EP12 - Tutor

Prévia do material em texto

Probabilidade e Estat´ıstica
1o. Semestre de 2015
Exerc´ıcio Programado 12 – Versa˜o para o Tutor
Profa. Keila Mara Cassiano (UFF)
1. O comprimento real (em metros) de uma determinada barra de ac¸o e´ uma varia´vel aleato´ria uni-
formemente distribu´ıda no intervalo [10,12]. As barras com comprimento menor que 10,5m na˜o se
ajustam a`s necessidades e devem ser vendidas como sucata. As barras com comprimento maior
que 11,5m teˆm que ser cortadas para se ajustarem a`s necessiades. Qual e´ a proporc¸a˜o de barras
colocadas a` venda como sucata? Qual e´ a proporc¸a˜o de barras que precisam ser cortadas? Qual e´ a
proporc¸a˜o de barras perfeitas?
2. Sabe-se que os parafusos produzidos por uma certa companhia sa˜o defeituosos com probabilidade
0,01, independentemente uns dos outros (isto e´, a frac¸a˜o na˜o-conforme de parafusos na produc¸a˜o e´
0,01). A companhia vende os parafusos em pacotes de dez unidades e oferece garantia de devoluc¸a˜o
do dinheiro caso existam dois ou mais parafusos defeituosos no pacote.
(a) Qual e´ a proporc¸a˜o de pacotes vendidos para os quais a companhia deve efetuar devoluc¸a˜o do
dinheiro?
(b) Supondo que o nu´mero de parafusos defeituosos num determinado pacote e´ independentes dos
demais pacotes, qual e´ a probabilidade de que uma pessoa que compra dez pacotes de parafusos
tenha que retornar a` companhia para devoluc¸a˜o de dinheiro?
3. Um avia˜o tem quatro turbinas (duas em cada lado). Sabe-se que a probabilidade de cada turbina
falhar em uma viagem transoceaˆnica e´ de 0,08 e as falhas sa˜o independentes nas diferentes turbinas.
Calcule a probabilidade que, em uma dessas viagens
(a) haja eˆxito no voˆo, sabendo-se que o avia˜o pode voar com, no mı´nimo, duas turbinas;
(b) haja eˆxito no voˆo, sabendo-se que o avia˜o pode voar com, no mı´nimo, duas turbinas, desde que
seja pelo menos uma turbina em cada lado;
(c) no mı´nimo dois avio˜es, de um grupo de cinco avio˜es iguais, tenham tido apenas uma turbina
com problema por avia˜o.
4. De um lote com 25 pec¸as, das quais cinco sa˜o defeituosas, sa˜o escolhidas quatro pec¸as ao acaso.
Calcule a probabilidade de haver, entre as pec¸as sorteadas, no ma´ximo duas defeituosas, supondo
que as pec¸as foram escolhidas
(a) sem reposic¸a˜o
(b) com reposic¸a˜o.
5. (AD2 - Questa˜o 4) - (2,5 pontos)* Segundo pesquisas, a cada cinco crianc¸as de uma determinada
cidade, duas ja´ contra´ıram a Dengue. Suponha que um levantamento esteja sendo feito e que cinco
crianc¸as sejam sorteadas aleatoriamente nesta cidade. Determine a probabilidade de:
(a) Duas delas terem contra´ıdo Dengue;
(b) Nenhuma delas ter contra´ıdo Dengue;
(c) Pelo menos 4 delas ja´ terem contra´ıdo Dengue;
(d) Todas elas ja´ terem contra´ıdo Dengue;
(e) No ma´ximo uma delas ja´ ter contra´ıdo Dengue.
1
Soluc¸a˜o dos Exerc´ıcios
E´ importante chamar a atenc¸a˜o dos alunos para a necessidade de se definirem as varia´veis
e os eventos de interesse, estabelecendo as distribuic¸o˜es envolvidas. Isso facilita o ca´lculo
das probabilidades.
1. Seja X o comprimento da barra. Enta˜o, X ∼ Unif(10; 12). Vamos definir os seguintes eventos:
S = barra vendida como sucata
C = barra tem que ser cortada
P = barra perfeita
Temos as seguintes equivaleˆncias:
Pr(S) = Pr(X < 10, 5) =
10, 5− 10
12− 10 = 0, 25
Pr(C) = Pr(X > 11, 5) =
12− 11, 5
12− 10 = 0, 25
Pr(P ) = Pr(10, 5 ≤ X ≤ 11, 5) = 11, 5− 10, 5
12− 10 = 0, 5
2. Seja X o nu´mero de parafusos defeituosos em um pacote de dez. Cada parafuso tem probabilidade
0,01 de ser defeituosos. Como os defeitos sa˜o independentes de um parafuso para outro, resulta
que X ∼ bin(10; 0, 01), ou seja, tempos repetic¸o˜es independentes de um experimento de Bernoulli e
estamos interessados no nu´mero de “sucessos”, aqui representado por “parafuso defeituoso”.
(a) Seja D o evento “empresa devolve o dinheiro referente a um pacote com dez parafusos”. Enta˜o
Pr(D) = Pr(X ≥ 2) = 1− Pr(X < 2) = 1− [Pr(X = 0) + Pr(X = 1)]
= 1− [(100 ) · 0, 010 · 0, 9910 + (101 ) · 0, 011 · 0, 999]
= 1− 0.9910 − 10× 0.01× 0.999
= 0, 004266
Enta˜o, a probabilidade de haver devoluc¸a˜o do dinheiro de um pacote e´ 0,004266.
