Funções: Definição e Notação

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2. FUNÇÕES
	Ocorrem muitos casos, na prática, onde o valor de uma quantidade depende do valor da outra. Assim, o salário de uma pessoa pode depender do número de horas trabalhadas; o número de unidades de certo produto demandadas pelos consumidores pode depender de seu preço; a produção total de uma fábrica pode depender do número de máquinas utilizadas; e assim por diante. De maneira geral o administrador utiliza a experimentação como técnica de pesquisar e propor alterações nos processos ou criar novos produtos. Um experimento é um procedimento no qual alterações propositais são feitas nas variáveis de entrada de um processo ou sistema, de modo que se possa avaliar as possíveis alterações sofridas pela variável resposta, como também as razões destas alterações.
Modelo geral de um processo ou sistema
				Fatores controláveis
				 x1 x2 ... xp
				
Matéria prima, componentes, montagens				Y = Característica da qualidade do produto.
		Entrada			Processo				Saída (Efeito)
				
				 z1 z2 ... zk
				Fatores não - controláveis
	Uma relação entre tais quantidades é muitas vezes definida por meio de uma função. 
2.1 FUNÇÕES
	Intuitivamente consideramos y como sendo uma função de x se há alguma lei segundo a qual existe um único valor de y correspondente a um valor de x. Exemplos y = 2x2 + 5 e y = . 
Definição: Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x, y) no qual duas duplas ordenadas distintas não podem ter o mesmo primeiro número. O conjunto de todos os valores admissíveis de x é chamado domínio da função, e o conjunto de todos os valores admissíveis de y é chamado imagem da função.
	A equação (y = 2x2 + 5) define uma função. Vamos chama-la de f. f é a regra (lei que transforma x em y) segundo a qual um único valor de y pode ser determinado, sempre que um valor de x for dado; Isto é, no exemplo a regra determina que para cada valor especificado no conjunto domínio se associe a ele num outro conjunto chamado imagem o dobro do seu quadrado mais cinco. A função f é o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), tais que x e y satisfaçam a equação, ou seja
	f = {(x, y) y = 2x2 + 5}
	Os números x e y são variáveis. Uma vez que os valores da função f dependem de x, e como os valores de y dependem da escolha de x, x é chamado variável independente ou argumento de f e y variável dependente ou imagem. Para a função f que estamos considerando, o domínio é o conjunto de todos os números reais, (-, +), a imagem, dado que o menor valor que y pode assumir é 5 (quando x = 0), é o conjunto de todos os números reais positivos maiores ou iguais a 5, [5, +).
Exemplos: para as funções abaixo determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico:
Seja g a função que é o conjunto das duplas ordenadas (x, y) definidas por g = {(x, y) y = }
Seja f = {(x, y) y = }
Seja g a função que é o conjunto das duplas ordenadas (x, y), tal que y = 
Neste caso a função é definida por mais de uma equação. Tal definição é permitida, desde que para cada número x no domínio exista um único valor para y na imagem.
Considere o conjunto {(x, y) x2 + y2 = 25}.
Um esboço do gráfico deste conjunto está na Fig. 2.1
Este conjunto de duplas ordenadas não é uma função,
Pois para qualquer valor no domínio existem duas 
Imagens. Por exemplo, (3, 4) e (3, -4) para o mesmo
valor no domínio (3) temos imagens distintas 
4 e –4 o que contradiz a definição de função.
Figura 2.1Exercícios
Determine o domínio, imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
h = {(x, y) y = x }
Seja f a função que é o conjunto de todas as duplas ordenadas (x, y), tal que,
y = 
Seja g a função que é o conjunto de todas as duplas ordenadas (x, y), tal que,
y = 
Seja h a função que é o conjunto de todas as duplas ordenadas (x, y), tal que,
y = 
 Seja f a função que é o conjunto de todas as duplas ordenadas (x, y), tal que
y = 
Seja h a função que é o conjunto de todas as duplas ordenadas (x, y), tal que
y = 
2.2 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO
	Se f é uma função tendo como seu domínio os valores da variável x e como imagem os valores da variável y, o símbolo f(x) (leia “f de x”) denota o valor particular de y que corresponde ao valor de x.	Para o exemplo f = {(x, y) y = }, pode-se escrever simplificadamente, assim f(x) =. Logo, quando x = 1, = 2, o que eqüivale a dizer que f(1) = 2.
