Integrais: Conceitos e Técnicas

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Integrais: Conceitos, propriedades e
técnicas de integração
Você vai estudar a aplicação do conceito de integração de funções reais e do teorema fundamental do
cálculo.
Prof. Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
1. Itens iniciais
Propósito
Na atuação profissional, é importante saber determinar a integração indefinida e definida, além de aplicar tais
conceitos na resolução de problemas de integração por meio de algumas técnicas de integração, como:
substituição de variáveis, integração por partes e frações parciais.
Preparação
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a
calculadora de seu smartphone/computador.
Objetivos
Aplicar o conceito da integral indefinida, definida e do teorema fundamental do cálculo.
Empregar a técnica de integração por substituição de variável na resolução de problemas envolvendo 
integrais.
Aplicar a técnica de integração por partes na resolução de problemas envolvendo integrais.
Empregar a técnica de integração por frações parciais na resolução de problemas envolvendo integrais.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao video e entenda os principais aspectos que serão abordados ao longo
deste conteúdo.
Conteúdo interativo
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1. Teorema fundamental do cálculo
Primeiras palavras
Vamos iniciar nosso estudo com este vídeo, no qual entenderemos os dois conceitos interligados de integral:
operação inversa da operação de derivação, a integral indefinida e o resultado do cálculo da área sobre o
gráfico de uma função, a integral definida.
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A integração de uma função real é uma operação com diversas aplicações práticas. Neste módulo vamos
analisar e distinguir as integrações indefinida e definida:
Também vamos analisar o teorema fundamental do cálculo, que permitirá a relação entre os dois tipos de
integração e o cálculo das integrais definidas de uma forma mais direta.
Integração indefinida
O primeiro conceito para estudar a operação da integração indefinida é o conceito da antiderivada de uma
função.
Assim, uma função é denominada de antiderivada ou primitiva de uma função em um
intervalo se para todo do intervalo , ou seja, a derivada da primitiva da
função deve ser igual a função original. Assim, por exemplo, é uma função primitiva, em
todo conjunto real, da função , pois , para todo real.
Mas repare que a função real, também será primitiva de . Isso ocorre porque a
derivada de um número real é zero, assim . A conclusão é que não existe apenas uma
antiderivada de uma função, mas uma familia de antiderivadas. 
Teorema
Se for antiderivada de em um intervalo , então toda função que pertence à familia de funções 
 real, é uma antiderivada de em .
A família de primitivas ou antiderivadas de uma função será denominada de integral indefinida da função e
usará uma notação .
Dessa forma, real, em que é uma primitiva de , isto é, . 
O termo dentro do símbolo da integral, ou seja, , é denominado integrando. O diferencial , determina
em função de que variável a antiderivada é obtida.
Integração indefinida 
Também conhecida como antiderivada, é
oriunda da operação inversa da derivação, e
tem como resultado uma família de funções.
Integração definida 
É oriunda de um somatório,
denominado Soma de Riemann, e tem
como resultado um número real.
Atenção
O resultado de uma integração indefinida é uma família de funções. Para se determinar uma função
específica, deve-se obter uma informação adicional, denominada condição inicial, como o valor da
função ou de sua derivada em um ponto do seu domínio. 
Exemplo 1
Determine .
Solução
Repare o integrando . Assim, deve ser obtida uma primitiva de , em outras palavras, qual a
função cuja derivada é .
Sabemos das tabelas de derivação que . Assim:
Exemplo 2
Determine a função da familia de funções obtidas por , sabendo que :
Solução
No exemplo anterior, já obtivemos a família de funções:
Assim:
Agora, vamos utilizar as condições de valores iniciais para encontrar o valor de . Mas que condições são
essas? Veja: , ou seja, para , a função inteira que encontramos ao integrar vale 1.
Acompanhe!
Como o , temos que:
Por fim: 
Logo, a função: , com , fica igual a:
Integrais imediatas
Repare que no exemplo tivemos que obter a função cuja derivada era o integrando. Com isso, podemos definir
uma tabela de integrais cujos valores são conhecidos. Esta tabela é obtida diretamente pela operação
contrária à derivação.
Estas integrais serão denominadas de imediatas, pois são obtidas diretamente das fórmulas das
antiderivadas.
A tabela a seguir apresenta as integrais imediatas para as principais funções.
