase a partir das amplitudes de tensão:
tanϕ =−V0L
V0R
. (7.41)
7.7 Procedimentos experimentais 81
	
  
Figura 7.5: Componentes real e imaginária da impedância complexa Z̃.
7.7 Procedimentos experimentais
7.7.1 Procedimento I: medidas de τ e t1/2 com onda quadrada
Vamos estudar um circuito RL com onda quadrada e obter experimentalmente o valor de sua
constante de tempo τ .
Figura 7.6: Montagem a ser realizada para medidas da constante de tempo do circuito RL. Observe
que o sinal da fonte de tensão, VB, será visualizado no canal 1 do osciloscópio e o sinal da tensão
no indutor, VL, será visualizado no canal 2.
1. Monte o circuito da figura 7.6 utilizando um resistor R = 1 kΩ e um indutor de L = 23,2
mH. Ajuste no gerador de sinais uma forma de onda quadrada de frequência f = 5 kHz e
com tensão pico-a-pico Vpp = 6 V, variando entre Vmin = 0 V e Vmax = 6 V.
2. Faça a medida de t1/2 e τ para o circuito RL montado usando o mesmo método dos circuitos
RC, ou seja, através da medida do tempo necessário para a tensão no indutor, VL, cair à
metade e a 37% de seu valor inicial, respectivamente. Anote os valores obtidos com suas
incertezas.
82 Capítulo 7. Circuitos RL em cc e ca
3. A partir do valor medido de t1/2 e usando a expressão 4.19, calcule o valor de τ com sua
incerteza. Compare com o valor obtido através da medida direta da constante de tempo.
7.7.2 Procedimento II: medida de τ do gráfico de VL
1. Utilizando o mesmo circuito utilizado para o Procedimento I, figura 7.6, ajuste novamente o
osciloscópio para apresentar na tela uma imagem semelhanteà que é mostrada na figura 4.8.
2. Utilize um dos métodos de medida, gratícula ou cursor, para medir sete pares de valores
de t e VL. Anote os valores obtidos em uma tabela, com suas respectivas incertezas. Anote
também os valores das escalas de tempo e voltagem utilizadas nas medidas. Meça os valores
de R e L usando um multímetro.
3. Os pontos obtidos correspondem à função 7.7. Queremos, a partir de um gráfico desta função,
obter o valor da constante de tempo τ através de um ajuste. Para facilitar este trabalho, vamos
linearizar a equação 7.7, isto é, fazer uma mudança de variáveis que irá torná-la uma equação
linear, com a seguinte forma:
ln(VL) = ln(VB)−
t
τ
. (7.42)
4. Faça o gráfico de ln(VL/Volt) versus t e obtenha o valor de τ fazendo um ajuste linear. Os
valores de VL são divididos por 1 volt para que o argumento do logaritmo seja uma grandeza
adimensional.
5. Compare o valor medido da constante de tempo com seu valor nominal, dado pela equação
7.5.
7.7.3 Procedimento III: medida da diferença de fase e da reatância indutiva de um
circuito RL com corrente alternada
Vamos caracterizar um circuito RL em corrente alternada, verificando a diferença de fase entre a
corrente que flui no circuito e a tensão aplicada pelo gerador. Poderemos então calcular a reatância
indutiva para a frequência escolhida e comparar com seu valor esperado.
1. Monte o circuito da figura 7.3 utilizando um resistor R = 470 Ω e um indutor de L = 23,2
mH. Meça com um multímetro os valores de R e L.
2. Ajuste o gerador para que ele alimente o circuito com uma tensão senoidal com frequência
próxima a f = 3400 Hz e uma amplitude próxima a 4 V. Com o osciloscópio meça a
frequência do sinal com sua respectiva incerteza.
3. Observe que existe uma diferença de fase ϕ entre o sinal do canal 1 (tensão do gerador) e o
sinal do canal 2 (tensão sobre o resistor). Utilizando o mesmo método empregado no circuito
RC, meça a diferença de fase entre a corrente e a tensão do gerador, com sua incerteza. Não
esqueça de utilizar o valor de f medido no item anterior.
4. A partir do valor obtido para ϕ , calcule o valor da reatância indutiva XL para a frequência f e
compare com o valor nominal.
5. Meça no osciloscópio as amplitudes das voltagens do gerador (V0) e do resistor (V0R). A
partir da equação 7.40 calcule a amplitude da tensão no indutor, V0L e sua incerteza.
6. Calcule de maneira alternativa, a partir da equação 7.41 e das amplitudes medidas e calculadas
na pergunta anterior, a diferença de fase ϕ e sua incerteza. Compare o valor com o valor
obtido no item 3 deste procedimento. Os valores são compatíveis?
VIII
8 Circuitos RLC em corrente contínua . . 84
8.1 Material
8.2 Introdução
8.3 Procedimentos experimentais
Experimento 8
8. Circuitos RLC em corrente contínua
8.1 Material
• capacitor de 1 nF;
• resistor de 270 Ω;
• indutor de 23,2 mH;
• potenciômetro.
8.2 Introdução
Nos experimentos anteriores estudamos o comportamento da voltagem em circuitos RC e RL
quando alimentados por uma voltagem constante que muda subitamente de valor. Vimos que o
capacitor e o indutor possuem comportamentos opostos quando um transiente positivo de tensão é
aplicado. A voltagem no capacitor (inicialmente descarregado) é zero e vai aumentando à medida
que o tempo passa, enquanto que a voltagem no indutor começa com o valor máximo e vai caindo
à medida que o tempo passa. A taxa com que a voltagem (ou a corrente) varia em cada circuito
depende de sua constante de tempo característica.
O que vamos estudar agora é o que se passa quando colocamos um resistor, um capacitor e um
indutor em série em um circuito, como o mostrado na figura 8.1 a seguir.
No instante que viramos a chave para a posição “A”, uma voltagem VB é aplicada ao circuito e
quando a chave vai para a posição “B”, a fonte é desconectada. Neste caso, as cargas se movem
usando a energia que foi armazenada no indutor e no capacitor, quando a fonte estava ligada.
Quando a chave é colocada na posição “A”, pela lei das malhas temos que:
VB = L
di
dt
+Ri+
q
C
. (8.1)
Substituindo i = dq/dt na equação 8.1, encontramos:
L
d2q
dt2 +R
dq
dt
+
q
C
=VB . (8.2)
8.2 Introdução 85
Figura 8.1: Circuito RLC em série.
Como se trata de uma equação diferencial não-homogênea, sua solução geral será a soma da
solução geral qh(t) da equação homogênea associada, com uma solução particular qp(t) da equação
completa:
q(t) = q h(t)+q p(t) . (8.3)
A solução particular da equação 8.2 é q p = aVB, que ao ser substituída na equação 8.2 leva a
a =C, ou seja:
q p(t) =CVB . (8.4)
A equação homogênea associada à equação diferencial 8.2 é:
L
d2q
dt2 +R
dq
dt
+
q
C
= 0 . (8.5)
Para encontrarmos a solução desta equação diferencial, observemos que ela envolve funções
cujas derivadas primeira e segunda são proporcionais a elas mesmas. As funções que satisfazem a
essas condições são a função exponencial e as funções seno e cosseno. Como podemos representar
as funções seno e cosseno por exponenciais complexas, vamos supor uma solução geral do tipo:
q h(t) = bert , (8.6)
onde b e r são constantes, de forma que:
dq h
dt
= r q h(t) (8.7)
e
d2q h
dt2 = r2q h(t) . (8.8)
Assim, para que a equação diferencial descrita na equação 8.5 seja satisfeita devemos ter
r2 +2αr+ω
2
0 = 0, (8.9)
onde definimos os parâmetros
α ≡ R
2L
(8.10)
e
ω0 ≡
1√
LC
. (8.11)
86 Capítulo 8. Circuitos RLC em corrente contínua
O parâmetro α é chamado de constante de amortecimento (seu significado se tornará óbvio nas
páginas seguintes), enquanto ω0 é chamado de frequência natural (ou frequência de ressonância)
do circuito RLC (sua relevância será compreendida quando estudarmos circuitos RLC alimentados
com tensões senoidais).
Resolvendo a equação 8.9, encontramos para r os seguintes valores:
r1 =−α −
√
α2 −ω2
0 (8.12)
e
r2 =−α +
√
α2 −ω2
0 . (8.13)
Temos, portanto, três regimes diferentes de operação, dependendo dos valores de α e ω0:
• regime super-crítico: neste caso α > ω0 e a solução corresponde à soma de duas exponenci-
ais que decaem com o tempo;
• regime crítico: neste caso α =ω0, r1 = r2 e a solução corresponde à soma de uma exponencial
que decai com o tempo com uma função linear em t;
• regime sub-crítico: neste caso αcomo assumimos na discussão anterior. Isto faz com que a
solução descrita pelas equações 8.14 e 8.15 seja modificada para:
q(t) =CV0[1−2e−αtcos(ω ′t)] (8.18)
e
VC(t) =V0[1−2e−αtcos(ω ′t)]. (8.19)
8.2 Introdução 87
Figura 8.2: Figura aproximada que deve ser obtida na tela do osciloscópio para um circuito RLC
operando em regime sub-crítico com os valores de R, L, C indicados na mesma.
Na figura 8.2 mostramos uma imagem aproximada do que deve ser visto na tela do osciloscópio
quando utilizamos uma onda quadrada alimentando um circuito RLC. Percebemos por essa figura
que a voltagem oscilante corresponde aos máximos e mínimos das oscilações em torno da voltagem
do gerador de sinais. Esta figura mostra um aspecto muito interessante, próprio de circuitos RLC
operando em regime sub-crítico. à medida que o capacitor se descarrega, parte de sua energia é
transferida para o indutor e parte é dissipada pelo resistor. Depois que o capacitor é completamente
descarregado, o indutor descarrega a energia armazenada no ciclo anterior, carregando novamente o
capacitor e dissipando parte dessa energia através do resistor. Dessa forma, temos uma transferência
periódica de energia entre o capacitor e o indutor, que é amortecida pelo resistor. Durante um certo
tempo a carga do capacitor mostra um comportamento oscilante que decai exponencialmente. Após
esse tempo, o circuito sai do regime transitório e entra no regime permanente, com o capacitor
carregado com o valor máximo de carga.
A determinação experimental de α pode ser feita usando-se os mesmos métodos empregados
para a determinação dos tempos de decaimento de circuitos RC e RL: quando t = 1/α , a voltagem
(em módulo) terá caído a 0,37 de seu valor inicial ∆V . Por isso α é chamado de constante de
amortecimento.
A parcela da carga total que oscila no tempo, nos pontos de máximo ou mínimo da função
“cosseno”, é dada em módulo por:
qoscilante(t) = q0 e−αt , (8.20)
onde q0 = 2CV0 e os instantes de tempo tn são aqueles que fazem cos(ω ′tn) =±1, ou seja:
tn = n
T ′
2
(n = 0,1,2,3, . . .), (8.21)
com
T ′ =
2π
ω ′ . (8.22)
Note que T ′ é o período das oscilações da voltagem no capacitor. Assim, para os instantes de
tempo tn, podemos escrever:
|VC(tn)|= ∆V e−αtn , (8.23)
com ∆V = 2V0. A figura 8.3 mostra a representação dos instantes de tempo tn.
88 Capítulo 8. Circuitos RLC em corrente contínua
Figura 8.3: Representação esquemática de tn.
Um outro parâmetro também é utilizado para caracterizar o comportamento do circuito RLC.
Conhecido como fator Q, ou fator de mérito, este fator é definido como sendo:
Q = 2π
Energia armazenada
Energia dissipada por ciclo
. (8.24)
Quanto maior o fator Q, menor a perda fracionária de energia por ciclo. Para o circuito RLC
em série pode ser mostrado que:
Q = ω0
L
R
(8.25)
ou, escrevendo de outra forma,
Qα = ω0
1
2α
(8.26)
e portanto ω’ também pode ser definido em função deste fator:
ω
′ =
√
ω2
0 −α2 = ω0
√
1− 1
4Q2 . (8.27)
Se o fator de mérito Q > 1/2 (regime sub-crítico) o circuito oscila com a frequência natural de
oscilação ω’. Note que ω’ é sempre menor que a frequência ω0. As oscilações são amortecidas
exponencialmente com a constante de tempo τ ≡ 1/α .
