Exercícios de Aplicações da Derivada

Prévia do material em texto

Lista de exercicios 04: Aplicac¸o˜es da derivada
1. Determine se o enunciado e´ verdadeiro ou falso. Se for verdadeiro explique por queˆ.
Se for falso explique por que ou deˆ um exemplo que na˜o confirme o enunciado.
(a)Se f e g forem crescentes em um intervalo I, entao f + g e´ crescente em I.
(b)Se f e g forem crescentes em um intervalo I, entao f − g e´ crescente em I.
(c)Se f e g forem crescentes em um intervalo I, entao f.g e´ crescente em I.
(e)Se f for crescente e f(x) > 0 em I, enta˜o g(x) = 1
f(x)
e´ decrescente em I.
(f)Se f ′(x) = g′(x), para x ∈ (0, 1), enta˜o f(x) = g(x) para x ∈ (0, 1).
2. Determine se o Teorema de Rolle pode ser aplicado a f no intervalo indicado. Caso o
teorema seja aplica´vel encontre os valores de c tais que f ′(c) = 0
(a)f(x) = x2−5x+6, [0, 5] (b)f(x) = |x−4|, [0, 4] (c)f(x) = x√x + 6, [−6, 0]
3. Seja f(x) = 1−x 23 . Mostre que f(−1) = f(1), mas na˜o existe um nu´mero c em (−1, 1)
tal que f ′(c) = 0. Por que isso na˜o contradiz o Teorema de Rolle.
4. Verifique que a func¸a˜o satisfac¸a as hipo´teses do Teorema do Valor Me´dio sobre o
intervalo dado. Enta˜o encontre todos os nu´meros c que satisfac¸am a conclusa˜o do
Teorema do Valor Me´dio.
(a)f(x) = 3x2 + 2x + 5, [−1, 1] (b)f(x) = e−2x, [0, 3] (c)f(x) = x
x+2
, [1, 4]
5. Seja f(x) = |x− 1|. Mostre que na˜o existe valor c tal que f(3)− f(0) = f ′(c)(3− 0).
Por que isso na˜o contradiz o Teorema de Valor Me´dio.
6. Esboc¸e o grafico das siguentes func¸o˜es. (Identifique os pontos de ma´ximo, mı´nimo e
pontos de inflexa˜o)
(a)f(x) = 2− 15x + 9x2 − x3 (b)f(x) = x3 + 6x2 + 9x (c)f(x) = x3−1
x3+1
(d)f(x) =
√
1−x2
x
(d)f(x) = x√
x2+1
(d)f(x) = 2x
5
3 − 5x 43 (e)f(x) = x√2− x2
7. Problemas de Otimizac¸a˜o.
(a)Encontre dois nu´meros cuja diferenc¸a seja 100 e cujo produto seja o menor possive´l.
(b)Encontre dois nu´meros positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja o menor
possive´l.
(c)Encontre as dimenso˜es de um retaˆngulo com a´rea de 1000m2, cujo perimetro seja o
menor poss´ıvel.
(d)Encontre o ponto sobre a reta y=4x+7 que esta mais pro´ximo da origem.
(e)Encontre a a´rea do maior retaˆngulo que pode ser inscrito em um triaˆngulo retaˆngulo
com catetos de comprimentos 3 e 4 cm se dois lados do retaˆngulo estiverem sobre os
catetos.
(f)Uma janela normanda tem a forma de um retaˆngulo tendo emcima um semic´ırculo.
(o diaˆmetro do semic´ırculo e´ igual a` largura do retaˆngulo. Se o per´ımetro da janela for
30 pe´s, encontre as dimenso˜es da janela que deixam passar a maior quantidade poss´ıvel
de luz.
(g)Um cone com altura h esta´ inscrito em outro cone maior com altura H, de forma
que seu ve´rtice esteja no centro da base do cono maior. Mostre que o cono interno tem
seu volume ma´ximo quando h = 1
3
H.