Fenômenos de Transporte - Parte 4 B (Transferência de calor)

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Fenômenos de transporte 
 
Parte B 
 
Segundo semestre de 2015 
1 
Fenômenos de Transporte: Parte B 
Transferência de Calor 
- Introdução 
- Resistência Térmica 
- Condução de calor unidimensional 
 Parede plana; 
 Configuração radial; 
 Configuração cilíndrica. 
- Transferência de calor por convecção nas 
configurações: 
 Parede plana; 
 Configuração radial; 
 Configuração cilíndrica. 
 
2 
Unidades de medida 
Medida S.I Inglês Métrico 
Tempo (t) Segundo (s) Segundo (s) Segundo (s) 
Comprimento (L) Metro (m) Pé (ft) Metro (m) 
Massa (M) Massa (kg) Libra-massa (lb) Quilograma (Kg) 
Temperatura (T) Kelvin (K) 
Tk=Tc+273,15 
Farenheit (°F) 
TF=1,8.Tc+32 
Celsius (°C) 
Força (F) Newton (N) 
F=m.a=Kg.m.s-2 
Libra-força (lbf) Kilograma-força 
(Kgf) 
Energia (E) Joule (J) 
E=F.dx=N.m 
Lbf.ft (BTU) Kgfm (kcal) 
Potencia (P) Watt (W(=J/s)) BTU/s Kcal/h 
3 
Condução de calor unidimensional em 
regime permanente – Lei de Fourier 
𝑞. = −𝐴𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
𝑞𝑥
" é o fluxo de calor por condução por unidade 
de área 
k é a condutividade térmica do material 
dT/dx é o gradiente de temperatura na direção x 
do fluxo de calor. 
 
Unidade de medida de k: 
Métrico: kcal/h.m.°C 
SI:W/m.K 
Inglês: BTU/h.ft.°F 
𝑞𝑥
" = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
4 
Coeficiente de condutividade térmica em 
condições normais de pressão e 
temperatura 
5 
Coeficiente de 
condutividade 
térmica em função 
da temperatura no 
SI para diferentes 
materiais 
6 
Lei de Fourier em regime permanente 
- Não há variação da quantidade de 
calor com o tempo; 
- A área de secção transversal é 
constante; 
- A condutividade térmica é um 
valor médio; 
Assim: 
𝑞′𝑑𝑥 = −𝑘𝐴𝑑𝑇 
7 
𝑞′ 𝑑𝑥
𝐿
0
= −𝑘𝐴 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
𝑞′ = −
𝑘𝐴
𝐿
∆𝑇 
8 
Exemplo 01 – Exercício 1.1 
Uma folha isolante extrudada rígida possui k=0,029 W/(m.K). A diferença de temperatura 
entre as superfícies da parede é de 10°C (T1-T2). A folha tem espessura de 20 mm. 
a) Qual o fluxo térmico através da folha isolante cuja as dimensões dos lados da seção 
transversal ao fluxo é de 2m x2m? 
b) Qual a taxa de transferência de calor através da folha de isolante? 
9 
• Exemplo 02 – Exercício 1.11 
Em um circuito integrado um chip quadrado de silício (k=150 W/(m.K)) com 
lados de 5 mm e espessura 1 mm, está termicamente isolado pelos lados e 
pela superfície inferior, a superfície superior está exposta a um fluido 
refrigerante. Se 4 W forem dissipados na superfície inferior do chip, qual a 
diferença de temperaturas das superfícies inferior e superior no estado 
estacionário? 
10 
Convecção: Fundamentos 
Lei Básica da convecção – Lei de resfriamento de 
Newton: 
𝑞′ = −𝑕𝐴𝑑𝑇 
 
q’ é a taxa de transferência de calor (W=J/s); 
A área de transferência de calor (m2); 
∆𝑇 diferença de temperatura entre a superfície de contato e o fluido (Ts-T∞) (K); 
h coeficiente convectivo (coeficiente de transferência de calor por convecção) ou 
coeficiente película (J/s.m2.K). 
 
A equação embora simples não explica o comportamento do 
coeficiente convectivo. 
11 
• Exemplo 03 – Exercício 1.13 
Com a superfície da mão a 30°C, determine o fluxo de calor por 
convecção para (a) uma velocidade de deslocamento de um 
veículo de 35 Km/h no ar a -5°C, com coeficiente convectivo de 
40W/(m2 K); (b) em uma corrente de água com velocidade de 0,2 
m/s com temperatura de 10°C, com coeficiente convectivo de 
900W/(m2 K). Qual condição faria sentir mais frio? 
12 
• Exemplo 04 – Exercício 1.18 
Em um circuito integrado um chip quadrado (k=200W/(m.K)) com lados de 5 mm 
e espessura 1 mm, está termicamente isolado pelos lados e na superfície inferior 
a superfície superior está exposta a um fluido refrigerante. O chip opera em 
condições isotérmicas. A temperatura do fluido refrigerante que escoa na 
superfície superior do chip é de T∞=15°C. A temperatura máxima na superfície 
superior do chip não pode ultrapassa a 85°C. 
Determine a máxima potência que poderá ser dissipada pelo circuito se: 
a) O líquido refrigerante for ar (h=200 W/m2K). 
b) O líquido refrigerante for um fluido dielétrico (h=3000 W/m2K). 
 
 
13 
Exemplo 05 
Um recipiente barato para alimentos e bebidas é 
fabricado de poliestireno (k=0,023 w/mK), com 
espessura de 25 mm e dimensões interiores de 
0,8mx0,6mx0,6m. Sob condições nas quais a 
temperatura da superfície internar é de 
aproximadamente 2°C e a da superfície externa de 
20°C. Qual o fluxo térmico através das paredes do 
recipiente? Considerando desprezível o ganho de 
calor pela base do recipiente de 0,8mx0,6m. Qual é 
a carga térmica total para as condições 
especificadas incluindo a tampa de mesmo 
material? 
14 
Exemplo 06 
Qual é a espessura requerida para uma parede 
de alvenaria com k=0,75w/m.k, se a taxa de 
calor deve ser 80% da de uma parede estrutural 
(k=0,25w/mK) cujo dx=100mm? A diferença de 
temperatura imposta nas duas paredes é a 
mesma. 
15 
Resistência térmica 
No caso da transferência de calor unidimensional sem 
geração de energia interna e com propriedades 
constantes podemos fazer a seguinte analogia: 
 
Da equação de Fourier temos: 
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝑞′𝑥
=
𝐿
𝐾𝐴
 
O lado esquerdo da Equação acima relaciona a força 
motriz 𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2 para o processo de transferência de 
calor e a respectiva taxa de transferência de calor. 
16 
A razão entre a força motriz e a taxa é 
conhecida como resistência térmica para a 
condução (𝑅𝑇,𝑐𝑜𝑛𝑑 ): 
 
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝑞′𝑥
=
𝐿
𝐾𝐴
≡ 𝑅𝑇,𝑐𝑜𝑛𝑑 
 
A analogia é em relação à condução de eletricidade que 
um material pode oferecer ou não resistência à 
condução dos elétrons (≡fônons de energia térmica); 
Pela lei de ohm  
𝐸𝑠,1;𝐸𝑠,2
𝐼
=
𝐿
𝜍𝐴
≡ 𝑅 
17 
• Assim para a condução podemos associar a 
um determinado material a sua resistência 
térmica à condução através da relação: 
𝑅𝑇,𝑐𝑜𝑛𝑑 ≡
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝑞′𝑥
=
𝐿
𝐾𝐴
 
Para fluidos na superfície da parede a lei do 
resfriamento de Newtons fica rearranjada para: 
𝑞 = 𝑕𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇∞) 
 
𝑅𝑇,𝑐𝑜𝑛𝑣 ≡
𝑇𝑠 − 𝑇∞
𝑞
=
1
𝑕𝐴
 
18 
A analogia com a condução de eletricidade facilita a solução 
de alguns problemas em fenômenos de transferência de 
calor. Podemos usar o conceito de circuitos em circuito 
térmico equivalente: 
a) Parede plana com 
convecção nas duas 
superfícies 
Como o fluxo de calor é 
constante: 
Pode-se representar cada 
meio material como um 
material resistivo térmico 
e por analogia fazer uma 
associação em série: 
19 
Assim podemos escrever o fluxo como: 
𝑞𝑥 =
𝑇∞,1 − 𝑇𝑠,1
1/𝑕1𝐴
=
𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2
𝐿/𝑘𝐴
=
𝑇𝑠,2 − 𝑇∞,2
1/𝑕2𝐴
 
A diferença de Temperatura total é: 
𝑇∞,1 − 𝑇∞,2 
Então: 𝑞𝑥 =
𝑇∞,1;𝑇∞,2
𝑅𝑇,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
Onde : RT,total é a resistência térmica equivalente do 
sistema em análise: 
𝑅𝑇,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
1
𝑕1𝐴
+
𝐿
𝐾𝐴
+
1
𝑕2𝐴
 
 20 
b) Parede composta: 
𝑞𝑥 =
𝑇∞,1 − 𝑇∞,4
 𝑅𝑇
 
RT é a resistência 
térmica de cada 
componente do 
sistema 
21 
Dois valores diferentes de 
RT são obtidos, o valor real 
da taxa de transferência 
estará compreendido entre 
estes dois valores; 
Quanto maior a diferença 
entre a condutividade 
térmica dos corpos em 
paralelo maior será a 
diferença entre as 
resistividades térmicas, no 
caso da figura, superior e 
inferior. 
22 
Resistencia de contato (R”T,c) 
𝑅"𝑇,𝑐 =
𝑇𝐴 − 𝑇𝐵
𝑞′′𝑥
 
