Mecânica dos Sólidos - Apostila - Rev 0

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MMMEEECCCÂÂÂNNNIIICCCAAA DDDOOOSSS SSSÓÓÓLLLIIIDDDOOOSSS 
AAppoossttiillaa 
Índice 
 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS .............................................................................................. 2 
1. MECÂNICA ............................................................................................................ 2 
2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES ......................................................................... 2 
2.1. Grandezas: ....................................................................................................................... 3 
3. VETOR ................................................................................................................ 4 
3.1. Adição de vetores: ........................................................................................................... 4 
3.2. Soma de vetorial – Casos particulares: ........................................................................... 4 
3.3. Lei dos Senos (Teorema de Lamy): ................................................................................ 6 
3.4. Lei dos Cossenos: ............................................................................................................ 6 
4. EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS – CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS . 8 
4.1. Conceito de Estruturas Isostáticas: .................................................................................. 8 
4.2. Tipos de Carregamento: .................................................................................................. 9 
4.3. Tipos de Apoio: ............................................................................................................... 9 
5. TRELIÇAS PLANAS ................................................................................................. 10 
5.1. Conceito: ....................................................................................................................... 10 
5.2. Estaticidade: .................................................................................................................. 10 
5.3. Métodos de dimensionamento: ...................................................................................... 11 
5.3.1. Método das Seções ou Ritter: ..................................................................................... 11 
5.3.2. Método dos Nós: ........................................................................................................ 13 
6. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS ............................................. 17 
6.1. Hipóteses Simplificadoras: ............................................................................................ 18 
6.2. Classificação dos Elementos Estruturais: ...................................................................... 18 
6.3. Classificação dos Esforços: ........................................................................................... 19 
6.4. Esforços Solicitantes: .................................................................................................... 20 
6.5. Grandezas Fundamentais: ............................................................................................. 20 
6.6. Condições de Equilíbrio: ............................................................................................... 21 
6.7. Visualização de Momento Fletor e Momento Torsor: .................................................. 24 
7. SOLICITAÇÃO AXIAL .............................................................................................. 28 
7.1. Definição: ...................................................................................................................... 28 
7.2. Noções de Deformação: ................................................................................................ 28 
7.3. Tensões: ......................................................................................................................... 31 
7.4. Relação entre Tensão e Deformação ( x ): ............................................................... 32 
7.5. Tensões em um Plano Oblíquo ao Eixo: ....................................................................... 38 
7.6. Diagrama Tensão e Deformação ( x ): ..................................................................... 39 
7.7. Tensão Admissível: ....................................................................................................... 43 
 
 
 
 
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1. MECÂNICA 
 
Definição: É a ciência que estuda as condições de movimento e repouso de um 
corpo quando submetido à ação de forças. 
A Mecânica se divide em: 
a) Mecânica dos corpos rígidos: 
- Estática: corpos em repouso 
- Dinâmica: corpos em movimento 
b) Mecânica dos corpos deformáveis: 
- Resistência dos Materiais 
c) Mecânica dos Fluidos: 
 - Fluidos compressíveis  gases 
 - Fluidos incompressíveis  líquidos  hidráulica 
2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 
 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e 
unidades derivadas. 
 
As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As unidades 
derivadas são, entre outras, força, trabalho, pressão, etc... 
 
As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as 
três unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as 
medições. 
 
A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a 
aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F=m.a (segunda Lei de 
Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2. 
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As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos chamados 
dinamômetros. 
 
O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da Equação 
P=m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um 
corpo de massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a 
aceleração da gravidade. 
 
A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida 
por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana 
de 1 metro tro quadrado de área, perpendicular à direção da força Pa = N /m2 . 
Pascal é também unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões 
tangenciais (cisalhamento). 
 
 
2.1. Grandezas: 
 
Diferenças entre grandeza vetorial, grandeza escalar e grandeza adimensional: 
 
- Grandeza escalar: É dependente apenas de um valor numérico e uma unidade. 
Exemplo: tempo, temperatura, volume, área, massa, trabalho 
de uma força, potencial elétrico, etc. 
 
- Grandeza vetorial: é dependente de módulo, direção e sentido, pois não fica bem 
determinado apenas com valor numérico e unidade. 
Exemplo: força, velocidade, aceleração, deslocamento, campo 
magnético, quantidade de movimento, etc. 
 
- Grandeza adimensional: são aquelas que não possuem unidade de medida. 
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Exemplo: índice de refração da luz (n) 
)(
)(
qualquermeioumemluzdavelocidadev
vácuonoluzdavelocidadec
n  
 
Exemplo: n = 1,3  água ( * ) 
 n = 2,4  diamante (**) 
( * )  Significa dizer que no vácuo a luz é 1,3 vezes mais rápida que na água 
( ** )  Significa dizer que no vácuoa luz é 1,3 vezes mais rápida que no diamante 
 
3. VETOR 
 
Ente matemático que representa um conjunto de segmentos de retas orientados. 
Grandeza que se determina através de módulo (intensidade), direção, sentido e 
ponto de aplicação. 
É utilizado para representar grandezas vetoriais. 
 
