CGE_Int Econometria_aula A.5_fun- ¦çao regressao

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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 1Cidade Universitária Prof. José Aloísio de Campos - Pólo de Gestão - Av. Marechal Rondon, s/n – B. Rosa ElzeSão Cristovão – SE CEP 49.000-000 – Tel Fax : 55 (79) 3212-6811 – E-mail: jrsantana@ufs.br
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA (DEE)
DISCIPLINA: INTRODUÇÃO A ECONOMETRIA (303174)
PROFESSOR: JOSÉ RICARDO DE SANTANA
AULA 5:FUNÇÃO DE REGRESSÃO
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 2
I. INTRODUÇÃO
1. ORIGEM DO TERMO REGRESSÃO
2. EXEMPLOS
3. CONSIDERAÇÕES ADICIONAIS
II. FUNÇÕES DE REGRESSÃO
1. EXEMPLO HIPOTÉTICO
2. CURVA DE REGRESSÃO
3. FUNÇÃO DE REGRESSÃO POPULACIONAL
4. FUNÇÃO DE REGRESSÃO AMOSTRAL
5. REPRESENTAÇÃO DAS OBSERVAÇÕES DA REGRESSÃO
III. ESTIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE REGRESSÃO
1. REPRESENTAÇÃO DAS FUNÇÕES DE REGRESSÃO
2. O PROCESSO DE ESTIMAÇÃO
IV. AVALIAÇÃO DA FUNÇÃO DE REGRESSÃO
1. COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
SUMÁRIO
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 3
I – INTRODUÇÃO
1. ORIGEM DO TERMO REGRESSÃO
q Lei de regressão universal
ü Ensaio de Francis Galton: embora houvesse uma tendência de pais altos terem filhos
altos e pais baixos terem filhos baixos, a altura média tendia a regredir à altura média da
população como um todo
ü Karl Pearson: coleta de 1.000 registros mostrando que
è altura média de filhos de pais altos < altura média dos pais
è altura média de filhos de pais baixos > altura média dos pais
q Concepção atual: estudo da dependência de uma variável dependente em relação às variáveis
explicativas, com o objetivo de estimar e/ou prever o valor médio daquela variável em termos dos
valores conhecidos das variáveis explicativas.
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 4
I – INTRODUÇÃO
2. EXEMPLOS
q Prever a variação da altura média dos filhos em função da altura conhecida dos pais
q Prever a variação da altura média dos meninos de acordo com a idade
q Prever rendimento de uma colheita em função de temperatura, chuva, incidência de sol,
quantidade de fertilizantes
q Estudar a dependência da despesa de consumo em função da renda pessoal disponível
q Estimar a arrecadação tributária em função do produto da economia.
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 5
I – INTRODUÇÃO
3. CONSIDERAÇÕES ADICIONAIS
q Relações deterministas versus estocásticas
ü Relações deterministas: p. ex., leis físicas, onde dadas condições de temperatura e
pressão, tem-se uma determinada reação (ex: lei do gás, de Boyle)
ü Relações estocásticas: p. ex., rendimento da colheita em função de temperatura, chuva,
luz solar, fertilizantes, etc.
OBS: Neste caso, as variáveis explicativas não permitirão prever rendimento com
precisão, por conta de problemas de medida ou outros fatores não previsíveis.
q Regressão versus causação
ü Kendall e Stuart – “uma relação estatística, por mais forte e sugestiva que seja, jamais
pode estabelecer uma relação causal: nossas idéias sobre causação devem vir de fora da
estatística, enfim, de outra teoria”.