Se o fator de mérito QI: Circuito RLC em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.5.2 Procedimento II: determinação da frequência de ressonância e da diferença de
fase pelas figuras de Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.5.3 Procedimento III: análise da amplitude de corrente no circuito RLC em paralelo
106
O Curso
Informações do Curso
0.1 O curso de Física Experimental III
O objetivo deste curso é o estudo de circuitos elétricos simples.
Ele aborda conceitos relacionados à medição de grandezas elétricas e à observação de algumas
propriedades básicas de alguns elementos simples usados em circuitos elétricos tais como resistores
(R), capacitores (C) e indutores (L), bem como as caraterísticas básicas de circuitos resistivos
simples, circuitos RC, RL e RLC.
O curso pretende ser complementar ao curso de Física III.
O que se espera ao final desse curso é que os estudantes sejam capazes de montar circuitos elé-
tricos simples e que tenham assimilado os principais conceitos relacionados ao seu funcionamento,
tanto do ponto de vista teórico, como do ponto de vista experimental.
Em cada sala de aula só serão permitidos 15 alunos no máximo, com prioridade para aqueles
que estiverem oficialmente na lista de presença emitida pelo SIGA. Alunos que não constam da
lista de presença só poderão ter acesso à sala de aula caso apresentem CRID com solicitação e
confirmação de inscrição na respectiva turma ou, caso haja disponibilidade, conforme avaliação do
professor da turma.
Alunos em situação irregular na lista de presença emitida pelo SIGA, não terão notas de
relatórios e provas divulgadas até a efetiva regularização e confirmação pelo SIGA.
0.2 Avaliações
Durante o curso serão feitas duas avaliações presenciais individuais (P1, P2) e para cada experimento
haverá um relatório que deverá ser entregue ao professor da turma no dia útil seguinte ao da aula.
Os relatórios poderão ser feitos em grupos de até 3 alunos presentes em aula. Alunos que
faltarem a aula, não terão notas atribuídas para o relatório.
Não há prova final, para ser aprovado o aluno deve ter média acima de 5,0 (em um máximo de
10,0 pontos) e presença superior a 75% das aulas (máximo de 3 faltas). De acordo com o Manual
Estudantil da UFRJ, não há abono de faltas.
As avaliações serão experimentais, realizadas presencialmente. O aluno que perder uma das
0.2 Avaliações 9
provas poderá solicitar 2ª chamada, enviando um email para a coordenação (lucia@if.ufrj.br) com
uma justificativa formal para a ausência, informando também o nome da turma em que está inscrito
e o professor. A resolução do CEG/UFRJ que regulamenta a segunda chamada pode ser encontrada
neste link 1.
A nota final é calculada através da seguinte equação:
NF = 0,30 +0,70 
onde é a média de relatórios, a média das provas.
As avaliações presenciais terão duração de 1h 45min. Nelas, o aluno deverá realizar um
experimento, cujo tema será sorteado antes do início da prova. Para a realização da prova, o aluno
deverá trazer régua, calculadora, caneta, lápis, borracha e papel milimetrado.
A prova de segunda-chamada será realizada após a P2 e o conteúdo é toda a matéria ministrada
durante o semestre.
1https://graduacao.ufrj.br/images/_PR-1/Divulgacao/2023/manual-estudantil-final-21nov2023.
pdf
https://graduacao.ufrj.br/images/_PR-1/Divulgacao/2023/manual-estudantil-final-21nov2023.pdf
https://graduacao.ufrj.br/images/_PR-1/Divulgacao/2023/manual-estudantil-final-21nov2023.pdf
I
1 Noções de circuitos elétricos . . . . . . . . 11
1.1 Material
1.2 Introdução
1.3 Corrente elétrica
1.4 Resistência
1.5 Leis de Kirchhoff
1.6 Uso dos equipamentos
1.7 Procedimentos Experimentais
Experimento 1
1. Noções de circuitos elétricos e Lei de Ohm
1.1 Material
• multímetro digital;
• fonte de tensão constante;
• resistores de 2,2 kΩ e 5 kΩ.
1.2 Introdução
A voltagem, tensão ou diferença de potencial entre dois pontos, é o custo em energia, ou seja, o
trabalho necessário para mover uma carga unitária de um ponto com um potencial elétrico mais
baixo a outro de potencial elétrico mais alto. O conceito de potencial elétrico é muito similar ao
conceito de potencial gravitacional. Mover uma carga de um ponto cujo potencial é menor para
outro ponto de potencial maior é um processo similar a mover uma massa de uma altura a outra.
Para mover a massa do chão até um ponto situado sobre uma mesa a energia potencial é alterada.
Podemos definir como zero de energia potencial o solo, e neste caso estaremos ganhando energia
potencial gravitacional. Se definirmos o potencial zero como sendo o nível da mesa, o solo terá um
potencial negativo. Mesmo assim, ao mover a massa no sentido do chão para a mesa, ganhamos
energia potencial! Com o potencial elétrico ocorre o mesmo. Temos que definir um ponto de
referência, as medidas que realizamos correspondem às diferenças de potencial elétrico entre a
referência e um outro ponto qualquer do espaço. Costuma-se definir esse ponto de referência como
sendo a terra (o ponto onde a altura é zero).
A voltagem entre dois pontos, portanto, é a diferença de potencial elétrico que existe entre esses
pontos. Fica claro que só há sentido em definir voltagem entre dois pontos. O trabalho realizado
ao se mover uma carga de 1 coulomb através de uma diferença de potencial de 1 volt é de 1 joule.
A unidade de medida de diferença de potencial é o volt, representado por V, e frequentemente é
expressa em múltiplos, tais como o quilovolt (1 kV = 103 V), ou em submúltiplos, como o milivolt
(1 mV = 10−3 V).
Além da voltagem, frequentemente é necessário medir a corrente elétrica para completamente
caracterizar os dispositivos eletrônicos. Assim como a voltagem, a corrente também pode ser cons-
12 Capítulo 1. Noções de circuitos elétricos
tante ou variar no tempo. A relação de proporcionalidade entre voltagem e corrente é denominada
de resistência. Essas quantidades são definidas mais claramente nas próximas seções.
1.3 Corrente elétrica
Usualmente identificada pelo símbolo i, a corrente é o fluxo de carga elétrica que passa por um
determinado ponto. A unidade de medida de corrente é o ampère (1 A = 1 coulomb/segundo).
O ampère, em geral, é uma unidade muito grande para as aplicações do dia-a-dia. Por isso, as
correntes são geralmente expressas em mili-ampères (1 mA = 10−3 A), micro-ampères (1 µA =
10−6 A) ou nano-ampères (1 nA = 10−9 A). Por convenção, os portadores de corrente elétrica são
cargas positivas que fluem de potenciais mais altos para os mais baixos (embora o fluxo de elétrons
real seja no sentido contrário).
1.4 Resistência
Para que haja fluxo de cargas elétricas são necessários dois ingredientes básicos: uma diferença de
potencial e um meio por onde as cargas elétricas possam circular. Para uma dada voltagem, o fluxo
de cargas dependerá da resistência do meio por onde essas cargas deverão passar. Quanto maior a
resistência, menor o fluxo de cargas para uma dada diferença de potencial.
Os materiais são classificados, em relação à passagem de corrente elétrica, em três categorias
básicas: os isolantes, que são aqueles que oferecem alta resistência à passagem de cargas elétricas;
os condutores, que não oferecem quase nenhuma resistência à passagem de corrente elétrica; e os
semicondutores que se situam entre os dois extremos mencionados anteriormente.
Usamos a letra R para indicar a resistência de um material, e a unidade de medida desta grandeza
é o ohm (Ω). O símbolo para indicar uma resistência em um circuito elétrico é mostrado na figura
1.1.
R
A B
Figura 1.1: Representação esquemática de um resistor colocado entre os pontos A e B de um dado
circuito.
As diferenças de potencial são produzidas por geradores, que são dispositivos que realizam
trabalho de algum tipo sobre as cargas elétricas, levando-as de um potencial mais baixo para outro
mais alto. Isso é o que ocorre em dispositivos como baterias (energia eletroquímica), geradores de
usinas hidrelétricas (energiacapazes de produzir oscilações de grande amplitude.
A ressonância se manifesta em diversos sistemas físicos, sejam eles mecânicos, acústicos ou
eletromagnéticos. Neste experimento (dividido em duas aulas) veremos como a ressonância se
apresenta num sistema elétrico em particular, o circuito RLC alimentado com tensão senoidal.
Faremos medidas para caracterizar o comportamento ressonante do circuito e mediremos (de
diferentes maneiras) sua frequência de ressonância, comparando com as previsões teóricas. Na
primeira aula nos concentraremos no comportamento da amplitude dos sinais, e discutiremos como
calcular a potência elétrica transmitida em circuitos; veremos também que, dependendo de como
o circuito for montado, ele poderá se comportar como um filtro passa-banda ou rejeita-banda. Já
na segunda aula o foco será a identificação do comportamento ressonante pela observação das
diferenças de fase.
9.3 Circuitos RLC em série
A figura 9.1 mostra o esquema de um circuito RLC em série, ao qual conectamos um osciloscópio
para medir a tensão do gerador (no canal 1) e a tensão sobre o resistor (no canal 2). Aplicando a lei
94 Capítulo 9. Circuitos RLC em corrente alternada: ressonância
Figura 9.1: Representação esquemática de um circuito RLC em série.
das malhas ao circuito, obtemos
VG(t) =VL(t)+VC(t)+VR(t), (9.1)
com VL(t),VC(t) e VR(t) dados por:
VL(t) = L
di(t)
dt
, (9.2)
VC(t) =
q(t)
C
, (9.3)
e
VR(t) = Ri(t). (9.4)
Com a voltagem de excitação dada por
VG(t) =V0 sen(ωt), (9.5)
esperamos que a corrente no circuito seja também uma função senoidal que oscila na frequência
angular ω , tendo como forma geral
i(t) = i0 sen(ωt +ϕ). (9.6)
Precisamos encontrar i0 e ϕ a partir da equação do circuito, dada pela equação 9.1. Podemos
proceder de duas maneiras:
• substituir a expressão para i(t) nas equações 9.2, 9.3 e 9.4, e então na equação 9.1, e resolver
a equação diferencial resultante;
• usar o formalismo de números complexos, determinando a impedância do circuito.
Deixamos como exercício a determinação de i0 e ϕ a partir da primeira opção, e seguiremos
a segunda opção. De acordo com a fórmula de Euler, e jθ = cosθ + jsenθ (lembre que usamos j
para representar o complexo
√
−1), e a tensão do gerador pode ser escrita como
VG(t) = Im
[
ṼG(t)
]
, (9.7)
isto é, ela é a parte imaginária de uma tensão complexa dada por
ṼG(t) =V0 e jωt . (9.8)
A corrente i(t) também pode ser escrita como a parte imaginária de uma grandeza complexa:
i(t) = Im
[
ĩ(t)
]
, (9.9)
9.3 Circuitos RLC em série 95
com
ĩ(t) = i0 e j(ωt+ϕ). (9.10)
Seguindo esta notação, a expressão análoga à lei de Ohm será
ṼG(t) = Z̃ ĩ(t), (9.11)
onde Z̃ é a impedância total do circuito.
No circuito mostrado na figura 9.1 os três elementos estão associados em série. A associação
de impedâncias complexas do circuito é feita da mesma forma que a associação de resistências.