3.1. Adição de vetores: 
 
 Por solução gráfica (escala)  Lei do paralelogramo e polígono de forças 
 Por solução trigonométrica  Lei dos senos e cossenos 
 
 Vetor resultante: dois vetores podem ser substituídos por um único vetor. 
 
3.2. Soma de vetorial – Casos particulares: 
 
a) Mesma direção: 
A 
 A + B 
B 
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A 
 A - B 
B 
 
b) Dois vetores perpendiculares entre si: 
 
c) Dois vetores não perpendiculares e direções diferentes (lei dos cossenos): 
 
d) Dois vetores iguais ; Dado  = 120° 
 
 
e) 
 
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Obs.: Soma vetorial nula: 
 
 Exemplo: 
 Soma vetorial nula = A + B + C = 0 
 Fechamento do círculo em sequência 
 
3.3. Lei dos Senos (Teorema de Lamy): 
 
 sen
R
sen
F
sen
F

21
 
 
 
 
 
 
 sen
F
sen
F
sen
F 321
 
 
 
 
3.4. Lei dos Cossenos: 
R = vetor resultante ou vetor soma 
cos222  BABAR 
)180cos(222  BABAR 
 e  são ângulos suplementares 
 cos  = - cos 

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Exemplo: Fazer a soma dos vetores. 
 
 
 
cos222  BABAR 
  55cos42242 22R 
 uR 40,5 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcular a resultante de forças. 
 
2) Determinar o valor da resultante de forças e o ângulo da resultante com 
horizontal. 
 
 
 
 
 
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3) Um navio é puxado por dois rebocadores. A resultante de forças exercidas 
pelos rebocadores é igual a 5000 kgf, orientada segundo o eixo do navio. 
Determinar: a) A tração na corda sabendo que  = 45°; b) O valor de  para 
que a tração na corda 2 seja mínima. 
 
 
 
 
 
4. EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS – CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO 
EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
 
4.1. Conceito de Estruturas Isostáticas: 
 
São estruturas as quais, aplicadas as equações fundamentais da estática, é possível 
se determinar as reações de apoio. 
 
Equações Fundamentais da Estática: 
 Componentes cartesianas de equilíbrio de um corpo rígido no espaço: 
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 
Mx = 0 My = 0 Mz = 0 
 
 
 No plano as seis equações se reduzem a: 

Fx = 0 Fy = 0 M = 0 
 
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4.2. Tipos de Carregamento: 
 
a) Carga concentrada: 
 
b) Carga distribuída: 
 
 
c) Carga momento: 
 
4.3. Tipos de Apoio: 
 
a) 1º Gênero (apoio simples ou Charriot): Reação de apoio em apenas uma 
direção. 
Apenas uma única reação de apoio. 
Símbolo: 
 
 
b) 2º Gênero (rótula): Reação de apoio em duas direções. 
Duas reações de apoio. 
Símbolo: 
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c) 3º Gênero (engaste): Reação de apoio vertical, horizontal e reação 
momento. 
Três reações de apoio. 
Símbolo: 
 
 
 
 
5. TRELIÇAS PLANAS 
 
5.1. Conceito: 
 
São estruturas constituídas por elementos interligados por parafusos, pinos, soldas, 
rebites, etc., e de configuração triangular, formando uma construção rígida. 
Quando submetidas a carregamentos aplicados nos nós, então as barras estarão 
sendo solicitadas a esforços axiais (tração e compressão). 
 
5.2. Estaticidade: 
 
b = 2.n – 3 onde: b = número de barras 
 n = número de nós 
 
Exemplos: 
b = 10 
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n = 7 
 b = 2.n – 3  10 < 11  instável (hipoestático) 
 
b = 5 
n = 4 
 b = 2.n – 3  5 = 5  estável (isostático) 
 
b = 3 
n = 3 
 b = 2.n – 3  3 = 3  estável (isostático) 
 
b = 7 
n = 5 
 b = 2.n – 3  7 = 7  estável (isostático) 
5.3. Métodos de dimensionamento: 
 
 Método das Seções ou Ritter (analítico) 
 Método dos Nós (analítico) 
 Método de Maxwell-Cremona (gráfico) 
 
5.3.1. Método das Seções ou Ritter: 
 
 Consiste em calcular os esforços normais nas barras analiticamente (tração e 
compressão); 
 O método também é chamado de método das seções de Ritter ou ainda 
método dos momentos; 
 Foi lançado por Ritter em 1860 na Escola Técnica de Hannover (Alemanha); 
 A seção de Ritter deve cortar três barras cujos os esforços sejam 
desconhecidos. Essas três barras não devem ser concorrentes, porém duas 
barras no máximo poderão ser; 
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 Como não sabemos inicialmente o sentido das forças em cada nó 
arbitraremos, por comodidade e por questão de método, todos os sentidos 
como se fosse de tração. Após os cálculos, os esforços que resultarem 
negativos corresponderam a barras comprimidas; 
 As seções poderão ter forma qualquer (não necessitando ser retas). 
 
Exemplo: Calcular os esforços normais nas barras da treliça pelo método de Ritter. 
 