Tabela: Integrais com valores conhecidos.
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
Se a integral não for uma integral imediata, terá que trabalhar com o integrando de forma a transformá-lo até
se obter uma integral imediata. Essa técnica é conhecida como método de primitivação ou técnica de
integração e será estudada nos próximos módulos.
Propriedades das integrais indefinidas
Outro ponto importante é que as integrais indefinidas apresentam duas propriedades que são oriundas da
antiderivação:
Exemplo 3
Determine :
Solução
Usando as propriedades:
Analisando as integrais, verifica-se que são integrais imediatas e conhecemos o resultado. 
Repare que a derivada de ( ) é igual ao integrando
Repare que a derivada de sen x é igual ao integrando
Assim:
Uma forma de se verificar se a resposta está correta é derivar a resposta e comparar com o integrando, que
deve ser igual. Observe que a derivada de em função de , vale .
Integração definida
Diferentemente do caso da integração indefinida, que tem como resultado uma família de funções, a integral
definida tem como resultado um número real. A integração definida foi criada inicialmente na busca do cálculo
de áreas.
Um método adotado desde a Grécia antiga se baseava na substituição da região analisada por
retângulos, de forma que esse conjunto de retângulos cobrisse a região e, assim, pela soma das
áreas dos retângulos, obtinha-se a área da região.
Veja as figuras a seguir.
Observe que a área entre a função e o eixo x está sendo coberta por um conjunto de retângulos.
Conforme se diminui a largura dos retângulos, o casamento da área e dos retângulos é melhor, e, dessa forma,
graças a essa metodologia, o cálculo da área fica mais preciso.
Atenção
Se trabalhássemos com retângulos com larguras tendendo a zero, otimizaríamos o casamento e o
cálculo da área ficaria preciso. 
Vamos agora trabalhar este conceito por um somatório que será denominado Soma de Riemann.
Soma de Riemann
Tomemos um intervalo .
Definimos a partição de um intervalo a um conjunto finito que divide [a, b]
em subintervalos , tal que .
A amplitude de cada subintervalo é dada por .
Sejam uma função , uma partição do intervalo , e um ponto pertencente ao subintervalo 
, escolhido arbitrariamente, denomina-se Soma de Riemann de em relação à partição e ao
conjunto de pontos a expressão:
Repare na parcela Ela pode ser analisada com a área de um retângulo de base altura 
.
Se você retornar às figuras anteriores, poderá observar que a Soma de Riemann pode ser analisada como a
soma das áreas dos retângulos apresentados.
Cada retângulo tem sua base e altura dadas pelo valor da função no ponto dentro do seu subintervalo.
Atenção
Se a função estiver abaixo do eixo , o valor de será negativo. 
Assim, a parcela fica negativa, não podendo corresponder a uma área que é sempre positiva.
Nesse caso, ela corresponde a menor área do retângulo.
As figuras a seguir apresentam este conceito desenhando apenas um retângulo.
Se cobrirmos toda a região com todos os retângulos correspondentes a cada partição, podemos dizer que a
Soma de Riemann poderia ser analisada como a soma das áreas de todos os retângulos acima do eixo menos
a soma das áreas de todos os retângulosabaixo do eixo, sendo uma boa aproximação para o valor da área
acima do eixo menos a área abaixo do eixo.
Atenção
No caso de termos apenas área acima dos eixos, a Soma de Riemann seria uma boa aproximação para
área entre a função e o eixo , no intervalo do domínio de até . 
É óbvio que essa aproximação ficará cada vez melhor conforme diminuirmos a base do retângulo, e isso se faz
aumentando a partição do intervalo que faz com que os subintervalos fiquem com largura menor. Se a maior
amplitude do subintervalo tender para zero, todos os subintervalos terão suas amplitudes tendendo para zero,
assim teremos a melhor aproximação.
Chegamos ao momento de determinar a integração definida.
Definição: Seja uma função definida no intervalo . Considere a partição ,
que divide o intervalo ( em subintervalos , em que . Sejam 
 a amplitude de cada intervalo correspondente e sejam pontos arbitrários dos intervalos
.
A integral definida da função no intervalo será dada e definida por:
Repare, portanto, que a integral definida é na verdade o limite da Soma de Riemann para quando as larguras
dos subintervalos tendem a zero. Se o limite existir e der um número real, a integral existe e tem o valor deste
limite.
Ao invés de fazermos no limite , que corresponde a ter todas as amplitudes tendendo para zero,
poderia ter sido usado , que corresponderia a ter um número infinito de subintervalos, que na prática
significa a mesma coisa.