23 
Em sistemas compostos é normal a solução de problemas de 
transferênciade calor em termos do coeficiente global de 
transferência de calor U: 
Onde U está relacionado ao fluxo de calor através da relação: 
 
𝑞𝑥 = 𝑈𝐴𝑑𝑇 
 
Onde: dT é a diferença global de temperatura; 
Da equação de fluxo de calor para parede composta: 𝑞𝑥 =
𝑇∞,1;𝑇∞,4
 𝑅𝑇
 
Temos que: 𝑈𝐴 = 1/𝑅𝑇,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
 
Ou: 𝑈 =
1
𝐴.𝑅𝑇,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
24 
Exemplo 07 
Uma parede de um forno é constituída de duas camadas 
uma com 0,20 m de espessura de tijolo refratário e outra 
de 0,13 m de espessura de tijolo isolante. A temperatura 
na superfície interna do refratário é de 1675°C e a 
temperatura na superfície externa do isolante é de 145°C. 
desprezando a resistência térmica das juntas de 
argamassa calcule: 
a) O calor perdido por unidade de tempo e por m2 de 
parede. 
b) A temperatura da interface refratário/isolante. 
Krefratário=1,2 kcal/hm°C e Kisolante=0,15 kcal/hm°C
 
 
25 
26 
Exemplo 08 
A base de concreto de um porão tem 11 m de comprimento, 
8 m de largura e 0,20 m de espessura. Durante o inverno, as 
temperaturas são normalmente de 10°C e 17°C em suas 
superfícies superior e inferior, respectivamente. Se o 
concreto tiver uma condutividade térmica de 1,4 W/(mK), 
qual é a taxa de perda de calor através da base? (4312 W). 
2. Uma câmara de congelador é um espaço cúbico de lado 
igual a 2 m. Considere que a sua base seja perfeitamente 
isolada. Qual é a espessura mínima de um isolamento à base 
de espuma de estireno (k = 0,030 W/(m.K)) que deve ser 
usada no topo e nas paredes laterais para garantir uma carga 
térmica menor do que 500 W, quando as superfícies interna 
e externa estiveram a -10 e 35°C? (0,054m) 
Exemplo 09 
Obtenha a equação para o fluxo de calor em uma parede 
plana na qual a condutividade térmica varia com a 
temperatura de acordo com a equação: 
K = a + b T 
27 
Condução de calor através de 
configurações radiais 
Temperaturas interna e externas constantes haverá transferência de calor em regime 
permanente. 
28 
A taxa de calor por unidade de área que atravessa a 
parede radial é dado pela Lei de Fourier: 
𝑞′ = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 
Com 
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 o gradiente de temperatura na direção radial. 
A área de configurações radiais é dado em função do raio 
e comprimento: A=2πrL 
 
Assim: 𝑞′ = −𝑘(2𝜋𝑟𝐿)
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 
Para as condições de contorno do problema 
rearranjamos a equação acima e integramos os dois lados 
da mesma: 
29 
𝑞′ = −𝑘(2𝜋𝑟𝐿)
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 
 
𝑞′ 
𝑑𝑟
𝑟
𝑟2
𝑟1
= −𝑘(2𝜋𝐿) 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
 
𝑞′ ln 𝑟 𝑟1
𝑟2 = −𝑘2𝜋𝐿 𝑇 𝑇1
𝑇2 
 
𝑞′ =
𝑘2𝜋𝐿
𝑙𝑛(𝑟2/𝑟1)
. (𝑇1 − 𝑇2) 
 
 
30 
Resistencia térmica em configurações radiais 
 
Por definição: a razão entre o potencial térmico e o fluxo de calor é a 
resistência térmica: 
𝑞′ =
𝑑𝑇
𝑅
 
 
𝑞′ =
𝑘2𝜋𝐿
𝑙𝑛(𝑟2/𝑟1)
. 𝑑𝑇 
1
𝑅
=
𝑘2𝜋𝐿
𝑙𝑛(𝑟2/𝑟1)
 
Então a resistência térmica em parede radiais será: 
 
𝑅 =
𝑙𝑛(𝑟2/𝑟1)
𝑘2𝜋𝐿
 
 
 
31 
Para configurações com associação em paralelo a solução de 
problemas será análoga às configurações planas modificando apenas 
a resistência térmica: 
 𝑞′ =
𝑑𝑇
𝑅
 com 𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 +⋯+ 𝑅𝑛 
 
 
A resistência convectiva 
permanece a mesma 
observe apenas a 
necessidade de modificar 
área de troca de calor. 
32 
Condução por convecção e configuração radial: 
Pela lei de resfriamento de Newton o fluxo de calor é: 
𝑞′ = 𝑕𝐴𝑑𝑇 
Então: 
𝑞′ = 𝑕(2𝜋𝑟𝐿)𝑑𝑇 
Sendo q’ , h (coeficiente convectivo), r o raio, e L o comprimento do tubo, 
por exemplo, então: 
 
𝑞′ = 𝑕(2𝜋𝑟𝐿) 𝑑𝑇
𝑇𝑠
𝑇∞
 
A Solução é: 
𝑞′ = 𝑕 2𝜋𝑟𝐿 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 
A resistência térmica será: 
𝑅𝑇,𝑐𝑜𝑛𝑣 =
𝑑𝑇
𝑞′
  
1
𝑅𝑇,𝑐𝑜𝑛𝑣
= 𝑕 2𝜋𝑟𝐿 𝑅𝑇,𝑐𝑜𝑛𝑣 =
1
ℎ 2𝜋𝑟𝐿
 
Atenção para o raio ele deve ser a medida do centro da configuração até a 
superfície onde há a troca de calor. 
A diferença de temperatura sempre obedece o sentido do fluxo de calor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Exemplo 10: 15,1 0,075 0,038 
 Um tubo de aço de 1,25 cm de espessura e 25 cm de 
diâmetro externo é utilizado para conduzir ar aquecido. O 
Tubo é isolado com 2 camadas de materiais isolantes: a 
primeira de isolante de alta temperatura com espessura de 
2,54 cm e a segunda com isolante térmico de 2 cm de 
espessura. Sabe-se que a temperatura na superfície interna 
do tubo é de 800°C e a temperatura na superfície externa é 
de 30°C. Determine: 
a) A taxa de transferência de calor por unidade de 
comprimento do tubo. 0,917 (q’=846,15w) 
b) Determine a temperatura na interface dos dois isolantes. 
469,7°C 
c) Compare a taxa de transferência de calor se houvesse a 
troca de posição dos dois isolantes. (o fluxo diminui 
resolvido na Turma B) 
 
34 
35 
Exemplo 11 
 Uma tubulação de cobre (K=400 W/mK) de diâmetro igual 
a 40 mm e espessura de 0,9 mm é usada para transportar 
água a 5°C para um trocador de calor. Considere que o 
coeficiente convectivo da água com a superfície interna do 
tubo é de 10 W/m2K. Em regime estacionário e para um 
comprimento unitário de tubo em um ambiente com ar a 
27 °C determine: 
a) A taxa de transferência de calor para o ambiente, 
considerando a temperatura externa do tubo como a 
mesma do ambiente. 
b) Qual deve ser a espessura de um isolante de fibra de 
vidro (k=0,036 W/mK) necessário para reduzir em 80% a 
taxa de transferência de calor? 
Esfera oca 
A lei de Fourier apropriada para essa configuração (fluxo 
de calor) é: 
𝑞′𝑟 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= −𝑘(4𝜋𝑟2)
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 
 Área normal à direção de transferência de calor  4𝜋𝑟2 
Limites da condução: r1 a r2 = espessura e dT T1 a T2 
𝑞′𝑟 
𝑑𝑟
𝑟2
𝑟2
𝑟1
= −𝑘(4𝜋) 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
𝑞′𝑟 𝑟
;2𝑑𝑟
𝑟2
𝑟1
= −𝑘(4𝜋) 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
 
36 
𝑞′𝑟 𝑟
;2𝑑𝑟
𝑟2
𝑟1
= −𝑘(4𝜋) 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
 
𝑞′ −𝑟;1 𝑟1
𝑟2 = −𝑘4𝜋 𝑇 𝑇1
𝑇2 
𝑞′𝑟 =
4𝜋𝑘(𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2)
1
𝑟1 −
1
𝑟2 
 
A resistência térmica será: 
 𝑅𝑇,𝑐𝑜𝑛𝑑 =
𝑑𝑇
𝑞′
  𝑞′𝑟 =
4𝜋𝑘(𝑇𝑠,1;𝑇𝑠,2)
1
𝑟1 ;
1
𝑟2 
 
1
𝑅𝑇,𝑐𝑜𝑛𝑑
=
4𝜋𝑘
1
𝑟1 ;
1
𝑟2 
  𝑅𝑇,𝑐𝑜𝑛𝑑 =
1
𝑟1 ;
1
𝑟2 
4𝜋𝑘
 
37 
Transferência por convecção e configuração esférica: 
Pela lei de resfriamento de Newton o fluxo de calor é: 
𝑞′ = 𝑕𝐴𝑑𝑇 
Então: 
𝑞′ = 𝑕(4𝜋𝑟2)𝑑𝑇 
Sendo q’ , h (coeficiente convectivo), r o raio, e L o comprimento do tubo, 
por exemplo, constantes, então: 
𝑞′ = 𝑕(4𝜋𝑟2) 𝑑𝑇
𝑇𝑠
𝑇∞
 
A Solução é: 
𝑞′ = 𝑕 4𝜋𝑟2 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 
A resistência térmica será: 
𝑅𝑇,𝑐𝑜𝑛𝑣 =
𝑑𝑇
𝑞′
  
1
𝑅𝑇,𝑐𝑜𝑛𝑣
= 𝑕 4𝜋𝑟2 𝑹𝑻,𝒄𝒐𝒏𝒗 =
𝟏
𝒉𝟒𝝅𝒓𝟐
 
 
Atenção para o raio ele deve ser a medida do centro da configuração até a 
superfície onde há a troca de calor. 
A diferença de temperatura sempre obedece o sentido do fluxo de calor. 
 
