Sistemas de Controle I - Aula 04 - Resposta no Domínio do Tempo - p1

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Aula 04
Resposta no Domínio do Tempo –
P1
Ênio Prates Vasconcelos Filho
PUC-GO
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Tópicos
Δ Função de Transferência:
• Função de transferência de sistemas Mecânicos Translacionais;
Δ Resposta no Domínio do Tempo:
• Polos, Zeros e a Resposta do Sistema;
• Sistemas de Primeira Ordem;
• Sistemas de Segunda Ordem;
• Sistemas de Segunda Ordem Geral;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos Translacionais
Δ Mostramos que circuitos elétricos podem ser modelados por uma função
de transferência, G(s), que relaciona algebricamente a transformada de
Laplace da saída com a transformada de Laplace da entrada;
Δ Vamos fazer o mesmo para os sistemas mecânicos.
Δ Os sistemas mecânicos se assemelham tanto aos circuitos elétricos que
existem analogias entre componentes e variáveis elétricos e mecânicos;
Δ Os sistemas mecânicos, possuem três componentes lineares passivos;
• A mola e a massa, são elementos armazenadores de energia;
• O amortecedor viscoso, dissipa energia.
Δ Os dois elementos armazenadores de energia são análogos aos dois
elementos armazenadores de energia elétricos, o indutor e o capacitor.
Δ O dissipador de energia é análogo à resistência elétrica.
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Funções de transferência de sistemas Mecânicos - Translação
Δ As equações de sistemas Mecânicos Translacionais
Análogo a 
Tensão - Corrente
Análogo a 
Tensão - Carga
• Força Mecânica é análoga a Tensão 
• Velocidade mecânica é análoga a 
corrente
• Mola: análogo ao Capacitor
• Amortecedor: análogo ao Resistor
• Massa: análogo ao Indutor
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Funções de transferência de sistemas Mecânicos - Translação
Δ Assim, somar as forças escritas em função da velocidade é análogo a somar
as tensões escritas em função das correntes;
Δ As equações diferenciais mecânicas resultantes são análogas às equações
das malhas;
Δ Se as forças forem escritas em função do deslocamento, as equações
mecânicas resultantes serão semelhantes, mas não análogas, às equac ̧ões
das malhas;
Δ Utilizaremos esse modelo para sistemas mecânicos de modo que possamos
escrever as equações diretamente em função do deslocamento.
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Funções de transferência de sistemas Mecânicos - Translação
Δ Inicialmente admitiremos um sentido positivo para o movimento, por
exemplo, para a direita.
• Esse sentido positivo de movimento adotado é similar a admitir um sentido
para a corrente em uma malha elétrica.
Δ Utilizando o sentido adotado para o movimento positivo, desenhamos
inicialmente um diagrama de corpo livre, colocando sobre o corpo todas as
forças que agem sobre ele, tanto no sentido do movimento quanto no
sentido oposto;
Δ Em seguida, utilizamos a lei de Newton para produzir uma equação
diferencial de movimento somando as forças e igualando a soma a zero;
Δ Finalmente, admitindo condições iniciais nulas, aplicamos a transformada
de Laplace à equação diferencial, separamos as variáveis e chegamos à
função de transferência.
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Exemplo
Diagrama de Corpo Livre
Laplace
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Exemplo:
Δ Utilizando as leis de Newton, igualamos a zero a soma de todas as forças:
Δ Aplicando Laplace:
Δ A FT do sistema é dada por:
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Funções de transferência de sistemas Mecânicos - Translação
Δ Para simplificar, vamos considerar a transformada De Laplace das equações
de tensão da tabela anterior (assumindo nulas as condições iniciais):
Δ Mola:
Δ Amortecedor:
Δ Massa:
Δ Definimos, assim, a seguinte função de impedância para componentes
mecânicos:
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta no Domínio do Tempo
Δ Depois que o engenheiro obtém uma representação matemática de um
subsistema, o subsistema é analisado quanto às suas respostas transitória e
em regime permanente para verificar se essas características fornecem o
comportamento desejado;
Δ Vamos demonstrar aplicações da representação de sistemas, calculando a
resposta transitória a partir do modelo do sistema;
Δ Naturalmente, essa abordagem não está distante da realidade, uma vez
que o engenheiro pode realmente desejar calcular a resposta de um
subsistema antes de inseri-lo no sistema em malha fechada.
