Metodologia Inovadora do Hexag

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Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em período integral, 
com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos de aula e 107 livros, totali-
zando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto contém uma rica teoria que contempla, 
de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de material alternativo complementar. Para melhorar a 
aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A seguir, apresentamos cada seção:
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desen-
volvida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e 
nos principais vestibulares voltados para o curso de Medicina 
em todo o território nacional.
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS 
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada co-
leção tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolu-
ção das questões propostas. Os textos dos livros são de fácil 
compreensão, completos e organizados. Além disso, contam 
com imagens ilustrativas que complementam as explicações 
dadas em sala de aula. Quadros, mapas e organogramas, em 
cores nítidas, também são usados e compõem um conjunto 
abrangente de informações para o aluno que vai se dedicar 
à rotina intensa de estudos.
TEORIA
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cui-
dadosa seleção de conteúdos multimídia para complementar 
o repertório do aluno, apresentada em boxes para facilitar a 
compreensão, com indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, 
livros, etc. Tudo isso é encontrado em subcategorias que fa-
cilitam o aprofundamento nos temas estudados – há obras 
de arte, poemas, imagens, artigos e até sugestões de aplicati-
vos que facilitam os estudos, com conteúdos essenciais para 
ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, em uma 
seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais 
o conhecimento do nosso aluno.
MULTIMÍDIA
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é 
elaborada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que 
trata de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares 
atuais não exigem mais dos candidatos apenas o puro co-
nhecimento dos conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abran-
gem conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, 
como Biologia e Química, História e Geografia, Biologia e Ma-
temática, entre outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato 
com essa realidade por meio de explicações que relacionam 
a aula do dia com aulas de outras disciplinas e conteúdos de 
outros livros, sempre utilizando temas da atualidade. Assim, 
o aluno consegue entender que cada disciplina não existe de 
forma isolada, mas faz parte de uma grande engrenagem no 
mundo em que ele vive.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico 
é o seu distanciamento da realidade cotidiana, o que difi-
culta a compreensão de determinados conceitos e impede 
o aprofundamento nos temas para além da superficial me-
morização de fórmulas ou regras. Para evitar bloqueios na 
aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida a seção “Vi-
venciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma preo-
cupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações 
entre aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm 
contato em seu dia a dia.
VIVENCIANDO
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fa-
zem parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos 
compilados, deparamos-nos com modelos de exercícios re-
solvidos e comentados, fazendo com que aquilo que pareça 
abstrato e de difícil compreensão torne-se mais acessível e 
de bom entendimento aos olhos do aluno. Por meio dessas 
resoluções, é possível rever, a qualquer momento, as explica-
ções dadas em sala de aula.
APLICAÇÃO DO CONTEÚDO
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desem-
penho ao fim da escolaridade básica, organizamos essa 
seção para que o aluno conheça as diversas habilidades e 
competências abordadas na prova. Os livros da “Coleção 
Vestibulares de Medicina” contêm, a cada aula, algumas 
dessas habilidades. No compilado “Áreas de Conhecimento 
do Enem” há modelos de exercícios que não são apenas 
resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva e 
descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no 
dia. Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para 
ajudá-lo a apurar as questões na prática, a identificá-las na 
prova e a resolvê-las com tranquilidade.
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, 
criamos para os nossos alunos o máximo de recursos para 
orientá-los em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de 
Ideias”, para aqueles que aprendem visualmente os conte-
údos e processos por meio de esquemas cognitivos, mapas 
mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo 
da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta 
aos principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a 
organização dos estudos e até a resolução dos exercícios.
DIAGRAMA DE IDEIAS
© Hexag SiStema de enSino, 2018
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MATEMÁTICA
ÁLGEBRA 5
AULAS 1 E 2: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 007
AULAS 3 E 4: EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E PROBLEMAS CLÁSSICOS 015
AULAS 5 E 6: EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU 023
AULAS 7 E 8: TEORIA DOS CONJUNTOS 028
TRIGONOMETRIA E ARITMÉTICA 35
AULAS 1 E 2: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 037
AULAS 3 E 4: PRODUTOS NOTÁVEIS 042
AULAS 5 E 6: FATORAÇÃO 045
AULAS 7 E 8: CONJUNTOS NUMÉRICOS 050
GEOMETRIA PLANA 57
AULAS 1 E 2: INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PLANA 059
AULAS 3 E 4: ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO E ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA 065
AULAS 5 E 6: RAZÃO PROPORCIONAL E TEOREMAS DE TALES E DA BISSETRIZ INTERNA 073
AULAS 7 E 8: PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO 078
SUMÁRIO
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 1
Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 2 Utilizar oconhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 3
Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 4 Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 5
Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 6 Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extra-
polação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 7
Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determi-
nação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não 
em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
MATRIZ DE REFERÊNCIA DO ENEM 
ÁLGEBRA
MATEMÁTICA
LIVRO 
TEÓRICO
6  MATEMÁTICA e suas tecnologias



 V
O
LU
M
E 
1
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
O Enem exigirá dos candidatos conceitos 
básicos de potenciação e radiciação. En-
contraremos também situações problemas 
que precisam de equações do 1.º e 2.º graus 
para serem resolvidas.
Potenciação e radiciação, por serem assun-
tos básicos, dificilmente serão cobrados 
diretamente. Já para equações do 1.º e 2.º 
graus, podemos encontrar alguma questão, 
na primeira fase, exigindo uma leitura mais 
atenta.
Potenciação e radiciação, são cobrados em 
questões de variações de grandezas físicas. 
Teoria dos conjuntos é cobrada com descri-
ção no enunciado. Equações são assuntos 
básicos que necessitam de outros tópicos 
para que tenham uma aplicação.
Esta prova possui questões dissertativas 
com alto grau de dificuldade. Portanto, de-
vemos somar os conteúdos deste livro com 
os próximos para resolver os exercícios.
Encontraremos propriedades de potencia-
ção e radiciação em questões tanto de Ma-
temática como de Física e Química. Não é 
difícil encontrar alguma questão em ambas 
as fases da Vunesp, exigindo do candidato 
a produção de equações do 1.º e 2.º graus. 
Dentro dos temas abordados neste livro, 
os equacionamentos do 1.º e 2.º graus 
possuem maior incidência nesse vestibular.
Esta prova exigirá de seu candidato alta 
habilidade em potenciação. A leitura de um 
texto aliada a um raciocínio lógico-mate-
mático será fundamental para resolver pro-
blemas clássicos de equações do 1.º grau.
A PUC-Camp exige do candidato uma 
firme análise das propriedades básicas de 
potenciação e radiciação, quando explora 
questões de exponenciais e logaritmos.
O vestibular da Santa Casa aborda as 
propriedades de potenciação e radiciação, 
dentro dos exercícios de Exatas. Realizar 
equacionamentos do 1.º ou 2.º graus é 
imprescindível nas questões objetivas.
Apresenta questões bem elaboradas, que 
alinham os conteúdos deste livro com os 
próximos e outras áreas de Exatas.
A UFPR possui um vestibular com questões 
dissertativas e objetivas, com alto grau de 
dificuldade. O candidato deve resolver com 
proeza questões de equação do 1.º grau.
Esse vestibular exige pontos específicos 
do candidato, pois possui uma quantidade 
menor de questões. Assim, a resolução de 
equações do 1.º e 2.º graus e os outros 
temas abordados neste livro são funda-
mentais.
Tanto no exame de qualificação, quanto 
no exame discursivo, ocorrem questões de 
equações do 1.º e 2.º graus. Conceitos de 
potenciação e radiciação estarão, em gran-
de parte, das questões de Exatas.
O processo seletivo da Unigranrio possui 
questões mais diretas, diferentemente 
do Enem. Assim, a álgebra possui grande 
incidência nessa prova e o candidato deve 
estar muito bem esclarecido em relação a 
todos os temas.
O processo seletivo para Medicina da Sou-
za Marques possui questões contextualiza-
das, e os conteúdos abordados neste livro 
são essenciais para suas resoluções.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  7



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LU
M
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1
1. Potenciação
1.1. Potenciação com expoente natural
Representa-se por bn, sendo b (denominado base) um 
número real e n (denominado expoente) um número 
natural maior que 2, o produto de n fatores iguais a b, o 
seguinte produto:
bn = b ∙ b ∙ b ∙ ... ∙ b
n fatores
Modelo
 § Cálculo do valor de 25, no qual a base é um núme-
ro natural:
25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32
 § Cálculo do valor de (–3)3 e (–3)4, no qual a base é um 
número inteiro negativo:
(–3)³ = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = –27
(–3)4 = (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) = 81
 Atenção: Observe que, se a base for um número real ne-
gativo, e o expoente for um número natural ímpar, o re-
sultado será negativo; no entanto, se o expoente for um 
número natural par, o resultado será positivo.
 § Cálculo do valor de ( 2 __ 
3
 ) 3, no qual a base é um núme-
ro racional:
 ( 2 __ 
3
 ) 3 = ( 2 __ 
3
 ) ∙ ( 2 __ 
3
 ) ∙ ( 2 __ 
3
 ) = 8 ___ 
27
 
No caso em que n < 2, deve-se definir:
 § b0 = 1, para b ≠ 0;
 § b1 = b.
Algebricamente, sendo x ∈ ℝ, a potenciação pode ser es-
crita da seguinte forma:
x = x¹ x ∙ x = x² x ∙ x ∙ x = x³
1.2. Potenciação com expoente 
inteiro negativo
Dada uma base b real não nula e um expoente n ∈ ℤ, 
define-se:
b–n = 1 __ 
bn 
Assim, quando o expoente for um número inteiro negativo, 
pode-se inverter a base a fim de tornar o expoente positivo 
e efetuar as operações como foi visto anteriormente.
Modelo
 § 3–2 = 1 __ 
32 = 1 __ 
9
 
 § ( 2 __ 
5
 )–2
 = 1 ____ 
 ( 2 __ 
5
 ) 2
 = 1 ___ 
( 4 ___ 
25
 
 
)
 = 25 ___ 
4
 
 § 10–2 = 1 ___ 
102 = 1 ___ 
100
 = 0,01
 § x–1 = 1 __ x , sendo x ∈ ℝ e não nulo
1.3. Potenciação com expoente racional
Dado um número real a e um número racional m __ n , sendo 
m ∈ ℤ e n ∈ ℤ* (n ≠ 0), deve-se definir a potenciação de 
base a e expoente m __ n da seguinte forma:
a = n dXXX am 
Como é possível observar, quando há um expoente racio-
nal na forma da fração m __ n , pode-se reescrever a potên-
Fonte: Youtube
Introdução à potenciação
multimídia: vídeo
POTENCIAÇÃO 
E RADICIAÇÃO
COMPETÊNCIA(s)
1 e 2
HABILIDADE(s)
1, 3, 4, 7, 10 e 11
MT
AULAS 
1 E 2
8  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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LU
M
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1
cia como uma raiz n-ésima de am. Serão definidas 
as propriedades das raízes n-ésimas aritméticas no 
próximo capítulo.
1.4. Propriedades
De modo geral, sendo a e b números reais, e m e n núme-
ros inteiros, valem as seguintes propriedades:
Produto de potências de mesma base
Quando se tem o produto entre duas potências de mesma 
base, somam-se os expoentes e conserva-se a base:
P1: a
m ∙ an = am+n
 § 23 ∙ 25 = 23+5 = 28
 § ( 1 __ 
2
 ) 
5
 ∙ 23 = 2–5 ∙ 23 = 2–5+3 = 2–2 = 1 __ 
22 = 1 __ 
4
 
 § 16 ∙ 32 = 24 ∙ 25 = 24+5 = 29
 § x2 · ( 1 __ x ) = x2 ∙ x–1 = x1 = x
Quociente de potências de mesma base
Quando se tem o quociente entre duas potências de mes-
ma base, subtraem-se os expoentes e conserva-se a base:
P2: 
am
 __ an = am–n, se a ≠ 0
 § 5
7
 __ 
53 = 57–3 = 54
 § ( 1 
__
 3 ) 9 : ( 1 
__
 3 ) 5 = ( 1 
__
 3 ) 9–5 = ( 1 
__
 3 ) 4
 § x
7
 __ 
x3 = x4
Potência de um produto
A potência de um produto pode ser escrita como um pro-
duto de potências:
P3: (a ∙ b)m = am ∙ bm
 § (2 ∙ 5)³ = 2³ ∙ 5³ = 8 ∙ 125 = 1 000
 § (x ∙ y)² = x² ∙ y²
Potência de um quociente
A potência de um quociente pode ser escrita como um quo-
ciente de potências:
P4: ( a __ 
b
 ) 
m
 = a
m
 __ 
bm , se b ≠ 0
 § ( 2 __ 
3
 ) 2 
=
 
 2
2
 __ 
32 = 4 __ 
9
 
 § ( x __ yz ) 3 = x3
 ____ 
(yz)3 = x
3
 ___ 
y3z3 
Potência de uma potência
Quando se tem uma potência em que sua base apresen-
ta outra potência, mantém-se a base e multiplicam-se 
os expoentes:
P5: (a
m)n = am ∙ n
 § (52)3 = 52 ∙ 3 = 56
 § (2 ∙ 32)4 = 24 ∙ (32)4 = 24 ∙ 32 ∙ 4 = 24 ∙ 38
 § (x2 ∙ y5)3 = (x2)3 ∙ (y5)3 = x2 ∙ 3 · y5 ∙ 3 = x6 ∙ y15
Note que devido à propriedade comutativa da multiplica-
ção, resulta que (am)n = (an)m.
Atenção: Observe que (am)n ≠ amn. No caso de (am)n, a base 
do expoente n é am, e, no caso de amn, a base do expoente n 
é m, e mn é o expoente da base a. Veja um exemplo:
(2²)³ = (2²) ∙ (2²) ∙ (2²) = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64
22³ = 22 ∙ 2 ∙ 2 = 28 = 256
1.4.1. Resumo das propriedades
Sendo a e b números reais, e m e n números inteiros, 
segue que:
 § P1: a
m ∙ an = am+n
 § P2: 
am
 __ an = am – n, se a ≠ 0
 § P3: (a ∙ b)m = am ∙ bm
 § P4: ( a __ 
b
 ) 
m
 = a
m
 __ bm , se b ≠ 0
 § P5: (a
m)n = am ∙ n
1.5. Número na forma de potência
Nas expressões numéricas em que é possível escrever to-
das as potências com uma base comum, é possível utilizar 
as propriedades de potenciação descritas. Observe alguns 
exemplos utilizando a base 2:
Também é possível escrever alguns números racionais na 
forma de uma potência com base inteira:
 § 0,5 = 5 ___ 
10
 = 1 __ 
2
 = 2–1
 § 0,25 = 25 ___ 
100
 = 1 __ 
4
 = 2–2
 § 0,125 = 125 ____ 
1.000
 = 1 __ 
8
 = 2–3
MATEMÁTICA e suas tecnologias  9



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LU
M
E 
1
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
Veja como se pode simplificar o cálculo de uma expressão 
numérica envolvendo potências de mesma base:
[ 4 ∙ ( 1 __ 
8
 ) –2
 ∙ 163 ] –1
 _____________ 
0,58 ∙ ( 1 ___ 
32
 ) 2
 
Escrevendo cada fator como uma potência de base 2, 
segue que:
 
[ (22) ∙ (2–3)–2 ∙ (24)3 ] –1
 ________________ 
(2–1)8 ∙ (2–5)2 
Utilizando, agora, as propriedades da potenciação, pode-se 
realizar as simplificações:
 (2
2 ∙ 26 ∙ 212)–1
 ___________ 
2–8 ∙ 2–10 = (2
2+6+12)–1
 _______ 
2–8+(–10)
 = (2
20)–1
 _____ 
2–18 
= 2–20–(–18) = 2–2 = 1 __ 
4
 
1.6. Potências e notação científica
Como foi visto, potências do tipo bn podem ser utilizadas 
para simplificar um produto de n termos iguais a b. Quando 
se trata de grandezas muito grandes ou muito pequenas, 
podem-se utilizar potências de base 10 para representar 
esses números. Esse tipo de representação é denominada 
notação científica.
Observe a fórmula da notação científica:
m ∙ 10e
na qual m é denominado mantissa, um número racional 
maior do que 1 ou igual a 1 e menor que 10, enquanto que 
e é denominado a ordem de grandeza, expoente da base 10.
Caso deseje escrever o número 2 500 000 (dois milhões 
e quinhentos mil) de forma mais concisa:
2 .500. 000 = 2,5 ∙ 1.000. 000 = 2,5 ∙ 106
Imagine um grande prédio em construção, com todos os seus elementos e estruturas, fundações, vigas e tijolos. 
Fazendo uma analogia com a construção de um prédio, a potenciação e a radiciação são a base para a construção 
dos conhecimentos algébricos.
Você poderá utilizar os conhecimentos aprendidos de potenciação na disciplina de Física, no uso da notação científica, 
e na área de Geografia, mais especificamente na área de cartografia, uma vez que trabalhar com potências facilita a 
mudança de escalas.
2. Radiciação
Chama-se radical a raiz enésima de um número real a, sendo a um número maior ou igual a zero, quando n é um natural par; ou 
sendo a um número real, quando n é um natural ímpar.
 n √
__
 a , em que a [ R+ e n [ N, com n ≥ 2, é chamado de radical.
10  MATEMÁTICA e suas tecnologias



 V
O
LU
M
E 
1
Modelos
7 
 √
____
 −3 √
___
 16 5 √
__
 2 √
___
 1 ___ 
36
 
O termo radical também é representado pelo símbolo √
__
 0 .
2.1. Propriedades
2.1.1. Primeira propriedade
Observe um radical com índice ímpar:
 3 √
____
 125 = 5 e 125 = 53
 3 √
____
 125 = 3 √
__
 53 = 5
Agora, veja um radical com índice par:
 2 √
____
 121 = 11 e 121 = 112
 2 √
____
 121 = 2 √
___
 112 = 11
De modo geral, vale a igualdade n √
___
 an = a, para todo a [ 
R+ e n [ N, com n ≥ 2.
Modelos
 √
__
 42 = 4 6 √
__
 76 = 7 8 √
__
 78 = 7
Atenção: Essa propriedade é válida somente para a 
maior do que zero ou igual a zero.
Caso ocorra, por exemplo, 4 √
____
 (-2)4 , a expressão não equiva-
lerá a – 2, pois 4 √
____
 (-2)4 = 4 √
___
 16 = 2.
Se, porém, o índice for ímpar, a propriedade n √
__
 an = a 
continuará válida. Veja:
 3 √
____
 (-1)3 = –1
Dessa forma, para uma expressão com radicais, é preciso 
impor a condição de existência:
 § Se o índice for ímpar (n é ímpar), o radicando poderá 
ser qualquer número real: 
n
 √
__
 xn = x, x ∈ R
 § Se o índice for par (n é par), o radicando deverá ser um 
número real não negativo:
 n √
__
 xn = x, x ≥ 0 (condição de existência)
2.1.2. Segunda propriedade
Pode-se representar o número 2 por meio de diferentes radicais:
2 = 5 √
__
 25 
2 = 10
 √
___
 210 
Então: 5 √
__
 25 = 10 √
___
 210 
Para obter a igualdade, é possível fazer:
 10
 √
___
 210 = 10 : 2 √
____
 210 : 2 = 5 √
__
 25 
De modo geral, segue que n √
___
 am = 
n : p
 √
___
 am:p , para todo a [ 
R+ e n [ N, com n ≥ 2, sendo p um número diferente de 
zero e divisor comum de m e n.
Essa propriedade comumente é usada para simplificar al-
guns radicais.
Modelos
 8 √
__
 74 = 8 : 4
 √
____
 74 : 4 = 2 √
__
 7 
 10 √
___
 32 = 10
 √
__
 25 = 10 : 5
 √
____
 25 : 5 = 2 √
__
 2 
2.1.3. Terceira propriedade
Observe as expressões 3 √
_____
 27 ∙ 8 e 3 √
___
 27 · 3 √
__
 8 .
De modo geral, segue que: n √
____
 a ∙ b = n √
__
 a · n √
__
 b , para todo a 
[ R+, b [ R+ e n [ N, com n ≥ 2.
Modelos
 √_____
 4 ∙ 10 = √
__
 4 ∙ √
___
 10 
 4 √
_______
 1 ___ 
10
 ∙ 100 = 4 √
___
 1 ___ 
10
 ∙ 4 √
____
 100 
2.1.4. Quarta propriedade
Observe as expressões 3 √
___
 27 ___ 
8
 e 
3
 √
___
 27 ____ 
 3 √
__
 8 
 
De modo geral, segue que n √
__
 a __ 
b
 = 
n
 √
__
 a ___ 
 n √
__
 b 
 , 
para todo a [ R+, b [ R + * e n ∈ N, com n ≥ 2.
Modelos
 √
___
 30 ___ 
7
 = √
___
 30 ____ 
 √
__
 7 
 
 3 √
_____
 0,001 = 3 √
______
 1 _____ 
1.000
 = 3 √
__
 1 ______ 
 3 √
_____
 1.000 
 = 1 ___ 
10
 
MATEMÁTICA e suas tecnologias  11
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1
2.2. Potenciação e radiciação 
com radicais
Veja uma potenciação com radicais:
 ( 5 √
__
 2 ) 4 = 5 √
__
 2 · 5 √
__
 2 · 5 √
__
 2 · 5 √
__
 2 = 5 √
_________
 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 5 √
__
 24 
De modo geral, para efetuar a potenciação com um ra-
dical, eleva-se o radicando ao expoente dado: ( m √
__
 a ) n = 
m √
__
 an , em que a ≥ 0, m é um número natural maior que 1, 
e n é um número inteiro.
Atenção: Repare que, se a < 0, então ( m √
__
 a ) n ≠ m √
__
 an . Por exem-
plo, se a = −3, tem-se: 4 √
____
 ( −3)4 = 4 √
__
 34 = 3, ( 4 √
___
 −3 )4 não existe.
Modelo 1
 ( √
__
 5 ) 3 = √
__
 53 
 ( 2 3 √
__
 3 ) 
5
 = 25 · 3 √
__
 35 = 32 · 3 · 3 dXX 32 = 96 3 dXX 32 
 ( 6 dXXXXX 4 – x ) 2 = 62 · dXXXXXX (4 – x)2 = 36 · (4 – x) = 144 – 36x, 
com x ≤ 4
 ( dXX 5 + 3 ) 2 = ( dXX 5 ) 2 + 2 · dXX 5 · 3 + 32 = 5 + 6 dXX 5 + 9 = 14 + 6 dXX 5 
Para entender o procedimento da radiciação com radicais, 
compare as expressões:
 2 dXXXXX 3 dXXXX 729 = 2 dXX 9 = 3 e 6 dXXXX 729 = 3
Como as duas expressões são iguais a 3, então: 
 2 dXXXXX 3 dXXXX 729 = 6 dXXXX 729 = 3
De modo geral, para efetuar a radiciação com radicais, po-
de-se fazer m dXXX n dXX a = m · n
 dXX a , em que a ≥ 0 e m e n são núme-
ros naturais maiores que 1.
Modelo 2
 3 dXXX dXX 2 = 3 · 2
 dXX 2 = 6 dXX 2 
 dXXXXXXX
 3 dXXXXX 1.000 _____ 
64
 = 2 · 3
 dXXXXX 1.000 _____ 
64
 = 6 dXXXX
 103
 ___ 
26 = 
6
 dXXX 103 ____ 
 6 dXX 26 
 = 
dXXX 10 ____ 
2
 
