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Página 1 Curso de Cálculo – Prof. Flaudio – 2015.2 – Lista 1 1 – INTRODUÇÃO Pode-se dizer, sem exageros, que o cálculo encontra-se entre as maiores “descobertas”, “invenções” ou “criações” humana! Popularmente, sua invenção é atribuída ao inglês Isaac Newton. Mas, muito do cálculo se deve ao alemão G. W. Leibniz e outros cientistas dos séculos XVII, XVIII e XIX. Hoje, suas aplicações abrangem, além da Matemática e da Física, praticamente todas as áreas de conhecimento, tais como: Administração, Biologia, Computação, Contabilidade, Economia, Engenharia, Finanças, Logística, Química, .... Este material é uma pequena introdução a um curso de cálculo que todo estudante da área de exatas e afins deve saber. A matéria prima do cálculo são as funções. No entanto, para entender este curso sem grandes dificuldades, é necessário que você saiba trabalhar com alguns tópicos de Matemática elementar, tais como: operações básicas com números reais, simplificação de expressões algébricas, geometria analítica, trigonometria, ... Ao final desse curso, gostaríamos que você fosse capaz de resolver as principais questões do cálculo relacionadas a limites e derivadas. É importante ressaltar que esse material não dispensa o uso de um livro de cálculo. 2 – DEFINIÇÕES PRELIMINARES 2.1 Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B (f : A → B) é uma regra que associa a cada elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B, denotado por y = f(x). 2.2 Dada uma função f : A → B, o conjunto A é chamado de domínio e o conjunto B é chamado de contradomínio da função f. A imagem de f é o subconjunto de B formado por todos os y = f(x) tal que x ∈ A. ATENÇÃO! Neste curso, iremos trabalhar exclusivamente com funções reais. Ou seja, com funções cujo domínio e cujo contradomínio são subconjuntos dos números reais. Por exemplo, f : !→ ! definida por f(x) = 2x + 3 é uma função real dada por uma fórmula. Para cada valor de x real, podemos calcular sua imagem f(x). Veja alguns valores: f(0) = 3, f(– 2) = –1 e f(3 2 ) = 6. 3 – TRABALHANDO COM FUNÇÕES – EXEMPLOS RESOLVIDOS EXEMPLO 1 Sendo f(x) = x −1 x +1 , x ≠ −1 , determine o valor da expressão f(3)− f(2) 1+ f(3).f(2) . SOLUÇÃO 3 1 1f(3) 3 1 2 −= = + , 2 1 1f(2) 2 1 3 −= = + , e portanto f(3)− f(2) 1+ f(3).f(2) = 1 2 − 1 3 1+ 1 2 .1 3 = 1 6 7 6 = 1 7 EXEMPLO 2 Seja f uma função definida por f(x) = ax + b . Se f(–1) = – 6 e f(1) = – 4, calcule o valor de a2 – b2 . SOLUÇÃO f(–1) = –a + b = –6 f(1) = a + b = –4 Resolvendo esse sistema, encontramos a = 1 e b = –5. Assim, a2 – b2 = 1 – 25 = –24. EXEMPLO 3 Dê o domínio da função f(x) = x −1 , sabendo que x é um número real. SOLUÇÃO Como x é real, x – 1 ≥ 0, e portanto x ≥ 1. Assim, Df = {x ∈ ! / x ≥ 1} = [1, +∞ [. EXEMPLO 4 Seja f(x) = ax2 + bx + c. Sabendo que f(1) = 4, f(2) = 0 e f(3) = –2, determine o produto a.b.c. SOLUÇÃO Página 2 f(1) = a + b + c = 4 f(2) = 4a + 2b + c = 0 f(3) = 9a + 3b + c = –2 Resolvendo o sistema acima, obtemos a = 1, b = –7 e c = 10, e portanto abc = –70. 4 – O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO O gráfico de uma função f : A → B é o conjunto formado pelos pontos (x, f(x)) onde x ∈ A. A figura a seguir ilustra o gráfico de uma certa função y = f(x), e como podemos encontrar o domínio e a imagem dessa função a partir do seu gráfico. OBSERVAÇÕES 1. O gráfico de uma função é intersectado, apenas uma vez, por qualquer reta vertical que passa por um ponto do seu domínio. 2. No gráfico de uma função, o domínio é obtido quando projetamos este gráfico sobre o eixo dos x. 3. No gráfico de uma função, a imagem é obtida quando projetamos este gráfico sobre o eixo dos y. 5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Se f(x) = x +1 x − 2 , então f(3)+ f(1) f(4)+ f(6) é igual a: a) 1 17 b) 2 17 c) 4 17 d) 8 17 2. Uma função f é definida por f(x) = x2 + x + 1. O valor da expressão E = 2f(3)− f(−1) 2f(1) é: a) 23 3 b) 25 3 c) 23 6 d) 25 6 3. Se f(x) = x + 1 x , x ≠ 0 ,então 10. f(2)+ 1 f(2) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ é igual a: a) 23 b) 25 c) 27 d) 29 DOMÍNIO I M A G E M y x Página 3 4. Se f(x) = x +2 , x ≥ – 2 , então f(126)+ f(30) f(16) é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 5. Seja f uma função real de variável real definida por: f(x) = 3x para -1< x ≤ 0 4 para 0 < x <1 3x -1 para 1≤ x ≤ 3 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ . O valor de f(0) + f( 1 2 ) + f(2) é : a) 6 b) 8 c)10 d)12 6. Se 11 xf(x) 16 + = , então f(–1) + f(– 2) + f(– 4) é igual a: a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 7. Se f(x) = 1+ (x −1) 2 3 , então f(9) + f(28) é igual a: a) 5 b) 15 c) 20 d) 25 8. Se 1f(x) 1 , x 0 x = − ≠ , então o valor de 96.f(2).f(3).f(4). ... .f(14).f(15).f(16) é: a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 9. Se f(x) = 6 +2x , então f( 5).f(− 5) é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 10. Seja f: R → R definida por f(x) = kx2 , sendo k uma constante positiva. Se f( 2) = 3 , então f( 6) é igual a: a) 8 b) 12 c) 18 d) 27 11. A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(1) = 7 e f(–1) = 1 . O valor de f(5) é: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 12. Seja f : R → R definida por f(x) = x2 – 4 . Se f(k) = f(k +1), então k é igual a: a) 2 1b) 2 1c) 2 d) 2 − − 6 – GABARITO DE 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d d d c c b b c d d d b Página 4 7 – PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES 7.1 FUNÇÃO CONSTANTE É qualquer função do tipo f(x) = c, onde c é um número real que não varia com x. Atenção! O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0, c). 7.2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU É qualquer função do tipo f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. OBSERVAÇÕES O gráfico de uma função do 1º grau possui as seguintes características: 1. é uma reta (para a sua construção são necessários apenas dois pontos). 2. intersecta o eixo das abscissas no ponto (–b/a, 0). 3. intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, b). 4. se a > 0, então f é crescente. 5. se a < 0, então f é decrescente. 6. o conjunto imagem de uma função real do 1º grau é o conjunto dos números reais. 7.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2o GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA É toda função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. OBSERVAÇÕES O gráfico de uma função quadrática possui as seguintes características: 1. é uma curva chamada parábola. 2. intersecta o eixo das abscissas nas raízes da equação f(x) = 0. 3. intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, c). 4. se a > 0, então a concavidade do gráfico fica voltada para cima (a função possui um ponto de mínimo). 5. se a < 0, então a concavidade do gráfico fica voltada para baixo (a função possui um ponto de máximo). 6. o vértice é o ponto de coordenadas −b 2a , −Δ 4a ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . 7. se a > 0, o conjunto imagem da função é o intervalo −Δ 4a , +∞ ⎡ ⎣ ⎢ ⎡ ⎣ ⎢ . 8. se a < 0, o conjunto imagem da função é o intervalo −∞, −Δ 4a ⎤ ⎦ ⎥ ⎤ ⎦ ⎥ . 8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Se f(x) = ax + b é uma função do 1o grau tal que f(1) = 2 e f(3) = –2, então a.b é igual a: a) –6 b) –8 c) –10 d) –12 e) –14 2. Se f é uma função do primeiro grau tal que f(10) = 29 e f(40) = 89, então f(30) é igual a: a) 39 b) 49 c) 59 d) 69 e) 79 y c x Página 5 3. A figura abaixo representa a função f(x) = ax + b. O valor de 1f 3 −⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠ é: a) 2,8 b) 2,6 c) 2,5 d) 1,8 e) 1,7 4. Considere a função f de ! em ! , dada por f(x) = ax + b, onde a e b são constantes reais. Se os pontos A(–1, 3) e B(0, –1) pertencem ao gráfico de f, então: a) f é crescente, ∀x ∈ ! . b) 3 4 é raiz da equação f(x) = 0. c) o ponto (–10, 41) pertence ao gráfico de f. d) f(x) < 0 se x < 1 4 e) f(x) ≤ 0 se x ≥ – 1 4 5.O gráfico da função f(x) = –x2 + mx + n passa pelos pontos (1, –3) e (3, 1). O valor de m – n é: a) 14 b) –14 c) 2 d) –2 e) 1 6. Se a parábola y = ax2 + bx + c passa pelos pontos (–1, 3), (0, 5) e (2, – 3), então o valor de a + b + c é: a) 3 b) 2 c) –1 d) –2 e) 0 7. Considere uma função do 2o grau dada por f(x) = ax2 + bx + c. Se f(–1) = 10 , f(1) = 0 e f(2) = 10, então o valor de a.b.c é: a) –5 b) 5 c) 0 d) 25 e) –25 8. Seja a função quadrática f(x) = x2 – 2 . Se f(p + 4) = f(p) + 4 , então p é um número real compreendido entre: a) –3 e –2 b) –2 e –1 c) 1 e 2 d) 2 e 3 e) 3 e 4 9. Se a representação gráfica da função f(x) = ax2 + bx é uma parábola cujo vértice é o ponto V(3, 18), então a) f(1) = 0 b) f(1) = –10 c) f(1) = 6 d) f(6) = 10 e) f(6) = 0 y 3 –2 x Página 6 10. Seja a função quadrática definida por f(x) = ax2 + bx + c. Se (–1, 2) é um ponto de mínimo do gráfico de f e se f(1) = 6, a soma 2b + c é igual a a) 4 b) 5 c) 8 d) 7 e) 6 11. Na parábola y = 2x2 – (m – 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 12. O conjunto Im = {y ∈ ! / y ≤ p} é a imagem da função f(x) = –x 2 – 2x + 6. O valor de p é: a) –7 b) 7 c) 6 d) –6 e) 5 9 – GABARITO DE 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 b d c e a a c b e d a b
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