	Quando definimos uma função seu domínio pode estar explicito ou implícito
f(x) = x2 –2x +5, isto implica que x pode ser qualquer número real. Contudo, se f está definida por
f(x) = x2 – 2x + 5, 0 < x < 10, então, o domínio de f consiste de todos os números reais entre 0 e 10.
Se f está definida pela equação f(x) = , isto implica que x -3, pois o quociente não está definido para x = -3; logo o domínio é o conjunto de todos os números reais exceto –3.
Exemplo: Dado que f é uma função definida por f(x) = x2 + 3x – 4, encontre
f(0); f(2); f(h); f(2h); f(2x); f(x + h); f(x) + f(h).
Exercício: Determine o domínio de cada uma das seguintes funções
a) y = x2 + 2x + 1 b) y = c) y = d) y = e) y = f) y = 
g) y = 1/x + 3/(x-3)	h) 	i) 	j) .
Função composta de duas funções.
Definição. Dadas as funções f e g, a função composta, denotada por fg, é definida por 
(fg)(x) = f(g(x))
o domínio de fg é o conjunto de todos os números x no domínio de g, tal que g(x) esteja no domínio de f.
Exemplos
1. Seja f definida por f(x) = e a função g, por g(x) = 2x – 3; 
Calcule F(x) sendo F = fg, e determine o domínio de F.
Calcule G(x) sendo G = gf, e determine o domínio de G.
2. A função g é definida por g(x) = x2. Defina uma função f tal que f(g(x)) = x, para x 0 e uma função h, tal que h(g(x)) = x, para x 0.
Exercícios (complementares) obrigatório para os que optarem para peso 2 em atividades complementares, p.20-24, Cálculo A, 6 ed.
2.3 TIPOS DE FUNÇÕES
Se a imagem da função f consiste de apenas um único número, então f é chamada função constante. Isto é f(x) = c.
Se uma função f está definida por f(x) = aoxn + a1xn-1 + ... + an-1x + an, onde n é um inteiro não negativo, e ao, a1,... são números reais (ao 0), então f é chamada função polinomial de grau n.
	Se o grau de uma função polinomial for 1, então ela é chamada de função linear; se o grau for 2 temos a chamada função quadrática e se for 3, função cúbica.
A função linear f(x) = x é chamada de função identidade.
Se uma função pode ser expressa como o quociente de dois polinômios, ela é chamada função racional. Por exemplo, f(x) = é uma função racional para a qual o domínio é o conjunto R1 exceto {3, –3}.
	Uma função algébrica é aquela formada por um número finito de operações algébricas. Um exemplo de função algébrica é a função f definida por 
f(x) = 
A função maior inteiro é definida por f(x) = [[x]] = n se n x < n+1, onde n é um inteiro.
A função de grau unitário é definida por U(t) = 
A função sinal é definida por sgn(x) = , onde sgn(x) lê-se “sinal de x” 
Exercício: Trace um esboço do gráfico e estabeleça o domínio e a imagem.
a) f(x) = U(x – 1) b) g(x) = sgn(x + 1) – sgn(x – 1) c) h(x) = xU(x) d) f(x) = x – 2sgn(x) e) h(x) = x + x – 1 f) f(x) = x – [[ x ]] g) f(x) = 2 + (-1)n, onde n = [[ x ]]
Diz-se que uma função f(x) é par se, para todo x no domínio de f, f(-x) = f(x).
Ex. f(x) = x2 é par, pois, f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x).
Diz-se que uma função f(x) é ímpar se, para todo x no domínio de f, f(-x) = -f(x).
	Ex. f(x) = x5 + x3 é ímpar, já que, f(-x) = (-x)5 + (-x)3 = -x5 –x3 = - (x5 + x3) = - f(x)
A função f(x) = x3 + 4 não é par nem ímpar.
Diz-se que uma função f(x) é periódica se existe um número real T 0 tal que f(x + T) = f(x) para todo x D(f). Ex. f(x) = sen(x) e f(x) = cos(x) são periódicas de período T = 2.