 
 
 
 
38 
Exemplo 12 
Um recipiente esférico metálico com parede delgada é usado para 
armazenar nitrogênio líquido a 77 K. O recipiente possui um diâmetro 
de 0,5m e é coberto por um isolante térmico refletivo, composto de 
sílica com vácuo nos interstícios. O isolante tem espessura de 0,25 m e 
sua superfície externa está exposta a uma temperatura de 300 K. O 
coeficiente convectivo do fluido externo é 20 W/m2.k. O calor latente 
de vaporização e a densidade do nitrogênio líquido são 2x105J/kg e 
804 kg/m3, respectivamente. 
a) Determine a taxa de transferência de calor para o nitrogênio 
líquido. 
b) Qual é a taxa de perda de líquido para o ambiente.Condições: 
• Regime estacionário; 
• Transferência de calor unidimensional na direção radial 
• Desprezar a transferência de calor na parede do recipiente e dessa 
para o líquido, parede delgada. 
• Propriedades constantes. 
• Troca térmica entre superfície externa do isolante e vizinhanças por 
radiação desprezível; 
• Há conservação de energia térmica: Eentra=Esai 39 
40 
Transferência de Calor em Superfícies 
estendidas 
 Até este pondo consideramos a transferência de 
calor através das fronteiras de um sólido na mesma 
direção do fluxo de calor. 
 Uma superfície estendida é extremamente 
importante em processos de transferência de calor pois 
permite aumentar a área de transferência de calor e 
consequentemente a eficiência de troca de calor entre 
uma superfície e um fluido refrigerante. 
 Diferente do que já analisamos em superfícies 
estendidas a transferência de calor é perpendicular ao 
sentido do fluxo de calor. 
 
41 
Comparação do fluxo de calor entre parede 
plana e superfície estendida: 
 
42 
Em geral, superfícies estendidas são utilizadas 
para aumentar a taxa de transferência de calor; 
Neste caso a superfície estendida é camada de 
aleta. 
Diversas configurações são possíveis: 
Trocadores de calor com tubos aletados: 
 
43 
Configurações de aletas: 
Aleta plana com 
seção transversal 
uniforme 
Aleta plana com 
seção transversal 
não-uniforme 
Aleta anular 
Aleta puntiforme 
44 
Condução de calor por aletas análise geral 
Em nossa análise iremos considerar que: 
Condições de regime estacionário de calor; 
Condutividade térmica constante; 
Radiação na superfície desprezível; 
Efeito de geração de calor ausente; 
Coeficiente de transferência de calor por convecção uniforme; 
Como há conservação de energia a equação de 
taxa de transferência de calor global pode ser 
escrita como: 
𝑞𝑥 = 𝑞𝑥:𝑑𝑥 + 𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 
45 
𝑞𝑥 = 𝑞𝑥:𝑑𝑥 + 𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 (Eq. 1) 
 
Para um elemento diferencial de sólido temos que: 
𝑞𝑥 = −𝑘𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 (Eq. 2) 
𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑕𝑑𝐴𝑠(𝑇 − 𝑇∞) (Eq. 3) 
 
 
 
46 
A taxa de transferência de calor no elemento 
de volume (x+dx) é: 
 
 𝑞𝑥:𝑑𝑥 = 𝑞𝑥 +
𝑑𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 
Então: 
𝑞𝑥:𝑑𝑥 = −𝑘𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
− 𝑘
𝑑
𝑑𝑥
𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑑𝑥 
 
Substituindo as equações de taxa de calor na equação de balanço de energia teremos: 
Eacu
 = Eentra-Esai+Eg 
 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
+
1
𝐴𝑡𝑟
𝑑𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑇
𝑑𝑥
− 
1
𝐴𝑡𝑟
𝑕
𝑘
𝑑𝐴𝑠
𝑑𝑥
𝑇 − 𝑇∞ = 0 
 
Forma geral da equação de energia para a superfície estendida. 
Sua solução necessita das condições de contorno definidas. 47 
A – transferência de calor por convecção na extremidade da aleta. 
B – despreza a perda de calor na extremidade da aleta , troca de energia nula portanto 
adiabática 
C – Temperatura na extremidade é especificada; 
D – Aleta longa 
48 
Valores de P e Atr=Ac para configurações com área de seção transversal uniforme 
49 
Exemplo 15: 
Um bastão de cobre (k=380 w/mK) com 100 mm 
de comprimento e 5 mm de diâmetro se estende 
horizontalmente a partir de uma solda a 200 °C. O 
bastão encontra-se em um ambiente com T∞=20 
°C e h=30W/m2K. 
Quais são as temperaturas no bastão a 25, 50 e 
100 mm da solda? 
 
25 mm= 195,56°C 
50 
A – transferência de calor por convecção na extremidade da aleta. 
B – despreza a perda de calor na extremidade da aleta , troca de energia nula portanto 
adiabática 
C – Temperatura na extremidade é especificada; 
D – Aleta longa 
P é o perímetro da superfície da base da aleta (superfície de contato da solda) 
51 
Exemplo 3: Solução 
O que é para determinar? Temperatura em 3 pontos distintos ao longo do 
comprimento da aleta. 
Conceitos envolvidos: A temperatura ao longo da aleta deve diminuir com o 
comprimento devido à perda de calor no sentido transversal ao fluxo de calor. 
A distribuição de temperatura ao longo da aleta de seção transversal uniforme 
(quando essa perde calor também pela extremidade) é dado pela relação: 
𝜃
𝜃𝑏
=
,cosh 𝑚 𝐿;𝑥 -:
ℎ
𝑚𝑘
,𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑚 𝐿;𝑥 - 
cosh 𝑚𝐿 :
ℎ
𝑚𝑘
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑚𝐿)
 
Onde: h é o coeficiente convectivo; L é o comprimento da aleta; x é o ponto 
em relação ao comprimento onde se deseja saber a temperatura; k é o 
coeficiente de condutividade térmica do material da aleta; 
𝜃 = 𝑇𝑥 − 𝑇∞ diferença de temperatura entre o fluido ao redor da 
 aleta e o ponto x. 
𝜃𝑏 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞ diferença de temperatura entre a base (Tb) da aleta e a 
 temperatura do fluido ao redor da mesma (Tx). 
𝑚 =
ℎ𝑃
𝑘𝐴𝑡𝑟
 m constante para uma aleta específica onde h é o 
 coeficiente convectivo do fluido; P é o perímetro da 
 ÁREA DA BASE DA ALETA; K é a condutividade térmica 
 do material da aleta; Atr é a AREA DE SEÇÃO 
 TRANSVERSAL DA ALETA. 
 
 
 
52 
Dados fornecidos pelo problema: 
k=380 W/mK h=30 W/m2K 
D=0,005 m L=0,1 m 
T∞=20°C Tb=200°C 
x1=0,025m x2=0,05m x3=0,1m 
 
Para a configuração da aleta temos que: 
𝑚 =
ℎ𝑃
𝑘𝐴𝑡𝑟
 com: 𝑃 =
2𝜋𝐷
2
= 𝜋𝐷 
 𝐴𝑡𝑟 =
𝜋𝐷2
4
 
Então: 
𝑚 =
ℎ𝑃
𝑘𝐴𝑡𝑟
= 
4ℎ
𝑘𝐷
= 
4 𝑥 30
380 𝑥 0,005
 =7,95m-1 
Temos também: 
𝑕
𝑚𝑘
=
30
380𝑥7,95
= 9,93x10;3 
 
 
 
53 
Para o ponto x2=0,025 
𝜃
𝜃𝑏
=
,cosh 7,95 0,1;0,025 -:9,93x10−3 ,𝑠𝑒𝑛ℎ 7,95 0,1;0,025 - 
cosh 7,95𝑥0,1 :9,93x10−3𝑠𝑒𝑛ℎ(7,95𝑥0,1)
 
𝜃
𝜃𝑏
=
cosh (0,596) + 9,93x10;3𝑠𝑒𝑛𝑕(0,596)
cosh (0,7950) + 9,93x10;3𝑠𝑒𝑛𝑕(0,7950)
 
𝜃
𝜃𝑏
=
1,183 + 9,93x10;3(0,632)
1,33 + 9,93x10;3(0,881)
=
1,183 + 6,275𝑥10;3
1,33 + 8,748𝑥10;3
 
