ENGENHARIA CIVIL Aula matriz

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ENGENHARIA CIVIL
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA 
LINEAR
PROF. ANDRÉ LUIZ BIANCARDINE DE FRANÇA
MATRIZES
• O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das 
matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, 
Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.
• A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
• Se quisermos saber a nota do aluno B em Desenho, basta procurar o 
número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.
Cálculo I Física Desenho IEC
A 8 7 9 8
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
• Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas 
e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses 
ou colchetes:
• Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas 
são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para 
direita:
•
• Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes 
de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, 
portanto, uma matriz 3 x 3.
• Veja mais alguns exemplos:
é uma matriz do tipo 2 x 3
é uma matriz do tipo 2 x 2
Notação Geral
• Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus 
elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que 
indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.
• Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
• ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, 
respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por 
exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª 
coluna. Na matriz A, temos:
Denominações especiais
• Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações 
especiais.
• Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. 
Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
• Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. 
Por exemplo , , do tipo 3 x 1
• Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo
número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n.
Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é,
quadrada de ordem 2.
• Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal
secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na
secundária, temos i + j = n + 1.
• Veja:
• Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é 
representada por 0m x n.
• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que 
não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:
• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da 
diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é 
representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:
• Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se 
ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por 
exemplo:
• Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.
• Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de
A corresponde à 2ª coluna de At.
Igualdade de matrizes
• Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente 
se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:
Operações envolvendo matrizes
• Adição
• Dadas as matrizes A=[aij]mxn e B=[bij]mxn, chamamos de soma dessas 
matrizes a matriz C =[cij]mxn, tal que Cij = aij + bij , para todo :
A + B = C
Propriedades
• Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes 
propriedades para a adição:
• a) comutativa: A + B = B + A
• b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
• c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
• d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0
Subtração
• Dadas as matrizes A=[aij]mxn e B=[bij]mxn, chamamos de diferença entre 
essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:
A – B = A + (-B) 
Multiplicação de um número real (ESCALAR) 
por uma matriz
• Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto 
de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de 
cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij
• B = x.A
Propriedades
• Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais
quaisquer, valem as seguintes propriedades:
• a) associativa: x . (yA) = (xy) . A
• b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x .
(A + B) = xA + xB
• c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números
reais: (x + y) . A = xA + yA
• d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A
Multiplicação de matrizes
• O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do 
produto dos sus respectivos elementos.
• Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz 
C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos 
produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos 
elementos da j-ésima coluna B.
• Vamos multiplicar a matriz A e B para entender como se obtém 
cada Cij:
• 1ª linha e 1ª coluna
• 1ª linha e 2ª coluna
• 2ª linha e 1ª coluna
• 2ª linha e 2ª coluna
• Assim temos que
• Observe que: B x A
• Portanto A x B ≠ B x A ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a 
propriedade comutativa.
B x A
• Vejamos outro exemplo com as matrizes
• Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número 
de colunas de A for igual ao número de linhas de B:
Observações
• A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de 
colunas de B(n):
• Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5
• Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto
• Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
Propriedades
• Verificadas as condições de existência para a multiplicação de 
matrizes, valem as seguintes propriedades:
• a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )
• b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + 
B ) . C = A . C + B . C
• c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de 
ordem n
• Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a 
multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do 
produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não 
implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.
Determinante de matriz
• Podemos calcular o determinante de qualquer matriz desde que essa 
seja quadrada, ou seja, que a matriz tenha o mesmo número de 
linhas e de colunas (seja uma matriz de ordem n x n).
• Podemos dizer que determinante de uma matriz quadrada é o seu 
valor numérico.
Os elementos de uma matriz podem ser colocados entre parênteses, 
colchetes ou entre duas barras duplas; e os elementos dos 
determinantes são colocados entre duas barras.
Matriz de ordem 1
• Quando uma matriz possui apenas um elemento ou possui apenas 
uma linha e uma coluna, dizemos que essa matriz é de ordem 1. Veja 
alguns exemplos:
Se A = [10], então o seu determinante será representado assim:
det A = |10| = 10
Se B = (-25), então o seu determinante será representado assim: 
det B = |-25| = -25
Podemos concluir que o determinante de ordem 1 terá o seu valor 
numérico sempre igual ao seu elemento.
Matriz de ordem 2
• Dada a matriz A de ordem dois A = 
1 2
−5 −3
, o seu determinante 
será calculado da seguinte forma:
• O determinante de ordem dois possui uma diagonal principal e uma 
diagonal secundária.
•
1 2
−5 −3
• O cálculo do seu valor numérico é feito pela diferença do produto da 
diagonal principal com o produto da diagonal secundária.
Diagonal PrincipalDiagonal Secundária
•
1 2
−5 −3
• det A = (-3)-(-10); (-3)+10= 7
• Exercícios:1 x (-3) = -3
2 x (-5) = -10
Matriz de ordem 3
• Dada a matriz de ordem 3, B =
5 0 1
−2 3 4
0 2 −1
o valor numérico do seu 
determinante é calculado da seguinte forma:
• Primeiro representamos essa matriz em forma de determinante e 
repetimos as duas primeiras colunas.
