Lista 3 - Função Logaritmica

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Func¸a˜o Logar´ıtmica – Resoluc¸a˜o da Lista 3
Prof. Tatiana Paim
e-mail: tspaim@yahoo.com.br
Exerc´ıcio 1.
Soluc¸a˜o.
a) log√8 4 = x ⇔ (
√
8)x = 4 ⇔ (8 12 )x = 22 ⇔ 2 3x2 = 22
⇔ 3x
2
= 2 ⇔ x = 4
3
b) log625
√
5 = x ⇔ 625x = √5 ⇔ (54)x = 5 12 ⇔ 54x = 5 12
⇔ 4x = 1
2
⇔ x = 1
8
c) loga a 3
√
a = x ⇔ ax = a 3√a ⇔ ax = a · a 13 ⇔ ax = a 43 ⇔ x = 4
3
,
para a 6= 0 e a 6= 1.
d)
log 3
4
(
4 +
52
243
)
= x ⇔
(
3
4
)x
= 4 +
52
243
⇔
(
3
4
)x
=
1024
243
=
45
35
⇔
(
3
4
)x
=
(
4
3
)5
⇔
(
3
4
)x
=
(
3
4
)−5
⇔ x = −5
e) log 0 = x ⇔ 10x = 0 ; como na˜o existe x ∈ R que satisfac¸a esta equac¸a˜o,
segue-se que log 0 na˜o existe.
f) Para este item, lembre-se das seguintes propriedades:
• loga a = 1, para todo 0 < a 6= 1.
• loga bm = m · loga b
S = log4(log2 16) − log2(log3 81) + log5 25 · log0,1 0, 01
= log4(log2 2
4) − log2(log3 34) + log5 52 · log0,1(0, 1)2
= log4(4 log2 2) − log2(4 log3 3) + 2 log5 5 · 2 log0,1 0, 1
= log4(4 · 1) − log2(4 · 1) + 2 · 1 · 2 · 1
= log4 4 − log2 4 + 4
= 1 − log2 22 + 4
= 1 − 2 log2 2 + 4
= 1 − 2 · 1 + 4
= 3
g) Mostraremos 3 soluc¸o˜es poss´ıveis:
1
1a) log√3(
√
3)5 = x ⇔ (√3)x = (√3)5 ⇔ x = 5
2a) log√3(
√
3)5 = log√3
√
3 + log√3
√
3 + log√3
√
3 + log√3
√
3 + log√3
√
3
= 5 · log√3
√
3 = 5 · 1 = 5
3a) log√3(
√
3)5 = 5 · log√3
√
3 = 5 · 1 = 5
h) 5log4 3 · log5 4 = 5log5 4 · log4 3 = 4log4 3 = 3
i) log 1
10
(
1
10
)3
= 3 · log 1
10
1
10
= 3 · 1 = 3
j) 4
log4 16
2 = 4
log4 4
2
2 = 4
2 log4 4
2 = 4
2·1
2 = 4
Exerc´ıcio 2.
Soluc¸a˜o.
a) y = log3(x2 − 5x + 6)
x2 − 5x + 6 > 0 ⇔ (x− 2)(x− 3) > 0
∴ S = {x ∈ R | x < 2 e x > 3}
b) y = log(1− x)
1− x > 0 ⇔ x < 1
∴ S = {x ∈ R | x < 1}
c) y = log5(5x− 2) + log5(x− 3)
(i) 5x− 2 > 0 ⇔ 5x > 2 ⇔ x > 2
5
(ii) x− 3 > 0 ⇔ x > 3
Portanto, da intersec¸a˜o de (i) e (ii), temos a soluc¸a˜o S = {x ∈ R | x > 3}
d) y = log
(
−x2 + 2x− 2
x− 5
)
A condic¸a˜o de existeˆncia necessa´ria e´ que
−x2 + 2x− 2
x− 5 > 0 . Escrevemos
f(x) = −x2 + 2x − 2 e g(x) = x − 5, e fac¸amos o estudo do sinal das
func¸o˜es f e g. Veja que:
∆f = 4− 4 · (−1) · (−2) = −4 < 0
Isto significa que a func¸a˜o f na˜o possui ra´ızes reais. E, por ter coeficiente
angular negativo, seu gra´fico se encontra totalmente abaixo do eixo y;
2
ou seja, para todo x ∈ R, temos que f(x) < 0. Ja´ a func¸a˜o g e´ negativa
quando x < 5 e positiva quando x > 5. Sendo assim, o quociente
f(x)
g(x)
> 0
quando x < 5. Portanto, S = {x ∈ R | x < 5}.