𝜃
𝜃𝑏
=
1,18927
1,33875
= 0,88 
Como: 
𝜃𝑏 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞ = 200 − 20 = 180 
𝜃 = 𝑇𝑥 − 𝑇∞ = 𝑇𝑥 − 20 
Então: 
 𝑇𝑥 − 20 = 0,88 180 
𝑇𝑥 = 159,9 + 20 
𝑻𝒙 = 𝟏𝟕𝟗, 𝟗°𝑪 
54 
𝜃
𝜃𝑏
=
,cosh𝑚 𝐿;𝑥 -:
ℎ
𝑚𝑘
,𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑚 𝐿;𝑥 - 
cosh 𝑚𝐿 :
ℎ
𝑚𝑘
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑚𝐿)
 
Para o ponto x2=0,05 
𝜃
𝜃𝑏
=
,cosh 7,95 0,1;0,05 -:9,93x10−3 ,𝑠𝑒𝑛ℎ 7,95 0,1;0,05 - 
cosh 7,95𝑥0,1 :9,93x10−3𝑠𝑒𝑛ℎ(7,95𝑥0,1)
 
𝜃
𝜃𝑏
=
cosh (0,3975) + 9,93x10;3𝑠𝑒𝑛𝑕(0,3975)
cosh (0,7950) + 9,93x10;3𝑠𝑒𝑛𝑕(0,7950)
 
𝜃
𝜃𝑏
=
1,08 + 9,93x10;3(0,408)
1,33 + 9,93x10;3(0,881)
=
1,08405
1,33875
= 0,81 
Como: 
𝜃𝑏 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞ = 200 − 20 = 180 
𝜃 = 𝑇𝑥 − 𝑇∞ = 𝑇𝑥 − 20 
Então: 
𝑇𝑥 − 20 = 0,81 180 
𝑇𝑥 = 145,8 + 20 
𝑻𝒙 = 𝟏𝟔𝟓, 𝟖 °𝑪 
55 
Para o ponto x2=0,1 
𝜃
𝜃𝑏
=
,cosh 7,95(0,1;0,1)-:9,93x10−3 ,𝑠𝑒𝑛ℎ 7,95 0,1;0,1 - 
cosh 7,95𝑥0,1 :9,93x10−3𝑠𝑒𝑛ℎ(7,95𝑥0,1)
 
𝜃
𝜃𝑏
=
cosh (0) + 9,93x10;3𝑠𝑒𝑛𝑕(0)
cosh (0,7950) + 9,93x10;3𝑠𝑒𝑛𝑕(0,7950)
 
𝜃
𝜃𝑏
=
1,00 + 9,93x10;3(0)
1,33 + 9,93x10;3(0,881)
=
1,000
1,33875
= 0,74 
Como: 
𝜃𝑏 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞ = 200 − 20 = 180 
𝜃 = 𝑇𝑥 − 𝑇∞ = 𝑇𝑥 − 20 
Então: 
𝑇𝑥 − 20 = 0,74 180 
𝑇𝑥 = 134,4 + 20 
𝑻𝒙 = 𝟏𝟓𝟒, 𝟒 °𝑪 
56 
Desempenho das aletas 
Efetividade da aleta (𝜀𝑎): razão entre a taxa de 
transferência de calor da aleta e a taxa de 
transferência de calor sem a aleta. 
𝜀𝑎 =
𝑞𝑎
𝑕𝐴𝑡𝑟,𝑏𝑇𝑏
 
Onde 𝐴𝑡𝑟,𝑏 é a área de transferência de calor da 
base da aleta e Tb é a temperatura da base da 
aleta. 
 Quando a  2 justifica-se o uso de aletas 
 
57 
Considerando o caso de aleta infinita, teremos: 
𝑞′𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎 = 𝑀 = 𝜃𝑏 𝑕𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟 
Onde P é o perímetro da área de seção transversal da aleta. 
Assim: 
𝜺𝒂 =
𝑻𝒃 𝒉𝑷𝒌𝑨𝒕𝒓,𝒃
𝒉𝑨𝒕𝒓,𝒃𝑻𝒃
=
𝑷𝒌
𝒉𝑨𝒕𝒓,𝒃Observações: 
 a aumenta com o uso de materiais com  elevado; 
 a aumenta com o aumento da relação P/Atr,b; 
 Aletas devem ser usadas onde h é pequeno; 
 Para a  2  Pk/hAtr,b  4; 
 Não é necessário o uso de aletas muito longas pois para 
L=2,65/m obtém-se 99% da transferência de calor de uma 
aleta infinita (ver exemplo 3.8 do Incorpera, cap. 3, 4ªed) 
 
58 
a pode ser quantificado em termos de resistência térmica: 
Na aleta: 𝑞𝑎𝑙𝑒 =
𝑇𝑏
𝑅𝑡,𝑎𝑙𝑒
 
Na base exposta: 𝑞𝑏 =
𝑇𝑏
𝑅𝑡,𝑏
 
Então: 
𝜀𝑎 =
𝑞𝑎𝑙𝑒
𝑞𝑏
=
𝑅𝑡,𝑎𝑙𝑒
𝑅𝑡,𝑏
 
Eficiência da aleta (𝜂𝑎𝑙𝑒): é dada pela razão entre a taxa de 
transferência de calor através da aleta pela taxa ideal de transferência 
de calor através da aleta para toda a superfície da aleta a temperatura 
da base. 
𝜂𝑎𝑙𝑒 =
𝑞𝑎𝑙𝑒
𝑕𝐴𝑎𝑙𝑒(𝑇𝑏−𝑇∞)
 
Onde Aale é a área da superfície externa da aleta e Tb a temperatura da base 
(não haveria diferencial de temperatura com o comprimento da aleta). 
𝑅𝑡𝑒𝑟𝑚 =
𝑑𝑇
𝑞
 
59 
 Para aleta plana, seção uniforme e extremidade adiabática 
tr b tr
a 2 2
b
hP A hP A tanhmL
tanhmL
hPL Lh P
  
  

a
2 2
trtr
1 tanhmL 1 tanhmL
L LhPh P
AhP A
  

a
tanhmL
mL
 
Então 
𝜃𝑏 = (𝑇𝑏 − 𝑇∞) 
60 
Um artifício utilizado para se trabalhar com a equação da aleta com 
convecção desprezível no topo, que é mais simples, consiste em se 
trabalhar com um comprimento adicional da aleta (Lc) de forma a 
compensar a convecção desprezada no topo, ou seja: 
c
c
L L t / 2
L L D/ 4
 
 
para aleta retangular 
para aleta puntiforme 
T é a espessura e D é o diâmetro 
Assim: 𝑞𝑎 = 𝜃𝑏 𝑕𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟,𝑏 tan 𝑕𝑚𝐿𝑐 
 
𝜂𝑎 =
tan 𝑕𝑚𝐿𝑐
𝑚𝐿𝑐
 
Erros associados a essa aproximação são desprezíveis se 
61 
Para uma aleta retangular com a largura w muito maior que a altura t 
o perímetro pode ser aproximado por P=2w e: 
multiplicando o numerador e o denominador por Lc
1/2 e introduzindo 
uma área corrigida do perfil da aleta Ap=Lc.t, resulta: 
c c c c
tr
hP h2w 2h
mL L L L
A wt t
  
  
62 
Tabela 3.5- Relação 
da Eficiência da 
aleta (𝜂𝑎𝑙𝑒 = 𝜂𝑓) 
para algumas 
geometrias 
comuns, Incropera. 
63 
Exemplo 4: 
Uma aleta plana fabricada com liga de alumínio 
2024 (k=185 W/mK) tem uma espessura na base de 
3mm e um comprimento de 15 mm. Sua 
temperatura na base é de Tb=100°C e ela está 
exposta a um fluido no qual T∞= 20°C e h=50 
W/m2K. Para as condições dadas e uma aleta de 
largura unitária, compare a taxa de transferência de 
calor na aleta e a eficiência para os perfis 
retangular, triangular e parabólico. 
 
64 
Hipóteses: 1 – regime permanente; 2 condução unidimensional; 3 – propriedades 
constantes; 4 – Radiação desprezível; 5 coeficiente convectivo constante ao redor da aleta. 
Dados: Aleta de base retangular de alumínio 2021 KAl = 185 W/mK 
 Espessura na base, = t = 3mm = 0,003m 
 Comprimento, L= 15 mm= 0,015m. 
 Temperatura na base, Tb=100°C 
 fluido com T∞= 20°C e h=50 W/m
2K. 
 largura unitária w= 1 m 
Compare a taxa de transferência de calor na aleta e a eficiência para os perfis retangular, 
triangular e parabólico. 
Solução: 
Sabe-se que a eficiência de uma aleta é dada por: 
𝜂𝑎𝑙𝑒 =
𝑞𝑎𝑙𝑒
𝑕𝐴𝑎𝑙𝑒(𝑇𝑏−𝑇∞)
 
Onde: 𝒉𝑨𝒂𝒍𝒆𝑻𝒃 é a taxa transferência ideal, caso não houvesse dT ao longo da aleta. 
Assim pode-se: 
i) Calcular qale 
 usando a relação:𝑞𝑎𝑙𝑒 = 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑕𝐴𝑎𝑙𝑒(𝑇𝑏−𝑇∞) 
ii) A eficiência 𝜂𝑎𝑙𝑒 para uma configuração conhecida pode ser obtida através da Tabela 3.5 
mostrada a seguir. 
iii) Poderia ser calculado qale se conhecermos a relação de taxa para a geometria dada e 
depois calcular a eficiência. 
Por facilidade vamos usar os passos ii e i. 
 