Assim, lembrando que para o resistor temos Z̃R = R, para o capacitor Z̃C =− jXC e para o indutor
Z̃L = jXL, temos:
Z̃ = Z̃R + Z̃C + Z̃L = R+ j(XL −XC) = R+ j(ωL− 1
ωC
). (9.12)
Como a impedância total Z̃ é um número complexo, podemos escrevê-la na forma polar,
Z̃ = Ze jθ , onde
Z =
√
R2 +(XL −XC)2, (9.13)
e
tanθ =
(XL −XC)
R
=
(ωL−1/ωC)
R
. (9.14)
Substituindo as equações 9.8 e 9.13 na equação 9.11, encontramos:
ĩ(t) =
V0 e jωt
Ze jθ =
V0
Z
e j(ωt−θ) =
V0 e j(ωt−θ)√
R2 +
(
ωL− 1
ωC
)2
(9.15)
Como a corrente i(t) é a parte imaginária de ĩ(t) (equação 9.9), temos que:
i0 =
V0
Z
, (9.16)
e
ϕ =−θ . (9.17)
Ou seja,
i0 =
V0√
R2 +(XL −XC)2
, (9.18)
e
tanϕ =−(XL −XC)
R
=
(XC −XL)
R
. (9.19)
A equação 9.19 nos dá a diferença de fase entre a voltagem do gerador e a corrente no circuito.
O fato novo introduzido pelo circuito RLC é que a impedância terá um comportamento diferente
dependendo da frequência:
• para baixas frequências (ω XL, o circuito terá característica predo-
minantemente capacitiva;
• para altas frequências (ω > 1/
√
LC), teremos XCpara um circuito RLC com
diferentes valores de R.
Na ressonância o circuito apresenta as seguintes características:
• um comportamento puramente resistivo;
• sua impedância é mínima, ou seja
Z(ωR) = R; (9.29)
• a reatância total X = XC −XL é nula, isto é
X(ωR) = 0; (9.30)
• a corrente que passa no circuito é, portanto, máxima, ou seja,
i0(ωR) =
V0R
R
; (9.31)
• a potência transferida ao circuito é máxima e dada por
⟨PR⟩max =
V 2
0
2R
. (9.32)
A largura de banda da ressonância é definida como o intervalo de frequências dentro do qual a
potência ⟨PR⟩(ω) é maior ou igual à metade do valor máximo, ou seja, ∆ω corresponde à amplitude
à meia-altura da curva ⟨PR⟩ vs. ω . Isso significa que pode ser escrita como
∆ωsérie =
R
L
. (9.33)
O fator de mérito Q do circuito em série ressonante caracteriza a curva de ressonância e é dado
por:
Qsérie =
ωR
∆ωR
= ωR
L
R
=
1
R
√
L
C
. (9.34)
A figura 9.5 mostra dois filtros ressonantes em série com as suas respectivas curvas de transmi-
tância.
Quando a saída é no resistor (figura 9.5a) temos um filtro passa-banda. Longe da ressonância a
transmitância cai a uma taxa de 20 dB por década. Quando a saída é no capacitor temos um filtro
passa-baixas. Este filtro rejeita as altas frequências melhor que o filtro RC passa-baixa. Para uma
melhor comparação entre os filtros passa-baixas RLC e o RC, na linha tracejada da curva inferior
da figura 9.5 representamos também a transmitância de um filtro RC com a mesma frequência de
corte. No filtro RLC a transmitância cai com o logaritmo da frequência a uma taxa de −40 dB/dec,
enquanto que no RC a queda é de −20 dB/dec.
9.4 Circuitos RLC em paralelo 99
Figura 9.5: Curvas de transmitância para circuitos RLC: (a) transmitância quando a saída é tomada
no resistor; (b) transmitância quando a saída é tomada no capacitor.
9.4 Circuitos RLC em paralelo
L
Figura 9.6: Representação esquemática do circuito RLC paralelo.
Um circuito RLC em paralelo está representado na figura 9.6. Para este circuito a impedância
complexa da associação LC em paralelo é:
Z̃LC = j(
ωL
1−ω2LC
), (9.35)
100 Capítulo 9. Circuitos RLC em corrente alternada: ressonância
onde ω é a frequência angular do gerador. A impedância complexa total do circuito ressonante
RLC paralelo é
Z̃ = R+
L/C
jωL+
1
jωC
= R+ j
(
ωL
1−ω2LC
)
, (9.36)
e podemos deduzir que a corrente complexa é dada por:
ĩ(t) =
V0 e jωt
Z e jθ =
V0
Z
e j(ωt−θ) =
V0 e j(ωt−θ)√
R2 +
[
ωL
1−ω2LC
]2
, (9.37)
onde V0 é a amplitude de voltagem no gerador e a fase da impedância Z é dada por:
tanθ =
ωL
R(1−ω2LC)
. (9.38)
Para este circuito a potência média ⟨P⟩(ω) dissipada no resistor será:
⟨PR⟩(ω) =Vef ief cosϕ = Ri2ef =
1
2
RV 2
0
R2 +
[
ωL
1−ω2LC
]2 . (9.39)
A condição de ressonância é a mesma do circuito RLC em série, ou seja:
ωR =
1√
LC
. (9.40)
Na condição de ressonância no circuito RLC em paralelo verificamos que:
• sua impedância é máxima, Z(ωR)→ ∞;
• a reatância total X é infinita, X(ωR)→ ∞;
• a corrente que passa no circuito é mínima, i(ωR) = 0;
• a potência transferida ao circuito é mínima,
⟨PR⟩min = 0; (9.41)
Para ω = 0 ou ω → ∞ a potência dissipada no resistor é máxima e igual a
⟨PR⟩max =
V 2
0
2R
. (9.42)
Se ω → 0 toda a corrente passa pelo indutor, e se ω → ∞ toda a corrente passa pelo capacitor.
A largura de banda da ressonância é definida como o intervalo de frequências dentro do qual a
potência média ⟨P⟩(ω) é menor ou igual à metade do valor máximo. Esta largura pode ser escrita
como:
∆ωparalelo =
1
RC
. (9.43)
O fator de mérito Q do circuito em paralelo ressonante caracteriza a curva de ressonância, e é
dado por:
Qparalelo = ωRRC =
ωR
∆ωparalelo
. (9.44)
É interessante notar que o fator de mérito do circuito em paralelo é o inverso do fator de mérito
para o circuito em série:
Qparalelo =
1
Qsérie
. (9.45)
A figura 9.7 mostra o gráfico da potência média normalizada em função de ω , para diferentes
valores de Q. A partir desse gráfico fica claro que o circuito RLC em paralelo (com voltagem de
saída no resistor) corresponde a um filtro rejeita-banda: a potência de saída tem um valor constante
para todos os valores de frequência, exceto para valores próximos de ωR, faixa na qual a potência
transmitida decai rapidamente, indo a zero quando ω = ωR.
9.5 Procedimentos experimentais 101
Figura 9.7: Potência normalizada para diferentes valores de Q em um circuito RLC em paralelo.
9.5 Procedimentos experimentais
9.5.1 Procedimento I: Circuito RLC em série
Vimos que a ressonância ocorre quando as reatâncias capacitiva e indutiva se anulam mutuamente
(XC = XL). Nesta situação, para o circuito em série, a impedância do circuito é mínima e a amplitude
de corrente atinge seu valor máximo. Dessa forma, variamos a frequência do gerador e observamos
no osciloscópio para qual valor da mesma a amplitude V0R é máxima (V0R =V0). Esse valor de f
será a frequência de ressonância do circuito.
Com relação à diferença de fase, vimos que no caso de um circuito capacitivo (RC), a corrente
se adianta em relação à voltagem, enquanto que para um circuito indutivo (RL) ela se atrasa; já
circuitos puramente resistivos não apresentam diferença de fase alguma. Quando o circuito RLC
possui características capacitivas, XC é maior que XL, enquanto o contrário ocorre quando o circuito
tem características indutivas. A ressonância ocorre quando XC = XL, e a diferença de fase ϕR é nula.
 
 
Figura 9.8: Diferença de fase entre a tensão do gerador e a corrente no circuito.
Observando os sinais senoidais de corrente e tensão através do gerador, a diferença de fase, em
radianos, entre os dois sinais é dada por:
ϕ =
2π∆t
T
= 2π f ∆t, (9.46)
onde T e f são o período e a frequência do sinal do gerador, respectivamente, e ∆t é o deslocamento
relativo entre os sinais i(t)− proporcional a VR(t)− e V (t). Na figura acima, ∆t é o atraso temporal
(diferença de tempo) entre dois máximos.
102 Capítulo 9. Circuitos RLC em corrente alternada: ressonância
1. Com o auxílio do osciloscópio, ajuste a tensão de saída do gerador para uma onda senoidal
com amplitude V0 = 4,0 V e frequência f = 5 kHz.
2. Monte o circuito da figura 1 com R = 560 Ω, C = 10 nF e L = 23,2 mH. Meça e anote os
valores de R, L e C utilizados, com suas respectivas incertezas.
3. Calcule o valor nominal da frequência angular de ressonância a partir dos valores anotados
para L e C. Calcule também o valor nominal da frequência linear de ressonância.
4. Complete a tabela 1 com os valores das amplitudes de voltagem no resistor (V0R) e com o
atraso temporal ∆t entre a voltagem no gerador e a voltagem no resistor, obtidos para cada
frequência utilizada. Escolha cerca de 10 valores de frequência, metade deles abaixo da
frequência linear de ressonância nominal calculada, e metade acima.
Antes de começar a anotar os resultados, certifique-se também que as amplitudes de voltagens
no resistor (V0R) no primeiro e no último valores escolhidos para f sejam muito menores
do que na ressonância, e parecidos entre si. Faça medidas num intervalo de frequências
suficientemente amplo para mostrar nitidamente o máximo da curva de ⟨PR⟩ vs. f (por
exemplo, entre 3 kHz e 21 kHz).
Certifique-se que a amplitude do sinal do gerador permaneça constante (V0 = 4,0 V) para
todos os valores de frequência utilizados. A amplitude da voltagem do gerador deve ser
monitorada pelo canal 1 do osciloscópio.
Tabela 1
f (Hz) V0R ±σV0R ∆t ±σ∆t
(V) (µs)
5. Para cada linha de dados da tabela 1, calcule os valores de potência média ⟨PR⟩ pela equação
9.25 e coloque-os na tabela 2. Repita a coluna com os valores de frequencia.
6. Calcule os valores teóricos para a potência média ⟨PR⟩ empregando a equação 9.27 para os
três pontos indicados na tabela 2. Utilize para isto os valores medidos de f pelo osciloscópio,
e de C e L medidos pelo multímetro.
7. Complete a tabela 2 com os valores de log[ω/(rad/s)].
9.5 Procedimentos experimentais 103
Tabela 2
f (Hz) log [ω/(rad /s)] PR ±σPR (mW) PR (mW) Discr. (%)
experimental equação 9.27
--
- -
- -
- -
- -
- -
- -
- -
8. A partir dos dados da tabela 2 trace a curva da potência média (dados experimentais) dissipada
no resistor em função do logaritmo da frequência angular ω .
9. Determine a partir do gráfico traçado os seguintes parâmetros:
• a frequência angular de ressonância, ωR;
• a largura de banda, ∆ω;
• o fator de mérito, Q;
• a potência média no máximo, ⟨PR⟩max.
10. Compare os resultados obtidos no item 8 com os valores nominais esperados, considerando-se
os valores de R, L e C usados. Escreva seus resultados na tabela 3.
Tabela 3
Parâmetro Experimental Modelo Discrepância
ωR
∆ωsérie
Q
⟨PR⟩max
11. A partir do valores medidos para ∆t na tabela 1, calcule os valores da diferença de fase
ϕ e apresente-os na tabela 4. Complete esta tabela com os valores esperados (nominais)
da diferença de fase, calculados a partir da equação 9.19, usando os valores medidos de
frequência, R, C e L.