2.3. Racionalização de denominadores
O processo de racionalização do denominador consiste em 
multiplicar a fração dada pelo número 1, escrito como fra-
ção, de modo que o produto nos denominadores seja um 
número racional.
 1 ___ 
 dXX 2 
 = 1 ___ 
 dXX 2 
 · 1 = 1 ___ 
 dXX 2 
 · 
dXX 2 ___ 
 dXX 2 
 = 1 · dXX 2 ______ 
 dXX 2 · dXX 2 
 = 
dXX 2 ____ 
 
 dXX 22 
 = 
dXX 2 ___ 
2
 
Observe que, depois da racionalização, escreve-se de outra 
forma o número dado, agora com denominador racional.
Calcular 
dXX 2 ___ 
2
 é mais simples do que calcular 1 ___ 
 dXX 2 
 .
Acompanhe a racionalização dos denominadores de alguns 
números agrupados nas situações a seguir:
Modelo 1
 § Racionalização do denominador de 2 ____ 
3 dXX 8 
 .
 2 ____ 
3 dXX 8 
 = 2 ____ 
3 dXX 8 
 · 
dXX 8 ___ 
 dXX 8 
 = 2 √
__
 8 ____ 
3 ∙ 8
 = √
__
 8 ___ 
12
 
 § Racionalização do denominador de 3 ___ 
 4 dXX 3 
 .
 3 ___ 
 4 dXX 3 
 = 3 ___ 
 4 dXX 3 
 · 
4
 dXX 33 ___ 
 4 dXX 33 
 = 3 4 dXX 33 ____ 
 4 dXX 34 
 = 3 4 dXX 33 ____ 
3
 = 4 dXX 33 
Modelo 2
 § Racionalização do denominador de 3 ______ 
 dXX 3 + 1
 .
Como nesse denominador há uma adição em que pelo me-
nos uma parcela é um número irracional, utiliza-se o produto 
da soma pela diferença para racionalizar o denominador.
3
 § Racionalização do denominador de 2 _______ 
 dXX 2 + dXX 5 
 .
Nesse denominador, há uma adição de dois números 
irracionais. Para racionalizá-lo, multiplica-se a fração 
por: 
Racionalização do denominador de dXX 6 ______ 
4 – dXX 5 
 .
Fonte: Youtube
Uma Mente Brilhante
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12  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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1
O produto da soma pela diferença de a e b é:
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
2.4. Potência com expoente fracionário
O expoente de uma potência pode ser um número em for-
ma de fração.
Observe o exemplo a seguir:
51/2 = ( √
___
 51/2 )2 : 1.ª propriedade dos radicais
( √
___
 51/2 )2 = dXXX 51/2 · dXXX 51/2 = dXXXXXX 51/2 + 1/2 : propriedade do 
produto de potências de mesma base
 dXXXXXX 51/2 + 1/2 = dXX 51 = dXX 5 
Portanto: 51/2 = dXX 5 .
Se 51/2 = dXX 5 , então 53/2 = (51/2)3 = ( dXX 5 ) 3 = dXX 53 
Da mesma forma, é possível escrever outras potências de 
expoente fracionário como um radical.
25/3 = 3 dXX 25 
 [ 1 __ 
8
 ] 2/3
 = 3 dXXXX
 [ 1 __ 
8
 ] 2 = 3 √
____
 ( 1 __ 
23 ) 2 = 3 dXXX
 1 __ 
26 = 1 __ 
4
 
(0,3)2/7 = 7 dXXXXX (0,3)2 = 7 √
____
 0,09 
De modo geral, pode-se dizer que am/n = n √
__
 am para todo a 
[ R+, m [ Z e n [ N, com n ≥ 2.
Aplicação do conteúdo
1. Examine as afirmações a seguir: 
I. A subtração ( 2 √
__
 8 – 3 √
__
 2 ) 3 equivale a 2 √
__
 2 .
II. 5 √
__
 8 é maior do que 11 √
__
 2 .
III. (6 √
__
 3 )2 é igual a 108.
As afirmativas corretas são: 
a) I e II apenas.
b) I e III apenas.
c) II e III apenas.
d) I, II e III.
Resolução: 
I. Correta. Desenvolvendo a subtração:
(2 √
__
 8 – 3 √
__
 2 )3 = (2 √
__
 23 – 3 √
__
 2 )3 = 
= (2 √
__
 22 · 2 – 3 √
__
 2 )3 = 
= (2 √
__
 22 · √
__
 2 – 3 √
__
 2 )3 = (4 √
__
 2 – 3 √
__
 2 )3 = 
= ( √
__
 2 ) 3 = 2 √
__
 2 
II. Incorreta. 5 √
__
 8 = 5 √
______
 22 ∙ 2 = 5 √
__
 22 · √
__
 2 = 
= 10 √
__
 2 < 11 √
__
 2 
III. Correta. Tem-se: (6 √
__
 3 )2 = 36 · 3 = 108
Alternativa B
2. Analise as seguintes expressões:
I. 3 √
___
 12 ____ 
2
 = 3 √
__
 2 
II. (2 √
__
 3 )
-1
 = 
√
__
 3 ___ 
6
 
III. (24)
 1 
__
 2 
 = 2 √
__
 2 
A(s) alternativa(s) verdadeira(s) é(são): 
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.
Resolução: 
I. Incorreta. 3 √
___
 12 ____ 
2
 = 3 · 2 · √
__
 3 ________ 
2
 = 3 √
__
 3 
II. Correta. (2 √
__
 3 )-1 = 1 ____ 
2 √
__
 3 
 · 
√
__
 3 ___ 
 √
__
 3 
 = 
√
__
 3 ___ 
6
 
III. Incorreta. (24)
 1 
__
 2 
 = 2 4 
__
 2 = 22 = 4
Alternativa B
3. Assinale a alternativa correta:
a) √
__
 4 + √
__
 5 < 3
b) ( √
__
 3 + √
__
 2 )2 = ( √
__
 3 )2 + ( √
__
 2 ) 2 = 3 + 2 = 5
c) 9 ___ 
 √
__
 3 
 = 6 √
__
 3 
d) 4 ______ 
 ( √
__
 5 − 1 ) 
 = √
__
 5 + 1 
e) √
___
 16 = ±4 
Resolução: 
a) Incorreta, pois √
__
 4 + √
__
 5 > 3
b) Incorreta, pois ( √
__
 3 + √
__
 2 ) 2 =
= ( √
__
 3 ) 2 + 2 √
__
 3 ∙ √
__
 2 + ( √
__
 2 )2 = 5 + 2 √
__
 6 .
c) Incorreta, pois 9 ___ 
 √
__
 3 
 = 9 ___ 
 √
__
 3 
 ∙ 
√
__
 3 ___ 
 √
__
 3 
 = 9 √
__
 3 ____ 
3
 = 3 √
__
 3 .
d) Correta, pois 4 ______ 
 ( √
__
 5 – 1 ) 
 · 
√
__
 5 + 1 ______ 
 √
__
 5 + 1
 = √
__
 5 + 1 .
e) Incorreta, pois √
___
 16 = 4.
Alternativa D
MATEMÁTICA e suas tecnologias  13
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1
4. Analisando os números reais,
x = √
___
 2,7... 
y = [ √
____
 0,25 + (163/4)-1 ] -1
z = 3 √
____
 (23)2 – √
________
 
3
 √
__
 56 · ( 5 __ 
6
 ) -2 
é FALSO afirmar que:
a) z _ y < – 3 __ 
2
 
b) x – y < 1 __ 
5
 
c) x + z < 0
d) x + y + z ∉ ( ℝ – ℚ)
Resolução: 
x = √
___
 2,7... = √
_____
 2 + 7 __ 
9
 = √
___
 25 ___ 
9
 = 5 __ 
3
 
y = [ √____
 0,25 + ( 4 √
___
 163 ) -1 ] 
-1
 ⇒
⇒ y = ( √
__
 1 __ 
4
 + 4 √
_____
 ( 1 ___ 
16
 ) 3 ) 
-1
 ⇒ y = ( 1 __ 
2
 + 1 __ 
8
 ) 
-1 
⇒ y= ( 5 __ 
8
 ) 
-1⇒ y = 8 __ 
5
 
z = 3 √
____
 (23)2 – √
________
 3 √
__
 56 ∙ ( 5 __ 
6
 ) -2 = 26/3
 
 – √
________
 56/3 ∙ ( 6 __ 
5
 ) 2 ⇒ 
⇒ 22 – √
_____
 52 · 36 ___ 
25
 = 4 – 6 = –2
a) Falso. 
 z __ y < – 3 __ 
2
 : - 2 __ 
 8 __ 
5
 
 = –2 · 5 __ 
8
 = – 5 __ 
4
 e – 5 __ 
4
 > – 3 __ 
2
 .
b) Verdadeiro. 
x – y < 1 __ 
5
 : 5 __ 
3
 – 8 __ 
5
 < 1 __ 
5 
 = 1 ___ 
15
 < 1 __ 
5
 . 
c) Verdadeiro. 
x + z < 0 : 5 __ 
3
 – 2 < 0 = -- 1 __ 
3
 < 0. 
d) Verdadeiro. 
x + y + z ∉ (ℝ – ℚ), pois a soma de três números 
racionais será sempre um número racional.
Alternativa A
5. O valor da expressão √
___
 50 – √
___
 18 + √
___
 98 é: 
a) √
____
 130 
b) –5 √
__
 2 
c) 9 √
__
 2 
d) 5 √
___
 13 
e) 15 √
__
 2 
Resolução: 
 √
___
 50 – √
___
 18 – √
___
 98 =
= 5 √
__
 2 – 3 √
__
 2 – 7 √
__
 2 = 
= –5 √
__
 2 
Alternativa B
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-alge-
bra-exponents-radicals
multimídia: site
14  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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1
DIAGRAMA DE IDEIAS
POTENCIAÇÃO
RADICIAÇÃO
EXPOENTE
(QUANTIDADE DE VEZES 
QUE A BASE É MULTIPLI-
CADA POR ELA MESMA)
BASE
(NÚMERO A SER 
MULTIPLICADO)
OPERAÇÃO INVERSA 
DA POTENCIAÇÃO
a a• a• a• a•... •a
n
n VEZES
(BASE)
(RADICANDO)
(EXPOENTE)
(ÍNDICE)
"RAIZ" VEM DO 
LATIM RADIX, QUE
QUER DIZER "LADO".
QUANDO ALGUÉM 
DIZ "RAIZ 
QUADRADA DE 9", 
ESTÁ PENSANDO EM 
"QUAL É O LADO 
DO QUADRADO 
DE ÁREA 9?".
an
9=3 9 3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
MATEMÁTICA e suas tecnologias  15
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1
1. Equações
A primeira referência conhecida que trata das equações 
está relacionada ao chamado Papiro de Rhind (também 
conhecido como Papiro de Ahmes), um dos documentos 
egípcios mais antigos sobre Matemática, escrito no ano de 
1650 a.C.
A álgebra começa a ser pesquisada a partir do século IX, 
com a obra de Al-Khwarizmi (738-850 d.C), que trata do 
estudo das equações com uma ou mais incógnitas em uma 
resolução de problema. Em sua interpretação, quando é 
possível representar em linguagem simbólica, na forma de 
uma equação, o resultado é a equação como uma conse-
quência da situação-problema. Al-Khwarizmi, um dos maio-
res matemáticos árabes, resolvia as equações de um modo 
semelhante ao atual: tudo, até mesmo os números, era re-
presentado por palavras. O livro Al-jabr wa’l mugãbalah tra-
zia explicações minuciosas sobre a resolução de equações.
Diofante, por sua vez, foi um matemático grego que viveu 
no século III. Ele se dedicou à álgebra e aplicou a ideia de 
representar um número desconhecido por uma letra; as-
sim, influenciou decisivamente outros matemáticos.
A equação de 1.º grau é definida como “uma sentença 
aberta que exprime uma igualdade entre duas expres-
sões numéricas”.
A palavra “equação” deriva do latim equatione, que significa 
“equacionar”, “igualar”. As expressões numéricas, separa-
das pelo sinal de igualdade, chamam-se “membros”; cada 
membro é composto por “termos”; e esse termo, que multi-
plica as letras, chama-se “coeficiente de termo”.
Observe a seguinte igualdade:
1 + x = 3
Essa igualdade leva o nome de sentença matemática 
aberta ou equação, pois pode ser verdadeira ou falsa, de-
pendendo do valor atribuído à variável x. Nesse caso, se o 
valor de x for 3, a sentença será falsa. Por outro lado, se o 
valor atribuído for 2, a sentença será verdadeira. Como x = 
2 torna a sentença verdadeira, afirma-se que o número 2 é 
a raiz da equação. 
O conjunto dos valores que tornam uma equação verdadei-
ra é chamado de conjunto solução. No exemplo dado, o 
conjunto solução S é:
S = {2}
https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/
cc-6th-equations-and-inequalities
multimídia: site
Modelos
1. 2x + 4 = 6, para x [ R
O único valor real que torna a equação verdadeira é x = 1, 
logo S = {1}.
2. x² = 4, para x [ R
Os valores reais que tornam a equação verdadeira são 
x = 2 ou x = –2, logo S = {–2, 2}.
3. 0x + 1 = 1, para x [ R
Nesse caso, nota-se que independentemente do valor de x, 
a equação é verdadeira, logo S = R.
4. x² = –1, para x [ R
Nesse caso, nota-se que não há valor real de x que torne a 
equação verdadeira, logo S = Ø.
Para descobrir os valores que compõem o conjunto solu-
ção, é possível manipular a equação utilizando algumas 
propriedades com o intuito de isolar a variável (incógnita) 
em um dos membros da equação.
P1: Se um mesmo número for somado ou subtraído 
de ambos os membros de uma igualdade, a igualdade 
permanecerá verdadeira. 
EQUAÇÕES 
DO PRIMEIRO 
GRAU E 
PROBLEMAS 
CLÁSSICOS
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19, 21, 22 e 23
MT
AULAS 
3 E 4
16  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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1
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
Modelos
1. x – 4 = 10
x – 4 + 4 = 10 + 4
x = 14
Logo, S = {14}
2. 3 + x = 1
3 + x – 3 = 1 – 3
x = –2
Logo, S = {–2}
P2: Se ambos os membros de uma igualdade forem 
multiplicados ou divididos por um mesmo número, a 
igualdade permanecerá verdadeira. 
Modelos:
1. x __ 
4
 = 6
 x __ 
4
 · 4 = 6 · 4
x = 24
Logo, S = {24}
2. –2x = 6
 –2x ___ 
–2
 = 6 ___ 
–2
 
x = –3
Logo, S = {–3}
A equação do primeiro grau é a mais simples das equações estudadas no Ensino Médio, mas não é menos importan-
te do que as outras. As famosas fórmulas da disciplina de Física, como Q = m · c · Dq, que equaciona a quantidade 
de calor, e a equação horária do movimento retilíneo uniforme, s = S0 + vt, são equações do primeiro grau. 
Aprender a manipular as equações do primeiro grau fará com que você aumente seus horizontes tanto em 
Matemática quanto em Física.
2. Equações de primeiro grau
Uma equação do primeiro grau pode ser representada na 
forma ax + b = 0, com a i 0, a partir de manipulações 
algébricas descritas anteriormente. Uma vez escrita nessa 
forma, é possível encontrar facilmente o conjunto solução 
subtraindo o termo independente b de ambos os membros 
e, em seguida, dividindo-os por a.
Em uma equação de primeiro grau, ocorrem apenas ope-
rações de soma, subtração, multiplicação e divisão. Assim, 
é possível reduzir uma equação de primeiro grau à forma 
ax + b = 0, realizando apenas essas quatro operações.
Observe alguns exemplos de como manipular as equações 
com o intuito de isolar a incógnita:
1. Resolver 5(x – 3) = –2(x – 1)
Deve-se aplicar a propriedade distributiva, com o objetivo 
de eliminar os parênteses, respeitando a regra de sinais:
5x – 15 = –2x + 2
Somando 2x em ambos os membros para isolar a incógnita:
5x – 15 + 2x = –2x + 2 + 2x ä 7x – 15 = 2
Somando 15 em ambos os membros e finalmente 
dividindo por 7:
7x – 15 + 15 = 2 + 15 ä 7x = 17
 7x __ 
7
 = 17 ___ 
7
 à x = 17 ___ 
7
 
Logo, S = { 17 ___ 
7
 } .
2. Resolver x __ 
4
 = 5 __ 
2
 
Para cancelar o denominador 4 da fração x __ 
4
 , ambos os 
membros devem ser multiplicados por 4:
 x __ 
4
 · 4 = 5 __ 
2
 · 4 x = 20 ___ 
2
 = 10
Logo, S = {10}.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  17
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1
3. Resolver x ___ 
–4
 = 3 __ 
2
 
De modo semelhante ao exemplo anterior, ambos os 
membros da igualdade devem ser multiplicados por –4:
 x ___ 
–4
 · (–4) = 3 __ 
2
 · (–4)
x = –12 ____ 
2
 = –6
Logo, S = {–6}.
Outra maneira de resolver equações desse tipo é realizan-
do o produto cruzado:
 a __ 
b
 = c __ 
d
 à a · d = b · c
 x ___ 
–4
 = 3 __ 
2
 à 2x = 3(–4)
2x = –12 à x = –12 ____ 
2
 = –6
4. Resolver x + 2 _____ 
6
 = 5 __ 
3
 
Realizando o produto cruzado, tem-se:
3(x + 2) = 6 · 5 à 3x + 6 = 30
3x = 30 – 6
3x = 24
x = 24 ___ 
3
 = 8
Logo, S = {8}.
5. Resolver 12 – x ______ 
3
 + 1 = x __ 
2
 
Em somas ou subtrações de frações, primeiramente é pre-
ciso encontrar o mínimo múltiplo comum entre os deno-
minadores. Assim, todos os denominadores são reduzidosa um denominador comum, permitindo, então, cancelá-lo:
mmc(1,2,3) = 6
 2 · (12 – x) + 6 · 1 ______________ 
6
 = 3 · x ____ 
6
 
Multiplicando ambos os membros por 6, os denominado-
res são cancelados. Efetuando as operações no restante da 
igualdade, tem-se:
24 – 2x + 6 = 3x à 30 = 3x + 2x ⇔ 30 = 5x
x = 30 ___ 
5
 = 6
Logo, S = {6}.
2.1. Resolvendo sistemas de duas 
equações de primeiro grau
Em problemas envolvendo equações de primeiro grau, é 
possível ter mais de uma incógnita a ser calculada. 
Nesse caso, deve-se ter também mais de uma equação. 
Um conjunto de equações determina um sistema de 
equações. Existem principalmente dois métodos para 
resolver tais sistemas: o método da substituição e o 
método da adição.
2.1.1. Método da substituição
Esse método consiste em obter, a partir de uma das equações, 
uma incógnita em função das demais. Depois, substitui-se 
esse resultado nas outras equações. Observe um exemplo:
Considere as seguintes equações:
Primeiramente, escolhe-se uma das equações e isola-se 
qualquer uma das incógnitas. Por exemplo, a incógnita x 
na equação (I) é isolada:
(I) x + 3y = 11 ä x = 11 – 3y
Em seguida, o valor encontrado para x na equação é subs-
tituído na equação (II):
(II) 2x + y = 7
2(11 – 3y) + y = 7
22 – 6y + y = 7
–5y = –15
y = –15 ____ 
–5
 = 3
Logo, y = 3.
Com esse resultado, é possível substituir o valor de y em 
quaisquer das equações. Utilizando a equação (I):
(I) x + 3y = 11
x + 3(3) = 11
x + 9 = 11
x = 2
Assim, a solução do sistema de equações é S = {(2; 3)}
2.1.2. Método da adição
Esse método consiste em igualar os coeficientes de uma 
das incógnitas em ambas as equações de modo que, ao so-
má-las, esses coeficientes se anulem, diminuindo a quanti-
dade de incógnitas. Veja o exemplo:
Considere o mesmo sistema de equações do exemplo 
anterior:
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VIVENCIANDO
Se a equação (I) for multiplicada por −2, será obtido o 
seguinte sistema:
Somando a equação (I) e (II), tem-se:
Observe que a escolha do fator –2 para multiplicar a equa-
ção teve como finalidade igualar o valor absoluto dos 
coeficientes da incógnita x nas duas equações.
Agora, a partir do valor de y, basta substituir em qualquer 
das equações. Em (I), tem-se:
(I) x + 3y = 11
x + 3(3) = 11
x + 9 = 11
x = 2
Assim, a solução do sistema de equações é S = {(2; 3)}.
Nos restaurantes por quilo, ou self-service, ocorre um exemplo de aplicação de uma equação de primeiro grau. Três 
informações são indicadas no leitor da balança: 1) o peso da comida; 2) o valor por quilo da comida; 3) o valor a 
ser pago. Com duas das três informações, é possível verificar a terceira informação desconhecida por meio de uma 
equação do primeiro grau: 
Peso da comida = x gramas
Valor do kg da comida = R$ 30,00 / kg
Valor a ser pago: R$ 12,00
Valor a ser pago = Peso da comida multiplicado pelo valor do quilo da comida
R$12,00 = x kg ∙ 30 R$/kg
12 = x ∙ 30 
x = 12 ___ 
30
 
x = 0,4 kg ou 400 g
Aplicação do conteúdo
A resolução de um problema matemático consiste em trans-
formá-lo em linguagem matemática, como uma equação, 
utilizando os dados fornecidos para chegar a uma conclu-
são, com base no pedido no enunciado. Por meio de alguns 
exemplos, será demonstrado como problemas envolvendo 
equações de primeiro grau são enunciados.
1. Dado um número x, a soma do dobro desse número 
com 6 equivale à diferença entre o triplo desse número 
e 4. Qual é esse número?
Resolução:
 § “soma do dobro desse número com 6”: 2x + 6
 § “diferença entre o triplo desse número e 4”: 3x – 4
Logo:
2x + 6 = 3x – 4
6 + 4 = 3x – 2x
10 = x
Portanto, o número pedido é 10.
2. Um executivo distribui seus rendimentos mensais da 
seguinte maneira: 1 __ 
8
 para o plano de saúde, 1 __ 
4
 para a 
poupança, 1 __ 
6
 para a alimentação e a moradia e os R$ 
6.600,00 restantes para o lazer. Quanto o executivo 
poupa a cada mês?
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Resolução:
Quando o problema menciona “ 1 __ 
8
 para o plano de saúde”, 
entende-se que ele destina 1 __ 
8
 do valor total que recebe 
para o plano de saúde. Como o valor que ele recebe ao todo 
não é conhecido, ele é denominado x. Assim, é possível escre-
ver que, para o pagamento do plano de saúde, ele destina 1 __ 
8
 