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 6
I – INTRODUÇÃO
3. CONSIDERAÇÕES ADICIONAIS
q Regressão versus correlação
ü Correlação:
– busca medir a intensidade ou grau de associação linear entre duas variáveis
– supõe que as variáveis são aleatórias, não havendo distinção entre variáveis
dependente e explicativa
ü Regressão:
– busca prever o valor médio de uma variável com base nos valores fixados de outra
variável
– supõe que a variável dependente seja estocástica, mas as variáveis explicativas
sejam não estocásticas ou fixadas
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 7
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
1. EXEMPLO HIPOTÉTICO
q Altura dos filhos em função da altura dos pais
Altura Geral
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84
Indivíduo
Altura Pais
(X)
Altura Filhos
(Y)
1 1,70 1,79
2 1,70 1,78
3 1,70 1,73
4 1,83 1,90
5 1,76 1,82
6 1,75 1,78
7 1,78 1,80
8 1,73 1,77
9 1,78 1,67
10 1,73 1,55
11 1,80 1,72
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II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
1. EXEMPLO HIPOTÉTICO
q Despesa de consumo familiar (Y) em função da renda disponível (X): 60 famílias divididas em
10 grupos de renda
q Questão: é possível prever alguma relação entre renda e consumo?
q Questão: o que dizer para as observações onde uma família com renda menor possui um
nível maior de consumo?
Renda
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Consumo 55 65 79 80 102 110 120 135 137 150
60 70 84 93 107 115 136 137 145 152
65 74 90 95 110 120 140 140 155 175
70 80 94 103 116 130 144 152 165 178
75 85 98 108 118 135 145 157 175 180
88 113 125 140 160 189 185
115 162 191
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 9
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
1. EXEMPLO HIPOTÉTICO
q Despesa de consumo familiar (Y) em função da renda disponível (X): a observação da
tendência no gráfico de dispersão
50
70
90
110
130
150
170
190
210
50 100 150 200 250 300
Consumo-Renda Linear (Consumo-Renda)
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 10
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
1. EXEMPLO HIPOTÉTICO
q Despesa de consumo familiar (Y) em função da renda disponível (X): a observação da
tendência, determinada pela média do consumo
Renda
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Consumo 55 65 79 80 102 110 120 135 137 150
60 70 84 93 107 115 136 137 145 152
65 74 90 95 110 120 140 140 155 175
70 80 94 103 116 130 144 152 165 178
75 85 98 108 118 135 145 157 175 180
88 113 125 140 160 189 185
115 162 191
Médio 65 77 89 101 113 125 137 149 161 173
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 11
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
1. EXEMPLO HIPOTÉTICO
q Despesa de consumo familiar (Y) em função da renda disponível (X): o cálculo da
probabilidade condicional, ou marginal P (Y | X) ou f (Y), que equivale à frequência simples
relativa.
Renda
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Consumo 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7
1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7
1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7
1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7
1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7
1/6 1/7 1/6 1/6 1/7 1/6 1/7
1/7 1/7 1/7
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 12
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
1. EXEMPLO HIPOTÉTICO
q Despesa de consumo familiar (Y) em função da renda disponível (X): a observação da
tendência, determinada pelo valor esperado do consumo
VALOR ESPERADO [E (Y | Xi)] = i Xi. . p (Y | X)
Yi f (Yi) Yi f (Yi) Yi f (Yi) Yi f (Yi) Yi f (Yi) Yi f (Yi) Yi f (Yi) Yi f (Yi) Yi f (Yi) Yi f (Yi)
Consumo 55 1/5 65 1/6 79 1/5 80 1/7 102 1/6 110 1/6 120 1/5 135 1/7 137 1/6 150 1/7
60 1/5 70 1/6 84 1/5 93 1/7 107 1/6 115 1/6 136 1/5 137 1/7 145 1/6 152 1/7
65 1/5 74 1/6 90 1/5 95 1/7 110 1/6 120 1/6 140 1/5 140 1/7 155 1/6 175 1/7
70 1/5 80 1/6 94 1/5 103 1/7 116 1/6 130 1/6 144 1/5 152 1/7 165 1/6 178 1/7
75 1/5 85 1/6 98 1/5 108 1/7 118 1/6 135 1/6 145 1/5 157 1/7 175 1/6 180 1/7
88 1/6 113 1/7 125 1/6 140 1/6 160 1/7 189 1/6 185 1/7
115 1/7 162 1/7 191 1/7
Val. Esp. 65 77 89 101 113 125 137 149161 173
Renda
220 240 260140 160 180 20080 100 120
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 13
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
2. CURVA DE REGRESSÃO
q No exemplo da despesa de consumo familiar (Y) em função da renda disponível (X): a linha de
regressão da população, ou regressão de Y sobre X
50
70
90
110
130
150
170
190
210
50 100 150 200 250 300
Consumo-Renda Linear (Consumo-Renda)
q CURVA DE REGRESSÃO DA POPULAÇÃO: é o lugar geométrico das expectativas
condicionais das variáveis dependentes [E(Y|X)] para os valores fixados das variáveis explicativas
[X].