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Polos, Zeros e Resposta do Sistema
Δ Como vimos, a resposta de saída de um sistema é a soma de duas
respostas: a resposta forçada e a resposta natural;
Δ O uso de polos e zeros e de sua relação com a resposta de sistemas no
domínio do tempo é uma técnica de análise rápida, baseada em padrões;
Δ O conceito de polos e zeros, fundamental na analise e no projeto de
sistemas de controle, simplifica o calculo da resposta do sistema;
Δ Polos (da FT):
• Valores da variável s que fazem com que a FT se torne infinita ou
• Quaisquer raízes do denominador da FT que sejam comuns ao numerador;
Δ Zeros (da FT):
• Valores da variável s que fazem com que a FT se torne zero ou
• Quaisquer raízes do numerador da FT que sejam comuns ao denominador;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Exemplo
Δ Seja o sistema a seguir:
Δ Quais os Polos e os Zeros da FT?
• Há um polo em −5 e um zero em −2;
Δ Para obter as propriedades dos polos e dos zeros, analisamos a resposta do
sistema a uma entrada degrau unitário (
1
𝑠
):
ΔC 𝑠 =
(𝑠+2)
𝑠(𝑠+5)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠+5
=
 2 5
𝑠
+
 3 5
𝑠+5
Δ Logo: 𝑐 𝑡 =
2
5
+
3
5
𝑒−5𝑡
(𝑠 + 2)
(𝑠 + 5)
𝑅 𝑠 =
1
𝑠 𝐶(𝑠)
• 𝐴 = 
(𝑠+2)
(𝑠+5) 𝑠→0
=
2
5
• 𝐵 = 
(𝑠+2)
𝑠 𝑠→−5
=
3
5
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Exemplo
Δ Inspecionando a função, temos:
𝐶 𝑠 =
 2 5
𝑠
+
 3 5
𝑠 + 5
𝑐 𝑡 =
2
5
+
3
5
𝑒−5𝑡
Transformada da Saída
Resposta no domínio do 
tempo
Polo do 
Sistema:
𝑠 + 5
Zero do 
Sistema:
𝑠 + 2
Polo da 
Entrada:
1
𝑠
Resposta Forçada Resposta Natural
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SISTEMAS DE CONTROLEI - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Exemplo
Δ Concluindo:
• Um polo da função de entrada gera a forma da resposta forçada; Isto é: o
polo na origem do sistema gerou a função degrau na saída;
• Um polo da função de transferência gera a resposta natural (o polo em −5
gerou 𝑒−5𝑡);
• Um polo sobre o eixo real gera uma resposta exponencial da forma 𝑒−𝑎𝑡.
Onde – 𝑎 é a localização do polo sobre o eixo real. Quanto mais a esquerda,
sobre o semi-eixo real negativo, for o polo, mais rápido será o decaimento da
resposta transitória exponencial para zero;
• Os polos e zeros geram as amplitudes para ambas as respostas, natural e
forçada;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas de Primeira Ordem
Δ Considerando o sistema a seguir:
Δ Sendo 𝑅 𝑠 =
1
𝑠
, temos:
𝐶 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑅 𝑠 =
𝑎
𝑠(𝑠 + 𝑎)
Δ No domínio do tempo, temos:
𝑐 𝑡 = 𝑐𝑓 𝑡 + 𝑐𝑛 𝑡 = 1 − 𝑒
−𝑎𝑡
Que é a resposta ao degrau
Δ Onde o polo da entrada gerou a resposta forçada 𝑐𝑓 𝑡 = 1 e o polo do
sistema em – 𝑎 gerou a resposta natural 𝑐𝑛 𝑡 = −𝑒
−𝑎𝑡;
𝑎
𝑠 + 𝑎
𝑅 𝑠 𝐶(𝑠)
−𝑎
𝐽𝑤
𝑅𝑒𝑎𝑙
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Constante de Tempo para circuitos de Primeira Ordem
Δ Examinando o significado do parâmetro a, o único parâmetro necessário
para descrever a resposta transitória;
Δ Quando 𝑡 =
1
𝑎
:
• 𝑒−𝑎𝑡
𝑡=
1
𝑎
= 𝑒−1 = 0,37
• Logo, 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑎𝑡 = 1 − 0,37 = 063
Δ
1
𝑎
é chamada, então, de constante de tempo da resposta;
Δ Então,
1
𝑎
é o tempo necessário para que a equação 𝑒−1 decaia a 0,37% de
seu valor inicial;
Δ Logo,
1
𝑎
é o tempo necessário para que a resposta 𝑐 𝑡 alcance 0,63% de
seu valor final;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Constante de Tempo para circuitos de Primeira Ordem
Δ O inverso da constante de tempo tem sua unidade em 1/segundos (ou
frequência);
Δ Assim, a é chamado de frequência exponencial;
Δ Como a derivada de 𝑒−𝑎𝑡 é –a, quando t=0, a é a taxa inicial de variação da
exponencial quando t=0;
Δ A constante de tempo também pode ser calculada a partir do diagrama do
polo:
• Uma vez que o polo da função de transferência está em -a, podemos dizer
que o polo está localizado no inverso da constante de tempo;
• Quanto mais afastado o polo estiver do eixo imaginário, mais rápida será a
resposta transitória.