O teorema determina a integração definida para uma função contínua em . Não iremos trabalhar com a
condição que leva uma função a ser integrável. 0 que precisamos saber é que, se uma função for contínua em 
 ou até mesmo tiver algumas descontinuidades pontuais, a integral definida pode ser obtida da forma
apresentada.
Atenção
A notação da integral definida para o intervalo e é bem similar à notação da integral indefinida, apenas
se colocando a mais os limites de integração e . Por isso ressaltamos que são operações matemáticas
bem diferentes. 
A obtenção da integral definida pelo limite da Soma de Riemann não é simples. Vamos ver um exemplo de
como se faz. De qualquer maneira, vale lembrar que existe um teorema no cálculo – analisado no próximo item
– que permitirá calcular a integral definida de forma mais direta.
Exemplo 4
Determine o valor de :
Solução
Necessitamos inicialmente montar uma Soma de Riemann para esta função e este intervalo .
Depois, precisamos obter o limite desta soma para quando o número de subintervalos tender ao infinito.
Repare que o resultado deve ser o mesmo, não importando a partição nem a escolha arbitrária dos pontos 
Assim, dividiremos os subintervalos de forma igual:
Com isso, os extremos dos subintervalos seriam: 
E escolheremos o ponto como o ponto médio de cada subintervalo, de forma que:
Substituindo: 
Portanto: 
Substituindo no limite: 
Propriedades
Assim como as integrais indefinidas, a integral definida tem um conjunto de propriedades que podem ser
usadas para ajudar no seu cálculo. Todas elas são demonstradas pela definição por meio do limite da Soma de
Riemann:
onde é um ponto do intervalo .
Essas propriedades serão usadas em alguns exemplos nos próximos itens.
Teorema fundamental do cálculo
Neste vídeo, você entenderá mais sobre o teorema fundamental do cálculo, sua importância e como aplicá-lo.
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Até este ponto, tem-se uma integração indefinida – relacionada à derivação, isto é, ao cálculo diferencial – e
uma integração definida – associada ao cálculo integral.
O Teorema fundamental do cálculo (TFC) não será demonstrado aqui porque pode ser obtido em qualquer
uma de nossas referências, mas tem grande importância por permitir a conexão entre o cálculo diferencial e o
integral.
TFC – parte 1
Seja a função integrável em , com a real, e seja sua primitiva neste intervalo, então:
Repare que:
Mas é um número, então . Assim:
Note que a primeira parte do TFC nos mostra que, ao derivarmos a integral definida com um dos limites
variáveis, o resultado é o próprio integrando.
Exemplo 5
Determine a derivada de sabendo que:
Solução
Não será necessário resolver a integral para depois executar a derivada.
0 TFC nos mostra que é o próprio integrando, assim:
Usando a regra da cadeia e as propriedades das integrais, podemos achar variações para este TFC:
Exemplo 6
Determine a derivada de sabendo que:
Solução
Não será necessário resolver a integral para depois executar a derivada.
Ainda assim, devemos tomar cuidado, pois o limite de integração não é mais a variável , e sim uma função
de , isto é, .
Dessa forma, o TFC e a regra da cadeia nos mostram que :
A segunda parte é a mais importante para as nossas aplicações, pois nos ajudará a calcular a integral definida
por meio das integrais indefinidas. O TFC - parte 2 é obtido substituindo um número real no lugar do limite 
.
TFC – parte 2
Seja a função integrável em , com e reais, e seja sua primitiva neste intervalo, então:
Existem diversas notações para: 
Exemplo 7
Determine o valor de :
Solução
O integrando é a função , sua primitiva será 
Essa primitiva foi obtida pela integral indefinida, vista no primeiro item deste módulo. Pelo TFC:
Compare esta solução com a feita anteriormente e com a determinação da integral definida. Assim, você terá
a medida da importância do TFC no cálculo integral.
Exemplo 8
Determine o valor de:
Inicialmente vamos usar as propriedades da integral:
Para esta:
Repare que:
Portanto são funções diferentes para cada intervalo. Logo, não podemos integrar diretamente entre e e
devemos usar as propriedades da integral definida para determinar os intervalos em que a função tem a
mesma equação em todos os pontos.
Portanto, integral:
Mão na massa
Questão 1
Determine a integral
A
 real
B
 real
C
 real
D
 real
E
 real
A alternativa B está correta.
Usando as propriedades da integral indefinida:
Usando a tabela de integrais imediatas:
 real
Questão 2
Determine o valor , sabendo que e .
A
Lorem Ipsum
B
Lorem Ipsum
C
Lorem Ipsum
D
Lorem Ipsum
E
Lorem Ipsum
A alternativa D está correta.
Integral indefinida.
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Questão 3
Determine o valor de para 
 