104 Capítulo 9. Circuitos RLC em corrente alternada: ressonância
Tabela 4
f (Hz) log( f/Hz) ϕ ±σϕ ϕN
(rad) (rad)
12. Lembre-se que no resistor a corrente está em fase com a voltagem e que para frequências
abaixo da ressonância, 0potencial da água armazenada na represa), células solares (conversão
fotovoltaica da energia dos fótons da luz incidente), etc. A resistência de um material condutor é
definida pela razão entre a voltagem V aplicada aos seus terminais e a corrente i passando por ele:
R =
V
i
. (1.1)
A equação 1.1 é uma das representações da Lei de Ohm, e será muito utilizada nesta disciplina.
Através dela vemos que no SI a unidade de resistência é definida por 1 Ω = 1 V/A.
Na montagem de circuitos elétricos e eletrônicos dois tipos de associações de elementos são
muito comuns: associações em série e em paralelo.
1.4 Resistência 13
1.4.1 Associação de resistores em série
Elementos de um circuito elétrico (como por exemplo resistores) são ditos ligados em série se
conduzem a mesma corrente.
Na figura 1.2 mostramos uma associação em série dos resistores R1 e R2. Num circuito elétrico
os dois resistores ligados em série têm o mesmo efeito de um resistor equivalente de resistência Rs.
Na associação em série de resistores, a corrente i1 passando por R1 e a corrente i2 por R2 são a
mesma corrente i passando pela associação:
i = i1 = i2. (1.2)
As voltagens no resistor R1, V1 = VAB, e no resistor R2, V2 = VBC, somadas são iguais à voltagem da
associação VAC:
VAC =VAB +VBC =V1 +V2. (1.3)
Para a associação em série de resistores temos então:
R = R1 +R2. (1.4)
R1
A B
R2
C
Rs
A C
a)
b)
Figura 1.2: a) Associação em série de resistores. b) Resistor equivalente.
1.4.2 Associação de resistores em paralelo
Elementos de um circuito elétrico são ditos ligados em paralelo, se estão ligados entre o mesmo
par de nós, e portanto têm a mesma tensão em seus terminais.
Na figura 1.3 mostramos uma associação em paralelo dos resistores R1 e R2. Num circuito
elétrico os dois resistores ligados em paralelo têm o mesmo efeito de um resistor equivalente de
resistência Rp. Na associação em paralelo de resistores, a soma da corrente i1 passando por R1 e da
corrente i2 por R2 é a corrente total i passando pela associação:
i = i1 + i2. (1.5)
As voltagens nos resistores R1, V1, e R2, V2, são a mesma voltagem da associação VAB:
VAB =V1 =V2. (1.6)
Para a associação em paralelo de resistores, a resistência equivalente Rp será:
1
Rp
=
1
R1
+
1
R2
. (1.7)
14 Capítulo 1. Noções de circuitos elétricos
R1
A
B
R2 Rp
A
C
a) b)
Figura 1.3: a) Associação em paralelo de resistores. b) Resistor equivalente.
1.5 Leis de Kirchhoff
Para enunciar as leis de Kirchhoff para circuitos é necessário darmos algumas definições da teoria
de circuitos:
• Elemento de circuito – um componente que tem dois terminais e pode ser descrito em termos
de tensão e corrente. Há cinco elementos básicos ideais de circuitos: resistor, capacitor,
indutor, fonte de tensão, e fonte de corrente.
• Circuito – a ligação entre elementos de circuitos, de modo que formem pelo menos um
caminho fechado para a corrente fluir.
• Nó – o ponto em qual dois ou mais elementos se unem.
• Ramo – um caminho entre dois nós consecutivos. Segmentos de condutor não contam como
elementos ou ramos.
• Laço (loop) – um caminho fechado simples num circuito passando somente uma vez em cada
nó e voltando ao nó de partida.
• Malha (mesh) – um laço que não contém nenhum outro laço dentro.
1.5.1 Lei das correntes de Kirchhoff
A primeira lei de Kirchhoff, ou lei das correntes (LCK), afirma que a soma algébrica de todas as
correntes em qualquer nó de um circuito é igual a zero: isaída + ientrada = 0.
Essa lei pode ser entendida como uma lei de conservação das cargas, ou que não há acúmulo
de carga numa junção e cargas não são perdidas nem criadas: a carga total entrando num nó é
exatamente igual à carga deixando o nó.
Vamos ilustrar a LCK usando o exemplo de nó mostrado na Fig. 1.4 a). Aqui, definimos o
sentido de referência para a corrente da seguinte maneira: às correntes que entram no nó (i1, i3 e
i5) são atribuídos sinais algébricos positivos e às correntes que saem do nó (i2 e i4) são atribuídos
sinais negativos. Logo,
i1 − i2 + i3 − i4 + i5 = 0 .
Para que a corrente flua dentro ou fora de um nó, um caminho de circuito fechado deve existir. Nós
podemos usar a LCK ao analisar circuitos em paralelo.
1.5.2 Lei das tensões de Kirchhoff
A segunda Lei de Kirchhoff, a lei das tensões (LTK), também chamada de lei das malhas, afirma
que a soma algébrica de todas as tensões ao longo de qualquer caminho fechado em um circuito é
igual a zero. Esta lei de Kirchhoff é baseada na conservação de energia.
Para aplicar a LTK, devemos escolher o sentido em que vamos percorrer o laço (horário ou
anti-horário). Optamos pelo sentido horário e sempre vamos percorrer os caminhos neste sentido.
1.6 Uso dos equipamentos 15
Figura 1.4: Exempos das Leis de Kirchhoff: a) Lei das correntes. b) Lei das tensões.
Definimos o sentido de referência para as tensões: vamos atribuir sinal positivo às quedas de tensão,
e sinal negativo aos aumentos de tensão.
No exemplo mostrado na Fig. 1.4 b), percorrendo o laço no sentido horário, a LTK dá
VAB +VBC +VCD +VDA = 0 .
Note que VDA =−VAD, ou seja, invertendo os pontos de medida, a tensão troca de sinal.
Podemos sempre usar a LTK ao analisar circuitos em série.
1.6 Uso dos equipamentos de medida da bancada
Um ponto importante, e que diz respeito diretamente à nossa disciplina, é que para verificar as
relações entre as diversas grandezas que participam de um circuito elétrico devemos medi-las. Mais
precisamente, devemos conhecer as correntes e as voltagens que ocorrem no circuito.
Para isso, existem diversos instrumentos, como o voltímetro e o amperímetro, que nos permitem
realizar essas medidas. Esses instrumentos indicam o valor medido através do movimento de uma
agulha ou ponteiro em uma escala (mostradores analógicos), ou por um mostrador digital. Um outro
instrumento, mais versátil, que vamos utilizar é o osciloscópio. Com ele podemos ver voltagens em
função do tempo em um ou mais pontos de um circuito.
Inicialmente vamos nos restringir a correntes e voltagens que não variam no tempo, ou seja,
que possuem um valor constante. Elas são classificadas como contínuas. Usamos o termo genérico
corrente contínua (CC, ou DC) quando nos referimos a voltagens e correntes que não variam no
tempo. Para as voltagens e correntes que variam no tempo damos o nome genérico de corrente
alternada (AC).
Os equipamentos disponíveis para nossas medidas na aula de hoje são o multímetro e uma
fonte de alimentação DC (corrente contínua). Há ainda uma bancada com diversos resistores e
capacitores que serão utilizados nas montagens experimentais.
1.6.1 Fonte de alimentação DC
A fonte de alimentação DC (corrente direta do termo original em inglês) na bancada é um equipa-
mento utilizado para transformar a corrente alternada que existe na rede normal de distribuição em
corrente contínua. As fontes utilizadas nesta disciplina serão fontes de tensão variável, ou seja, a
voltagem nos terminais pode ser variada entre 0 V e algumas dezenas de volts. A voltagem desejada
pode ser ajustada no painel frontal da fonte, e pode ser usada nos circuitos apenas conectando os
16 Capítulo 1. Noções de circuitos elétricos
cabos nos conectores de saída da fonte, identificados como saída positiva (potencial mais alto) e
negativa (potencial mais baixo).
Representamos uma fonte de tensão contínua pelo símbolo mostrado na Figura 1.5, onde a seta
inclinada indica que a tensão por ela produzida é variável.
+
-
VB
Figura 1.5: Representação de uma fonte DC cuja tensão pode ser ajustada.
Em um circuito elétrico a fonte DC é um elemento polarizado, isto significa que a corrente sai
de seu terminal positivo (B) e entra em seu terminal negativo (A). Se a polaridade não for respeitada,
alguns componentes do circuito podem ser danificados.
Veja na Figura 1.6 um diagrama esquemático de como utilizar a fonte de tensão DC de bancada
para as medidas efetuadas no laboratório.
Figura 1.6: Diagrama esquemático da fonte de tensão de bancada. Note que o GND é um potencial
"terra"de referencia. Atensão é fornecida como uma diferença de potencial entre os terminais “+”
e “−”.
1.6.2 Voltímetro
O voltímetro, como o nome diz, é um instrumento que mede voltagens ou diferenças de potencial.
Sua construção também é baseada no princípio do galvanômetro, em série com uma resistência
1.6 Uso dos equipamentos 17
de valor alto. O voltímetro deve ser ligado em paralelo com o elemento de circuito cuja tensão
estamos medindo.
Como sabemos, quando duas resistências são ligadas em paralelo, a diferença de potencial
em cada resistência é a mesma da associação e a corrente que passa em cada uma das resistências
dependerá do valor da resistência. Sendo a resistência do voltímetro muito alta, a corrente passando
por ele será pequena e não afetará o funcionamento do circuito. Esta corrente poderá ser medida
pelo galvanômetro e convertida em tensão usando o valor conhecido da resistência em série (usando
a lei de Ohm).
+
-
V
Figura 1.7: Representação usual de voltímetros em circuitos elétricos.
O símbolo apresentado na Figura 1.7 é frequentemente utilizado para representar um voltímetro
em circuitos elétricos.
1.6.3 Amperímetro
Medidas de correntes elétricas podem ser feitas com o uso de amperímetros. Os primeiros amperí-
metros construídos eram aparelhos analógicos e seu funcionamento se baseava em um instrumento
chamado galvanômetro.
Galvanômetro é o nome genérico de um instrumento capaz de acusar a passagem de uma
corrente elétrica. Seu princípio de funcionamento é baseado nos efeitos magnéticos das correntes
elétricas. Ao fazermos passar uma corrente elétrica por um condutor, geramos um campo magnético
à sua volta. Se este condutor for enrolado na forma de uma espira (ou várias delas), podemos
verificar que ele se comporta exatamente como um imã, ou como uma agulha de uma bússola,
causando e sofrendo forças e torques devido a interações com outros imãs, ou campos magnéticos
externos.
Este é o princípio de funcionamento básico do galvanômetro: uma bobina muito leve formada
por muitas espiras de fio de cobre, com diâmetro da ordem da espessura de um fio de cabelo, é
montada de tal maneira que quando passa uma corrente por ela, um torque é gerado fazendo com
que haja a deflexão de uma agulha. A deflexão da agulha é proporcional à corrente elétrica que
passa pela bobina.
O amperímetro é baseado em um galvanômetro montado em paralelo com uma resistência de
desvio (ou shunts, que são resistências de valor muito baixo e com capacidade de suportar correntes
mais altas). Ele é polarizado e deve ser inserido em série no ponto do circuito onde se deseja
medir a corrente. O símbolo mostrado na Figura 1.8 é utilizado frequentemente para indicar um
medidor de corrente.
+
-
Figura 1.8: Representação esquemática de um medidor de corrente, ou amperímetro.
18 Capítulo 1. Noções de circuitos elétricos
Uma maneira indireta de realizar medidas de corrente sem um amperímetro, é usando um
voltímetro e uma resistência de baixo valor. Inserimos a resistência em série no circuito, no ponto
onde queremos conhecer o valor da corrente, e medimos a diferença de potencial entre os seus
terminais com um voltímetro. O cálculo indireto da corrente é feito com o uso da Lei de Ohm (1.1),
dividindo a voltagem medida sob o resistor pelo valor de sua resistência.