e) y = logx2+1(x2 + x− 12)
(i) x2 + x− 12 > 0 ⇔ (x + 4)(x− 3) > 0
Si = {x ∈ R | x < −4 ou x > 3}
(ii) x2 + 1 > 0 e x2 + 1 6= 1 ;
A primeira condic¸a˜o e´ va´lida para todo x real e, da segunda condic¸a˜o,
temos que x 6= 0.
Logo, Sii = {x ∈ R | x 6= 0}
Portanto, S = Si ∩ Sii = {x ∈ R | x < −4 ou x > 3} .
Exerc´ıcio 3.
Soluc¸a˜o.
a) log 1
3
(x− 1) = −2
• C.E. (Condic¸a˜o de Existeˆncia) { x− 1 > 0
•
(
1
3
)−2
= x− 1 ⇔ 32 = x− 1 ⇔ x = 10
• Verificac¸a˜o: para x = 10 , 10− 1 = 9 > 0 √
∴ S = {10}
b) log12(x2 − x) = 1
• C.E. (Condic¸a˜o de Existeˆncia) { x2 − x > 0
• 121 = x2 − x ⇔ x2 − x− 12 = 0 ⇔ x = −3 ou x = 4
• Verificac¸a˜o:
para x = −3 , (−3)2 − (−3) = 12 > 0 √
para x = 4 , 42 − 4 = 12 > 0 √
∴ S = {−3, 4}
3
c) log16
{
4 log5
[
5 + log2(1 + 4 log2 x)
]}
=
1
2
4 log5
[
5 + log2(1 + 4 log2 x)
]
= 16
1
2
4 log5
[
5 + log2(1 + 4 log2 x)
]
=
√
16
4 log5
[
5 + log2(1 + 4 log2 x)
]
= 4
log5
[
5 + log2(1 + 4 log2 x)
]
= 1
5 + log2(1 + 4 log2 x) = 5
1
log2(1 + 4 log2 x) = 0
1 + 4 log2 x = 2
0 = 1
4 log2 x = 0
log2 x
4 = 0
x4 = 20 = 1
x = ±1
Como a C.E. exige que x > 0, segue-se que S = {1} .
d) log25(log3 y) =
1
2
log3 y = 25
1
2 ⇔ log3 y =
√
25 ⇔ log3 y = 5 ⇔ y = 35 ⇔ y = 243
∴ S = {243}
e)
3 + log x
2− log x = 4
3 + log x = 8− 4 log x ⇔ log x + 4 log x = 8− 3 ⇔ 5 log x = 5 ⇔ log x = 1
⇔ x = 101 ⇔ x = 10
∴ S = {10}
f) log(x + 4) + log(x− 4) − 2 log 3 = 0
• C.E.
{
x + 4 > 0
x− 4 > 0 ⇒
{
x > −4
x > 4
⇒ { x > 4
log(x + 4)(x− 4)− log 32 = 0
log
(x + 4)(x− 4)
32
= 0
log
(
x2 − 16
9
)
= 0
x2 − 16
9
= 100
x2 = 25
x = ±5
4
Logo, pela condic¸a˜o de existeˆncia temos que S = {5} .
g) 2 log x = log 4 + log 3x
log x2 = log 4 · 3x ⇔ log x2 − log 12x = 0 ⇔ log
(
x2
12x
)
= 0
⇔ x
2
12x
= 100 ⇔ x
2
12x
= 1 ⇔ x2 − 12x = 0
⇔ x(x− 12) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 12
Pela condic¸a˜o de existeˆncia (x > 0) temos que S = {12} .
Exerc´ıcio 4.