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 14
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
2. CURVA DE REGRESSÃO
q CURVA DE REGRESSÃO DA POPULAÇÃO: para uma determinada distribuição de
probabilidades de Y – calcula-se o valor esperado E(Y|X) para cada X; a reta de regressão une os
pontos E(Y|X).
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 15
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
3. FUNÇÃO DE REGRESSÃO POPULACIONAL
q Definição: a FRP de duas variáveis mostra que cada valor esperado de Y é uma função de Xi.
E (Y | Xi) = f (Xi.)
q Forma funcional: supõe uma função linear
E (Y | Xi) = â1 + â2 . Xi.
q Objetivo da REGRESSÃO: estimar os valores desconhecidos de â1 e â2, com base nas
observações de Y e X.
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 16
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
3. FUNÇÃO DE REGRESSÃO POPULACIONAL
q Especificação estocástica da FRP: observando o comportamento para uma família Yi
ü o fato de a média do consumo subir com a renda não quer dizer necessariamente que o
consumo individual de uma família será maior se a sua renda for maior;
Ex: para uma família com R =100, observa-se C = 70 (Cme = 77)
para uma família com R = 80, observa-se C = 75 (Cme = 65)
Questão: como especificar o consumo de uma família Yi?
Renda
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Consumo 55 65 79 80 102 110 120 135 137 150
60 70 84 93 107 115 136 137 145 152
65 74 90 95 110 120 140 140 155 175
70 80 94 103 116 130 144 152 165 178
75 85 98 108 118 135 145 157 175 180
88 113 125 140 160 189 185
115 162 191
Médio 65 77 89 101 113 125 137 149 161 173
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 17
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
3. FUNÇÃO DE REGRESSÃO POPULACIONAL
q Especificação estocástica da FRP: observando o comportamento para uma família Yi
ü o consumo de uma família (Yi) situa-se ao redor do consumo médio para todas as famílias
que possuem a mesma renda, havendo um desvio (ei) para cada uma das observações
ü DESVIO, TERMO DE ERRO ou PERTURBAÇÃO ESTOCÁSTICA (ei): é uma variável
aleatória não observável, que pode assumir valores positivos ou negativos
ei = Yi – E (Y | Xi)
ü Representação do consumo da família: composto de um termo determinístico ou
sistemático e de um termo aleatório
Yi = E (Y | Xi) + ei
ou
Yi = â1 + â2 . Xi + ei
q Ex: Encontrar os desvios dos valores de consumo para cada uma das famílias com R = 100
Yi = 65 = â1 + â2 .(100) + ei , onde ei = – 12
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 18
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
3. FUNÇÃO DE REGRESSÃO POPULACIONAL
q Questão: se todos os pontos passarem na reta de regressão, qual a implicação sobre os
desvios?
q Importância da especificação estocástica: apresenta desvios na estimação, que substituem
variáveis omitidas no modelo
ü imprecisão da teoria
ü indisponibilidade de dados
ü natureza intrínseca do comportamento humano
ü proxies fracas
ü forma funcional errada
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Tema Identificação Página
FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 19
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
4. FUNÇÃO DE REGRESSÃO AMOSTRAL
q Problema: na maioria dos casos, não estão disponíveis os dados da população, mas apenas
de uma amostra
q Questão: : é possível prever o comportamento da população a partir da amostra?
ou ainda, é possível estimar FRP a partir dos dados da amostra?
q Para cada amostra, será obtida uma FRA diferente.
Renda Consumo(amostra 1)
Consumo
(amostra 2)
80 70 55
100 65 88
120 90 90
140 95 80
160 110 118
180 115 120
200 120 145
220 140 135
240 155 145
260 150 175
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 20
4. FUNÇÃO DE REGRESSÃO AMOSTRAL
q FUNÇÃO DE REGRESSÃO AMOSTRAL:
ü QUESTÃO: Qual FRA deverá ser considerada?