	Função inversa. Seja y = f(x) uma função de A em B ou f: A B. Se, para cada y B, existir exatamenteum valor de x A tal que y = f(x), então podemos definir uma função g: B A tal que x = g(y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por f-1.
	Diz-se que uma variável y é diretamente proporcional a uma variável x se y = kx, onde k é uma constante não nula. Em geral y = kxn, diz-se que y é diretamente proporcional a n-ésima potência de x. A constante k é chamada a constante de proporcionalidade.
Exemplo: O peso aproximado do cérebro de uma pessoa é diretamente proporcional ao seu peso corporal, e uma pessoa com 68 kg tem um cérebro de aproximadamente 1,8 kg. 
expresse o número de quilos de do peso aproximado do cérebro de uma pessoa como função do seu peso corporal.
Ache o peso aproximado do cérebro de uma pessoa cujo peso corporal é 80 quilos.
Solução: Seja f(x) : peso do cérebro e x: peso do corpo. Então, f(x) = kx ou 1,8 = k68
k = 18/680 = 9/340. Logo f(x) = (9/340)x e portanto f(80) = (9/340)80 = 2,1 kg. Isto é o peso aproximado do cérebro de uma pessoa que pesa 80 k ‘2,1 quilos.
	Função crescente ou decrescente. F é crescente num intervalo [a, b] se para quaisquer valores x1, x2 do intervalo, com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2) e decrescente se f(x1) > f(x2). Se f(x1) = f(x2) constante.
	Diz-se que uma variável y é inversamente proporcional a variável x se y = k/x. Generalizando diz-se que uma variável y é inversamente proporcional à n-ésima potência de x se y = k/xn.
Exercícios
A folha de pagamento diária de uma equipe de trabalho é diretamente proporcional ao número de trabalhadores, e uma equipe de 12 trabalhadores tem uma folha de pagamento de R$ 540,00
Expresse o valor total da folha de pagamento diária como função do número de trabalhadores.
Qual a folha de pagamento de uma equipe de 15 trabalhadores?
Numa comunidade de 8.000 pessoas, a razão segundo a qual o boato se espalha é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que ouviram o boato e ao número de pessoas que não o ouviram.
se o boato está se espalhando a uma razão de 20 pessoas por hora quando 200 pessoas o ouviram expresse a taxa segundo a qual o boato está se espalhando como função do número de pessoas que o ouviram.
Quão rápido o boato está se espalhando quando 500 pessoas o ouviram?
2.4 APLICAÇÃO DAS FUNÇÕES COMO MODELOS MATEMÁTICOS (opcional)
2.4.1 Função de demanda (curva de procura)
Definição. É uma construção teórica que nos diz quantas unidades de um determinado bem de consumo os consumidores estarão desejosos de comprar, considerando os possíveis preços, presumindo-se que os gastos dos consumidores, os preços das outras mercadorias e as rendas dos consumidores se mantenham inalteradas. 
	Essa relação descreve o comportamento do consumidor que compra mais quando o preço cai e compram menos quando o preço sobe. Essa variação inversa entre preço e quantidade demandada é chamada lei da demanda e caracteriza uma função decrescente.
Ex. 2 o número de sorvetes (x) demandados por semana numa sorveteria relaciona-se com o preço unitário (p) de acordo com a função de demanda p = 10 – 0,002x. Determine a quantidade semanal demandada se o preço for R$ 4,00 por unidade. Represente a função graficamente.
Função Oferta (Curva de Oferta)
Definição: É uma construção teórica que nos diz quantas unidades os produtores de uma mercadoria em determinada indústria estão dispostos a vender, em um certo período de tempo.
	É uma função crescente pois, quando o preço sobe, existem mais produtores interessados em colocar no mercado quantidades cada vez maiores do seu produto.
Ex 3 Admitimos que, para quantidades que não excedam sua capacidade de produção, a função de oferta de sorvetes do ex 2, seja do primeiro grau.Suponhamos que se o preço unitário do sorvete for R$ 2,10, a quantidade ofertada por semana será de 350 unidades, e se o preço for de R$ 2,40, a quantidade ofertada será de 1400 unidades. Obtenha a função de oferta e represente graficamente.