65 
 
66 
Para aleta retangular : 
𝜂𝑎𝑙𝑒 depende do fator m dado por: 𝑚 =
ℎ𝑃
𝐾𝐴𝑡𝑟
 ; 
como a largura da aleta de base retangular, w, é muito maior que a espessura o 
perimetro pode ser dado por P=2w+2t=2w, (w>>t), e sendo Atr=w.t, assim: 
 𝑚 =
2ℎ
𝐾𝑡
 =
2 𝑥 50
185 𝑥 0,003
= 13,4 𝑚;1 
𝑚𝐿 = 13,4 𝑥 0,015 ≅ 0,201 𝑜𝑢 𝑚𝐿𝑐 = 13,4 𝑥 0,015 +
0,003
2
= 0,221 
A eficiência da aleta é: 
𝜂𝑓 =
tanh 𝑚𝐿𝑐
𝑚𝐿𝑐
= 
0,218
0,222
= 0,982 ~ 98,2% 
 𝐴𝑎𝑙𝑒 = 𝐴𝑓 = 2𝑤𝐿𝑐 = 2 𝑥 1 𝑥 0,015 +
0,003
2
= 0,033𝑚2 
A taxa de transferência de calor é: 
𝑞′ = 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑕𝐴𝑎𝑙𝑒𝑇𝑏 = 0,982 x 50 x 0,033 x 100 − 20 = 129,6 W/m 
 
 
 
 
 
67 
Para aleta Triangular: 
𝜂𝑎𝑙𝑒 depende do fator m dado por: 𝑚 =
ℎ𝑃
𝐾𝐴𝑡𝑟
 ; 
como a largura da aleta de base retangular, w, é muito maior que a espessura o 
perimetro pode ser dado por P=2w+2t=2w, (w>>t), e sendo Atr=w.t, assim: 
 𝑚 =
2ℎ
𝐾𝑡
 =
2 𝑥 50
185 𝑥 0,003
= 13,4 𝑚;1 
𝑚𝐿 = 13,4 𝑥 0,015 ≅ 0,201 𝑜𝑢 𝑚𝐿𝑐 = 13,4 𝑥 0,015 +
0,003
2
= 0,221 
A eficiência da aleta é: 
𝜂𝑓 =
1
𝑚
𝐼1tanh 𝑚𝐿𝑐
𝐼0𝑚𝐿𝑐
= 
0,205
(0,201)0,222
= 0,978 ~ 97,8% 
 
𝐴𝑎𝑙𝑒 = 𝐴𝑓 = 2 𝐿
2 + 𝑡 2 2 1
/2 = 0,030𝑚2 
A taxa de transferência de calor é: 
𝑞′ = 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑕𝐴𝑎𝑙𝑒𝑇𝑏 = 0,978 x 50 x 0,030 x 100 − 20 = 117,3 W/m 
 
 
 
 
 
68 
Para aleta Parabólica: 
𝜂𝑎𝑙𝑒 depende do fator m dado por: 𝑚 =
ℎ𝑃
𝐾𝐴𝑡𝑟
 ; 
como a largura da aleta de base retangular, w, é muito maior que a espessura o 
perimetro pode ser dado por P=2w+2t=2w, (w>>t), e sendo Atr=w.t, assim: 
 𝑚 =
2ℎ
𝐾𝑡
 =
2 𝑥 50
185 𝑥 0,003
= 13,4 𝑚;1 
𝑚𝐿 = 13,4 𝑥 0,015 ≅ 0,201 𝑜𝑢 𝑚𝐿𝑐 = 13,4 𝑥 0,015 +
0,003
2
= 0,221 
A eficiência da aleta é: 
𝜂𝑓 = 0,963 ~ 96,3% 
 
𝐴𝑎𝑙𝑒 = 𝐴𝑓 = 0,030𝑚
2 
A taxa de transferência de calor é: 
𝑞′ = 𝜂𝑎𝑙𝑒𝑕𝐴𝑎𝑙𝑒𝑇𝑏 = 0,963 x 50 x 0,030 x 100 − 20 = 115,6 W/m 
 
 
 
 
 
69 
Convecção: Fundamentos 
Lei Básica da convecção – Lei de resfriamento de 
Newton: 
𝑞′ = 𝑕𝐴𝑑𝑇 
 
q’ é a taxa de de transferência de calor) (W=J/s); 
A área de transferência de calor (m2); 
∆𝑇 diferença de temperatura entre a superfície de contato e o fluido (Ts-T∞) (K); 
h coeficiente convectivo (coeficiente de transferência de calor por convecção) ou 
coeficiente película (J/s.m2.K). 
 
A equação embora simples não explica o comportamento do 
coeficiente convectivo. 
70 
O coeficiente película é uma função complexa que 
depende: 
- Escoamento do fluido; 
- Propriedades físicas do fluido: densidade, viscosidade, 
condutividade térmica e calor específico; 
- Da geometria do sistema; 
 
Em relação ao ESCOAMENTO DO FLUIDO: 
- Pode ser laminar ou turbulento 
 
 
Fluxo livre 
Camada limite 
hidrodinâmica 
Camada limite hidrodinâmica: 
 
- Variação de velocidade (u) do 
escoamento do fluido nas 
proximidades da superfície; 
- Variação de velocidade e u 0 
nas proximidades da superficie 
devido à viscosidade. 71 
A camada limite térmica é caracterizada pela existência 
de um diferencial de temperatura entre o fluido 
contido na camada limite hidrodinâmica. 
 
 
 
 
Para haver transferência de calor por convecção entre o 
fluido e a superfície é necessário: 
 Gradiente de temperatura (camada limite térmica) 
 Região de baixa velocidade (camada limite 
hidrodinâmica): sempre ocorre em escoamento de 
fluidos 
 
72 
No caso da condução de calor através da camada limite temos duas regiões: 
1 – região de baixa velocidade : condução é predominante (fluido 
estacionário); 
2 – região de alta velocidade: convecção mistura entre massa de fluido demaior temperatura com fluido de menor temperatura. 
 
Assim podemos considerar o fluido próximo à superfície 
(camada limite térmica) como uma parede sólida 
(hipótese). Com isso: 
 
O fluxo de calor é: 𝑞′ =
𝑘𝑡𝐴
𝛿𝑡
(𝑇𝑠 − 𝑇∞) 
 
Com 𝛿𝑡 a espessura da camada limite térmica  onde prevalece 
a condução. 
 
 
73 
Na região onde há variação de velocidade (transferência de 
calor por troca de massa de fluidos) prevalece a convecção: 
𝑞′ = 𝑕𝐴 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 
Igualando as equação de troca de calor para a camada 
hidrodinâmica: 
𝑘𝑡𝐴
𝛿𝑡
(𝑇𝑠 − 𝑇∞) = 𝑕𝐴 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 
𝑕 =
𝑘𝑡
𝛿𝑡
 
 
O coeficiente convectivo ou película é inversamente 
proporcional à espessura da camada limite térmica o que 
justifica o aumento da velocidade de escoamento para melhorar 
a eficiência de troca de calor. 
74 
Coeficiente convectivo local e médio 
 
 
 
 
 
Considerando uniforme a temperatura na superfície e havendo 
𝑇𝑠 ≠ 𝑇∞ ocorrerá transferência de calor por convecção: 
A taxa de transferência de calor pode ser obtida pela integração do 
fluxo de calor ao longo de toda a superfície: 
𝑞 = 𝑞"𝑑𝐴 𝑠 
Então podemos escrever a lei de resfriamento de Newton como: 
𝑞 = 𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝑕𝑑𝐴s 
h pode variar em função da área, então: 
 
 
 
75 
Define-se um valor médio do coeficiente convectivo: 𝑕 
A taxa total por convecção fica: 
𝑞 = 𝑕 𝐴𝑠(𝑇𝑠 − 𝑇∞) 
Igualando as equações de convecção: 
𝑇𝑠 − 𝑇∞ 𝑕𝑑𝐴 s = 𝑕 𝐴𝑠(𝑇𝑠 − 𝑇∞) 
𝑕 =
1
𝐴𝑠
 𝑕𝑑𝐴 s 
Para uma placa plana podemos simplificar a equação 
anterior (h irá varia apenas com a distância da 
extremidade até L) assim o comprimento da extremidade 
é constante: 
𝑕 =
1
𝐿
 𝑕𝑑𝑥 → 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 0 𝑎 𝐿. 
 
 
 
76 
Determinação do coeficiente de película ou convectivo: 
As variáveis associadas à transferência de calor por 
convecção são: 
1) Dimensão de troca de calor Dtr; 
2) Propriedades física do fluido: 
 viscosidade 𝜇, massa específica 𝜌, calor 
 específico cp; condutividade térmica k; coeficiente 
de expansão volumétrica 𝜏. 
3) Estado de movimento do fluido: 
Velocidade u; aceleração da gravidade g; diferença de 
temperatura ∆𝑇. 
 