- Numerando os elementos: 
 
- Verificação da Estaticidade: 
 b = 2.n – 3  7 = 7  estável (isostático) 
- Cálculo das reações de apoio: 
  V = 0  VA + VB – 15 – 20 = 0  VA = 35 - VB 
  MA = 0  (VB x 12) – (15 x 3) – (20 x 9) = 0  VB = 18,75 kN 
Logo: VA = 16,25 kN 
- Cálculo dos esforços nas barras: 
 . Seção S1-S1: ( = 45°) 
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  V = 0  N1 x sen 45° + 16,25 = 0  N1 = 22,98 kN (tração) 
  H = 0  N1 x cos 45° + N4 = 0  N4 = -16,23 kN (compressão) 
 
 
 
. Seção S2-S2: ( = 45°) 
  V = 0  -N1 x cos 45° + N6 x cos 45° + 15 = 0  
  -16,25 + N6 x cos 45° + 15  N6 = 1,77 kN (tração) 
  H = 0  N1 x sen 45° + N6 x cos 45° + N2 = 0  
  N2 = -17,50 kN (compressão) 
 
 . Seção S3-S3: ( = 45°) 
  V = 0  N3 x sen 45° + 18,75 = 0  N3 = 26,52 kN (tração) 
  H = 0  N3 x cos 45° + N5 = 0  N5 = -18,75 kN (compressão) 
. Seção S4-S4: ( = 45°) 
 
 V = 0  -N7 x sen 45° + N3 x cos 45° - 20 = 0  
 -N7 x cos 45° + 18,75 - 20  N7 = -1,77 kN (compressão) 
 
 . Então: 
 
5.3.2. Método dos Nós: 
 
Consiste em estabelecer o equilíbrio em todos os nós da estrutura. 
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Em um nó da treliça, as barras que nestenó estão se convergindo, estão solicitadas 
apenas por esforços normais de tração ou compressão, isto é, não há momento. 
Logo, só haverá duas equações de equilíbrio:  V = 0 e  H = 0. 
Então, para calcular os esforços normais nas barras que converjam no nó é 
necessário que não se tenha mais do que duas incógnitas por nó. 
Neste método do equilíbrio dos nós deve-se: 
 Iniciar a determinação dos esforços normais nas barras a partir de u nó que 
apresente duas forças desconhecidas (em geral nó nos apoios); 
 Prosseguir estabelecendo o equilíbrio de outros nós onde todas as forças, a 
menos de duas, tenham sido anteriormente determinadas. 
Observar: 
 Esforço normal saindo do nó: esforço de tração; 
 Esforço normal entrando no nó: esforço de compressão. 
 
Exemplo: Calcular os esforços normais nas barras da treliça pelo método de Ritter. 
 
 
- Numerando os elementos: 
 
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- Verificação da Estaticidade: 
 b = 2.n – 3  7 = 7  estável (isostático) 
 
- Reações de apoio: VA = 16,25 kN e VB = 18,75 kN 
 
- Cálculo dos esforços nas barras: 
 . Nó A: ( = 45°) 
  V = 0  N1 x sen 45° + 16,25 = 0  N1 = 22,98 kN 
  H = 0  N1 x cos 45° + N4 = 0  N4 = -16,23 kN 
Sinal positivo de N1  indica que o sentido arbitrado 
inicialmente para N1 está correto. Esforço normal N1 
saindo do nó  tração. 
Sinal negativo de N4  indica que o sentido arbitrado 
inicialmente para N4 está errado. Deve-se trocar o 
sentido da força. Esforço normal N4 entrando no nó  
compressão. 
 . Nó C: ( = 45°) 
  V = 0  -N1 x cos 45° + N6 x cos 45° + 15 = 0  
  -16,25 + N6 x cos 45° + 15  N6 = 1,77 kN (tração) 
  H = 0  N1 x sen 45° + N6 x cos 45° + N2 = 0  
  N2 = -17,50 kN (compressão) 
 . Nó B: ( = 45°) 
 
 V = 0  N3 x sen 45° + 18,75 = 0  N3 = 26,52 kN (tração) 
  H = 0  N3 x cos 45° + N5 = 0  N5 = -18,75 kN (compressão) 
 
 . Nó D: ( = 45°) 
 
 V = 0  -N7 x sen 45° + N3 x cos 45° - 20 = 0  
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 -N7 x cos 45° + 18,75 - 20  N7 = -1,77 kN (compressão) 
 
 
 . Então: 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcular os esforços normais nas barras da treliça pelo método de Ritter. 
 
 
 
 
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2) Calcular pelo método dos nós os esfoços normais atuantes nas barras da 
treliça. 
 
 
 
 
6. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
A Resistência dos Materiais é a ciência que estuda os materiais quanto à sua rigidez 
e resistência, quando de seu uso nas estruturas. Para dimensionarmos qualquer tipo 
de estrutura, não levamos em consideração somente a Mecânica, e sim, 
principalmente, a resistência do material a ser empregado. 
 