 
Equilíbrio de mercado (Preço de equilíbrio)
Definição. É o preço correspondente a iguais quantidades de demanda e de oferta. Pode ser obtido pelo ponto de intersecção entre a curva S de oferta e a curva D de demanda.
Obs. Apenas as partes das curvas que estão no primeiro quadrante interessam a análise econômica. Isto porque oferta e demanda são maiores ou iguais a zero.
	A oferta negativa significa que os artigos não estão disponíveis no mercado.
	O preço negativo significa que são pagos preços aos compradores para a remoção de artigos do mercado. Isto é, os preços são tão altos que impede a atividade do mercado.
Exemplo
As funções lineares de oferta e demanda de determinado bem de conveniência são dadas pelas seguintes características: 
r passa pelos pontos: P1(4, 5) e P2(0, 1)
s passa pelo ponto A(2, 3) e um decréscimo de duas unidades de preço representa um aumento de 4 unidades de produção.
Determine a função oferta
Determine a função demanda
Determine o preço de equilíbrio
Represente as funções graficamente.
Função receita
Definição. Descreve o total bruto recebido pela venda de uma quantidade variável de um produto.
R = px 
Onde, R representa a função receita total, p o preço de venda do produto e x a quantidade vendida.
A partir da função receita, pode-se determinar a função receita média, que dá o receita média por unidade produzida. Rme= R/x
Ex 4. Um produto é vendido por R$ 15,00 por unidade (preço constante). Qual a função receita?
Obs. A diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade é chamada de margem de contribuição por unidade.
No exemplo 15 – 10 = 5.
Função custo
Definição. Descreve o custo de produção de determinado bem e varia em função da quantidade produzida desse bem. Na produção existe:
uma parcela fixa (Cf): independe da quantidade produzida (gastos fixos de produção, instalação ou manutenção do prédio)
Uma parcela variável (Cv): depende da quantidade produzida (envolve compra de matéria prima, pagamento de mão-de-obra)
A função Custo total ou Custo, é a soma das funções custo fixo e custo variável.
C = Cf + Cv.
A partir da função custo, pode-se determinar a função custo médio ou custo unitário, que dá o custo médio por unidade.
Cme=C/x.
Ex 5. O custo fixo mensal de fabricação de um produto é de R$ 5000,00. O custo variável por unidade é R$ 10,00. Calcule o custo total?
2.4.6 Função Lucro 
É obtido como a diferença entre as funções Receita e Custo. L = R – C.
Ex. Calcule a função lucro dos exemplos 4 e 5.
	Os pontos de intersecção entre os gráficos das funções Receita e Custo recebe o nome de break-even poit (ponto de ruptura) ele representa o ponto em que o lucro é igual a zero.
Exemplo: Um fabricante de relógios pode produzir um determinado relógio a um custo de R$ 15,00 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do relógio for de p cada, então o número de relógios vendidos por semana será de 125 – p.
Expresse o lucro semanal do fabricante como uma função de p. 
Use o resultado da parte a) para determinar o lucro semanal se o preço de venda for R$ 45,00 cada.
Exemplo: Um fabricante vende seu produto a R$ 25,00 por unidade. Os seus custos fixos estão estimados em R$ 13.000,00 e os custos variáveis em 40% do rendimento total. Sua capacidade máxima de produção é 5.000 unidades por mês. Determinar:
A equação do custo fixo
A equação do custo variável
A equação da receita total
A equação do lucro total
O ponto de ruptura
Qual o lucro obtido na produção e venda de sua capacidade máxima? (lucro potencial)
Exercícios
Dadas as funções q = 4p – 3 e q = , respectivamente oferta e demanda para certo produto.
Faça seus gráficos no mesmo sistema de eixos
Determine o ponto de equilíbrio. 
O preço unitário de custo de certo produto é R$ 4,00 e o custo fixo de produção é R$ 30,00; colocado no mercado, verificou-se que a demanda para esse produto era dada pela relação p = 10 – q/6.
Determine as funções Custo (C) e Receita (R) para esse produto e faça seus gráficos no mesmo sistema de eixos.
Determine a função lucroe faça o seu gráfico. Observe que o lucro é zero quando C = R.
