Cap_01_2a_aula_SISTEMA DE FORÇAS(2015_2)

Prévia do material em texto

Mecânica dos Sólidos – Escola de Ciências e Tecnologia - UFRN
Prof. Daniel Nelson Maciel (dnmaciel@ect.ufrn.br) 
1.3. Momento de uma força (cont.)
1.3.2. Caso Tridimensional – Momento em torno de um eixo
Considere agora uma força F no espaço:
Desenvolvendo o determinante, temos:
o x y z
x y z
r r r
F F F
=
i j k
M = r × F
O momento M em relação ao ponto “o” é dado por:
( ) ( ) ( )o y z z y z x x z x y y x
x y z
r F r F r F r F r F r F
M M M
- + - + - =
= + +
M = i j k
i j k
Representação das componentes em notação de vetor de “seta dupla”:
oM
x
y
z
yM
zM
zM
OBS: O sentido da seta dupla segue a regra da mão direita.
( ) ( ) ( )22 20
o x y z
x y z
M M M
M M M M
= = + +
= + +
x y zM M + M + M i j k
Mecânica dos Sólidos – Escola de Ciências e Tecnologia - UFRN
Prof. Daniel Nelson Maciel (dnmaciel@ect.ufrn.br) 
Momento em torno de um eixo arbitrário qualquer:
1.3.2. Caso Tridimensional – Momento em torno de um eixo (cont.)
Considere o eixo qualquer “l” cujo o versor é “n”, 
conforme figura ao lado. A projeção do momento 
fletor “M0” na direção desse eixo é:
Sabendo que:
Escreve-se:
Na forma vetorial, vem: 
cos cosMl q q= × = =0 0 0M n M n M
oM = r ×F
( )M l = ×r × F n
( )= ×é ùë ûλM r ×F n n
Mecânica dos Sólidos – Escola de Ciências e Tecnologia - UFRN
Prof. Daniel Nelson Maciel (dnmaciel@ect.ufrn.br) 
EXEMPLO 1: Uma força F=80N é aplicada na estrutura tubular conforme figura abaixo. 
Determine o momento da força F em relação ao ponto “A”. Determine também a componente 
desse momento em relação ao eixo “a” (tal eixo passa pelo ponto “D”).
1.3.2. Caso Tridimensional – Momento em torno de um eixo (cont.)
D
a
Mecânica dos Sólidos – Escola de Ciências e Tecnologia - UFRN
Prof. Daniel Nelson Maciel (dnmaciel@ect.ufrn.br) 
EXERCÍCIO PARA TURMA: Uma força T=10kN é transmitida pelo cabo fixado em A e B. 
Determine o momento da força de tração no cabo em relação ao ponto “o”. Também 
determine a componente do momento em relação ao eixo “a”.
1.3.2. Caso Tridimensional – Momento em torno de um eixo (cont.)
O
a
RESP: ( ) [ ]
( ) [ ]
150 0, 424 0,566
43,3 0,86 0,51
kN m
kN m
= - ×
= - + ×
O
α
M i k
M i k
Mecânica dos Sólidos – Escola de Ciências e Tecnologia - UFRN
Prof. Daniel Nelson Maciel (dnmaciel@ect.ufrn.br) 
1.4. Binário
1.4.1. Caso Bidimensional
O momento de um binário (conjugado) ou simplesmente binário é o momento resultante da 
ação de duas forças NÃO COLINEARES, IGUAIS e OPOSTAS.
Considere agora um corpo submetido a um par de forças paralelas de mesma intensidade, 
porém de sentidos contrários:
O momento das forças em torno do ponto “o” é
dado por:
( )M F a d Fa
M Fa Fd Fa M Fd
= + -
\ = + - \ =
Diante do exposto, temos as seguintes observações:
1ª) A RESULTANTE das forças no corpo é NULA, ou seja:
R = F - F = 0
2ª) O BINÁRIO dado por M=Fd independe do ponto de referência “o”, sendo apenas função 
da distância entre as forças.
CONCLUSÃO: O binário apenas tende a provocar o efeito de giro no corpo e seu valor é o 
mesmo para todos os pontos do plano. Então, o BINÁRIO pode ser aplicado em qualquer 
ponto no corpo sem que seu EFEITO EXTERNO seja alterado (vetor livre).
Mecânica dos Sólidos – Escola de Ciências e Tecnologia - UFRN
Prof. Daniel Nelson Maciel (dnmaciel@ect.ufrn.br) 
1.4.1. Caso Bidimensional (cont.)
ILUSTRAÇÃO DE BINÁRIOS EQUIVALENTES:
F
F
d
F d F
2F
/ 2d
2F
REPRESENTAÇÃO DE UM BINÁRIO NO PLANO:
F
F
d
M Fd=
F
F
d
M Fd=
Mecânica dos Sólidos – Escola de Ciências e Tecnologia - UFRN
Prof. Daniel Nelson Maciel (dnmaciel@ect.ufrn.br) 
1.4. Binário (cont.)
1.4.2. Caso Tridimensional
Considere agora um corpo tridimensional submetido a um par de forças paralelas de mesma 
intensidade, porém de sentidos contrários:
O momento das forças em torno do ponto “o” é
dado por:
( )
( )
= -
\ -
\
A B A B
A B
M = r × F + r × -F r ×F r × F
M = r r × F
M = r ×F
OBS: As mesmas observações e conclusões do caso bidimensional também podem ser 
tomadas para do binário em três dimensões.
Os Binários, como qualquer outra grandeza 
vetorial, podem se somar, ou seja:
Mecânica dos Sólidos – Escola de Ciências e Tecnologia - UFRN
Prof. Daniel Nelson Maciel (dnmaciel@ect.ufrn.br) 
EXEMPLO 2: Determine o módulo e direção do binário resultante do sistema abaixo:
1.5.1. Caso Bidimensional e Tridimensional (cont.)
F1=30 N F1=30 N
F2=25 N
F2=25 N
Mecânica dos Sólidos – Escola de Ciências e Tecnologia - UFRN
Prof. Daniel Nelson Maciel (dnmaciel@ect.ufrn.br) 
1.5. Sistema Força-Binário
1.5.1. Caso Bidimensional e Tridimensional
Considere agora um corpo submetido a uma força F:
É o chamado sistema FORÇA-BINÁRIO, e demonstra que qualquer força F que atua sobre 
um corpo pode ser deslocada para um ponto arbitrário “B”, desde que seja acrescentado um 
BINÁRIO igual ao MOMENTO de F em relação ao ponto arbitrário “B”.
A mesma conclusão é aplicável para forças no espaço, ou seja:
Mecânica dos Sólidos – Escola de Ciências e Tecnologia - UFRN
Prof. Daniel Nelson Maciel (dnmaciel@ect.ufrn.br) 
EXEMPLO 3: A força F=400N é aplicada na estrutura abaixo como ilustrado. Determine o 
sistema força binário equivalente no (a) ponto “A” e (b) ponto “O”. 
1.5.1. Caso Bidimensional e Tridimensional (cont.)
oθ = 20