Mecânica  materiais rígidos (ideais) 
Resistência dos Materiais  materiais deformáveis (reais) 
 
Exemplo: vareta de bambu 
 
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 Hipóteses Simplificadoras 
real ideal 
 Coeficiente de Segurança 
 
6.1. Hipóteses Simplificadoras: 
 
a) Continuidade: os materiais serão considerados maciços, não se levando em 
consideração a descontinuidade da matéria. 
b) Homogeneidade: o material terá propriedades idênticas em todos os pontos, 
isto é, mesma constituição química e propriedades físicas 
em qualquer de seus pontos. 
c) Isotropia: o material terá propriedades idênticas em todas as direções (Ex.: 
madeira). 
d) Superposição de Cargas: o efeito da ação conjunta em um só corpo é igual ao 
somatório dos efeitos das ações parciais. 
e) Princípio de Saint-Venant: é possível substituirmos um sistema de forças por 
outro, estaticamente equivalente, significando maior 
simplificação nos cálculos. 
 
6.2. Classificação dos Elementos Estruturais: 
 
Peça ou Elemento Estrutural: é todo o sólido dotado de propriedades elásticas 
capaz de receber e transmitir cargas. A associação de elementos estruturais, 
convenientemente ligados, constitui uma estrutura, podendo ser estática ou 
dinâmica. 
 Estática  torre de sustentação de linhas de transmissão. 
 Dinâmica  conjunto biela-girabrequim da máquina a combustão interna. 
 
Os elementos estruturais podem ser classificados em elementos lineares, de 
superfícies e de volume. 
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a) Lineares: 
 Vigas  tração, compressão, cisalhamento, flexão, torção e 
combinação; 
 Pilar ou coluna  compressão; 
 Arcos  solicitações iguais as das vigas; 
 Treliças  tração e compressão 
 Árvore  momento torsor; 
 Mola - lâmina  flexão; 
 Mola – helicoidal  torção 
 Escora; 
 Tirante. 
 
b) Superfícies: 
 Disco ou viga parede  cargas contidas nesse plano; 
 Placa  carga normal ao plano; 
 Casca ou membrana  cargas radiais ou longitudinais. 
 
c) Volume: 
 Bloco de fundação  predominantemente compressão. 
 
6.3. Classificação dos Esforços: 
 
1.5.1 – Tipos de Esforços: 
a) Exteriores: 
a.1) Ativos  dados (P1, P2, P3) 
(ação do vento, peso próprio, etc.) 
 
a.2) Reativos  nos apoios (da mecânica) 
 
b) Interiores: 
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b.1) Solicitantes  dependem do carregamento. Aparecem no interior 
da peça devido aos esforços exteriores 
b.2) Resistentes  dependem do material (tabelas, gráficos, etc.) 
 
Condição de estabilidade: Solicitantes ≤ Resistentes para todos os pontos 
 
6.4. Esforços Solicitantes: 
Os esforços encontrados no interior de qualquer seção transversal de uma barra, 
chamados de esforços solicitantes, são produzidos pelos esforços externos que se 
propagam ao longo da barra. 
Os tipos de esforços solicitantes podem ser: 
a) Força normal  tem a direção do eixo da barra, podendo ser de tração ou 
compressão; 
b) Força cortante  tem a direção perpendicular ao eixo da barra; 
c) Momento fletor  atua no plano perpendicular a seção transversal; 
d) Momento torsor  atua no plano da seção transversal. 
 
6.5. Grandezas Fundamentais: 
 
a) Força: São grandezas vetoriais caracterizadas por direção, sentido e 
intensidade. 
F1 F2 
 
b) Momento: é a tendência de girar em torno de um ponto. O giro é ocasionado 
por uma força. 
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 Mi = Fi x di 
 
 
6.6. Condições de Equilíbrio: 
Consideremos um corpo elástico, sujeito a um grupo de ações exteriores, 
internamente em equilíbrio. 
 Pi =0 ;  Mi =0 
 
 
 
A Mecânica Racional considerando-o como um corpo rígido, afirmaria estar ele em 
equilíbrio se o conjunto de ações exteriores fosse equivalente a zero, ou seja, em 
referência a um ponto qualquer do espaço. 
E isso era o bastante. 
Os corpos da natureza, entretanto, não são rígidos e sim deformáveis, isto é, 
submetidos a ações exteriores eles mudam de dimensões, pelo menos ligeiramente. 
 
Seccionemoso corpo segundo a seção “S” indicada: 
 
Corpo em equilíbrio:  Pi =0 ;  Pi =0 
P1, P2, P3, P4  esforços exteriores (ativos ou reativos) 
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O corpo é separado em duas partes na seção “S”. 
 
As resultantes internas que equilibram na seção “S” as ações externas são: 
R  força resultante na seção S, referido ao centro de gravidade (CG) da seção 
transversal; 
G  momento resultante na seção S, referido ao centro de gravidade (CG) da seção 
transversal. 
 
- Ação da carga R: 
 
 
 
 
 
A força resultante pode ser decomposta como a seguir: 
R = N + Q1 + Q2 
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onde: 
N  componente força normal ao plano da seção transversal (pode ser 
tração ou compressão); 
Q1, Q2  componente força no plano da seção transversal. É a força 
cortante. 
 