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistema de 1ª Ordem
Δ Resposta de um sistema de 1ª Ordem a um degrau Unitário:
Δ No sistema de 1ª ordem, a inclinação inicial é
dada por
1
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
= 𝑎
Δ Em 𝑡 =
1
𝑎
, o sistema chega a 63% do valor
final para uma entrada degrau;
Δ Quanto menor é a constante de tempo, mais rápido o sistema chega ao seu valor final;
Δ O polo é o inverso da constante de tempo;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistema de 1ª Ordem - Parâmetros
Δ Tempo de Subida (Time Rising - 𝑇𝑟):
• É definido como o tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1 a 0,9
de seu valor final;
• É calculado através da diferença entre os valores 𝑐 𝑡 = 0,9 e 𝑐 𝑡 = 0,1;
• Logo: 𝑇𝑟 =
2,31
𝑎
−
0,11
𝑎
=
2,2
𝑎
;
Δ Tempo de Acomodação (Assentamento) (𝑇𝑠):
• É definido como o tempo necessário para que a resposta alcance uma faixa de
valores de 2% em torno do valor final e ai permaneça;
• Calculando 𝑐 𝑡 = 0,98 e resolvendo em função de t, temos que 𝑇𝑠 =
4
𝑎
;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta a uma entrada Degrau de um sistema de 1ª Ordem
Δ Ao lado, temos a resposta ao degrau
obtida experimentalmente em um
sistema;
Δ Pela resposta obtida, podemos supor
ser esse um sistema de primeira
ordem, caracterizado por:
𝐶 𝑠 =
𝐾
𝑠(𝑠 + 𝑎)
=
 𝐾 𝑎
𝑠
−
 𝐾 𝑎
𝑠 + 𝑎
Δ Isso porque não existe ultrapassagem e
existe uma inclinação inicial não nula;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta a uma entrada Degrau de um sistema de 1ª Ordem
Δ A partir da resposta, medimos a
constante de tempo, ou seja
Δ O tempo necessário para atingir
0,63% de seu valor final;
Δ Como o valor final é de 0,72, 0,63% é
igual a 0,45;
Δ Logo,
1
𝑎
= 0,13𝑠;
Δ Então 𝑎 =
1
0,13
= 7,7
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta a uma entrada Degrau de um sistema de 1ª Ordem
Δ Para obtermos o K, consideramos
que o valor em regime permanente é
alcançado em
𝐾
𝑎
= 0,72.
Δ Então, K=5,54.