(b) Cada pacote tem probabilidade 0,004266 de na˜o atender a`s especificac¸o˜es de garantia. Como
o nu´mero de defeituosos num pacote e´ independente do nu´mero de defeituosos nos demais
pacotes, se definimos Y como o nu´mero de pacotes, dentre os 10 comprados pela pessoa, que
na˜o satisfazem as condic¸o˜es de garantia (isto e´, pacotes que obrigam a devoluc¸a˜o do dinheiro)
resulta que Y ∼ bin(10; 0, 004266) e o problema pede a probabilidade de pelo menos um pacote
na˜o atender as especificac¸o˜es de garantia (isto e´, a pessoa ter que voltar para receber o dinheiro
de algum pacote).
Pr(Y ≥ 1) = 1− Pr(Y = 0) = 1− (100 )0, 0042660 (1− 0.004266)10
= 1− 0.99573410 = 0, 04185
(a) Seja X o nu´mero de turbinas na˜o-defeituosas no avia˜o (dentre as 4). Enta˜o, X ∼ bin(4; 0, 92).
Para o voˆo ter eˆxito, temos que ter X ≥ 2 :
Pr(X ≥ 2) = Pr(X = 2) + Pr(X = 3) + Pr(X = 4)
=
(
4
2
)× 0.922 × 0.082 + (43)× 0.923 × 0.081 + (44)× 0.924 × 0.080
= 0, 99807
Note que, se definirmos X como o nu´mero de turbonas defeituosas, temos que ter X ≤ 2.
2
(b) Seja D1 o nu´mero de turbinas defeituosas em um lado do avia˜o e D2 o nu´mero de turbinas
defeituosas no outro lado do avia˜o. Enta˜o D1 ∼ bin(2; 0, 08) e D2 ∼ bin(2; 0, 08). Seja E o
evento “voˆo tem eˆxito”; enta˜o
E =
{
[(D1 = 0) ∩ (D2 = 0)] ∪ [(D1 = 0) ∩ (D2 = 1)]∪
[(D1 = 1) ∩ (D2 = 0)] ∪ [(D1 = 1) ∩ (D2 = 1)]
}
Como os eventos sa˜o mutuamente exclusivos, podemos escrever:
Pr(E) = Pr [(D1 = 0) ∩ (D2 = 0)] + Pr [(D1 = 0) ∩ (D2 = 1)] +
Pr [(D1 = 1) ∩ (D2 = 0)] + Pr [(D1 = 1) ∩ (D2 = 1)]
Pela hipo´tese de independeˆncia, resulta que
Pr(E) = Pr (D1 = 0)× Pr (D2 = 0) + Pr (D1 = 0)× Pr (D2 = 1) +
Pr (D1 = 1)× Pr (D2 = 0) + Pr (D1 = 1)× Pr (D2 = 1)
=
[(
2
0
)× 0, , 080 × 0, , 922]× [(20)× 0, , 080 × 0, , 922] +[(
2
0
)× 0, , 080 × 0, , 922]× [(21)× 0, , 081 × 0, , 921] +[(
2
1
)× 0, , 081 × 0, , 921]× [(20)× 0, , 080 × 0, , 922] +[(
2
1
)× 0, , 081 × 0, , 921]× [(21)× 0, , 081 × 0, , 921]
= 0, , 8464× 0, , 8464 + 0, , 8464× 0, , 1472 + 0, , 1472× 0, , 8464 + 0, , 1472× 0, , 1472
= 0, 98724
(c) A probabilidade de que um avia˜o tenha uma turbina defeituosa e´
p =
(
4
1
)× 0.08× 0.923 = 0, 24918
Seja Z = nu´mero de avio˜es, dentre 5, com uma turbina defeituosa. Pela hipo´tese de inde-
pendeˆncia, resulta que X ∼ bin(5; 0, 24918). Logo
Pr(Z ≥ 2) = 1− Pr(Z < 2) = 1− Pr(Z = 0)− Pr(Z = 1)
= 1− (50)× 0, , 249180 × (1− 0, 24918)5 − (51)× 0, , 249181 × (1− 0, 24918)4
= 0, 365 46
3. A populac¸a˜o e´ formada por 25 pec¸as, das quais 5 sa˜o defeituosas. O tamanho da amostra sorteada
e´ 4. Seja X = nu´mero de defeituosas na amostra. O problema pede Pr(X ≤ 2).
(a) Se as extrac¸o˜es sa˜o feitas sem reposic¸a˜o, enta˜o X tem distribuic¸a˜o hipergeome´trica.
Pr(X ≤ 2) = Pr(X = 0) + Pr(X = 1) + Pr(X = 2)
=
(
5
0
)(
20
4
)(
25
4
) + (51)(203 )(25
4
) + (52)(202 )(25
4
) = 0, 98379
(b) Se as extrac¸o˜es sa˜o feitas com reposic¸a˜o, enta˜o X tem distribuic¸a˜o binomial com paraˆmetros
n = 4 e p = 525 = 0, 2
Pr(X ≤ 2) = Pr(X = 0) + Pr(X = 1) + Pr(X = 2)
=
(
4
0
)× 0, 20 × 0, 84 + (41)× 0, 21 × 0, 83 + (42)× 0, 22 × 0, 82
= 0, 9728
3