- Ação do momento G: 
 
 
 
O momento resultante pode ser decomposto como a seguir: 
G = T + M1 + M2 
onde: 
T  componente momento normal ao plano da seção transversal. É o 
momento torsor (giro de uma seção em torno de um eixo perpendicular 
à seção); 
M1, M2  componente momento no plano da seção transversal. É o momento 
fletor (giro de uma seção em torno de um eixo perpendicular à 
seção). 
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6.7. Visualização de Momento Fletor e Momento Torsor: 
Momentos atuantes em planos formadores de um triedro definido pelas direções 
Ox, Oy e Oz. 
Seja o momento M atuando em um plano P: 
 
 
O momento M pode ser decomposto segundo seções especiais, ortogonais entre si, 
nos momentos Mx, My e Mz. 
 
 
 
Mx → atua no plano y0z → Flexão 
My → atua no plano x0z → Flexão 
Mz → atua no plano z0z → Torção 
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Conclusão → o momento quando atuante em um plano que está contido no eixo 
longitudinal da peça causa uma flexão. O momento quando atuante 
em um plano perpendicular ao eixo causa uma torção. 
 
 
Exemplos: 
1 – Determinar os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 assinaladas: 
Obs.: Dimensões em metros 
 
 
 
 
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Seção S1: Seção S2: Seção S3: 
 
N1 = 0 N2 = 0 N3_Y = 6 tf (tração) 
Q1_Y = -6 tf Q2 = - 6 tf Q3 = 0 
M1_Z = -6 x 3 = -18 tf.m (flexão) M2_X = -6 x 1 = - 6 tf.m (flexão) M3 = 0 
M1_X = T1 = -6 x 2 = -12 tf.m (torção) T2 = 0 T3 = 0 
 
2 – Determinar os esforços solicitantes nas seções S1 e S2 assinaladas: 
Obs.: Dimensões em metros 
 
Seção S1: Seção S2: 
N1_Z = 5 tf (compressão) N2_X = 4 tf (tração) 
Q1_x = 4 tf Q2_y = -6 tf 
Q1_y = -6 tf Q2_z = 5 tf 
M1_X = - 6 x 1,5 = - 9 tf.m (plano y0z - flexão)M2_Y = - 5 x 7 = -35 tf.m (plano x0z - flexão) 
M1_Y = -4 x 1,5 = -6 tf.m (plano x0z - flexão) M2_Y = - 4 x 3 = -12 tf.m (plano x0z - flexão) 
T1 = 0 M2_Z = - 6 x 7 = -42 tf.m (plano x0y - flexão) 
M2_X = - 6 x 3 = -18 tf.m (plano y0z - torção) 
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3 – Determinar os esforços solicitantes nas seções indicadas: 
Obs.: Dimensões em metros 
 
 
Seção A-A: Seção B-B: Seção C-C: 
NA = 0 NB = 0 NC = P (tração) 
QA = P QB = P QC = 0 
MA = -P x x MB = -P x a MC = 0 
TA = -P x l TB = 0 TC = 0 
 
4 – Determinar os esforços solicitantes nas seções indicadas: 
Obs.: Dimensões em metros 
 
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7. SOLICITAÇÃO AXIAL 
 
7.1. Definição: 
Na seção transversal de uma barra, se o único esforço solicitante é a força normal, 
diz-se que a barra está submetida à tração ou a compressão (conforme o sentido da 
força normal). 
 
7.2. Noções de Deformação: 
Todos os sólidos não rígidos quando submetidos à ação de forças exteriores se 
deformam. 
Tipos de deformações: 
a) Deformação linear  associado com a mudança de dimensões da peça. 
 
 Longitudinal: l
l
 
onde:  = deformação unitária longitudinal (adimensional) 
 
 Transversal: 
b
b
a
a 


' 
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 Relação entre  e ’: 
Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma 
contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor e seu comprimento 
cresce. A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante, 
dentro da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson 
(). 


  ''
axialdeformação
lateraldeformação
 
onde:  = coeficiente de Poisson (adimensional) 
Obs.: o sinal negativo (-) indica que houve um encurtamento 
Thomas Young – cientista inglês (1773-1829) 
Valores do coeficiente de Poisson para alguns materiais: 
Aço = 0,3 Alumínio = 0,34 
Concreto = 0,15 Madeira = 0,05 
Cobre = 0,32 Níquel = 0,31 
 
b) Deformação superficial (s)  associado com a mudança de dimensões da 
peça. 
 
    











ba
babaabbaba
ba
babbaa
S
SS
Si
S
i
if
S
 
'.2''  









a
a
b
b
ba
ab
ba
ba
ba
abba 
Mas: ’ = - x  
Logo:   2
Si
S
S
 
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c) Deformação volumétrica (v)  associado com a mudança de volume da peça 
  )21(
V
V
V
 
 
 
d) Deformação angular ()  associado com a mudança da forma da peça 
  distorção angular (deformação de cisalhamento) 
 
Exemplo: 
Para calcularmos a deformação na barra, devemos primeiro determinar os esforços 
interiores que está acontecendo ao longo de toda a barra. Para tanto, traçamos o 
diagrama de esforço normal (DEN). 
Exemplo: 
 
 
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7.3. Tensões: 
Definição: Tensão é a razão entre uma força e a área de uma superfície plana. 
 