Δ Logo nossa FT é:
𝐺 𝑠 =
𝐾
(𝑠 + 𝑎)
=
5,54
𝑠 + 7,7
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Exemplo
Δ Um sistema possui uma função de transferência 𝐺 𝑠 =
50
(𝑠+50)
. Determine:
• Constante de tempo (𝑇𝐶);
• Tempo de Subida (𝑇𝑟);
• Tempo de Assentamento (𝑇𝑠);
Δ Resposta:
• Como o sistema é da forma
𝑎
𝑠+𝑎
, a constante de tempo é dada por:
1
𝑎
=
1
50
=
0,02s;
• 𝑇𝑟 é dado por:
2,2
𝑎
=
2,2
50
= 0,044𝑠
• 𝑇𝑠 é dado por:
4
𝑎
=
4
50
= 0,08𝑠
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas de 2ª Ordem
Δ Enquanto nos sistemas de 1ª ordem, a alteração de parâmetros muda
apenas a velocidade da resposta, nos sistemas de 2ª ordem a alteração de
parâmetros pode alterar a forma da resposta;
Δ Analisaremos agora exemplos numéricos para cada um dos modelos de
resposta, considerando o caso geral, onde temos dois polos finitos e
nenhum zero;
Δ Sempre aplicaremos na entrada a função degrau para analisar 𝐶 𝑠 =
𝐺 𝑠 𝑅 𝑠 ;
𝑏
𝑠2 + 𝑎𝑠 + 𝑏
𝑅 𝑠 𝐶(𝑠)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas de 2ª Ordem
Δ Todas as nossas equações serão geradas a partir do padrão:
Δ Observadas as seguintes condições:
• O termo no numerador é simplesmente uma escala ou um fator de
multiplicação da entrada que pode assumir qualquer valor sem afetar a forma
dos resultados deduzidos;
• Atribuindo valores apropriados aos parâmetros a e b, podemos mostrar todas
as respostas transitórias de segunda ordem possíveis;
• A resposta ao degrau unitário pode então ser obtida utilizando C(s)=R(s)G(s)
em que R(s)=1/s.
𝑏
𝑠2 + 𝑎𝑠 + 𝑏
𝑅 𝑠 𝐶(𝑠)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta Superamortecida
Δ𝐶 𝑠 =
9
𝑠 𝑠2+9𝑠+9
=
9
𝑠 𝑠+7,854 𝑠+1,146
Δ O Sistema possui um polo na origem em função da entradadegrau que
gera uma resposta forçada de valor constante;
Δ Os dois polos reais provenientes do sistema geram uma resposta natural
exponencial cuja frequência exponencial é igual a localização do polo;
Δ De maneira genérica, a saída é dada por: 𝑐 𝑡 = 𝐾1 + 𝐾2𝑒
−7,854𝑡 +
𝐾3𝑒
−1,146𝑡;
Δ Calculando, temos: 𝑐 𝑡 = 1 + 0,171𝑒−7,854𝑡 − 1,171𝑒−1,146𝑡;
𝟗
𝒔𝟐 + 𝟗𝒔 + 𝟗
𝑹 𝒔 =
𝟏
𝒔 𝑪(𝒔)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta Superamortecida
Δ𝐶 𝑠 =
9
𝑠 𝑠2+9𝑠+9
=
9
𝑠 𝑠+7,854 𝑠+1,146
Δ Para: 𝑐 𝑡 = 1 + 0,171𝑒−7,854𝑡 − 1,171𝑒−1,146𝑡;
𝟗
𝒔𝟐 + 𝟗𝒔 + 𝟗
𝑹 𝒔 =
𝟏
𝒔 𝑪(𝒔)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta Subamortecida
Δ 𝐶 𝑠 =
9
𝑠 𝑠2+2𝑠+9
Δ O Sistema possui um polo na origem em função da entrada degrau e possui dois
polos complexos conjugados provenientes do sistema;
Δ A Resposta do sistema é dada por 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 cos 8𝑡 +
8
8
𝑠𝑒𝑛( 8𝑡)
Δ Resposta transitória consiste em uma amplitude que decai exponencialmente
(gerada pela parte real do polo do sistema) multiplicada por uma forma de onda
senoidal gerada pela parte imaginária do polo (a constante de tempo do
decaimento é igual ao inverso da parte real do polo);
Δ O valor da parte imaginária é o valor real da frequência real da senoide
(frequência de oscilação amortecida, 𝜔𝑑);
Δ Já a resposta em estado estacionário é dada pelo polo criado pela entrada (
1
𝑠
);
𝟗
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟗
𝑹 𝒔 =
𝟏
𝒔 𝑪(𝒔)
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Resposta Subamortecida
Δ𝐶 𝑠 =
9
𝑠 𝑠2+2𝑠+9
Δ A Resposta do sistema é dada por 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑡 cos 8𝑡 +
8
8
𝑠𝑒𝑛( 8𝑡)
𝟗
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟗
𝑅 𝑠 =
1
𝑠 𝐶(𝑠)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta Subamortecida