Qual reta representa o melhor ajuste?
Qual a regra para fazer a estimação?
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 50 100 150 200 250 300
AMOSTRA 1
AMOSTRA 2
Linear (AMOSTRA 2)
Linear (AMOSTRA 1)
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
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Tema Identificação Página
FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 21
II –FUNÇÕES DE REGRESSÃO
4. FUNÇÃO DE REGRESSÃO AMOSTRAL
q Definição: a FRA de duas variáveis mostra cada valor estimado de Y em função de Xi.
q Forma estocástica:
ou
Questão: em sendo FRA uma aproximação de FRP é possível criar uma regra para
fazer essa estimação?
it XY .
^
2
^
1
^
bb +=
^^
2
^
1 . tit eXY ++= bb
^^
ttt eYY +=
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 22
5. REPRESENTAÇÃO DAS OBSERVAÇÕES DA REGRESSÃO
q EXEMPLO: População Amostra
Yi = E (Y | Xi) + ui
Yi = 79 | X = 120 Yi = 89 + (– 10) = 79 Yi = 84 + (– 5) = 79
Yi = 118 | X = 160 Yi = 113 + ( 5 ) = 118 Yi = 106 + ( 12 )= 118
.
^^
ttt uYY +=
Renda
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Consumo 55 65 79 80 102 110 120 135 137 150
60 70 84 93 107 115 136 137 145 152
65 74 90 95 110 120 140 140 155 175
POPULAÇÃO 70 80 94 103 116 130 144 152 165 178
75 85 98 108 118 135 145 157 175 180
88 113 125 140 160 189 185
115 162 191
Médio 65 77 89 101 113 125 137 149 161 173
AMOSTRA Médio 60 70 84 89 106 115 132 137 146 159
II – FUNÇÕES DE REGRESSÃO
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 23
1. REPRESENTAÇÃO DAS FUNÇÕES DE REGRESSÃO
q FUNÇÃO DE REGRESSÃO POPULACIONAL: importância das variáveis aleatórias (Yi , ui )
Yi = E (Y | Xi) + ui
ou
Yi = â1 + â2 . Xi + ui
q FUNÇÃO DE REGRESSÃO AMOSTRAL: importância das variáveis aleatórias (Yi , ui ) e da
seleção da amostra, que será determinante na estimação de â1 e â2
ou
.
Questão: em sendo FRA uma aproximação de FRP é possível criar uma regra para fazer
essa estimação?
^^
ttt uYY +=
^^
2
^
1 . tit uXY ++= bb
III – ESTIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE REGRESSÃO
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 24
III – ESTIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE REGRESSÃO
2. PROCESSO DE ESTIMAÇÃO
q CONCEPÇÃO: buscar a reta cuja soma dos erros das observações em relação a ela seja a
menor possível
q MÉTODO: soma dos quadrados dos resíduos é menor que a soma dos quadrados dos
resíduos de qualquer outra reta; são os estimadores que melhor se ajustam aos dados.
§ Tomando a reta de regressão e encontrando o erro amostral,
§ Fazendo a soma dos erros amostrais ao quadrado(*)
iii
iii
XYu
uXY
.
.
^
2
^
1
^
^^
2
^
1
bb
bb
--=
++=
å
å
=
=
÷
ø
öç
è
æ --=÷
ø
öç
è
æ
÷
ø
öç
è
æ=÷
ø
öç
è
æ
n
i
ii
n
i
i
XYS
uS
1
2^
2
^
1
^
2
^
1
1
2^^
2
^
1
.,,
bbbb
bb
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 25
III – ESTIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE REGRESSÃO
2. PROCESSO DE ESTIMAÇÃO
q ESTIMADORES:
q EXERCÍCIO:
()Tj
/F5 19.125 Tf
1 0 0 1 329.28 631.65 Tm ()22
^
2 .
...
åå
ååå
-
-
=
ii
iiii
XXn
YXYXn
b
ii XY
--
-= .