A
Lorem Ipsum
B
Lorem Ipsum
C
Lorem Ipsum
D
Lorem Ipsum
E
Lorem Ipsum
A alternativa A está correta.
Usando o TFM, se:
Portanto:
Questão 4
Determine o valor de .
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Usando as propriedades da integral definida:
Questão 5
Determine o valor de .
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Integral definida.
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Questão 6
Determine o intervalo em que a função é estritamente crescente. Com 
A
B
C
\(-1
D
E
A alternativa B está correta.
Teorema Fundamental do Cálculo.
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Teoria na prática
Obtenha a área entre a função, , e o eixo , para . Lembre-se: ela pode ser
obtida pela integral definida , entre e . Obtenha essa área.
Chave de resposta
Assista ao Vídeo:
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Determine a expressão de , sabendo que e é da familia da integral 
.
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Usando a propriedade da integração indefinida:
Usando a tabela de integrais imediatas:
Mas:
Assim:
Questão 2
Determine o valor de:
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Usando o TFC para se resolver as integrais definidas em função das indefinidas:
Assim:
2. Técnica de integração por substituição de variável
Técnicas de integração
Neste vídeo, você entenderá melhor sobre a aplicação da técnica da integração por substituição de variáveis.
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A resolução de integrais definidas ou indefinidas, que não são integrais imediatas, requera transformação de
seu integrando para convertê-lo em uma função, que tem como função primitiva uma conhecida, o que
possibilitará solucionar a integral.
Neste conteúdo estudaremos a técnica de mudança de variáveis.
Na técnica de substituição de variável, busca-se alterar a variável utilizada na integral, de forma a transformar
o integrando em uma função cuja primitiva é conhecida.
Essa técnica é bastante ampla, podendo apresentar várias versões, e cada uma delas possui um conjunto de
integrais que pode ser aplicado. Além disso, existem métodos que envolvem produtos de seno e cosseno, de
secante e tangente, supressão de raízes quadradas etc.
Integração por substituição de variável
Seja uma integral , cuja variável de integração é a variável , mas que não se conheça a primitiva
de , devendo, portanto, empregar-se um método para o cálculo da integral.
A metodologia buscada por este método visa encontrar uma função ou uma variável de
forma a transformar a integral em uma nova integral na variável u que seja imediata.
Ao realizarmos uma substituição de variável na integral, devemos usar a regra da cadeia para a
substituição do diferencial.
Seja a função contínua, portanto, integrável, no intervalo ; seja a função com imagem no
conjunto , se utilizarmos a mudança de variável pela função , logo , teremos:
Assim a integral indefinida em foi transformada em uma integral na variável . Para o caso da integral
definida deve-se lembrar de alterar também os limites de integração.
Assim:
Em que e .
Exemplo 1
Determine :
Solução
Observe que não se conhece a integral imediata para este integrando. Mas, aplicando:
Temos:
Assim:
Portanto:
Esta agora é uma integral imediata, logo:
Retornando para a variável inicial:
Exemplo 2
Determine .
Solução
Os primeiros passos foram realizados no exemplo anterior. Necessitamos agora apenas obter os novos limites.
Veja!
Assim:
Podemos usar também uma substituição do tipo . Considere a integral da qual não se
conhece a primitiva de .
Se mudarmos a variável de forma que . Assim, deve-se tentar obter a função de tal forma
a se transformar a integral anterior:
Para o caso da integral definida, usa-se o mesmo raciocínio, apenas com o passo intermediário da
transformação dos limites de integração.
Exemplo 3
Determine o valor da integral :
Solução
Observe que não se conhece a primitiva do integrando, mas fazendo:
Portanto:
Retornando à variável inicial:
Observe que, para verificar se está correta a resposta, pode-se derivar a resposta e comparar com o
integrando analisado.
Exemplo 4
Determine o valor da integral: 
Solução
Os passos iniciais já foram dados, transformando os limites de integração:
Como já comentado, existem métodos específicos para integrandos particulares que podem ser encontrados
nas referências deste conteúdo. Para exemplificar, vamos apenas mencionar um caso.
Seja com real e e inteiros positivos. Repare que é um produto de
senos e cossenos do mesmo arco. Para o caso que se tenha pelo ou ímpares, podemos usar o seguinte
método:
1
1
Se for ímpar
Fazer:
 