Δ𝐶 𝑠 =
9
𝑠 𝑠2+2𝑠+9
Δ Resposta transitória consiste em
uma amplitude que decai
exponencialmente (gerada pela
parte real do polo do sistema)
multiplicada por uma forma de
onda senoidal gerada pela parte
imaginária do polo (a constante de
tempo do decaimento é igual ao
inverso da parte real do polo);
𝟗
𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟗
𝑅 𝑠 =
1
𝑠 𝐶(𝑠)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta Sem amortecimento
Δ𝐶 𝑠 =
9
𝑠 𝑠2+9
Δ O Sistema possui um polo na origem em função da entrada degrau e possui
dois polos reais provenientes do sistema;
Δ O Polo na origem, devido a entrada gera a resposta forçada de valor
constante;
Δ Os dois polos situados em ±𝑗3 geram uma resposta natural senoidal cuja
frequência é igual a localização dos polos sobre o eixo imaginário;
Δ Logo, a resposta genérica é do tipo: 𝑐 𝑡 = 𝐾1 + 𝐾4cos(3𝑡 − ∅)
Δ A Resposta do sistema é dada por 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−0𝑡 cos 3𝑡
𝟗
𝒔𝟐 + 𝟗
𝑹 𝒔 =
𝟏
𝒔 𝑪(𝒔)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta Sem amortecimento
Δ𝐶 𝑠 =
9
𝑠 𝑠2+9
𝟗
𝒔𝟐 + 𝟗
𝑹 𝒔 =
𝟏
𝒔 𝑪(𝒔)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta Criticamente Amortecido
Δ𝐶 𝑠 =
9
𝑠 𝑠2+6𝑠+9
=
9
𝑠 𝑠+3 2
Δ O Sistema possui um polo na origem em função da entrada degrau e possui
dois polos reais múltiplos provenientes do sistema;
Δ O Polo na origem, devido a entrada gera a resposta forçada de valor
constante;
Δ Os dois polos situados em −3 geram uma resposta natural consistindo em
uma exponencial e uma exponencial multiplicada pelo tempo, onde a
frequência exponencial é igual a localização dos polos reais;
𝟗
𝒔𝟐 + 𝟔𝒔 + 𝟗
𝑹 𝒔 =
𝟏
𝒔 𝑪(𝒔)
R
E
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T
A
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D
O
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I
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D
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O
SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta Criticamente Amortecido
Δ𝐶 𝑠 =
9
𝑠 𝑠2+6𝑠+9
=
9
𝑠 𝑠+3 2
Δ Logo, a resposta genérica é do tipo: 𝑐 𝑡 = 𝐾1 + 𝐾2𝑒
−3𝑡 + 𝐾3𝑡𝑒
−3𝑡
Δ A Resposta do sistema é dada por 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−3𝑡 − 3𝑡𝑒−3𝑡
Δ A resposta criticamente amortecida é a mais rápida possível, sem
ultrapassagem;
𝟗
𝒔𝟐 + 𝟔𝒔 + 𝟗
𝑹 𝒔 =
𝟏
𝒔 𝑪(𝒔)
R
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resumo
Δ Resposta Superamortecida:
• Polos: dois, reais, em −𝑎 e −𝑏;
• Resposta natural: Duas exponenciais, com constantes de tempo com valor
igual ao inverso das localizações dos polos:
𝑐𝑛 𝑡 = 𝐾1𝑒
−𝑎𝑡 + 𝐾2𝑒
−𝑏𝑡
Δ Resposta Subamortecida:
• Polos: dois, complexos, em −𝑎 ± 𝑗𝜔𝑑;
• Resposta natural: senóide amortecida com envoltório exponencial cuja
constante de tempo é igual ao inverso da parte real do polo:
𝑐𝑛 𝑡 = 𝐴𝑒
−𝑎𝑡 cos 𝜔𝑑𝑡 − ∅
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resumo
Δ Resposta Sem amortecimento:
• Polos: dois, imaginários, em ±𝑗𝜔1;
• Resposta natural: senóide não amortecida com frequência angular igual a
parte imaginária dos polos:
𝑐𝑛 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔1𝑡 − ∅
Δ Resposta Criticamente Amortecida:
• Polos: dois, reais, em −𝑎;
• Resposta natural: um termo é uma exponencial cuja constante de tempo é
igual ao inverso da localização do polo. O outro termo é produto de t pela
mesma exponencial:
𝑐𝑛 𝑡 = 𝐾1𝑒
−𝑎𝑡 + 𝐾2𝑡𝑒
−𝑎𝑡
R
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D
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resumo: Visão Geral de respostas a sistemas de 2ª ordem