1.6.4 Multímetro digital: medidas de tensão e corrente
Figura 1.9: Diagrama esquemático do multímetro digital de bancada.
Os voltímetros e amperímetros das formas descritas acima apresentam muitas limitações, e
por isso estão sendo substituídos gradualmente por aparelhos digitais que apresentam algumas
vantagens extremamente importantes. Em primeiro lugar, a resistência interna do voltímetro passa
de algumas dezenas de kΩ para alguns TΩ (T significa tera, 1 tera = 1012, além do prefixo tera
usamos também com frequência o giga = 109 e o mega = 106), o que o torna um instrumento ideal
para as medidas usuais de diferenças de potencial. O princípio de medida também é diferente,
pois ao invés de interações entre correntes e campos magnéticos, como no caso dos instrumentos
analógicos, usam-se conversores analógico-digitais para detectar diferenças de potencial.
Veja na Figura 1.9 um diagrama esquemático de como utilizar o multímetro digital de bancada
para as medidas efetuadas no laboratório.
O multímetro digital é um instrumento que permite medir digitalmente voltagens, correntes e
diversas outras grandezas derivadas, com alto grau de precisão e acurácia. Trata-se de um equipa-
mento sensível e com o qual se deve tomar, na sua utilização, os mesmos cuidados observados com
os instrumentos analógicos. Com este instrumento podemos medir voltagem contínua, voltagem
alternada, corrente contínua e alternada, resistência elétrica, capacitância, entre outros.
Por questões de segurança, quando vamos efetuar uma medida de uma grandeza desconhecida,
temos que tomar um certo cuidado para não submeter o aparelho a grandezas cujas intensidades
sejam demasiadamente grandes e que podem danificá-lo. Por isso, uma boa regra é mantermos
1.7 Procedimentos Experimentais 19
o aparelho ligado sempre na MAIOR escala possível e irmos diminuindo o valor da escala até
obtermos a medida com menor incerteza possível.
1.6.5 Protoboard
Figura 1.10: Diagrama esquemático do protoboard.
Um dos equipamentos que vamos utilizar durante toda a disciplina será o protoboard. É nele
que ligamos os componentes eletrônicos e os instrumentos de medição. O protoboard contém
alguns pontos que são interligados entre si e outros pontos independentes. Os pontos independentes
servem para inserir um componente de um ponto ao outro do circuito e desta maneira completar a
ligação. Veja a Figura 1.10.
1.7 Procedimentos Experimentais
1.7.1 Procedimento I: Lei de Ohm
O objetivo desse experimento é confirmar a lei de Ohm, comprovando a relação:
V = Ri (1.8)
Vamos montar um circuito formado por um resistor (R1 = 5 kΩ ), uma fonte de tensão, um
amperímetro e um voltímetro (com multímetros digitais).
1. Ligue a fonte de tensão. O valor da voltagem é fornecido entre os terminais “+” e “−”.
Certifique-se que a tensão é 0 (zero).
2. Monte o circuito indicado na Figura 1.11. Conecte o voltímetro entre os terminais do resistor
de modo a medir a voltagem entre os pontos A e B. Conecte o amperímetro ao circuito de
modo a medir a corrente que passa por R1 no ponto B. O resistor não possui polaridade
e poderá ser usado sem preocupação quanto ao sentido da corrente que o atravessa. A
montagem realizada corresponde ao diagrama do circuito representado na Figura 1.12 (a).
3. Vamos variar a voltagem fornecida pela fonte, medir a voltagem VAB no resistor R1 com o
voltímetro e medir a corrente passando pelo circuito com o amperímetro. Ajuste a voltagem
da fonte para 1 V. Meça os valores de i e VAB e anote-os na Tabela 1.
4. Caso o amperímetro tivesse sido conectado ao circuito no ponto A, antes do resistor R1, a
corrente medida teria sido diferente? Por quê?
20 Capítulo 1. Noções de circuitos elétricos
Figura 1.11: Circuito a ser montado para o Procedimento I.
5. Utilize a fonte regulável (botão giratório) para variar a voltagem no resistor. Escolha valores
de voltagem entre 1 e 2 V. Anote o valor de VAB medido pelo voltímetro e o correspondente
valor de corrente i medido pelo amperímetro. Não se esqueça de anotar também os valores
das incertezas de suas medidas. Complete a Tabela 1 com outros cinco pares de pontos (i,
VAB).
6. Meça o valor da resistência de R1 e sua incerteza usando um multímetro digital.
7. Faça um gráfico de VAB (eixo y) contra i (eixo x). Determine graficamente (isto é, sem o
uso de computadores) o coeficiente angular da reta que melhor se ajusta aos seus pontos
experimentais, e a partir dele o valor da resistência R1. Estime também a sua incerteza σR.
Figura 1.12: (a) Diagrama do circuito montado para medidas com amperímetro; (b) diagrama do
circuito para medida indireta da corrente, medindo a voltagem em um resistor Ramp.
Alternativa para medidas de corrente sem amperímetro
Quando você necessitaconhecer a corrente que passa em um determinado ramo de um circuito,
mas não conta com um amperímetro para medi-la diretamente, é possível fazer uma medida indireta.
Para isto, substitua o amperímetro por um resistor de baixa resistência (10 Ω, por exemplo) e
meça a diferença de potencial entre seus terminais com um voltímetro. A corrente será obtida
1.7 Procedimentos Experimentais 21
indiretamente com o uso da Lei de Ohm, fazendo i=V/R. Lembre-se que neste caso será necessário
calcular a incerteza na corrente a partir das incertezas da voltagem e da resistência. A Figura 1.12
(b) mostra como deve ser a montagem do circuito deste procedimento, neste caso.
1.7.2 Procedimento II: Lei das tensões de Kirchhoff e associação em série
Vamos verificar experimentalmente a lei das tensões de Kirchhoff fazendo medidas de voltagem e
corrente numa montagem de resistores em série.
Figura 1.13: Circuito a ser montado para o procedimento II.
No circuito da Figura 1.13 temos que:
VAB +VBC +VCA = 0 ,
já que a soma de todas as tensões num circuito fechado deve ser nula. Dessa mesma forma, a
corrente que atravessa todos os elementos desse circuito deve ser a mesma. Note que VCA =−VAC,
o que depende do ponto de medida do multímetro. Para comprovar esta suposição vamos realizar o
procedimento abaixo.
1. Ligue a fonte de tensão e ajuste a voltagem para VB = 0 V antes de iniciar a montagem do
circuito. Monte o circuito mostrado na Figura 1.13 com R1 = 5 kΩ e R2 = 2,2 kΩ. Tome
como exemplo o diagrama do protoboard da Figura ??.
2. Ajuste o valor da voltagem na fonte para VB = 4,0 V, usando o voltímetro.
3. Meça as correntes nos pontos A e B e as voltagens VAB (entre A e B), VBC (entre B e C) e
VAC (entre A e C). Complete as Tabelas 2 e 3 com estes valores e suas respectivas incertezas.
Se a sua bancada não contar com um amperímetro, faça a medida indireta da corrente usando o
mesmo método descrito no Procedimento I.
1.7.3 Procedimento III: Lei das correntes de Kirchhoff e associação em paralelo
Vamos verificar experimentalmente a lei das correntes de Kirchhoff fazendo medidas de voltagem e
corrente numa montagem de resistores em paralelo.
1. Ligue a fonte de alimentação e ajuste a voltagem para VB = 0 V antes de iniciar a montagem
do circuito. Monte o circuito mostrado na Figura 1.14, com R1 = 5 kΩ e R2 = 2,2 kΩ. Tome
como exemplo o diagrama do protoboard da Figura ??.
2. Ajuste o valor da voltagem na fonte para VB = 2 V, usando o voltímetro.
22 Capítulo 1. Noções de circuitos elétricos
Figura 1.14: Circuito a ser montado para o procedimento III.
3. Meça as correntes nos pontos A, B e D e as voltagens VAC, VBC e VDE. Complete as Tabelas
4 e 5 com estes valores e suas respectivas incertezas.
Se a sua bancada não contar com um amperímetro, faça a medida indireta da corrente usando o
mesmo método descrito no Procedimento I.
II
2 O osciloscópio e o gerador de funções 24
2.1 Material
2.2 Objetivos dessa aula
2.3 Introdução
2.4 Voltagem
2.5 Gerador de sinais
2.6 Osciloscópio digital
2.7 Procedimentos Experimentais
Experimento 2
2. O osciloscópio e o gerador de funções
2.1 Material
• Osciloscópio digital;
• Gerador de funções.
2.2 Objetivos dessa aula
1. Familiarização com instrumentos de medida;
2. Operação de fontes de tensão;
3. Familiarização com o gerador de sinais e osciloscópio;
4. Aprender como realizar uma medida de voltagem;
5. Aprender como realizar uma medida de tempo;
6. Explorar alguns recursos de medida do osciloscópio.
2.3 Introdução
Ao longo desta disciplina utilizaremos diversos componentes eletrônicos, fontes de tensão constante,
geradores de sinais que variam no tempo e o osciloscópio ou multímetro para medir as tensões.
Nesta aula teremos um breve guia prático de como efetuar medidas no laboratório.
Utilizaremos o gerador de sinais para gerar tensões variáveis com o tempo. O osciloscópio
digital é utilizado para observar e medir as tensões como função do tempo.
2.4 Voltagem
A voltagem, tensão ou diferença de potencial entre dois pontos, é o custo em energia, ou seja, o
trabalho necessário para mover uma carga unitária de um ponto com um potencial elétrico mais
baixo a outro de potencial elétrico mais alto.
A voltagem entre dois pontos, portanto, é a diferença de potencial elétrico que existe entre esses
pontos. Fica claro que só há sentido em definir voltagem entre dois pontos. O trabalho realizado
ao se mover uma carga de 1 coulomb através de uma diferença de potencial de 1 volt é de 1 joule.
2.4 Voltagem 25
A unidade de medida de diferença de potencial é o volt, representado por V, e frequentemente
é expressa em múltiplos, tais como o quilovolt (1 kV = 103 V), ou em submúltimplos, como o
milivolt (1 mV = 10−3 V) e o microvolt (1 µV = 10−6 V).
2.4.1 A onda quadrada
Figura 2.1: Forma de onda quadrada com período T = 1 ms e amplitude V0 = 1 V.
A figura 2.1 mostra o gráfico desta forma de onda, com o tempo no eixo horizontal e a voltagem
no eixo vertical. A primeira característica que podemos observar é que se trata de um sinal periódico,
isto é, um sinal que se repete após um dado intervalo de tempo. A segunda característica é que a
voltagem da onda oscila entre dois valores, simetricamente dispostos em torno de seu valor médio
Vmed = 0. Uma onda quadrada pode ser inteiramente definida por 2 parâmetros:
- o período T : é o intervalo de tempo necessário para que a onda se repita. Sua unidade SI é o
segundo (s) e neste curso serão comuns seus submúltiplos, como o milissegundo (1 ms = 10−3 s) e
o microssegundo (1 µs = 10−6 s);
- a amplitude V0: é o valor máximo de voltagem que a onda assume, medido em relação ao
valor Vmed = 0. Sua unidade SI é o Volt (V) e neste curso será comum um de seus submúltiplos, o
milivolt (1 mV = 10−3 V).
Uma terceira grandeza, diretamente relacionada ao conceito de período, é a frequência f , o
número de oscilações que ocorrem num dado intervalo de tempo. A partir desta definição, é fácil
perceber que a frequência é o inverso do período:
f =
1
T
. (2.1)
A unidade SI para a frequência é o hertz (Hz), definido como 1 Hz = 1 s−1.