 
 Tensão normal:  = FN / S 
 Tensão tangencial:  = FT / S 
 
A tensão normal poderá ser de tração ou compressão. 
Imaginemos a figura abaixo: 
 
 
Seccionando a barra perpendicularmente ao eixo através de uma seção S, 
verificaremos que a solicitação se distribui uniformemente ao longo desta seção: 
 
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S → seção reta constituída dor uma infinidade de seções elementares dS; 
N → esforço resultante de um sistema formado por uma infinidade de forças elementares 
dN uniformementedistribuídas ao longo de toda a superfície da seção. 
Logo:  

dS
dN
 S
N
 
 
7.4. Relação entre Tensão e Deformação ( x ): 
 
 
Do ensaio de tração, verificamos que até certo limite para valores das tensões , é 
possível estabelecermos uma lei linear definida pela equação: 
 = E x  (Lei de Hooke) 
onde: E = constante de proporcionalidade 
 
 
Lei de Hooke: “Até um certo limite, as tensões induzidas nos corpos são 
proporcionais as deformações que experimentam” 
pp
p
p tgtg 


  
Robert Hooke – Matemático inglês (1635 – 1703) 
 
Para qualquer valor de  ≤ p, é válida a relação:  = tg  x  
Substituindo na equação que define a Lei de Hooke, teremos: 
tg  x  = E x   E = tg 
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Logo, E é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão x deformação 
(reta OP) que define o comportamento elástico do material, definindo então, a 
propriedade física chamada de módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de 
Young. 
O módulo de elasticidade longitudinal é a tensão dividida pelo alongamento 
relativo (E = / ). 
O modulo de elasticidade longitudinal representa a relação entre dois 
comprimentos, e possui valores diferentes para cada tipo de material 
 
 ; onde: é adimensional 
 
Calculando o valor do deslocamento (alongamento ou encurtamento) l da barra: 
 = E x  
 = l / l SE
lN
l


 
 = N / S 
Valores do Módulo de Elasticidade Longitudinal de alguns materiais: 
Aço = 2,1 x 106 kgf/cm2 Madeira = 1,0 x 105 kgf/cm2 
Concreto = 2,0 x 105 kgf/cm2 Alumínio = 6,8 x 105 kgf/cm2 
Cobre = 1,0 x 106 kgf/cm2 Latão comum = 6,5 x 105 kgf/cm2 
 
Exercícios: 
1) Uma barra de aço de diâmetro igual a 25 mm (1”) é tracionada por uma 
força de 10 tf. O comprimento inicial da barra é de 4,50 m. Determinar a 
tensão que atua na barra e seu alongamento total (l). 
Dado: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 
 
 = E x  
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2) Calcular o alongamento total (l) de uma barra de 2 m de comprimento e 6 
cm2 (3 cm x 2 cm) de seção reta, submetida a uma tração de 6 tf. 
Determinar também a tensão atuante e a variação do comprimento 
transversal de 3 cm (a). 
Dados: E = 2 x 106 kgf/cm2 
 = 0,25 
 
3) Para a peça de madeira mostrada na figura, determinar o deslocamento da 
extremidade. Dado: E = 1,0 x 105 kgf/cm2. 
 
 
4) Encontrar o deslocamento da extremidade das peças mostradas na figura. 
 
4.1) Dado: E = constante = 2,1 x 106 kgf/cm2 
 
 
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4.2) Dado: E = constante = 2 x 106 kgf/cm2 
 
 
4.3) Dado: E = constante = 210 kN/mm2 
 
 
5) A haste da figura é constituída por alumínio (E = 70 GPa). Pede-se calcular os 
deslocamentos nos pontos “B”, “C” e “D”, as tensões normais ao longo da 
barra e o traçado dos diagramas de esforços normais, tensões normais e de 
deslocamento. Obs.: 1 GPa = 1 kN/mm2 = 1 x 106 kN/m2 
 
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6) O suporte cilíndrico é constituído por um núcleo de cobre e externamente de 
aço, e suporta uma carga de 7300 kgf. Determinar a parcela de carga que é 
resistida por cada material, a deformação do suporte e as tensões. 
Dados: Eaço = 2,1 x 10
6 kgf/cm2 
Ecobre = 1,0 x 10
6 kgf/cm2 
P = 7300 kgf 
 
 
7) O sistema mostrado é constituído pela barra 1, de alumínio (E = 6,8 x 105 
kgf/cm2), e pela barra 2, de aço (E = 2,1 x 106 kgf/cm2). Qual deverá ser a 
área da barra 2 para que a trave permaneça na horizontal ? 
Obs.: desprezar o peso próprio das peças. 
Dado: Área da barra 1 = 5 cm2 
 
8) Qual deve ser o valor da força N aplicada na barra de aço para que esta se 
encoste ao suporte inferior ? Dado: 2,1 x 106 kgf/cm2. Diâmetro = 25 mm. 
 
 
 
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Exercícios adicionais: 
Obs.: 1 MPa = 10 kgf/cm2 = 0,10 kgf/mm2 = 0,1 kN/cm2 = 0,001 kN/mm2 
 1 GPa = 10000 kgf/cm2 = 100 kgf/mm2 = 100 kN/cm2 = 1 kN/mm2 
 
a) A barra circular representada na figura, é de aço, possui d = 20 mm e 
comprimento L = 0,8 m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 
10 kN. Pede-se que determine para a barra: 
- A tensão normal atuante ; Dados: Eaço = 210 GPa 
- O alongamento L; aço = 0,30 
- A deformação longitudinal ; 
- A deformação transversal '. 
 