Usar a relação fundamental e substituir:
 
Assim, transformaremos o integrando em uma função polinomial cujas primitivas conhecemos.
 
2
2
Se for ímpar
 
Fazer:
Usar a relação fundamental e substituir:
 
Assim, transformaremos o integrando em uma função polinomial cujas primitivas conhecemos.
 
3 3
Se e forem ímpares
 
Escolher um dos casos anteriores.
 
Este método só não pode ser usado quando se tem e pares.
Exemplo 5
Determine a integral:
Verifique que é um produto de senos e cossenos do mesmo arco. Como tanto o número que eleva o seno
quanto o número que eleva o cosseno são ímpares, temos liberdade de escolher ou 
Se apenas um dos expoentes fosse ímpar, a variável deveria ser, obrigatoriamente, igual à função
trigonométrica elevada ao expoente par.
Pelo método de substituição de variável para:
Vamos lembrar também que: 
Então:
Repare que agora se tem uma função polinomial cuja primitiva conhecemos:
Retornando à variável inicial:
Mão na massa
Questão 1
Determine a integral:
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Usando o método de substituição de variável:
Assim:
Retornando para variável inicial:
Questão 2
Determine a integral:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Usando o método de substituição de variável: 
Assim:
Logo:
Esta é uma integral imediata. Portanto:
Questão 3
Determine o valor de
A
 real
B
 real
C
 real
D
 real
E
 real
A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 4
Determine o valor da integral:
A
3 π ÷ 5
B
3 π ÷ 8
C
5 π ÷ 8
D
π ÷ 8
E
π ÷ 5
A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 5
Determine a integral .
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Para resolver a integral:
Vamos utilizar a técnica de substituição simples. Mas primeiro, temos que arrumar a função. Assim, vamos
desmembrar o da seguinte forma:
Agora, vamos usar o teorema fundamental da trigonometria, que afirma que:
Logo:
Substituindo na integral, temos:
Agora, vamos utilizar a técnica de substituição simples, chamando:
Dessa forma, a integral fica com a seguinte característica:
Multiplicando, temos:
Integrando, obtemos:
Como , temos que:
Questão 6
Determine a integral:
A
 real
B
 real
C
 real
D
 real
E
 real
A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Teoria na prática
Um arquiteto precisava estimar a área entre uma linha de uma construção e o chão. Para isso, modelou a linha
desejada aplicando a função:
 
Para e medidos em metros. Sabendo que essa área pode ser obtida pela integral
definida de entre os valores de dados, obtenha o valor.
Chave de resposta
Integração por substituição de variável.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Determine
A
, 
B
, 
C
, 
D
, 
E
, 
A alternativa C está correta.
Fazendo , tem-se .
Assim:
Questão 2
Determine
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Fazendo t = 1 + u², temos d t = 2u d u.
Portanto:
Para u = 0 → t = 1 + 0 = 1 e u = 1 → t = 1 + 1 = 2
3. Técnica de integração por partes
Integração por partes
Confira, neste vídeo, a aplicação da técnica de integração por partes e entenda os cálculos necessários para
utilizá-la.
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Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
A integração por partes é uma técnica com bastante aplicação. Este método de primitivação tem uma
correspondência com a regra do produto na diferenciação, o que por ela é definido.
Vamos, portanto, definir a regra que pode ser aplicada na resolução de diversas integrais que não são
imediatas. Suponha as funções e deriváveis em um intervalo , então:
Integrando os dois lados da equação:
Como:
Tem-se a regra de integração por partes:
Usando uma nova simbologia de e , consequentemente:
Obtém-se uma forma mais usual da regra de integração por partes:
Foque na regra de integração por partes! Ela mostra que podemos calcular a integral , mais complexa,
pelo cálculo de outra integral, , teoricamente mais simples. A constante de integração real da integral
indefinida pode ser colocada no fim do processo.
Exemplo 1
Determine a integral:
A integral sen não é uma integral imediata. Assim, ela necessita de uma técnica de integração para
transformar o integrando:
0 integrando deve ser transformado totalmente no produto . Todos os termos do
integrando devem fazer parte da função ou da função . Esses termos só podem aparecer uma vez.
Neste exemplo, os termos são: , e .
Escolhe-se como , assim . O que resta do integrando deve fazer parte do . Dessa forma,, então:
Veja que é a função cuja diferencial vale .
Usando a integração por partes:
A integral é imediata e se sabe a solução:
Portanto:
No caso da integral definida, a regra é semelhante. Aplicando o cálculo da integral definida estudada
anteriormente:
Exemplo 2
Determine a integral:
Solução
Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, será escolhido: 
Portanto: 
Assim:
Repare que os limites de integração já poderiam ter sido aplicados diretamente na solução da integral
indefinida:
Atenção
Deve ser feita a escolha correta das funções e . A escolha errada, ao invés de simplificar o problema, irá
complicá-lo. 
Volte no Exemplo 1. Se ao invés de ter escolhido e , fossem escolhidos 
.
Assim:
Veja como a escolha errada tornou o método sem efetividade, transformando a integral em uma integral mais
complicada.
A escolha de termos é aprendida com a prática dos exercícios. Mas, existe uma regra prática que é guardada
pela palavra LIATE, que mostra a prioridade do segmento do integrando que deve fazer parte do . A seta
aponta da maior para a menor prioridade de escolha para parte do . Observe:
Assim, no Exemplo 1, havia no integrando uma parte algébrica e uma parte trigonométrica 
portanto, pela regra prática, a algébrica tem prioridade sobre a trigonométrica, por isso foi escolhido e
não 
Às vezes, para resolução da integral, é necessária a aplicação da integração por partes mais de uma vez ou
até mesmo a integração por partes combinada com outro método de integração, como a substituição de
variável. 
Exemplo 3
Determine a integral:
Solução
Usando a regra do LIATE para separar os termos do integrando, a função trigonométrica é prioridade em
relação à função exponencial, assim:
Usando a integração por partes:
Aparentemente, fez-se a escolha errada, mas não. Precisamos aplicar novamente a integração por partes,
mas agora no termo:
Usando a regra LIATE na nova integral:
Portanto:
Substituindo na equação inicial:
Repare que a integral desejada aparece novamente no lado direito com sinal negativo, podendo ser jogada
para o lado esquerdo. Façamos:
Mão na massa
Questão 1
Determine a integral .
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Usando a integração por frações parciais para resolver a integral:
Lembre-se de que a função algébrica tem prioridade para ser escolhida em relação à exponencial.
Assim:
Pois a integral é uma integral imediata. Portanto:
Questão 2
Determine a integral .
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Usando a integração por partes para resolver a integral:
Lembre-se de que a função algébrica tem prioridade para ser escolhida como em relação à
trigonométrica.
Assim:
A integral é imediata e vale .
Questão 3
Determine o valor de sabendo que e que .
A
e − 1
B
e
C
1
D
e + 1
E
2e + 1
A alternativa C está correta.
Aplicando a integração por partes e usando a regra prática do LIATE:
Assim:
Mas, g(1) = 1 × ln 1 − 1 + k = k − 1 = 0 (pelo enunciado), logo k = 1:
Questão 4
Determine o valor de , sabendo que .
A
B
C
D
1
E
A alternativa A está correta.
Integração por partes.
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Questão 5
Sabe-se que , determine o valor de sendo uma das funções obtidas pela
integral:
 