Além da amplitude V0, podemos também definir a tensão pico-a-pico Vpp como sendo a diferença
(em módulo) entre o valor máximo e o valor mínimo de voltagem do sinal. Como os patamares
superior e inferior da onda quadrada estão simetricamente dispostos em torno do valor Vmed = 0 V,
a tensão pico-a-pico é o dobro da amplitude da onda:
Vpp = 2V0. (2.2)
Na figura 2.1, temos a representação gráfica de uma onda quadrada com período T = 1 ms e
amplitude V0 = 1 V. Alternativamente, esta onda pode ser descrita como possuindo uma frequência
f = 1 kHz e uma tensão pico-a-pico Vpp = 2 V.
26 Capítulo 2. O osciloscópio e o gerador de funções
2.5 Gerador de sinais
O gerador de sinais, de ondas, ou de funções, é um aparelho que gera voltagens VG variáveis como
função do tempo t, VG(t). Nos aparelhos disponíveis no laboratório, é possível selecionar:• A forma de sinal desejado: triangular, senoidal ou quadrada;
• A frequência de repetição do sinal;
• A amplitude do sinal;
• O nivel ao redor do qual o sinal oscila (também chamado de DC offset).
Diversos valores de frequências e amplitudes de voltagens podem ser ajustados. Em muitos
modelos existe um visor digital que mostra o valor de frequência ajustado. A figura 2.2 mostra uma
imagem do painel frontal de um gerador de sinais típico, semelhante aos que utilizaremos no curso.
Figura 2.2: Painel frontal de um gerador de sinais típico.
2.5.1 Operação básica
Ao ligarmos o gerador de sinais devemos selecionar a forma de sinal desejado: quadrado, senoidal
ou triangular (botões 3 na figura 2.2).
Para ajustar a frequência devemos selecionar uma faixa de valores escolhendo o botão corres-
pondente (botões 2 na figura 2.2), e em seguida ajustar o valor da frequência.
A variação da amplitude do sinal de saída é feita através de outro botão de ajuste, que pode ser
chamado “Output level” (botão 4 na figura 2.2) ou “Amplitude”.
Para conectar o sinal produzido pelo gerador a um circuitoou a um instrumento de medida
utilizamos um cabo coaxial com um conector do tipo BNC.
2.5.2 Representação do gerador em um diagrama
Num circuito, representamos o gerador de funções pelo símbolo indicado na figura 2.3. O símbolo
dentro do círculo representa a forma de onda gerada. No exemplo da figura 2.3 a forma de onda
gerada é quadrada. GND na figura 2.3 representa o terra.
A fim de obter familiaridade com o gerador de funções e o osciloscópio, iremos conectá-los
e a partir de exemplos de aplicação os efeitos dos vários controles nas saídas das formas de
onda fornecidos pelo gerador de funções e dos recursos de medição do osciloscópio podem ser
observados.
2.6 Osciloscópio digital
O osciloscópio é um instrumento empregado para visualizar voltagens que variam com o tempo,
mostrando um gráfico com a voltagem no eixo vertical e o tempo no eixo horizontal. Ele é um
instrumento de medida utilizado para a determinação de amplitudes e frequências dos sinais de
voltagem, bem como para comparação entre sinais diferentes.
2.6 Osciloscópio digital 27
Figura 2.3: Representação esquemática de um gerador de funções num circuito elétrico. Neste caso
o sinal gerado é uma onda quadrada.
A figura 2.4 mostra o esquema do painel frontal de um osciloscópio que usaremos como
exemplo. Este painel está dividido em 4 áreas importantes: a tela, os controles verticais (voltagem),
os controles horizontais (tempo) e o controles de “trigger” (gatilho).
Trigger 
Patamar 
de tensão 
do trigger 
Autoset 
Medidas Automáticas Cursores Seletor multiuso 
Ex: move os cursores 
Escala 
horizontal 
(tempo) 
 
Controle 
da posição 
horizontal 
do sinal 
 
Controle da 
posição vertical do sinal 
Entrada do canal 1: 
Cabo coaxial 
Botão seletor 
do canal 2 
Escala 
vertical 
(tensão) 
Figura 2.4: Painel frontal do osciloscópio mostrando as principais áreas funcionais.
2.6.1 Tela do osciloscópio
Além de exibir as formas de onda, a tela apresenta muitas informações sobre os sinais observados e
sobre as configurações de controle do osciloscópio. Os osciloscópios utilizados neste curso possuem
2 canais de entrada, o que significa que até 2 sinais elétricos independentes podem ser visualizados
ao mesmo tempo. Uma imagem típica observada na tela do osciloscópio está representada na figura
2.5.
A tela do osciloscópio é dividida num conjunto de retículos chamados de gratícula, utilizados
para fazer medidas sobre a forma de onda. Ao longo do eixo vertical ela é normalmente composta
por 8 ou 10 divisões, enquanto ao longo do eixo horizontal podemos ver 10 divisões; nos dois eixos
as divisões possuem 5 subdivisões, ou seja, representando 20% de uma gratícula.
28 Capítulo 2. O osciloscópio e o gerador de funções
 
Figura 2.5: Imagem típica da tela de um osciloscópio.
2.6.2 Operação básica do osciloscópio
Ao conectarmos um sinal periódico qualquer numa das entradas do osciloscópio, sua tela passará a
mostrar um gráfico da voltagem do sinal em função do tempo. Os controles verticais permitem
alterar a maneira como o sinal é mostrado na tela: ele pode ser ampliado ou diminuído, ajustando-se
a escala. Os controles horizontais definem o intervalo de tempo medido pelo osciloscópio, que deve
ser ajustado conforme a medida a ser realizada.
O osciloscópio sincroniza sinais periódicos na tela através do conceito de trigger. O trigger
determina o início de uma varredura (intervalo de tempo medido) quando o sinal medido cruza um
nível de voltagem ajustado pelo usuário. Desse modo, sinais periódicos parecem “parados” na tela,
pois os sinais são continuamente redesenhados a partir do mesmo instante de referência.
Caso o nível de trigger esteja mal ajustado, pode ocorrer que a tela mostre várias ondas
simultâneas (que ficam “correndo” pela tela do osciloscópio, impedindo qualquer tipo de medida)
ou que nenhuma forma de onda seja mostrada.
Controles verticais
A Figura 2.6 mostra os botões disponíveis para o controle da escala vertical. Os controles verticais
permitem habilitar ou desabilitar a apresentação das formas de onda na tela e ajustar a escala e a
posição verticais. A forma de onda do sinal conectado ao canal 1 é representada pela cor amarela e
azul para o canal 2.
- botão de escala: seleciona fatores de escala de voltagem e assim amplia ou reduz a represen-
tação do sinal de entrada do canal. Ao girar o botão o valor em Volts representado por cada divisão
vertical, a escala, aumenta ou diminui sendo mostrada na parte inferior da tela do osciloscópio
(figura 2.5).
- botão de posição: determina em que nível horizontal será desenhada a posição de 0 V da
forma de onda. Ao girar o botão para a direita ou esquerda, a forma de onda é deslocada para cima
ou para baixo, uma vez que a posição do zero volts é alterada. Cada canal possui um indicador na
2.6 Osciloscópio digital 29
Figura 2.6: Comandos disponíveis para controle da escala vertical.
tela do osciloscópio mostrando a posição de seu 0 V (seta na lateral esquerda da tela, figura 2.5).
Atenção, pois se você deslocar excessivamente a forma de onda ela pode sair da tela do osciloscópio.
- botões “1” e “2” (Menu): a função primordial destes botões é habilitar ou desabilitar a
exibição do respectivo canal (há um menu para cada canal). Quando apertado, se a forma de onda
está sendo exibida, ela desaparece da tela.
- opções do Menu de canal:
i. Acoplamento: cada canal pode ter 3 tipos de acoplamento: CC, AC e GND.
• CC (corrente contínua) - o sinal é mostrado sem nenhum processamento, com todos os
componentes AC (dependentes do tempo) e DC (constantes no tempo).
• CA (corrente alternada) - o sinal é submetido a um filtro, que corta as frequências inferiores
a 10 Hz; como resultado os componentes DC do sinal são eliminados e não são mostrados na
tela do osciloscópio.
• GND - o sinal de entrada é desconectado, e um sinal de voltagem de referência (terra) é
aplicado; o osciloscópio exibe uma linha horizontal (voltagem constante de 0 V).
ii. Limite da Largura de Banda: deve estar normalmente desligado.
iii. Ganho variável: se a opção “Grosso” estiver selecionada, ao girar o botão de escala só
podemos selecionar as escalas 5 V, 2 V, 1 V, 500 mV, 200 mV, 100 mV, 50 mV, 20 mV, 10 mV, 5
mV e 2 mV. Na opção “Fino”, é possível selecionar escalas intermediárias, como 1.02 V, 1.04 V,
etc.
iv. Sonda: aplica um fator multiplicativo à voltagem do sinal de entrada. Pode ser utilizado
quando se deseja medir um sinal muito baixo, e é preciso estar atento com as configurações
automáticas (como aquelas obtidas usando o botão “Autoset”), já que todos os valores de voltagem
medidos estarão multiplicados pelo fator escolhido; neste curso devemos usar sempre a opção “1X
Voltagem”.
v. Inverter: quando está ligada a forma de onda é invertida em relação ao nível de V = 0 V.
30 Capítulo 2. O osciloscópio e o gerador de funções
Controles de “Trigger” ou de gatilho
O sistema de gatilho (“trigger”) determina a condição para que o osciloscópio inicie a varredura para
exibir uma forma de onda. O objetivo é que cada vez que a forma de onda for desenhada na tela do
osciloscópio, ela o seja da mesma maneira, de modo que as sucessivas formas de ondas mostradas na
tela apareçam como uma imagem parada. Para fazer este sincronismo, utilizamos um sinal elétrico
(chamado de sinal de “trigger”), que é continuamente monitorado pelo osciloscópio: ao finalizar a
exibição de uma forma de onda, a varredura só é reiniciada quando este sinal atinge um certo valor;
cada vez que a varredura terminar, ela só será reiniciada quando o sinal de“trigger” atingir este
mesmo valor. Desta maneira, cada varredura desenhará sempre o mesmo gráfico e a forma de onda
aparecerá “parada” na tela. Se quisermos observar um sinal periódico no osciloscópio, a escolha
natural para o sinal de “trigger” é o próprio sinal que queremos observar. Sempre que desejarmos
observar um ou mais sinais no osciloscópio, é preciso escolher um sinal de “trigger” adequado para
disparar a varredura; normalmente será um dos dois sinais de entrada(canal 1 ou 2).
Figura 2.7: Comandos disponíveis para controle de “trigger”.
- botão de nível: este é o botão que define o nível do “trigger”, isto é, o valor do sinal de
“trigger” que uma vez atingido inicia a varredura. Este valor é mostrado no canto inferior direito
da tela e é também indicado por uma seta na lateral direita (figura 2.5). Se utilizamos uma onda
quadrada como sinal de “trigger”, o nível deve estar ajustado de maneira que fique contido entre
os patamares superior e inferior da onda. Caso o nível do “trigger” esteja ajustado acima do
patamar superior ou abaixo do patamar inferior da onda quadrada, a aquisição ocorrerá de maneira
automática (com as formas de onda rolando na tela) ou simplesmente não ocorrerá.
- botão do menu de “trigger”: ao apertar este botão as opções do menu do “trigger” são
exibidas na lateral direita da tela. São elas:
i. Tipo: deve ser sempre “Borda”;
ii. Origem: define qual o sinal que será utilizado como “trigger”; será o canal 1 (“CH1”) ou o
canal 2 (“CH2”). Mesmo quando este menu está desabilitado, o sinal utilizado como “trigger” é
indicado no canto inferior direito da tela (figura 2.5).
iii. Inclinação: digamos que escolhemos uma onda quadrada de amplitude V0 = 1 V como sinal
de “trigger” e colocamos o nível do “trigger” exatamente na “metade” da onda quadrada, em 0 V.