de x, ou seja, 1 __ 
8
 ∙ x = x __ 
8
 .
Assim, se todos os valores que ele destina a cada atividade 
forem somados, teremos o valor total de x:
 x __ 
8
 + x __ 
4
 + x __ 
6
 + 6 600 = x
mmc(4,6,8) = 24
⇒13x + 158 400 = 24x ⇒
⇒158 400 = 24x – 13x ⇒
⇒158 400 = 11x⇒
⇒ x = 158 400 _______ 
11
 = 14 400
Dessa forma, como o valor total recebido mensalmente 
pelo executivo foi denominado x, segue que o valor P des-
tinado à poupança corresponde a 1 __ 
4
 de x:
P = 1 __ 
4
 x = x __ 
4
 = 14.400 ______ 
4
 = 3 600
Portanto, o executivo poupa R$3 600,00 ao mês.
3. Em uma chácara, há galinhas e vacas, totalizando 14 
cabeças e 38 pés. Calcule o número de galinhas.
Resolução:
Sendo x o número de galinhas e y o número de vacas, 
e considerando que cada vaca e cada galinha possuem 
uma cabeça, cada galinha possui dois pés, e cada vaca, 
quatro. Tem-se:
Como o objetivo é obter o número de galinhas (x), pelo 
método da adição é possível eliminar a outra incógnita (y). 
Assim, a equação (I) deve ser multiplicada por –4, e ambas 
as equações devem ser somadas:
Multiplicando ambos os lados da equação por –1, tem-se:
–2x = –18 à 2x = 18 ⇒ x = 9
Portanto, nessa chácara há 9 galinhas.
4. Em uma escola de música, o salário mensal de 
um professor é de R$ 800,00. Além disso, ele ganha 
R$ 20,00 por mês por cada aluno inscrito em suas au-
las. Para receber R$ 2.400,00 por mês, quantos alunos 
devem estar matriculados em suas aulas?
Resolução:
Considerando x a quantidade de alunos matriculados e 
multiplicando o valor recebido por cada aluno matricula-
do (R$ 20,00) pela quantidade de alunos matriculados, 
obtém-se o valor recebido pelo professor por cada aluno 
inscrito em suas aulas.
Somando ao valor fixo de R$ 800,00, chega-se ao salário 
final do professor. Como ele deve receber mensalmente 
R$ 2.400,00, tem-se a seguinte equação:
20 · x + 800 = 2 400
Resolvendo a equação:
20 · x = 2 400 – 800
20 · x = 1 600
x = 1.600 _____ 
20
 = 80
Assim, deve haver 80 alunos matriculados.
3. Problemas clássicos
Alguns problemas são comuns no vestibular, e não há fór-
mula para resolvê-los. No entanto, analisando a resolução 
de alguns deles, é possível utilizar os mesmos métodos 
para problemas semelhantes. Observe os exemplos:
 § Uma torneira enche um tanque em 16 horas, e outra, em 12 
horas. Estando o tanque vazio e abrindo simultaneamente 
as duas torneiras, em quanto tempo encherão o tanque?
 § Um trabalhador em uma fazenda consegue arar todo 
o campo em 16 horas. Um outro trabalhador consegue 
arar o mesmo campo em 12 horas. Em quanto tempo 
os dois trabalhadores conseguem arar um campo idên-
tico trabalhando ao mesmo tempo?
Note que os dois problemas, apesar de tratarem de temas 
distintos, possuem semelhanças. Com efeito, a resolução 
de ambos é idêntica. Assim, se soubermos resolver um de-
les, também saberemos resolver o outro. 
Devido a essa similaridade entre questões, serão apre-
sentados alguns problemas e suas resoluções para que 
os métodos de resolução possam ser aplicados em outras 
situações que podem aparecer no vestibular.
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3.1. O problema das torneiras
Uma torneira enche um tanque em 16 horas, e outra, em 12 
horas. Estando o tanque vazio e abrindo simultaneamente as 
duas torneiras, em quanto tempo encherão o tanque?
Análise
Nessa situação-problema, não é possível aplicar a regra de 
três, uma vez que as capacidades de trabalho das torneiras 
são diferentes. O caminho, nesse caso, é identificar as fra-
ções do trabalho que as respectivas torneirasrealizam em 
uma unidade de tempo. Assim, é preciso verificar a parte 
do tanque que cada torneira enche em 1 hora.
 § Se a primeira torneira enche o tanque todo em 16 
horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 
16
 do tanque.
 § Se a segunda torneira enche o tanque todo em 12 
horas, então em 1 hora ela encherá 1 ___ 
12
 do tanque.
Solução
Sendo x horas o tempo que as duas torneiras gastarão 
para encher o tanque juntas, em uma hora elas encherão 
 do tanque.
Assim, 
Veja: 6 __ 
7
 h = 6 __ 
7
 · 60 min = 360 ___ 
7
 min = 51 3 __ 
7
 min
Resposta: 6 6 __ 
7
 horas ou 6 horas e 51 3 __ 
7
 minutos.
3.2. O problema das lojas
Juliana foi ao shopping center e entrou em 5 lojas. Em cada 
uma, gastou R$ 1,00 a mais do que a metade do que tinha 
ao entrar. Ao sair do shopping center, pagou R$ 3,00 de 
estacionamento e ficou com R$ 2,00. Quanto Juliana tinha 
antes de entrar na primeira loja?
Solução algébrica
Sendo x reais a quantia inicial de Juliana, tem-se:
Loja
Entrou 
com...
Gastou Saiu com...
1 x x __ 
2
 + 1 x __ 
2
 – 1
2 x – 2 ____ 
2
 x – 2 ____ 
4
 + 1 x – 2 ____ 
4
 – 1
3 x – 6 ____ 
4
 x – 6 ____ 
8
 + 1 x – 6 ____ 
8
 – 1
4 x – 14 _____ 
8
 x – 14 _____ 
16
 + 1 x – 14 _____ 
16
 – 1
5 x – 30 _____ 
16
 x – 30 _____ 
32
 + 1 x – 30 _____ 
32
 – 1
Depois de pagar R$ 3,00 de estacionamento, resulta que:
 x – 30 _____ 
32
 – 1 – 3 = 2 ⇒ x – 30 _____ 
32
 = 6 ⇒ x = 222
Solução aritmética
Observando a situação-problema do fim ao começo, tem-se:
54
Resposta: Juliana tinha no início R$ 222,00.
3.3. O problema das idades
Eric diz a Douglas: “Hoje eu tenho o dobro da idade que 
tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu 
tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades 
será 90 anos”. Descubra a idade atual de cada um.
Análise
Uma bom auxílio para resolver os problemas de idade é 
construir uma tabela contendo as idades dos personagens 
envolvidos, no presente e/ou no passado e/ou no futuro e, em 
seguida, montar equações considerando que a diferença en-
tre idades não muda: “Se, quando Douglas nasceu, Eric tinha 
x anos, Eric sempre será x anos mais velho do que Douglas no 
presente, no passado ou no futuro”.
Solução
Considerando os dados do problema, é possível construir 
a seguinte tabela.
Passado Presente Futuro
Eric y 2x 90 – 2x
Douglas x y 2x
Acompanhe passo a passo a construção da tabela:
1. Eric disse: “Hoje eu tenho o dobro da idade que tu tinhas 
[...]”. Daí, Eric, no presente, tem 2x anos, e Douglas, x anos, 
no passado.
2. Eric disse: “[...] quando eu tinha a idade que tu tens”.
Então, Eric tinha y anos no passado (quando Douglas tinha 
x anos), sendo y anos também a idade de Douglas hoje, 
no presente.
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3. Eric disse: “Quando tu tiveres a idade que eu tenho [...]”. 
Então, no futuro, a idade de Douglas será 2x (a mesma de 
Eric no presente).
4. Eric disse: “[...] a soma das nossas idades será 90 anos”. 
Então, como no futuro a idade de Douglas será 2x, a de 
Eric será o que está faltando para completar os 90 anos, ou 
seja, a idade de Eric será (90 – 2x) anos.
Considerando que, em qualquer tempo, a diferença entre 
as idades será sempre a mesma:
I. y – x = 2x – y ⇒ 2y = 3x
Aqui, recorre-se ao artifício do problema da proporção para 
evitar as frações.
2y = 3x = 6k ⇔ 
x = 2k
y = 3k
II. y – x = (90 – 2x) – 2x ⇒ y + 3x = 90 
⇒ 3k + 6k = 90 ⇒ k = 10 
⇒ 
x = 20
y = 30
Logo, hoje Eric tem 2x = 40 anos, e Douglas, y = 30 anos.
3.4. O problema dos tratores
Para arar um campo, o primeiro trator gasta 2 horas a 
menos do que o terceiro e uma hora a mais do que o 
segundo. Se o primeiro e o segundo tratores trabalha-
rem juntos, a operação pode ser feita em 1 hora e 12 
minutos. Quanto tempo gastariam os 3 tratores, juntos, 
para arar um campo idêntico?
Análise
Se, para efetuar um trabalho, gastam-se 3 horas, em uma 
hora faz-se 1 __ 
3
 desse trabalho. Assim, se, para efetuar um 
trabalho, gastam-se x horas, em uma hora faz-se 1 __ x des-
se trabalho.
Solução
Se o terceiro trator gasta sozinho x horas, tem-se:
1. Tempo gasto pelo primeiro trator : (x – 2) horas
2. Tempo gasto pelo segundo trator : tempo gasto pelo 
primeiro trator, menos 1 hora : (x – 3) horas.
Observe: Se o primeiro trator gasta uma hora a mais do 
que o segundo, então o segundo gasta uma hora a menos 
do que o primeiro.
3. 1h e 12 minutos = ( 1 + 12 ___ 
60
 ) h = 6 __ 
5
 h
4. Em uma hora de trabalho, o primeiro trator realiza 1 ____ 
x – 2
 
do serviço, o segundo faz 1 ____ 
x – 3
 , e os dois, juntos, fazem 
 1 __ 
 6 __ 
5
 
 = 5 __ 
6
 . Assim:
⇒5x2 – 37x + 60 = 0 ⇒
⇒ x = 5 ou x = 2,4 (não convém)
Dessa forma, o primeiro, o segundo e o terceiro tratores gas-
tam, respectivamente, x – 2 = 3h, x – 3 = 2h e x = 5h. En-
tão, se os três gastarem y horas para fazer o serviço juntos, 
em uma hora eles farão:
 1 __ y = 1 __ 
2
 + 1 __ 
3
 + 1 __ 
5
 = 31 ___ 
30
 
Resposta: 30 ___ 
31
 horas.
3.5. O problema da água e do vinho
Um barril contém 30 litros de água, e o outro, 20 litros 
de vinho. Simultaneamente, x litros de cada barril são tro-
cados. Essa operação se repete várias vezes e é possível 
comprovar que a quantidade de vinho em cada barril se 
mantém constante depois da primeira operação. Determi-
ne quantos litros (x) são trocados em cada operação.
Solução
De início, tem-se:
No 1.º barril: 
água = 30 L
vinho = 0
No 2.º barril: 
água = 0
vinho = 20 L
Depois da primeira troca, tem-se:
No 1.º barril: 
água = (30 – x) L
vinho = x L
fração de vinho = x ___ 
30
 
No 2.º barril: 
água = x L
vinho = (20 – x) L
fração de vinho = 20 – x _____ 
20
 
 ( Lembre-se: fração = 
parte
 ____ 
todo
 ) 
A partir da primeira troca, as quantidades de vinho perma-
necem inalteradas em cada barril. Então, as quantidades 
de vinho trocadas são iguais:
Vinho que sai do 1.º barril = Vinho que sai do 2.º barril. As-
sim, obtém-se:
 x ___ 
30
 · x = ( 20 – x _____ 
20
 ) · x
Uma vez que x é diferente de zero, tem-se:
 x __ 
3
 = 20 – x _____ 
2
 ⇒ x = 12
Resposta: 12 litros
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DIAGRAMA DE IDEIAS
EQUAÇÕES DO 1.º GRAU
PROBLEMAS 
CLÁSSICOS
 • DAS TORNEIRAS
 • DAS LOJAS
 • DAS IDADES
 • DA ÁGUA E DO VINHO
 • DOS TRATORES
VOLUME VERSUS TEMPO
DECRÉSCIMOS SUCESSIVOS
ORGANIZAÇÃO DE TABELAS: IDADE VERSUS TEMPO
MISTURA
EXECUÇÃO DE TRABALHO VERSUS TEMPO
CONHECIMENTOS 
PRÉVIOS:
• OPERAÇÕES BÁSICAS
• FRAÇÕES
• DISTRIBUTIVAS
• X É UMA INCÓGNITA
• TODA EQUAÇÃO TEM UM 
CONJUNTO SOLUÇÃO. 
• 2 É A RAIZ QUE TORNA A 
EQUAÇÃO UMA SEN-
TENÇA VERDADEIRA.
1 + x = 3
1.º MEMBRO
IGUALDADE ENTRE 
OS MEMBROS
2.º MEMBRO
EXIGE UMA 
LEITURA ATENTA
ORGANIZAÇÃO 
NAS SOLUÇÕES
NÃO POSSUEM UMA 
FÓRMULA PRONTA
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1. Equações do segundo grau
Uma equação de segundo grau pode ser escrita na forma 
ax² + bx + c = 0, com a i 0 e a, b e c parâmetros reais. 
As equações desse tipo podem apresentar até duas solu-
ções distintas, ou seja, podem existir dois valores reais de 
x que satisfaçam a igualdade. É por meio da fórmula de 
Bhaskara que as soluções devem ser encontradas:
x = 
 – b ± dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 
Sendo a, b e c os coeficientes de uma equação do tipo ax² 
+ bx + c = 0, com a i 0, as duas soluções (denominadas 
raízes) x1 e x2 são dadas, então, por:
x1 = –b + dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 e x2 = –b – √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 
O termo b2 – 4ac, denominado discriminante, é represen-
tado pela letra grega delta maiúscula (D). O valor numérico 
do discriminante indica a quantidade de raízes reais distin-
tas da equação:
 § Se D > 0 (discriminante positivo), a equação possui 
duas raízes reais diferentes.§ Se D = 0 (discriminante nulo), a equação possui ape-
nas uma raiz real dupla.
 § Se D < 0 (discriminante negativo), a equação não 
possui raízes reais.
Para solucionar uma equação do segundo grau, é neces-
sário calcular a raiz quadrada do discriminante. Quando 
se tem D < 0, o radical é negativo, e seu resultado para 
números reais não pode ser definido.
Modelos
1. Encontre o conjunto solução da equação.
x² – 5x + 6 = 0
Determinando os parâmetros, segue:
a = 1
b = –5
c = 6
Calcula-se primeiramente o discriminante:
D = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 · 1 · 6 = 1
Como D > 0, a equação apresentará duas raízes reais dis-
tintas: x1 e x2:
x = –b ± dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 = –(–5) ± dXX 1 _________ 
2 · 1
 = 5 ± 1 _____ 
2
 = 
= { x1 = 5 + 1 _____ 
2
 = 3
 
x2 = 5 – 1 ____ 
2
 = 2
 
 
 
Logo, o conjunto solução é S = {2, 3}.
2. Encontre o conjunto solução da equação.
25 + x² – 10x = 0
Determinando os parâmetros, segue:
a = 1
b = –10
c = 25
Note que os parâmetros a e b são, respectivamente, os 
coeficientes de x² e x, e c é o termo independente, não 
sendo necessariamente o primeiro, segundo e terceiro 
termos da equação.
Identificando o discriminante:
D = b2 – 4ac = (–10)2 – 4 · 1 · 25 = 0
Como D = 0, a equação apresentará apenas uma raiz real.
x = – b ± √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 = –(–10) ± √
__
 0 __________ 
2(1)
 = 10 ± 0 ______ 
2
 = 5
Logo, o conjunto solução é S = {5}.
3. Encontrar o conjunto solução da equação x² + x + 1 = 0.
Determinando os parâmetros, segue:
a = 1
b = 1
c = 1
EQUAÇÕES 
DO SEGUNDO 
GRAU
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19, 21, 22 e 23
MT
AULAS 
5 E 6
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VIVENCIANDO
Calculando o discriminante:
D = b2 – 4ac = (1)2 – 4(1)(1) = –3
Como D < 0, a equação não apresenta raízes reais, portan-
to não é necessário calcular as raízes. 
O conjunto solução é S = Ø.
1.1. Condições para o 
número de raízes reais
O valor numérico do discriminante indica o número de 
raízes reais de uma equação de segundo grau. Assim, é 
possível, caso haja um coeficiente desconhecido, verificar 
sob quais condições esse parâmetro oferece duas, uma 
ou nenhuma raiz real.
Imagine as seguintes situações: um designer de interiores precisa verificar se os móveis de uma casa estão bem dis-
postos dentro de cada cômodo e um pedreiro precisa confirmar a metragem de uma parede antes de levantá-la. Com 
efeito, em todos os momentos em que um cálculo de área for exigido, a equação de segundo grau será a ferramenta 
essencial para a resolução do problema.
Aplicação do conteúdo
1. Qual deve ser o valor real do parâmetro k para que 
a equação 2x² + 4x + k = 0 forneça apenas uma solu-
ção real?
Resolução:
Determinando os parâmetros, segue:
a = 2
b = 4
c = k
Como a equação deve fornecer apenas uma raiz real, o discrimi-
nante deve ser nulo:
D = b2 – 4ac = 0
4² – 4 · 2 · k = 0
16 – 8k = 0
–8k = –16
k = –16 ____ 
–8
 = 2
Logo, se ocorrer k = 2 na equação 2x² + 4x + k = 0, haverá ape-
nas uma raiz real. Veja que não é preciso calcular a raiz.
2. Quais os valores de m para que a equação mx² – x + 1 = 0 
apresente duas raízes reais distintas? E para quais valores 
não apresenta raízes reais?
Resolução:
Determinando os parâmetros, segue:
a = m
b = –1
c = 1
Para que a equação apresente duas raízes reais, o discriminante 
deve ser positivo:
D = b2 – 4ac > 0
(–1)² – 4 · m · 1 > 0
1 – 4m > 0
–4m > –1
m < 1 __ 
4
 
Logo, se o valor de m for menor que 1 __ 
4
 , a equação apresentará 
duas soluções reais distintas.
Para que a equação não apresente raízes reais, o discriminante 
deve ser negativo:
D = b2 – 4ac < 0
(– 1)² – 4 · m · 1 < 0
1 – 4m < 0
– 4m < –1
m > 1 __ 
4
 
Dessa forma, se o valor de m for maior que 1 __ 
4
 , a equação não 
apresentará raiz real.
1.2. Equações de segundo grau 
incompletas
Quando uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 
apresenta b = 0 ou c = 0, mesmo sendo possível utilizar 
a fórmula de Bhaskara, existem modos mais eficientes de 
encontrar as raízes.
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1.2.1. Caso b = 0
Uma equação do tipo ax² + c = 0 pode ser resolvida sem 
a utilização da fórmula de Bhaskara. Observe um exemplo:
 § Calcule as soluções da equação 2x² – 8 = 0.
Isolando o termo x² em um membro da equação: 
2x² = 8
x² = 4
Como existem dois valores para x, que, quando elevados à 
segunda potência, resultam no valor 4, as raízes da equa-
ção são x1 = 2 e x2 = –2. Assim, S = {–2, 2}.
 § Calcule as soluções da equação x² + 5 = 0.
Isolando o termo x²:
x² = –5
Note que não existe um valor que, elevado ao quadrado, 
resulte em um número negativo. Assim, S = Ø.
1.2.2. Caso c = 0
Caso o termo independente seja nulo, haverá uma equa-
ção do tipo ax² + bx = 0. Essas equações podem ser resol-
vidas fatorando a expressão:
ax² + bx = 0 à x (ax + b) = 0
Para um produto ser nulo, um dos fatores deve ser nulo:
x = 0
ou
ax + b = 0 à x = –b ___ a 
Assim, as raízes são x1 = 0 e x2 = –b ___ a .
Observe um exemplo:
 § Calcule as raízes da equação 4x² – 5x = 0.
Fatorando o primeiro membro da equação:
4x² – 5x = 0 à x(4x – 5) = 0
Para o produto ser nulo, é preciso ter:
x = 0
ou
4x – 5 = 0 à x = 5 __ 
4
 
Assim, as raízes são x1 = 0 e x2 = 5 __ 
4
 , ou seja, 
S = { 0, 5 __ 
4
 } .
1.3. Soma e produto das raízes de 
uma equação de segundo grau
Considerando uma equação do segundo grau com 
ax² + bx + c = 0, com a i 0, as duas soluções x1 e 
x2 são dadas por:
x1 = – b + √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 e x2 = – b – √
_______
 b2 – 4ac ____________ 
2a
 .
Sendo S a soma das raízes:
S = x1 + x2 = 
_ b + √
__
 ∆  ________ 
2a
 + – b – √
__
 ∆  ________ 
2a 
 . ä
ä S = –b + √
__
 ∆  – b – √
__
 ∆  _______________ 
2a
 . ä
ä S = – 2b ___ 
2a
 = – b __ a .
Logo: S = – b __ a ä –S = b __ a .
Sendo P o produto das raízes:
P = x1 · x2 = (–b + √
__
 D ) _______ 
2a
 · (–b – √
__
 D ) ______ 
2a
 ä
ä P = (–b)2 – ( √
__
 D )2
 __________ 
4a2 
 = b
2 – √
__
 D 
 _____ 
4a2 ä
ä P = b
2 – (b2 – 4ac) ___________ 
4a2 = 4ac ___ 
4a2 = c __ a 
Logo: P = c __ a .
Substituindo em ax² + bx + c = 0, considerando o coe-
ficiente dominante igual a 1, segue:
x² – Sx + P = 0
Assim, o coeficiente do termo do 1.º grau será a soma das 
raízes com o sinal trocado, e o termo independente será o 
produto das raízes.
Modelo 
Supondo x1 > x2
 § Se x2 – 3x + 2 = 0, então { x1 = 2
 
x2 = 1
 
 
 
 § Se x2 – x – 12 = 0, então { x1
 = 4
 
x2 = –3
 
 
 