Soluc¸a˜o. Sa˜o dados: logx a = 5 , logx b = 2 , logx c = −1 .
a) logx(a · b · c) = logx a + logx b + logx c = 5 + 2− 1 = 6
b)
logx(a
2 · b3/c4) = logx a2 + logx b3 − logx c4 = 2 logx a + 3 logx b− 4 logx c
= 2 · 5 + 3 · 2− 4 · (−1) = 10 + 6 + 4 = 20
c)
logx
√
a · b5
3
√
c2
= logx
√
a · b5 − logx 3
√
c2 = logx
√
a ·
√
b5 − logx c
2
3
= logx a
1
2 + logx b
5
2 − logx c
2
3 =
1
2
· logx a +
5
2
· logx b−
2
3
· logx c
=
1
2
· 5 + 5
2
· 2 − 2
3
· (−1) = 5
2
+ 5 +
2
3
=
49
6
d)
logx
3
√
a · 1b
c
= logx
(
a · 1b
c
) 1
3
=
1
3
· logx
(
a · 1b
c
)
=
1
3
·
[
logx
(
a · 1
b
)
− logx c
]
=
1
3
·
[
logx a + logx
(1
b
)
− logx c
]
=
1
3
·
(
logx a + logx b
−1 − logx c
)
=
1
3
·
(
logx a + (−1) · logx b− logx c
)
=
1
3
·
(
5 + (−1) · 2 − (−1)
)
=
1
3
· (5 − 2 + 1) = 4
3
Exerc´ıcio 5.
5
Soluc¸a˜o.
a)
 log2 x + log2 y = 1
4x− 3y = 5
⇒
 log2(x · y) = 1
4x− 3y = 5
⇒
 xy = 2 (i)
4x− 3y = 5 (ii)
De (ii), temos: 4x− 3y = 5 ⇔ 4x = 5 + 3y ⇔ x = 5 + 3y
4
Substituindo em (i):
xy = 2 ⇒
(
5 + 3y
4
)
· y = 2 ⇒ 3y2+5y−8 = 0 ⇒ y = 1 ou y = −16/6
Como y > 0, segue que y = 1. Com efeito,
xy = 2 ⇒ x · 1 = 2 ⇒ x = 2
Portanto, S = {(2, 1)} .
b)
 log3 x− 1 = log3 y
3x = 729 · 3y
⇒
 log3 x− log3 y = 1
3x = 36 · 3y
⇒

log3
(x
y
)
= 1
3x = 3y+6
⇒

3 =
x
y
x = y + 6
⇒
 x = 3y
x = y + 6
Enta˜o,
x = x ⇔ 3y = y + 6 ⇔ 2y = 6 ⇔ y = 3 .
Assim,
x = 3y = 3 · 3 = 9 .
Portanto, S = {(9, 3)} .
c)

2x =
1
24+y
log2(2x + y) = 1
⇒
 2
x = 2−(4+y)
2 = 2x + y
⇒
 x = −(4 + y)
2x + y = 2
⇒
 y = −x− 4
y = 2− 2x
Logo,
y = y ⇔ −x− 4 = 2− 2x ⇔ 2x− x = 2 + 4 ⇔ x = 6 .
Assim,
y = −x− 4 ⇒ y = −6− 4 ⇒ y = −10.
Portanto, S = {(6,−10)} .
Exerc´ıcio 6.
6
Soluc¸a˜o. Sa˜o dados: log 2 = 0, 3 ; log 3 = 0, 4 ; log 5 = 0, 7 .
a) log2 50 =
log 50
log 2
=
log(2 · 52)
log 2
=
log 2 + log 52
log 2
=
log 2 + 2 log 5
log 2
=
0, 3 + 2 · 0, 7
0, 3
=
1, 7
0, 3
=
17
3
b) log9 2 =
log 2
log 9
=
log 2
log 32
=
log 2
2 log 3
=
0, 3
2 · 0, 4 =
0, 3
0, 8
=
3
8
c) log5 3 =
log 3
log 5
=
0, 4
0, 7
=
4
7
d) log6 15 =
log 15
log 6
=
log(3 · 5)
log(2 · 3) =
log 3 + log 5
log 2 + log 3
=
0, 4 + 0, 7
0, 3 + 0, 4
=
1, 1
0, 7
=
11
7
Exerc´ıcio 7.