Gabarito:  = 31,8 N/mm2 = 31,8 MPa ; L = 0,12 mm ; = 0,00015 ; ’ = 0,000045 
 
b) A figura dada, representa duas barras de aço soldadas na seção B-B. A carga 
de tração que atua na peça é 4,5 kN. A seção 1 da peça possui d1 = 15 mm e 
comprimento L1 = 0,6 m, sendo que a seção 2 possui d2 = 25 mm e L2 = 0,9 
m. Desprezando o efeito do peso próprio do material, pede-se que 
determine para as seções 1 e 2: 
- A tensão normal atuante (1 e 2); Dados: Eaço = 210 GPa 
- O alongamento (L1 e L2); aço = 0,30 
- A deformação longitudinal (1 e 2); 
- A deformação transversal ('1 e ’). 
 
Gabarito: 1 = 25,5 N/mm2 = 25,5 MPa ; 2 = 9,2 N/mm2 = 9,2 MPa 
L1 = 0,073 mm ;L2 = 0,39 mm ; ;LTOTAL = 0,112 mm 
1 = 0,000121 ; 2 = 0,00065 ; 1’ = 0,0000363 ; 2’ = 0,000195 
 
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7.5. Tensões em um Plano Oblíquo ao Eixo: 
Em um plano não ortogonal ao eixo da barra, a força axial poderá ocasionar, 
concomitantemente, tensão normal ao plano inclinado e de cisalhamento. 
Seja a figura abaixo onde o plano oblíquo faz um ângulo  em relação ao eixo da 
barra. A força P foi decomposta nas componentes normal F e tangencial V. 
 
 
Temos que: cos  = F / P  F = P x cos  e 
 sen  = V / P  V = P x sen  
Como sabemos que a tensão será a força por unidade de área, neste caso a área A, 
poderemos então escrever a tensão normal e cisalhante sendo: 


A
V
A
F
 
 
Sabemos que: cos  = a / h e A = h x b 
Logo: b
a
A 
 cos
 
 
Substituindo ficaremos: 




2
2
cos
cos
cos
coscos









A
P
ba
P
b
a
P
A
P
 




cos
cos
cos








 sen
A
P
ba
senP
b
a
senP
A
senP
 
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Exercício: 
1) A barra engastada, de seção retangular 30 x 40 mm, está submetida a uma 
força de 200 N aplicada na extremidade. Calcular as tensões atuantes no 
plano das seções “1-1” e “2-2”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.6. Diagrama Tensão e Deformação ( x ): 
A ação de uma força sobre um corpo altera sua forma induzindo uma deformação 
(alongamento) ao corpo. A relação entre a tensão e a deformação, para um 
determinado tipo de material, é determinada através do ensaio de tração. 
Utilizamos um corpo de prova, geralmente uma barra com seção transversal 
circular, colocando-a em uma máquina de teste à tração. 
À medida que aumentamos a carga, a força atuante e os alongamentosresultantes 
são medidos e registrados em gráfico. 
Para podermos comparar os resultados, devemos trabalhar com o gráfico  x . 
 As medidas de tensão são feitas por meio de uma célula de carga. 
 As medidas de deformação são feitas por meio de um extensômetro ou 
diretamente sobre o corpo de prova. 
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1 Cilindro e êmbolo 5 Corpo de prova para compressão 
2 Bomba hidráulica ( medidor de vazão) 6 Mesa (chassi) fixa 
3 Mesa (chassi) móvel 7 Manômetro (medidor de pressão) 
4 Corpo de prova para tração 8 Fluido hidráulico 
 
Referência: Universidade Federal Fluminense – RJ 
 
Tipos de gráficos: 
 
a) Gráfico característico para material dúctil: 
 
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 Trecho OA  Reta – Trecho elástico (deformações proporcionais às tensões – 
Lei de Hooke) 
 = E x  onde: E = tg  
 em A  p = limite de proporcionalidade 
 
 Trecho OB  até B somente deformações elásticas. A partir daí surgem 
deformações plásticas. 
Em B inicia-se a estricção no corpo de prova. 
 em B  e = limite elástico ou limite de elasticidade 
Na prática: p ~ e 
 
 Trecho CD  patamar de escoamento 
 em C  limite de escoamento superior 
 em D  limite de escoamento inferior 
f = tensão de fluência (ou escoamento) 
 
A partir de C uma deformação considerável começa a surgir sem que, 
no entanto, haja um aumento apreciável na força de tração. 
 
 Trecho DE  encruamento 
A partir de D, o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento de 
carga, acrescentando um acréscimo de tensão para um aumento da deformação, 
atingindo um valor máximo ou tensão máxima no ponto E. 
 
 em E  limite de resistência  Tensão de ruptura ou 
tensão máxima do material 
 
A carga total que a barra suporta diminui depois de atingir a tensão máxima, 
porém, tal diminuição decorre da redução da área e não por perda da resistência 
do material. 
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b) Gráfico característico para material frágil: 
 
 
 Trecho OP  Reta – Trecho elástico (deformações proporcionais às tensões – 
Lei de Hooke). 
 