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CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
1.4. Equações biquadradas
Quando uma equação do quarto grau possui a forma:
ax4 + bx² +c = 0 (sendo a i 0)
ela é denominada equação biquadrada. Note que a 
equação de quarto grau possui somente variáveis com expo-
ente par. Observe alguns exemplos de equação biquadrada:
x4 + 2x2 – 1 = 0
2x4 – 8 = 0
x4 – 4x2 = 0
Contudo, casos como:
x4 + 2x3 – x2 + 7 = 0
5x4 – 2x2 + x – 1 = 0
não são equações biquadradas, pois possuem coeficientes 
não nulos em variáveis de grau ímpar.
Esses casos particulares de equações incompletas de quar-
to grau podem ser resolvidos por meio de uma substituição 
de variável realizada de modo a reduzir a equação de quar-
to grau a uma de segundo grau.
Considere a equação ax4 + bx² + c = 0, com a i 0. Subs-
tituindo x² por y, resulta:
x4 = (x²)² = (y)² = y²
Logo, a equação na variável y é:
ay² + by + c = 0
Como já visto, essa equação possui as raízes:
y1 = –b + dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 e y2 = –b – dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 .
No entanto, como x² = y, segue que x = ± √
_
 y , logo:
x1 = √
__
 y1x2 = – √
__
 y1 
x3 = √
__
 y2 x4 = – √
__
 y2 
Modelos
1. Resolva a equação x4 – 13x² + 36 = 0.
Substituindo x² por y, tem-se:
y² – 13y + 36 = 0
Essa equação pode ser resolvida por meio da fórmula de 
Bhaskara, resultando em y1 = 4 e y2 = 9.
Contudo, como x² = y, segue que:
 § x² = 4, logo x1 = 2 e x2 = –2.
 § x² = 9, logo x3 = 3 e x4 = –3.
Assim, o conjunto solução é S = {–2, –3, 2, 3}.
2. Encontre o conjunto solução da equação biquadrada 
x4 + x2 – 2 = 0.
Substituindo x² por y, tem-se:
y² + y – 2 = 0
Resolvendo a equação de segundo grau, resulta y1 = 1 e 
y2 = –2.
Retornando à variável x, chega-se a:
 § x² = 1, logo x1 = 1 e x2 = –1.
 § x² = –2 (não há valores reais de x que satisfaçam 
essa igualdade)
Assim, o conjunto solução é S = {–1, 1}.
3. Encontre as raízes da equação x4 – 16 = 0.
Realizando a substituição x² = y, tem-se:
y² – 16 = 0
y² = 16
y = ± 4, ou seja, y1 = 4 e y2 = –4.
Como x² = y, retornando a equação à variável x, segue que:
 § x² = 4, logo x1 = 2 e x2 = –2.
 § x² = –4 (não há valores reais de x que satisfaçam essa 
igualdade)
Assim, o conjunto solução é S = {–2, 2}.
Equações do segundo grau estão intimamente relacionadas às funções do segundo grau estudadas na disciplina 
de Física. Um exemplo é a equação horária do espaço s = s0 + v0t + 1 __ 
2
 at2, para t0 = 0, chamada de “sorvetão”. A 
resolução desse tipo de problema se torna mais fácil com a aplicação da fórmula de Bhaskara.
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DIAGRAMA DE IDEIAS
EQUAÇÕES DO 2.º GRAU
CONHECIMENTOS 
PRÉVIOS:
• FATORAÇÃO
• PRODUTO NOTÁVEL
• POTENCIAÇÃO 
E RADICIAÇÃO
ax² + bx + c = 0
com a ≠ 0 
x =
2a
- b +
- b² - 4ac
DISCRIMINANTE
b² - 4ac=
0 há 2 raízes reais e distintas
há 2 raízes reais e iguais
não há raízes reais
= 0
0
Se
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1. Teoria dos conjuntos
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência de 
elemento ao conjunto são definidos como primitivos, 
isto é, são aceitos sem definição.
Não obstante, a noção de conjunto pode ser compreendi-
da intuitivamente como um agrupamento de elementos. 
Observe os exemplos a seguir:
 § conjunto dos números naturais menores que 10;
 § conjunto das letras do alfabeto;
 § conjunto dos números pares;
 § conjunto dos dias de uma semana;
 § conjunto dos números primos;
 § conjunto dos números inteiros negativos;
 § conjunto dos polígonos regulares.
É possível representar um conjunto nomeando seus elemen-
tos um a um e organizando-os entre chaves e separados por 
vírgulas. Nesse modelo, o conjunto está representado por 
extensão. Por exemplo, pode-se representar o conjunto A 
dos números naturais menores que 10 da seguinte maneira:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Assim, está indicado que os elementos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8 e 9 pertencem ao conjunto A.
Atenção: As chaves são utilizadas para representar con-
juntos. Ou seja, a e {a} são diferentes:
A representação por extensão pode ser aplicada para con-
juntos infinitos ou finitos, mesmo que o número de ele-
mentos seja muito grande. Veja:
 § Conjunto dos números ímpares positivos:
B = {1, 3, 5,...} é conjunto infinito
 § Conjunto dos números pares positivos menores 
que 400:
C = {2, 4, 6,..., 398} é conjunto finito
Também é possível representar um conjunto por meio de 
uma figura chamada diagrama de Euler-Venn.
Por exemplo, um conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8} pode ser repre-
sentado pelo seguinte diagrama:
Nos casos em que é dada uma propriedade característica 
dos elementos de um conjunto, afirma-se que o conjunto 
está representado por compreensão. Observe:
1.1. Relações de pertinência
Quando o objetivo é indicar que um determinado elemento 
x faz parte de um conjunto A, afirma-se que o elemento x 
pertence ao conjunto A, relação que é simbolizada da 
seguinte maneira:
x [ A
Do mesmo modo, se o objetivo é indicar que um elemento 
x não pertence a um conjunto A, a representação é:
x Ó A
As relações de pertinência [ e Ó relacionam um ele-
mento a um conjunto.
Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. É possível realizar 
as seguintes afirmações:
 § 1 [ A 
(Lê-se: o elemento 1 pertence ao conjunto A)
 § 6 Ó A 
(Lê-se: o elemento 6 não pertence ao conjunto A)
TEORIA DOS 
CONJUNTOS
COMPETÊNCIA(s)
1, 5 e 6
HABILIDADE(s)
1, 2, 5, 21, 22, 23 e 25
MT
AULAS 
7 E 8
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1.2. Relações de inclusão
Para relacionar dois conjuntos, são utilizadas as relações 
de inclusão. Se todo elemento de um conjunto B perten-
ce a outro conjunto A, afirma-se que o conjunto B está 
contido no conjunto A. Essa relação é simbolizada da se-
guinte maneira:
B , A
Caso algum elemento de B não pertença ao conjunto A, 
o conjunto B não estará contido em A. Essa relação é 
simbolizada da seguinte maneira:
B ÷ A
As relações de inclusão , e ÷ relacionam dois conjuntos.
Considerando os conjuntos A e B representados pelo dia-
grama de Venn, tem-se:
Atenção: As relações de pertinência sempre relacionam 
um elemento a um conjunto, e as relações de inclusão rela-
cionam dois conjuntos. Observe os exemplos:
 § 1 , {1, 2, 3}
Errado – a relação de inclusão “,” relaciona dois con-
juntos, e 1 é um elemento.
 § {1} , {1, 2, 3}
Correto – o conjunto formado pelo número 1 está conti-
do no conjunto {1, 2, 3}.
 § {2} [ {1, 2, 3}
Errado – o elemento {2} não pertence ao conjunto {1, 2, 3}.
 § 2 [ {1, 2, 3}
Correto – o elemento 2 pertence ao conjunto {1, 2, 3}.
É possível, em alguns casos, tratar conjuntos como elemen-
tos de um outro conjunto. Veja:
A = {1, 2, 3, {3}}
Nesse caso, o conjunto A é formado pelos algarismos 1, 
2 e 3 e por um conjunto que contém o algarismo 3. Dessa 
forma, é possível escrever:
{3} [ {1, 2, 3, {3}}
O conjunto unitário {3} é tratado como sendo um elemen-
to do conjunto A.
1.3. Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos 
elementos. Caso dois conjuntos A e B sejam iguais, a indi-
cação será A = B.
A negação da igualdade é indicada por A i B (A é dife-
rente de B). Isso quer dizer que um desses conjuntos possui 
pelo menos um elemento que não pertence ao outro.
Observe que, se A , B e B , A, então A = B.
1.4. Conjunto universo
Em diversas situações, é importante estabelecer o con-
junto U, ao qual pertencem os elementos de todos os 
conjuntos considerados. Esse conjunto é denominado 
conjunto universo.
Por exemplo, ao tratar da população humana, o conjunto 
universo é constituído de todos os seres humanos.
Para descrever um conjunto A por meio de uma proprieda-
de característica p de seus elementos, é preciso mencionar, 
de modo explícito ou não, o conjunto universo U no qual 
se está trabalhando:
A = {x [ U | x tem a propriedade p} 
ou
A = {x | x tem a propriedade p}, 
quando a intenção é se referir a U de modo implícito.
1.5.Conjunto unitário
O conjunto que possui um único elemento é chamado de 
conjunto unitário.
Considere, por exemplo, o conjunto P = { x | x é um número 
primo par e positivo}.
O único número primo par e positivo é 2. Assim, P é um 
conjunto unitário e é possível escrever P = {2}.
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1.6. Conjunto vazio
O conjunto que não possui elementos é chamado de con-
junto vazio. Observe:
Se A for o conjunto dos números primos menores que 2, 
esse conjunto não possuirá elemento, pois não há número 
primo menor que 2.
O conjunto vazio é representado por { } ou Ø.
Note que, como o símbolo Ø já representa um conjunto, 
para representar um conjunto vazio é possível escrever { } 
ou Ø, mas não {Ø}.
1.7. Subconjuntos
Os conjuntos A e B são também representados por diagrama:
A = {1, 3, 7} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}
É possível notar que qualquer elemento de A também per-
tence a B. Nesse caso, afirma-se que A está contido em B 
ou A é subconjunto de B.
A indicação é: A , B (A está contido em B).
Esse símbolo significa “está contido”.
Também épossível dizer que B contém A.
A indicação é: B . A (B contém A)
Esse símbolo significa “contém”.
Caso exista ao menos um elemento de A que não pertença 
a B, afirma-se que A não está contido em B ou que B não 
contém A. Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 6}
Observe que o elemento 4 pertence a A, mas não pertence 
a B. A indicação é:
A ÷ B (A não está contido em B) 
B À A (B não contém A)
O símbolo ÷ significa “não está contido”, e À significa 
“não contém”.
Um conjunto A é subconjunto do conjunto B quando todo 
elemento de A também pertence a B.
Lembre-se:
Se A , B e B , A, então A = B.
Os símbolos ,, ., ÷ e À são aplicados para relacio-
nar conjuntos.
Para todo conjunto A, tem-se A , A. Para todo con-
junto A, tem-se Ø , A, em que Ø representa o con-
junto vazio.
2. Operações
2.1. União de conjuntos
Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Agora, considere um conjunto C, formado pelos elementos 
que pertencem a A, a B ou a ambos:
O conjunto C é denominado união de A e B.
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por 
todos os elementos que pertencem a A ou a B.
A união de A e B é indicada por A < B (A união B).
O símbolo < significa "união" ou "reunião".
2.1.1. Propriedades da união
P1 A < A = A (idempotente)
P2 A < Ø = A (elemento neutro em relação 
à união)
P3 A < B = B < A (comutativa)
P4 (A < B) < C = A < (B < C) (associativa)
Modelos 
1. Determine a união dos conjuntos A = {0, 2} e B = {x [ N 
| x é impar e 0 < x < 6}.
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A união dos conjuntos A e B é:
Por diagrama, tem-se:
Observe que os conjuntos A e B não possuem elementos 
comuns.
2. Determine a união dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = 
{3, 4, 5, 6}.
A união entre os conjuntos A e B pode ser representada 
pelo diagrama de Venn da seguinte maneira:
Assim, A < B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2.2. Interseção de conjuntos
Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Observe como determinar um conjunto C formado pelos 
elementos que são comuns a A e a B, ou seja, os elementos 
que pertencem a A e também pertencem a B.
O conjunto C é denominado interseção de A e B.
A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto 
formado pelos elementos que são comuns a A e a B.
A interseção de A e B é designada por A > B (A inter B).
A > B = {x | x [ A e x [ B}
O símbolo > significa interseção.
2.2.1 Propriedades da interseção
P1 A > A = A (idempotente)
P2 A > U = A (elemento neutro em relação 
à interseção)
P3 A > B = B > A (comutativa)
P4 (A > B) > C = A > (B > C) (associativa)
Modelo
1. Em cada caso a seguir, determine A > B e crie a repre-
sentação em diagrama.
a) A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}
b) A = {0, 2} e B = {1, 3, 5}
Do enunciado:
a)
 
ä
Em diagrama:
b)
Note que não há elementos em comum entre A e B. Devido 
a isso, a interseção desses conjuntos é vazia. Quando 
A > B = Ø, os conjuntos A e B são denominados disjuntos.
2.3. Diferença de conjuntos
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}.
Agora, considere um conjunto C formado pelos elemen-
tos que pertencem a A, mas que não pertencem a B:
O conjunto C é a diferença de A e B.
A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos ele-
mentos que pertencem a A, mas que não pertencem a B.
A diferença de A e B é indicada por A – B (A menos B).
A – B = {x | x [ A e x Ó B}
Em diagrama:
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Se B , A, a diferença A – B denomina-se complementar 
de B em relação a A e é indicada por C B A .
C B A = A – B
Por exemplo, se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, então C B A = 
A – B = {0, 1, 4}.
Em diagrama:
O complementar de B em relação a A é o que falta para o 
conjunto B ficar igual ao conjunto A. Assim, o complementar 
de B em relação a A só está definido se, e somente se, B , A.
Aplicação do conteúdo
1. Se A = {4, 5, 6, 7}, B = {5, 6} e E = {5, 6, 8}, determine:
a) C B A 
b) B – E
Resolução:
a) C B A = A – B = {4, 5, 6, 7} – {5, 6} 
C B A = {4, 7}
b) B – E = {5, 6} – {5, 6, 8} 
 B – E = Ø
3. Principais símbolos lógicos
| (tal que)
ù (interseção)
ø (união)
? (qualquer que seja)
'! (existe um único)
ä (implicar)
[ (pertence)
Ó (não pertence)
. (contém)
À (não contém)
, (está contido)
÷ (não está contido)
à (equivalente)
` (e)
~ (ou)
. (maior que)
, (menor que)
' (existe ao menos um)
 (não existe)
5 (igual)
Þ (diferente)
< (aproximadamente)
4. Número de elementos em 
um conjunto A: n(A)
O número de elementos contidos no conjunto A é repre-
sentado por n(A). Observe:
A = {x | x representa os dias de uma semana} ä n(A) = 7
Lembre-se:
 § Conjunto unitário
A = {x | x é dia da semana que começa com a letra D}
A = {domingo} ä n(A) = 1
 § Conjunto vazio
A = {x | x é dia da semana que começa com a letra M}
A = { } ou Ø ä n(A) = 0
 § Conjuntos finitos e infinitos
A = {2, 3, 4} ä n(A) = 3 ä A é finito
B = {2, 3, 4,...} ä B é infinito
 § Conjuntos iguais
A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 2, 3, 3} e 
C = {x | x [ N e 1 ø x ø 3}
A = B = C, em todos os casos, n(A) = n(B) = n(C) = 3.
5. Conjuntos disjuntos
Dois conjuntos A e B, não vazios, são disjuntos se não pos-
suírem elementos comuns.
Veja: A > B = Ø
6. Resumo
6.1. Pertinência e inclusão
 § de elemento para conjunto
[ Ó
(pertence) e (não pertence)
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 § de subconjunto para conjunto
, ÷
(está contido) e (não está contido)
 § de conjunto para subconjunto
. À
(contém) e (não contém)
A é subconjunto de B.
A , B lê-se: “A está contido em B”.
A é parte de B.
Modelo
Sendo A = {1, {1}, 2, 3}, de acordo com as afirmações:
 § 1 [ A (verdadeiro)
 § {1} [ A (verdadeiro)
 § {1} , A (verdadeiro)
 § Ø [ A (falso)
 § Ø Ó A (verdadeiro)
 § 2 , A (falso)
 § 2 [ A (verdadeiro)
 § {2} ÷ A (falso)
7. Números de subconjuntos
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e so-
mente se, todo elemento de A pertence também a B.
Com a notação A , B indicamos que “A é subconjunto de 
B” ou “A é parte de B” ou “A está contido em B”.
A negação de A , B é indicada por A ÷ B, que se lê: “A 
não está contido em B” ou “B não contém A”.
A indicação simbólica é: A , B à (?x, x [ A ä x [ B).
Modelos
 § {1, 2} , {1, 2, 3, 4}
 § {5} , {5, 6}
 § {1, 2, 3} ÷ {4, 5, 6}
Lembre-se
1. O conjunto vazio está contido em qualquer conjun-
to A, isto é, Ø , A, ?A.
2. Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo, isto 
é, A , A, ?A.
3. Chama-se subconjunto próprio de um conjunto 
A qualquer subconjunto de A que seja diferente de 
A. Simbolicamente, B é subconjunto próprio de A se 
B ⊂ A e B ∙ A.
Aplicação do conteúdo
1. Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {a, b, c}?
Resolução:
Em primeiro lugar, registre todos os subconjuntos de A:
Ø; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c}.
Há, portanto, 8 subconjuntos. Analisando o que acontece com 
os elementos, em relação aos subconjuntos, é possível dizer que 
cada um deles pode ou não aparecer. Então, para o elemento a, 
há duas possibilidades quanto à sua presença no subconjunto 
(aparecer ou não aparecer). O mesmo acontece com os elemen-
tos b e c. Assim, segundo o princípio fundamental da contagem 
ou princípio multiplicativo na análise combinatória, tem-se:
2. Quantos subconjuntos possui um conjunto A com 
n elementos?
Resolução:
Conforme explicado no exemplo anterior, cada elemento de A 
pode ou não estar presente num determinado subconjunto C, de-
vido ao fato de A ter n elementos. Dessa forma:
Portanto: n.° de subconjuntos = 2 · 2 · 2 ... 2 n vezes
Com isso: n° de subconjuntos = 2n
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DIAGRAMA DE IDEIAS
8. Conjuntos das partes 
de um conjunto
Considere o conjunto A = {1, 2, 3}, que tem os seguintes 
subconjuntos:
 § o conjunto vazio;
 § os conjuntos de um elemento: {1}, {2} e {3};
 § os conjuntos com dois elementos {1, 2}, {1, 3} e {2, 3};
 § o próprio conjunto A.
É denominadoconjunto das partes do conjunto A o conjunto 
P(A) formado por todos os subconjuntos do conjunto A:
P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Observe que o conjunto vazio, o conjunto A e os demais 
subconjuntos de A são elementos do conjunto P(A).
É correto, por exemplo, afirmar que {3} [ P(A), mas é in-
correto afirmar que {3} , P(A).
8.1. Número de elementos 
do conjunto das partes
Observe o quadro:
Conjunto 
A
Conjunto 
P(A)
Número de 
elementos 
P(A)
Potência
Ø {Ø} 1 20
{b} {Ø, {b}} 2 21
{b1, b2}
{Ø, {b1}, {b2}, 
{b1, b2}}
4 22
{b1, b2, ..., bn,}
n elementos
{Ø, {b1}, {b2}, ..., 
{b1, b2, ...,bn}}
2n 2n
De modo geral, é possível afirmar que:
Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos.
Modelo
Determine quantos elementos tem o conjunto das partes 
do conjunto A, sabendo que A tem 4 elementos.
Se o conjunto A tem 4 elementos, ou seja, n = 4, então 
P(A) tem 24 elementos, isto é, P(A) tem 16 elementos.
Número de subconjuntos (conjuntos das partes)
Se um conjunto A possui n elementos, então A possui 
2n subconjuntos, que podem ser representados por:
n(P(A)) = 2n(A)
9. Números de elementos da união
O número de elementos da união de A e B, dado por 
n(A < B), é calculado por:
n(A < B) = n(A) + n(B) – n(A > B)
Modelo
8 4
Para a união de três conjuntos, tem-se:
n ( A < B < C ) = n(A) + n(B) + n(C) -- n (A > B) -- 
n (B > C) -- n (A > C) + n (A > C > B).
• 0 • 2
• 4 • 6
A
•8
• A É UM CONJUNTO
• 0, 2, 4 E 6 SÃO ELEMENTOS A, ISTO É, PERTENCEM A A
• O ELEMENTO 8 NÃO PERTENCE AO CONJUNTO A
TRIGONOMETRIA 
E ARITMÉTICA
LIVRO 
TEÓRICO
MATEMÁTICA
36  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
Todos os conteúdos deste livro são cobra-
dos no Enem, com alta incidência. As ques-
tões serão contextualizadas e podem variar 
seu grau de dificuldade.
Produtos notáveis são facilitadores impor-
tantes para resolução de polinômios. Ao 
saber os conceitos de razões e proporções, 
podemos solucionar com facilidade diver-
sas questões dentro das Exatas.
Não faltarão questões abordando os con-
ceitos básicos da trigonometria na prova 
da Comvest. Saber utilizar produtos notá-
veis com agilidade é importante. Trabalhar 
com razão e proporção é fundamental ao 
resolver questões de exatas.
Razão e proporção são temas cobrados 
com grande incidência, em situações do 
cotidiano, sempre descritos em textos ou 
em gráficos. Já trigonometria no triângulo 
retângulo é um assunto cobrado, em sua 
maioria, em geometria.
Trigonometria no triângulo retângulo será 
cobrado neste vestibular com questões 
contextualizadas. Por meio de gráficos de 
tabelas, utilizaremos os conceitos de razão 
e proporção para solucionar questões na 
área de Exatas.
Esta prova possui temas próximos ao do 
vestibular da Unesp, logo, toda a abor-
dagem deste livro é fundamental para a 
continuidade do estudo, ao longo do ano.
Nesse processo seletivo, as questões são 
contextualizadas com razão e proporção e 
possuem alto nível de dificuldade. Fatorar e 
agrupar expressões algébricas será exigido 
do candidato.
Por possuir um vestibular tradicional, exi-
girá de seu candidato uma boa habilidade 
em trigonometria. Questões contextualiza-
das serão cobradas nesse processo seletivo.
O processo seletivo exigirá do aluno um 
grande conhecimento em trigonometria, 
pois trabalhar com triângulos retângulos 
alinhados a essa área é essencial. Possui 
também uma alta incidência de questões 
sobre razão e proporção.
Por meio de situações do cotidiano, a UEL 
exigirá de seu candidato uma boa resolu-
ção de questões sobre razão e proporção. 
É de extrema importância a fatoração e o 
conhecimento de produtos notáveis para 
questões sobre funções polinomiais.
Trigonometria no triângulo retângulo será 
cobrado do candidato, em questões de 
geometria. Proporções são essenciais para 
resolver questões de equação do 1.º grau.
Esse vestibular apresentará uma questão 
com situação problema aliada ao cotidiano 
do candidato. Portanto, razão e proporção 
é o tema de maior importância neste livro.
Devido à similaridade entre as provas da 
Uerj e do Enem, os assuntos abordados 
neste livro são essenciais para o candida-
to. Por meio de figuras planas, gráficos e 
tabela, encontraremos questões muito bem 
contextualizadas.
A Unigranrio apresenta um vestibular com 
questões objetivas, que abordam a trigono-
metria por completo. Logo, o aluno deve 
estar muito esclarecido sobre esse assunto.
Com questões contextualizadas, esse pro-
cesso seletivo tem alta incidência de razão 
e proporção. O candidato também deverá 
resolver questões sobre trigonometria, na 
área de Exatas.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  37



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1. Razões trigonométricas 
no triângulo retângulo
Tri gono metria
(três) (ângulo) (medida)
Todos sabem que, se você deseja ser um físico ou en-
genheiro, deveria ser bom em Matemática. Mais e mais 
pessoas estão descobrindo que, se desejam trabalhar 
em certas áreas da Economia ou Biologia, deveriam re-
ver sua Matemática. A Matemática penetrou na Socio-
logia, Psicologia, Medicina e Linguística. Sob o nome de 
cliometria, está se infiltrando na História, para sobres-
salto dos mais velhos. 
VIS, PhIlIP J.; KeRSh, Reuben. A exPeRIêncIA mAtemátIcA. 
tRAdução de João boSco PItombeIRA. 
RIo de JAneIRo: F. AlVeS, c 1989. 481 P. (coleção 
cIêncIA): the mAthemAtIcAl exPeRIence.
As razões trigonométricas eram utilizadas pelos egípcios para 
resolver problemas de Arquitetura nas construções das pirâ-
mides. A trigonometria era um ramo da Matemática em que 
os ângulos de um triângulo e as medidas de seus lados eram 
relacionados. Com o tempo, o estudo da trigonometria foi 
ampliado para outras áreas do conhecimento, solucionando 
problemas específicos e contribuindo indiretamente para as 
navegações, a Astronomia e agrimensura. Mais tarde, por 
volta dos séculos XVI e XVII, a trigonometria surgiu na Física 
para descrever e explicar determinados fenômenos, como:
 § o movimento periódico dos planetas, trabalhado por Kepler;
 § o movimento periódico dos pêndulos, trabalhado 
por Galileu;
 § a propagação do som no formato de ondas, estudada 
por Newton; e
 § a propagação da luz no formato de ondas, estudada 
por Huygens.
Se θ é um ângulo interno de um triângulo retângulo, 
define-se:
sen θ = 
medida do cateto oposto a θ
   ______________________ 
medida da hipotenusa
 
cos θ = 
medida do cateto adjacente a θ
   ________________________ 
medida da hipotenusa
 
tg θ = 
medida do cateto oposto a θ
   ________________________ 
medida da cateto adjacente a θ
 
cossec θ= 
medida da hipotenusa
 _______________________ 
medida do cateto a oposto a θ
  
sec θ = 
medida da hipotenusa
 ________________________ 
medida do cateto adjacente a θ
  
cotg θ = 
medida do cateto adjacente a θ
   ________________________ 
medida do cateto oposto a θ
 
 Razões inversas 
Aplicando as definições acima, tem-se:
sen θ = b __ a e cossec θ = a __ 
b
 
cos θ = c __ a e sec θ = a __ c 
tg θ = b __ c e cotg θ = c __ 
b
 
0 < sen θ < 1 e 0 < cos θ < 1
cossec θ > 1 e sec θ > 1
tg θ > 0 e cotg θ > 0
Consequência
No triângulo retângulo ABC abaixo, β + γ = 90º, isto é, 
^ 
 B 
e 
^
 C são complementares.
sen β = b __ a 
cos γ = b __ a 
sen γ = c __ a 
cos β = c __ a 
sen β = cos γ sen γ = cos β
Assim, em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo 
agudo é igual ao cosseno de seu complemento.
Com efeito, o nome cosseno se origina de seno do 
ângulo complementar.
TRIGONOMETRIA 
NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO
COMPETÊNCIA(s)
2
HABILIDADE(s)
6, 7, 8 e 9
MT
AULAS 
1 E 2
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CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
1.1. Razões trigonométricas 
(valores notáveis)
θ (graus) sen θ cos θ tg θ  cossec θ  sec θ  cotg θ 
30º 1 __ 
2
 
dXX 3 ___ 
2
 
dXX 3 ___ 
3
 2 2 dXX 3 ____ 
3
 dXX 345º 
dXX 2 ___ 
2
 
dXX 2 ___ 
2
 1 dXX 2 dXX 2 1
60º 
dXX 3 ___ 
2
 1 __ 
2
 dXX 3 2 dXX 3 ____ 
3
 2 
dXX 3 ___ 
3
 