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistema de Segunda Ordem Geral
Δ Vamos agora estabelecer especificações quantitativas definidas de modo
que a resposta de um sistema de segunda ordem possa ser descrita a um
projetista sem a necessidade de esboçar essa resposta;
Δ Definiremos duas especificações com significado físico para os sistemas de
segunda ordem;
Δ Essas grandezas podem ser utilizadas para descrever as características da
resposta transitória de segunda ordem da mesma forma que as constantes
de tempo descrevem a resposta dos sistemas de primeira ordem;
Δ Essas duas grandezas são denominadas frequência natural e fator de
amortecimento.
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N
I
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D
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistema de Segunda Ordem Geral
Δ Frequência Natural ( 𝜔𝑛 ): frequência de oscilação do sistema sem
amortecimento;
• Ex.: A frequência de oscilação de um circuito RLC com a resistência curto-
circuitada é a frequência natural;
Δ Relação de Amortecimento ( 𝜁 ): grandeza que permite quantificar,
independentemente do tempo, como ocorrem as oscilações amortecidas
de um sistema subamortecido, por exemplo;• Assim, um sistema cuja resposta transitória durasse três ciclos em um
milissegundo antes de atingir o estado estacionário tem a mesma medida de
um sistema que percorre três ciclos em um milênio antes de atingir o estado
estacionário;
• Essa medida permanece constante, mesmo se mudarmos a base de tempo;
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N
I
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D
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas de 2ª Ordem Geral
Δ Relação de Amortecimento (𝜁):
• 𝜁 =
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 (
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
=
1
2𝜋
𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 (𝑠)
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝑠)
Δ Revendo agora as definições de sistema de 2ª Ordem:
𝐺 𝑠 =
𝑏
𝑠2 + 𝑎𝑠 + 𝑏
Δ Para um sistema sem amortecimento, temos (𝑎 = 0) e a resposta seria uma
senoide não amortecida. Logo,
𝐺 𝑠 =
𝑏
𝑠2 + 𝑏
Δ Por definição, a frequência natural (𝜔𝑛), é a frequência de oscilação desse
sistema. Como os polos desse sistema estão sobre o eixo 𝐽𝜔 em ±𝑗 𝑏,
𝜔𝑛 = 𝑏
Δ Logo, 𝑏 = 𝜔𝑛
2
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas de 2ª Ordem Geral
Δ Supondo o sistema subamortecido, os polos complexos possuem parte real,
igual a −
𝑎
2
;
Δ A magnitude desse valor é a frequência de decaimento exponencial, dada
por:
𝜁 =
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (
𝑟𝑎𝑑
𝑠 )
𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 (
𝑟𝑎𝑑
𝑠 )
=
 𝑎 2
𝜔𝑛
Δ Logo, 𝑎 = 2𝜁𝜔𝑛
Δ Então, a FT genérica de 2ª Ordem é dada por:
𝐺 𝑠 =
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas de 2ª Ordem Geral
Δ Definidos 𝜁 𝑒 𝜔𝑛, relacionamos essas grandezas aos polos:
𝐺 𝑠 =
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
𝑠1,2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜁2 − 1
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas de 2ª Ordem Geral
DÚVIDAS?
Contatos: 
E-mail: eniopvf@gmail.com
Skype: eniopvf
Twitter: eniopvf
Bibliografia:
• NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010;
• OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 4.ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, 
2003;
• Carlos Alexandre – Prof. UFPE