Para que valores de q se tem L 0?
Determine as funções receita média e custo médio e faça seus gráficos.
A demanda mensal de manteiga por um consumidor é função de sua renda de acordo com a seguinte expressão: q = 
Onde, y é a renda em milhares de cruzeiros e q é a quantidade de manteiga em gramas.
Faça o gráfico da função
Essa função é crescente ou decrescente? Por quê?
Em que ponto corta o eixo horizontal dos y? Qual o significado deste fato?
Suponha que um assalariado tenha a seguinte função consumo, C = 0,3y + 50, onde y representa seu salário mensal em milhares de cruzeiros. As constantes 0,3 e 50 chamam-se respectivamente propensão marginal a consumir e consumo autônomo.
O que representam a propensão marginal a consumir e o consumo autônomo?
Quem tem uma propensão marginal a consumir maior, uma pessoa da classe socioeconômica baixa que ganha um salário mínimo ou uma pessoa da classe socioeconômica elevada, que ganha 20 salários mínimos?
Um fabricante vende seu produto a R$ 5,00 por unidade.
Qual é o rendimento total na venda de 5.000 unidades do produto? Qual é a equação para esta função de rendimento?
Os custos fixos são mantidos constantes em R$ 3.000,00, independentemente do número de unidades do produto em questão. Sobreponha o gráfico desta sobre o gráfico do item a.
Nesta companhia, os custos variáveis são estimados em 40% do rendimento total. Qual é o custo total quando 5000 unidades são vendidas? Trace o gráfico da função sobrepondo-a ao gráfico anterior.
Qual é o ponto de equilíbrio? Indique este ponto no gráfico e resolva para a quantidade correspondente vendida. Indique no gráfico a quantidade com a qual o fabricante cobrirá seus custos fixos.
Sabendo-se que o Cf para a produção de certo tipo de máquina é R$ 1,00 e o Cv = x2 + 10x e que sua receita obedece a função y = -x2 + 18x, calcular:
o ponto de ruptura:
O potencial de lucro, se a capacidade máxima é de 2 máquinas/mês; represente graficamente.
ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES
	Além das funções algébricas, são consideradas em cálculo elementar as chamadas funções elementares (exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas).
2.5.1 Função Exponencial. Chama-se de função exponencial de base a, a função f de R em R que associa a cada x real o número real ax, sendo a um número real, 0 < a 1.
	Com relação ao gráfico da função f(x) = ax (Fig. 20 ) podemos afirmar:
A curva que o representa está toda acima do eixo das abcissas, pois y > 0 para todo x R; corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1); é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
Exercícios:
Construir, por pontos, um esboço gráfico das funções seguintes:
1) y = 2x 	2) y = 2-x	3) y = 22x-1	4) y = e-x
Figura 2.2
2.5.2 Função Logarítmica 
Seja a um número real positivo, a 1. Se x é um número real positivo existe um único número real y tal que ay = x. O número y assim obtido recebe o nome de logaritmo de x na base a, e escrevemos y = . A função assim definida, para x > 0, recebe o nome de função logarítmica de base a.
	Com relação ao gráfico da função, Fig. 2.3, podemos afirmar
está todo a direita do eixo y;
corta o eixo das abscissas no ponto (1, 0);
é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
y = 
log
a
(x)
 0 < a < 1
y = 
log
a
(x)
 
a >
 1
Figura 2.3
Em particular se a = 10 a função dada por y = log10(x) = log(x) é chamada função logarítmica decimal. Se a = e (2,7182...) então y = loge(x) = ln(x) é chamada função logarítmica natural.
Exercício: Esboce o gráfico o gráfico das duas funções no mesmo sistema de coordenadas.
V 2.5.3 Funções Trigonométricas
P
P
2	Seja x um número real. Marcamos um ângulo 
com medida x radianos, na circunferência unitária com 
O
xcentro na origem ( ver figura 2.4). Seja P o ponto de 
U
P
1intersecção do lado terminal do ângulo x, com essa 
circunferência.
Fig. 2.4	Denominamos seno de x a ordenada do 
ponto P em relação ao sistema UOV. 