Então, h é uma função complexa do forma: 
 
𝑕 = 𝑓(𝐷𝑡𝑟 , 𝜇, 𝑐𝑝, 𝜌, 𝜏, 𝑢, 𝑔, ∆𝑇) ????? Muitas variáveis 
77 
A transferência de calor por convecção é um processo complexo devido às 
variáveis envolvidas no coeficiente película ou coeficiente convectivo h. 
Assim são feitas condições de contorno e uso de equações empíricas 
adimensionais para determinação do coeficiente convectivo: 
Equações adimensionais em transferência de calor: 
Numero de Nusselt(Nu): representa a relação entre o fluxo de calor por 
convecção e o fluxo de calor por condução no próprio fluido. 
𝑁𝑢 =
𝑕𝑙
𝐾
 
Número de Prandtl(Pr): envolve apenas propriedades do fluido e 
representa a razão entre a difusão de quantidade de movimento e a 
difusão de calor. 
𝑃𝑟 =
𝕧
𝑎
 
Número de Grashof(Gr): inter-relaciona as forças de empuxo provocadas 
por efeito térmico e as forças viscosas. Tem a mesma função do numero de 
Reynolds para a convecção forçada. 
𝐺𝑟 =
𝑔𝛽∆𝑇𝐿3
𝑣2
 
 
 
 
78 
Número de Reynolds: é resultante da razão entre as 
forças de inércia, que tendem a manter o 
movimento, e as forças viscosas que tendem a 
impedir o movimento. 
Ele mede o regime de escoamento através de um 
valor crítico que separa o escoamento: 
- Laminar: amortecimento das perturbações por 
prevalecimento das forças viscosas; do 
- Turbulento: em que prevalece as forças de inércia 
que amplificam as perturbações introduzindo o 
modelo caótico de escoamento. 
 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢𝐿
𝜇
 
 
79 
A determinação de h é feita através de casos particulares 
usando equações empíricas e análise dimensional. 
Para convecção forçada regime laminar a equação é: 
𝑁𝑢 = 𝑓 𝑅𝑒, 𝑃𝑟 
Onde: 
Nu é denominada de Número de Nusselt 
𝑁𝑢 =
𝑕𝐷
𝑘
 
Re é o número de Reynolds 
𝑹𝒆 =
𝑫𝒖𝝆
𝝁
 
Pr é o número de Prandtl 
𝑷𝒓 =
𝒄𝒑𝝁
𝒌
 
 
D diâmetro 
 
Regime turbulento: 
𝑁𝑢 = 0,023. 𝑅𝑒0,8. 𝑃𝑟𝑛 
Onde: 
n=0,3 para fluido resfriando 
n=0,4 para fluido aquecendo 
80 
Para convecção Natural a equação é: 
 
𝑁𝑢 = 𝑓 𝐺𝑟, 𝑃𝑟 
Onde: 
Nu é denominada de Número de Nusselt 
𝑁𝑢 =
ℎ𝐷
𝑘
 (para configuração radial); 𝑁𝑢 =
ℎ𝐿
𝑘
 (para configuração plana) 
L comprimento da superfície 
Pr é o número de Prandlt 
𝑷𝒓 =
𝒄𝒑𝝁
𝒌
 
Gr é o número de Grashof 
Gr=
𝑫𝟑𝝉.𝒈.∆𝑻
𝝁𝟐
 
 
D diâmetro 
 
81 
Exemplo 13 
O coeficiente de transferência de calor por convecção local é 
dado pela relação: 
𝑕𝑥 𝑥 = a𝑥
;0,1 
Onde a é um coeficiente (W/m1,9K) e x(m) é a distância da aresta 
frontal da placa. 
Encontre uma expressão para a razão entre o coeficiente de 
transferência de calor médio em uma placa de comprimento x e 
o coeficiente de transferência de calor local hx em x. 
 
 
82 
Exemplo 17: 
Em uma placa plana de 150 x 100 mm, 
eletricamente aquecida, a máxima temperatura no 
centro da placa é 135°C. Para este caso específico o 
número de Grashof é 2,2x107 e o número de 
Prandtl é 0,7. Sabe-se que a equação empírica para 
convecção natural em uma placa plana é: 
Nu=0,555.Gr1/4.Pr1/4 
Calcule o fluxo de calor, para ambos os lados da 
placa, para o ar atmosférico sabendo que kar=0,026 
Kcal/hm°C, considere a temperatura do ar como 
sendo de 25°C. 
 
83 
O coeficiente película é dado pela relação de Nusselt: 
Nu=0,555.Gr1/4.Pr1/4=
ℎ𝐿
𝐾
  placa plana 
Portanto: 
𝑕 =
0,555. 2,2𝑥107
1
4. 0,7
1
4 . 0,026𝑥103
0,10
 
𝑕 =
34,60 .0,026𝑥103
0,10
=
0,899𝑥103
0,10
= 8,99𝑥103𝑐𝑎𝑙/𝑕𝑚2°C 
O fluxo de calor será obtido pela lei de resfriamento de Newton: 
𝑞 = 𝑕. 𝐴. 𝑇𝑠 − 𝑇∞ ; como o problema pede para os dois lados da placa: 
𝑞 = 𝑕. 2𝐴. 𝑇𝑠 − 𝑇∞  𝑞 = 8,99𝑥103. 2. (0,1𝑥0,15).(135-25) 
𝑞 =29,67x103 cal/h=~124,01 kJ/h 
 
0,15m 
q' 
q' 
0,10m 
Escoamento Ts= 135°C; 
T∞= 25°C 
Gr = 2,2x107 
Pr = 0,7 
kar=0,026 Kcal/hm°C 
84 
Um tubo de latão (k=101 W/mK) de diâmetro igual a 200 mm 
e espessura de 5 mm é usados para aquecer um fluido em 
150°C, que escoa em regime laminar em seu interior. Para tal 
aquecimento uma convecção forçada é desenvolvida no 
exterior do tubo e a relação adimensional do número de 
Nusselt para esse problema pode ser aproximada por: 
𝑁𝑢 = 0,023. 𝑅𝑒0,8. 𝑃𝑟0,3 
Sabendo que Re é de 580 e que Pr é 9, Determine: 
a) o calor necessário para manter a temperatura na parede 
interna de um tubo unitário em 150°C. assuma que ar 
aquecido a 400°C escoa na superfície externa e o 
coeficiente de condutividade é de 0,15w/mK. 
 
b) Caso o tubo fosse envolvido com uma folha de cobre de 5 
mm qual seria calor necessário? 
 
 85 
Fenômenos de Transporte 
 
Trocadores de Calor 
Para o exemplo anterior considere que o tubo seja 
de cobre com 32 mm de diâmetro externo e 
espessura ideal. Assumindo que o tubo passe 10 
vezes pelo trocador de calor TC-1-2 determine a 
taxa de transferência de calor para um caso unitário 
quando: 
a) A corrente for paralela. 
b) A corrente for oposta. 
O fluido do tubo é óleo cujo o coeficiente 
convectivo é 32 W/m2k. E o fluido externo é vapor 
de água com coeficiente convectivo de 60 W/m2k. 
Trocadores de calor 
• equipamentos usados no processo de troca de 
calor entre dois fluidos que estão em 
diferentes temperaturas e separados por 
uma parede sólida. 
• Estão presentes em diversas aplicações da 
engenharia. 
• São usados em: aquecedores,resfriadores, 
condensadores, evaporadores, torres de 
refrigeração, caldeiras, entre outras. 
Tipos de trocadores de calor 
- Fluidos são separados por parede através da 
qual o calor atravessa. 
a) Duplo Tubo 
 
São formados por dois tubos concêntricos, pelo interior do tubo 
interno passa um fluido e, no espaço entre as superfícies externa do 
primeiro e interna do segundo, passa o outro fluido. A área de troca 
de calor é a área do tubo interior. 
 
• Vantagens: é simples, tem custo reduzido 
e facilidade de desmontagem para limpeza e 
manutenção. 
• Desvantagem: pequena área de troca de calor 
. 
 Duplo Tubo 
http://www.metalica.com.br/images/stories/Id3728/trocadores-de-calor-01.jpg 
b) Trocador do tipo serpentina 
 
• São formados por um tubo 
enrolado na forma de 
espiral, formando a 
serpentina, a qual é 
colocada em uma carcaça ou 
recipiente. 
• A área de troca de calor é área 
da serpentina. 
• permite maior área de troca 
de calor que o duplo tubo e 
tem grande flexibilidade de 
aplicação 
• usado principalmente quando 
se quer aquecer ou resfriar um 
banho. 
 
 
http://wwwusers.rdc.puc-rio.br/wbraga/transcal/Trocadores/Trocs13.htm 
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&docid=Cc
x8Q4_yx5M87M&tbnid=MqO_Bh7XffbvhM:&ved=0CAMQjhw&url=http%3A%2F%2Fsuperatomic
os.blogspot.com%2F2010%2F04%2Ftrocador-de-calor-modelo-
serpentina.html&ei=LLmwUcySMZHF4AOM84DAAg&psig=AFQjCNFPR5x3TKpcOO4K9T-
dpNAUWFKwaw&ust=1370622319577281 
c) Trocador Multitubular 
São formados por um feixe de tubos paralelos contidos em um 
tubulação cilíndrico denominado de casco. 
 
