3) Modelo de regressão simples

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Econometria I
Exercícios para revisão e autoteste
“Introdução à Econometria”, Jefrey M. Wooldridge (1 ao 10)
“Econometria”, Stock e Watson (11 e 12)
MODELO DE REGRESSÃO SIMPLES
1. Suponha que a nota de um exame final (nota) dependa da frequência às aulas (freq) e de fatores não observados que afetam o desempenho de estudantes (tal como aptidão). Então:
nota=βo + β1freq + u
Em que situação você esperaria que esse modelo satisfaça E(u|x)=E(u)=0?
2. No modelo de regressão linear simples y= βo + β1x + u, suponha que E(u) ≠ 0. Fazendo α0=E(u), mostre que o modelo pode sempre ser rescrito com a mesma inclinação, mas com um novo intercepto e erro, em que o novo erro tem um valor esperado zero.
3. A tabela seguinte contém as variáveis supGPA (nota média em curso superior nos Estados Unidos) com as notas hipotéticas de oito estudantes de curso superior. O GPA está baseada em uma escala de quatro pontos e foi arredondada para um digito após o ponto decimal. A nota ACT baseia-se em uma escala de 36 pontos e foi arredondada para um número inteiro.
	 Estudante
	supGPA
	ACT
	1
	2.8
	21
	2
	3.4
	24
	3
	3.0
	26
	4
	3.5
	27
	5
	3.6
	29
	6
	3.0
	25
	7
	2.7
	25
	8
	3.7
	30
a) Estime a relação entre GPA e ACT usando MQO: isto é, obtenha as estimativas de intercepto e de inclinação da equação	
 = 0 + 1act.
Comente a direção da relação. O intercepto tem uma interpretação útil aqui? Explique. Qual deveria ser o valor previsto do GPA se a nota ACT aumentasse em 5 pontos?
b) Calcule os valores estimados e os resíduos de cada observação e verifique que a soma dos resíduos é aproximadamente zero.
c) Qual é o vapor previsto do GPA quando ACT=20?
d) Quanto da variação do GPA dos 8 estudantes é explicada pelo ACT? Explique.
4. Seja filhos o número de filhos de uma mulher, e educ os anos de educação da mulher. Um modelo simples que relaciona a fertilidade a nos de educação é
 filhos = β0 + βieduc + u ,
em que u é um erro não observável.
a) Que tipos de fatores estão contidos em u? É provável que eles estejam correlacionados com o nível de educação?
b) Uma análise de regressão simples mostrará o efeito ceteris paribus da educação sobre fertilidade? Explique.
5. Suponha que você está interessado em estimar o efeito das horas gastas com um curso de preparo vestibular (horas) no total das notas do vestibular (SAT). A população são todos pré-universitários graduados no ensino médio em determinado ano.
a) Suponha que tenha sido dado uma subvenção para executar um experimento controlado. Explique como você estruturaria o experimento de forma a estimar o efeito casual de horas no SAT.
b) Considere o caso mais realístico em que os alunos decidem quanto tempo gastarão com um curso de preparação, e você só pode fazer amostragens aleatórias de SAT e horas da população. Escreva o modelo populacional da seguinte forma:
 SAT = β0 + β1horas = u,
em que, como sempre, num modelo com um intercepto, podemos assumir E(u)=0. Liste pelo menos dois fatores contidos na u. Existe a probabilidade de eles terem correlação negativa ou positiva com horas?
c) Na equação da parte b), qual deveria ser o sinal da β1 se o curso de preparação for eficaz?
d) Na equação da parte b), qual é a interpretação da β0?
6. Considere a função de poupança 
 poup= β0 + β1rend + u, u = . e,
em que e é uma variável aleatória com E(e)=0 e Var(e)= σe². Considere e independente de rend.
a) Mostre que E(u|rend)=0, de modo que a hipótese de média condicional zero é satisfeita.
b) Mostre que Var(u|rend)= σe²rend, de modo que a hipótese de homoscedasticidade é violada. Em particular, a variância de poup aumenta com rend.
c) Faça uma discussão que sustente a hipótese de que a variância da poupança aumenta com a renda da família.
7. Usando dados de casas vendidas em 1988 em Andover, Massuchusetts, a equação seguinte relaciona os preços das casas (preço) à distância de um incinerador de lixo recentemente construído (dist):
 = 9,40 + 0,312log(dist)
 n=135, R²=0,162.
a) Interprete o coeficiente de log(dist). O sinal dessa estimativa é o que você esperava?
b) Você considera que a regressão simples oferece um estimador não viesado da elasticidade ceteris paribus de preço em relação a dist? (pense sobre a decisão da cidade em localizar o incinerador)
c) Quais outros fatores relativos a casas afetam seu preço? Eles poderiam estar correlacionados coma distância do incinerador?