 Trecho OL  Região elástica do material. O corpo de prova retorna ao seu 
comprimento original caso o ensaio de tração seja interrompido. 
 
 em E  A tensão máxima corresponde ao limite de elasticidade do material. A 
tensão de escoamento convencional correspondente a uma deformação 
de  = 0,002 %. 
 
Podemos então classificar os materiais quanto ao tipo de ruptura em dois grupos: 
a) Materiais dúcteis  apresentam patamares de escoamento e admitem 
grandes deformações residuais sem destruir-se. 
Exemplo: aço doce, cobre, alumínio, ouro 
 
b) Materiais frágeis  não apresentam patamar de escoamento e podem 
romper-se com pequenas deformações. Materiais 
frágeis não obedecem a Lei de Hooke. 
Exemplo: ferro fundido, pedra, vidro, concreto, aço de alto carbono, 
cerâmica 
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7.7. Tensão Admissível: 
Ao projetar uma estrutura, é necessário assegurar-se que, nas condições de 
serviço, ela atingirá o objetivo para o qual foi calculada. Do ponto de vista de 
capacidade de carga, a tensão máxima na estrutura é, normalmente, mantida 
abaixo do limite de proporcionalidade, porque somente até aí, não haverá 
deformação permanente, caso as cargas sejam aplicadas e depois removidas. 
 
Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certas 
imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na 
análise da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança 
escolhendo-se uma tensão admissível, ou tensão de projeto, abaixo do limite de 
proporcionalidade. 
Além disso, poderemos ainda ter: 
 Cargas atuantes diferentes das cargas reais; 
 O material pode ser impuro ou ser defeituoso. 
 
Por isso, devemos limitar as tensões admissíveis a valor seguro. 
Então: 
 limadm 
onde:  = coeficiente de segurança ou fator de segurança 
De um modo geral: 
lim = esc  para materiais dúcteis 
lim = rup  para materiais frágeis 
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Exercícios: 
1) Uma barra redonda feita de aço ASTM A 36 (e = 2530 kgf/cm
2) deve 
suportar uma força de 12 tf. Qual deverá ser o seu diâmetro adotando-se um 
coeficiente de segurança igual a 1,65. 
 
2) Qual deve ser a área de uma coluna de madeira de 3 metros de altura que 
suporta uma carga de 32 tf, se seu encurtamento máximo não deve exceder 
a 1,6 mm. 
Dados: rup = 200 kgf/cm
2 ; E = 1,0 x 105 kgf/cm2 ;  =2 
Calcular: A = ? 
3) Uma barra redonda de aço, com comprimento inicial de 5,80 metros, é 
tracionada ficando com 5,81 metros. Sabendo-se que a tensão de 
escoamento desse aço vale 5000 kgf/cm2 e que o coeficiente de segurança 
mínimo admitido é 1,5, verificar a sua segurança. 
Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 
 
4) As barras 1 e 2, de seção circular, são articuladas nas extremidades e 
suportam uma carga de 10 tf. Calcular os diâmetros das barras, sabendo-se 
que as características dos materiais estão relacionadas na tabela abaixo. 
 
Barra Material 
esc 
(kgf/cm2) 
 
( 1 ) Cobre 720 1,5 
 ( 2 ) Bronze 1710 3,0 
 
 
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5) Determinar o valor máximo de P de tal forma que o alongamento total da 
barra não ultrapasse a 0,18 cm, nem as tensões ultrapassem os valores 
admissíveis, sabendo-se que: 
 
Peça Material 
adm_T,C 
(kgf/cm2) 
E 
(kgf/cm2) 
A 
(cm2) 
1 Bronze 1250 8 x 105 5 
2 Alumínio 850 6,8 x 105 7 
3 Aço 1400 2,1 x 106 3,5 
 
 
 
 
6) Determinar a carga admissível para a barra com furos, sabendo-se que a 
tensão de escoamento do aço vale 2400 kgf/cm2, usando-se  = 1,6. 
Dados: Diâmetro dos furos = 30 mm ; Espessura da barra = 5 mm 
 
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7) O suporte de madeira possui uma seção reta de 30 x 30 cm e está apoiado 
em uma base de concreto. Determinar o valor de P se a tensão adminssível 
da madeira é de 120 kgf/cm2 e a do concreto é de 60 kgf/cm2. Quais as 
dimensões da base quadrada “a” se a tensão admissível do terreno vale 4 
kgf/cm2. 
Dados: adm_mad = 120 kgf/cm2 ; adm_conc = 60 kgf/cm2 ; adm_ter = 4 kgf/cm2 
 
8) A barra de aço, de seção circular, engastada na extremidade superior, está 
submetida a carregamento conforme mostrado na figura. Determinar o 
diâmetro da barra, o alongamento na extremidade e os diagramas DEN, DTN 
e DD. 
Dados: esc = 5000 kgf/cm2 ;  = 2 ; E = 2,1 x 106 kgf/cm2