Substituindo o valor de seno de 30° obtido da tabela:
 1 __ 
2
 = 
y
 __ 
2
 ⇒ y = 1
Calculando o cateto adjacente a 30º:
cos 30º = 
cateto adjacente ao 30º
 __________________ 
hipotenusa
 .
Substituindo o valor de cosseno de 30° obtido da tabela:
 
dXX 3 ___ 
2
 = x __ 
2
 ⇒ x = dXX 3 
Logo, x = √
__
 3 m e y = 1 m.
2. Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado a.
Resolução:
A partir de um triângulo equilátero ABC, tem-se que a al-
tura relativa à base BC é o segmento AP, perpendicular à 
base BC, onde P é ponto médio de BC.
Não se esqueça de que, em um triângulo equilátero, as 
alturas coincidem com as medianas:
Os ângulos internos de um triângulo equilátero medem 
60º. Dessa forma, é possível utilizar a trigonometria no tri-
ângulo retângulo ACP:
sen 60º = 
cateto oposto AP
 _____________ 
hipotenusa AC
 
a dXX 3 = 2h ⇒ h = a dXX 3 ____ 
2
 
Portanto, dado um triângulo equilátero de lado a, sua 
altura vale a dXX 3 ____ 
2
 .
pt.khanacademy.org/math/trigonometry/trigonometry-
-right-triangles
multimídia: site
A trigonometria no triângulo retângulo é a base para a resolução de exercícios de Física nos tópicos de 
estudo de forças com e sem atrito no plano inclinado. Decomposição de vetores, inclinação do plano, coe-
ficiente estático, todos, sem exceção, dependem do conhecimento de trigonometria no triângulo retângulo 
para as suas resoluções.
Aplicação do conteúdo
1. Calcule o valor de x e y no triângulo retângulo 
ABC a seguir:
Resolução:
Observe que o cateto AC é oposto ao ângulo de 30º, ao 
passo que o cateto AB é adjacente. Calculando o cateto 
oposto ao ângulo dado, tem-se:
sen 30º = 
cateto oposto ao 30º
 ________________ 
hipotenusa
 .
MATEMÁTICA e suas tecnologias  39
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VIVENCIANDO
Ao estudar e medir a topografia do terreno de interesse, os engenheiros civis utilizam instrumentos como o teodolito, 
que se baseia na trigonometria do triângulo retângulo para medir as elevações e desníveis do terreno. Observe um 
exemplo prático disso:
1. (PUC) Um determinado professor de uma das disciplinas do curso de Engenharia Civil da PUC solicitou como 
trabalho prático que um grupo de alunos deveria efetuar a medição da altura da fachada da Biblioteca Central da 
PUC usando um teodolito. Para executar o trabalho e determinar a altura, eles colocaram um teodolito a 6 metros 
da base da fachada e mediram o ângulo, obtendo 30º, conforme mostra a figura abaixo. Se a luneta do teodolito 
está a 1,70 m do solo, qual é, aproximadamente, a altura da fachada da Biblioteca Central da PUC?
30
6 metros
Dados (sen 30º = 0,5; cos 30º = 0,87 e tg 30º = 0,58)
a) 5,18 m d) 5,11 m
b) 4,70 m e) 5,15 m
c) 5,22 m
Resolução:
Considerando h como sendo a altura da fachada da 
Biblioteca, tem-se: 
tg 30º = h-1,7
h-1,7 = 6 . tg30º
h = 6.0,58 + 1,7
h = 5,18 m
6
3. Dado um triângulo ABC, calcule a medida dos três 
lados sabendo que a altura relativa à base BC é 8, o 
ângulo A 
 ̂ 
 C B é 45° e o ângulo A 
 ̂ 
 B C é 60°. 
Resolução:
A figura descrita no problema é:
Observe que o triângulo ABC não é retângulo. No entanto, 
note que a altura sempre é perpendicular à base.
Assim, os triângulos ACH e ABH são retângulos e é possível 
calcular seus catetos e hipotenusas.
 § Triângulo ACH:
O segmento AH representa o cateto oposto ao ângulo de 
45°, portanto é possível calcular o cateto adjacente CH 
através da tangente de 45°.
tan 45º = 
cateto oposto a 45º
 _________________ 
cateto adjacente a 45º
 .
1 = 8 ___ 
CH
 ⇒ CH = 8
Como AC é a hipotenusa do triângulo ACH, tem-se:
cos 45º = 
cateto adjacente a 45º
 _________________ 
hipotenusa
 .
 
dXX 2 ___ 
2
 = 8 ___ 
AC
 ⇒ dXX 2 AC = 16 ⇒ AC = 16 ___ 
 dXX 2 
 
Racionalizando o resultado, tem-se:
AC = 16 dXX 2 ______ 
 dXX 2 ⋅ dXX 2 
 = 16 dXX 2 _____ 
2
 = 8 √
__
 2 
40  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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 § Triângulo ABH:
O segmento AH representa o cateto oposto ao ângulo de 
60°, portanto é possível calcular o cateto BH através da 
tangente de 60°.
tan 60º = 
cateto oposto à 60º
 _________________ 
cateto adjacente à 60º
 
 dXX 3 = 8 ___ 
BH
 ⇒ BH dXX 3 = 8 ↔ BH = 8 ___ 
 √
__
 3 
 
Racionalizando o resultado, tem-se:
BH = 8 dXX 3 _______ 
 dXX 3 ⋅ dXX 3 
 = 8 dXX 3 ____ 
3
 
Como AB é hipotenusa do triângulo ABH, tem-se:
sen 60º = 
cateto oposto à 60º
 _______________ 
hipotenusa
 
Note que também seria possível utilizar o cosseno, no entan-
to, como o cateto oposto AH mede 8, e o cateto adjacente 
mede 8 dXX 3 ____ 
3
 , o cálculo é mais simplificado ao se utilizar seno.
 
dXX 3 ___ 
2
 = 8 ___ 
AB
 ⇒ AB dXX 3 = 16 ⇒ AB = 16 ___ 
 dXX 3 
 
Racionalizando o resultado, tem-se:
AB = 16 dXX 3 ______ 
 dXX 3 ⋅ dXX 3 
 = 16 dXX 3 _____ 
3
 
Portanto, tem-se:
AB = 16 dXX 3 _____ 
3
 
AC = 8 dXX 2 
CB = CH + BH = 8 + 8 dXX 3 ____ 
3
 
Considere uma circunferência de raio unitário com centro 
na origem de um sistema cartesiano de coordenadas:
Na circunferência, os ângulos são medidos no senti-
do anti-horário a partir do ponto A, ou seja, os pon-
tos A, B, A’ e B’ equivalem aos ângulos 0º, 90º, 180º 
e 270º, respectivamente.
Veja como localizar o ângulo de 30º no círculo trigonométrico:
Note que o 30º estabelece um ponto P na circunferência, 
determinando, dessa forma, o triângulo retângulo OBP.
Cada ângulo diferente determina um ponto P distinto 
na circunferência. Assim, o seno e o cosseno de um 
ângulo são definidos por:
sen θ = ordenada de P
cos θ = abscissa de P
tg θ = sen θ _____ 
cos θ  com cos θ ≠ 0
No sistema cartesiano, se a ordenada de P (coordena-
da em y) se encontra “acima” da origem, o seno do 
ângulo será positivo; por outro lado, se a ordenada 
de P se encontra “abaixo” da origem, o seno do ân-
gulo será negativo. Analogamente, se a abscissa de P 
(coordenada em x) se encontra à direita da origem, 
o cosseno do ângulo será positivo, enquanto que, se 
a abscissa de P se encontra à esquerda da origem, o 
cosseno do ângulo será negativo.
Fonte: Youtube
Trigonometria básica | Geometria
multimídia: vídeo
2. Introdução ao 
ciclo trigonométrico
Mais adiante, será realizado um estudo aprofundado da 
trigonometria. Entretanto, algumas noções básicas devem 
ser abordadas para a resolução de determinados proble-
mas em geometria plana.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  41



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DIAGRAMA DE IDEIAS
Esses conceitos serão utilizados para calcular o valor do seno, 
cosseno e tangente de um ângulo maior que 90°, que não 
se encontra na tabela de ângulos notáveis. Observe onde se 
encontra o ângulo de 150° na circunferência trigonométrica:
Considerando o triângulo retângulo OPB, tem-se:
sen 30º = BP ___ 
1
 
Assim, a ordenada de P é 1 __ 
2
 e encontra-se acima da origem, 
portanto, sen 150° = 1 __ 
2
 .
Do mesmo modo, calculando a medida do cateto OB:
cos 30º = OB ___ 
1
 
 
dXX 3 ___ 
2
 = OB ___ 
1
 ⇒ OB = 
dXX 3 ___ 
2
 
Logo, a abscissa de P é – 
dXX 3 ___ 
2
 , pois se encontra à esquerda 
da origem; portanto, cos 150° = – 
dXX 3 ___ 
2
 .
CATETO OPOSTO
LADO OPOSTO AO 
ÂNGULO 
CATETO ADJACENTE
LADO PRÓXIMO 
AO ÂNGULO 
HIPOTENUSA
LADO OPOSTO AO 
ÂNGULO RETO
SENO 
COSSENO 
TANGENTE 
CATETO OPOSTO
HIPOTENUSA
CATETO ADJACENTE
HIPOTENUSA
CATETO OPOSTO
CATETO ADJACENTE
=
=
=
42  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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1. Produtos notáveis
Alguns produtos são frequentes no cálculo algébrico, como:
(x + y) · (x – y)
Produto da soma pela 
diferença de dois termos.
(x + y) · (x + y) = (x + y)2
Quadrado da soma 
de dois termos.
(x – y) · (x– y) = (x – y)2
Quadrado da diferença 
de dois termos.
Por serem frequentes na resolução de problemas, esses 
produtos são denominados produtos notáveis.
Contudo, antes de estudá-los, é importante lembrar algu-
mas propriedades elementares das operações de adição e 
multiplicação da álgebra.
Considere dois números reais a e b:
a + b = b + a
Propriedade comutativa 
da adição.
a + (b + c) = (a + b) + c
Propriedade associativa 
da adição.
0 + a = a Elemento neutro da adição.
ab = ba
Propriedade comutativa 
da multiplicação.
a(bc) = (ab)c
Propriedade associativa 
da multiplicação.
1a = a
Elemento neutro da 
multiplicação.
(a + b)c = ac + bc
Propriedade distributiva 
da multiplicação.
1.1. Quadrado da soma de dois termos
Considere a expressão (x + y)². Ela representa o qua-
drado da soma de dois termos. Aplicando a propriedade 
distributiva, obtém-se:
(x + y)² = (x + y)(x + y) = x(x + y) + y(x + y) = x² + xy 
+ yx + y² = x² + 2xy + y²
Assim, resulta a seguinte igualdade:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
Utilizando um exemplo numérico, tem-se:
(3 + 5)² = 3² + 2 · 3 · 5 + 5² = 9 + 30 + 25 = 64
O resultado obtido está correto, pois (3 + 5)² = (8)² = 64.
Também é possível observar essa relação geometricamen-
te. A partir de um quadrado de lado a, em que são prolon-
gados dois lados consecutivos a um comprimento b, de 
modo a obter um quadrado de lado a + b:
b
a
a b
Calculando as áreas de cada quadrado e retângulo for-
mados, tem-se:
a a2
a
ab
ab
b2
b
b
É possível, então, calcular a área total (A) de duas maneiras:
1.ª maneira:
Considerando que o quadrado maior possui lados a + b, 
sua área é dada por A = (a + b)².
2.ª maneira:
Somando todas as áreas no interior do quadrado 
maior, tem-se: 
A = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
PRODUTOS 
NOTÁVEIS
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19 e 21
MT
AULAS 
3 E 4
MATEMÁTICA e suas tecnologias  43



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1
Portanto, conclui-se que:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Modelos:
 § (3 + x)² = 3² + 2 · 3 · x + x² = 9 + 6x + x²
 § (2a + 3b)² = (2a)² + 2 · 2a · 3b + (3b)² = 
= 4a² + 12ab + 9b²
 § (x + 1)² = x² + 2 · x · 1 + 12 = x² + 2x + 1
 § (ab² + 1)² = (ab²)² + 2 · ab² · 1 + 1² == a²b4 + 2ab² + 1
 § ( 1 __ 
2
 + x ) 2 = ( 1 __ 
2
 ) 2 + 2 ∙ 1 __ 
2
 ∙ x + x2 = 1 __ 
4
 + x + x2
1.2. Quadrado da diferença de dois termos
A expressão (x – y)² representa o quadrado da diferença de 
dois termos. Aplicando a propriedade distributiva, tem-se:
(x – y)² = (x – y)(x – y) = x(x – y) – y(x – y) = 
= x² – xy – yx + y² = x² – 2xy + y²
Assim, resulta a seguinte igualdade:
(x – y)² = x² – 2xy + y²
Utilizando um exemplo numérico, tem-se:
(6 – 4)² = 6² – 2 · 6 · 4 + 4² = 36 – 48 + 16 = 4
O resultado obtido está correto, pois (6 – 4)² = (2)² = 4.
Analogamente ao quadrado da soma, é possível demons-
trar geometricamente essa identidade a partir de um qua-
drado de lados a – b em que são prolongados dois lados 
consecutivos a um comprimento b, obtendo, assim, um 
quadrado de lado a:
Da mesma forma, é possível calcular as áreas dos quadra-
dos e retângulos formados na figura. A área do quadrado 
de lados (a – b) pode ser calculada de duas maneiras:
1.ª maneira:
O quadrado possui lado (a – b), portanto a área A é dada 
por: A = (a – b)²
2.ª maneira:
É possível calcular a área desejada subtraindo da área do 
quadrado de lado a a área dos retângulos de lados b (a – b) 
e quadrado de lado b: 
A = a² – b(a – b) – b(a – b) – b² = a² –2ab + b²
Portanto:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Modelos:
 § (y – 3)² = y² – 2 · y · 3 + 3² = y² – 6y + 9
 § (3a – 5b)² = (3a)² – 2 · 3a · 5b + (5b)² = 
= 9a² – 30ab + 25b²
 § (x – 1)² = x² – 2 · x · 1 +1² = x² – 2x + 1
 § (x² – 3y)² = (x²)² – 2 · x² · 3y + (3y)² = 
= x4 – 6x²y + 9y²
 § ( x __ 
3
 – 4 ) 
2
 = ( x __ 
3
 ) 
2
 – 2 · x __ 
3
 · 4 + 42 = x
2
 __ 
9
 – 8x __ 
3
 + 16
1.3. Produto da soma pela 
diferença de dois termos
Por fim, a expressão (x + y)(x – y) representa o produto entre 
a soma e a diferença entre dois termos. Aplicando a proprie-
dade distributiva, tem-se:
(x + y)(x – y) = x(x – y) + y(x – y) = x² – xy + xy – y² =
= x² – y²
Assim, resulta a seguinte igualdade:
(x + y)(x – y) = x² – y²
Utilizando um exemplo numérico, tem-se:
(5 + 3)(5 – 3) = 5² – 3² = 25 – 9 = 16
Novamente, é possível verificar que o resultado obtido está 
correto, pois (5 + 3)(5 – 3) = (8)(2) = 16.
pt.khanacademy.org/math/algebra2/arithmetic-with-
-polynomials/multiplying-polynomials-review/v/special-
-products-of-binomials
multimídia: site
44  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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DIAGRAMA DE IDEIAS
Modelos
 § (x – 2)(x + 2) = x² – 2² = x² – 4
 § (2a + 3b)(2a – 3b) = (2a)² – (3b)² = 4a² – 9b²
 § (y – 1)(y +1) = y² – 1² = y² – 1
 § (x2 + y²)(x² – y²) = (x²)² – (y²)² = x4 – y4
 § ( a2
 __ 
3
 – b3 ) ( a2
 __ 
3
 + b3 ) = ( a2
 __ 
3
 ) 2 – (b3)2 = a
4
 __ 
9
 – b6
Resumindo os produtos notáveis vistos, tem-se:
(x + y)(x – y) = x² – y²
Produto da soma pela 
diferença de dois termos
(x + y)² = x² + 2xy + y²
Quadrado da soma 
de dois termos
(x – y)² = x² – 2xy + y²
Quadrado da diferença 
de dois termos
QUADRADO DA SOMA
QUADRADO DA DIFERENÇA
QUADRADO 
DO 1.º TERMO
QUADRADO 
DO 1.º TERMO
QUADRADO 
DO 2.º TERMO
QUADRADO 
DO 2.º TERMO
DUAS VEZES O 
1.º VEZES O 2.º
DUAS VEZES O 
1.º VEZES O 2.º
1.º TERMO
1.º TERMO
2.º TERMO
2.º TERMO
y²
y²
(x+y)² =
(x-y)² =
x²
x²
MAIS
MENOS
+
-
MAIS
MAIS
+
+
2•x•y
2•x•y
MATEMÁTICA e suas tecnologias  45



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1
1. Introdução
Fatorar uma expressão significa transformá-la em fa-
tores de um produto. Veja:
x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
FoRmA não FAtoRAdA FoRmA FAtoRAdA
Apesar de as expressões x² – 5x + 6 e (x – 2)(x – 3) serem 
equivalentes, a segunda está representada como uma mul-
tiplicação de fatores (x – 2) e (x – 3).
Muitas vezes, para simplificar uma expressão algébrica, é 
preciso fatorá-la, ou seja, escrevê-la em forma de produto. 
No exemplo dado, é possível simplificar assim:
 x
2 – 5x + 6 _________ 
x – 3
 , com x ≠ 3
Como foi visto, x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3). Substituindo na 
expressão, tem-se:
 x
2 – 5x + 6 _________ 
x – 3
 = (x – 2)(x – 3) __________ 
x – 3
 = x – 2
Nesta aula serão abordadas algumas formas de se fatorar 
uma expressão algébrica.
1.1. Fator comum em evidência
Em geral, todos os casos de fatoração têm por base a pro-
priedade distributiva, propriedade conhecida pelos antigos 
gregos por meio da geometria, mais especificamente por 
meio do cálculo das áreas:
A área do retângulo maior pode ser calculada por:
Aretângulo maior = base × altura = a · (x + y)
Como é possível observar, esse mesmo retângulo está de-
composto em dois retângulos menores, cujas áreas são ax 
e ay. Assim, a área do retângulo maior também pode ser 
calculada pela soma dessas áreas:
Aretângulo maior = ax + ay
Dessa forma, a área do mesmo retângulo foi calculada de 
duas maneiras diferentes, o que demonstra a propriedade 
distributiva em relação à adição algébrica. Observe:
a(x + y) = ax + ay
Assim, quando, numa soma ou subtração, há um 
mesmo fator em comum nas parcelas, é possível co-
locá-lo em evidência.
Modelos
1. Fatore a expressão 2x + 2y.
 Nesse caso, é fácil identificar o fator em comum: 2. Como 
está sendo realizado o processo inverso da propriedade 
distributiva da multiplicação, pode-se dividir cada termo 
pelo fator comum para encontrar a forma fatorada:
2x + 2y = 2 ( 2x __ 
2
 + 
2y
 __ 
2
 ) = 2(x + y)
Para verificar se a fatoração está correta, é aplicada a pro-
priedade distributiva e comparada com a expressão origi-
nal.
2. Fatore a expressão 10a + 15b.
Nesse caso, o fator comum não aparece explicitamente em 
nenhum dos termos. No entanto, é possível expressar os 
coeficientes por meio de produtos. Observe:
10a + 15b = 5 · 2a + 5 · 3b
Assim, fica claro que o fator comum é o número 5. Portanto:
10a + 15b = 5 ( 10a ___ 
5
 + 15b___ 
5
 ) = 5(2a + 3b)
3. Simplifique a expressão 
3x + 6y
 ______ 
3
 .
Fatorando o numerador 3x + 6y, segue que 3x + 6y equi-
vale a 3x + 2 · 3y. Assim, o fator comum é o número 3, 
portanto:
FATORAÇÃO
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19 e 21
MT
AULAS 
5 E 6
46  MATEMÁTICA e suas tecnologias


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3x + 6y = 3 ( 3x __ 
3
 + 
6y
 __ 
3
 ) = 3(x + 2y)
Substituindo o valor encontrado na expressão:
 