8. a) Sejam 0 e 1 intercepto e a inclinação da regressão de yi sobre xi, usando n observações. Sejam c1 e c2 constantes, com c2≠0. Sejam 0 e 1 o intercepto e a inclinação da regressão de c1y1 e c2x1. Mostre que 1= (c1/c2)0 e 0=c10.
 b) Agora, sejam 0 e 1 os parâmetros estimados da regressão de (c1 + yi) sobre (c2 + xi), sem qualquer restrição sobre c1 ou c2. Mostre que 1 =1 e 0=0 + c1 – c21.
 c) Agora, sejam 0 e 1 as estimativas de MQO da regressão de log(yi) sobre xi, para a qual devemos assumir yi > 0 para todo i. Para c1>0, sejam 0 e 1 o intercepto e a inclinação da regressão de log(c1yi) sobre xi. Mostre que 1 =1 e 0= log(c1) + 0 .
 d) Agora, assumindo que xi > 0 para todo i, sejam 0 e 1 o intercepto e a inclinação da regressão de yi sobre log(c2xi). Como 0 e 1 comparam-se com o intercepto e a inclinação da regressão de yi sobre log(xi)?
 
9. Na função de consumo linear 
 = 0 + 1rend,
a propensão marginal a consumir (PMgC) estimada é simplesmente a inclinação 1, ao passo que a propensão média a consumir (PmeC) é /rend = 0/rend + 1. Usando as observações de renda e consumo anuais de 100 famílias (ambas medidas em dólares), obteve-se a seguinte equação:
 = -124,84 + 0,853rend
 n=100 e R²=0,692.
a) Interprete o intercepto dessa equação e comente seu sinal e magnitude.
b) Qual é o consumo previsto quando a renda familiar é de US$ 30.000?
c) Com rend sobre o eixo de x1 desenhe um gráfico da PMgC e da PmeC estimadas.
10. Considere o modelo de regressão simples padrão y= β0 + β1x + u, sob as hipóteses de Gauss-Markov na regressão simples. Os estimadores usuais 0 e 1 não são viesados para seus respectivos parâmetros populacionais. Seja 1 o estimador obtido ao assumir que o intercepto é zero.
a) Encontre E(1) em termos de xi, β0 e β1. Verifique que 1 é não viesado quando o intercepto populacional é zero. Há outros casos em que esse estimador é não viesado?
b) Encontre a variância de 1.
c) Mostre que Var(1) ≤ Var(1).
d) Comente a relação entre viés e variância, ao escolher entre 1 e 1.
11. Suponha que um pesquisador, utilizando os dados sobre o tamanho da turma (TT) e a pontuação nos exames de 100 turmas do terceiro ano, estime a regressão de MQO,
		= 520,4 – 5,82TT, R²=0,08, EPR=11,5
 (20,4) (2,21)
a) Uma turma tem 22 alunos. Qual é a previsão da regressão para a pontuação média nos exames dessa turma?
b) No ano passado uma turma tinha 19 alunos e neste ano tem 23. Qual é a previsão da regressão para a variação na pontuação média nos exames da turma?
c) Construa um intervalo de confiança de 95% para o coeficiente de declividade da regressão.
d) Calcule o valor-p para o teste bicaudal da hipótese nula H0: β1 = 0. Você rejeita a hipótese nula ao nível de 5%? E ao nível de 1%?
e) A média da amostra do tamanho da turma entre as 100 turmas é 21,4. Qual é a média da amostra da pontuação nos exames entre as 100 turmas?
f) Qual é o desvio padrão da amostra da pontuação dos exames para as 100 turmas?
12. Mostre que a primeira hipótese dos mínimos quadrados, E(ui|Xi) = 0, implica que 
E(Yi|Xi)=β0 + β1Xi.
SOLUÇÕES
1. Quando a aptidão, motivação, idade e outros fatores em u não estiverem relacionados com a frequência, apreposição será válida. É pouco provável que esse seja o caso.
11. a) 392,36
 b) 23,28
 c) -10,152 < β1 < -1,4884
 d) valor-p = 0,0084., menor do que 0,01. Logo, podemos rejeitar a hipótese nula a 5% e 1% de significância.
 e) 395,85
 f) A variância da amostra é s²Y=131,8. Logo, o desvio é = 11,5.
12. E(Yi|Xi) = E(β0 + β1Xi + ui|Xi) = β0 + β1E(Xi|Xi) + E(ui|Xi) = β0 + β1Xi.