Ora, num período uma onda quadrada passa pelo zero 2 vezes, quando passa do patamar inferior
2.6 Osciloscópio digital 31
para o superior e quando passa do superior para o inferior, o que resultaria num disparo do “trigger”
a cada meio-período. O ajuste de inclinação define se o “trigger” ocorre quando o nível é atingido
na subida ou na descida. A opção selecionada também é indicada no canto inferior direito da tela
(figura 2.5).
iv. Modo: no modo automático, ao fim de cada varredura o osciloscópio espera por um certo
intervalo de tempo (chamado de tempo de espera ou “holdoff”); ao fim deste período, mesmo que a
condição de “trigger” não tenha sido satisfeita a varredura será reiniciada. Neste modo, mesmo que
o “trigger” esteja mal ajustado, sempre haverá uma forma de onda sendo exibida (é claro que no
caso do “trigger” mal ajustado as formas de onda estarão “correndo” pela tela...). No modo normal,
a varredura só é reiniciada quando a condição de “trigger” for detetada; enquanto isso não ocorrer,
nenhuma forma de onda será exibida (a tela exibirá somente a última forma de onda adquirida).
v. Acoplamento: permite filtrar o sinal que será transmitido ao circuito de “trigger”. O acopla-
mento CC não realiza nenhuma filtragem e deve ser utilizado sempre que possível. As opções CA,
Rej. de Ruído e Rej. AF podem ser utilizadas caso o ajuste do “trigger” não consiga resultar na
exibição de formas de onda estáveis.
- botão “Set To 50%”: o osciloscópio ajusta automaticamente o nível do “trigger” para a
metade entre os níveis máximo e mínimo do sinal utilizado como “trigger”.
- botão “Force Trig”: caso o sistema esteja aguardando um “trigger” (como no modo “Normal”)
faz a aquisição do sinal, independente de um sinal de “trigger” ter sido recebido.
- botão “Trig View”: enquanto pressionado, exibe o nível do “trigger” como uma linha trace-
jada e o sinal utilizado para o “trigger” como uma forma de onda na cor azul escuro.
Controles horizontais
A figura 2.8 mostra os botões disponíveis para o controle da escala horizontal. Mesmo quando 2
formas de onda estão sendo exibidas, a escala horizontal (base de tempo) é a mesma para ambas;
não é possível usar bases de tempo independentes para cada uma delas. Os controles horizontais
permitem ajustar a escala e a posição horizontais, escolher qual parte da tela será exibida e definir o
tempo de espera do “trigger”.
Figura 2.8: Comandos disponíveis para controle da escala horizontal.
32 Capítulo 2. O osciloscópio e o gerador de funções
- botão de escala: similar aos botões de escala do controle vertical, este botão seleciona fatores
de escala horizontais. Desta forma, podemos mostrar na tela um intervalo mais longo ou mais
curto da evolução temporal do sinal medido: a forma de onda se “contrairá” ou se “expandirá” em
torno da posição do “trigger” (ver abaixo). Ao girar o botão para a esquerda ou direita, veremos
que o fundo de escala (o valor em segundos representado por cada divisão horizontal da gratícula)
aumenta ou diminui gradativamente, até os valores máximo e mínimo possíveis. A escala de tempo
selecionada aparece na parte inferior da tela (figura 2.5). O fundo de escala horizontal é também
conhecido como base de tempo ou velocidade de varredura.
- botão de posição: este botão seleciona a posição horizontal a partir de onde a forma de onda
será desenhada, ou seja, onde será o início da contagem do tempo. Tem funcionamento bastante
intuitivo: quando girado para a direita a forma de onda é deslocada para direita, e quando girado
para a esquerda a forma de onda é deslocada para a esquerda. A posição do “trigger” é indicada
por uma pequena seta vertical no topo da tela e seu valor é mostrado também acima da tela (figura
2.5): um valor positivo indica que o “trigger” está à esquerda do centro da tela, enquanto um valor
negativo indica que ele está à direita.
- botão de menu horizontal: ao apertar este botão as opções do menu horizontal são exibidas
na lateral direita da tela.
- botão “Set to Zero”: faz com que a posição horizontal do “trigger” volte ao centro da tela.
2.6.3 Representação do osciloscópio em um diagrama
Num circuito, representamos o osciloscópio pelo símbolo indicado na figura 2.9. Ao contrário
das medidas de voltagem realizadas com um multímetro, em que podemos fazer medidas entre
quaisquer dois pontos do circuito, os osciloscópios sempre realizam medidas entre um ponto e o
terra do circuito (que deve estar no mesmo potencial que o terra da rede elétrica).
Figura 2.9: Representação esquemática de um osciloscópio num circuito elétrico. As setas indicam
onde devem ser conectados os sinais dos canais CH1 e CH2.
Como exemplo de uso do osciloscópio para medidas de amplitudes e períodos de sinais periódi-
cos no tempo, considere que o mostrador do osciloscópio seja aquele apresentado na figura 2.10, e
que tenham sido utilizadas a escala vertical 1 DIV = 5 V e a escala horizontal 1 DIV = 1ms. Vemos
que a forma de onda é senoidal. Para determinarmos o período e a amplitude dessa forma de onda,
utilizamos o reticulado da tela do osciloscópio como régua. Observe que cada retículo, ou seja,
cada DIV está subdivido em 5 divisões menores. Assim temos para este caso que a amplitude V0 =
(1, 7 ± 0,1) DIV, ou seja, V0 = (8,5 ± 0,5) V. Também temos que o período T = (5,1 ± 0,1) DIV, ou
seja, T = (5,1 ± 0,1) ms.
2.7 Procedimentos Experimentais 33
Figura 2.10: Exemplo de sinal na tela do osciloscópio que é discutido no texto.
2.7 Procedimentos Experimentais
Esta seção apresenta uma série de exemplos de aplicações. Esses exemplos simplificados destacam
alguns dos recursos do osciloscópio e do gerador de sinais e dão idéias de como usá-los para
solucionar seus próprios problemas de testes e medidas.
2.7.1 Procedimento I: seleção dos parâmetros da forma de onda no gerador de funções
e medida de amplitude
1. Monte o circuito da figura 2.11. Observe que esse circuito corresponde a escolher a forma de
onda quadrada e a ligar diretamente a saída do gerador de sinais ao canal CH1 do osciloscópio.
Este será o circuito utilizado para a maioria dos procedimentos experimentais desta aula.
Figura 2.11: Circuito a ser montado com um gerador de sinais e um osciloscópio.
2. Ligue o gerador de sinais e selecione a forma de onda quadrada através do botão correspon-
dente.
3. Ligue o osciloscópio e selecione o botão "Default setup", para carregar as configurações
iniciais de fábrica. Este procedimento coloca a sonda dos dois canais em 10X. Para voltar a
sonda para 1X, selecione o botão de menu do canal (botão amarelo para o canal 1 e botão
azul para o canal 2) e escolha "‘Sonda 1X ".
4. Ajuste a frequência do gerador para 1 kHz. Para tantovocê deve selecionar o botão de faixa
de frequência para “1K” ou “10K” e em seguida ajustar o valor desejado de frequência. Se o
gerador de sinais utilizado for equipado com um frequencímetro e um visor, utilize-o para
34 Capítulo 2. O osciloscópio e o gerador de funções
fazer o ajuste inicial da frequência, mas sempre utilize a leitura de frequência feita pelo
osciloscópio para fazer o ajuste fino do valor desejado. Se o gerador não possuir um visor,
ajuste a frequência diretamente a partir da leitura de seu valor na tela do osciloscópio.
5. Pressione o botão “Auto Set” do osciloscópio e espere até que a forma de onda esteja estável
na tela. O botão Auto Set é bastante útil quando se deseja visualizar rapidamente uma dada
forma de onda no osciloscópio. O osciloscópio identifica a forma de onda e ajusta seus
controles para garantir uma exibição útil do(s) sinal (sinais) de entrada.
6. Ajuste a amplitude do sinal de saída para que seu valor esteja próximo de 4 V, observando a
forma de onda na tela do osciloscópio. Utilize os controles verticais de posição e escala do
canal 1 para exibir os patamares superior e inferior da onda quadrada na tela. Utilizando a
rede de gratículas, meça a amplitude da onda quadrada. Indique também a escala vertical
utilizada.
7. Pressione o botão que habilita a exibição do Menu de “trigger”. A indicação do nível de
“trigger” estará ajustada aproximadamente no valor médio da forma de onda do canal 1. Com
o botão de nível, aumente o nível do “trigger” até ele ficar acima do patamar superior da
onda quadrada. O que ocorre? Explique.
Retorne o nível do “trigger” até o valor médio da forma de onda para prosseguir com as
medidas.
2.7.2 Procedimento II: execução de medidas com diferentes escalas
Com o ajuste automático, o osciloscópio define automaticamente as escalas vertical e horizontal.
Se você deseja alterar ou otimizar a exibição da forma de onda, ajuste manualmente esses controles.
Utilize as escalas de voltagem de 1 V e 5 V por divisão e faça a leitura das amplitudes. Apresente
os valores na tabela 1. Estas medidas devem ser feitas pelo sistema de gratículas, através da leitura
do número de divisões e posterior multiplicação pelo valor da escala. Neste caso, as incertezas das
medidas feitas serão calculadas como metade da menor divisão das gratículas, o que na prática
corresponde a 10% do valor da escala.
Tabela 1
Escala vertical V0 ± σV (V) σV/V0
1,0 V/DIV
5,0 V/DIV
Altere as escalas de tempo para 0,1 ms e 0,5 ms por divisão e apresente os valores medidos
do período na tabela 2. Novamente as medidas devem ser feitas pelo sistema das gratículas, e as
incertezas serão metade da menor divisão, ou seja, 10% do valor da escala. A partir dos valores
medidos de período, calcule a frequência com sua incerteza.
2.7 Procedimentos Experimentais 35
Tabela 2
Escala horizontal T ±σT (ms) f ±σf (Hz) σT/T
0,1 ms/DIV
0,5 ms/DIV
Quais escalas de voltagem e de tempo proporcionam uma medida com menor incerteza relativa?
2.7.3 Procedimento III: utilizando o menu de medidas
Uma alternativa à medida “visual”, pelo sistema de gratículas, é configurar o osciloscópio para
fazer medições automáticas. Há vários tipos disponíveis de medições, tanto de voltagens quanto de
tempo, como período, frequência, tensão pico-a-pico, amplitude, etc..
Pressionando o botão do menu de medidas automáticas, “Measure”, você poderá escolher em
qual sinal será feita a medida, se no do canal 1 ou no do canal 2, e que tipo de medida será realizada.
Também é possível realizar medidas na forma de onda resultante de operações matemáticas que
tenham sido feitas entre as ondas dos canais 1 e 2.
É importante notar que as medidas são realizadas na forma de onda que aparece na tela. Assim
sendo, para medidas da estrutura temporal do sinal, é preciso que ao menos um período da onda
esteja sendo mostrado. Para medidas de voltagem, os limites inferior e superior da forma de onda
devem estar visíveis, e para medidas de valores médios de voltagem, é preciso ajustar na tela do
osciloscópio múltiplos inteiros de um comprimento de onda.
NOTA: se aparecer um ponto de interrogação (?) na leitura de valor, o sinal estará fora da faixa
de medição. Ajuste a escala vertical do canal adequado para ou altere a configuração da escala
horizontal, até que o ponto de interrogação deixe de ser mostrado ao lado do valor medido, e só
então realize a medida.
Meça a frequência, o período, a amplitude, a voltagem pico-a-pico e a largura positiva do sinal
quadrado inicial e complete a tabela 3 com valores medidos.
36 Capítulo 2. O osciloscópio e o gerador de funções
Tabela 3
Grandeza Valor ± σ
f
T
V0
Vpp
Lpos
2.7.4 Procedimento IV: usando os cursores
Os cursores são pares de linhas que podem ser exibidos na tela para facilitar a medição de grandezas
de voltagem (cursores horizontais) ou de tempo (cursores verticais). A figura 2.12 representa os
cursores de amplitude e de tempo.