3x + 6y
 ______ 
3
 = 
3(x + 2y)
 _______ 
3
 = x + 2y
4. Fatore a expressão x³ – 2x.
O termo x³ pode ser escrito como x · x², assim:
x³ – 2x = x · x² – 2x
Note que o fator comum é x, logo:
x³ – 2x = x ( x³ __ x – 2x __ x ) = x(x² – 2)
5. Fatore a expressão a²b³ + a³b4 + ab.
Reescrevendo os dois primeiros tem-se:
a²b³ = ab · ab²
a³b4 = ab · a²b³
Substituindo na expressão, tem-se:
ab · ab² + ab · a²b³ + ab, logo, o fator comum é ab:
a²b³ + a³b4 + ab = ab ( a2b3
 ____ 
ab
 + a
3b4
 ____ 
ab
 + ab __ 
ab
 ) = 
= ab(ab² + a²b³ + 1)
1.2. Agrupamento
Em um polinômio, é possível não existir um fator comum 
a todos os seus termos. No entanto, talvez seja possível 
fatorá-lo em grupos, fazendo surgir um novo fator comum 
aos grupos fatorados. Assim, basta colocar esse novo fator 
comum em evidência.
Modelos
Fatore os seguintes polinômios:
1. x2 + ax + bx + ab
Tem-se:
x2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a)
x2 + ax + bx + ab = (x + a)(x + b)
Assim, x2 + ax + bx + ab = (x + a)(x + b).
2. 2ax2 + 3axy – 2bxy – 3by2
Tem-se:
2ax2 + 3axy – 2bxy – 3by2
No segundo grupo, pode-se destacar o fator –by ou +by. 
noVo FAtoR comum
1.º gRuPo 2.º gRuPo
2.º gRuPo1.º gRuPo
Contudo, destacando o fator –by, mudam-se os sinais 
dos termos do grupo, deixando-os iguais aos sinais do 
primeiro grupo.
2ax2 + 3axy – 2bxy – 3by2 = 
ax(2x + 3y) – by(2x + 3y)
2ax2 + 3axy – 2bxy – 3by2 = (2x + 3y)(ax – by)
Então, 2ax2 + 3axy – 2bxy – 3by2 = (2x + 3y)(ax – by).
3. y3 – y2 + y – 1
Tem-se:
y3 – y2 + y – 1
 No segundo grupo, pode-se colocar em evidência o fator 1 
ou –1. Para deixar os sinais iguais aos do primeiro grupo, 
utiliza-se o 1.
Já no primeiro grupo, coloca-se em evidência y2. Observe:
y3 – y2 + y – 1 = y2(y – 1) + 1 · (y – 1)
y3 – y2 + y – 1 = (y – 1)(y2 + 1)
Então, y3 – y2 + y – 1 = (y – 1)(y2 + 1).
4. ax + ay – x – y
Tem-se:
ax + ay – x – y = a (x + y) – 1· (x + y)
ax + ay – x – y = (x + y)(a – 1)
Então, ax + ay – x – y = (x + y)(a – 1).
5. axy + bcxy – az – bcz – a – bc
Tem-se:
axy + bcxy – az – bcz – a – bc = 
= xy(a + bc) – z(a + bc) – 1(a + bc)
axy + bcxy – az – bcz – a – bc = 
= (a + bc)(xy – z – 1)
Então, axy + bcxy – az – bcz – a – bc = (a + bc)(xy – z – 1).
1.3. Diferença de dois quadrados
A partir da propriedade simétrica da igualdade (se a = b, 
então b = a), pode-se afirmar que:
se (x + y)(x – y) = x2 – y2, então x2 – y2 = (x + y)(x – y)
Considerando que esse binômio é composto pela diferença do 
quadrado de dois termos, pode-se fatorá-lo facilmente escre-
vendo-o como produto da soma pela diferença desses termos.
2.º gRuPo1.º gRuPo
1.º gRuPo 2.º gRuPo
1.º gRuPo 2.º gRuPo
1.º gRuPo 2.º gRuPo
1.º gRuPo 2.º gRuPo 3.º gRuPo
MATEMÁTICA e suas tecnologias  47
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Modelos
Fatore os seguintes polinômios:
1. x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)
 (3)2
 (x)2
2. 16a4 – 25b2 = (4a2 + 5b)(4a2 – 5b)
 (5b)2
 (4a2)2
3. 
36x²y4
 _____ 
25
 – 121a4
 _____ 
16
 = ( 6xy²
 ____ 
5
 + 11a² ____ 
4
 ) ( 6xy²
 ____ 
5
 – 11a² ____ 
4
 ) 
 ( 11a2
 ____ 
4
 ) 
2
 ( 6xy2
 ____ 
5
 ) 
2
4. (7x + 3y)2 – 16a2 = 
(4a)2
= [(7x + 3y) + 4a] · [(7x + 3y) – 4a] = 
= (7x + 3y + 4a) · (7x + 3y – 4a)
5. (3a + 2b)2 – (3a – 2b)2 = 
= [(3a + 2b) + (3a – 2b)] · [(3a + 2b) 
– (3a – 2b)] = [6a][4b] = 24ab
6. (x + 2y)2 – (2x – y)2 = [(x + 2y) + (2x – y)] · [(x + 2y) – 
(2x – y)] = (3x + y) · (3y – x)
7. 1 – (x2 – 1)2 =
 (1)2
 = [1 + (x2 – 1)] · [1 – (x2 – 1)] =
= x2 · [2 – x2]
2. Trinômio quadrado perfeito
Um monômio é quadrado perfeito, assim como os núme-
ros quadrados perfeitos, quando ele é igual ao quadrado 
de outro monômio. Dessa forma, todo monômio quadra-
do perfeito, não nulo, tem expoentes pares.
São exemplos de monômios quadrados perfeitos:
9m4x² = (3m²x)², 1 ___ 
16
 x8 = ( 1 __ 
4
 x4 ) 2 e 5x² = ( x √
__
 5 )²
Já o monômio 25x3 não é monômio quadrado perfeito, 
uma vez que o expoente da variável não é par.
Todo polinômio com três termos que apresenta dois mo-
nômios quadrados perfeitos (a2 e b2), cujo terceiro termo é 
igual a duas vezes o produto das bases desses monômios 
quadrados perfeitos, em módulo (±2ab), é um trinômio 
quadrado perfeito, ou seja, pode ser reduzido a uma 
das seguintes formas:
a2 + 2ab + b2 ou a2 – 2ab + b2
Esses resultados são produtos notáveis.
 § O primeiro é quadrado da soma: 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
 § O segundo é o quadrado da diferença: 
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Utilizando a propriedade simétrica da igualdade (se x = y, 
então y = x), pode-se afirmar que um trinômio quadrado 
perfeito tem uma das seguintes formas fatoradas:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
ou 
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Modelos
Verifique se os trinômios a seguir são quadrados perfeitos 
e, caso sejam, fatore-os.
1. x² + 4x + 4
Escrevendo o primeiro e o terceiro como quadrados, tem-se:
Caso 2ab seja igual ao termo 4x, o trinômio é quadrado 
perfeito:
2ab = 2 · x · 2 = 4x 
(logo, x² + 4x + 4 é quadrado perfeito)
Agora, fatorando o trinômio, obtém-se:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
2. 4x² + 4x + 25
Escrevendo o primeiro e o terceiro como quadrados, tem-se:
Como 20x ≠ 4x, o trinômio não é quadrado perfeito.
3. 4x² – 16x + 16
Escrevendo o primeiro e o terceiro como quadrados, tem-se:
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Como 2ab = 16x, o trinômio é quadrado perfeito, e sua 
forma fatorada é:
4x² – 16x + 16 = (2x – 4)²
3. Trinômio do segundo grau
Mesmo um trinômio não sendo quadrado perfeito, é pos-
sível fatorá-lo. Para isso, basta associá-lo a uma equação 
do 2.º grau e conhecer as suas raízes. Para um trinô-
mio do tipo ax2 + bx + c, a equação associada a ele é 
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), na qual suas raízes são 
 x1 + x2 = – b __ a e x1 · x2 = c __ a .
Manipulando o trinômio ax2 + bx + c, onde a ≠ 0, tem-se:
ax2 + bx + c = a ( x² + bx __ a + c __ a ) 
ax2 + bx + c = a [ x2 – ( – b __ a ) x + ( c __ a ) ] 
Substituindo x1 + x2 = – b __ a e x1 · x2 = c __ a , obtém-se:
ax2 + bx + c = a[x2 – (x1 + x2) x + x1x2] =
= a[x2 – x1x – x2x + x1x2] = 
= a[x(x – x1) – x2(x – x1)] =
= a[(x – x1)(x – x2)]
Daí, ax2 + bx + c = a(x – x1) ∙ (x – x2)
Note que, se um trinômio for quadrado perfeito e suas 
raízes forem conhecidas, é possível fatorá-lo dessa for-
ma também.
Aplicação do conteúdo
1. Fatore o trinômio x² – 5x + 6, sabendo que suas raízes 
são x1 = 2 e x2 = 3.
Resolução:
Como as raízes são conhecidas e se sabe que o coeficiente 
dominante é 1, tem-se:
x² – 5x + 6 = a(x – x1) · (x – x2) =
= 1(x – 2)(x – 3) = (x – 2)(x – 3)
2. Encontre as raízes e fatore o trinômio 2x² – 8x + 6.
Resolução:
Como as raízes de um polinômio são os valores de x para 
que o polinômio se anule, segue que:
2x² – 8x + 6 = 0
Para resolver essa equação, utiliza-se a fórmula de Bhaska-
ra. Primeiramente, é preciso identificar os coeficientes: a = 
2; b = –8; c = 6
Calculando o discriminante:
∆ = b² – 4ac = (–8)² – 4(2)(6) = 16
Logo, as raízes são:
x = –b ± dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 = –(–8) ± dXXX 16 __________ 
2(2)
 = 8 ± 4 _____ 
4
 
x1 = 8 + 4 _____ 
4
 = 3
x2 = 8 – 4 ____ 
4
 = 1
Como x1 = 3, x2 = 1 e a = 2, a forma fatorada do trinômio é:
2x² – 8x + 6 = 2(x – 3)(x – 1)
3. Simplifique a expressão x
2 – 3x + 2 _________ 
x – 1
 
Resolução:
O numerador apresenta um trinômio que, se tiver suas raí-
zes conhecidas,é possível fatorar:
x² – 3x + 2 = 0
∆ = b² – 4ac = (–3)² – 4(1)(2) = 1
Logo, as raízes são:
x = –b ± dXXXXXXX b2 – 4ac ____________ 
2a
 = –(–3) ± dXX 1 _________ 
2(1)
 = 3 ± 1 _____ 
2
 
x1 = 3 + 1 _____ 
2
 = 2
x2 = 3 – 1 ____ 
2
 = 1
Portanto, x² – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1). 
Substituindo tem-se:
 x
2 – 3x + 2 _________ 
x – 1
 = (x – 2) (x – 1) ___________ 
x – 1
 = x – 2
MATEMÁTICA e suas tecnologias  49
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DIAGRAMA DE IDEIAS
FATORAR É TRANSFORMAR 
UMA EXPRESSÃO EM 
FATORES DE UM PRODUTO
IDENTIFIQUE O FATOR
COMUM COLOCANDO -O
EM EVIDÊNCIA
CASO O FATOR COMUM NÃO
TENHA FÁCIL IDENTIFICAÇÃO,
BUSQUE PRODUTOS NOTÁVEIS
QUE VOCÊ JÁ CONHEÇA
• DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
• TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
• TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU
• ENTRE OUTROS
PROCURE IDENTIFICAR OS PADRÕES DE
FORMAÇÃO DOS PRODUTOS NOTÁVEIS
PARA CONSEGUIR FATORAR EXPRESSÕES
COM MAIS FACILIDADE
50  MATEMÁTICA e suas tecnologias


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1
1. Conjunto dos números 
naturais (N)
O conjunto dos números naturais, cujo símbolo é N, é for-
mado pelos números 0, 1, 2, 3... O conjunto dos números 
naturais é representado por:
N = {0, 1, 2, 3, ...}
Excluindo-se o zero, obtém-se o conjunto dos números na-
turais não nulos, indicado por:
N* = {1, 2, 3, ...}, que é um subconjunto de N.
Os números naturais surgiram com a necessidade de contar 
objetos. Os conjuntos numéricos subsequentes surgiram à 
medida que novas necessidades foram se apresentando, 
sendo eles ampliações do conjunto dos números naturais.
2. Conjunto dos números 
inteiros (Z)
São chamados de números inteiros, ou simplesmente intei-
ros, os números ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,..., cujo conjunto é 
representado pela letra maiúscula Z.
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
O conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos 
números naturais.
Nesse conjunto, destacam-se os seguintes subconjuntos:
1. Conjunto Z* dos números inteiros não nulos:
Z* = {x [ Z | x i 0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}
2. Conjunto Z+* = N* dos números inteiros positivos 
não nulos:
Z+* = N* = {x [ Z | x > 0} = {1, 2, 3, ...}
3. Conjunto Z+ = N dos números inteiros não negativos:
Z+ = N = {x [ Z | x ù 0} = {0, 1, 2, 3, ...}
4. Conjunto Z–* dos números inteiros negativos não nulos:
Z–* = {x [ Z | x < 0} = {–1, –2, –3, ...}
5. Conjunto Z– dos números inteiros não positivos:
Z– = {x [ Z | x ø 0} = {0, –1, –2, –3, ...}
É possível definir os conceitos de divisor e de números 
primos no conjunto dos números inteiros.
Fonte: Youtube
02. Conjuntos numéricos - Aula 1 - Vídeo 1
multimídia: vídeo
2.1. Divisor de um número inteiro
Sendo a, b e c números inteiros, afirma-se que a é divisor 
de b, caso exista um número inteiro c, de forma que:
ac = b
Observe:
 § 5 é divisor de 10, pois 5 · 2 = 10
 § 3 é divisor de 12, pois 3 · 4 = 12
 § 4 não é divisor de 9, pois não existe número inteiro c, 
de forma que 4 · c = 9
 § 2 é divisor de 0, pois 2 · 0 = 0
 § 0 não é divisor de 2, pois não existe número inteiro c, 
de forma que 0 · c = 2
 § –6 é divisor de 18, pois (–6) · (–3) = 18
Note que:
 § 0 não é divisor de nenhum número.
 § Todo número é um divisor de 0.
 § 1 é divisor de qualquer número inteiro.
 § Todo número é um divisor de si mesmo.
CONJUNTOS 
NUMÉRICOS
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
1, 3, 4 e 5
MT
AULAS 
7 E 8
MATEMÁTICA e suas tecnologias  51



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1
O conjunto de todos os divisores de um número a é repre-
sentado por D(a):
Modelo
 § D(6) = {–6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6}
 § D(10) = {–10, –5, –2, –1, 1, 2, 5, 10}
 § D(12) = {–12, –6, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}
2.2. Números primos
Um número inteiro p é considerado primo se:
D(p) = {-p,-1,1,p}
É possível afirmar que um número primo é um número que 
possui apenas como divisores os números 1, –1, o oposto 
e ele próprio. Como foi provado por Euclides, o conjunto 
dos números primos é infinito. Observe, a seguir, alguns 
números primos em ordem crescente:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 
59, 61,...
Note que:
 § O número 1 não é um número primo.
 § O número 2 é o único número primo par.
3. Números racionais (Q)
São chamados de números racionais os números que podem 
ser expressos na forma a __ 
b
 , onde a e b são inteiros, e b i 0. 
Ou seja, são racionais os números que são razões (quocien-
tes) de dois números inteiros. Simbolicamente, representa-se 
o conjunto dos números racionais (Q) dessa forma:
Q = { x = a __ 
b
 | a [ Z e b [ Z* } 
São, portanto, números racionais:
3.1. Qualquer número inteiro.
Modelos
 § 0 = 0 __ 
1
 
 § 2 = 2 __ 
1
 
 § –5 = –5 ___ 
1
 
Os números inteiros podem assumir a forma a __ 
b
 , em que a 
[ Z, b [ Z* e a é múltiplo de b.
3.2. Qualquer decimal exato 
(numerais que apresentam um número finito 
de algarismos decimais diferentes de zero)
Modelos:
 § 2,1 = 21 ___ 
10
 
 § –0,001 = –1 ____ 
1000
 
 § 3,454545 = 3454545 _______ 
106 
Nota:
2,1 = 2,10 = 2,100 = 2,1000 = ... é um decimal exato.
3.3. Qualquer fração de numerador 
inteiro e denominador inteiro não nulo
Modelos:
 § – 1 __ 
4
 
 § 3 ___ 
19
 
 § 2122 ____ 
990
 
3.4 Qualquer decimal periódico 
(numerais formados por infinitos 
algarismos decimais que se 
repetem periodicamente)
Modelos:
 § 0,333... = 3 __ 
9
 ou 0, 

 3 = 3 __ 
9
 (período = 3)
 § –0,313131... = – 31 ___ 
99
 ou – 0,

31 = – 31 ___ 
99
 (período = 31)
 § 4,1666... = 4,1 

 6 = 25 ___ 
6
 (período = 6)
4. Dízima periódica
Uma fração irredutível corresponderá a uma dízima perió-
dica nos casos em que o denominador apresentar, em sua 
decomposição em fatores primos distintos, pelo menos um 
fator primo diferente de 2 e 5, pois, dessa forma, o denomi-
nador não será divisor de uma potência de base 10.
52  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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1
Modelos
 § 7 __ 
3
 = 2,333... = 2, 

 3 (período = 3)
 § – 25 ___ 
6
 = –4,1666... = –4,1 

 6 (período = 6)
 § 56 ___ 
11
 = 5,090909... = 5, 

 09 (período = 09)
Em uma dízima periódica, utiliza-se a seguinte nomenclatura:
 § Período (P): algarismos ou grupos de algarismos que 
se repetem indefinidamente na parte decimal.
 § Parte não periódica (A): algarismos ou grupos de 
algarismos que aparecem logo depois da vírgula e que 
não se repetem. Uma dízima periódica pode apresentar 
ou não parte não periódica.
 § Parte inteira (I): algarismos ou grupos de algarismos 
que antecedem a vírgula.
São chamadas de compostas as dizimas periódicas que 
apresentam parte não periódica; e as que não apresentam 
são denominadas simples.
São exemplos de dízimas periódicas compostas:
São exemplos de dízimas periódicas simples: 0,333... e 
1,424242...
Sendo uma dízima periódica um numerador racional (razão 
de dois inteiros), como proceder para obter a sua repre-
sentação na forma de fração? Como encontrar a chamada 
fração geratriz de uma dízima periódica? Para responder a 
essas questões, considere inicialmente os exemplos:
a) 0,3333... ou 0, 

 3 
Fazendo x = 0,3333..., tem-se:
Notas:
 § 10x = 3,33333... foi obtido a partir de x = 
0,3333..., multiplicando-o por 10.
 § Os números 10x = 3,33333... e x = 0,3333... 
têm a mesma parte decimal.
Subtraindo x e 10x, as partes decimais anulam-se e 
resulta:
10x – x = 3 – 0 ä 9x = 3 [ x = 3 __ 
9
 
Então, 0, 

 3 = 3 __ 
9
 [ 
Observe que, para obter uma fração correspondente (fra-
ção geratriz) ao decimal periódico, é preciso encontrar 
dois números com a mesma parte decimal e subtrair um 
do outro a fim de eliminar as infinitas casas decimais.
b) 2,1434343... ou 2,1 
—
 43 
Nesse caso, perceba que são obtidos dois números com 
a mesma parte decimal quando, a partir de x, desloca-se 
para a parte inteira:
1. A parte decimal que não se repete. Para isso, multiplica-
-se x por 10 (A tem 1 algarismo):
10x = 21,434343...
2. A parte decimalque não se repete e um período com-
pleto. Para isso, multiplica-se x por 10 · 102 =1 000 (A tem 
1 algarismo e P tem 2):
Subtraindo 10x de 1 000x, as partes decimais se anulam 
e resulta:
1 000x – 10x = 2143 – 21 ä 
ä x = 2143 – 21 ________ 
990
 [ x = 2122 ____ 
990
 
Então, 2,1 
——
 43 = 2122 ____ 
990
 [ Q.
Em geral, para se obter a fração geratriz da dízima perió-
dica x = I, APPPP... (ou x = I,A 
—
 P ) , em que o período P tem 
n algarismos, a parte decimal que não se repete (A) tem m 
algarismos, e a parte inteira uma quantidade qualquer (I), 
deve-se proceder assim:
Subtraindo membro a membro essas duas igualdades, as 
partes decimais se anulam e resulta:
10m · 10nx – 10mx = IAP – IA ä 
ä10m x (10n – 1) = IAP – IA ä
zeros
MATEMÁTICA e suas tecnologias  53



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1
Nota:
Dessa forma, é possível utilizar a seguinte regra prática 
para obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica:
I, APPPP... = IAP – IA ___________ 
99...9 00...0
 
n algarismos m algarismos
em que m é a quantidade de algarismos de A e n, a de P.
Modelos
 § 0,23666...
Observe que P = 6 tem um algarismo e A = 23 tem dois al-
garismos. Assim, o denominador da fração geratriz terá um 
algarismo 9 e dois algarismo 0, enquanto o numerador será 
IAP – IA = 0236 – 023. Daí:
0,23666 ... = 0236 – 023 _________ 
900
 = 213 ___ 
900
 = 71 ___ 
300
 
 § 2,614614614...
Observe que P = 614 tem três algarismos e A não existe. 
Assim, o denominador da fração geratriz terá apenas três 
algarismos 9 (não terá zero), enquanto o numerador será 
IAP – IA = 2614 – 2. Daí:
2,6146146146 146 = 2614 – 2 _______ 
999
 = 2612 ____ 
999
 
 § –0,454545... = – ( 045 – 0 ______ 
99
 ) = – 45 ___ 
99
 = – 5 ___ 
11
 
 § 0,888...= 08 – 0 _____ 
9
 = 8 __ 
9
 
 § 0,6888... = 068 – 06 _______ 
90
 = 62 ___ 
90
 = 31 ___ 
45
 
 § 1,32414141... = 13241 – 132 __________ 
9900
 = 13109 _____ 
9900
 
 § –0,00133... = – ( 00013 – 0001 ___________ 
9000
 ) = – 12 ____ 
9000
 ou – 1 ___ 
750
 
5. Subconjuntos 
importantes do conjunto 
dos números racionais
Com relação aos conjuntos numéricos N, Z e Q, tem-se a 
seguinte relação de inclusão:
N , Z , Q
Usando diagramas, é possível representar essa re-
lação assim:



Além do conjunto dos números naturais (N) e dos conjun-
tos dos números inteiros (Z), também são subconjuntos 
especiais do conjunto dos números racionais (Q):
1. Conjunto dos números racionais não nulos:
Q* = {x [ Q | x i 0}
2. Conjunto dos números racionais não negativos:
Q+ = {x [ Q | x ù 0}
3. Conjunto dos números racionais positivos:
Q+* = {x [ Q | x > 0}
4. Conjunto dos números racionais não positivos:
Q– = {x [ Q | x ≤ 0}
5. Conjunto dos números racionais negativos:
Q–* = {x [ Q | x < 0}
6. Propriedades dos 
números racionais
Valem as seguintes propriedades no conjunto dos nú-
meros racionais: 
P1: O resultado da soma de dois números racionais quais-
quer é igual a um número racional.
Modelo
P2: O resultado da diferença entre dois números racionais 
quaisquer é igual a um número racional.
Modelo
54  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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1
P3: O resultado da produto de dois números racionais 
quaisquer é igual a um número racional.
Modelo
P4: O resultado do quociente de dois números racionais, sen-
do o divisor diferente de zero, é igual a um número racional.
Modelo
7. Números irracionais (R - Q)
Números como √
__
 2 = 1,4142135..., cuja representação de-
cimal é infinita e não periódica, são chamados de núme-
ros irracionais, ou seja, não racionais e, sendo assim, não 
inteiros nem razão de dois inteiros, mas podem representar 
medidas no mundo real, como a medida da diagonal do 
quadrado de lado igual a 1, por exemplo.
Observe outros exemplos de números irracionais:
 § 0,1234567891011...
 § 1,01002000300004000005...
 § √
__
 3 = 1,7320508
 § p = 3,141592...
Esse último exemplo (p = 3,141592...) é o mais famoso 
dos números irracionais, pois é a razão entre o compri-
mento de uma circunferência e seu diâmetro (2R):
 C ___ 
2R
 = p
8. Conjunto dos números reais (R)
O conjunto dos números reais () resulta da união dos 
números racionais com os números irracionais. Utilizando 
diagramas, é possível representar essa união assim:




 
No conjunto dos números reais (R), tem-se:
1. Q < {irracionais} = R
2. Q > {irracionais} = Ö, isto é, Q e {irracionais} são 
conjuntos disjuntos.
3. (R – Q) = {irracionais}
4. N , Z , Q , R
Nota
Alguns autores usam a notação = (R – Q) = {irracionais} 
para representar o conjunto dos números irracionais.
Também é possível visualizar o conjunto dos números reais e 
seus principais subconjuntos por meio do quadro sinóptico:
Também merecem destaque os seguintes subconjuntos de R:
 § R* = {x [ R | x i 0} ä conjunto dos números reais 
não nulos
 § R+ = {x [ R | x ù 0} ä conjunto dos números reais 
não negativos
 § R+* = {x [ R | x > 0} ä conjunto dos números reais 
positivos
 § R– = {x [ R | x < 0} ä conjunto dos números reais 
não positivos
 § R*– = {x [ R | x < 0} ä conjunto dos números reais 
negativos
8.1. Propriedades dos números reais
Valem as seguintes propriedades em relação ao conjunto 
dos números reais e seus subconjuntos:
P1: Se o número n √
__
 a , com n [ N* e a [ N, não é inteiro, 
então n √
__
 a é irracional.
 § dXX 2 [ (R – Q)
 § 3 dXX 3 [ (R – Q)
 § 5 dXX 8 [ (R – Q)
 § 4 dXX 1 Ó (R – Q), pois 4 dXX 1 = 1 [ Q
 § 3 dXXX 27 Ó (R – Q), pois 3 dXXX 27 = 3 [ Q
 § 9 dXX 0 Ó (R – Q), pois 9 dXX 0 = 0 [ Q
P2: O resultado da soma de um número racional com um 
número irracional é igual a um número irracional.
 § 1 + 3,14159265... = 4,14159265...
RAcIonAl IRRAcIonAl IRRAcIonAl
MATEMÁTICA e suas tecnologias  55