^
2
^
1 bb
()Tj
/F5 17.52 Tf
1 0 0 1 390.96 526.53 Tm ()å
å
å
å
=
÷
ø
öç
è
æ -
÷
ø
öç
è
æ -÷
ø
öç
è
æ -
=
-
--
22
^
2
..
i
ii
ii
iiii
x
yx
XX
YYXX
b
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 26
III – ESTIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE REGRESSÃO
2. PROCESSO DE ESTIMAÇÃO
q EXERCÍCIO: Encontrar a arrecadação tributária em função do produto interno bruto desta
economia:
Arrecadaçao Produto
(R$) (R$)
1 308,00 1.080,00
2 360,00 1.360,00
3 410,00 1.780,00
4 530,00 1.900,00
OBS
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Tema Identificação Página
FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 27
III – ESTIMAÇÃO DA FUNÇÃO DE REGRESSÃO
2. PROCESSO DE ESTIMAÇÃO
q EXERCÍCIO: Encontrar a função de arrecadação tributária a partir dos dados:
Arrecadaçao Produto Resultados Estimativa
(Y) (X) Y est Y - Yest (Y - Yest)
2
1 308,00 1.080,00 332.640,00 1.166.400,00 298,80 9,20 84,70
2 360,00 1.360,00 489.600,00 1.849.600,00 363,01 -3,01 9,07
3 410,00 1.780,00 729.800,00 3.168.400,00 459,34 -49,34 2.433,96
4 530,00 1.900,00 1.007.000,00 3.610.000,00 486,86 43,14 1.861,40
Soma 1.608,00 6.120,00 2.559.040,00 9.794.400,00 0,00 4.389,13
Média 402,00 1.530,00
(Soma X)2 37.454.400,00
(Som X).(Som Y) 9.840.960,00
b2 0,229
b1 51,109
EQUAÇÃO Y = 51,11 + 0,229.X
OBS (X.Y) X2
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 28
EXEMPLO DE ESTIMAÇÃO
q EXERCÍCIO (1): Encontrar a função de arrecadação tributária a partir dos dados:
IV –ESTIMAÇÃO NO INTERVALO
Plotagem de ajuste de linha
-
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
- 200,00 400,00 600,00 800,00 1.000,00 1.200,00 1.400,00 1.600,00 1.800,00 2.000,00
Renda (X)
C
on
su
m
o
(Y
)
Y
Y previsto
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15
Tema Identificação Página
FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 29
EXEMPLO DE ESTIMAÇÃO
q EXERCÍCIO (1): Encontrar a função de arrecadação tributária a partir dos dados:
IV –ESTIMAÇÃO NO INTERVALO
Variável RENDA: Plotagem de resíduos
-60
-40
-20
0
20
40
60
- 200,00 400,00 600,00 800,00 1.000,00 1.200,00 1.400,00 1.600,00 1.800,00 2.000,00
Renda (X)
R
es
íd
uo
s
Tema Identificação Página
FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 30
IV – AVALIAÇÃO DA FUNÇÃO DE REGRESSÃO
1. COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
q CONCEITO: medida indicativa de quão bem a reta de regressão da amostra se ajusta aos
dados
q CÁLCULO:
SQESQRSQT
YYYYYY
uyy
iiiiii
iii
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ -+÷
ø
ö
ç
è
æ -=÷
ø
ö
ç
è
æ -
+=
ååå
-- 2^2^2
^^
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16
Tema Identificação Página
FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 31
IV – AVALIAÇÃO DA FUNÇÃO DE REGRESSÃO
1. COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
q CÁLCULO:
Onde,
SQE : soma dos quadrados dos erros
SQR : soma dos quadrados da regressão
SQT : soma dos quadrados totais
q PROPRIEDADE: 0 R2 1
Se R2 = 1, então a regressão explica toda a variação de y
Se R2 = 0, então a regressão não explica a variação de y
SQT
SQER
SQT
SQR
SQT
SQE
SQT
SQR
SQT
SQT
SQESQRSQT
-==
+=
+=
12
Tema Identificação Página
FUNÇÃO DE REGRESSÃO AULA 5 32
REFERÊNCIAS
GUJARATI, D.N. (2000). Econometria básica. 3a. ed. São Paulo: Makron.
HOFFMANN, R. (1998). Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira.
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