Como exemplo de aplicação dos cursores, vamos medir o meio período da onda triangular.
Figura 2.12: cursores do tipo “Amplitude” (à esquerda) e do tipo “Tempo” (à direita).
1. Selecione a onda triangular no gerador de funções e ajuste a frequência para cerca de 1400
Hz. Ajuste a escala de tempo até poder observar a onda como na figura 2.13). Ajuste a
amplitude da onda para um valor que seja observável no osciloscópio.
2. Pressione o botão “Cursor” do osciloscópio. Utilizando os botões aoi lado da tela selecione
a opção “Tempo”. Note que barras verticais, como na figura 2.13 aparecem na tela.
3. Para mover os cursores é necessário selecionar um deles de cada vez. Isso é feito através dos
botões ao lado direito da tela. Use o botão giratório seletor “multi-uso” (acima e à direita
da tela, figura 2.4), para mover cada um dos cursores. Note que o tempo medido por cada
cursor é referente ao instante de trigger.
4. Meça o tempo de subida da voltagem. Para isto posicione o cursor 1 em um vale da oscilação,
e posicione o cursor 2 no pico seguinte da oscilação (como na figura 2.13). A leitura da
diferença de tempo da leitura de cada cursor, ∆t, dará meio período, enquanto a leitura de
2.7 Procedimentos Experimentais 37
Figura 2.13: Figura que deve ser observada para medida do meio período de oscilação.
1/∆t dará o valor correspondente ao dobro da frequência desta onda triangular. Anote os
valores e preencha a Tabela 4. Note que a incerteza dos valores medidos é relativa à
escolha feita ao posicionar os cursores, ou seja, pelo usuário. Estime a incerteza usando
posições do cursor que ainda são compatíveis com as medidas de vale e pico da onda.
Tabela 4
Tipo Tempo - frequência de oscilação
Cursor 1 Cursor 2 ∆t 1/∆t
5. Selecione agora o tipo “Amplitude” para os cursores. Aparecem duas linhas horizontais na
tela.
6. Meça a amplitude pico-a-pico (Vpp) da onda triangular posicionando o cursor 1 no topo de
um pico e o cursor 2 em um dos vales da onda. Agora no menu “Cursores” faça a leitura da
grandeza ∆V, a diferença de voltagem entre as duas linhas dos cursores.
7. Anote todos este valores e preencha a Tabela 5. Não esqueça de estimar as incertezas como
na medida anterior.
38 Capítulo 2. O osciloscópio e o gerador de funções
Tabela 5
Tipo Amplitude - amplitude dos picos da oscilação
Cursor 1 Cursor 2 ∆V
2.7.5 Procedimento V: adicionando valores constantes aos sinais
Os geradores de funções permitem que se some um valor constante (“offset”) às formas de onda
produzidas. Normalmente o operador pode escolher o valor deste “offset”.
1. Mantendo o mesmo arranjo do procedimento anterior, selecione uma forma de onda quadrada
no gerador de funções.
2. No osciloscópio, aperte o botão de exibição do menu do canal 1 e em “Acoplamento”
selecione a opção “CC”, caso a mesma já não esteja selecionada.
3. No gerador de funções, aperte o botão “DC Offset” e varie o valor somado ao sinal periódico
com o botão giratório “DC Offset”; dependendo do modelo do gerador, você deverá puxar
o botão “DC Offset’ e então girá-lo. Ajuste o valor do “offset”de maneira que o patamar
inferior da onda quadrada esteja sobre a linha de 0 V.
4. Agora habilite a exibição do menu do canal 1 e, na opção “Acoplamento”, selecione a opção
“CA”. O que ocorre com a forma de onda? Explique.
2.7.6 Procedimento VI: observação de 2 formas de onda simultaneamente (opcional)
Como mencionado anteriormente, os osciloscópios disponíveis no laboratório têm a capacidade de
mostrar simultaneamente 2 formas de ondas independentes. Vamos utilizar essa capacidade para
observar 2 formas de onda produzidas pelo gerador de ondas.
1. Conecte com um cabo coaxial a saída principal do gerador de funções (pode estar identificada
como “Output” ou “Main”, dependendo do modelo utilizado) ao canal 1 do osciloscópio.
2. Conecte com um outro cabo coaxial a saída auxiliar do gerador de funções (pode estar
identificada como “TTL/CMOS” ou “Sync”, dependendo do modelo utilizado) ao canal 2 do
osciloscópio.
3. Selecione uma forma de onda senoidal, e ajuste a frequência e a amplitude do sinal para 1
kHz e 4 V, respectivamente.
4. Caso as 2 formas de onda não estejam aparecendo na tela do osciloscópio, use o ajuste
automático (botão “Autoset”). O aluno deve ver 2 formas de onda diferentes, cada uma
mostrada com uma cor. Selecione uma base de tempo que permita a visualização de ao
menos um período completo da onda quadrada.
5. Pressione o botão que habilita a exibição do Menu de “trigger”. No lado esquerdo da tela,
veja qual sinal está sendo utilizado como “trigger” (é a opção “Origem”). Selecione o sinal
do canal 2 como o sinal do “trigger” (caso esta opção já não esteja selecionada). Note que a
seta que indica o nível do “trigger” na tela tem a cor do sinal selecionado como origem.
6. Varie o valor do nível do “trigger”, sem no entanto levá-lo acima (abaixo) do patamar superior
(inferior) da onda quadrada. As formas de onda se deslocam horizontalmente na tela?
7. Selecione agora o sinal do canal 1 como o sinal do “trigger”. Novamente varie o valor do
nível do “trigger”, sem no entanto levá-lo acima (abaixo) do valor máximo (mínimo) da onda
2.7 Procedimentos Experimentais 39
senoidal. Desta vez as formas de onda se deslocam horizontalmente na tela? Explique.
III
3 Circuitos resistivos com onda senoidal 41
3.1 Material
3.2 Introdução
3.3 Procedimentos experimentais
Experimento 3 (opcional)
3. Circuitos resistivos com onda senoidal
3.1 Material
• resistores de 1 kΩ e 100 Ω.
3.2 Introdução
Nas aulas anteriores estudamos o comportamento de circuitos resistivos com tensão constante.
A partir desta aula, estudaremos também o comportamento de circuitos quando submetidos a
voltagens senoidais, ou seja, voltagens que variam no tempo descrevendo uma função seno.
3.2.1 Sinais senoidais
Quando estamos lidando com circuitos elétricos, sinais senoidais são voltagens que variam no
tempo descrevendo uma função do tipo senóide. Esses sinais podem ser produzidos por um gerador
de funções (como aquele utilizado no primeiro experimento) e são representados em sua forma
mais geral por uma função do tipo
VG(t) =V0 sen(ωt +θ), (3.1)
onde V0 é o que chamamos de amplitude da forma de onda. V0 é o valor da voltagem quando a
função seno é igual à unidade, ou seja, é o valor máximo da voltagem gerada. A amplitude também
é chamada de “valor de pico” da função, e seu valor é sempre positivo.
Quando a função seno atinge o valor −1, a voltagem tem seu valor mínimo −V0. Portanto um
sinal senoidal oscilará entre os valores extremos −V0 e +V0 e a diferença entre esses valores é o
que chamamos de “valor pico-a-pico” da voltagem, normalmente representado por VPP. A partir
dessa definição, fica óbvio que
VPP = 2V0 . (3.2)
Para determinarmos a amplitude de um sinal senoidal utilizando um osciloscópio, é preciso
medir a diferença (em módulo) entre o máximo valor que a voltagem assume e o “zero” da função
(o “zero” do canal ao qual o sinal está conectado). Alternativamente, pode-se simplesmente medir
42 Capítulo 3. Circuitos resistivos com onda senoidal
	
  
Figura 3.1: Figura que mostra os parâmetros que definem uma forma de onda senoidal. No exemplo
apresentado, temos V0 = 5 V, (o que significa que VPP = 10 V) e T = 1 ms (o que equivale a dizer
que f = 1 kHz). Note que θ = 0.
a diferença (também em módulo) entre os valores máximo e mínimo da função (que vem a ser a
tensão pico-a-pico) e dividir o valor por dois. A figura 3.1 ilustra essas definições.
O símbolo ω representa a frequência angular da senóide e é definida por
ω = 2π f , (3.3)
onde f é a frequência linear (ou simplesmente frequência) da senóide, representando o número
de oscilações realizadas por unidade de tempo. Como o período T da onda representa o tempo
necessário para a realização de uma oscilação completa, obtemos a relação entre frequência e
período:
f =
1
T
. (3.4)
O argumento da função seno (ωt +θ) é chamado de fase da senóide, e θ é denominado de
constante de fase. Esta é uma constante arbitrária que é utilizada para determinar o valor da função
em t = 0 (a partir da equação 3.1 vê-se imediatamente que V (t = 0) =V0 sen θ ).
Em nossos procedimentos experimentais definiremos a função que representa o sinal produzido
pelo gerador como aquela representada pela linha sólida da Figura 3.2; esta será nossa função
de referência. Isso significa que para esse sinal escolhemos arbitrariamente θ = 0 na equação
3.1. Na prática o valor da constante de fase só é relevante se estivermos comparando duas (ou
mais) funções senoidais. Nesse caso, a constante de fase θ serve essencialmente para determinar a
diferença de tempo que uma senóide leva para chegar à mesma fase de outra senóide tomada como
referência. Portanto, se representamos o sinal de referência como V01 sen(ωt), o sinal representado
por V02 sen(ωt +θ) possui uma diferença de fase θ .
A título de exemplo, sejam V1(t) e V2(t) duas voltagens que variam senoidalmente em função
do tempo com a mesma frequência. Se elas atingem seus respectivos valores máximos em instantes
de tempo diferentes é porque existe uma diferença de fase entre elas. A figura 3.2 mostra duas
3.2 Introdução 43
	
  
Figura 3.2: Voltagens que possuem a mesma amplitude e frequência, mas com diferenças de fase
entre si. Tomando o sinal representado pela linha contínua como referência, a linha pontilhada (V1)
representa um sinal com uma defasagem de −π/4 radianos, enquanto o sinal representado pela
linha tracejada (V2) possui uma defasagem de +π/4 radianos.
funções defasadas em relação a um sinal VG(t) tomado como referência, uma apresentando uma
defasagem de +π/4 radianos (ou +45◦) e a outra apresentando uma defasagem de −π/4 radianos
(ou −45◦)
Na figura 3.2 a linha contínua representa a voltagem de referência, que assume o valor zero
em t = 0. Quando VG(t) passa pela linha de zero volt com derivada positiva (isto é, crescendo)
V2(t) tem um valor positivo e V1(t) tem um valor negativo. Dizemos então que a fase de V2(t) está
adiantada, enquanto a fase de V1(t) está atrasada (ambas em relação ao sinal de referência). Essas
três funções podem ser representadas pelas seguintes expressões:
VG(t) = V0 sen(ωt), (3.5)
V1(t) = V0 sen(ωt −π/4), (3.6)
V2(t) = V0 sen(ωt +π/4), (3.7)
com V0 = 5 V e T = 1 ms.
Voltagens do tipo senoidal são as mais simples de serem produzidas, e também as mais simples
de serem tratadas matematicamente. Por isso são as formas de onda mais comumente encontradas:
a voltagem presente nas tomadas das residências é senoidal, e por isso chamada de “corrente
alternada”. A eletricidade produzida por geradores em usinas hidrelétricas é resultado de voltagens
induzidas pela rotação de turbinas, voltagens essas descritas por funções senoidais.
Uma das grandes vantagens da utilização de senos (ou cossenos) para representar sinais elétricos
vem do fato que esta classe de funções são soluções de equações diferenciais que descrevem muitos
fenômenos encontrados na natureza, incluindo circuitos elétricos lineares.
O instrumento ideal para a observação e medida de sinais elétricos alternados é o osciloscópio.