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1
DIAGRAMA DE IDEIAS
P3: O resultado da diferença entre um número racional e 
um número irracional, em qualquer ordem, é igual a um 
número irracional.
 § 1 – 3,14159265... = – 2,14159265...
RAcIonAl IRRAcIonAl IRRAcIonAl
P4: O resultado do produto de um número racional não nulo 
por um número irracional é igual a um número irracional.
 § 2 · dXX 3 = dXX 4 · dXX 3 = dXXXX 4 · 3 = dXXX 12 
RAcIonAl IRRAcIonAl IRRAcIonAl
P5: O resultado do quociente de um número racional não nulo 
por um número irracional é igual a um número irracional.
 § 12 : dXX 6 = 12 ___ 
 dXX 6 
 = 12 · dXX 6 ______ 
 dXX 6 · dXX 6 
 = 12 dXX 6 _____ 
6
 = 2 dXX 6 = dXX 4 · dXX 6 = dXXX 24 
 RAcIonAl IRRAcIonAl IRRAcIonAl
Malba Tahan - O Homem que Calculava
O Homem que Calculava, de Malba Tahan, mostra as 
proezas matemáticas do calculista persa Beremiz Samir, 
que tornaram-se lendárias na antiga Arábia, encan-
tando reis, poetas, xeiques e sábios. Nesse livro, Malba 
Tahan relata as incríveis aventuras desse homem singu-
lar e suas soluções fantásticas para problemas aparen-
temente insolúveis.
multimídia: Livros
REAIS ( )
IRRACIONAIS
( - )
RACIONAIS( )
INTEIROS
NATURAIS
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
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____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
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____________________________________________________________
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____________________________________________________________
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____________________________________________________________
____________________________________________________________
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____________________________________________________________
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____________________________________________________________
____________________________________________________________
ANOTAÇÕES
56  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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1
GEOMETRIA 
PLANA
LIVRO 
TEÓRICO
MATEMÁTICA
58  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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1
No Enem, encontramos uma alta incidên-
cia de questões de geometria plana, com 
níveis de dificuldade baixo ou mediano. 
As questões estarão ligadas ao cotidiano 
do candidato.
É um vestibular com elevada incidência de 
geometria plana e também com alto grau 
de dificuldade. Com questões abstratas, a 
Fuvest exigirá construções geométricas de 
seus candidatos.
Todos os conteúdos são essenciais para 
este vestibular, pois ele exigirá uma reso-
lução da geometria plana aliada a uma 
situação do nosso cotidiano. O candidato 
deve levar este livro como base para as 
próximas aulas.
Geometria plana será cobrada neste vesti-
bular associada a outros conceitos mate-
máticos. Por ser introdutório, o candidato 
deve absorver o conhecimento das aulas.
A Vunesp abordará o candidato com 
questões de nível médio, mas buscando a 
resolução de uma situação problema. Os 
conteúdos serão cobrados também em 
questões de dinâmica, por exemplo.
Nesse processo seletivo, as questões de ge-
ometria plana estarão ligadas a situações 
do cotidiano do candidato. A interpreta-
ção do texto deve ser proeminente nesse 
vestibular.
Apresenta questões de geometria plana 
com nível médio de dificuldade e sempre 
conectadas a problemas cotidianos. A fa-
culdade do ABC utiliza outros conceitos da 
Matemática aos seus problemas.
Por ser um vestibular tradicional, encon-
tramos questões com elevado grau de 
dificuldade e em grande quantidade. Com 
questões abstratas, o candidato realizará 
construções geométricas.
Apresenta alta incidência de questões de 
geometria plana associadas à geometria 
espacial, geometria analítica e trigono-
metria.
Essa prova abordará uma questão de ge-
ometria plana.
É um vestibular tradicional que aborda to-
dos os temas deste livro. Geometria plana 
terá alta incidência, associada à geometria 
espacial e analítica.
Nesse processo seletivo, encontraremos 
questões de geometria espacial que trazem 
conceitos da geometria plana. Assim, o 
candidato deve possuir conhecimento de 
todos os itens deste livro para dar continui-
dade aos próximos.
Os tópicos abordados neste livro serão 
base para as questões da Uerj. A geometria 
plana, como um todo, tem alta incidência 
neste vestibular, com questões que envol-
vem situações problemas.
Geometria plana estará no vestibular da 
Unigranrio, com questões de nível médio. 
Por este livro ser introdutório, todos os 
temas são importantes para a realização 
desse processo seletivo.
Geometria plana será cobrada nesse ves-
tibular associada a outros conceitos mate-
máticos, como trigonometria.
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
MATEMÁTICA e suas tecnologias  59



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1
1.Postulados e teoremas
1.1 Conceitos primitivos
Conceitos primitivos, entes primitivos ou entes geométricos 
são as figuras ponto, reta e plano. Eles não possuem 
definição. Suas representações são:
De modo geral, esses entes geométricos são indicados como:
 § Ponto: representado com letras latinas maiúsculas: A, 
B, C, P,...
 § Reta: representada com letras latinas minúsculas: a, 
b, c, r, t,...
 § Plano: representado com letras gregas minúsculas: a, 
b, g, p,...
Na geometria, também existem postulados (ou axiomas), 
que são verdades matemáticas aceitas sem demonstração:
 § Posição relativa entre um ponto e uma reta.
Q
P
r
Como é possível observar na figura, o ponto P pertence à 
reta r, enquanto o ponto Q não pertence à reta r, ou seja, 
P [ r, e Q Ó r.
 § Em uma reta, há infinitos pontos, assim como 
em um plano.
 § Por um ponto P, passam infinitas retas.
P
 § Dois pontos distintos determinam uma única 
reta que os contém. Observe os pontos A e B. A 
reta determinada por eles é escrita como 
‹ 
 
___
 
›
 AB .
A
B
 § Três pontos distintos não colineares determi-
nam um único plano que os contém.
A
B
C
2. Definições importantes
2.1. Pontos colineares
Dois ou mais pontos são colineares caso estejam contidos 
na mesma reta.
A B C
r
Como é possível observar na figura, os pontos A, B e C são 
colineares, pois A [ r, B [ r e C [ r.
INTRODUÇÃO 
À GEOMETRIA 
PLANA
COMPETÊNCIA(s)
2
HABILIDADE(s)
6, 7, 8 e 9
MT
AULAS 
1 E 2
60  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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1
2.2. Pontos coplanares
Um conjunto de pontos é dito coplanar caso pertença ao 
mesmo plano.
2.3. Figuras geométricas
São conjuntos não vazios de pontos.
3. Segmentos de reta 
e definições
3.1. Segmento de reta
Considerando uma reta 
‹ 
 
___
 
›
 AB , o segmento de reta 

 AB é a 
parte limitada entre os pontos A e B.
A B
3.2. Semirreta
Uma semirreta é uma das partes de uma reta limitada por 
um único ponto P.
P
3.3. Segmentos de reta consecutivos
Dois segmentos de reta serão consecutivos se houver uma 
extremidade P em comum.
P
Q R
3.4. Segmentos de reta colineares
Dois segmentos de reta serão colineares se estiverem con-
tidos na mesma reta.
3.5. Segmentos de reta adjacentes
Dois segmentos de reta serão adjacentes se forem con-
secutivos, colineares e apresentarem apenas um ponto 
em comum.
Q
P
R
Os segmentos 

 QP e 

 PR são adjacentes; 
P é o único ponto comum.
3.6. Segmentos de reta congruentes
Dois segmentos de reta 

 AB e 

 CD serão congruentes 
quando possuírem o mesmo comprimento, na mesma 
unidade de medida.
3.7. Ponto médio
Se os segmentos 

 QP e 

 PR são congruentes, então P é o 
ponto médio de 

 QR .
Q
P
R
MATEMÁTICA e suas tecnologias  61



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1
4. Ângulos e definições
4.1. Ângulo
Ângulo é a parte do plano delimitada por duas semirretas 
de mesma origem. As duas semirretas que formam o ân-
gulo são chamadas de “lado”, e a origem comum às duas 
semirretas é chamada de “vértice”.
A
B
O
4.2. Unidades de medida de ângulos
 § Grau: se uma circunferência de centro O for dividida 
em 360 partes iguais, e, a partir dela, for formado um 
ângulo com origem em O e lados que passam por duas 
divisões subsequentes, resultará um ângulo com medi-
da de um grau (1°).
Os submúltiplos mais usuais do grau são o minuto e o se-
gundo, definidos da seguinte forma:
1’ (um minuto) = 1° ___ 
60
 
1’’ (um segundo) = 1’ ___ 
60
 
 § Radiano: quando, em qualquer circunferência, a me-
dida do arco de um ângulo central é igual à medida do 
raio dessa circunferência, diz-se que esse ângulo mede 
1 rad (um radiano).
O
r
r
r
É possível concluir que qualquer ângulo a, medido em ra-
diano, recebe a seguinte definição:
a = L _ r rad
L é o comprimento do arco do ângulo central a, inscrito em 
uma circunferência, e r é o raio dessa circunferência.
4.3. Ângulos consecutivos
Dois ângulos serão consecutivos se, e somentese, possuí-
rem um lado em comum.
A
A
B
B
C
C
AÔB
OB
BÔC
AÔC
OA
AÔB
O
O
4.4. Ângulos adjacentes
Dois ângulos serão adjacentes se forem consecutivos e não 
possuírem pontos internos em comum.
B
A
C
AÔB e BÔC são adjacentes.
O
4.5. Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.)
Dois ângulos serão opostos pelo vértice (O.P.V.) quando um 
deles for composto pelas semirretas opostas do outro.
AD
C
AÔB CÔD
B
0
Logo: A 
 ̂ 
 O B > C 
 ̂ 
 O D.
62  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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4.6. Bissetriz
Considerando um ângulo A 
 ̂ 
 O B, afirma-se que a semirreta 
 
_____
 
›
 OP é bissetriz de A 
 ̂ 
 O B se, e somente se, A 
 ̂ 
 O P > P 
 ̂ 
 O B. Ou 
seja, uma bissetriz divide um ângulo em dois ângu-
los congruentes.
A
P
B
O
OP AÔB
AÔP PÔB
4.7. Ângulos suplementares adjacentes
Considerando um ângulo B 
 ̂ 
 O C, o ângulo determinado pela 
semirreta oposta a 
 _____
 
›
 OC e à semirreta 
 _____
 
›
 OB é seu suplemen-
tar adjacente. Dessa forma, a soma de um ângulo e de 
seu suplementar adjacente é sempre 180°, o que é deno-
minado ângulo raso.
OA
AÔB
AÔB
BÔC
BÔC
C
B
4.8. Ângulo reto
Um ângulo é denominado reto quando é côngruo a seu 
suplementar adjacente. A medida angular de um ângulo 
reto é 90°.
B
A CO
BÔC
BÔC
BÔC
AÔB
AÔB
AÔB
4.9. Ângulo agudo
Um ângulo agudo é todo ângulo menor que o ângulo reto.
A
B
4.10. Ângulo obtuso
Um ângulo obtuso é todo ângulo maior que o ângulo reto 
e menor que o ângulo raso.
A
B
4.11. Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando sua soma equi-
vale ao ângulo reto.
4.12. Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando sua soma 
equivale a 180º.
4.13. Ângulos replementares
Dois ângulos são replementares quando sua soma 
equivale a 360°.
4.14. Ângulos determinados por 
duas retas e uma transversal
Considere duas retas paralelas (r e s) e uma reta (t) con-
corrente a r e s:
t
r
s
MATEMÁTICA e suas tecnologias  63



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1
A reta t é denominada transversal às retas r e s. Sua inter-
secção com as retas determina oito ângulos. Esses ângulos 
podem ser classificados como:
 § Ângulos alternos: 
1 e 7, 2 e 8, 3 e 5, 4 e 6.
 § Ângulos correspondentes: 
1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8.
 § Ângulos colaterais:
1 e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5.
Além dessa classificação, em relação aos ângulos alternos 
e colaterais tem-se:
 § Ângulos alternos internos: 
3 e 5, 4 e 6. 
 § Ângulos alternos externos: 
1 e 7, 2 e 8.
 § Ângulos colaterais internos: 
4 e 5, 3 e 6. 
 § Ângulos colaterais externos: 
1 e 8, 2 e 7.
O quadro a seguir resume as classificações dos 
ângulos formados:
t
t
t
r
r
r
s
s
s
t
t
t
t
r
r
r
r
s
s
s
s
4.15. Consequências
Como os ângulos alternos (internos e externos) são 
congruentes, os ângulos correspondentes também 
são congruentes, assim como os ângulos colaterais 
são suplementares:
t t
r r
s s
64  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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DIAGRAMA DE IDEIAS
Aplicação do conteúdo
1. Observe a figura a seguir:
t
a
b
x
x
Se a e b são paralelas, calcule o valor, em graus, 
de x.
Resolução:
Como a e b são paralelas, tem-se que ângulos correspon-
dentes são congruentes; assim, é possível reescrever o ân-
gulo 20° + x na reta b:
t
a
b
x
x
x
Agora, como os ângulos x e 20° + x são suplementares, 
tem-se:
x + 20° + x = 180°
2x = 160°
x = 80°
ENTENDER PRIMEIRO OS
CONCEITOS PRIMITIVOS
ENTENDER O
“MATEMATIQUÊS”
RETAS E 
DEFINIÇÕES
ÂNGULOS E 
DEFINIÇÕES
COLINEAR: 
MESMA RETA
COPLANAR: 
 MESMO PLANO
ÂNGULOS DETERMINA-
DOS POR DUAS RETAS 
E UMA TRANSVERSAL
• ALTERNOS
• CORRESPONDENTES
• COLATERAIS
• INTERNOS
• EXTERNOS
GRAU: DIVISÃO DA 
CIRCUNFERÊNCIA EM 360º
RADIANO: MEDIDA 
DO ARCO DIVIDIDA PELA 
MEDIDA DO RAIO
SEGMENTOS DE RETA
(PARTE DELIMITADA 
ENTRE DOIS PONTOS)
A B
SEMIRRETA
(RETA DELIMITADA 
POR UM PONTO)
P ÂNGULOS OPOS-
TOS PELO VÉRTICE
D A
C B
A
PONTO
RETA
PLANO
MATEMÁTICA e suas tecnologias  65



 V
O
LU
M
E 
1
1. Triângulos
Um triângulo é uma figura geométrica formada a partir 
de três segmentos de reta cujas extremidades são três pon-
tos distintos e não colineares.
A
B
C
No triângulo da figura (indicado por DABC), podem ser 
destacados os seguintes elementos:
 § os pontos A, B e C são os vértices;
 § os segmentos 

 AB , 

 BC e 

 AC são os lados;
 § os ângulos a, b e g são os ângulos internos;
 § os ângulos ae, be e ge são os ângulos externos, ob-
tidos a partir do prolongamento dos lados.
Note que cada ângulo interno e seu respectivo ângulo ex-
terno são suplementares adjacentes.
1.1. Classificação dos triângulos
É possível classificar os triângulos em relação às medidas 
dos lados ou quanto aos seus ângulos internos.
1.1.1. Quanto aos lados
 § Triângulo equilátero: apresenta os três lados 
congruentes.
A
B C
Como os três lados são congruentes, os três angulos inter-
nos também são congruentes e medem 60°.
 § Triângulo isósceles: apresenta dois lados congruentes.
A
B C
Na figura acima, o lado BC é chamado de base, e os ângu-
los relativos aos vértices B e C são denominados ângulos 
da base, que são congruentes.
 § Triângulo escaleno: apresenta os três lados com me-
didas diferentes entre si. Os três ângulos são diferentes.
A
B C
1.1.2. Quanto aos ângulos
 § Triângulo retângulo: apresenta um ângulo interno reto 
e, em consequência, dois ângulos agudos complementares.
a + b = 90º
A
B C
Os ângulos relativos aos vértices A e C são complementares.
ÂNGULOS NUM 
TRIÂNGULO E 
ÂNGULOS NUMA 
CIRCUNFERÊNCIA
COMPETÊNCIA(s)
2
HABILIDADE(s)
6, 7, 8 e 9
MT
AULAS 
3 E 4
66  MATEMÁTICA e suas tecnologias



 V
O
LU
M
E 
1
 § Triângulo acutângulo: apresenta os três ângulos 
internos agudos.
0 < a < 90º
0 < b < 90º
0 < g < 90º
A
B C
 § Triângulo obtusângulo: apresenta um ângulo obtu-
so e, em consequência, dois ângulos agudos.
90º < b < 180º
A
B C
2. Ângulos em um triângulo
2.1. Soma dos ângulos internos
Considere um triângulo DABC e uma reta r paralela ao 
lado 

 BC , contendo o vértice A:
A r//BC
B C
Considere a, b e u os ângulos internos relativos aos vérti-
ces A, B e C, respectivamente. Observe que a reta r deter-
mina também outros dois ângulos g e r. Note que:
g + a + r = 180°
No entanto, g e b, assim como r e u, são ângulos alternos 
internos, ou seja, congruentes. Dessa forma, é possível escrever:
a + b + u = 180°
Logo:
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 
igual a 180°.
Aplicação do conteúdo
1. Determine o valor de x no triângulo ABC a seguir:
A
B C
Resolução:
Como a soma dos ângulos internos deve ser 180°, tem-se:
82° + 32° + x = 180°
114° + x = 180°
x = 180° – 114°
x = 66°
2. Determine o valor de x no triângulo isósceles de 
base BC
____ 
a seguir: 
A
B C
Resolução:
Como o triângulo é isósceles, o ângulo relativo ao vértice B 
também mede 50°. Assim:
50° + 50° + x = 180° ä 100° + x = 180° ä
 ä x = 180° – 100° 
ä x = 80°
2.2. Teorema do ângulo externo
Considere o D ABC a seguir:
A
B C
O ângulo u é o ângulo externo relativo ao vértice C. 
Dessa forma:
 § (I) a + b + g = 180° (soma dos ângulos internos)
MATEMÁTICA e suas tecnologias  67



 V
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M
E 
1
 § (II) u + g = 180° (ângulos suplementares adjacentes)
Subtraindo a equação (II) da (I), tem-se:
a + b + g – (u + g) = 180° – 180° ä 
ä a + b – u = 0 ä a + b = u
Logo: u = a + b.
Conclui-se, então, que o ângulo externo u, relativo ao vértice 
C, equivale à soma dos dois ângulos internos relativos a A e 
B. É possível, então, enunciar o teorema do ângulo externo:
Em um triângulo ABC qualquer, o ângulo externo relativo 
a um determinado vértice equivale à soma dos outros 
dois ângulos internos, não adjacentes a ele.
Aplicação do conteúdo
1. Calcule o valor de x sabendo que o triângulo DABC 
é isósceles de base 

 BC e o ângulo interno relativo ao 
vértice C vale 35°.
AB
C
X
Resolução:
Como o triângulo é isósceles, 
 ̂C = 
 ̂ 
 B = 35°, assim, pelo 
teorema do ângulo externo:
x = 35° + 35° = 70°
2. Calcule o valor de x sabendo que o triângulo DABC é 
isósceles de base 

 BC .
y
A
B
C
X
Resolução:
Como o triângulo é isósceles de base 

 BC , tem-se 
 ̂ 
 B = 
^ 
 C = y. 
Logo:
100° + y + y = 180°
2y = 180° – 100°
2y = 80°
y = 40°
Agora, como x é o ângulo externo do triângulo ABC:
x = y + 100°
x = 40° + 100°
x = 140°
3. Sabendo que 

 AB = 

 AC = 

 BC = 

 DC, calcule o valor de x 
na figura abaixo:
A
B C D E
x
2x
Resolução:
O triângulo ABC é equilátero, portanto seus ângulos in-
ternos medem 60°. Sabendo disso, o ângulo A 
 ̂ 
 C D mede 
120° (suplementar de 60°).
O triângulo ACD é isósceles; então, fazendo C 
 ̂ 
 A D=C 
 ̂ 
 D A=y, 
tem-se:
120° + y + y = 180°
2y = 60°
y = 30°
O ângulo A 
 ̂ 
 D E é externo relativo ao triângulo ACD, logo:
A 
 ̂ 
 D E = 30° + 120°
A 
 ̂ 
 D E = 150°
Finalmente, somando os ângulos internos do triângulo ADE:
x + 2x + 150° = 180°
3x = 180° – 150°
3x = 30°
x = 10°
2.3. Teorema da soma dos ângulos externos
Considere o triângulo DABC e seus ângulos externos ae, 
be e ge.
A
B
C
68  MATEMÁTICA e suas tecnologias



 V
O
LU
M
E 
1
Pelo teorema do ângulo externo, tem-se:
ae = 
 ̂ 
 B + 
 ̂ 
 C 
be = 
 ̂ 
 A + 
 ̂ 
 C 
ge = 
 ̂ 
 A + 
 ̂ 
 B 
Somando as três igualdades, tem-se:
ae + be+ ge = 2 
 ̂ 
 A + 2 
 ̂ 
 B + 2 
 ̂ 
 C = 2( 
 ^ 
 A + 
 ̂ 
 B + 
 ̂ 
 C )
Como 
 ̂ 
 A + 
 ̂ 
 B + 
 ̂ 
 C = 180° (soma dos ângulos internos de 
um triângulo):
ae + be+ ge = 2(180°) = 360°
Portanto, em qualquer triângulo, sendo ae, be e ge os ân-
gulos externos, tem-se:
ae + be+ ge = 360°
3. Ângulos em uma circunferência
3.1. Circunferência
É o conjunto dos pontos do plano situado à mesma distân-
cia de um ponto fixo. O ponto fixo é denominado centro.
3.2. Posições relativas entre 
reta e circunferência
Tangentes 
(um único ponto 
em comum)
Secantes 
(dois pontos 
em comum)
Externas 
(nenhum ponto 
em comum)
r t
dC,t = raio
r
s
dC,s < raio
r u
dC,u > raio
3.3. Propriedade da reta 
tangente à circunferência
Caso a reta seja tangente à circunferência, o segmento de-
terminado pelo raio e a reta tangente formam um ângulo 
reto no ponto de tangência.
C
P
r
Como é possível observar na figura acima, a distância CP 
equivale ao raio da circunferência, e o ponto P é denomi-
nado ponto de tangência da reta r e da circunferência.
3.4. Propriedade da reta 
secante à circunferência
Considere uma circunferência de centro C e uma reta r, 
secante à circunferência, que forma os pontos A e B:
C
A
M
B
r
Sendo M o ponto médio de 

 AB , tem-se que o segmento 

 CM será perpendicular à reta secante r.
3.5. Posições relativas entre 
duas circunferências
São dadas em função do número de pontos em comum 
das circunferências. Sendo O1 e O2 os centros, e r1 e r2 os 
respectivos raios, com r1 > r2, obtém-se:
Pontos 
em 
comum
Posição 
relativa
Distância 
entre os 
centros 
em função 
dos raios
Figura
2 Secantes
r1 – r2 < d < 
r1 + r2
C1 C2
1
Tangentes 
internas d = r1 – r2
C1
C2
Tangentes 
externas d = r1 + r2
C1 C2
MATEMÁTICA e suas tecnologias  69



 V
O
LU
M
E 
1
Pontos 
em 
comum
Posição 
relativa
Distância 
entre os 
centros 
em função 
dos raios
Figura
0
Internas 
concêntri-
cas
d = 0
C1
C2
In te rnas 
não con-
cêntricas
d < r1 – r2
C1
C2
Externas d > r1 + r2
C1 C2
Notas
1. No caso de as circunferências serem tangen-
tes, os centros e os pontos de tangência serão 
sempre colineares.
2. Quando as circunferências são concêntricas, satis-
fazem a condição d < r1 – r2, pois perfazem um caso 
particular de circunferências internas.
4. Ângulos na circunferência
4.1. Ângulo central
É um ângulo que tem como vértice o centro da circunfe-
rência e seus lados passam por pontos pertencentes a ela.
A
B
O
Nota
Um ângulo central A 
 ̂ 
 O B determina na circunferência 
dois arcos, cujas medidas somam 360°.
A
B
XX O
4.2. Ângulo inscrito
É aquele cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos 
lados passam por dois outros pontos da circunferência.
E
F
G
Propriedade
Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma mesma 
circunferência têm o mesmo arco correspondente, então a 
medida do ângulo central equivale ao dobro da medida do 
ângulo inscrito.
Considere três situações:
A
B
C
x
y
O
A
B
C
x
y
O
70  MATEMÁTICA e suas tecnologias