• det B = 
5 0 1
−2 3 4
0 2 −1
5 0
−2 3
0 2
• Depois calculamos os produtos das diagonais principais e os produtos 
das diagonais secundárias.
• det B = 
5 0 1
−2 3 4
0 2 −1
5 0
−2 3
0 2
• Deve-se pegar o oposto dos produtos das diagonais secundárias e 
somar com os produtos das diagonais principais.
• detB = [(-15)+0+(-4)]-[0+40+0] = -19 – 40 = -59
• Essa regra utilizada no cálculo do determinante de matriz de ordem 3 
é chamada de Regra de Sarrus.
-15 0 -4
0 40 0
Matriz inversa
• Encontrar a matriz inversa de uma matriz conhecida é um processo que envolve 
multiplicação e igualdade de matrizes. Vejamos como ocorre este processo 
partindo da definição de uma matriz inversa.
• Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In e X.A = 
In (onde In é a matriz identidade). Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de 
matriz inversa de A, tendo como notação A(-1).
Portanto, para encontrar a inversa de uma matriz dada, deveremos resolver a 
igualdade de matrizes (A.X = In). No caso em que sejam dadas duas matrizes e 
que seja pedido para verificar se uma matriz é a inversa da outra, basta efetuar a 
multiplicação destas duas matrizes. Se o resultado desta operação for a matriz 
identidade, afirmaremos que se trata de uma matriz inversa.
Para aqueles que já sabem calcular o determinante, existe um modo prático para 
descobrir se uma matriz possui uma matriz inversa ou não. Basta calcular o 
determinante da matriz: caso o determinante dê igual a zero, não existe matriz 
inversa para ela.
• Exemplo 1: A=
1 2
2 4
, det A = 0; com isso a Matriz A não possui 
inversa ; ∄ 𝐴-1
• A parte principal para matriz inversa é a parte onde se deve encontrá-
la tendo como base uma matriz dada. Vejamos como proceder.
Exemplo 2 : Encontre a matriz inversa da matriz A.
• A = 
2 3
2 5
• Sabemos que a matriz A-1 será uma matriz quadrada de mesma
ordem. Explicite uma matriz inversa com elementos quaisquer. Sendo
assim, usaremos letras para representar estes elementos.
• A-1 = 
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
• Sabemos que ao multiplicarmos estas duas matrizes, obteremos a 
matriz identidade.
• In =
1 0
0 1
• Por fim, teremos a seguinte igualdade:
• A* A-1 = In ; 
2 3
2 5
x 
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 
1 0
0 1
;
• Para tanto, deveremos compreender o processo de multiplicação de 
matrizes para realizarmos estes cálculos.
•
2𝑎 + 3𝑐 2𝑏 + 3𝑑
2𝑎 + 5𝑐 2𝑏 + 5𝑑
= 
1 0
0 1
;
• Através da igualdade de matrizes, obteremos 4 igualdades muito 
importantes para os nossos cálculos. Agrupá-las-emos de forma que 
as igualdades com mesmas incógnitas fiquem juntas.
• 1) 
2𝑎 + 3𝑐 = 1
2𝑎 + 5𝑐 = 0
2) 
2𝑏 + 3𝑑 = 0
2𝑏 + 5𝑑 = 1
• Em situações como estas devemos resolver estes sistemas de 
equações com duas incógnitas. Resolvendo o sistema 1) pelo método 
da adição.
•
2𝑎 + 3𝑐 = 1
2𝑎 + 5𝑐 = 0
(-)
----------------------
-2c = 1 ; c = - 1 2
• Substituindo o valor de c, obteremos o valor de a.
• 2𝑎 + 3𝑐 = 1 → 2𝑎 + 3. − 1 2 = 1 → 𝑎 = 
5
4
• Resolvendo o sistema 2) de forma análoga, obteremos os seguintes 
valores para as incógnitas:
• 𝑏 = − 3 4 , 𝑑 = 
1
2
• Como encontramos os valores para os elementos da matriz inversa, 
vamos esboçá-la:
• A-1 = 
 5 4 
−3
4
 −1 2 
1
2
• Neste primeiro momento verificaremos se de fato esta matriz 
corresponde à matriz inversa:
•
2 3
2 5
x 
 5 4 
−3
4
 −1 2 
1
2
= 
2 ∗ 5 4 − 
3
2 
−3
2 + 
3
2
 5 2 − 
5
2 
−3
2 + 
5
2
= 
1 0
0 1
• De fato, a matriz obtida corresponde à matriz inversa, pois o produto 
das duas matrizes resultou na matriz identidade.
Como vimos, o estudo da matriz inversa abarca diversos conceitos da 
matemática, desde operações básicas até a resolução de sistemas 
com duas incógnitas.
Compreender todos estes conceitos é importante, pois ao resolver 
equações envolvendo matrizes será requerido tal aprendizado.
• Exercicios.