Soluc¸a˜o.
a) log5 x + log25 x = 3
log5 x + log25 x = 3 ⇔ log5 x +
log5 x
log5 25
= 3 ⇔ log5 x +
log5 x
log5 5
2
= 3
⇔ log5 x +
log5 x
2 log5 5
= 3 ⇔ log5 x +
log5 x
2
= 3
⇔ 2 log5 x + log5 x = 6 ⇔ 3 log5 x = 6
⇔ log5 x = 2 ⇔ x = 52 ⇔ x = 25
b) log2 x + log4 x + log16 x = 7
log2 x + log4 x + log16 x = 7 ⇔ log2 x +
log2 x
log2 4
+
log2 x
log2 16
= 7
⇔ log2 x +
log2 x
log2 2
2
+
log2 xlog2 2
4
= 7
⇔ log2 x +
log2 x
2 log2 2
+
log2 x
4 log2 2
= 7
⇔ log2 x +
log2 x
2
+
log2 x
4
= 7
⇔ 4 log2 x + 2 log2 x + log2 x
4
= 7
⇔ 7 log2 x = 28 ⇔ log2 x = 4
⇔ x = 24 ⇔ x = 16
7
c) logx 3 · log3x 3 = log81x 3 (Fazendo logx 3 = a)
logx 3 · log3x 3 = log81x 3 ⇔ logx 3 ·
logx 3
logx 3x
=
logx 3
logx 81x
⇔ (logx 3)
2
logx 3 + logx x
=
logx 3
logx 81 + logx x
⇔ (logx 3)
2
logx 3 + 1
=
logx 3
logx 3
4 + 1
⇔ (logx 3)
2
logx 3 + 1
=
logx 3
4 logx 3 + 1
(Fazendo logx 3 = a:) ⇔
a2
a + 1
=
a
4a + 1
⇔ a2(4a + 1) = a(a + 1)
⇔ 4a3 − a = 0 ⇔ a(4a2 − 1) = 0
⇔ a = 0 ou 4a2 − 1 = 0
⇔ a = 0 ou a = −1
2
ou a =
1
2
Analisemos cada caso. Como logx 3 = a, temos:
a = 0 : logx 3 = 0 ⇒ x0 = 3 ⇒ 1 = 3 @
a = −1
2
: logx 3 = −
1
2
⇒ x− 12 = 3 ⇒ 1
x
1
2
= 3
⇒ (x 12 )2 = (1
3
)2
⇒ x = 1
32
⇒ x = 1
9
a =
1
2
: logx 3 =
1
2
⇒ x 12 = 3 ⇒ (x 12 )2 = 32 ⇒ x = 9
Portanto, S =
{
1
9 , 9
}
.
d) log5m− 2 logm 5 = −1
log5m− 2 logm 5 = −1 ⇒ log5m− 2 ·
log5 5
log5m
= −1 ⇒ log5m−
2
log5m
= −1
(Fazendo log5m = b :) ⇒ b−
2
b
= −1 ⇒ b2 + b− 2 = 0
⇒ b = −2 ou b = 1
Para b = −2 :
log5m = −2 ⇔ m = 5−2 ⇔ m =
1
52
⇔ m = 1
25
Para b = 1 :
log5m = 1 ⇔ m = 51 ⇔ m = 5
Portanto, S =
{
1
25 , 5
}
.
Exerc´ıcio 8. Soluc¸a˜o em anexo.
Exerc´ıcio 9.
8
Soluc¸a˜o.
a) log√12 (x− 6) > log√12 5
Temos que
x− 6 > 0 ⇔ x > 6
e, como
√
12 > 1,
x− 6 > 5 ⇔ x > 11
Segue-se que S = {x ∈ R | x > 11} .
b) log 1
3
x < log 1
3
(4x− 1)
Das condic¸o˜es de existeˆncia, temos{
x > 0
4x− 1 > 0 ⇒
{
x > 0
x > 14
Como 0 < 13 < 1,
x > 4x− 1 ⇔ 1 > 3x ⇔ x < 1
3
Portanto, S =
{
x ∈ R | 14 < x < 13
}
.
c) log10(a2 − 2a + 1) < 2
• Da condic¸a˜o de existeˆncia, temos que a2−2a+1 > 0 para todo a ∈ R\{1}.