 V
O
LU
M
E 
1
A
B
C
x
y
O
Observe que, dessa propriedade, conclui-se que, para um 
mesmo arco BC, não importa a posição do ponto A nos três 
casos, o valor de y é o mesmo ( x __ 
2
 ) , pois todos eles “enxer-
gam” o mesmo arco. Ou seja, qualquer ângulo inscrito que 
determine o mesmo arco terá o mesmo valor:
A
B
P
M
N
x
x
xO
x
Na figura anterior, se A 
 ̂ 
 O B é um ângulo central de medida 
x, todos os ângulos inscritos A 
 ̂ 
 M B, A 
 ̂ 
 N B e A 
 ̂ 
 P B possuem a 
mesma medida: x __ 
2
 .
Em consequência, se um ângulo central A 
 ̂ 
 O B descreve um 
arco de 180°, onde 

 AB é o diâmetro, ao tomar um ponto P 
qualquer na circunferência, o triângulo ABP será retângulo, 
pois o ângulo A 
 ̂ 
 P B será reto (180°/2 = 90°):
A
Se um triângulo estiver inscrito 
em uma circunferência, e um dos 
lados coincidir com o diâmetro, 
o triângulo será retângulo.
O
B
P
Aplicação do conteúdo
1. Calcule o ângulo a na circunferência abaixo:
A
B
C
D
O
Resolução:
Note que os ângulos A 
 ̂ 
 D C e A 
 ̂ 
 B C determinam o mesmo 
arco AC. Portanto, possuem o mesmo valor.
O
A
B
C
D
Agora, pode-se calcular a medida do ângulo C 
 ̂ 
 O D :
C 
 ̂ 
 O D + 30°+ 40° = 180° à C 
 ̂ 
 O D = 110°
Como C 
 ̂ 
 O D e a são opostos pelo vértice O, resulta:
a = 110°
4.3. Ângulo de segmento
É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferên-
cia, um lado secante à circunferência e outro tangente a ela.
A
B
t
O
Na figura acima, como a reta t é tangente à circunferência, 
e a semirreta AB é secante, a é um ângulo de segmento.
Propriedade
A medida do ângulo de segmento é metade da medida 
angular do arco determinado na circunferência por um 
de seus lados.
A
BO
t
a
a
MATEMÁTICA e suas tecnologias  71



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1
4.4. Polígonos regulares inscritos 
na circunferência
Sabe-se que polígono regular é aquele que possui todos 
os lados congruentes, assim como todos os ângulos. Dessa 
forma, se uma circunferência for dividida em partes iguais, 
unindo os pontos obtidos por segmentos, será determinado 
um polígono regular. Para isso, basta dividir 360° (em torno 
do centro) pelo número de partes que se deseja obter.
Modelos
1. Em 4 partes de 90°
O
2. Em 5 partes de 72°
72  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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M
E 
1
DIAGRAMA DE IDEIAS
QUANTO AOS 
LADOS
QUANTO AOS 
ÂNGULOS
LEMBRE-SE DAS CLASSIFICAÇÕES
DOS TRIÂNGULOS
EQUILÁTERO = 3 LADOS IGUAIS
ISÓSCELES = 2 LADOS IGUAIS
ESCALENO = 3 LADOS DIFERENTES
RETÂNGULO = 1 ÂNGULO DE 90°
ACUTÂNGULO = 3 ÂNGULOS 
INTERNOS AGUDOS
OBTUSÂNGULO = 1 ÂNGULO 
OBTUSO (MAIOR QUE 90°)
ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO E ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA
ÂNGULOS EM UM TRIÂNGULO
ALTERNOS
INTERNOS
 + + = 180°
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
ÂNGULO EXTERNO É A SOMA
DOS DOIS ÂNGULOS INTERNOS
NÃO ADJACENTES A ELE.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  73



 V
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M
E 
1
1. Razão proporcional
Quatro números a, b, c e d, não nulos, formam, nessa or-
dem, uma proporção quando:
 a __ 
b
 = c __ 
d
 
Afirma-se que a e b são proporcionais a c e d.
Agora, observe os segmentos 

 PQ , 

 RS , 

 TU e 

 VX :
P
R
T
V X
U
S
Q
Calculando a razão entre os segmentos 

 PQ e 

 RS , e a razão 
entre 

 TU e 

 VX , obtém-se:
 
 PQ ___  
RS
 = 3 __ 
9
 = 1 __ 
3
 
 

 TU ___  
VX 
 = 2 __ 
6
 =1 __ 
3
 
Note que: k = 
 
PQ ___  
RS
 = 

 TU ___  
VX 
 = 1 __ 
3
 .
Quando há uma igualdade entre razões, afirma-se que há 
uma proporção entre as medidas dos segmentos. Dessa 
forma, os segmentos 

 PQ e 

 RS são proporcionais aos seg-
mentos 

 TU e 

 VX .
Assim, os segmentos 

 PQ , 

 RS , 

 TU e 

 VX , nessa ordem, são 
segmentos proporcionais.
Quatro segmentos 

 AB , 

 CD , 

 EF e 

 GH , nessa ordem, são 
segmentos proporcionais se existe a proporção 

 
AB ___  
CD
 = 
 
 EF ___  
GH
 .
Aplicação do conteúdo
1. Considere os segmentos 

 AB , 

 CD , 

 EF e 

 GH repre-
sentados abaixo:
A
C
E F
G H
D
B
Será verificado se 
——
 AB e 
——
 CD são segmentos proporcionais 
aos segmentos 
—
 EF e 
——
 GH .
Calculando as razões entre eles, tem-se:
 AB ___ 
CD
 = 5 ___ 
10
 = 1 __ 
2
 e EF ___ 
GH
 = 20 ___ 
40
 = 1 __ 
2
 
 

 
AB ___  
CD
 = 
 
 EF ___  
GH
 ; logo, 

 AB , 

 CD , 

 EF e 

 GH , nessa ordem, são segmen-
tos proporcionais.
Agora, verificando se 

 AB e 

 GH são segmentos proporcio-
nais aos segmentos 

 EF e 

 CD .
Calculando as razões entre eles, tem-se:
 AB ___ 
GH
 = 5 ___ 
40
 = 1 __ 
8
 e EF ___ 
CD
 = 20 ___ 
10
 = 2 __ 
1
 
 

 
AB ___  
GH
 i 
 
 EF ___  
CD
 ; então, 

 AB , 

 GH , 

 EF e 

 CD , nessa ordem, não são 
segmentos proporcionais.
2. Considere dois segmentos adjacentes e consecutivos 

 AB e 

 BC , sendo que 

 AB mede 12, e 

 BC mede 8. Dado 
outro par de segmentos adjacentes e consecutivos 

 PQ 
e 

 QR , com 

 PQ medindo 4, quanto deve ser a medida do 
segmento 

 QR de modo que os segmentos 

 AB , 

 BC , 

 PQ e 

 QR sejam proporcionais?
A
P Q R
x
B C
Resolução:
Para que 

 AB , 

 BC , 

 PQ e 

 QR sejam segmentos proporcionais, 
é preciso ter:
 

 
AB ___  
BC
 = 
 
 PQ ___  
QR
 
Assim:
 12 ___ 
8
 = 4 __ x ⇒ 12x = 32 ⇒ x = 32 ___ 
12
 = 8 __ 
3
 
RAZÃO 
PROPORCIONAL 
E TEOREMAS DE 
TALES 
E DA BISSETRIZ 
INTERNA
COMPETÊNCIA(s)
2 e 3
HABILIDADE(s)
6, 7, 8, 9 e 14
MT
AULAS 
5 E 6
74  MATEMÁTICA e suas tecnologias



 V
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E 
1
VIVENCIANDO
3. Considere os segmentos de reta da figura a seguir, 
sendo os pontos A, B e C colineares, e 

 AB = 10, 

 BC = 3 e 

 PQ = 8.
A
P Q
B C
A que distância do ponto P deve estar um ponto R, 
contido no segmento 

 PQ , de modo que os segmen-
tos 
 AB , 

 BC ,  PR e 

 RQ sejam proporcionais?
Resolução:
Se o ponto R estiver a uma distância x do ponto P, estará a 
uma distância 8 – x do ponto Q. Observe a figura:
A
P R Qx
B C
Logo, para que os segmentos 

 AB , 

 BC , 

 PR e 

 RQ sejam pro-
porcionais, é preciso ter:
 

 
AB ___  
BC
 = 
 
 PR ___  
RQ
 
Logo:
 10 ___ 
3
 = x ____ 
8 – x
 à10(8 – x) = 3x ⇒ 80 – 10x = 3x ⇒
 80 = 13x ⇒ x = 80 ___ 
13
 
Assim como a natureza, a arte e as construções realizadas pelo homem estão repletas de razões proporcionais para 
garantir a harmonia visual. Observe um exemplo:
(Fepar) O retângulo áureo é uma forma de grande apelo estético e das mais utilizadas na arquitetura antiga e mod-
erna (as pirâmides e o Partenon, por exemplo, têm as dimensões frontais do retângulo áureo). A proporção áurea 
também é recorrente em outras obras de arte; é comum sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre 
Giotto e as de Leonardo da Vinci. 
Phi, como é denominado o número de ouro, está vinculado à lógica da natureza (nas constelações, nas estruturas 
biológicas) e pode ser verificado no homem (o tamanho das falanges dos dedos, por exemplo). Justamente por ser 
encontrado em estruturas naturais, o número de ouro ganhou status de “ideal”, tornando-se tema de pesquisadores, 
artistas e escritores. O fato de ser expresso em matemática é que o torna fascinante.
Matematicamente falando, a proporção áurea é uma constante real algébrica irracional obtida quando dividimos 
uma reta em dois segmentos, de forma que o segmento mais longo, dividido pelo segmento menor, dê um número 
igual ao da reta completa dividida pelo segmento mais longo.
2. Teorema de Tales
2.1. Feixe de retas paralelas
Feixe de retas paralelas são duas ou mais retas em um mes-
mo plano que, tomadas duas a duas, são sempre paralelas.
2.2. Reta transversal
Se uma reta intercepta uma das retas do feixe de retas 
paralelas, necessariamente intersecta as demais. Essa 
reta que corta o feixe de retas paralelas é denominada 
reta transversal.
a
b
c
t
MATEMÁTICA e suas tecnologias  75

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 V
O
LU
M
E 
1
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
2.3. Teorema de Tales
Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas 
transversais, os segmentos determinados sobre a pri-
meira transversal são proporcionais a seus correspon-
dentes determinados sobre a segunda transversal.
Para analisar o teorema de Tales, considere os dois modelos 
a seguir:
Modelo 1
Observe o feixe de retas paralelas a, b e c, cortadas pelas 
transversais r e s, em que 

 AB = 

 BC . Se os segmentos 

 AB 
e 

 BC são congruentes, a razão entre as medidas deles é 1, 
isto é: 

 
AB ___  
BC
 = 1.
a
A
r s
P
B Q
C
R
b
c
Por Tales 

 
AB ___  
BC
 = 
 
 PQ ___  
QR
 e 

 
AC ___  
AB
 = 
 
 PR ___  
PQ
 .
Modelo 2
Na figura, o feixe de retas paralelas r, s e t é cortado por 
duas retas transversais, m e n, determinando os segmentos 

 AB e 

 BC , que não são congruentes e têm como medida 
números racionais.
rA
m n
P
B Q
C R
s
t 
Por Tales 

 
AB ___  
BC
 = 
 
 PQ ___  
QR
 e 

 
AC ___  
AB
 = 
 
 PR ___  
PQ
 .
2.3.1 Aplicação do teorema de Tales
Considere o triângulo ABC:
A
B C
D E
r
Foi traçada uma reta r paralela ao lado 

 BC , determinando 
os pontos D e E sobre os lados 

 AB e 

 AC , respectivamente.
Considere, agora, uma reta auxiliar r’, paralela a r, que pas-
sa pelo vértice A.
A
D
B C
E
r
r’
Pelo teorema de Tales, temos: 

 
AD ___  
DB
 = 
 
 AE ___  
EC
 .
Quando uma reta paralela a um lado de um triângulo in-
tercepta os outros dois lados em dois pontos distintos, ela 
determina sobre esses lados segmentos proporcionais.
Aplicação do conteúdo
1. Calcular o valor de x no triângulo abaixo, sabendo 
que a reta r é paralela ao lado 

 BC .
A
B C
D E r
x
Como r é paralela a 

 BC , tem-se:
 2 __ 
8
 = 3,5 ___ x ⇒ 2x = 28 ⇒ x = 14
Essa parte do conteúdo da geometria plana está intimamente relacionada à parte histórica da Grécia Antiga. Os mate-
máticos gregos estavam no auge de suas descobertas enquanto a cultura grega florescia e se expandia. Fique ligado nas 
questões de Grécia Antiga que relacionam sua arquitetura com a matemática. Razões proporcionais e, principalmente, a 
razão áurea são temas frequentes nos vestibulares.
76  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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1
3. Teorema da bissetriz interna
No triângulo ABC abaixo,   AD é bissetriz de 
 ̂ 
 A :
 
A
B CD
xx
Assim, BÂD = DÂC = x.
Considere agora uma reta r paralela a 

 AD passando pelo 
vértice C.
A
B D C
xx
Prolongando o lado 

 AB até interceptar a reta r.
A
xx
E
r
B D C
Pelo teorema de Tales, pode-se escrever: 

 
AB ___  
BD
 = 
 
 AE ___  
DC
 .
No entanto, segue que:
D 
 ̂ 
 A C = A 
 ̂ 
 C E = x (alternos internos)
B 
 ̂ 
 A D = A 
 ̂ 
 E C = x (correspondentes)
Dessa forma, o triângulo ACE é isóceles, com
 AC = 

 AE. 
Sendo assim, tem-se a seguinte proporção no triângulo:
 

 
AB ___  
BD
 = 
 
  AC ___  
DC
 
A bissetriz do ângulo interno de um triângulo divide 
o lado oposto a esse ângulo em dois segmentos pro-
porcionais aos lados adjacentes a esses segmentos.
A
b bc c
B m
m
n
n
D C
Aplicação do conteúdo
1. No triângulo ABC a seguir, o segmento 

 AP é bissetriz 
interna do ângulo 
 ̂ 
 A . Encontre o valor de x.
A
B CP
x
Como o segmento 

 BC mede 9, resulta que 

 PC = 9 – x. Pelo 
teorema da bissetriz interna, tem-se:
 

 
AB ___  
BP
 = 
 
 AC ___  
PC
 ⇒ 4 __ x = 12 ____ 
9 – x
 ⇒ 4(9 – x) = 12x ⇒ 
⇒ 36 – 4x = 12x à 16x = 36 à x = 9 __ 
4
 
2. Considere o retângulo PQST semelhante ao retângulo 
RSTU. Sabendo que o triângulo não é isósceles, avalie 
as afirmativas.
Considere ϕ = a __ 
b
 
 
P
Q
a
R
b
S
a
T
b
Ub
a
( ) Em razão da semelhança entre os dois retângulos, é 
possível afirmar que a2 – ab – b2 = 0.
( ) A razão entre a área do quadrado PQRU e a área do 
retângulo RSTU é ϕ.
( ) Em razão da semelhança entre os dois retângulos, é 
possível afirmar que ϕ2 – ϕ – 1 = 0. 
( ) A proporção a/b + a/b = 1 é verdadeira. 
( ) A relação entre os lados b e a é dada por 
b = 
a( √
__
 5 – 1)
 ________ 
2
 .
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1
DIAGRAMA DE IDEIAS
Resolução:
(V) Tem-se:
 b __ a = a _____ 
a + b
 → ab + b2
 = a2
 →  a
2 – ab – b2 = 0 
(V) Tem-se: 
 
SPQRU ____ 
SRSTU
 = a
2
 __ 
ab
 = a __ 
b
 = ϕ
(V) Utilizando-se a relação encontrada no primeiro 
item, tem-se:
 a
2 – ab – b2
 _________ 
 b2 = 0 __ 
b2 → a
2
 __ 
b2 – ab __ 
b2 – b
2
 __ 
b2 = 0 → a
2
 __ 
b2 – a __ 
b
 – 1 = 0 → 
ϕ2 - ϕ  – 1 = 0 
(F) Não, a proporção verdadeira é a
2
 __ 
b2 
 – a __ 
b
 = 1, 
conforme calculado no item anterior.
(V) Utilizando-se a relação encontrada no tercei-
ro item, tem-se:
 a
2
 __ 
b2 – a __ 
b
 – 1 = 0 → ϕ2 – ϕ – 1 = 0
∆= (–1)2 – 4 · 1 · (–1) = 5 
ϕ = 1 ± √
__
 5 ______ 
2
 →  1 + √
__
 5 ______ 
2
 ou 1 – √
__
 5 ______ 
2
 
 a __ 
b
 = 1 – √
__
 5 ______ 
2
 → b __ a = 2 ______ 
1 – √
__
 5 
 = 2 · (1 + √
__
 5 ) __________ 
–4
 →
→   b __ a = ( 
√
__
 5 – 1) _______ 
2
 → b = a ( 
√
__
 5 –1) ________ 
2
 
Portanto: V – V – V – F – V.
RAZÃO PROPORCIONAL
DIVISÃO EQUIVALENTE
LEMBRAR-SE DO 
TEOREMA DE TALES
1) RETAS PARALELAS
2) CORTADAS POR DUAS TRANSVERSAIS
3) SEGMENTOS DAS DUAS RETAS 
TRANSVERSAIS SÃO PROPORCIONAIS
SÃO SEGMENTOS
PROPORCIONAIS
3 2=
9 6
1 1=
3 3
EXEMPLO: 4 MEDIDAS
PQ = 3 CM
RS = 9 CM
TU = 2 CM
VX = 6 CM
R
A
B
C
S
P
Q
R
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
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1
1. Mediana
Mediana é o segmento que contém um dos vértices e o 
ponto médio do lado oposto:
A
B CM
Na figura acima, o segmento 

 AM é a mediana relativa ao 
lado 

 BC , pois 

 BM = 

 CM .
Todo triângulo possui três medianas que se encontram em 
um ponto denominado baricentro, simbolizado na figura 
abaixo pela letra G:
A
B C
MACMAB
MBC
G
O baricentro divide cada mediana de forma que:
 

 AG = 2 

 GM 
 BC 
 

 BG = 2 

 GM 
 AC 
 

 CG = 2 

 GM 
 AB
Assim, conclui-se que é possível dividir a mediana pelo ba-
ricentro das seguintes formas equivalentes:
Em função da 
mediana
Em função da distância GM 
(distância do 
baricentro ao lado)
A
B M C
G
AM
AM
A
B M C
GGM
GM
2. Bissetriz
Bissetriz é o segmento com uma extremidade em um 
vértice que divide o ângulo interno formado por ele em 
dois ângulos congruentes:
A
B C
S
Na figura acima, o segmento 

 BS é a bissetriz interna re-
lativa ao ângulo 
 
A
^ 
 B C, pois determina nesse ângulo dois 
ângulos congruentes. Todo triângulo possui três bissetrizes 
que se encontram em um ponto denominado incentro, 
simbolizado na figura abaixo pela letra I:
A
B C
I
O incentro determina o centro da circunferência inscrita 
ao triângulo:
O centrO da circunferência inscrita aO 
triângulO aBc cOincide cOm seu incentrO.
A
B C
I
Como a circunferência inscrita tangencia os lados do triân-
gulo, resulta que o centro dessa circunferência (incentro) é 
equidistante dos três lados.
3. Altura
Altura é o segmento cuja extremidade é um vértice do tri-
ângulo e que é perpendicular ao seu lado oposto (ou do 
prolongamento dele):
PONTOS 
NOTÁVEIS 
DE UM 
TRIÂNGULO
COMPETÊNCIA(s)
2
HABILIDADE(s)
6, 7, 8 e 9
MT
AULAS 
7 E 8
MATEMÁTICA e suas tecnologias  79



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1
A
B CH
O segmento 

 AH é a altura relativa ao lado 

 BC , pois 

 AH é 
perpendicular a 

 BC .
Quando o triângulo é obtusângulo, a intersecção de duas 
das alturas se dá com o prolongamento dos lados:
A
B C
Observe que não há perpendicular relativa ao lado 

 BC que 
encontre o vértice A, internamente ao triângulo, portanto 
deve-se prolongar o lado 

 BC .
Todo triângulo possui três alturas que se encontram em 
um ponto denominado ortocentro, simbolizado na figura 
abaixo pela letra H:
A
B C
H
4. Mediatriz
Mediatriz é qualquer segmento de reta perpendicular a um 
lado do triângulo e que passa por seu ponto médio.
A
B C
M
r
A reta r é a mediatriz do triângulo relativa ao lado 

 BC, pois 
é perpendicular a 

 BC , e M é o ponto médio desse lado.
Todo triângulo possui três mediatrizes que se encontram 
em um ponto denominado circuncentro, simbolizado na 
figura a seguir pela letra C:
A
B C
C
s
r
t
O circuncentro de um triângulo é o centro da circunferência 
circunscrita a ele:
O centrO da circunferência 
circunscrita aO triângulO 
aBc cOincide cOm seu 
circuncentrO.
A
B C
C
r
s
t
Aplicação do conteúdo
1. Determine os raios das circunferências inscrita e cir-
cunscrita a um triângulo equilátero de lado a.
Resolução:
Em um triângulo equilátero, o baricentro, ortocentro, incen-
tro e circuncentro são coincidentes.
a
aa R
r
h a h
h
A altura h de um triângulo equilátero de lado a vale a dXX 3 ____ 
2
 . 
Como a altura coincide com a mediana relativa a uma 
mesma base, segue que o baricentro divide a altura em 
dois segmentos, sendo que o maior corresponde também 
ao raio R da circunferência circunscrita ao triângulo, e o 
segmento menor corresponde ao raio r da circunferência 
inscrita ao triângulo. Assim:
R = 2 __ 
3
 h = 2 __ 
3
 a 
dXX 3 ___ 
2
 = a 
dXX 3 ___ 
3
 
Portanto, é possível dizer que, em um triângulo equilátero, 
se R é o raio da circunferência circunscrita, e r o raio da 
circunferência inscrita ao triângulo, segue que:
R = 2r
2. No triângulo ABC a seguir, o ponto I é o incentro 
do triângulo. Calcule a distância do ponto I até o lado 

 AB do triângulo.
80  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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1
DIAGRAMA DE IDEIAS
A
B
CP
I
Resolução:
Se I é o incentro, ele equidista de todos os lados do triân-
gulo. Logo, calcula-se apenas a distância de I até o ponto P.
Como o triângulo IPC é retângulo, é possível escrever:
sen 30º = 

 
IP ___  
IC
 = 
 
 IP ___ 
5
 1 __ 
2
 = 
 
 IP ___ 
5 
↔ 

 IP = 5 __ 
2
 
Como 

 IP é a distância de I até o lado 

 AC , e I equidista de 
todos os lados, a distância de I até o segmento 

 AB é de 5 __ 
2
 .
Fonte: Youtube
Pontos Notáveis do Triângulo -
GEOMETRIA PLANA (Aula 06)
multimídia: vídeo
MEDIANA
ENCONTRO DAS 
MEDIANAS GERA 
O BARICENTRO 
BISSETRIZ
ENCONTRO DAS 
BISSETRIZES GERA 
O INCENTRO 
ALTURA
ENCONTRO DAS 
ALTURAS GERA O 
ORTOCENTRO 
MEDIATRIZ
ENCONTRO DAS 
MEDIATRIZES GERA 
O CIRCUNCENTRO. 
SEGMENTO DE RETA 
CARACTERÍSTICO 
PROPRIEDADESCONSTRUÇÃO
O CENTRO DA 
CIRCUNFERÊNCIA 
INSCRITA AO 
TRIÂNGULO ABC 
COINCIDE COM 
SEU INCENTRO
A
B C
A
H
B C
A
B C
C
r
t
s
O CENTRO DA 
CIRCUNFERÊNCIA 
CIRCUNSCRITA 
AO TRIÂNGULO 
ABC COINCIDE 
COM SEU 
CIRCUNCENTRO
MACMAB
MBC
A
G
B C