 	Definimos a função seno como a função f de R em R que a cada x R faz corresponder um número real y = sen(x). Onde o domínio da função é R e a imagem o intervalo fechado [-1, 1].
 	A relação entre graus, radianos e decimal é dada por (radianos) = 1800(graus) e (radianos) = 3,1415...(decimais).
	O gráfico da função f(x) = sen(x) pode ser visto na figura 2.5
Fig 2.5 Gráfico da função y = sen(x)
	Da mesma forma denominamos cosseno de x a abcissa do ponto P em relação ao sistema UOV a função f de R em R que a cada x R faz corresponder o número real y = cos(x) variando no intervalo [-1, 1].
As demais funções trigonométricas são definidas em relação a seno e cosseno. Por exemplo,
tg(x) =; sec(x) =; cotg(x) = ; cosec(x) = 
Outras relações entre funções trigonométricas:
sen2x + cos2x = 1;	sec2x - tg2x = 1;		cosec2x – cotag2x = 1;		sen(-x) = -sen(x);
cos(-x) = cos(x)	;	tg(-x) = -tg(x);		
sen(x y) = sen(x)cos(y) cos(x)sen(y);
cos(x y) = cos(x)cos(y) sen(x)sen(y);
sen(x)cos(y) = 1/2[sen(x-y)+sen(x+y)];
sen(x)sen(y) = 1/2[cos(x-y)-cos(x+y)];
cos(x)cos(y) = 1/2[cos(x-y) + cos(x + y)];		
sen(2x) = 2sen(x)cos(x)	;	
cos(2x) = cos2(x) – sen2(x) = 1 – 2sen2(x) = 2cos2(x) – 1;	
sen2(x) = 1/2 – (1/2)cos(2x);		;
cos2(x) = 1/2 + (1/2)cos(2x);		;
cos3(x) = (3/4)sen(x) – (1/4)sen(3x);
 ;			;
; 			.
Exercício:
1. Determine o dominio de Resp. 
2. Seja, Verifique a iguladade, .
2.5.4 Funções trigonométricas inversas
Sabemos que é impossível definir uma função inversa para a função y = sen(x), porque a cada valor de y corresponde uma infinidade de valores de x, o que contradiz a definição de função.
	Portanto para definirmos a função inversa de y = sen(x) necessita-se restringir o domínio.
	Seja f: [-/2, /2] [-1, 1] a função definida por f(x) = sen(x). A função inversa da f(x), será chamada arco seno, e denotada por f-1: [-1, 1] [-/2, /2], onde f-1(x) = arc sen(x).
	Seja f:[0, ] [-1, 1]a função definida por f(x) = cos(x). A função inversa f-1 : [-1, 1] [0, ] é denominada arco cosseno.
Observação. A função y = arc cos(x) pode ser definida também pela equação arc cos x = - arc sen x.
	Seja f: (-/2, /2) R a função definida por f(x) = tg x. A função inversa f-1 : R (-/2, +/2) é chamada função arco tangente.
Exercício:
1. Determine o domínio de:
a) ;
b) .
2. Seja . Calcule: a) ; b) f(1); c) f(10).
2.5.5 Funções hiperbólicas
	A função seno hiperbólico, denotada por senh, e a função cosseno hiperbólico denotada por cosh, são definidas respectivamente por:
Senh x = e cosh x = 
	A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um cabo ou corrente flexível, uniforme cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura. Por exemplo, a curvatura um fio telefônico preso entre dois postes de mesma altura. Esta curva recebe a denominação de catenária.
	As quatro funções restantes podem ser definidas em termos de senh e cosh, da mesma forma que as estudadas em 2.6.3.
Exercícios (complementares) obrigatório para os que optarem para peso 2 em atividades complementares, p.53-59, Cálculo A, 6ed.
Exercícios:
Fazer o gráfico da função f(x) = sen no intervalo [-, ].
Dado f(2x) = 4x2+8x+1, determine f(x). (Sugestão: Faça 2x = t)
Dado calcule f(f(x)) e estabeleça o domínio.
Resolva a equação 
Estabeleça o domínio de cada função:
 	b) c) 
d) e) 
Se . Qual é a função g(x)?
O esboço que melhor representa o gráfico da função f definida por