 
 
 
 
 
Um dos fluidos (fluido dos tubos ) escoa pelo interior dos 
tubos, enquanto que o outro (fluido do casco ) escoa por 
fora dos tubos e dentro do casco. 
Defletores (ou chicanas) são normalmente 
utilizados para aumentar o coeficiente 
convectivo do fluido do casco pelo aumento 
da turbulência e da velocidade de escoamento 
deste fluido. 
http://www.hrs-heatexchangers.com/pt/galeria/image.aspx?img=mi-series%2Fmi-
series-header-detail.jpg 
http://rotadosconcursos.com.br/provas/tecnico-area-operacoes-5243/11 
Trocador de Calor casco e tubos com um passe 
no casco e um passe nos tubos (Contracorrente). 
Feixe tubular com tubos 
(alto rendimento térmico) 
http://www.demec.ufmg.br/disciplinas/ema003/trocador/cascotub.htm 
Trocador de Calor casco e tubos 
 
a - Um passe no casco e dois passes nos tubos. 
b - Dois passes no casco e quatro passes nos tubos. 
Trocadores do tipo casco-tubos, são os mais 
usados na indústria porque oferecem uma 
grande área de troca de calor se um dos 
fluidos do trocador condensa ou evapora, 
o trocador é também denominado condensador 
ou evaporador, respectivamente 
d) Trocadores de calor compactos 
– Quando um trocador de calor tem uma densidade de área 
superficial superior a 700 m2/m3 para gases e 400 m2/m3 para 
líquidos e chamado de trocador de calor compacto. 
– Estes trocadores são normalmente empregados com 
correntes gasosas, seu coeficiente de troca de calor é baixo, 
mais são pequenos e compactos. 
– Apresentam densas matrizes de tubos aletados ou placas e 
são tipicamente usados quando pelo menos um dos fluidos é 
um gás. Os tubos podem ser planos ou circulares. 
 
 
 
ALGUMAS DEFINIÇÕES 
• Um fluido dá um passe quando percorre uma vez o comprimento 
do trocador. 
• Aumentando o número de passes, para a mesma área transversal 
do trocador, aumenta a velocidade do fluido e portanto o 
coeficiente convectivo, com o consequente aumento da troca de 
calor. Porém, isto dificulta a construção e limpeza e encarece o 
trocador. 
• A notação utilizada para designar os números de passes de cada 
fluido é exemplificada na figura abaixo. 
ALGUMAS DEFINIÇÕES 
Tipo de escoamento relativo dos fluidos do casco e dos tubos: 
 
 
 
 
 
 
 
Escoamento em correntes paralelas (fluidos escoam no mesmo 
sentido ) e correntes opostas ( fluidos escoam em sentidos opostos) 
Para cada um do casos de escoamento relativo a variação da 
temperatura de cada um dos fluidos ao longo do comprimento do 
trocador pode ser representada em gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As diferenças de temperatura entre os fluidos nas extremidades do trocador, 
para o caso de correntes paralelas, são: ( te - Te) que é sempre máxima (ΔTmax) 
e (ts-Ts) que é sempre mínima (ΔTmin ). 
No caso de correntes opostas, as diferenças de temperatura nas extremidades 
(te– Ts) e (ts - Te) podem ser máxima (ΔTmax) ou mínima (ΔTmin) dependendo 
das condições específicas de cada caso. 
O fluxo de calor transferido entre os fluidos em 
um trocador é diretamente proporcional à 
diferença de temperatura média entre os fluidos. 
 
No trocador de calor de correntes opostas a 
diferença de temperatura entre os fluidos 
não varia tanto, o que acarreta em uma 
diferença média maior . Como consequência, 
mantidas as mesmas condições, o trocador 
de calor trabalhando em correntes opostas é mais 
eficiente. 
 
MÉDIA LOGARÍTMICA DAS DIFERENÇAS DE TEMPERATURAS 
Como a variação de temperatura ao longo 
do trocador não é linear , para retratar a 
diferença média de temperatura entre os 
fluidos é usada então a Média Logarítmica 
das Diferenças de Temperatura (MLDT) 
 
 
Exemplo 1 - Num trocador de calorTC-1.1 onde o fluido quente 
entra a 900°C e sai a 600°C e o fluido frio entra a 100°C e sai a 
500°C, qual o MLDT para : 
a) correntes paralelas; 
b) correntes opostas. 
BALANÇO TÉRMICO EM TROCADORES DE CALOR 
 
Fazendo um balanço de energia em um trocador de 
calor, considerado como um sistema adiabático, temos : 
Calor transferido do fluido quente = calor recebido pelo fluido frio 
−𝑞𝑡𝑟𝑎𝑠 = 𝑞𝑟𝑒𝑐 
− 𝑚. 𝑐𝑝 𝑡𝑠 − 𝑡𝑒 = 𝑀. 𝑐𝑝 𝑇𝑠 − 𝑇𝑒 
Se um dos fluido sofre transformação de estado, então o calor é dado pelo 
calor latente de transformação (Htrasformação) , e não haverá variação de 
temperatura. 
 
𝑞 = 𝑚.𝐻𝑡𝑟𝑎𝑠𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
Consideremos a transferência de calor entre os fluidos do casco 
e dos tubos nos feixes de tubos de um trocador multitubular. 
 
 
 
 
 
 
 
O calor trocado entre os fluidos através das superfícies dos tubos 
pode ser obtido considerando as resistências térmicas : 
Como em um trocador de 
calor a resistência térmica na 
parede do tubo é desprezível 
então 
Como o objetivo do equipamento é facilitar a 
troca de calor, os tubos metálicos usados são 
de parede fina (ri≅re). Portanto, as áreas 
da superfícies interna e externa dos 
tubos são aproximadamente iguais, ou seja, 
Ai≅Ae. Assim, temos que : 
O coeficiente global de transferência de calor em um trocador ( UC) 
é definido como: 
 
 
 
 
A expressão para a transferência de calor em um 
trocador fica: 
 
 
 
Como visto anteriormente, o ∆T em um trocador de calor 
é representado pela média logarítmica das diferenças de 
temperatura (MLDT). 
Fenômenos de Transporte 
 
- Transferência de calor em regime transiente 
2° Semestre de 2015 
 
Equação da difusão de calorO fluxo de calor é dado pela relação de 
Fourier: 
𝑞" = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
O fluxo de calor é uma grandeza direcional 
sempre normal à uma superfície isotérmica. 
O fluxo de calor na direção normal é positivo 
(↑) e o gradiente de temperatura é negativo 
(↓), portanto para manter a igualdade da lei 
de Fourier o sinal negativo é introduzido na 
relação. 
Por ser uma grandeza direcional o fluxo de 
calor é uma grandeza VETORIAL. 
Fluxo de calor normal à uma 
superfície isotérmica em um 
sistema de duas coordenadas. 
Considerando que há um diferencial de temperatura, portanto um 
campo de temperatura, podemos associar esse à uma função 
escalar T(x,y,z). 
Podemos escrever a equação de fluxo de calor como: 
𝑞" = −𝑘𝛻𝑇 = −𝑘 𝑖
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+ 𝑗
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+ 𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 
Onde 𝛻 é o operador da função escalar do campo de temperatura. 
A transferência de calor será mantida enquanto houver o 
gradiente de temperatura. 
Por se tratar de uma grandeza vetorial podemos escrever o fluxo 
térmica da seguinte forma: 
 
𝑞"=qx"𝑖 + qy"j + qz"𝑘 
Que é um vetor perpendicular à superfície isotérmica, suas 
componentes são: 
𝑞"𝑥 = −𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝑇 𝑞"𝑦 = −𝑘
𝜕
𝜕𝑦
𝑇 𝑞"𝑧= −𝑘
𝜕
𝜕𝑧
𝑇 
Algumas propriedades térmicas: 
 
Capacidade calorífica volumétrica (Cv): medida da capacidade 
de um material de armazenar energia térmica. (produto da 
massa específica, 𝜌, pelo calor específico, 𝑐𝑝): 
𝐶𝑉 = 𝜌𝑐𝑝 [J/(m3K)]; 
 
 Muitos sólidos e líquidos são bons para armazenar energia: Cv > 1MJ/(m
3K); 
gases baixa massa específica maus armazenadores de energia. 
 
Difusividade térmica (𝛼): razão entre a condutividade térmica e 
a capacidade térmica volumétrica. 
𝛼 =
𝑘
𝜌𝑐𝑝
 [m2/s] 
Mede a capacidade do material em conduzir energia térmica em relação à sua 
capacidade de armazená-la. 
 Alto valor de 𝛼 indica capacidade de resposta rápida à mudança de 
condições térmicas para atingir o equilíbrio. 
Até aqui só avaliamos o caso de condução de calor em regime 
estacionário ou permanente. 
Agora vamos avaliar problemas em que as condições mudam 
com o tempo: não estacionários ou TRANSIENTES. 
Um exemplo é a imersão de um metal quente com temperatura 
uniforme (Tsol) em um fluido de temperatura menor (T∞): 
tempera 
 
convsai qE 

acuE

Se o processo de 
tempera inicia em t=0 
a temperatura do 
metal irá diminuir para 
t>0 até que ele atinja a 
temperatura do fluido 
(T∞). 
Considere um elemento de volume para a análise da equação de 
condutividade térmica em regime transiente. 
 
