Lista_de_Exercicios_Equações_de_Poisson_e_Laplace

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Terceira Lista de Eletromagnetismo
Equações de Poisson e Laplace
Abril de 2015
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1. Dois planos condutores paralelos denominados de 1 e 2, cujos potenciais são V1 e V2 estão situados
paralelamente entre dois outros planos condutores A e B conectados ao terra. As distâncias entre os
planos são dadas na figura abaixo. Determine:
(a) Os potencias em todas as regiões (região (a), região (b) e região (c)).
(b) O campo elétrico em todas as regiões.
Respostas: (a) Va (x) =
V1
a1
x; Vb (x) =
V1−V2
a1−a2 (x− a1) + V1; Vc (x) = V2a3−a2 (a3 − x). (b) ~Ea = −V1a1 iˆ;
~Eb = −
(
V1−V2
a1−a2
)
iˆ; ~Ec =
V2
a3−a2 iˆ
2. O circuito abaixo é formado por três superfícies esféricas condutoras concêntricas. Os raios estão
especificados na figura. Na região a < r < b existe um distribuição volumétrica de carga. Para as
regiões entre a < r < b (região 1) e b < r < c (região 2), determine:
(a) o potencial elétrico.
(b) o vetor campo elétrico
Respostas: (a) Região (1): V (r) = −ρ0r2
6ε0
−1
r
{
ab
(b−a)
[
V0 +
ρ0
6ε0
(b2 − a2)
]}
+ρ0a
2
6ε0
+ b
(b−a)
[
V0 +
ρ0
6ε0
(b2 − a2)
]
;
Região (2): V (r) = V0 bc
r(c−b) − V0b(c−b) . (b) Região (1): ~E =
{
ρ0r
3ε0
− ab
r2(b−a)
[
V0 +
ρ0
6ε0
(b2 − a2)
]}
rˆ; Região
(2)
~E = V0 bc
r2(c−b) rˆ
1
3. Na região interna de um capacitor de placas planas e paralelas há um distribuição de carga volumé-
trica dada por:
ρ(x) = ρ0x (x− d)
sendo ρ0 uma constante com dimensões apropriadas. Determine:
(a) A distribuição de potencial entre as placas do capacitor.
(b) A partir do potencial, o vetor campo elétrico.
Resposta: (a) V (x) = −ρ0x4
12ε0
+ ρ0dx
3
6ε0
− ρ0d3x
12ε0
. (b)
~E =
(
ρ0x3
3ε0
− ρ0dx2
2ε0
+ ρ0d
3
12ε0
)
iˆ.
4. Duas placas grandes metálicas estão arranjadas de forma que entre elas haja um ângulo α. Ambas
estão mantidas a uma tensão V0. As placas estão isoladas entre si no eixo z conforme ilustra a figura.
(a) a distribuição de potencial entre as placas.
(b) o vetor campo elétrico.
Resposta: (a) V = V0
α
φ;(b) ~E = V0
αr
φˆ
5. Duas placas grandes metálicas paralelas estão a 1 metro de distância. Uma tem o potencial zero e a
outra está a 100 volts. Resolva a equação de Laplace na região entre as placas.
2
Resposta:V = 100x
6. Duas grandes superfícies cônicas metálicas são isoladas no vértice e mantidas a uma tensão V0.
Determinar a distribuições de potenciais entre os condutores, observando a figura abaixo.
Resposta:V = V0
ln
(
tg(α12 )
tg(α22 )
) ln
(
tg( θ2)
tg(α22 )
)
7. Duas cascas esféricas concêntricas de raio interno a e externo b (b > a) estão submetidas a uma
diferença de potencial V . Admita que o potencial seja zero para r = b e V0 para r = a.
Resposta: V = V0a
(b−a)
(
b
r
− 1)
8. Um cone metálico está submetido a um potencial V0 quando θ = α e um plano condutor (θ =
pi
2
)
está aterrado (V = 0). Determine:
(a) a distribuição de potencial entre a cone e o plano
(b) o vetor campo elétrico.
3
Resposta: (a) V = V0
ln(tg θ2)
ln(tg α2 )
; (b)
~E = − V0
r sen(θ) ln(tg α2 )
θˆ
9. Denomina-se junção P-N a estrutura fundamental dos componentes eletrônicos constituídos de se-
micondutores, principalmente diodos e transistores. Considerando uma junção P-N, como sendo for-
mada por duas camadas infinitas de carga de faces paralelas e infinitas, de espessura L e densidade
volumétrica uniforme +ρ0 e ρ0, conforme ilustra a figura, e que todas as cargas são fixas, determine
o potencial elétrico e vetor campo elétrico paras as regiões:(a) −L < x < 0; (b) 0 < x < +L.
Resposta:
(a)
V (x) = ρ0x
2
2ε0
+
(
V0
2L
+ ρ0L
2ε0
)
x+ V0
2
~E = −
(
ρ0x
ε0
+ V0
2L
+ ρ0L
2ε0
)
iˆ
(b)
V (x) = −ρ0x2
2ε0
+
(
V0
2L
+ ρ0L
2ε0
)
x+ V0
2
~E = −
(
−ρ0x
ε0
+ V0
2L
+ ρ0L
2ε0
)
iˆ
4