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Usando a integração por partes para resolver a integral.
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Questão 6
Determine o valor de .
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Teoria na prática
Uma barra de de comprimento tem densidade linear de massa dada pela equação ,
medida em , em que x é a distância entre o ponto da barra e sua extremidade inferior.
Note que a massa da barra não é dividida uniformemente ao longo da barra. Determine a massa da barra
lembrando que ela é igual à integral da densidade de massa.
Chave de resposta
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Determine a integral .
A
, para todo real
B
, para todo real
C
, para todo real
D
, para todo real
E
, para todo real
A alternativa C está correta.
Portanto:
Questão 2
Marque a alternativa que apresenta o valor da área determinada pela integral:
 
A
2e² + 2
B
3e² − 1
C
5 − e²
D
1 + 3e²
E
3e² − 3
A alternativa A está correta.
Usando a integração por partes para resolver a integral:
Lembre-se de que a função algébrica tem prioridade para ser escolhida como u em relação à exponencial.
Assim:
Portanto:
4. Técnica de integração por frações parciais
Revisão de funções racionais
Neste vídeo, você compreenderá a aplicação da técnica de frações parciais em integrais de funções racionais.
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Outra técnica de integração com aplicação no cálculo de integrais cujo integrando é uma fração racional é a
integração por frações parciais. Esse método de primitivação transforma o integrando em uma soma de
frações mais simples, denominadas frações parciais, cuja primitiva conhecemos.
Função racional é uma função que representa o quociente entre dois polinômios, assim ,
onde são polinômios.
Polinômio é uma função do tipo:
Com número natural diferente de zero, sendo que denominado coeficientes, são números reais. 0
número é o grau do polinômio, com .
Atenção
Se o grau do polinômio grau do polinômio , então a função será imprópria.Se o grau do polinômio grau do
polinômio , então a função será própria. 
Veja os exemplos abaixo:
O método de frações parciais serve para um integrando com uma função racional própria. Se a função for imprópria, passa a ser necessário u
transformar a função racional própria em um polinômio mais uma função racional própria.
Assim, seja uma função racional imprópria, com:
Dividindo por , podemos transformar:
Em que é um polinômio de grau , correspondente à parte inteira da divisão, e é uma função racional própria, ou seja, gra
Veja um exemplo de passo intermediário.
Exemplo 1
Transforme a integral em um integrando com função racional própria:
Solução
O integrando é uma função racional imprópria com numerador de grau 4 e denominador de grau 2. Assim, deve-se dividir os dois polinômios 
Logo: 
Portanto:
A primeira integral é de um polinômio, sendo uma integral imediata. Na segunda parcela, o integrando é uma função racional própria, que vai 
Atenção
Lembre-se de que para integrandos polinomiais, usaremos a integral imediata: 
Integração por frações parciais
O método de frações parciais é um método utilizado quando o integrando é uma função racional. Cabe ressaltar, porém, que há casos em qu
substituição de variável, ele se transforma em uma, podendo ser trabalhado por essa técnica de integração.
Atenção
Essa técnica é utilizada somente quando a função racional for própria, isto é, quando o grau do numerador for menor do que o do denomi
intermediário. 
O método se inicia fatorando o polinômio do denominador, , em fatores lineares do tipo com real, e fatores quadráticos irre
Existe um teorema da álgebra que garante que sempre será possível fazer essa fatoração. Os fatores lineares correspondem às raízes reais d
conjugadas do polinômio . Este material considerará que você sabe obter raízes de um polinômio.
Dividiremos o método em quatro casos:
apenas com raizes reais sem multiplicidade com raizes reais com m
com raizes complexas sem multiplicidade com raízes complexas c
com raízes complexas com multiplicidade