 
 
 
 
Tem-se o seguinte balanço de 
Energia térmica para o elemento 
de volume: 
 
 
Eacu  relacionado à variação de energia interna do elemento de volume; 
Eent  relacionado à energia térmica que entra no elemento de volume; 
Esai  relacionado à energia térmica que sai do elemento de volume por 
condução; 
Eg  Energia térmica gerada no elemento de volume. 
T(x,y,z,t) 
acu ent sai gE E E E  
Com isso temos que 
• O fluxo líquido de calor que entra por condução no elemento de 
volume será para no sistema de coordenadas retangulares: 
(Eent-Esai) = 𝑞𝑥 − 𝑞𝑥 + 𝑑𝑞𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + * 𝑞𝑦 − 𝑞𝑦 + 𝑑𝑞𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧++ 
𝑞𝑧 − 𝑞𝑧 + 𝑑𝑞𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑥 
(Eent-Esai) = 𝑑𝑞𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑑𝑞𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 − 𝑑𝑞𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 
• A geração interna de calor (conversão de energia química; 
elétrica ou nuclear) é dada pela função g(x,y,z,t): 
Eg=g(x,y,z,t)dxdydz 
• A energia acumulada é dada em função da taxa de variação de 
energia interna do elemento de volume: 
Eacu=𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
A Equação de balanço de volume para o elemento de volume ficará: 
 
𝑑𝑞𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑑𝑞𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 − 𝑑𝑞𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 +g(x,y,z,t)dxdydz=𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
Dividindo a equação pelo volume do elemento de volume, e utilizado 
diferencial parcial devido à função de temperatura: 
 
−
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
−
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
−
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
+ 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡, = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
Substituindo as componentes do fluxo de calor: 
−
𝜕
𝜕𝑥
−𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑥
−
𝜕
𝜕𝑥
−𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑦
−
𝜕
𝜕𝑧
−𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡, = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
Ou 
𝜕
𝜕𝑥
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑥
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡, = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
 
acu ent sai gE E E E  
A Equação a seguir é a equação geral da condução de 
calor em coordenadas cartesianas: 
𝜕
𝜕𝑥
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑥
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝐾
𝜕𝑇
𝜕𝑧
+ 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡,
= 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
Que poderá ser escrita em uma forma mais compacta: 
𝛻. 𝑘𝛻𝑇 + 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 
Onde: 
𝛻 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 
𝛻𝑇 =
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
𝑘 
CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE 
5.1. Método da Capacitância Global 
convsai qE 

acuE

Figura 5.1: Resfriamento de um metal quente 
Admite a hipótese de que a temperatura do sólido é uniforme 
no espaço, em qualquer instante durante o processo transiente. 
Rcond pequena 
Rconv grande 
acu ent sai gE E E E  
 s
dT
Vc hA T T
dt
   
s
Vc d
hA dt
 
 
i
t
s 0
Vc d
dt
hA


 

  
T T  
Aplicando a equação da Energia 
Fazendo 
Separando as variáveis e integrando a partir das 
condições iniciais e 
t 0
iT(0) T
 i iT T
onde 
(5.1) 
(5.2) 
(5.4) 
(5.3) 
5.1. Método da Capacitância Global 
s i
Vc
ln t
hA
 

 
Efetuando as integrações 
ou 
(5.6) 
(5.5) 
5.1. Método da Capacitância Global 
shA t
Vc
i i
T T
e
T T


  
  
   


 

i
s
Vc
t ln
hA
 


 t t t
s s
Vc 1
Vc R C
hA hA

 
 
   
 
Interpretando como uma constante 
de tempo térmica: 
sVc/hA
(5.7) 
5.1. Método da Capacitância Global 
onde 
tR
tC
- Resistência a transferência de calor por convecção 
- Capacitância térmica global do sólido 
A distribuição de temperatura fica: 
5.1. Método da Capacitância Global 
s
1
t
Vc
hA
i i
T T
e
T T



  
      



 

t t
1
t
R C
i i
T T
e
T T


  
  
   


 

t
1
t
i i
T T
e
T T


  
  
   


 

 Qualquer aumento em Rt ou Ct 
causará uma resposta mais lenta 
do sólido a mudanças em seu 
ambiente térmico. 
 Esse comportamento é análogo 
ao decaimento da voltagem que 
ocorre quando uma capacitor é 
descarregado através de um 
resistor em um circuito elétrico 
RC 
t t
s
0 0
Q qdt hA dt  
Para determinar o total de energia transferida Q 
Substituindo da equação (5.6) 
5.1. Método da Capacitância Global 

integrando 
shAt t
Vc
s i
o
Q hA e dt


  
  
   
   
shA t
Vc
iQ Vc 1 e

 
  
  
   
Obs.: 
tt at
at
0 0
e
e dt
a

ou 
ou ainda 
5.1. Método da Capacitância Global 
   s
1
t
Vc
hA
iQ Vc 1 e

 
   
  
     

 
   t t
t
R C
iQ Vc 1 e 
  
  
   
finalmente 
   t
t
iQ Vc 1 e

 
  
  
    (5.8a) 
5.1. Método da Capacitância Global 
Q está relacionada com a variaçãode energia 
interna do sólido 
acuQ E 
(5.8b) 
   
  
  
     t
1
t
acu iE Vc 1 e

  
Seja considerada a figura a seguir 
5.2. Validade do Método da Capacitância Global 
Para regime estacionário 
   s1 s2 s2
kA
T T hA T T
L
  
Rearranjando 
 
 
s1 s2 cond
s2 conv
L /kAT T R hL
Bi
T T 1/ hA R k

   

hL
Bi
k

onde 
É o Número de Biot 
(5.9) 
Para a utilização do Método da 
Capacitância Global, deve-se ter: 
5.2. Validade do Método da Capacitância Global 
chLBi 0,1
k
 
(5.10) 
Fornece uma medida da queda de temperatura no 
sólido em relação a diferença de temperatura entre 
a superfície e o fluido 
Bi 
onde 
cL 
Escala de comprimento correspondente a 
máxima diferença espacial de temperatura 
5.2. Validade do Método da Capacitância Global 
Fornece uma medida da queda de temperatura no 
sólido em relação a diferença de temperatura entre 
a superfície e o fluido 
Bi 
5.2. Validade do Método da Capacitância Global 
onde 
Por conveniência define-se: 
c
s
V
L
A

V 
sA 
Volume do sólido 
Área superficial do sólido 
5.2. Validade do Método da Capacitância Global 
Escrevendo o expoente da equação em função de Lc 
Retomando a equação (5.6) 
shA t
Vc
i i
T T
e
T T


  
  
   


 

s
c
hA t ht
Vc cL 

Multiplicando o numerador e o denominador por Lck 
s c c
2 2
c c c
hA t hL hLht k t t
Vc cL k c kL L

  
  
5.2. Validade do Método da Capacitância Global 
shA t Bi Fo
Vc
 
Então 
 Bi Fo
i i
T T
e
T T


 


 

s c
2
c
hA t hL t
Vc k L



Definindo e lembrando que resulta: 
2
c
t
Fo
L


chLBi
k

(5.13) 
Exemplo 5.1 
 
Uma placa de alumínio [k=160W/(moC),  =2790 kg/m3, 
cp=0,88kJ/(kg 
oC) ] com L=3cm de espessura e uma 
temperatura uniforme T0=225 
oC é repentinamente imersa 
em um fluido agitado, mantido a uma temperatura 
constante Too =25 
oC. O coeficiente de transferência de 
calor entre a placa e o fluido é h=320 W/(m2 oC). Determine 
o tempo necessário para que o centro da placa atinja 50oC. 
Exemplo 5.1 
 Verificação do número de Biot 
A capacitância global pode ser aplicada pois Bi é menor 
que 0,1 
c
V L.A L
L 1,5 cm
A 2.A 2
   
sh.L 320.0,015Bi 0,03
k 160
  
s
c
hhA
tt
cLVc
i i
T T
e e
T T


    
     
       


  

Utilizando a equação (5.6) 
Exemplo 5.1 
 substituindo os valores 
t 239 s 4min 
i
s
Vc
t ln
hA
 


2790.880.0,015 225 25
t ln
320 50 25



c icLt ln
h
 


Exercícios 
Exercício 5.5 do Incropera 
Bolas de aço com 12mm de diâmetro são temperadas 
pelo aquecimento a 1150K seguido pelo resfriamento 
lento até 400K em um ambiente com ar a T∞=325K e 
h=20W/m2K. Supondo que as propriedades do aço sejam 
k=40W/mK, =7800kg/m3 e c=600J/kgK. Estime o tempo 
necessário para o processo de resfriamento. 
Exercícios 
Exercício 5.7 do Incropera 
O coeficiente de transferência de calor para o ar 
escoando sobre uma esfera deve ser determinado pela 
observação do comportamento dinâmico da temperatura 
de uma esfera, que é fabricada de cobre puro. A esfera 
que possui 12,7mm de diâmetro, encontra-se a 66oC 
antes de ser inserida em uma corrente de ar que tem a 
temperatura de 27oC. Um termopar sobre a superfície 
externa da esfera indica 55oC após 69s da inserção da 
esfera na corrente de ar. Admita e então justifique, que a 
esfera se comporta como um objeto espacialmente 
isotérmico e calcule o coeficiente de transferência de 
calor.