• Aplicando a definic¸a˜o de logaritmos, temos:
a2 − 2a + 1 < 102 ⇔ a2 − 2a− 99 < 0 ⇔ −9 < a < 11
Portanto, S = {a ∈ R | − 9 < a < 1 e 1 < a < 11} .
d) log 1
2
x < 3
Da condic¸a˜o de existeˆncia, temos que x > 0 para todo x real. Como
0 < 12 < 1, a desigualdade de inverte quando aplicamos a definic¸a˜o:
x >
(
1
2
)3
⇔ x > 1
23
⇔ x > 1
8
Portanto, S =
{
x ∈ R | x > 18
}
.
e) log
{
log 1
2
[
log4(x− 1)
]}
< 0
9
• Pela condic¸a˜o de existeˆncia:
log 1
2
[
log4(x− 1)
]
> 0 ⇔ log4(x− 1) <
(
1
2
)0
⇔ log4(x− 1) < 1
⇔ x− 1 < 4 ⇔ x < 5
• Aplicando a definic¸a˜o de logaritmos, temos:
log
{
log 1
2
[
log4(x− 1)
]}
< 0 ⇔ log 1
2
[
log4(x− 1)
]
< 100
⇔ log 1
2
[
log4(x− 1)
]
< 1
⇔ log4(x− 1) >
1
2
⇔ x− 1 > 4 12
⇔ x− 1 > 2
⇔ x > 3
Portanto, S = {x ∈ R | 3 < x < 5} .
f) 12 < log4 3x < 1
Pela condic¸a˜o de existeˆncia, temos que 3x > 0, isto e´, x > 0 para todo x
real. Para resolver a inequac¸a˜o, vamos dividi-la em duas partes:
log4 3x >
1
2
e log4 3x < 1
• log4 3x >
1
2
⇔ 2 log4 3x > 1 ⇔ log4(3x)2 > 1 ⇔ (3x)2 > 4
⇔ x2 > 4
9
⇔ x < −2
3
ou x >
2
3
• log4 3x < 1 ⇔ 3x < 4 ⇔ x <
4
3
Portanto, S =
{
x ∈ R | 23 < x < 43
}
.
Exerc´ıcio 10.
Soluc¸a˜o. Primeiro, determinamos a condic¸a˜o de existeˆncia da inequac¸a˜o lo-
gar´ıtmica:
10
C.E.
{
x > 0
2− 3x > 0 ⇒
{
x > 0
x < 23
loga x− loga2(2− 3x) < 0 ⇔ loga x−
loga(2− 3x)
loga a
2
< 0 (1)
⇔ loga x−
loga(2− 3x)
2
< 0 (2)
⇔ 2 loga x− loga(2− 3x) < 0 (3)
⇔ loga x2 < loga(2− 3x) (4)
⇔ x2 > 2− 3x (5)
⇔ x2 + 3x− 2 > 0 (6)
⇔ x < −
√
17− 3
2
ou x >
√
17− 3
2
(7)
(Observe que no passo (5) a desigualdade se inverte pois 0 < a < 1). Colocando
tais valores e de C.E. na reta real, fazemos a intersec¸a˜o de todas as desigualdades,
e obtemos S =
{
x ∈ R |
√
17− 3
2
< x <
2
3
}
.
Exerc´ıcio 11.
Soluc¸a˜o. Sa˜o dados: log 2 = a e log 3 = b . Sabemos que 180 = 22 · 32 · 5, por
decomposic¸a˜o em fatores primos. Enta˜o
log 180 = log
(
22 · 32 · 5) = log 22 + log 32 + log 5
= 2 log 2 + 2 log 3 + log
10
2
= 2 log 2 + 2 log 3 + log 10− log 2
= log 2 + 2 log 3 + log 10
= a + 2b + 1
Exerc´ıcio 12.
Soluc¸a˜o.
log3(x + 16) = log3 x + 2 ⇔ log3(x + 16)− log3 x = 2
⇔ log3
(
x + 16
x
)
= 2
⇔ x + 16
x
= 32
⇔ 9x = x + 16
⇔ x = 2
11