Tomemos o polinômio de grau n que apresenta apenas n raizes reais sem multiplicidade. Para este caso, após a fatoração de 
Com real e raízes reais. Assim, chegamos à função:
 reais.
Cada raiz real corresponderá a uma parcela do tipo dividido por .
Dessa forma, a integral será transformadaem soma de integrais do tipo:
Os valores de A1, A2, ..., An serão obtidos colocando o lado direito com o mesmo denominador e igualando P(x) ao numerador que se obterá n
Exemplo 2
Determine a integral:
Solução
Como o integrando é uma função racional imprópria, o primeiro passo é transformá-la em uma função racional própria. Essa transformação já
E, portanto:
Vamos agora calcular a integral aplicando o método de frações parciais.
Analisando , verifica-se que são as raizes. Dessa forma:
Transformando o lado direito no mesmo denominador: 
Temos: 
Agora deve-se comparar o numerador da esquerda com o numerador da direita. Para que os dois polinômios sejam iguais, eles d
Logo: 
As integrais agora são todas imediatas.
apresenta raízes reais com multiplicidade
Neste caso, o polinômio de grau n terá apenas raízes reais, porém algumas sem multiplicidade e outras com multiplicidade.
Atenção
Lembre-se de que multiplicidade é o número de vezes que a mesma raiz aparece no polinômio. 
Após a fatoração de , ele será transformado em um produto de fatores lineares elevados à sua multiplicidade.
 real, reais e naturais diferentes de zero. O número corresponde à multiplicidade da raiz .
O raciocínio é análogo ao caso anterior. Toda raiz real sem multiplicidade, ou que seria sinônimo de multiplicidade 
Toda raiz real com multiplicidade ( será transformada em termos do tipo:
Será usada neste caso a seguinte integral imediata:
Após a transformação de na soma de parcelas que foram definidas, a solução segue os mesmos passos do primeiro cas
Exemplo 3
Determine a integral:
Solução
O integrando já é uma função racional própria, podendo, portanto, aplicar diretamente o método das frações parciais.
Analisando as raízes de , verifica-se que são -1 uma raiz dupla (multiplicidade 2) e é uma raiz sem multiplicidade. Des
0 termo correspondente à raiz será .
Os termos correspondentes à raiz serão .
Assim:
Com A, B e C reais. Transformando o lado direito no mesmo denominador:
Temos:
Agora, deve-se comparar o numerador da esquerda com o numerador da direita. Para que dois polinômios sejam iguais, eles dev
Logo:
Resolvendo as integrais imediatas, temos:
apresenta raízes complexas sem multiplicidade
Neste caso, o polinômio de grau terá pelo menos um par de raízes complexas sem multiplicidade. Lembre-se da álgebra, em que as
Assim, , após a fatoração, apresentará, para cada par de raízes complexas sem repetição, um termo do tipo ( 
transformados no produto de dois fatores lineares.
Cada par de raízes complexas terá uma parcela associada do tipo com , e reais. Então, este termo leva
Para cálculo dessa integral, dependendo do caso determinado pelos valores das constantes obtidas, utilizaremos as integrais imediatas envo
Atenção
Lembre-se de que: 
As raízes reais com ou sem multiplicidade que podem aparecer seguem o raciocínio dos itens anteriores. Os demais passos são idênticos aos
apresenta raízes complexas com multiplicidade
Neste caso, o polinômio de grau terá pares de raízes complexas repetidas, isto é, com multiplicidade . Assim, 
termo quadrático irredutível elevado à sua multiplicidade. Ou seja, , com e reais e natural maior do que 
Comentário
Cada par de raízes complexas com multiplicidade estará associada a uma soma de parcelas do tipo: Em que é a multiplicidade do par de r
A solução da integral envolvendo esses termos usa integrais imediatas relacionadas a ln(u), arctg(u) e funções racionais
As demais raízes reais e complexas sem multiplicidade que aparecerem seguem os termos vistos nos casos anteriores. Os demais passos sã
Mão na massa
Questão 1
Determine a integral:
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Usando a integração por frações parciais para resolver a integral temos que o integrando é uma função racional própria, com denominador 
 
 
Transformamos o lado direito no mesmo denominador:
 
 
Portanto:
 
 
Agora, deve-se comparar o numerador da esquerda com o numerador da direita. Para que dois polinômios sejam iguais, ele
 
 
Dessa forma:
 
Questão 2
Sabendo que , determine o valor de , quando faz parte da família de funções geradas pela integral:
A
ln 20
B
ln 30
C
ln 40
D
ln 50
E
ln 60
A alternativa D está correta.
Usando a integração por frações parciais para resolver a integral, temos que o integrando é uma função racional própria, com denominador
 
 
Transformamos o lado direito no mesmo denominador:
 
 
Portanto:
 
 
Agora, deve-se comparar o numerador da esquerda com o numerador da direita. Para que dois polinômios sejam iguais, eles d
 
 
Dessa forma:
 
 
Questão 3
Determine a integral indefinida:
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 4
Determine o valor da integral:
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
 
Assim:
 
 
Então:
 
 
Observe que as duas parcelas da direita já são integrais imediatas.
 
 
Questão 5
Determine o valor da integral:
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 6
Determine o valor da integral:
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
O integrando é uma função racional própria. O numerador tem um par de raízes complexas e a raiz real 
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Teoria na prática
Sabemos da física que a derivada da posição com o tempo é a velocidade. Dessa forma, a variação de posição pode ser obtida por meio da i
Exemplo: Determine a variação da posição entre os instantes e , sabendo que a velocidade do objeto é dada pela função
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Determine a integral:
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
O integrando é uma função racional própria.
 
O numerador tem duas raizes reais sem multiplicidade.
 
Assim:
 
 
Se compararmos o denominador:
 
 
Questão 2
Determine o valor de:
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
O integrando é uma função racional imprópria, pois o grau do numerador é maior do que o grau do denominador. Para transformá-lo em fraç
 
 
Assim:
 
 
Então:
 
 
Observe que as duas parcelas da direita já são integrais imediatas.
 
5. Conclusão
Considerações finais
Definimos e utilizamos a operação da integração indefinida e definida. Inicialmente, analisamos a integração indefinida como a antiderivada q
Posteriormente, determinamos a integral definida, que tem como resultado um número real. Ela é obtida pelo limite de uma Soma de Riemann
Apresentamos o Teorema Fundamental do Cálculo e vimos a sua importância no relacionamento do cálculo integral, principalmente na obtenç
integrando. No segundo, terceiro e quarto módulos, introduzimos as principais técnicas de integração, que permitiram a resolução de integra
A partir de agora, você seja capaz de aplicar a integração definida e indefinida nos diversos problemas do cálculo integral.
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Referências
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo – Volume 1. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013.
 
KHAN ACADEMY. Curso de Cálculo Integral – Integração. Consultado na internet em 14 jul. de 2020.
 
STEWART, J. Cálculo – Volume 1. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008.
	Integrais: Conceitos, propriedades e técnicas de integração
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Teorema fundamental do cálculo
	Primeiras palavras
	Conteúdo interativo
	Integração indefinida
	Teorema
	Atenção
	Exemplo 1
	Solução
	Exemplo 2
	Solução
	Integrais imediatas
	Propriedades das integrais indefinidas
	Exemplo 3
	Solução
	Integraçãodefinida
	Atenção
	Soma de Riemann
	Atenção
	Atenção
	Atenção
	Exemplo 4
	Solução
	Propriedades
	Teorema fundamental do cálculo
	Conteúdo interativo
	TFC – parte 1
	Exemplo 5
	Solução
	Exemplo 6
	Solução
	TFC – parte 2
	Exemplo 7
	Solução
	Exemplo 8
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	2. Técnica de integração por substituição de variável
	Técnicas de integração
	Conteúdo interativo
	Integração por substituição de variável
	Exemplo 1
	Solução
	Exemplo 2
	Exemplo 3
	Solução
	Exemplo 4
	Solução
	1
	2
	3
	Exemplo 5
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	3. Técnica de integração por partes
	Integração por partes
	Conteúdo interativo
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Solução
	Atenção
	Exemplo 3
	Solução
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	4. Técnica de integração por frações parciais
	Revisão de funções racionais
	Conteúdo interativo
	Atenção
	Exemplo 1
	Solução
	Atenção
	Integração por frações parciais
	Atenção
	apenas com raizes reais sem multiplicidade
	com raizes reais com multiplicidade
	com raizes complexas sem multiplicidade
	com raízes complexas com multiplicidade
	com raízes complexas com multiplicidade
	Exemplo 2
	Solução
	apresenta raízes reais com multiplicidade
	Atenção
	Exemplo 3
	Solução
	apresenta raízes complexas sem multiplicidade
	Atenção
	apresenta raízes complexas com multiplicidade
	Comentário
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Explore +
	Referências